二次函数与面积专题

重庆市巴川中学初2019级九上数学专题训练三

——二次函数与面积问题

班级______姓名_______等级________

题型一：在抛物线上求一点，与已知三角形的面积相等（或成倍数）．

例1、定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的勾股点．

（1）直接写出抛物线y=-x2+1的勾股点的坐标；

（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1,3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q（异于点P）的坐标．

图1图2

练习1. 如图，已知抛物线322

++-=x x y 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E,D 是抛物线的顶点．

（1）直接写出点A 、B 、C 、D 的坐标，并求出S △ABD ； （2）求出直线BC 的解析式；

（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP ＝4S △COE ，求P 点坐标．

题型二：已知二定点，在抛物线上求一动点，使三角形面积最大

例2.如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(-1,0)，C点坐标是(-4,-3)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E是位于直线AC的上方抛物线上的一动点，试求△ACE的最大面积及E点的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在异于点E的P点，使S△PAC＝S△EAC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

变式：在抛物线上是否存在点P，使S△PAC＝S△ABC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

A

B

C

x y

O

A

B

C

x y

O

[练习]1.如图, 已知抛物线y=

2

1x 2

+bx+c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. （1）求抛物线的解析式；

（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE△x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；

（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.

2．在平面直角坐标系xoy中，规定：抛物线y=a(x-h)2+k的伴随直线为y=a(x-h)+k.例如：抛物线y=2(x+1)2-3的伴随直线为y=2(x+1)-3，即y=2x-1

（1）在上面规定下，抛物线y=(x+1)2-4的顶点为.伴随直线为；抛物线y=(x+1)2-4与其伴随直线的交点坐标为和；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m(x-1)2-4m与其伴随直线相交于点A,B (点A在点B 的右侧)与x轴交于点C，D．

△若△CAB＝90°求m的值；

27△如果点P(x,y)是直线BC上方抛物线的一个动点，△PBC的面积记为S，当S 取得最大值

4时，求m的值.

3.抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0)．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）该抛物线与直线y=0.6x2+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N,连结PC、PD，在点P运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点Q，使S△QCD=S△PCD，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD△x轴交抛物线于点D．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；

（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．

题型三：抛物线中，以面积为条件的几何问题

例3.如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A 在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

练习3:1.如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC=3，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（1）求b，c的值；

（2）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（2，﹣9），该函数的图象与y轴交于点A（0，﹣5），与x轴交于点B，C

（1）求该二次函数的解析式；

（2）求点B的坐标；

（3）过点A作AD△x轴，交二次函数的图象于点D，M为二次函数图象上一点，设点M的横坐标为m，且0＜m≤5，过点M作MN△y轴，交AD于点N，连接AM，MD，设△AMD的面积为s．

△求s关于m的函数解析式；

△判断出当点M在何位置时，△AMD的面积最大，并求出最大面积．