第五章 留数(答案)
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复变函数练习题 第五章 留数
系 专业 班 姓名 学号
§1 孤立奇点
孤立奇点类型的判别法 1、洛朗展开法
f(z)在点a 处的洛朗展式中, 若无负幂项,则点a 为可去奇点;
若负幂项最高次数为m ,则点a 为m 阶极点; 若负幂项为无穷多个,则点a 为本性奇点。 2、极限法 lim ()z a
f z →
存在且有限,则点a 为可去奇点; 等于无穷,则 a 为极点(无法判断阶数); 不存在且不等于无穷,则a 为本性奇点。 3、判断极点的方法
1
()()()m
f z
g z z a =
-,g(z)在点a 解析且g(a)不等于零;
1()()lim ()lim()()()
m
m z a z a f z g z g z z a f z z a →→=
=--,存在且有限; 1
()()()
m z a h z f z =-, h(z)在点a 解析且h(a)不等于零 一、选择题 1.函数
cot 23
z
z π-在||2z i -=内奇点的个数为 [ D ] (A )1 (B )2 (C )3 (D )4
cot cos 3
(23)sin 0,()23(23)sin 2
z z z z z k k z z z ππππ=-=⇒=∈--Z ,
2.设()f z 与()g z 分别以z a =为可去奇点和m 级极点,则z a =为()()f z g z +的 [ C ] (A )可去奇点 (B )本性奇点 (C )m 级极点 (D )小于m 级的极点 (对f(z)和g(z)分别进行洛朗展开并求和)
3.0z =为函数2
41sin z
e z z
-的m 级极点,那么m = [ C ]
(A )5 (B )2 (C )3 (D )
4
224
2
2455
32
01112!3.3=(1)sin sin sin sin 2!lim (1)1sin 2!z z z z z e z e z z z z z z z z z z z z z z →⎛⎫++ ⎪--⋅=⋅=⋅++ ⎪
⎪ ⎪++= ⎪⎝
⎭
L L L 利用方法, 4.z =∞是函数3
2
32z z z ++的 [ B ]
(A )可去奇点 (B )一级极点 (C )二级极点 (D )本性奇点
32
22
32321=32=0z z z z z z ζζζζ⎛⎫++++=++ ⎪⎝⎭
以为一阶极点 5.1z =是函数1
(1)sin
1
z z --的 [ D ] (A )可去奇点 (B )一级极点 (C )一级零点 (D )本性奇点 (将函数在z=1洛朗展开,含无穷多个负幂项) 二、填空题
1.设0z =为函数3
3
sin z z -的m 级零点,那么m = 9 。
()
()
3
5
3391563
3
3
3
91sin ()()3!5!3!5!3!5!
z z z z z z z z z z -=--++=-+=-+L L L
2.设0z =为函数3sin z
z
的n 级极点,那么n = 2 。 三、解答题
1.下列函数在有限点处有些什么奇点如果是极点,指出它的级:
(1)
321
1
z z z --+
32211
=1, 1.
1(1)(1)11.
z z z z z z z z z ==---+-+==-解:显然,的奇点有其中是其二阶极点;是其一阶极点 (2)1
1
z e
-
11
11
2
1.11112!(1)11z z e z e
z z z z --==+
++---=L 解:可能的奇点为具有的无穷个负幂项,从而为其本性奇点
11
1.
1
1lim ;
1
1lim 0;
11z n n n n e z z e n z e n
z z -→∞-→∞==+=∞=-===解法二:可能的奇点为令,则令,则即函数在点极限不存在,从而为其本性奇点
(3)3
sin 1z z -
335
233
32sin 1
0.
1sin 11113!5!3!5!0.
sin 1010.
z z z
z z z z z z z z z z z z z -=-+-+--==-+-+-=-=-=L
L 解法一:可能的奇点为故有为其三阶极点解法二:由在点解析且等于,从而为原函数的三阶极点
(4)21n
n
z z
+(n 为正整数) 22011=1()()()(0,1,,1)1
.(0,1,,1).
n n
n
n k n k z z z z z z z z z z k n z n z k n -+---=-=-=-L L L ,其中是方程
的个根从而是原函数的一阶极点
2.判断∞点是下列函数的什么奇点 (1)
2
23z
z
+ 2322
1
,
222(13)26331
0.
z
z z z ζζ
ζζζζζζ===-+=-+++==∞L L 解:令为可去奇点,从而为原级数的可去奇点
(2)2
2z e z
242
222222
1+++12==12!
1
1
+1++2!=0.
z z z e z z z z z
z ζζζ
ζ+++==∞L
L L !在上述级数中令,则变为
为其本性奇点,从而为原函数的本性奇点
00.1.z z z ζ⎛<<∞=⎫ ⎪
⎪
= ⎪⎝⎭
注在本题中,由于级数的收敛域是,从而可以直接让函数在点展开但在上一道题中,必须先做变量替换,才可进行展开
3.0z =是函数2
(sin sh 2)z z z -+-的几级极点(sh 2
z z e e z --=)
35793579
59
()sin sh 2=sin 22
23!5!7!9!3!5!7!9!225!9!
z z
e e
f z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z --=+-+-⎛⎫⎛⎫
=-+-+-++++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=++L L
L 解法一: