21 瞬时、平均、复功率、最大传输定理
交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值
交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值交变电流的大小和方向都随时间作周期性变化，所以要准确描述交变电流的产生的效果，需要用到“最大值、有效值、瞬时值、平均值”四个物理量。
交流电的“最大值、有效值、瞬时值、平均值”常称为交流电的“四值”。
这四个类似但又有区别的物理量，容易造成混乱，理解好“四值”对于学习交流电有极大的帮助。
一、准确把握概念1. 瞬时值：交流电流、电压、电动势在某一时刻所对应的值称为它们的瞬时值。
瞬时值随时间的变化而变化。
不同时刻，瞬时值的大小和方向均不同。
交流电的瞬时值取决于它的周期、幅值和初相位。
以正弦交流电为例（从中性面开始计时）。
则有：其瞬时值为：e=Emsinωti=Imsinωt u=Umsinωt2．最大值：交变电流的最大值是指交变电流在一个周期内所能达到的最大值，它可以用来表示交变电流的强弱或电压的高低。
以正弦交流电为例。
则有：Em=nBωS，此时电路中的电流强度及用电器两端的电压都具有最大值，即Im=， Um=ImR。
3．有效值：交变电流的有效值是根据电流的热效应来定义的，让交变电流和恒定电流通过相同阻值的电阻，如果在相同的时间内产生的热量相等，我们就把这一恒定电流的数值叫做这一交变电流的有效值。
交流电的有效值是根据它的热效应确定的。
交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相等, 则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写字母表示, 如I、 U等。
一个周期内直流电通过电阻R所产生的热量为：交流电通过同样的电阻R，在一个周期内所产生热量：根据定义，这两个电流所产生的热量应相等，即将代入上式i=Imsinωt4．平均值：交变电流的平均值是指在某一段时间内产生的交变电流对时间的平均值。
对于某一段时间或某一过程，其平均感应电动势：==二、正弦交流电的“四值”之间的关系1、正弦交流电的有效值与最大值的关系： U=，I=注：I U 是、的，Im、Um是电流、电压的最大值2、正弦交流电的与最大值和有效值的关系：，，，注：Ip、Up是电流、电压的平均值三、“四值”解题方法小结：交变电流有四值，即有效值、平均值、最大值和瞬时值．各值何时应用，对照如下情况确定：（1）在研究电容器是否被击穿时，要用峰值（最大值）．因电容器上标明的电压是它在直流电源下工作时所承受的最大值．（2）在研究交变电流的功率和产生的热量时，只能用有效值．（3）在求解某一时刻线圈受到的磁力矩时，只能用瞬时值．（4）在求交变电流流过导体的过程中通过导体截面积的电量时，要用平均值．。
最大功率传输定理
4A
I1
7 6
2 2
4 4
15 6
2.5A
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例3 已知:uab=0, 求电阻R
解 用替代：
uab 3I 3 0 I 1A
用结点法：
c
44
RR IRI++
aa
uC
1A
320＋V3V
22
2200VV － bb －－ 88 I1
a点
(1 2
1 4)ua
1 20 4
1
ua ub 8V I1 1A IR I1 1 2A
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1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，
总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置
换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的
开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或
等效电阻Req）。
i a
+
Au -b
Req +
Uoc -
ia + u
b
返回 上页 下页
例
a
10 10 +
返回 上页 下页
例 RL=2 R1=1 R2=1 us=51V，求电流 i
21A R1
+
+21V– +
us
–
R2
– us'=34V
8A R1 + 8V –
13A R2
3A R1 + 3V –
5A R2
i i '=1A
+ RL 2V
2A
–
解 采用倒推法：设 i'=1A
则 i us 即 i us i' 51 1 1.5A
最大功率传输定理
第4章 电路定理与应用
小结：
பைடு நூலகம்
最大功率传输定理是戴维宁（诺顿）定理的具体
应用，若一个线性有源二端网络为负载提供最大功率，
其条件是负载电阻应与线性有源二端网络内部独立源
置零后的等效电阻相等，此时为最大功率匹配状态，
且最大功率为： 作业：
率为：
PL max
VO2C 4R
62 44
2.25(W)
第4章 电路定理与应用
+−
+−
+−
4Ω R
(a)
+
6V
− i
2Ω
+ 6V
4i
2i
4Ω
2i' 4Ω
4i'
+
− i'
2Ω
R vOC
2Ω
2Ω
(b)
−
4Ω
+
iS
i''
VOC
2Ω − 2i'R'
Req
2Ω (d)+
4Ω iS
第4章 电路定理与应用
最大功率为：
PL m ax
VOC2 4Req
第4章 电路定理与应用
此时的电路状态称最大功率匹配状态，或称为电
路达到最大功率传输。
如果有源网络用诺顿定理等效，同样可得到此时
的最大功率传输条件仍为Geq = GL，且此时的最大功 率为：
P L m ax
IS2C 4Geq
1 4
Req
I
2 SC
最大功率匹配的条件是在二端网络一定，即VOC 与Req不变的情况下推导出来。
21 瞬时、平均、复功率、最大传输定理
过——功率因数又由高变低(性质不同)
第二十二页，共三十六页。
例 已知：f=50Hz, U=220V, P=10kW, cos1=0.6，要使功
率因数提高(tí gāo)到0.9 , 求并联电容C，并联前后电路
的总电流各为多大？
I
解
cos1 0.6 φ1 53.13
cos2 0.9 φ2 25.84
(
)。
(a)1490；
(b)1053.1 ；
(c)1036.9。
答案(dá àn（)：b）
Z R2 X L2 62 82 10
arctan X L arctan 8 53.10
R
6
Z 1053.10
第一页，共三十六页。
第11章 正弦稳态的功率(gōnglǜ)和 三相电路
§11-1 瞬时功率和平均功率
+i
u
_
线性 网络
u(t) 2U cos(t) i(t) 2I cos(t ) 为u和i的相位差 u i
p(t) ui 2U cos(t) 2I cos(t φ) UI[cos cos(2t )] 第一种分解(fēnjiě)方法 UI cos[1 cos(2t)] UI sin sin(2t)
U cos2 220 0.9
第二十三页，共三十六页。
若要使功率因数从0.9再提高到0.95 , 试问还应增加多少并
联电容(diànróng)，此时电路的总电流是多大？
解
cos1 0.9 φ1 25.84
cos2 0.95 φ2 18.19
C
P
U
2
(tgφ1
tgφ2 )
I 10103 A 47.8A 220 0.95
正确理解交流电中的“四个值教师版
正确理解交流电中的“四个值在交流电这一章， “瞬时值”、“最大值”、“有效值”和“平均值”是四个类似但又有区别的物理量，理解好这四个值对于交流电的学习有很大帮助。
下面本文对这四个值分别做以解析。
1、瞬时值：它是反映不同时刻交流电的大小和方向，正弦交流瞬时值表达式为：t e m ωεsin =，t I i m ωsin =.应当注意必须从中性面开始。
例1．有一正弦交流电源，电压有效值U=120V ，频率为f=50Hz 向一霓虹灯供电，若霓虹灯的激发电压和熄灭电压均为U 0=602V ，试估算在一个小时内，霓虹灯发光时间有多长？为什么人眼不能感到这种忽明忽暗的现象？很明显霓虹灯在工作过程中是忽明忽暗的，而熄灭的时间只有1/300s （如图t 2时刻到t 3时刻）由于人的眼睛具有视觉暂留现象，而这个视觉暂留时间约1/16s 为远大于1/300s ，因此经过灯光刺激的人眼不会因为短暂的熄灭而有所感觉。
2、最大值：也叫峰值，它是瞬时值的最大者，它反映的是交流电大小的变化范围，当线圈平面跟磁感线平行时，交流电动势最大，ωεNBS m =（转轴垂直于磁感线）.电容器接在交流电路中，则交变电压的最大值不能超过电容器的耐压值。
例2．把一电容器C 接在220V 的交流电路中，为了保证电容不被击穿，电容器C 的耐压值是多少？3、平均值：它是指交流电图像中图线与横轴所围成的面积值跟时间的比值.其量值可用法拉第电磁感应定律N =ε·t∆∆ϕ来求，特殊地，当线圈从中性面转过90度的过程中，有m επε2=.计算平均值切忌用算术平均法即221εε+=求解.平均值不等于有效值。
例3．如图2所示，求线圈由图示位置转过60o 角的过程中，通过线圈某一横截面的电量. 解析：在计算电量问题中，一定要用电流、电压平均值图14、有效值：它是根据电流的热效应来规定的.正弦交流电的有效值跟最大值之间的关系是：m U ε21=，m I I 21=.对于非正弦电流的有效值以上关系不成立，应根据定义来求。
最大功率传输定理
题目：最大功率传输定理专业：电气工程及其自动化班级：电气16-5姓名：柳云龙、姜乔林、袁靖昊学号：1605040508、1605040506、1605040522一．导引一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。
二．定理内容设一负载R L电压型电源上，若该电源的电压U S保持规定值和串联电阻R S不变，负载R L可变，则当R L=R S时，负载RL上可获得最大功率。
这就是最大功率传输定理。
三．定理证明：下面所示电路来证明最大功率传输定理。
图a中U S为电源的电压、R为电源的内阻、R L是负载。
该电路可代表电源通过两条传输线向负载传输功率，此时，R S就是两根传输线的电阻。
负载R L所获得的功率P L为P L=I L2R L=(U SR S+R L)2R L=U S2R S+R L∙R LR S+R L=P Sη上式中P S =U S2R S +R L为电源发出的功率，η=R L R S +R L为传输效率。
将R L 看为变量，P L 将随R L 变化而变化，最大功率发生在 dP L dR L=0的条件下，即dP LdR L=U S 2[(R S +R L )2−R L ×2(R S +R L )(R S +R L )]=0求解上式得R L =R S R L 所获得的最大功率P Lmax =U S 2R S (2R S )2=U S24R S当负载电阻R L =R S 时，负载可获得大功率，此种情况称为 R L 与R S 匹配。
最大功率问题可推广至可变化负载R L 从含源一端口获得功率的情况。
将含源一端口（如图b ）用戴维宁等效电路来代替，其参数为U oc 与R eq ，当满足R L = R eq 时，R L 将获得最大功率。
P Lmax =U oc24R eq我们还可以通过对关于功率P 的函数求导来得出同样的结论 2)(Leq oc L R R u R P +=对P 求导：0)()(2)( 422'=++-+=L eq L eq L L eq oc R R R R R R R u P匹配条件R L = R eq最大功率P Lmax =U oc24R eq四．解题步骤① 求开路电压 ② 求等效电阻③ 根据最大功率传输定理求解P maxR LP五．注意事项①最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况。
正弦稳态电路的功率、 复功率 、最大功率传输
U2 XL
0
i
容性负载
+ u -
C
PC=UIcos(-90)=0
发出无功
QC =UIsin (-90)= -UI I 2 X C
U2 XC
0
8
电压、电流的有 UR _
•
U
P UI cos URI
•
+
U_
R+ UX_ jX
U X Q UI sin UX I
不明显。因此一般将cos 提高到0.9左右即可。
21
§9-6 最大功率传输
I
有
源 网 络
负 等效电路 载
Zeq
+
•
U OC
ZL
-
Zeq= Req + jXeq， ZL= RL + jXL
Z=Zeq+ZL= (Req+RL) + j(Xeq+XL)
问：Zeq给定，ZL取何值时获得最大功率？
I
U OC
C
P
U
2
(tanφ1
tanφ2 )
+R
U
_
L
C IL
10 103 (tg53.13 tg25.84) 557 F
314 2202
未并电容时：
I
IL
U
P
cos1
10 103 220 0.6
75.8A
并联电容后：
I
P
10 103
50.5A
U cos2 220 0.9
20
若要使功率因数从0.9再提高到0.95 , 试问还应增
•
•
•
•
I UR
正弦稳态电路的功率、 复功率 、最大功率传输
有功功率守恒 无功功率守恒
S UI S1 S 2 (U1 U 2 ) I 视在功率不守恒
14
3. 功率因数的提高
功率因数：
P cos S
功率因数反映了用电设备的有功功率占供电设备 视在功率的比重。 一般用电设备多为感性负载（可等效为电阻和电 感的串联电路），导致电路的功率因数较低。
UR
电压三角形
I
+ U _
IG G
IB jB
IG
IB
P UI cosφ UIG U Q UI sinφ UI B
I
称 I G 为 I 的有功分量 称 I B 为 I 的无功分量
9
电流三角形
|Z|
R
X
|Y|
G
B
U
UR
UX
I
IG
IB
P
S
Q
相似三角形 5. 正弦交流电路功率的测量
§9-4 正弦稳态电路的功率
I
+
U
-
无源 线性 网络
u (t ) 2U cos t i (t ) 2 I cos(t φ)
φ u i
1. 瞬时功率p(t)
p(t ) u (t )i(t ) 2U cos t 2 I cos(t φ)
UI[cos φ cos( 2t φ)] 第一种分解方法 UI cos φ(1 cos 2t ) UI sin sin 2t
讨论：ZL=RL+jXL获得最大功率的条件？ 1）讨论 ZL=RL+jXL可任意改变的情况 ① 先假设RL不变，XL可变。 当XL = -Xeq时，Z＝Req+RL，P达到最大。
交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值
交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值之宇文皓月创作交变电流的大小和方向都随时间作周期性变更，所以要准确描述交变电流的发生的效果，需要用到“最大值、有效值、瞬时值、平均值”四个物理量。
交流电的“最大值、有效值、瞬时值、平均值”常称为交流电的“四值”。
这四个类似但又有区此外物理量，容易造成混乱，理解好“四值”对于学习交流电有极大的帮忙。
一、 准确掌控概念1. 瞬时值：交流电流、电压、电动势在某一时刻所对应的值称为它们的瞬时值。
瞬时值随时间的变更而变更。
分歧时刻，瞬时值的大小和方向均分歧。
交流电的瞬时值取决于它的周期、幅值和初相位。
以正弦交流电为例（从中性面开始计时）。
则有：其瞬时值为：e=E m sinωti=I m sinωt u=U m sinωt2．最大值：交变电流的最大值是指交变电流在一个周期内所能达到的最大值，它可以用来暗示交变电流的强弱或电压的高低。
以正弦交流电为例。
则有：E m =nBωS，此时电路中的电流强度及用电器两端的电压都具有最大值，即I m =r R E m， U m =I m R 。
3．有效值：交变电流的有效值是根据电流的热效应来定义的，让交变电流和恒定电流通过相同阻值的电阻，如果在相同的时间内发生的热量相等，我们就把这一恒定电流的数值叫做这一交变电流的有效值。
交流电的有效值是根据它的热效应确定的。
交流电流i 通过电阻R 在一个周期内所发生的热量和直流电流I 通过同一电阻R 在相同时间内所发生的热量相等, 则这个直流电流I 的数值叫做交流电流i 的有效值, 用大写字母暗示, 如I 、 U 等。
一个周期内直流电通过电阻R 所发生的热量为：交流电通过同样的电阻R ，在一个周期内所发生热量： 根据定义，这两个电流所发生的热量应相等，即将代入上式i=I m sinωt4．平均值：交变电流的平均值是指在某一段时间内发生的交变电流对时间的平均值。
对于某一段时间或某一过程，其平均感应电动势：I t N E 平均电流→∆∆•=φ=U rR E 平均电压→+=I R • 二、正弦交流电的“四值”之间的关系1、正弦交流电的有效值与最大值的关系： U=m m U U 707.02=，I=m mI I 707.02= 注：I U 是电流、电压的有效值，I m 、U m 是电流、电压的最大值2、正弦交流电的平均值与最大值和有效值的关系：m m P I I I 637.02==π，m m P U U U 637.02==π，I I P 90.0=，U U P 90.0=注：I p 、U p 是电流、电压的平均值三、“四值”解题方法小结：交变电流有四值，即有效值、平均值、最大值和瞬时值．各值何时应用，对照如下情况确定：（1）在研究电容器是否被击穿时，要用峰值（最大值）．因电容器上标明的电压是它在直流电源下工作时所承受的最大值．（2）在研究交变电流的功率和发生的热量时，只能用有效值．（3）在求解某一时刻线圈受到的磁力矩时，只能用瞬时值．（4）在求交变电流流过导体的过程中通过导体截面积的电量时，要用平均值．。
交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值
交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值之蔡仲巾千创作交变电流的大小和方向都随时间作周期性变更，所以要准确描述交变电流的发生的效果，需要用到“最大值、有效值、瞬时值、平均值”四个物理量。
交流电的“最大值、有效值、瞬时值、平均值”常称为交流电的“四值”。
这四个类似但又有区此外物理量，容易造成混乱，理解好“四值”对于学习交流电有极大的帮忙。
一、 准确掌控概念1. 瞬时值：交流电流、电压、电动势在某一时刻所对应的值称为它们的瞬时值。
瞬时值随时间的变更而变更。
分歧时刻，瞬时值的大小和方向均分歧。
交流电的瞬时值取决于它的周期、幅值和初相位。
以正弦交流电为例（从中性面开始计时）。
则有：其瞬时值为：e=E m sinωti=I m sinωt u=U m sinωt2．最大值：交变电流的最大值是指交变电流在一个周期内所能达到的最大值，它可以用来暗示交变电流的强弱或电压的高低。
以正弦交流电为例。
则有：E m =nBωS，此时电路中的电流强度及用电器两端的电压都具有最大值，即I m =rR E m ， U m =I m R 。
3．有效值：交变电流的有效值是根据电流的热效应来定义的，让交变电流和恒定电流通过相同阻值的电阻，如果在相同的时间内发生的热量相等，我们就把这一恒定电流的数值叫做这一交变电流的有效值。
交流电的有效值是根据它的热效应确定的。
交流电流i 通过电阻R 在一个周期内所发生的热量和直流电流I 通过同一电阻R 在相同时间内所发生的热量相等, 则这个直流电流I 的数值叫做交流电流i 的有效值, 用大写字母暗示, 如I 、 U 等。
一个周期内直流电通过电阻R 所发生的热量为：交流电通过同样的电阻R ，在一个周期内所发生热量： 根据定义，这两个电流所发生的热量应相等，即将代入上式i=I m sinωt4．平均值：交变电流的平均值是指在某一段时间内发生的交变电流对时间的平均值。
对于某一段时间或某一过程，其平均感应电动势：I t N E 平均电流→∆∆•=φ=U rR E 平均电压→+=I R • 二、正弦交流电的“四值”之间的关系1、正弦交流电的有效值与最大值的关系： U=m m U U 707.02=，I=m mI I 707.02= 注：I U 是电流、电压的有效值，I m 、U m 是电流、电压的最大值2、正弦交流电的平均值与最大值和有效值的关系：m m P I I I 637.02==π，m m P U U U 637.02==π，I I P 90.0=，U U P 90.0=注：I p 、U p 是电流、电压的平均值三、“四值”解题方法小结：交变电流有四值，即有效值、平均值、最大值和瞬时值．各值何时应用，对照如下情况确定：（1）在研究电容器是否被击穿时，要用峰值（最大值）．因电容器上标明的电压是它在直流电源下工作时所承受的最大值．（2）在研究交变电流的功率和发生的热量时，只能用有效值．（3）在求解某一时刻线圈受到的磁力矩时，只能用瞬时值．（4）在求交变电流流过导体的过程中通过导体截面积的电量时，要用平均值．。
交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值
交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值交变电流的大小和方向都随时间作周期性变化，所以要准确描述交变电流的产生的效果，需要用到“最大值、有效值、瞬时值、平均值”四个物理量。
交流电的“最大值、有效值、瞬时值、平均值”常称为交流电的“四值”。
这四个类似但又有区别的物理量，容易造成混乱，理解好“四值”对于学习交流电有极大的帮助。
准确把握概念1. 瞬时值：交流电流、电压、电动势在某一时刻所对应的值称为它们的瞬时值。
瞬时值随时间的变化而变化。
不同时刻，瞬时值的大小和方向均不同。
交流电的瞬时值取决于它的周期、幅值和初相位。
以正弦交流电为例（从中性面开始计时）。
则有：其瞬时值为：e=Emsinωti=Imsinωt u=Umsinωt2．最大值：交变电流的最大值是指交变电流在一个周期内所能达到的最大值，它可以用来表示交变电流的强弱或电压的高低。
以正弦交流电为例。
则有：Em=nBωS，此时电路中的电流强度及用电器两端的电压都具有最大值，即Im=，Um=ImR。
3．有效值：交变电流的有效值是根据电流的热效应来定义的，让交变电流和恒定电流通过相同阻值的电阻，如果在相同的时间内产生的热量相等，我们就把这一恒定电流的数值叫做这一交变电流的有效值。
交流电的有效值是根据它的热效应确定的。
交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相等, 则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写字母表示, 如I、U 等。
一个周期内直流电通过电阻R所产生的热量为：交流电通过同样的电阻R，在一个周期内所产生热量：根据定义，这两个电流所产生的热量应相等，即将代入上式i=Imsinωt4．平均值：交变电流的平均值是指在某一段时间内产生的交变电流对时间的平均值。
对于某一段时间或某一过程，其平均感应电动势：==二、正弦交流电的“四值”之间的关系1、正弦交流电的有效值与最大值的关系：U=，I=注：I U 是、的，Im、Um是电流、电压的最大值2、正弦交流电的与最大值和有效值的关系：，，，注：Ip、Up是电流、电压的平均值三、“四值”解题方法小结：交变电流有四值，即有效值、平均值、最大值和瞬时值．各值何时应用，对照如下情况确定：（1）在研究电容器是否被击穿时，要用峰值（最大值）．因电容器上标明的电压是它在直流电源下工作时所承受的最大值．（2）在研究交变电流的功率和产生的热量时，只能用有效值．（3）在求解某一时刻线圈受到的磁力矩时，只能用瞬时值．（4）在求交变电流流过导体的过程中通过导体截面积的电量时，要用平均值．。
一文弄清电压和电流的有效值、瞬时值、平均值、最大值及其关系
一文弄清电压和电流的有效值、瞬时值、平均值、最大值及其关系电压电压（voltage），也称作电势差或电位差，是衡量单位电荷在静电场中由于电势不同所产生的能量差的物理量。
其大小等于单位正电荷因受电场力作用从A点移动到B点所做的功，电压的方向规定为从高电位指向低电位的方向。
电压的国际单位制为伏特（V，简称伏），常用的单位还有毫伏（mV）、微伏（μV）、千伏（kV）等。
“电压”一词一般只用于电路当中，“电势差”和“电位差”则普遍应用于一切电现象当中，也就是说专词专用，以免混淆。
直流电压与交流电压如果电压的大小及方向都不随时间变化，则称之为稳恒电压或恒定电压，简称为直流电压，用大写字母U表示。
如果电压的大小及方向随时间变化，则称为变动电压。
对电路分析来说，一种最为重要的变动电压是正弦交流电压(简称交流电压)，其大小及方向均随时间按正弦规律作周期性变化。
交流电压的瞬时值要用小写字母u或u(t)表示。
在电路中提供电压的装置是电源（电压源）。
因为有这两种电压的存在，所以才有了几种不同的名称，同时不同的名称也代表不同的含义。
所以我们分为两个方面讨论：直流电压：根据定义直流电压的的大小及方向都不随时间变化，因此就没有瞬时值的概念，在作用时间内电压值处处相等。
或者也可以说存在瞬时值，只是处处都相等，就没有必要在去讨论这个瞬时值的概念了。
同时也没有最大值以及平均值，有效值都没有讨论的意义，所以我们只讨论交流电。
交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值交变电流的大小和方向都随时间作周期性变化，所以要准确描述交变电流的产生的效果，需要用到“最大值、有效值、瞬时值、平均值”四个物理量。
交流电的“最大值、有效值、瞬时值、平均值”常称为交流电的“四值”。
这四个类似但又有区别的物理量，容易造成混乱，理解好“四值”对于学习交流电有极大的帮助。
1.瞬时值：交流电流、电压、电动势在某一时刻所对应的值称为它们的瞬时值。
瞬时值随时间的变化而变化。
正弦交流电路的瞬时功率、平均功率与功率因数、功率三角形、视在功率、无功功率
正弦交流电路的瞬时功率、平均功率与功率因数、功率三角
形、视在功率、无功功率
一、瞬时功率
电路在任一瞬间吸收的功率称为瞬时功率。
设正弦交流电路输入端口的电压与电流取关联参考方
向，它们分别为，，则
式中为电压与电流的相位差。
二、平均功率与功率因数
瞬时功率的平均值称为平均功率，也称有功功率，用 P 表示，单位
为瓦（ W ）。
根据定义可知：
可见： 1) P 是一个常量，不仅与电压、电流有效值有关，还与它们相位差的余弦有关。
2) 式中称为功率因数，通常用表示，即。
因为
，
所以。
3) 对于纯电阻来说，电压与电流同相，，；
对于纯电感来说，电压超前电流，，所以；
而对于纯电容来说，电压滞后电流，，所以。
4 ）平均功率守恒，即
三、无功功率
正弦稳态一端口电路内部与外部能量交换的最大速率定义为无功功率，用字母 Q 表示，单位
为乏。
可见： 1) Q 也是一个常量，由 U 、 I 及三者乘积确定。
2)
3 ）无功功率也守恒，即
四、视在功率
在电工技术中，把电路端口电压有效值与电流有效值的乘积称为电路的视在功率，用字母 S 表示，
单位为伏安（ VA ），即
它反映电源设备的额定容量。
* 视在功率无物理意义，不满足守恒定律。
五、功率三角形
P 、 Q 和 S 三者之间可用三角形联系起来，此三角形称为功率三
角形，如图所示。
例：已知某二端口的总电压V ，总电流
A ，
求该二端口的 P 、 Q 、 S 、及。
解：W
var
VA。
最大传输功率定理
最大传输功率定理
最大传输功率定理（MaximumPowerTransferTheorem）是电路理论中一个重要的定理，它描述了如何在一个电路中实现最大的能量转移。
根据该定理，当一个外部电路与一个电源电路相连接时，最大的能量传输发生在外部电路的内阻等于电源电路的内阻时。
此时，外部电路中的负载能够吸收最大的功率，电源电路中的输出功率也达到最大值。
这个定理对于电路设计和优化非常有用，因为它可以帮助我们选择最佳的电路参数，以最大化能量的传输和利用。
同时，它也有助于我们理解电路中能量转移的基本原理和机制。
- 1 -。
电路分析复功率、最大功率传递定理
(60 2)2 =120W 有 P ax = m 4×15
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b b P =0 ∑ k ∑(P + jQk ) = ∑Sk =0 k k =1 b k =1 k =1 ∑Qk = 0 ∵U ≠ U1 +U2 ∴S ≠ S1 + S2 k=1 注意 复功率守恒, 视在功率不守恒 复功率守恒, .
b
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例 求电路各支路的复功率
+ 解1
ɺ ɺ 10Ω I2 I1
RLU U P= = Pmax(R + R )2 i 4R L
i
22 SS
显然， 获得最大值。 显然，当Xi + XL=0，即XL =-Xi时，P 获得最大值。 ， b)再讨论 改变时， b)再讨论 RL 改变时，P 的最大值 当RL= Ri 时，P 获得最大值
最佳 匹配 条件
RL= Ri XL =-Xi
L
P ax = I 2Ri =1×5 = 5W m
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例 求ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率。 时能获得最大功率，并求最大功率。 时能获得最大功率
ɺ I
-j30Ω 30Ω ZL Zi + US •
ɺ I
ZL
-j30Ω
4∠90 A
o
解
Zi = −j30 + (−j30 // 30) =15 − j45Ω ɺ US = 4j× (−j30 // 30) = 60 2∠450
2. 当 RL = R + X = 5 ＋ = 7.07Ω 获最大功率 5
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交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值
交流电的瞬时值、最大值、有效值和平均值交变电流的大小和方向都随时间作周期性变化，所以要准确描述交变电流的产生的效果，需要用到“最大值、有效值、瞬时值、平均值”四个物理量。
交流电的“最大值、有效值、瞬时值、平均值”常称为交流电的“四值”。
这四个类似但又有区别的物理量，容易造成混乱，理解好“四值”对于学习交流电有极大的帮助。
准确把握概念1. 瞬时值：交流电流、电压、电动势在某一时刻所对应的值称为它们的瞬时值。
瞬时值随时间的变化而变化。
不同时刻，瞬时值的大小和方向均不同。
交流电的瞬时值取决于它的周期、幅值和初相位。
以正弦交流电为例（从中性面开始计时）。
则有：其瞬时值为：e=Emsinωti=Imsinωt u=Umsinωt2．最大值：交变电流的最大值是指交变电流在一个周期内所能达到的最大值，它可以用来表示交变电流的强弱或电压的高低。
以正弦交流电为例。
则有：Em=nBωS，此时电路中的电流强度及用电器两端的电压都具有最大值，即Im=，Um=ImR。
3．有效值：交变电流的有效值是根据电流的热效应来定义的，让交变电流和恒定电流通过相同阻值的电阻，如果在相同的时间内产生的热量相等，我们就把这一恒定电流的数值叫做这一交变电流的有效值。
交流电的有效值是根据它的热效应确定的。
交流电流i通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电流I通过同一电阻R在相同时间内所产生的热量相等, 则这个直流电流I的数值叫做交流电流i的有效值, 用大写字母表示, 如I、U 等。
一个周期内直流电通过电阻R所产生的热量为：交流电通过同样的电阻R，在一个周期内所产生热量：根据定义，这两个电流所产生的热量应相等，即将代入上式i=Imsinωt4．平均值：交变电流的平均值是指在某一段时间内产生的交变电流对时间的平均值。
对于某一段时间或某一过程，其平均感应电动势：==二、正弦交流电的“四值”之间的关系1、正弦交流电的有效值与最大值的关系：U=，I=注：I U 是、的，Im、Um是电流、电压的最大值2、正弦交流电的与最大值和有效值的关系：，，，注：Ip、Up是电流、电压的平均值三、“四值”解题方法小结：交变电流有四值，即有效值、平均值、最大值和瞬时值．各值何时应用，对照如下情况确定：（1）在研究电容器是否被击穿时，要用峰值（最大值）．因电容器上标明的电压是它在直流电源下工作时所承受的最大值．（2）在研究交变电流的功率和产生的热量时，只能用有效值．（3）在求解某一时刻线圈受到的磁力矩时，只能用瞬时值．（4）在求交变电流流过导体的过程中通过导体截面积的电量时，要用平均值．。
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1 L | Z | R 502 30 2 H 0.127H 314
2
1
解法 3
P UI cos
U 50 |Z | 50Ω I 1
P 30 cos 0.6 UI 50 1
R Z cos 50 0.6Ω 30
X L |Z |sin 50 0.8Ω 40Ω
i
+ u i + u -
PC=UIcos =UIcos(-90)=0 C QC =UIsin =UIsin (-90)= -UI= I2XC
6. 任意阻抗的功率计算 + i u -
PZ =UIcos =I2|Z|cos =I2R Z QZ =UIsin =I2|Z|sin =I2X ＝I2(XL＋XC)=QL＋QC
（3）并联电容，提高功率因数。
分析 +Biblioteka IR IL IC
1 2
U _
特点：
C
I
U
IC
L
IL
并联电容后，原负载的电压和电流不变， 吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的 工作状态不变。但电路的功率因数提高了。
并联电容的确定：
IC I L sin 1 I sin 2
P=UIcos 无功功率: Q=UIsin
有功功率: 视在功率: S=UI
单位：W 单位：var 单位：V· A
S P Q
2
2
S
P
Q
功率三角形
5. R、L、C元件的有功功率和无功功率
+ i u -
PR =UIcos =UIcos0 =UI=I2R=U2/R R QR =UIsin =UIsin0 =0 PL=UIcos =UIcos90 =0 L QL =UIsin =UIsin90 =UI=I2XL
荧光灯
空载 cos =0.2~0.3 满载 cos =0.7~0.85 cos =0.45~0.6
② 当输出相同的有功功率时，线路上电流大 ， I=P/(Ucos)，线路压降损耗大。
+ u i Z
P UI cos
1 2
I
U
I U
cos
I
解决办法： （1）高压传输。 （2）改进自身设备。
Z 1053.10
第11章 正弦稳态的功率和 三相电路
§11-1 §11-2 §11-3 §11-4 §11-5 §11-6 重点： 1、正弦稳态电路的功率分析 2、对称三相电路的分析 瞬时功率和平均功率 复功率 最大功率传输定理 平均功率的叠加 三相电路 电路设计和计算机分析电路实例
§11-1 瞬时功率和平均功率
P 将 I U cos 2 P , IL 代入得 U cos 1
1 2
I
U
IC
IC CU P (tan1 tan2 ) U
C P 2 ( tan1 tan2 ) U
补偿 容量 不同
IL
欠 全——不要求(电容设备投资增加,经济效 果不明显) 过——功率因数又由高变低(性质不同)
例2
+
I
D
IC
ID
U_
C
已知：电动机 PD=1 000W， U=220V，f =50Hz，C =30F cos D=0.8，求：负载电路 的功率因数。
解
PD ID 1 000 A 5.68A UcosφD 220 0.8
cosD 0.8(感性） ,
D 36.8
P UI cos
P 的单位：W（瓦）
=u-i：功率因数角。对不含独立源的线
性网络，为其等效阻抗的阻抗角。
cos ：功率因数。
cos
1, 纯电阻 0， 纯电抗
一般地 , 有： 0 <cos<1
X>0, >0 , 感性; X<0, <0 , 容性。 结论
平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有 功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电 压、电流有效值有关，而且与cos 有关，这是交 流和直流的很大区别, 主要由于电压、电流存在 相位差。
*
+
I
负 载
I * 单位 V A S U
其中：
U _
2、物理意义
S U I U u I i UI u i S
*
S S cos jS sin P jQ
*
结论
① S 是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量。 S S 把 P、Q、S 联系在一起，它的实部是平均 功率，虚部是无功功率，模是视在功率。 复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电 路的所有支路吸收的复功率之和为零。即
若要使功率因数从0.9再提高到0.95 , 试问还应增 加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？ 解
cos 1 0.9
φ1 25.84
φ2 18.19 10 103 P I A 47.8A C (tgφ1 tgφ2 ) 2 U 220 0.95
10 103 (tan25.84 tan18.19 )F 103μ F 314 2202
3. 无功功率 Q
Q UI sin
def
单位：var (乏)
Q>0，表示网络吸收无功功率。 Q<0，表示网络发出无功功率。 Q 的大小反映网络与外电路交换功率的速率。是 由储能元件L、C的性质决定的
4. 视在功率S
S UI
def
电气设备的容量
单位: V A (伏安)
有功，无功，视在功率的关系：
阻抗三角形、电压三角形、功率三角形 将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形 将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形 S 2 2 U U R (U L U C ) U Z U R U cos Q U U
U X U si n
X L XC
L
uL t
pC
L发 出 功率 时 ， C刚 好吸收功率，与外电路 交换功率为 pL+pC。L、 C的无功功率具有互相 补偿的作用。
i uC
O
t
电压、电流的有功分量和无功分量： 以感性负载为例 UR _ I +
P UI cos U R I
U
Q UI sin U X I
C
Z R 2 ( X L X C )2
R
2
UR
2
P
R Z cos X Z si n
S P Q P S cos Q S si n
导纳三角形、电流三角形、功率三角形 将电流三角形的有效值同除U得到导纳三角形
将电流三角形的有效值同乘U得到功率三角形 S
I I R 2 (I L I C )2
I R I cos I X I sin
Y G (BL BC )
2 2
Y
I
BL BC I L I C
G
2
Q P
IR
2
G Y cos B Y sin
S P Q P S cos Q S si n
例1
三表法测线圈参数。已 知 ： f=50Hz ， 且 测 得 U=50V，I=1A，P=30W。 * I W A 解法 1 * + R S UI 50 1 50V A Z U V L Q S 2 P 2 502 302 _
课前提问：
( 某感性器件的电阻R=6，感抗XL=8，则其复阻抗Z为 )。 (a)1490； (b)1053.1 ； (c)1036.9。 答案： （b）
Z R 2 X L 2 62 82 10
XL 8 arctan arctan 53.10 R 6
40 var
P 30 R 2 30 I 1
Q 40 XL 2 40 I 1
40 L 0.127H 100π
XL
解法2
|Z |
PI R
2
P 30 R 2 2 Ω 30Ω I 1
U 50 Ω 50Ω I 1
又
2
|Z | R 2 ( L) 2
第二种分解方法
第一种分解方法：
p(t ) UI [cos cos(2t )] p UIcos 恒定分量
u
i
O
t
UIcos (2 t －) 为正弦分量
p 有时为正, 有时为负。 p>0, 电路吸收功率。 p<0，电路发出功率。
第二种分解方法：
p(t ) UI cos[1 cos(2t )] UI sin sin(2t )
例
解
C
已知：f=50Hz, U=220V, P=10kW, cos1=0.6，要 使功率因数提高到0.9 , 求并联电容C，并联前 I 后电路的总电流各为多大？ IL cos 1 0.6 φ1 53.13 IC + R cos 2 0.9 φ2 25.84 C U L P _
QL I 2 X L 0 QC I 2 X C 0 吸收无功功率为正 吸收无功功率为负
(发出无功)
S P2 Q2 I 2 R 2 X 2 I 2 Z
S
P
Q
相似三角形
Z
R
X
电感、电容的无功补偿作用 i R L + u - + u LC -C pL i
O
+ u -
cos 2 0.95