线性代数4-习题课1

1 1 0 1 2
~r

2
r
1

0
0
1 1
1 1
2 2
4 4
0 1 1 1 1
~ r
r 3 (1) r4r2
2

1 0
0
1 1 0
0 1 0
1 2 0
2 4 0
0 0 0 3 5
1 1 0 1 2
若R( A) m,则 1, 2 ,, m 线性无关, 若R( A) m,则 1, 2 ,, m 线性相关.
例１ 研究下列向量组的线性相关性
1 0 1

1 2, 2 2 , 3 0 .
3
k1 k2 km 0 时, 才有
k1 1 k 2 2 k m m 0.
线性相关与线性无关还可以通过线性表出
的概念来体现,即看其中有无某个向量(不是任 意一个向量), 可由其余向量线性表出? 此外, 还 应注意到: 线性相关与线性无关是一对排中对 立的概念, 据此,在论证某些相关性问题时,我 们往往采用反证法.
因为1,2 ,,nr 是AX 0的基础解系,所以 1,2 ,,nr 线性无关,故有
k1 k2 knr 0,
于是 ,1,2 ,,nr 线性无关. (2)由线性方程组解的性质知 i (i 1,2,
,n r)都是AX B的解,再证它们线性无关.
n r 1个线性无关的解. (3)方程组AX B的任一解X ,都可以表示为这
n r 1个解的线性组合,而且组合系数之和为1.
证明 (1)令 k 0 k11 k nr nr 0, ()
其中必有k 0 0.
否则,有


kk101



整理得到

k1
k3 0,
2 k1 2 k2 0,
()

3 k1 5 k2 2 k3 0.
线性方程组()的系数行列式
1 0 1 2 2 0 0, 3 5 2
线性方程组()必有非零解,从而 1, 2 , 3
线性相关.
解二
研究这类问题一般有两个方法
方法1 从定义出发
令 k1 1 k2 2 km m 0,
a11
a21
am1 0
k1
a12

k2
a22




km

am2


0
a1n
a2n
典型例题
一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩 三、向量空间的判定 四、基础解系的证法 五、解向量的证法
一、向量组线性关系的判定
线性相关与线性无关的概念都是针对一个特
定的向量组 1 , 2 ,, m 而言的,当我们考虑到向
量空间中两种基本运算的结合物 线性组合
k1 1 k 2 2 k m m时,其结果为向量空间中的
A 2 2 0 ~ 0 2 2
3 5 2
0 0 0
R( A) 2 3,
故向量组 1, 2 , 3线性相关.
例4 求向量组

T 1

(1,
1,
0,
0),

T 3

(0,
1,
1,
1),

T 5

(
2,
6,
4,
1)

T 2

( 1,
故向量组 1 , 2 , 3 , 4 , 5的秩为3.
又 1 , 2 , 4是U的列向量组的一个最大线性
无关组,
所以 1 , 2 , 4也是A的列向量组的一个最大
线性无关组.
三、向量空间的判定
判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合 是否对于加法和数乘两种运算封闭．若封闭，则构 成向量空间；否则，不构成向量空间．
合仍然是原方程组的解,故 a1 , a2 ,, at 都是 AX 0
的解.
由题设知,a1,a2 ,,at 线性无关.
设为方程组AX 0的任一解,则可由1,
2 ,,t 线性表示,由向量组的等价性,1,2 , ,t 均可由a1,a2 ,,at 线性表示,故也可由
a1,a2 ,,at 线性表示.
2,
1,
1),

T 4

(
1,
3,
2,
1),
的秩.
解 作矩阵A 1 2 3 4 5, 对A作初等
行变换, 化A为阶梯形
A 1 2 3 4 5
1 1 0 1 2


1 0
2 1
1 1
3 2
6 4
0 1 1 1 1
例5 判断 R3中与向量(0,0,1)不平行的全体向量 所组成的集合是否构成向量空间.
解 R3中与向量(0,0,1)不平行的全体向量所组 成的集合不构成向量空间.
对向量
1 (0, k,0), 2 (0,k,1)(k 0), 1 , 2 均不平行于(0,0,1), 但
1 2 (0,0,1).
一个特殊向量 零向量, 那么,一个自然的问题是:
是否存在一组不全为零的数 k1 , k 2 ,, k m ,也使得 其线性组和为零向量?
答案只有两种: 存在或不存在.这样,也就自
然而然地提出了线性相关与线性无关的概念; 若 存 在, 则 称 该 向 量 组 线 性 相 关; 若 不 存 在, 则 称 该向量组线性无关, 所谓不存在, 指的是当且仅 当
amn 0
整理得线性方程组
a11k1 a21k2 am1 km 0,
a12 k1 a22 k2 am2 km 0,


()
a1n k1 a2n k2 amn km 0,
1 0 1

1 2, 2 2 , 3 0 ,
3
5
2

矩阵A

(
1 ,
2
,
3)


1 2
0 2
1 0 ,
3 5 2
1 0 1 初等行变换 1 0 1
若线性方程组()只有唯一零解,则 1 , 2 , , m 线性无关.
若线性方程组()有非零解,则 1 , 2 ,, m
线性相关.
方法２ 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定
给出一组n维向量1, 2 ,, m ,就得到一个 相应的矩阵A (1, 2 ,, m),首先求出R( A).
5
2
解一
令 k1 1 k2 2 k3 3 0,即
1 0 1 0 k1 2 k2 2 k3 0 0 3 5 2 0
故由定义知,a1,a2 ,,at 也是方程组AX 0
的一个基础解系. 注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取
法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的．
五、解向量的证法
例7 设 是非齐次线性方程组AX B的一个解, 1 ,, nr 是其Leabharlann Baidu出组的一个基础解系.证明:
(1) ,1 ,, nr 线性无关; (2) , 1 ,, nr 是方程组AX B的
k nr k0

n
r
,由于1
,
2
,
,nr 是齐次方程组AX 0的解,故等式右边为
其线性组合,必是AX 0的解,而等式左边 是非
齐次方程组AX B的解,矛盾,所以k0 0. 将 k0 0代入()式,则有
k11 k22 knrnr 0,
~r
4r
3

0
0
1 0
1 0
2 3
4 5
0 0 0 0 0
记作
1 2 3 4 5 U.
1 1 0 1 2
U
( 1
2
3
4
5)
0 0
1 0
1 0
2 3
4 5
0 0 0 0 0
A的列秩 R( A) 3,
令1 t1 tnr t0 ,则t0 t1 tnr 1,
故AX B的任一解X都可以表示为
X t 0 t1( 1) t nr ( nr),
且 t 0 t1 t nr 1. 注意(1)本例是对非齐次线性方程组 AX B 的解 的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方 程组一定存在着 n r 1 个线性无关的解，题中 (2)的证明表明了它的存在性．
令 k0 k1( 1) knr ( nr) 0,
则(k0 k1 knr) k11 knrnr 0, 由(1)的证明知 ,1,2 ,,nr 线性无关,所以
k0 k1 k2 knr 0,
因此 R3中与向量(0,0,1)不平行的全体向量 所组成的集合对加法不封闭.
故所给向量集合不构成向量空间.
四、基础解系的证法
例６ 证明与基础解系等价的线性无关的向量组 也是基础解系．
分析 要证明某一向量组是方程组AX 0的基础解 系，需要证明三个结论:
(1)该组向量都是方程组的解； (2)该组向量线性无关； (3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示．
(2)对齐次线性方程组，当 R( A) r n 时， 有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性 表示．
(3)对非齐次线性方程组 AX B ，有时也把 如题中所给的 n r 1 个解称为 AX B 的基础 解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合 系数之和为1时，才是方程组的解．
证明 设1 , 2 ,, t 是方程组AX 0的一个基础解 系, a1 , a2 ,, an 是与1 , 2 ,, t 等价的线性无关的
向量组,因为等价的线性无关的向量组所含向量个 数是相同的, 所以这两个向量组所含向量个数相等, 即t n.
由向量组的等价关系易知, ai 可以表示成1 , 2 ,, t的线性组合(i 1,2,, t ),而解的线性组

k1 k2
0, 0,


knr 0,
解之,得 k0 k1 k2 knr 0,
故 , 1, 2 ,, nr 线性无关.
(3)设X为方程组AX B的任一解,则X可表为
X t11 t22 tnrnr t1( 1 ) tnr ( nr ) (1 t1 tnr) t1( 1) tnr ( nr)