(精品)数学讲义七年级秋季班-第18讲：中心对称与轴对称-教师版

中心对称与轴对称内容分析理解两个图形关于某一点中心对称的意义．能够区分中心对称与中心对称图形．掌握轴对称、轴对称图形的概念，知道轴对称与轴对称图形区别，会利用有关性质画出已知图形关于某一条直线对称的图形．重点理解相关概念，能够判断出图形特点．知识结构模块一：中心对称知识精讲1、中心对称的概念把一个图形绕着一个定点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．2、中心对称图形的特征中心对称是旋转对称的特例，关于中心对称的两个图形能完全重合．关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分，关于对称中心的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等；反过来，如果两个图形的对应点连接成的线段都经过某一点并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这点成中心对称，这给我们提供了判断某两个图形是否成中心对称的方法．2/ 233、中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称是两个图形而言的，指两个图形间的关系；而中心对称图形是对一个图形而言的，指一个图形的两个部分之间的关系．成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上．若把中心对称图形的两个部分看成两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成中心对称图形．【例1】下列图案都是由字母“m”经过变形、组合而成的．其中不是中心对称图形的是（）．A B C D【难度】★【答案】B【解析】根据中心对称图形的概念可知，DCA、、均是中心对称图形．【总结】本题考查了中心对称图形的定义．【例2】在下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（）A B C D【难度】★【答案】B【解析】根据中心对称图形的概念可知，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180后与原图重合，故选B．【总结】本题考查了中心对称图形的定义．例题解析【例3】关于中心对称的两个图形所有对应点的连线________交于一点．（填“一定”、“不一定”）【难度】★【答案】一定．【解析】关于中心对称的两个图形，对应点的连线必过对应中心．【总结】本题考查了中心对称的性质．【例4】请写出两个是中心对称图形的汉字_________．【难度】★【答案】日、田等．【解析】中心对称图形是图形沿对称中心旋转180后与原图重合．【总结】本题考查了中心对称的应用．【例5】如图所示的图形是由三个半圆组成的图形，点O是大半圆的圆心，且AC = CD =DB，则此图关于点O成中心对称的图形是（）A B C D【难度】★★【答案】C【解析】可以把原图形绕着O点旋转180，刚好与答案C的图形重合．【总结】本题考查了中心对称的定义．4 / 23【例6】（1）线段；（2）两条相交直线；（3）角；（4）等腰三角形；（5）等边三角形；（6） 平行四边形；（7）矩形；（8）菱形；（9）正方形；（10）圆；（11）等腰梯形等图形中是中心对称图形的是______________________．（填序号）【难度】★★【答案】（1），（6），（7），（8），（9），（10）【解析】常见中心对称图形：矩形、菱形、正方形、平行四边形、圆、线段、正偶边形等． 【总结】本题考查了常见中心对称图形，注意直线不是轴对称图形．【例7】若两个图形关于某点成中心对称，则下列说法中，正确的有（）个．① 对应线段相等；②对应角相等；③周长相等；④面积相等． A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★ 【答案】D【解析】中心对称的性质：对应角相等、对应线段相等、两个图形全等． 【总结】本题考查了中心对称的性质．【例8】请画出△ABC 关于点O 成中心对称的对称图形． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】依次连结CO BO AO 、、，并延长CO BO AO 、、到C B A '''、、，使得 A O AO B O BO C O CO '''===，，，连结C B A '''、、即为所求图形．所以C B A '''∆为所求．【总结】本题考查了作中心对称图形，注意找关键点．【例9】请把图中的中心对称图形补画完整．【难度】★★【答案】见解析．【解析】【总结】本题考查了利用中心对称图形的性质进行画图．【例10】如图，由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图）．请你在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为中心对称图形．【难度】★★【答案】见解析【解析】【总结】本题考查了学生对中心对称图形的概念理解．【例11】如图，两个图形关于某点中心对称，看谁能用最简单的方法找出对称中心．你的根据是什么？【难度】★★【答案】见解析．【解析】找对称中心就是连接两组对应点的连线的交点；对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．所以点O为所求．【总结】本题考查了中心对称的性质．6 / 23【例12】请你用剪刀剪去等边三角形三个角，使余下的部分成为一个中心对称图形，应该怎样剪？【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】如图所示正六边形DEFGPQ 为中心对称图形．（做等边三角形的三等分点即可）【总结】本题考查了中心对称图形的知识．【例13】如图：已知矩形ABCD 的两边AB = 4厘米，BC =12厘米 （1）在图1中画出矩形ABCD 的对称中心．(不写结论)（2）动点P 从点A 出发，以每秒2厘米的速度沿AD 边向点D 移动，动点Q 同时从点B出发，以每秒1厘米的速度沿BC 边向点C 移动 ，联结PQ 得图2 ． 问：①当P 、Q 出发几秒后，梯形ABQP 的面积是梯形PQCD 面积的两倍； ② 当P 、Q 出发几秒后，图2是一个中心对称图形． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）如图1；（2）解：设运行的时间为x 秒钟，则x AP 2=，x BQ =．①PQCD ABQP S S 梯形梯形2= ， ()()CQ PD CD AP BQ AB +⨯=+∴21221()()x x x x -+-=+⨯∴1221242421，化简得：9618=x ，解得：316=x ．∴当Q P 、出发316秒钟后，梯形ABQP 的面积是梯形PQCD 面积的两倍． ②由题意得PD BQ =， x x 212-=∴，即4=x ． ∴当Q P 、出发4秒后，图2是一个中心对称图形． 【总结】本题考查了中心对称图形的应用．模块二：轴对称知识精讲1、翻折与轴对称图形（1）把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．（2）轴对称图形是一个图形关于某直线对称；轴对称是两个图形关于某条直线对称．2、轴对称（1）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称．（2）轴对称的图形的性质：两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；在成轴对称的两个图形中，分别连接两对对应点，取中点，连接两个中点所得的直线就是对称轴．例题解析【例14】下列几何图形中，①线段；②角；③圆；④等腰三角形；⑤直角三角形；其中是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★【答案】D【解析】把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【总结】本题考查了常见的轴对称图形．8 /23【例15】下列图形中对称轴最多的是（ ）A ．圆B ．正方形C ．等腰三角形D ．线段【难度】★ 【答案】A【解析】圆有无数条对称轴；正方形有4条对称轴；等腰三角形有1条对称轴；线段有2条对称轴．【总结】本题考查了轴对称图形的对称轴．【例16】下列图案中是轴对称图形的是（）A B C D【难度】★ 【答案】D【解析】把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【总结】本题考查了对生活中的轴对称图形的辨识．【例17】作出下图所示的图形的对称轴：【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】【总结】本题考查了对称轴的画法．2008年北京 2004年雅典 1988年汉城 1980年莫斯科【例18】正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．【难度】★【答案】6【解析】正六边形有6条对称轴，分别是3条对角线所在直线及3组对边的垂直平分线．【总结】本题考查了轴对称图形的对称轴的个数．【例19】在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是( )①中心对称；②旋转；③轴对称；④平移．A．①②B．②③C．③④D．①④【难度】★★【答案】D【解析】图形的方向发生了改变，不符合平移；绕定点旋转180后，图形不能与自身重合，故不含中心对称．【总结】本题考查了中心对称、旋转、轴对称、平移的特点．【例20】将一圆形纸片对折后再对折，得到图3-1中图3，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是( )A B C D【难度】★★【答案】C【解析】根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线相互垂直，故选C．【总结】本题考查了图形的变换，注意减掉的图形的特征．10 / 23l C'B'A'CBA【例21】如图，ABC ∆和'''A B C ∆关于直线l 对称，且90B ∠=︒，''6cm A B =，求'B ∠的度数和AB 的长．【难度】★★【答案】cm AB B 690=='∠， ．【解析】如果两个图形关于某一直线成轴对称，则它们的对应线段相等，对应角相等．所以cm B A AB B B 690=''==∠='∠， ．【总结】本题考查了轴对称图形的性质．【例22】尺规：把右图（实线部分）补成以虚线l 为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案（不用写作法、保留作图痕迹）．【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】【总结】本题考查了利用轴对称设计图案．【例23】如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们组成轴对称图形．（试用两种方法） 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】【总结】本题考查了利用轴对称设计图案BAa【例24】如图，等边ABC ∆的边长为a cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点A '处，且点A '在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为________________ cm ． 【难度】★★ 【答案】a 3．【解析】 等边ABC ∆的边长为acm ，acm AC BC AB ===∴， ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点A '处， E A AE D A AD '='=∴,，∴阴影部分的周长为BC AC AB BC CE BD E A D A ++=+++'+' a a a ++=()cm a 3=． 【总结】本题考查了简单图形的折叠问题．【例25】如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】作点A 关于直线a 的对称点A '，连接B A '，交直线a 于点M ，点M 为所求．【总结】本题考查了轴对称图形在实际问题中的应用．12 / 23F Q 1P 1QP DB AC 【例26】打台球问题，在一个长方形球台ABCD 上，点P 、点Q 各放着一个球，现在要求 点P 的球先碰AB 边，反弹BC 边，最后反弹碰到Q 的球．问点P 的球应该撞击AB 的哪一点，才能够达到上述要求？【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】在AB 边的另一侧作出P 点的对称点1P ，在BC 的另一侧作出Q 的对称点1Q ，连接11Q P 、，所得直线与AB 的交点F ，即为点P 的球应该撞击AB 的位置． 【总结】本题考查了图形的对称问题，综合性较强，注意认真分析．【例27】地面上有不共线的三点A 、B 、C ，一只青蛙位于异于A 、B 、C 的点P ．第一步， 青蛙从P 点跳到关于A 的对称点1P ；第二步，青蛙从1P 跳到关于B 的对称点2P ；第三 步，青蛙从2P 跳到关于C 的对称点3P ；第四步，从3P 跳到关于A 的对称点4P ；…，如此不断地跳下去，问青蛙跳完6666步后落在什么位置上？【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】由图可知：431AP AP AP PA ==， ，两对角相等，∴4PP 平行且等于31P P ，如果有65P P ，则同样可得51P P 平行且等于42P P ,62P P 平行且等于53P P ，531P P P 构成一个三角形，同理42P PP 也构成一个三角形，两个三角形中两个边分别平行 且相等，可证明另一边平行且相等，这样就可以证明2PP 与62P P 重合，即6P 就是P ，则每6步是一个轮回，故6666步落于点P ．【总结】本题考查了图形的对称规律，注意认真分析．【习题1】下列“QQ 表情”中属于轴对称图形的是（ ）A B C D【难度】★ 【答案】C【解析】把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【总结】本题主要考查了简单的轴对称图形的判断．【习题2】下列交通标志中，不是轴对称图形的是（ ）ABCD【难度】★ 【答案】C【解析】把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【总结】本题考查了简单的轴对称图形．【习题3】下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A B C D【难度】★随堂检测14 / 23【答案】B【解析】根据中心对称图形的概念可知，中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180后与原图重合．【总结】本题考查了中心对称图形的概念．【习题4】正2n 边形，有______条对称轴，它有________个对称中心． 【难度】★ 【答案】n 2；1．【总结】本题考查了轴对称图形的定义及对称轴的条数．【习题5】下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）ABCD【难度】★★ 【答案】C【解析】把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180后与原图重合．【总结】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义．【习题6】下列图案中，有且只有三条对称轴的是（ ）A B C D【难度】★★ 【答案】D【解析】A 有两条对称轴；B 有四条对称轴；C 不是轴对称图形． 【总结】本题考查了轴对称图形的对称轴的条数．④③②①【习题7】下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个 图形，并简述你的理由． 答：图形_______________；理由是________________．【难度】★★【答案】②；只有②不是轴对称图形．【解析】四个图形中，只有②不是轴对称图形，其余都是． 【总结】本题考查了几何图形的变换性质．【习题8】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰梯形C ．正方形D ．平行四边形【难度】★★ 【答案】C【解析】A 是轴对称图形，但不是中心对称图形；B 是轴对称图形，但不是中心对称图形； D 不是轴对称图形，但是中心对称图形．【总结】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义．【习题9】下列说法中错误的是（）．A ．圆有无数条对称轴，一个对称中心B ．等边三角形有三条对称轴，三个对称中心C ．正方形有四条对称轴，一个对称中心D ．等腰梯形仅有一条对称轴，没有对称中心【难度】★★ 【答案】B【解析】所有中心对称图形都只有一个对称中心；故B 错误． 【总结】本题考查了常见的轴对称图形特点．16/ 23A【习题10】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：【难度】★★【答案】【解析】【总结】本题考查了成轴对称图形对称轴的画法，主要是找出关键点．【习题11】如图，画出半圆A关于点F中心对称的图形．【难度】★★【答案】见解析【解析】作半圆的直径的两外端点点关于点F对称点，再画半圆．【总结】本题考查了中心对称图形的画法．【习题12】如图（1）（2）所示的两组长方形能否关于某一点成中心对称？若能，则请画出其对称中心．【难度】★★【答案】见解析【解析】（1）能成中心对称；（2）不能．如图（1）点O为所求．【总结】本题考查了中心对称的两个图形，对称中心的画法．【习题13】如图是由3个同样的小正方形所组成，请再补上一个同样的小正方形，使得由4个小正方形组成的图形成为一个中心对称图形．要求：画出所有的情况，并且在所添画的正方形中用数字标出．【难度】★★★【答案】见解析【解析】共有三种情况．【总结】本题考查了中心对称图形的定义．【习题14】如图跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为已方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（）A．2步B．3步 C．4步D．5步【难度】★★★【答案】B【解析】【总结】本题考查了‘桌球问题’中的轴反射．18 / 23POBA【习题15】如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，且OP = 2，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)， 求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小，并求出最小值．【难度】★★★ 【答案】22． 【解析】如图：分别作P 关于OB OA 、的对称点N M 、，连接MN 交OB OA 、于R Q 、，则PQR∆ 符合条件，连接ON OM 、，则2===OP ON OM ,PQR ∆的周长MN PR QR PQ =++=， 则 904522=⨯=∠=∠+∠=∠AOB NOP MOP MON ，所以MON ∆为等腰直角三角形，222222=+=∴MN ．【总结】本题考查了轴对称图形的性质及勾股定理的应用，综合性较强，注意认真分析．【作业1】下面四个标志图是中心对称图形的是（ ）【难度】★ 【答案】B【解析】生活中的中心对称图形，参考中心对称图形定义． 【总结】本题考查了中心对称图形的定义．课后作业AB CD【作业2】正八边形________中心对称图形．（填“是”或“不是”）．【难度】★【答案】是【解析】因为将正八边形绕正八边形的中心旋转180后能够与自身重合，所以为中心对称图形．【总结】本题考查了中心对称图形的定义．【作业3】圆______是中心对称图形，两个圆__________关于某点成中心对称．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）【难度】★【答案】一定；不一定．【解析】圆是中心对称图形，因为不确定两个圆的大小，所以两个圆不一定关于某点成中心对称．【总结】本题考查了圆这个基本图形的中心对称性．【作业4】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D【难度】★【答案】D【解析】A是轴对称图形，但不是中心对称图形；B是轴对称图形，但不是中心对称图形；C不是轴对称图形，但是中心对称图形．【总结】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义．20 / 23ODCB Al【作业5】如图，直线L 是四边形ABCD 的对称轴，若AB CD =，有下面的结论：①AB CD ∥；②AC BD ⊥； ③AO OC =； ④AB BC ⊥，其中正确的结论有_______．【难度】★★ 【答案】①②③．【解析】解：轴对称图形的两部分是全等的，所以①②③正确． 【总结】本题考查了轴对称图形的性质．【作业6】如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是 ．（1）（2）（3）（4）【难度】★★ 【答案】D【解析】当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边的位置打3个洞，则直角顶点处完好，则原正方形中间无损，且有12个洞．【总结】本题考查了空间思维及折叠处理实际问题．【作业7】下图中②③④⑤分别由①图顺时针旋转180°变换而成的是____________．①②③④⑤【难度】★★ 【答案】④．【解析】根据中心对称图形的概念可知，中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180后与原图重合．【总结】本题考查了中心对称图形的定义．【作业8】某校计划建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等边三角形、等腰梯形、菱形、正五边形等四种方案，你认为符合条件的是（）A．等边三角形B．等腰梯形 C．菱形D．正五边形【难度】★★【答案】C．【解析】等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形；正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．【总结】本题考查了基本图形的特性．【作业9】两个完全一样的三角形，可以拼出各种不同的图形，如图已画出其中一个三角形，请你分别补画出另一个与其一模一样的三角形，使每个图形分别构成不同的中心对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）．【难度】★★【答案】【解析】【总结】本题考查了中心对称图形的定义及画图．22 / 23OE BF DC A 【作业10】在由小正方形组成的L 形的图中，用三种不同方法添画一个小正方形，使它成为 轴对称图形．方法一 方法二 方法三【难度】★★★【答案】见解析【解析】【总结】本题考查了轴对称图形的性质．【作业11】菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直平分，相交于点O ，O 就是它的对称中心，过它的顶点A 、D 向BC 及其延长线作垂线AE 、DF ，E 、F 为垂足，图中的三角形可以看作（1）由平移变换得到的有_________对，它们是__________；（2）由旋转变换得到的有_________对，它们是__________； （3）由翻折变换得到的有_________对，它们是__________． 【难度】★★★【答案】见解析【解析】（1）由平移变换得到的有1对，为DCF ABE ∆∆和；（2）由旋转变换得到的有4对，为BOC AOD ∆∆和、DOC AOB ∆∆和、 BDC ABD ∆∆和、ACD ABC ∆∆和； （3）由翻折变换得到的有6对，为AOD ABO BCD BAD ACD ABC ∆∆∆∆∆∆和、和、和 DOC AOD BOC ABO DOC BOC ∆∆∆∆∆∆和、和、和．【总结】本题考查了图形的几种变换，注意每种变换的特征．B A l【作业12】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得AM BM 最大．【难度】★★★【答案】见解析【解析】连接AB 与l 的交点即为M ，根据三角形两边之差小于第三边．【总结】本题考查了图形最值问题的实际操作问题．【作业13】两个人轮流在一张圆心桌面上摆放硬币，规则是每人每次摆一枚，硬币不能互相重叠，也不能有一部分在桌面的边缘之外，摆好之后不许再移动，这样经过多次摆放， 直到谁最先摆不下硬币谁就认输，按照这个规则，你用什么方法才能保证取胜？【难度】★★★【答案】争取先放，并且把第1枚硬币放在桌面的对称中心上．【解析】你要争取先放，并且把第1枚硬币放在桌面的对称中心上，以后你应该根据对方所放硬币的位置，在它关于中心对称的位置上放下一枚同样大小的下一枚硬币，你就能保 证在其对称位置上放下一枚同样大小的硬币，即可．【总结】本题考查了中心对称的性质运用．。