第五章 留数(答案)

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复变函数练习题 第五章 留数

系 专业 班 姓名 学号

§1 孤立奇点

孤立奇点类型的判别法 1、洛朗展开法

f(z)在点a 处的洛朗展式中, 若无负幂项,则点a 为可去奇点;

若负幂项最高次数为m ,则点a 为m 阶极点; 若负幂项为无穷多个,则点a 为本性奇点。 2、极限法 lim ()z a

f z →

存在且有限,则点a 为可去奇点; 等于无穷,则 a 为极点(无法判断阶数); 不存在且不等于无穷,则a 为本性奇点。 3、判断极点的方法

1

()()()m

f z

g z z a =

-,g(z)在点a 解析且g(a)不等于零;

1()()lim ()lim()()()

m

m z a z a f z g z g z z a f z z a →→=

=--,存在且有限; 1

()()()

m z a h z f z =-, h(z)在点a 解析且h(a)不等于零 一、选择题 1.函数

cot 23

z

z π-在||2z i -=内奇点的个数为 [ D ] (A )1 (B )2 (C )3 (D )4

cot cos 3

(23)sin 0,()23(23)sin 2

z z z z z k k z z z ππππ=-=⇒=∈--Z ,

2.设()f z 与()g z 分别以z a =为可去奇点和m 级极点,则z a =为()()f z g z +的 [ C ] (A )可去奇点 (B )本性奇点 (C )m 级极点 (D )小于m 级的极点 (对f(z)和g(z)分别进行洛朗展开并求和)

3.0z =为函数2

41sin z

e z z

-的m 级极点,那么m = [ C ]

(A )5 (B )2 (C )3 (D )

4

224

2

2455

32

01112!3.3=(1)sin sin sin sin 2!lim (1)1sin 2!z z z z z e z e z z z z z z z z z z z z z z →⎛⎫++ ⎪--⋅=⋅=⋅++ ⎪

⎪ ⎪++= ⎪⎝

L L L 利用方法, 4.z =∞是函数3

2

32z z z ++的 [ B ]

(A )可去奇点 (B )一级极点 (C )二级极点 (D )本性奇点

32

22

32321=32=0z z z z z z ζζζζ⎛⎫++++=++ ⎪⎝⎭

以为一阶极点 5.1z =是函数1

(1)sin

1

z z --的 [ D ] (A )可去奇点 (B )一级极点 (C )一级零点 (D )本性奇点 (将函数在z=1洛朗展开,含无穷多个负幂项) 二、填空题

1.设0z =为函数3

3

sin z z -的m 级零点,那么m = 9 。

()

()

3

5

3391563

3

3

3

91sin ()()3!5!3!5!3!5!

z z z z z z z z z z -=--++=-+=-+L L L

2.设0z =为函数3sin z

z

的n 级极点,那么n = 2 。 三、解答题

1.下列函数在有限点处有些什么奇点如果是极点,指出它的级:

(1)

321

1

z z z --+

32211

=1, 1.

1(1)(1)11.

z z z z z z z z z ==---+-+==-解:显然,的奇点有其中是其二阶极点;是其一阶极点 (2)1

1

z e

-

11

11

2

1.11112!(1)11z z e z e

z z z z --==+

++---=L 解:可能的奇点为具有的无穷个负幂项,从而为其本性奇点

11

1.

1

1lim ;

1

1lim 0;

11z n n n n e z z e n z e n

z z -→∞-→∞==+=∞=-===解法二:可能的奇点为令,则令,则即函数在点极限不存在,从而为其本性奇点

(3)3

sin 1z z -

335

233

32sin 1

0.

1sin 11113!5!3!5!0.

sin 1010.

z z z

z z z z z z z z z z z z z -=-+-+--==-+-+-=-=-=L

L 解法一:可能的奇点为故有为其三阶极点解法二:由在点解析且等于,从而为原函数的三阶极点

(4)21n

n

z z

+(n 为正整数) 22011=1()()()(0,1,,1)1

.(0,1,,1).

n n

n

n k n k z z z z z z z z z z k n z n z k n -+---=-=-=-L L L ,其中是方程

的个根从而是原函数的一阶极点

2.判断∞点是下列函数的什么奇点 (1)

2

23z

z

+ 2322

1

,

222(13)26331

0.

z

z z z ζζ

ζζζζζζ===-+=-+++==∞L L 解:令为可去奇点,从而为原级数的可去奇点

(2)2

2z e z

242

222222

1+++12==12!

1

1

+1++2!=0.

z z z e z z z z z

z ζζζ

ζ+++==∞L

L L !在上述级数中令,则变为

为其本性奇点,从而为原函数的本性奇点

00.1.z z z ζ⎛<<∞=⎫ ⎪

= ⎪⎝⎭

注在本题中,由于级数的收敛域是,从而可以直接让函数在点展开但在上一道题中,必须先做变量替换,才可进行展开

3.0z =是函数2

(sin sh 2)z z z -+-的几级极点(sh 2

z z e e z --=)

35793579

59

()sin sh 2=sin 22

23!5!7!9!3!5!7!9!225!9!

z z

e e

f z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z --=+-+-⎛⎫⎛⎫

=-+-+-++++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

=++L L

L 解法一:

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