部编版2020高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习

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2020届高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线课件理

2020届高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线课件理

且斜率为 63的直线上,△PF1F2 为等腰三角形,∠F1F2P =120°,则 C 的离心率为( )
A.23
B.12
C.13
D.14
解析:由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上,
如图所示,设|F1F2|=2c.
因为△PF1F2 为等腰三角形,
且∠F1F2P=120°, 所以|PF2|=|F1F2|=2c. 因为|OF2|=c,过 P 作 PE 垂直 x 轴,则∠PF2E=60°, 所以 F2E=c,PE= 3c,即点 P(2c, 3c). 因为点 P 在过点 A 且斜率为 63的直线上, 所以2c+3ca= 63,解得ac=14, 所以 e=14. 答案:D
由yy= =xt2x2+,12,可得 x2-2tx-1=0. 于是 x1+x2=2t,x1x2=-1, y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1, |AB|= 1+t2|x1-x2|= 1+t2× (x1+x2)2-4x1x2 =2(t2+1). 设 d1,d2 分别为点 D,E 到直线 AB 的距离,
A. 2
B.2
32 C. 2
D.2 2
(2)(2019·衡水中学检测)设 F1,F2 分别是椭圆 C:xa22+
by22=1(a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且|PF1|
=3|PF2|,若线段 PF1 的中点恰在 y 轴上,则椭圆的离心 率为( )
A.
3 3
B.
3 6
C.
2 2
D.12
4.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线 C:y=x22,D 为直线 y= -12上的动点,过 D 作 C 的两条切线,切点分别为 A,B.
(1)证明:直线 AB 过定点; (2)若以 E0,52为圆心的圆与直线 AB 相切,且切点为 线段 AB 的中点,求四边形 ADBE 的面积. (1)证明:设 Dt,-12,A(x1,y1),则 x21=2y1.

新课标2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线学案文新人教A版20191121559

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第2讲 椭圆、双曲线、抛物线[做真题]1.(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p=1的一个焦点,则p =( )A .2B .3C .4D .8解析:选D.依题意得p2=3p -p ,解得p =8,故选D.2.(2019·高考全国卷Ⅰ)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( )A .2sin 40°B .2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°解析:选D.依题意知,-b a=tan 130°=tan(130°-180°)=-tan 50°,两边平方得c 2-a 2a 2=tan 250°=e 2-1,e 2=1+tan 250°=1cos 250°,又e >1,所以e =1cos 50°,选D. 3.(2016·高考全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y =kx(k >0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k =( )A.12 B .1 C.32D .2解析:选D.易知抛物线的焦点为F (1,0),设P (x P ,y P ),由PF ⊥x 轴可得x P =1,代入抛物线方程得y P =2(-2舍去),把P (1,2)代入曲线y =k x(k >0)得k =2.4.(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C :x 24-y 25=1的一个焦点,点P 在C 上,O 为坐标原点.若|OP |=|OF |,则△OPF 的面积为( )A.32B.52C.72D.92解析:选B.因为c 2=a 2+b 2=9,所以|OP |=|OF |=3.设点P 的坐标为(x ,y ),则x 2+y 2=9,把x 2=9-y 2代入双曲线方程得|y |=53,所以S △OPF =12|OF |·|y P |=52.故选B.5.(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B .2 C.322D .2 2解析:选D.法一:由离心率e =ca=2,得c =2a ,又b 2=c 2-a 2,得b =a ,所以双曲线C 的渐近线方程为y =±x .由点到直线的距离公式,得点(4,0)到C 的渐近线的距离为41+1=2 2.故选D.法二:离心率e =2的双曲线是等轴双曲线,其渐近线方程是y =±x ,由点到直线的距离公式得点(4,0)到C 的渐近线的距离为41+1=2 2.故选D.[明考情]圆锥曲线的标准方程与几何性质一直是高考的命题热点,其中求解圆锥曲线的标准方程,直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系是高考解答题的常考内容,离心率问题、双曲线的渐近线问题等常出现在选择题、填空题中.圆锥曲线的定义及标准方程(综合型)[知识整合](1)(2019·广东六校第一次联考)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ,离心率为2,若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A .x 2-y 2=1 B.x 22-y 22=1 C.x 24-y 24=1 D.x 28-y 28=1 (2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B |,|AB |=|BF 1|,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1 B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1 【解析】 (1)由题意,得双曲线的左焦点为F (-c ,0).由离心率e =c a=2,得c =2a ,c 2=2a 2=a 2+b 2,即a =b ,所以双曲线的渐近线方程为y =±x ,则经过F 和P (0,4)两点的直线的斜率k =4c =1,得c =4,所以a =b =22,所以双曲线的方程为x 28-y28=1,故选D.(2)设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),连接F 1A ,令|F 2B |=m ,则|AF 2|=2m ,|BF 1|=3m .由椭圆的定义知,4m =2a ,得m =a2,故|F 2A |=a =|F 1A |,则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点.令∠OAF 2=θ(O 为坐标原点),则sin θ=1a .在等腰三角形ABF 1中,cos 2θ=a23a 2=13,所以13=1-2(1a )2,得a 2=3.又c 2=1,所以b 2=a 2-c 2=2,椭圆C 的方程为x 23+y 22=1.故选B.【答案】 (1)D(2)B(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点,首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解. ②应用抛物线的定义,灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解.(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”.①定型.就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程. ②计算.即利用待定系数法求出方程中的a 2,b 2或p .另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y 2=2ax 或x 2=2ay (a ≠0),椭圆常设为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0),双曲线常设为mx 2-ny 2=1(mn >0).[对点训练]1.已知抛物线y 2=2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ,则直线MF 的斜率为( ) A .± 3 B .±1 C .±34D .±33解析:选A.设M (x ,y ),由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0,由抛物线的定义,可知x +p 2=2p ,故x =3p 2,由y 2=2p ×3p 2,知y =±3p .当M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2,3p 时,k MF =3p -03p 2-p 2=3,当M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2,-3p 时,k MF=-3p -03p 2-p 2=-3,故k MF =± 3.故选A.2.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为5,从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线,垂足为A ,若△AFO 的面积为1,则双曲线C 的方程为( )A.x 22-y 28=1B.x 24-y 2=1C.x 24-y 216=1 D .x 2-y 24=1解析:选D.因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |=b ,|OA |=a ,所以ab =2,又双曲线C 的离心率为5,所以1+b 2a2=5,即b 2=4a 2,解得a 2=1,b 2=4,所以双曲线C 的方程为x 2-y 24=1,故选D.3.已知O 为坐标原点,设F 1,F 2分别是双曲线x 2-y 2=1的左、右焦点,P 为双曲线左支上任意一点,过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线,垂足为H ,则|OH |=( )A .1B .2C .4D.12解析:选A.如图所示,延长F 1H 交PF 2于点Q ,由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ,可知|PF 1|=|PQ |.根据双曲线的定义,得|PF 2|-|PF 1|=2,即|PF 2|-|PQ |=2,从而|QF 2|=2.在△F 1QF 2中,易知OH 为中位线,则|OH |=1.圆锥曲线的几何性质(综合型)[知识整合]椭圆、双曲线中,a ,b ,c 之间的关系(1)在椭圆中:a 2=b 2+c 2,离心率为e =ca=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (2)在双曲线中:c 2=a 2+b 2,离心率为e =ca=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系.[典型例题](1)P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的一点,A 为左顶点,F 为右焦点,PF ⊥x 轴,若tan ∠PAF =12,则椭圆的离心率e 为( )A.23 B.22C.33D.12(2)(一题多解)(2019·东北四市联合体模拟(一))已知矩形ABCD ,AB =12,BC =5,则以A ,B 为焦点,且过C ,D 两点的双曲线的离心率为______.【解析】(1)如图,不妨设点P 在第一象限,因为PF ⊥x 轴,所以x P =c ,将x P =c 代入椭圆方程得y P =b 2a ,即|PF |=b 2a ,则tan ∠PAF =|PF ||AF |=b 2aa +c =12,结合b 2=a 2-c 2,整理得2c 2+ac -a 2=0,两边同时除以a 2得2e 2+e -1=0,解得e =12或e =-1(舍去).故选D.(2)通解:取AB 的中点O 为坐标原点,线段AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),则焦距2c =12,所以c =6,将点C (6,5)代入双曲线方程,得62a 2-52b2=1①,又因为a 2+b 2=62②,由①②解得a =4,b =25,所以双曲线的离心率e =c a =64=32.优解:设双曲线的实半轴长为a ,虚半轴长为b ,则根据双曲线的性质得c =6,b 2a=5,所以a 2+b 2=36,b 2=5a ,即a 2+5a -36=0,解得a =4或a =-9(舍去),所以双曲线的离心率e =c a =64=32.【答案】 (1)D (2)32(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定a ,b ,c 的等量关系或不等关系,然后把b 用a ,c 代换,求c a的值.(2)双曲线的渐近线的求法及用法①求法:把双曲线标准方程等号右边的1改为零,分解因式可得. ②用法:(i)可得b a 或a b的值.(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程.[对点训练]1.(2019·福建省质量检查)已知双曲线C 的中心在坐标原点,一个焦点(5,0)到渐近线的距离等于2,则C 的渐近线方程为( )A .y =±12xB .y =±23xC .y =±32xD .y =±2x解析:选D.设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),则由题意得c = 5.双曲线C 的渐近线方程为y =±b ax ,即bx ±ay =0,所以5bb 2+a2=2,又c 2=a 2+b 2=5,所以b =2,所以a=c 2-b 2=1,所以双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ,故选D.2.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,且|PF 1|=4|PF 2|,则双曲线的离心率的取值范围是( )A .(53,2]B .(1,53]C .(1,2]D .[53,+∞)解析:选B.由|PF 1|=4|PF 2|,得|PF 2|=|PF 1|-|PF 2|3=2a 3≥c -a ,故c ≤2a 3+a =5a3,则e =c a ≤53,又因为双曲线的离心率e >1,所以1<e ≤53. 3.已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ,B 在抛物线y 2=3x 上,则△AOB 的边长是________.解析:如图,设△AOB 的边长为a ,则A (32a ,12a ),因为点A 在抛物线y 2=3x 上,所以14a 2=3×32a ,所以a =6 3.答案:6 3直线与圆锥曲线(综合型)[知识整合]直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量(如y )得到方程Ax 2+Bx +C =0. ①若A =0,则:圆锥曲线可能为双曲线或抛物线,此时直线与圆锥曲线只有一个交点. ②若A ≠0,则:当Δ>0时,直线与圆锥曲线有两个交点(相交);当Δ=0时,直线与圆锥曲线有一个交点(相切);当Δ<0时,直线与圆锥曲线没有交点(相离).直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求,根据根与系数的关系,进行整体代入,即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)时,|AB |=1+k 2·|x 1-x 2|=1+1k2|y 1-y 2|,其中|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2.[典型例题]已知O 为坐标原点,点R (0,2),F 是抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点,|RF |=3|OF |. (1)求抛物线C 的方程;(2)过点R 的直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,与直线y =-2交于点M ,抛物线C 在点A ,B 处的切线分别记为l 1,l 2,l 1与l 2交于点N ,若△MON 是等腰三角形,求直线l 的方程.【解】 (1)因为F 是抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点, 所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,p 2.因为点R (0,2),|RF |=3|OF |,所以2-p 2=3×p2,解得p =1.所以抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)依题意知,直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y =kx +2(k ≠0),由⎩⎪⎨⎪⎧y =-2,y =kx +2解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-4k ,y =-2,所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-4k ,-2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2=2y ,y =kx +2消去y 并整理得,x 2-2kx -4=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2k ,①x 1x 2=-4.②对y =x 22求导,得y ′=x ,则抛物线C 在点A 处的切线l 1的方程为y -y 1=x 1(x -x 1). 由于点A 在抛物线C 上,则y 1=x 212,所以l 1的方程为y =x 1x -x 212.③同理可得l 2的方程为y =x 2x -x 222.④ 由①②③④得⎩⎪⎨⎪⎧x =k ,y =-2,即点N 的坐标为(k ,-2).所以k OM ·k ON =k 2×(-2k)=-1,则OM ⊥ON .又△MON 是等腰三角形, 所以|OM |=|ON |, 即16k2+4=k 2+4,解得k =±2.所以直线l 的方程为y =2x +2或y =-2x +2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标.(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是否为零). (3)利用根与系数的关系及判别式.(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.[对点训练]1.过点M (1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点,若M是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于( )A.12 B.22 C.32D.33解析:选B.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 21a 2+y 21b 2=1,x 22a 2+y 22b2=1, 两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1-y 2)(y 1+y 2)b2=0, 变形得-b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=y 1-y 2x 1-x 2,即-2b 22a 2=-12,b 2a 2=12.所以,e =ca=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2=22. 2.(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴长为42,离心率为13.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1,F 2,左、右顶点分别为A ,B ,点M ,N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点,且F 1M ∥F 2N ,直线F 1M 的斜率为26,记直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2,求3k 1+2k 2的值.解:(1)由题意,得2b =42,c a =13.又a 2-c 2=b 2,所以a =3,b =22,c =1. 所以椭圆C 的标准方程为x 29+y 28=1.(2)由(1)可知A (-3,0),B (3,0),F 1(-1,0). 由题意得,直线F 1M 的方程为y =26(x +1).记直线F 1M 与椭圆C 的另一个交点为M ′.设M (x 1,y 1)(y 1>0),M ′(x 2,y 2). 因为F 1M ∥F 2N ,所以根据对称性,得N (-x 2,-y 2).联立得⎩⎨⎧8x 2+9y 2=72y =26(x +1),消去y ,得14x 2+27x +9=0.由题意知x 1>x 2,所以x 1=-37,x 2=-32,k 1=y 1x 1+3=26(x 1+1)x 1+3=469,k 2=-y 2-x 2-3=26(x 2+1)x 2+3=-263,所以3k 1+2k 2=3×469+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-263=0,即3k 1+2k 2的值为0.一、选择题1.(2019·高考北京卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,则( )A .a 2=2b 2B .3a 2=4b 2C .a =2bD .3a =4b解析:选B.由题意得,c a =12,所以c 2a 2=14,又a 2=b 2+c 2,所以a 2-b 2a 2=14,b 2a 2=34,所以4b2=3a 2.故选B.2.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为( )A .1 B. 2 C .2D .2 2解析:选D.设a ,b ,c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距,依题意知,12×2cb=1⇒bc =1,2a =2b 2+c 2≥22bc =22,当且仅当b =c =1时,等号成立.故选D.3.若点P 为抛物线y =2x 2上的动点,F 为抛物线的焦点,则|PF |的最小值为( ) A .2 B.12C.14D.18解析:选D.由题意知x 2=12y ,则F (0,18),设P (x 0,2x 20),则|PF |=x 20+(2x 20-18)2=4x 40+12x 20+164=2x 20+18,所以当x 20=0时,|PF |min =18.4.(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且|AB |=4|OF |(O 为原点),则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 2D. 5解析:选D.由题意知F (1,0),l :x =-1,双曲线的渐近线方程为y =±b ax ,则|AB |=4|OF |=4,而|AB |=2×b a ,所以b a =2,所以e =c a =a 2+b 2a =a 2+4a 2a=5,故选D.5.(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C .2D. 5解析:选A.通解:依题意,记F (c ,0),则以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -c 22+y 2=c 24,将圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x -c 22+y 2=c 24与圆x 2+y 2=a 2的方程相减得cx =a 2,即x =a 2c ,所以点P ,Q 的横坐标均为a 2c .由于PQ 是圆x 2+y 2=a 2的一条弦,因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫|PQ |22=a 2,即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22=a 2,即c 24=a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-a 2c 2=a 2b2c2,所以c 2=2ab ,即a 2+b 2-2ab =(a -b )2=0,所以a =b ,因此C 的离心率e =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2=2,故选A. 优解一:记F (c ,0).连接OP ,PF ,则OP ⊥PF ,所以S △OPF =12|OP |·|PF |=12|OF |·12|PQ |,即12a ·c 2-a 2=12c ·12c ,即c 2=2ab ,即a 2+b 2-2ab =(a -b )2=0,所以a =b ,因此C 的离心率e =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2=2,故选A.优解二:记F (c ,0).依题意,PQ 是以OF 为直径的圆的一条弦,因此OF 垂直平分PQ .又|PQ |=|OF |,因此PQ 是该圆与OF 垂直的直径,所以∠FOP =45°,点P 的横坐标为c2,纵坐标的绝对值为c 2,于是有2×c 2=a ,即e =ca=2,即C 的离心率为2,故选A.6.已知直线l :y =kx +2过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F 和虚轴的上端点B (0,b ),且与圆x 2+y 2=8交于点M ,N ,若|MN |≥25,则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A .(1,6]B .(1,62] C .[62,+∞) D .[6,+∞)解析:选C.设圆心到直线l 的距离为d (d >0),因为|MN |≥25,所以28-d 2≥25,即0<d ≤ 3.又d =21+k2,所以21+k2≤3,解得|k |≥33.由直线l :y =kx +2过双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 和虚轴的上端点B (0,b ),得|k |=b c .所以b c ≥33,即b 2c 2≥13,所以c 2-a 2c 2≥13,即1-1e 2≥13,所以e ≥62,即双曲线的离心率e 的取值范围是[62,+∞).故选C.二、填空题7.已知双曲线x 24-y 2b2=1(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点,四边形的ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为______.解析:根据对称性,不妨设A 在第一象限,A (x ,y ),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=4,y =b 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =4b 2+4,y =4b 2+4·b2,所以xy =16b 2+4·b 2=b 2⇒b 2=12,故双曲线的方程为x 24-y212=1.答案:x 24-y 212=1 8.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线l ,过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ,与C 的一个交点为点B ,若AM →=MB →,则p =________.解析:设直线AB :y =3x -3,代入y 2=2px 得:3x 2+(-6-2p )x +3=0, 又因为AM →=MB →,即M 为A ,B 的中点,所以x B +(-p 2)=2,即x B =2+p2,得p 2+4p -12=0,解得p =2,p =-6(舍去). 答案:29.(2019·昆明市质量检测)已知抛物线y 2=4x 上一点P 到准线的距离为d 1,到直线l :4x -3y +11=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为________.解析:如图,设抛物线的准线为m ,焦点为F ,分别过点P ,F 作PA ⊥m ,PM ⊥l ,FN ⊥l ,垂足分别为A ,M ,N .连接PF ,因为点P 在抛物线上,所以|PA |=|PF |,所以(d 1+d 2)min =(|PF |+|PM |)min =|FN |.点F (1,0)到直线l 的距离|FN |=|4+11|42+(-3)2=3,所以(d 1+d 2)min =3.答案:3 三、解答题10.(2019·长春市质量监测(二))已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的中心是坐标原点O ,左、右焦点分别为F 1,F 2,设P 是椭圆C 上一点,满足PF 2⊥x 轴,|PF 2|=12,椭圆C 的离心率为32. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 的左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,求△AOB 的面积.解:(1)由题意知,离心率e =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2=32,|PF 2|=b 2a =12,得a =2,b =1,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由条件可知F 1(-3,0),直线l :y =x +3,联立直线l 和椭圆C 的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y =x +3x 24+y 2=1,消去y 得5x 2+83x +8=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-835,x 1·x 2=85,所以|y 1-y 2|=|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=425,所以S △AOB =12·|y 1-y 2|·|OF 1|=265. 11.(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若AP →=3PB →,求|AB |.解:设直线l :y =32x +t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34,0,故|AF |+|BF |=x 1+x 2+32,由题设可得x 1+x 2=52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =32x +t ,y 2=3x可得9x 2+12(t -1)x +4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t -1)9.从而-12(t -1)9=52,得t =-78.所以l 的方程为y =32x -78.(2)由AP →=3PB →可得y 1=-3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =32x +t ,y 2=3x可得y 2-2y +2t =0. 所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3. 代入C 的方程得x 1=3,x 2=13.故|AB |=4133.12.已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12,其中一个顶点是抛物线x 2=-43y 的焦点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ,求直线l 的方程和点M 的坐标.解:(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),由题意得b =3,c a =12,解得a =2,c =1.故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切,所以直线l 的斜率存在, 故可设直线l 的方程为y =k (x -2)+1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 23=1,y =k (x -2)+1,得(3+4k 2)x 2-8k (2k -1)x +16k 2-16k -8=0.① 因为直线l 与椭圆C 相切,所以Δ=[-8k (2k -1)]2-4(3+4k 2)(16k 2-16k -8)=0. 整理,得2k +1=0, 解得k =-12.所以直线l 的方程为y =-12(x -2)+1=-12x +2.将k =-12代入①式,可以解得M 点的横坐标为1,故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32.。

高三数学二轮复习-专题五第二讲-椭圆、双曲线、抛物线课件

高三数学二轮复习-专题五第二讲-椭圆、双曲线、抛物线课件
答案 6
抛物线的方程及几何性质
(5分)(2011·山东)设M(x0,y0)为抛物线C: x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为 圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交, 则y0的取值范围是
A.(0,2)
B.[0,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
【标准解答】 ∵x2=8y, ∴焦点F的坐标为 (0,2), 准线方程为y=-2.
∴c2=a2-b2=8.∴e=ac=2 4 2=
2 2.
答案 D
4.(2011·辽宁)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该
抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的 距离为
3 A.4
B.1
5
7
C.4
D.4
解析 ∵|AF|+|BF|=xA+xB+12=3,∴xA+xB=52.
解析 由于直线AB的斜率为-ba,故OP的斜率为-ba,
直线OP的方程为y=-bax.
与椭圆方程ax22+by22=1联立,解得x=±
2 2 a.
因为PF1⊥x轴,所以x=- 22a,
从而- 22a=-c,即a= 2c. 又|F1A|=a+c= 10+ 5, 故 2c+c= 10+ 5,解得c= 5, 从而a= 10.所以所求的椭圆方程为1x02 +y52=1. 答案 1x02 +y52=1
又双曲线的离心率e= a2a+b2= a7,所以 a7=247, 所以a=2,b2=c2-a2=3, 故双曲线的方程为x42-y32=1.
答案 x42-y32=1
圆锥曲线是高考考查的重点,一般会涉及到 圆锥曲线的定义、离心率、圆锥曲线的几何 性质及直线与圆锥曲线的位置关系等. 在命题 中体现知识与能力的综合,一般地,选择题、 填空题的难度属中档偏下,解答题综合性较 强,能力要求较高,故在复习的过程中,注 重基础的同时,要兼顾直线与圆锥曲线的综 合问题的强化训练,尤其是对推理、运算能 力的训练.

(新课标)高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习文新人教A版

(新课标)高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习文新人教A版

(新课标)高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习文新人教A 版第2讲 椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1.(2019·高考北京卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,则( )A .a 2=2b 2B .3a 2=4b 2C .a =2bD .3a =4b解析:选B.由题意得,c a =12,所以c 2a 2=14,又a 2=b 2+c 2,所以a 2-b 2a 2=14,b 2a 2=34,所以4b2=3a 2.故选B.2.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为( )A .1 B. 2 C .2D .2 2解析:选D.设a ,b ,c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距,依题意知,12×2cb=1⇒bc =1,2a =2b 2+c 2≥22bc =22,当且仅当b =c =1时,等号成立.故选D.3.若点P 为抛物线y =2x 2上的动点,F 为抛物线的焦点,则|PF |的最小值为( ) A .2 B.12C.14D.18解析:选D.由题意知x 2=12y ,则F (0,18),设P (x 0,2x 20),则|PF |=x 20+(2x 20-18)2=4x 40+12x 20+164=2x 20+18,所以当x 20=0时,|PF |min =18.4.(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且|AB |=4|OF |(O 为原点),则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 2D. 5解析:选D.由题意知F (1,0),l :x =-1,双曲线的渐近线方程为y =±b ax ,则|AB |=4|OF |=4,而|AB |=2×b a ,所以b a =2,所以e =c a =a 2+b 2a =a 2+4a 2a=5,故选D.5.(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C .2D. 5解析:选A.通解:依题意,记F (c ,0),则以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -c 22+y 2=c 24,将圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x -c 22+y 2=c 24与圆x 2+y 2=a 2的方程相减得cx =a 2,即x =a 2c ,所以点P ,Q 的横坐标均为a 2c .由于PQ 是圆x 2+y 2=a 2的一条弦,因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫|PQ |22=a 2,即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22=a 2,即c 24=a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-a 2c 2=a 2b2c2,所以c 2=2ab ,即a 2+b 2-2ab =(a -b )2=0,所以a =b ,因此C 的离心率e =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2=2,故选A. 优解一:记F (c ,0).连接OP ,PF ,则OP ⊥PF ,所以S △OPF =12|OP |·|PF |=12|OF |·12|PQ |,即12a ·c 2-a 2=12c ·12c ,即c 2=2ab ,即a 2+b 2-2ab =(a -b )2=0,所以a =b ,因此C 的离心率e =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2=2,故选A.优解二:记F (c ,0).依题意,PQ 是以OF 为直径的圆的一条弦,因此OF 垂直平分PQ .又|PQ |=|OF |,因此PQ 是该圆与OF 垂直的直径,所以∠FOP =45°,点P 的横坐标为c2,纵坐标的绝对值为c 2,于是有2×c 2=a ,即e =ca=2,即C 的离心率为2,故选A.6.已知直线l :y =kx +2过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F 和虚轴的上端点B (0,b ),且与圆x 2+y 2=8交于点M ,N ,若|MN |≥25,则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A .(1,6]B .(1,62] C .[62,+∞) D .[6,+∞)解析:选C.设圆心到直线l 的距离为d (d >0),因为|MN |≥25,所以28-d 2≥25,即0<d ≤ 3.又d =21+k2,所以21+k2≤3,解得|k |≥33.由直线l :y =kx +2过双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 和虚轴的上端点B (0,b ),得|k |=b c .所以b c ≥33,即b 2c 2≥13,所以c 2-a 2c 2≥13,即1-1e 2≥13,所以e ≥62,即双曲线的离心率e 的取值范围是[62,+∞).故选C.二、填空题7.已知双曲线x 24-y 2b2=1(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点,四边形的ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为______.解析:根据对称性,不妨设A 在第一象限,A (x ,y ),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=4,y =b 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =4b 2+4,y =4b 2+4·b 2,所以xy =16b 2+4·b 2=b 2⇒b 2=12,故双曲线的方程为x 24-y212=1.答案:x 24-y 212=1 8.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线l ,过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ,与C 的一个交点为点B ,若AM →=MB →,则p =________.解析:设直线AB :y =3x -3,代入y 2=2px 得:3x 2+(-6-2p )x +3=0, 又因为AM →=MB →,即M 为A ,B 的中点,所以x B +(-p 2)=2,即x B =2+p2,得p 2+4p -12=0,解得p =2,p =-6(舍去). 答案:29.(2019·昆明市质量检测)已知抛物线y 2=4x 上一点P 到准线的距离为d 1,到直线l :4x -3y +11=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为________.解析:如图,设抛物线的准线为m ,焦点为F ,分别过点P ,F 作PA ⊥m ,PM ⊥l ,FN ⊥l ,垂足分别为A ,M ,N .连接PF ,因为点P 在抛物线上,所以|PA |=|PF |,所以(d 1+d 2)min =(|PF |+|PM |)min =|FN |.点F (1,0)到直线l 的距离|FN |=|4+11|42+(-3)2=3,所以(d 1+d 2)min =3.答案:3 三、解答题10.(2019·长春市质量监测(二))已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的中心是坐标原点O ,左、右焦点分别为F 1,F 2,设P 是椭圆C 上一点,满足PF 2⊥x 轴,|PF 2|=12,椭圆C 的离心率为32. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 的左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,求△AOB 的面积.解:(1)由题意知,离心率e =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2=32,|PF 2|=b 2a =12,得a =2,b =1,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由条件可知F 1(-3,0),直线l :y =x +3,联立直线l 和椭圆C 的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y =x +3x 24+y 2=1,消去y 得5x 2+83x +8=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-835,x 1·x 2=85,所以|y 1-y 2|=|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=425,所以S △AOB =12·|y 1-y 2|·|OF 1|=265. 11.(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若AP →=3PB →,求|AB |.解:设直线l :y =32x +t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34,0,故|AF |+|BF |=x 1+x 2+32,由题设可得x 1+x 2=52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =32x +t ,y 2=3x可得9x 2+12(t -1)x +4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t -1)9.从而-12(t -1)9=52,得t =-78.所以l 的方程为y =32x -78.(2)由AP →=3PB →可得y 1=-3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =32x +t ,y 2=3x可得y 2-2y +2t =0. 所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3. 代入C 的方程得x 1=3,x 2=13.故|AB |=4133.12.已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12,其中一个顶点是抛物线x 2=-43y 的焦点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ,求直线l 的方程和点M 的坐标.解:(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),由题意得b =3,c a =12,解得a =2,c =1.故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切,所以直线l 的斜率存在, 故可设直线l 的方程为y =k (x -2)+1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 23=1,y =k (x -2)+1,得(3+4k 2)x 2-8k (2k -1)x +16k 2-16k -8=0.① 因为直线l 与椭圆C 相切,所以Δ=[-8k (2k -1)]2-4(3+4k 2)(16k 2-16k -8)=0. 整理,得2k +1=0, 解得k =-12.所以直线l 的方程为y =-12(x -2)+1=-12x +2.将k =-12代入①式,可以解得M 点的横坐标为1,故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32.。

2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线练习 文(含解析)

2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线练习 文(含解析)

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线A 级 基础通关一、选择题1.(2019·北京卷)已知双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)的离心率是5,则a =( )A. 6B .4C .2D.12解析:由双曲线方程x 2a2-y 2=1,得b 2=1,所以c 2=a 2+1.所以5=e 2=c 2a 2=a 2+1a 2=1+1a2.结合a >0,解得a =12.答案:D2.抛物线y 2=2px (p >0)经过点M (x 0,22),若点M 到焦点F 的距离|MF |=3,则抛物线的方程为( )A .y 2=4x B .y 2=2x 或y 2=4x C .y 2=8xD .y 2=4x 或y 2=8x解析:因为点M (x 0,22)在y 2=2px 上, 所以8=2px 0,得x 0=4p.又|MF |=3,得4p +p2=3,解得p =2或p =4.所以抛物线方程为y 2=4x 或y 2=8x . 答案:D3.(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C :x 2a 2+y 24=1的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223解析:不妨设a >0,由焦点F (2,0),知c =2. 所以a 2=4+c 2=8,则a =2 2.因此离心率e =c a =222=22.答案:C4.(2019·长郡中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线C :y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与(x -2)2+(y -1)2=1相切,则b a=( )A.43B.34C.169D.916解析:易知双曲线C 的一条渐近线方程为ax -by =0. 又渐近线与圆(x -2)2+(y -1)2=1相切, 所以|2a -b |a 2+b2=1,则(2a -b )2=a 2+b 2. 所以3a =4b ,因此b a =34.答案:B5.(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为( )A. 2B. 3C .2D. 5解析:设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 的坐标为(c ,0).由圆的对称性及条件|PQ |=|OF |可知,PQ 是以OF 为直径的圆的直径,且PQ ⊥OF .设PQ 与OF 交于点M ,连接OP ,如图所示. 则|OP |=a ,|OM |=|MP |=c2,由|OM |2+|MP |2=|OP |2,得2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22=a 2,故c a=2,离心率e = 2. 答案:A 二、填空题6.(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2-y 2b2=1(b >0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是________.解析:因为双曲线x 2-y 2b 2=1(b >0)经过点(3,4),则9-16b2=1(b >0),解得b =2,即双曲线方程为x 2-y 22=1,因此双曲线的渐近线方程为y =±2x . 答案:y =±2x7.(2019·珠海调研)已知直线l 是抛物线y 2=2px (p >0)的准线,半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F ,且与直线l 相切,则抛物线的方程为________.解析:由已知圆心在OF 的中垂线上,故圆心到准线的距离为34p ,所以34p =3,所以p =4,故抛物线的方程为y 2=8x .答案:y 2=8x8.(2019·全国卷Ⅲ)设F 1,F 2为椭圆C :x 236+y 220=1的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形,则M 的坐标为________.解析:设F 1为椭圆的左焦点,分析可知点M 在以F 1为圆心,焦距为半径的圆上,即在圆(x +4)2+y 2=64上.因为点M 在椭圆x 236+y 220=1上,所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧(x +4)2+y 2=64,x 236+y 220=1,解得⎩⎨⎧x =3,y =±15.又因为点M 在第一象限,所以点M 的坐标为(3,15). 答案:(3,15) 三、解答题9.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=8.(1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F (1,0),l 的方程为y =k (x -1)(k >0). 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),y 2=4x得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0.Δ=16k 2+16>0,故x 1+x 2=2k 2+4k2.所以|AB |=|AF |+|BF |=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k2.由题设知4k 2+4k2=8,解得k =-1(舍去),k =1.因此l 的方程为y =x -1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y -2=-(x -3),即y =-x +5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0=-x 0+5,(x 0+1)2=(y 0-x 0+1)22+16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=3,y 0=2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0=11,y 0=-6. 因此所求圆的方程为(x -3)2+(y -2)2=16或(x -11)2+(y +6)2=144.10.(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m >0).(1)证明:k <-12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →+FA →+FB →=0.证明:2|FP →|=|FA →|+|FB →|. 证明:(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 214+y 213=1,x 224+y 223=1. 两式相减,并由y 1-y 2x 1-x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23·k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k =-34m.由题设得0<m <32,故k <-12.(2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0). 由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m <0.又点P 在C 上,所以m =34,从而P (1,-32),|FP →|=32,于是|FA →|=(x 1-1)2+y 21=(x 1-1)2+3(1-x 214)=2-x 12.同理|FB →|=2-x 22.所以|FA →|+|FB →|=4-12(x 1+x 2)=3.故2|FP →|=|FA →|+|FB →|.B 级 能力提升11.(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B |,|AB |=|BF 1|,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1 B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1 解析:设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0).连接F 1A ,令|F 2B |=m ,则|AF 2|=2m ,|BF 1|=3m .由椭圆的定义知,4m =2a ,得m =a2,故|F 2A |=a =|F 1A |,则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点.如图.不妨设A (0,-b ),由F 2(1,0),AF 2→=2F 2B →,得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,b 2. 由点B 在椭圆上,得94a 2+b 24b 2=1,得a 2=3,b 2=a 2-c 2=2,椭圆C 的方程为x 23+y 22=1.答案:B12.(2019·天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,左顶点为A ,上顶点为B .已知3|OA |=2|OB |(O 为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ,圆C 同时与x 轴和直线l 相切,圆心C 在直线x =4上,且OC ∥AP .求椭圆的方程.解:(1)设椭圆的半焦距为c ,依题意3a =2b . 又a 2=b 2+c 2,消去b ,得a 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2+c 2,解得c a =12.所以,椭圆的离心率为12.(2)由(1)知,a =2c ,b =3c ,故椭圆方程为x 24c 2+y 23c2=1.由题意,F (-c ,0),则直线l 的方程为y =34(x +c ).点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 24c 2+y 23c2=1,y =34(x +c ),消去y 并化简,得到7x 2+6cx -13c 2=0, 解得x 1=c ,x 2=-13c7.代入到l 的方程,解得y 1=32c ,y 2=-914c .因为点P 在x 轴上方,所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,32c . 由圆心C 在直线x =4上,可设C (4,t ). 因为OC ∥AP ,且由(1)知A (-2c ,0), 故t4=32c c +2c,解得t =2. 因为圆C 与x 轴相切,所以圆C 的半径为2.又由圆C 与l 相切,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪34(4+c )-21+⎝ ⎛⎭⎪⎫342=2,可得c =2.所以,椭圆的方程为x 216+y 212=1.。

2020届高考数学二轮复习全程方略课件:专题五 解析几何 (2)椭圆、双曲线、抛物线 Word版含答

2020届高考数学二轮复习全程方略课件:专题五 解析几何 (2)椭圆、双曲线、抛物线 Word版含答

因为四边形 OABC 为正方形且边长为 2,
所以 c=|OB|=2 2, 又∠AOB=π4,所以ba=tan π4=1,即 a=b. 又 a2+b2=c2=8,所以 a=2.
第二十二页,编辑于星期日:一点 五分。
(2)因为抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1. 不妨设点 A 在点 B 的上方, 则 A-1,ba,B-1,-ba. 所以|AB|=2ab. 又 S△AOB=12×1×2ab=2 3,
33+
3 4
=7123.
第六页,编辑于星期日:一点 五分。
(2)依题意知 c=2,ba=tan 60°= 3. 又 a2+b2=c2=4. 解得 a2=1,b2=3. 故双曲线的方程为 x2-y32=1. 答案:(1)7123 (2)D
第七页,编辑于星期日:一点 五分。
[规律方法] 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离,一般运用定义 转化到准线的距离处理.如本例充分运用抛物线定义实施 转化,使解答简捷、明快. 2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后 计算”.所谓“定型”,就是指确定类型,所谓“计算”, 就是指利用待定系数法求出方程中的 a2,b2,p 的值,最 后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.
点,求△PAB 面积的最大值.
第三十二页,编辑于星期日:一点 五分。
解:(1)因为 e2=ac22=a2-a2b2=34,所以 a2=4b2. 又a42+b12=1, 所以 a2=8,b2=2. 故所求椭圆 C 的方程为x82+y22=1.
第三十三页,编辑于星期日:一点 五分。
(2)设 l 的方程为 y=12x+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2), y=12x+m,
第八页,编辑于星期日:一点 五分。

2020届高考数学复习第二编讲专题专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习文

2020届高考数学复习第二编讲专题专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习文

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线「考情研析」1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质,特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线. 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).核心知识回顾1.圆锥曲线的定义式(1)椭圆:|PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|); (2)双曲线:||PF 1|-|PF 2||=2a (2a <|F 1F 2|);(3)抛物线:|PF |=|PM |,点F 不在直线l 上,PM ⊥l 于M (l 为抛物线的准线方程). 2.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ,b ,c 之间的关系 ①在椭圆中:□01a 2=b 2+c 2;离心率为e =c a=1-b 2a 2; ②在双曲线中:□02c 2=a 2+b 2;离心率为e =c a=1+b 2a2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为□03y =±b ax ;焦点坐标F 1□04(-c,0),F 2□05(c,0);②双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为□06y =±a bx ,焦点坐标F 1□07(0,-c ),F 2□08(0,c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2=±2px (p >0)的焦点坐标为□09⎝ ⎛⎭⎪⎫±p 2,0,准线方程为□10x =∓p 2; ②抛物线x 2=±2py (p >0)的焦点坐标为□11⎝ ⎛⎭⎪⎫0,±p 2,准线方程为□12y =∓p 2. 3.弦长问题 (1)弦长公式设直线斜率为k ,直线与圆锥曲线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)时,|AB |=1+k 2|x 1-x 2| =1+k 2x 1+x 22-4x 1x 2或|AB |=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2|y 1-y 2|=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2y 1+y 22-4y 1y 2.(2)过抛物线焦点的弦长过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦AB ,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2,弦长|AB |=□01x 1+x 2+p . 热点考向探究考向1 圆锥曲线的定义和标准方程例1 (1)(2019·永州市高三第三次模拟)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ,N 两点,且FN →=3FM →,若OM ⊥FN ,则C 的离心率为( )A .2B .7C .3D .10答案 B解析 设双曲线的右焦点为F ′,取MN 的中点P ,连接F ′P ,F ′M ,F ′N ,如图所示,由FN →=3FM →,可知|MF |=|MP |=|NP |.又O 为FF ′的中点,可知OM ∥PF ′.∵OM ⊥FN ,∴PF ′⊥FN .∴PF ′为线段MN 的垂直平分线.∴|NF ′|=|MF ′|.设|MF |=t ,由双曲线定义可知|NF ′|=3t -2a ,|MF ′|=2a +t ,则3t -2a =2a +t ,解得t =2a .在Rt △MF ′P 中,|PF ′|=|MF ′|2-|MP |2=16a 2-4a 2=23a ,∴|OM |=12|PF ′|=3a .在Rt △MFO 中,|MF |2+|OM |2=|OF |2,∴4a 2+3a 2=c 2⇒e =7.故选B .(2)如图,过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ,B ,C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则抛物线的方程为( )A .y 2=32xB .y 2=3x C .y 2=92xD .y 2=9x 答案 B解析 如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,分别交准线于点E ,D ,设准线与x 轴的交点为G ,|BF |=a ,则由已知得|BC |=2a ,由定义得|BD |=a ,故∠BCD =30°.在直角三角形ACE 中,∵|AE |=|AF |=3,|AC |=3+3a ,2|AE |=|AC |,∴3+3a =6,从而得a =1.∵BD ∥FG ,∴1p =23,求得p =32,因此抛物线的方程为y 2=3x .(3)已知F 是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点,经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ,Q 两点,若|PF |=2|QF |,且∠PFQ =120°,则椭圆E 的离心率为( )A .13B .12C .33D .22答案 C解析 解法一:设F 1是椭圆E 的右焦点,如图,连接PF 1,QF 1.根据对称性,线段FF 1与线段PQ 在点O 处互相平分,所以四边形PFQF 1是平行四边形,|FQ |=|PF 1|,∠FPF 1=180°-∠PFQ =60°,根据椭圆的定义,|PF |+|PF 1|=2a ,又|PF |=2|QF |,所以|PF 1|=23a ,|PF |=43a ,而|F 1F |=2c ,在△F 1PF 中,由余弦定理,得(2c )2=⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2-2×23a ×43a ×cos60°,得c 2a 2=13,所以椭圆E 的离心率e =c a =33.故选C . 解法二:设F 1是椭圆E 的右焦点,连接PF 1,QF 1.根据对称性,线段FF 1与线段PQ 在点O 处互相平分,所以四边形PFQF 1是平行四边形,|FQ |=|PF 1|,∠FPF 1=180°-∠PFQ =60°,又|FP |=2|PF 1|,所以△FPF 1是直角三角形,∠FF 1P =90°,不妨设|PF 1|=1,则|FP |=2,|FF 1|=2c =|PF |2-|PF 1|2=22-12=3,根据椭圆的定义,2a =|PF |+|PF 1|=1+2=3,所以椭圆E 的离心率e =ca =33.故选C .圆锥曲线的定义、标准方程的关注点(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定.(3)焦点三角形的作用:借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组,便于解决问题.(4)圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用,根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题,在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线,则要把另一个焦点也考虑进去.1.(2019·江西省八所重点中学高三联考)已知曲线C 1是以原点O 为中心,F 1,F 2为焦点的椭圆,曲线C 2是以O 为顶点、F 2为焦点的抛物线,A 是曲线C 1与C 2的交点,且∠AF 2F 1为钝角,若|AF 1|=72,|AF 2|=52,则△AF 1F 2的面积是( )A . 3B .2C . 6D .4答案 C解析 画出图形如图所示,AD ⊥F 1D ,根据抛物线的定义可知|AF 2|=|AD |=52,故cos ∠F 1AD =57,也即cos ∠AF 1F 2=57,在△AF 1F 2中,由余弦定理得 57=494+|F 1F 2|2-2542×72×|F 1F 2|, 解得|F 1F 2|=2或|F 1F 2|=3,由于∠AF 2F 1为钝角,故|AD |>|F 1F 2|,所以|F 1F 2|=3舍去,故|F 1F 2|=2.而sin ∠AF 1F 2=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫572=267,所以S △AF 1F 2=12×72×2×267= 6.故选C .2.(2019·宣城市高三第二次调研)已知F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,点P 是椭圆上位于第二象限内的点,延长PF 1交椭圆于点Q ,若PF 2⊥PQ ,且|PF 2|=|PQ |,则椭圆的离心率为( )A .6- 3B .2-1C .3- 2D .2- 2答案 A解析 PF 2⊥PQ 且|PF 2|=|PQ |,可得△PQF 2为等腰直角三角形,设|PF 2|=t ,则|QF 2|=2t ,由椭圆的定义可得|PF 1|=2a -t,2t +2t =4a ,则t =2()2-2a ,在直角三角形PF 1F 2中,可得t 2+(2a -t )2=4c 2,4(6-42)a 2+(12-82)a 2=4c 2,化为c 2=(9-62)a 2,可得e =ca=6- 3.故选A . 3.P 是双曲线C :x 22-y 2=1右支上一点,直线l 是双曲线C 的一条渐近线,P 在l 上的射影为Q ,F 1是双曲线C 的左焦点,则|PF 1|+|PQ |的最小值为( )A .1B .2+155C .4+155D .22+1答案 D解析 如图所示,设双曲线右焦点为F 2,则|PF 1|+|PQ |=2a +|PF 2|+|PQ |,即当|PQ |+|PF 2|最小时,|PF 1|+|PQ |取最小值,由图知当F 2,P ,Q 三点共线时|PQ |+|PF 2|取得最小值,即F 2到直线l 的距离d =1,故所求最值为2a +1=22+1.故选D .考向2 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2019·宣城市高三第二次调研)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,直线PO 交双曲线C 左支于点M ,直线PF 2交双曲线C 右支于点N ,若|PF 1|=2|PF 2|,且∠MF 2N =60°,则双曲线C 的渐近线方程为( )A .y =±2xB .y =±22x C .y =±2x D .y =±22x答案 A解析 由题意得,|PF 1|=2|PF 2|,|PF 1|-|PF 2|=2a ,∴|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a ,由于P ,M 关于原点对称,F 1,F 2关于原点对称,∴线段PM ,F 1F 2互相平分,四边形PF 1MF 2为平行四边形,PF 1∥MF 2,∵∠MF 2N =60°,∴∠F 1PF 2=60°,由余弦定理可得4c 2=16a 2+4a 2-2·4a ·2a ·cos60°, ∴c =3a ,∴b =c 2-a 2=2a .∴b a=2,∴双曲线C 的渐近线方程为y =±2x .故选A .(2)已知F 1,F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ,PF 1与双曲线相交于点Q ,且|PQ |=2|QF 1|,则该双曲线的离心率为( )A . 5B .2C . 3D .52答案 A解析 设|QF 1|=x ,则|PF 1|=3x ,|PQ |=2x ,由双曲线的定义知|PF 1|-|PF 2|=2a ,|QF 2|-|QF 1|=2a ,所以|PF 2|=3x -2a ,|QF 2|=x +2a ,在Rt △QPF 2中,|QP |2+|PF 2|2=|QF 2|2,即(2x )2+(3x -2a )2=(2a +x )2,可得x =43a .在Rt △PF 1F 2中,|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,即(3x )2+(3x -2a )2=(2c )2,整理可得c 2=5a 2,所以e =c a= 5.故选A .1.椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求解方法解决此类问题的关键就是确立一个关于a ,b ,c 的方程或不等式,再根据a ,b ,c 的关系消掉b 得到a ,c 的关系式,建立关于a ,b ,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等.2.双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法:把双曲线标准方程等号右边的1改为零,分解因式可得. (2)用法:①可得b a 或a b的值.②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.③利用渐近线的斜率k 求离心率e ,双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)渐近线的斜率k 与离心率e 之间满足关系式e 2=1+k 2.1.设F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,过F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点,l 在y 轴上的截距为1,若|AF 1|=2|F 1B |,且AF 2⊥x 轴,则此椭圆的短轴的长为( )A .5B .2 5C .10D . 5答案 B解析 ∵AF 2⊥x 轴,l 在y 轴上的截距为1,∴A (c,2),又|AF 1|=2|F 1B |,∴B (-2c ,-1),则⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2+4b 2=1,4c 2a 2+1b 2=1,∴16b2-1b2=3,即b 2=5,∴b =5,故选B .2.(2019·毛坦厂中学高三联考)已知F 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点,过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ,若|FM |=2a ,记该双曲线的离心率为e ,则e 2=( )A .1+172B .1+174C .2+52D .2+54答案 A解析 由题意得,F (-c,0),该双曲线的一条渐近线为y =-b a x ,将x =-c 代入y =-b ax 得y =bc a ,∴bc a =2a ,即bc =2a 2,∴4a 4=b 2c 2=c 2(c 2-a 2),∴e 4-e 2-4=0,解得e 2=1+172,故选A .考向3 直线与圆锥曲线 角度1 弦中点、弦分点问题例3 (1)已知椭圆E :x 29+y 24=1,直线l 交椭圆于A ,B 两点,若AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,1,则l 的方程为( )A .2x +9y -10=0B .2x -9y -10=0C .2x +9y +10=0D .2x -9y +10=0答案 D解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 219+y 214=1,x 229+y 224=1,两式作差并化简整理得y 2-y 1x 2-x 1=-49×x 1+x 2y 1+y 2,而x 1+x 2=-1,y 1+y 2=2,所以y 2-y 1x 2-x 1=-49×x 1+x 2y 1+y 2=29,直线l 的方程为y -1=29⎝⎛⎭⎪⎫x +12,即2x -9y +10=0.经验证可知符合题意.故选D .(2)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ,B 两点,且AF →=3BF →,则双曲线C 的离心率的最小值为________.答案 2解析 因为过右焦点F 的直线与双曲线C 交于A ,B 两点,且AF →=3BF →,故点A 在双曲线的左支上,B 在双曲线的右支上,如图所示.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),右焦点F (c,0),因为AF →=3BF →,所以c -x 1=3(c -x 2),即3x 2-x 1=2c ,由图可知,x 1≤-a ,x 2≥a ,所以-x 1≥a,3x 2≥3a ,故3x 2-x 1≥4a ,即2c ≥4a ,故e ≥2,所以双曲线C 的离心率的最小值为2.(1)弦中点问题:在涉及圆锥曲线弦中点的问题中,基本的处理方法有两个:一是设出弦的端点坐标,使用“点差法”;二是设出弦所在的直线方程,利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程,根据根与系数的关系建立弦的端点坐标与中点坐标间的关系后解决问题.(2)弦分点问题:解决与弦分点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法,就是将其转化为弦端点及弦分点的坐标关系,再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系,构建方程(组)求解.1.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ,B 两点,且AB 的中点为N (12,15),则双曲线C 的离心率为( )A .2B .32C .355D .52答案 B解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由AB 的中点为N (12,15),则x 1+x 2=24,y 1+y 2=30,由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2-y 21b2=1,x 22a 2-y 22b 2=1,两式相减得,x 1+x 2x 1-x 2a2=y 1+y 2y 1-y 2b2,则y 1-y 2x 1-x 2=b 2x 1+x 2a 2y 1+y 2=4b 25a 2,由直线AB 的斜率k =15-612-3=1,所以4b 25a 2=1,则b 2a 2=54,双曲线的离心率e =ca =1+b 2a 2=32,所以双曲线C 的离心率为32.故选B . 2.(2019·汉中市重点中学高三联考)已知抛物线C :y 2=6x ,直线l 过点P (2,2),且与抛物线C 交于M ,N 两点,若线段MN 的中点恰好为点P ,则直线l 的斜率为( )A .13 B .54 C .32 D .14答案 C解析 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)代入C :y 2=6x ,得⎩⎪⎨⎪⎧y 21=6x 1, ①y 22=6x 2, ②①-②得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=6(x 1-x 2).因为线段MN 的中点恰好为点P ,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=4,y 1+y 2=4,从而4(y 1-y 2)=6(x 1-x 2),即l 的斜率为y 1-y 2x 1-x 2=32.故选C . 角度2 弦长问题例4 (2019·宜宾市高三第二次诊断)已知点M 到定点F (4,0)的距离和它到直线l :x =254的距离的比是常数45. (1)求点M 的轨迹C 的方程;(2)若直线l :y =kx +m 与圆x 2+y 2=9相切,切点N 在第四象限,直线与曲线C 交于A ,B 两点,求证:△FAB 的周长为定值.解 (1)设M (x ,y ),由题意得x -2+y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -254=45, ∴x 225+y 29=1为点M 的轨迹C 的方程. (2)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题知k >0,m <0, ∵直线l :y =kx +m 与圆x 2+y 2=9相切, ∴|m |k 2+1=3,即m 2=9(k 2+1),把y =kx +m 代入x 225+y 29=1,得(25k 2+9)x 2+50kmx +25m 2-225=0,显然Δ>0,x 1+x 2=-50km 25k 2+9,x 1x 2=25m 2-22525k 2+9, ∴|AB |=k 2+1|x 1-x 2| =k 2+1⎝ ⎛⎭⎪⎫-50km 25k 2+92-4×25m 2-22525k 2+9=120k k 2+125k 2+9, |FA |+|FB |=5-45x 1+5-45x 2=10-45(x 1+x 2)=10+40km 25k 2+9=10-120k k 2+125k 2+9, ∴|FA |+|FB |+|AB |=10, ∴△FAB 的周长为定值10.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题,应熟练地利用根与系数的关系,设而不求计算弦长;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.(2)弦长计算公式:直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则弦长|AB |=1+k 2·x 1+x 22-4x 1x 2,其中k 为弦AB 所在直线的斜率.(2019·云南省高三第一次统一检测)已知椭圆E 的中心在原点,左焦点F 1、右焦点F 2都在x 轴上,点M 是椭圆E 上的动点,△F 1MF 2的面积的最大值为3,在x 轴上方使MF 1→·MF 2→=2成立的点M 只有一个.(1)求椭圆E 的方程;(2)过点(-1,0)的两直线l 1,l 2分别与椭圆E 交于点A ,B 和点C ,D ,且l 1⊥l 2,比较12(|AB |+|CD |)与7|AB ||CD |的大小.解 (1)根据已知设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),c =a 2-b 2.在x 轴上方使MF 1→·MF 2→=2成立的点M 只有一个,∴在x 轴上方使MF 1→·MF 2→=2成立的点M 是椭圆E 的短轴的端点. 当点M 是短轴的端点时,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧bc =3,MF 1→·MF 2→=b 2-c 2=2,c =a 2-b 2,解得⎩⎨⎧a =2,b =3,c =1.∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)12(|AB |+|CD |)=7|AB ||CD |.若直线AB 的斜率为0或不存在时,|AB |=2a =4且|CD |=2b2a=3或|CD |=2a =4且|AB |=2b2a=3.由12(|AB |+|CD |)=12×(3+4)=84, 7|AB ||CD |=7×3×4=84, 得12(|AB |+|CD |)=7|AB ||CD |.若AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB :y =k (x +1)(k ≠0),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k x +,x 24+y23=1,得(4k 2+3)x 2+8k 2x +4k 2-12=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8k24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3,于是|AB |=1+k 2|x 2-x 1|=+k2x 1+x 22-4x 1x 2]=k 2+4k 2+3.同理可得|CD |=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫-1k 2+14⎝ ⎛⎭⎪⎫-1k 2+3=k 2+3k 2+4.∴1|AB |+1|CD |=3k 2+4+4k 2+3k 2+=712. ∴12(|AB |+|CD |)=7|AB ||CD |. 综上,12(|AB |+|CD |)=7|AB ||CD |.真题押题『真题模拟』1.(2019·天津高考)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且|AB |=4|OF |(O 为原点),则双曲线的离心率为( )A . 2B . 3C .2D . 5答案 D解析 由已知易得,抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),准线l :x =-1,所以|OF |=1.又双曲线的两条渐近线的方程为y =±b ax ,不妨设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,b a ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-b a,所以|AB |=2b a=4|OF |=4,所以ba=2,即b =2a ,所以b 2=4a 2.又双曲线方程中c 2=a 2+b 2,所以c 2=5a 2,所以e =c a= 5.故选D .2.(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B |,|AB |=|BF 1|,则C 的方程为( )A .x 22+y 2=1B .x 23+y 22=1C .x 24+y 23=1D .x 25+y 24=1答案 B解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0).由椭圆的定义可得|AF 1|+|AB |+|BF 1|=4a .∵|AB |=|BF 1|,|AF 2|=2|F 2B |,∴|AB |=|BF 1|=32|AF 2|,∴|AF 1|+3|AF 2|=4a .又∵|AF 1|+|AF 2|=2a ,∴|AF 1|=|AF 2|=a ,∴点A 是椭圆的短轴端点,如图.不妨设A (0,-b ),由F 2(1,0),AF 2→=2F 2B →,得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,b 2.由点B 在椭圆上,得94a 2+b 24b 2=1,得a 2=3,b 2=a 2-c 2=2.∴椭圆C 的方程为x 23+y 22=1.故选B .3.(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p=1的一个焦点,则p=( )A .2B .3C .4D .8答案 D解析 抛物线y 2=2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0,椭圆x 23p +y 2p =1的焦点坐标为()±2p ,0.由题意得p2=2p ,解得p =0(舍去)或p =8.故选D .4.(2019·凯里市第一中学高三下学期模拟)已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点,A是椭圆短轴的一个端点,若F 为过AF 的椭圆的弦的三等分点,则椭圆的离心率为( )A .13B .33C .12D .32答案 B解析 延长AF 交椭圆于点B ,设椭圆左焦点为F ′,连接AF ′,BF ′.根据题意|AF |=b 2+c 2=a ,|AF |=2|FB |,所以|FB |=a 2.根据椭圆定义|BF ′|+|BF |=2a ,所以|BF ′|=3a2.在△AFF ′中,由余弦定理得cos ∠F ′AF =|F ′A |2+|FA |2-|F ′F |22|F ′A |·|FA |=2a 2-4c22a 2.在△AF ′B 中,由余弦定理得 cos ∠F ′AB =|F ′A |2+|AB |2-|BF ′|22|F ′A |·|AB |=13,所以2a 2-4c 22a 2=13,解得a =3c ,所以椭圆离心率为e =ca =33.故选B . 5.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C :x 24-y 22=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO |=|PF |,则△PFO 的面积为( )A .324B .322C .2 2D .3 2答案 A解析 双曲线x 24-y 22=1的右焦点坐标为(6,0),一条渐近线的方程为y =22x ,不妨设点P 在第一象限,由于|PO |=|PF |,则点P 的横坐标为62,纵坐标为22×62=32,即△PFO 的底边长为6,高为32,所以它的面积为12×6×32=324.故选A .『金版押题』6.已知点F 为椭圆C :x 22+y 2=1的左焦点,点P 为椭圆C 上任意一点,点Q 的坐标为(4,3),则|PQ |+|PF |取最大值时,点P 的坐标为________.答案 (0,-1)解析 设椭圆的右焦点为E ,|PQ |+|PF |=|PQ |+2a -|PE |=|PQ |-|PE |+2 2.当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时,|PQ |+|PF |取最大值,此时,直线PQ 的方程为y =x -1,QE 的延长线与椭圆交于点(0,-1),即点P 的坐标为(0,-1).7.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线于N ,若2MF →=FN →,则双曲线的离心率为________.答案233解析 设右焦点F (c,0),渐近线OM ,ON 的方程分别为y =b a x ,y =-b ax . 不失一般性,设过F 的垂线为x =-b ay +c .由⎩⎪⎨⎪⎧y =-b a x ,x =-ba y +c得y N =-bca1-b 2a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y =b a x ,x =-b ay +c得y M =bca 1+b 2a 2.因为2M F →=FN →,所以-2y M =y N ,即-2bc a 1+b 2a 2=-bca 1-b 2a2, 易解得b 2a 2=13,所以e =1+b 2a2= 1+13=233. 配套作业一、选择题1.(2019·抚顺市高三第一次模拟)已知双曲线C :x 2a 2+1-y 2=1(a >0)的右顶点为A ,O为坐标原点,若|OA |<2,则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫52,+∞ B .⎝ ⎛⎭⎪⎫1,52C .⎝⎛⎭⎪⎫52,2 D .(1,2)答案 C 解析 双曲线C :x 2a 2+1-y 2=1(a >0)中,右顶点为A (a 2+1,0),∴|OA |=a 2+1<2,∴1<a 2+1<4,∴1>1a 2+1>14,∵c 2=a 2+1+1=a 2+2,∴c =a 2+2,∴e =a 2+2a 2+1=a 2+2a 2+1=1+1a 2+1, ∴1+14<e <1+1,即52<e < 2.故选C . 2.若圆锥曲线C :x 2+my 2=1的离心率为2,则m =( ) A .-33B .33C .-13D .13答案 C解析 因为圆锥曲线C 的离心率为2,故为双曲线,所以m <0,方程为x 2-y 2-1m=1,所以a 2=1,b 2=-1m ,c 2=1-1m,e =2,∴1-1m =4,∴m =-13.故选C .3.(2019·德阳市高三第二次诊断)已知抛物线x 2=2py (p ≠0)的准线与圆C :(x -2)2+(y -1)2=1相切,则抛物线的方程为( )A .x 2=-4yB .x 2=-8yC .x 2=2yD .x 2=-4y 或x 2=4y答案 B解析 圆C :(x -2)2+(y -1)2=1,抛物线x 2=2py (p ≠0)的准线为y =-p2,∵抛物线x 2=2py (p ≠0)的准线与圆C :(x -2)2+(y -1)2=1相切,∴-p2=2,解得p =-4.抛物线方程为x 2=-8y .故选B .4.(2019·新疆维吾尔族自治区普通高考第二次适应性检测)椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点为F 1,F 2,若在椭圆上存在一点P ,使得△PF 1F 2的内心I 与重心G 满足IG ∥F 1F 2,则椭圆的离心率为( )A .22B .23C .13D .12答案 D解析 设P (x 0,y 0),又F 1(-c,0),F 2(c,0),则△PF 1F 2的重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 03,y 03.因为IG ∥F 1F 2,所以△PF 1F 2的内心I 的纵坐标为y 03.即△PF 1F 2的内切圆半径为|y 0|3.由△PF 1F 2的面积S =12(|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|)r ,S =12|F 1F 2||y 0|及椭圆定义|PF 1|+|PF 2|=2a ,得12(2a +2c )|y 0|3=⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×2cy 0,解得e =12.故选D .5.过双曲线x 24-y 2b2=1(b >0)的左焦点的直线交双曲线的左支于A ,B 两点,且|AB |=6,这样的直线可以作2条,则b 的取值范围是( )A .(0,2]B .(0,2)C .(0,6]D .(0,6)答案 D解析 因为双曲线过焦点的弦中与轴垂直的弦是最短的弦,且过一个焦点只能作一条,所以过左焦点的直线与双曲线的左支交于A ,B 两点,|AB |=6,且可作两条,则要求2b2a<6,a=2,即b 2<6,又b >0,故b 的取值范围为(0,6),故选D .6.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为26,则|AB |=( )A .24B .8C .12D .16答案 A解析 由题意可知斜率k 存在,设直线斜率为k ,即y =k (x -1),与y 2=4x 联立,得k 2x2-(2k 2+4)x +k 2=0,∴x 1+x 2=2k 2+4k 2,x 1x 2=1.∵O 到AB 的距离d =|k |1+k 2,|AB |=x 1+x 2+p =4k 2+4k 2,∴26=12·|k |1+k2·4k 2+4k 2,∴k 2=15,∴|AB |=45+415=24.故选A . 7.已知双曲线x 23-y 2=1的右焦点是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,直线y =kx +m 与抛物线相交于A ,B 两个不同的点,点M (2,2)是AB 的中点,则△AOB (O 为坐标原点)的面积是( )A .4 3B .313C .14D .2 3答案 D解析 ∵双曲线右焦点为(2,0),∴抛物线焦点为(2,0),∴y 2=8x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧y 21=8x 1, ①y 22=8x 2, ②①-②得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=8(x 1-x 2),∴y 1-y 2x 1-x 2=8y 1+y 2=84=2.∴直线AB 斜率为2,又过点M (2,2),∴直线AB 方程为y =2x -2.将直线AB 方程与y 2=8x 联立得x 2-4x +1=0,∴x 1+x 2=4,x 1x 2=1,∴|AB |=k 2+1·x 1+x 22-4x 1x 2=5×16-4=215.又∵O 到AB 的距离d =25=255. ∴S △AOB =12×215×255=2 3.故选D .8.(2019·南开中学高三第三次教学质量检测)如图,抛物线C 1:y 2=4x ,圆C 2:(x -1)2+y 2=1,过C 1的焦点F 的直线从上至下依次交C 1,C 2于点A ,B ,C ,D .若|FD |=|AB |,O 为坐标原点,则OF →·DA →=( )A .-2B .1C .4D .2 3答案 B解析 由题可设A (a 2,2a ),D (d 2,2d ),其中a >0,d <0.又焦点F (1,0),所以|FD |=1+d 2,|FA |=1+a 2,所以|AB |=|FA |-|FB |=a 2,由题得1+d 2=a 2,所以a 2-d 2=1.所以OF →·DA →=(1,0)·(a 2-d 2,2a -2d )=a 2-d 2=1,所以OF →·DA →=1.故选B .二、填空题9.(2019·长沙市长郡中学高三上学期第一次适应性考试)已知抛物线E :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,其准线与y 轴交于点D ,过点F 作直线交抛物线E 于A ,B 两点,若AB ⊥AD 且|BF |=|AF |+4,则p 的值为________.答案 2解析 当k 不存在时,直线与抛物线不会交于两点.当k 存在时(如图),设直线AB 的方程为y =kx +p2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-p 2.则有x 21=2py 1,x 22=2py 2,联立直线与抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +p 2,x 2=2py ,整理得x 2-2pkx -p 2=0,所以x 1x 2=-p 2,x 1+x 2=2pk ,所以y 1y 2=⎝⎛⎭⎪⎫kx 1+p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2+p 2=p 24, AF →=⎝⎛⎭⎪⎫-x 1,p 2-y 1,AD →=⎝⎛⎭⎪⎫-x 1,-p 2-y 1又AB ⊥AD ,所以-x 1(-x 1)+⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2-y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫-p2-y 1=0,整理得x 21+y 21=p 24,即2py 1+y 21=p 24,解得y 1=5-22p . 因为y 1y 2=p 24,所以y 2=5+22p , 又|AF |=y 1+p 2,|BF |=y 2+p 2,代入|BF |=|AF |+4得,y 2+p 2=y 1+p2+4.解得p =2.10.已知椭圆x 216+y 24=1上的两点A ,B 关于直线2x -2y -3=0对称,则弦AB 的中点坐标为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,12 解析 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),弦AB 的中点M (x 0,y 0),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2116+y 214=1,x 2216+y224=1,两式相减得2x 0x 1-x 216+2y 0y 1-y 24=0,因为点A ,B 关于直线2x -2y -3=0对称,所以k AB=y 1-y 2x 1-x 2=-1,故x 08-y 02=0,即x 0=4y 0.又点M (x 0,y 0)在直线2x -2y -3=0上,所以x 0=2,y 0=12,即弦AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2,12.三、解答题11.(2019·甘肃省高三第一次高考诊断)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,且经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫3,12.(1)求椭圆C 的方程;(2)与x 轴不垂直的直线l 经过N (0,2),且与椭圆C 交于A ,B 两点,若坐标原点O 在以AB 为直径的圆内,求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2+14b2=1,a 2=b 2+c 2,c a =32,解得a =2,b =1,∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +2,代入椭圆方程x 24+y 2=1整理可得(1+4k 2)x 2+82kx+4=0,Δ=(82k )2-16(1+4k 2)>0,解得k >12或k <-12,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),又x 1+x 2=-82k 1+4k 2,x 1·x 2=41+4k 2,∴y 1y 2=k 2x 1x 2+2k (x 1+x 2)+2,∵坐标原点O 在以AB 为直径的圆内,∴OA →·OB →<0,∴x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+2=(1+k 2)·41+4k 2+2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫-82k 1+4k 2+2<0, 解得k <-62或k >62. 故直线l 斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-62∪⎝ ⎛⎭⎪⎫62,+∞. 12.(2019·湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)如图,已知抛物线L :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,过点M (5,0)的动直线l 与抛物线L 交于A ,B 两点,直线AF 交抛物线L 于另一点C ,|AC |的最小值为4.(1)求抛物线L 的方程;(2)记△ABC ,△AFM 的面积分别为S 1,S 2,求S 1·S 2的最小值.解 (1)由已知及抛物线的几何性质可得|AC |min =2p =4,∴p =2,∴抛物线L 的方程为y 2=4x .(2)如图,设直线AB :x =ty +5, 直线AC :x =my +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),由⎩⎪⎨⎪⎧x =ty +5,y 2=4x ,整理得y 2-4ty -20=0,∴y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-20,同理可得y 1y 3=-4,从而C ⎝⎛⎭⎪⎫4y 21,-4y1,点C 到AB 的距离d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21+4t y 1-51+t2=11+t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪16y 21+4, |AB |=1+t 2|y 1-y 2|=1+t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1+20y 1,∴S 1=12·11+t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪16y 21+4·1+t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1+20y 1 =2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21+1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1+20y 1=2|y 1|·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21+1(y 21+20).又S 2=12×4×|y 1|=2|y 1|,∴S 1·S 2=4⎝⎛⎭⎪⎫4y 21+1(y 21+20)=4⎝⎛⎭⎪⎫y 21+80y21+24≥4×(85+24)=96+32 5. 当且仅当y 21=45,即A (5,±245)时,S 1·S 2有最小值96+32 5.13.(2019·河南省顶级名校高三联合质量测评)已知椭圆O :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ,B ,点P 在椭圆O 上运动,若△PAB 面积的最大值为23,椭圆O 的离心率为12.(1)求椭圆O 的标准方程;(2)过B 点作圆E :x 2+(y -2)2=r 2(0<r <2)的两条切线,分别与椭圆O 交于两点C ,D (异于点B ),当r 变化时,直线CD 是否恒过某定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.解 (1)由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点时,S △PAB 最大,此时S △PAB =12×2ab =ab =23,所以⎩⎪⎨⎪⎧ab =23,c a =12,a 2-b 2=c 2,解得a =2,b =3,c =1,所以椭圆O 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)设过点B (2,0)与圆E 相切的直线方程为y =k (x -2),即kx -y -2k =0, 因为直线与圆E :x 2+(y -2)2=r 2相切, 所以d =|-2-2k |k 2+1=r , 即得(4-r 2)k 2+8k +4-r 2=0.设两切线的斜率分别为k 1,k 2(k 1≠k 2),则k 1k 2=1, 设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k 1x -,x 24+y23=1,整理得(3+4k 21)x 2-16k 21x +16k 21-12=0,∴2x 1=16k 21-123+4k 21,即x 1=8k 21-63+4k 21,∴y 1=-12k 13+4k 21,同理x 2=8k 22-63+4k 22=8-6k 214+3k 21,y 2=-12k 23+4k 22=-12k 14+3k 21.∴k CD =y 2-y 1x 2-x 1=-12k 14+3k 21--12k 13+4k 218-6k 214+3k 21-8k 21-63+4k 21=k 1k 21+,所以直线CD 的方程为y +12k 13+4k 21=k 1k 21+⎝⎛⎭⎪⎫x -8k 21-63+4k 21.整理得y =k 1k 21+x -7k 1k 21+=k 1k 21+(x -14),所以直线CD 恒过定点(14,0).14.(2019·日照市高三联考)已知抛物线E :y 2=2px (p >0)上在第一象限内的点H (1,t )到焦点F 的距离为2.(1)若M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,0,过点M ,H 的直线与该抛物线相交于另一点N ,求|NF |的值;(2)设A ,B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点,且OA →·OB →=94(其中O 为坐标原点).①求证:直线AB 必过定点,并求出该定点Q 的坐标;②过点Q 作AB 的垂线与该抛物线交于G ,D 两点,求四边形AGBD 面积的最小值. 解 (1)∵点H (1,t )在抛物线E 上,∴1+p2=2,解得p =2,故抛物线E 的方程为y 2=4x ,所以当x =1时,t =2或t =-2(舍去),∴直线MH 的方程为y =85x +25,联立y 2=4x 可得,x N =116,|NF |=x N +p 2=1+116=1716.(2)①证明:设直线AB :x =my +t ,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214,y 1,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224,y 2,联立抛物线方程可得y 2-4my-4t =0,y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4t , 由OA →·OB →=94得,y 1y 2216+y 1y 2=94,解得y 1y 2=-18或y 1y 2=2(舍去),即-4t =-18,可得t =92,所以直线AB 过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫92,0. ②由①得|AB |=1+m 2|y 2-y 1|=1+m 2·16m 2+72. 同理得,|GD |=1+⎝⎛⎭⎪⎫-1m 2|y 4-y 3|=1+1m 2·72+16m2.则四边形AGBD 的面积S =12|AB |·|GD |=121+m 2·16m 2+72·1+1m2·72+16m2=4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2+⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2+1m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤85+18⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2+1m 2. 令m 2+1m2=μ(μ≥2),则S =418μ2+121μ+170是关于μ在μ∈[2,+∞)上的增函数,故当μ=2时,S min =88.当且仅当m =±1时取到最小值88.。

2020版高考数学二轮复习教程第二编专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习理

2020版高考数学二轮复习教程第二编专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习理

第2讲椭圆、双曲线、抛物线「考情研析」 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质,特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线. 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).核心知识回顾1.圆锥曲线的定义式(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a〉|F1F2|);(2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|);(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M(l 为抛物线的准线方程).2.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系①在椭圆中:错误!a2=b2+c2;离心率为e=错误!=错误!;错误!c2=a2+b2;离心率为e=错误!=错误!.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线错误!-错误!=1(a〉0,b>0)的渐近线方程为错误!y=±错误! x;焦点坐标F1错误!(-c,0),F2错误!(c,0);②双曲线错误!-错误!=1(a〉0,b〉0)的渐近线方程为错误!y=±错误!x,焦点坐标F1错误!(0,-c),F2错误!(0,c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2=±2px(p〉0)的焦点坐标为错误!错误!,准线方程为错误! x=∓错误!;②抛物线x2=±2py(p>0)的焦点坐标为错误!错误!,准线方程为错误!y =∓错误!。

3.弦长问题(1)弦长公式设直线斜率为k,直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=错误!|x1-x2|=错误!错误!或|AB|=错误!|y1-y2|=错误!错误!.(2)过抛物线焦点的弦长过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=错误!,y1y2=-p2,弦长|AB|=错误!x1+x2+p。

热点考向探究考向1 圆锥曲线的定义和标准方程例1 (1)(2019·永州市高三第三次模拟)过双曲线C:错误!-错误!=1(a>0,b〉0)左焦点F的直线l与C交于M,N两点,且错误!=3错误!,若OM⊥FN,则C的离心率为( )A.2 B.7 C.3 D。

2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第2讲 椭圆 双曲线 抛物线教案

2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第2讲 椭圆 双曲线 抛物线教案

2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第2讲 椭圆 双曲线 抛物线教案自主学习导引真题感悟1.(2012·江西)椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ,左、右焦点分别是F 1、F 2,若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为A.14B.55C.12D.5-2解析 利用等比中项性质确定a ,c 的关系.由题意知|AF 1|=a -c ,|F 1F 2|=2c ,|F 1B |=a +c ,且三者成等比数列,则|F 1F 2|2=|AF 1|·|F 1B |,即4c 2=a 2-c 2,a 2=5c 2,所以e 2=15,所以e =55.答案 B2.(2012·山东)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2.若抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为A .x 2=833yB .x 2=1633yC .x 2=8yD .x 2=16y解析 根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解.∵双曲线C 1:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,∴c a =a 2+b 2a=2,∴b =3a , ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y =0,∴抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0,p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22=2,∴p =8.∴所求的抛物线方程为x 2=16y . 答案 D考题分析椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质、方程一直是每年高考必要内容.近几年命题更加注意知识的融合创新,涉及导数、函数、不等式、数列、向量等知识,同时注意思想方法的运用.网络构建高频考点突破考点一:圆锥曲线的定义及应用【例1】(2012·潍坊二模)已知双曲线C :x 24-y 25=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,P 为C的右支上一点,且|PF 2|=|F 1F 2|,则PF 1→·PF 2→等于A .24B .48C .50D .56[审题导引] 据已知条件和双曲线的定义可以求出|PF 1|与|PF 2|的长,在△PF 1F 2中利用余弦定理可求两向量夹角的余弦值,即得PF 1→·PF 2→.[规范解答] 如图所示,|PF 2|=|F 1F 2|=6,由双曲线定义可得,|PF 1|=10. 在△PF 1F 2中,由余弦定理可得,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=102+62-622×10×6=56.∴PF 1→·PF 2→=|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2=10×6×56=50.[答案] C 【规律总结】焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形,就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点,另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形.(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识: ①椭圆或双曲线的定义; ②勾股定理或余弦定理;③基本不等式与三角形的面积公式. 【变式训练】1.已知双曲线x 2m -y 27=1,直线l 过其左焦点F 1,交双曲线左支于A 、B 两点,且|AB |=4,F 2为双曲线的右焦点,△ABF 2的周长为20,则m 的值为A .8B .9C .16D .20解析 由双曲线的定义可知,|AF 2|-|AF 1|=2m , |BF 2|-|BF 1|=2m ,所以(|AF 2|+|BF 2|)-(|AF 1|+|BF 1|)=4m , |AF 2|+|BF 2|-|AB |=4m , |AF 2|+|BF 2|=4+4m . 又|AF 2|+|BF 2|+|AB |=20, 即4+4m +4=20. 所以m =9. 答案 B2.(2012·四川)椭圆x 24+y 23=1的左焦点为F ,直线x =m 与椭圆相交于点A 、B ,当△FAB的周长最大时,△FAB 的面积是________.解析 根据椭圆的定义结合其几何性质求解.直线x =m 过右焦点(1,0)时,△FAB 的周长最大,由椭圆定义知,其周长为4a =8,此时,|AB |=2×b 2a =2×32=3,∴S △FAB =12×2×3=3.答案 3考点二:圆锥曲线的性质【例2】(2012·咸阳二模)已知椭圆C 1:x 2m +2+y 2n =1与双曲线C 2:x 2m -y 2n=1共焦点,则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为A.⎝⎛⎭⎪⎫22,1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22 C .(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 [审题导引] 根据椭圆与双曲线的方程确定其焦点位置,进而求出m 、n 的范围,可求离心率e 的取值范围.[规范解答] 由双曲线的方程知,椭圆与双曲线的焦点在x 轴,∴⎩⎪⎨⎪⎧m +2-n =m +nm +2>0m >0n >0m +2>n,∴⎩⎪⎨⎪⎧n =1m >0.设椭圆C 1的离心率为e ,∴e 2=1-nm +2=1-1m +2. ∵m >0,∴e 2>12,e >22,即离心率的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22,1. [答案] A【规律总结】离心率的求法双曲线与椭圆的离心率就是ca的值,有些试题中可以直接求出a 、c 的值再求离心率,在有些试题中不能直接求出a 、c 的值,由于离心率是个比值,因此只要能够找到一个关于a 、c或a 、b 的方程,通过这个方程解出c a 或b a ,利用公式e =ca求出,对双曲线来说,e =1+b 2a2,对椭圆来说,e =1-b 2a2.【变式训练】3.(2012·日照模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2,一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为A .y =±32xB .y =±32x C .y =±33xD .y =±3x解析 抛物线y 2=16x 的焦点为(4,0),∴c =4,e =c a =4a =2,∴a =2,b =c 2-a 2=16-4=23,故渐近线方程为y =±3x . 答案 D4.(2012·济南三模)已知双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (c 为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为 A.52B.32C.352D.23解析 易知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线为y =±bax ,即±bx -ay =0.不妨设双曲线的焦点为F (c,0), 据题意,得53c =|±bc |a 2+b2,∴b =53c , ∴a 2+b 2=a 2+59c 2=c 2,即a 2=49c 2,∴e 2=c 2a 2=94,∴e =32.答案 B考点三:求圆锥曲线的方程【例3】(1)(2012·湖南)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的焦距为10,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为A.x 220-y 25=1B.x 25-y 220=1 C.x 280-y 220=1 D.x 220-y 280=1 (2)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为A .y 2=±4xB .y 2=±8xC .y 2=4xD .y 2=8x[审题导引] (1)利用焦距为10与P (2,1)在双曲线的渐近线上可列出关于a ,b 的方程组,解出a 与b ,得双曲线的方程.(2)求出各点的坐标,就可以根据三角形的面积列出关于a 的方程,解方程即得.[规范解答] (1)∵x 2a 2-y 2b2=1的焦距为10,∴c =5=a 2+b 2.①又双曲线渐近线方程为y =±b ax ,且P (2,1)在渐近线上, ∴2ba=1,即a =2b .②由①②解得a =25,b =5,故应选A.(2)抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4,0,则直线l 的方程为y =2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 4,它与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-a 2,所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪-a 2=4,解得a =±8.所以抛物线方程为y 2=±8x .故选B. [答案] (1)A (2)B 【规律总结】求圆锥曲线方程的方法(1)定义法:在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐标时常用此方法.(2)待定系数法:①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为y 2=2ax 或x 2=2ay (a ≠0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时a 不具有p 的几何意义.②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为x 2m +y 2n =1(m >0,n >0),双曲线方程可设为x 2m -y 2n=1(mn >0).这样可以避免繁琐的计算.利用以上设法,根据所给圆锥曲线的性质求出参数,即得方程.【变式训练】5.若点P (x ,y )到点F (0,2)的距离比它到直线y +4=0的距离小2,则点P (x ,y )的轨迹方程为 A .y 2=8x B .y 2=-8x C .x 2=8yD .x 2=-8y解析 点P (x ,y )到点F (0,2)的距离比它到直线y +4=0的距离小2,说明点P (x ,y )到点F (0,2)和到直线y +2=0的距离相等,所以P 点的轨迹为抛物线,设抛物线方程为x 2=2py ,其中p =4,故所求的轨迹方程为x 2=8y . 答案 C6.设椭圆x 2m 2+y 2n 2=1(m >0,n >0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为A.x 212+y 216=1B.x 216+y 212=1C.x 248+y 264=1D.x 264+y 248=1 解析 依题意得抛物线y 2=8x 的焦点坐标是(2,0),则椭圆的右焦点坐标是(2,0),由题意得m 2-n 2=22且e =2m =12,m =4,n 2=12,椭圆的方程是x 216+y 212=1,选B.答案 B名师押题高考【押题1】设F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|=|F 1F 2|,且cos ∠PF 1F 2=45,则双曲线的渐近线方程为A .3x ±4y =0B .3x ±5y =0C .4x ±3y =0D .5x ±4y =0解析 在△PF 1F 2中,由余弦定理得 cos ∠PF 1F 2=|PF 1|2+|F 1F 2|2-|PF 2|22|PF 1|·|F 1F 2|=|PF 1|24c ·|PF 1|=|PF 1|4c =45. 所以|PF 1|=165c .又|PF 1|-|PF 2|=2a ,即165c -2c =2a ,a =35c .代入c 2=a 2+b 2得b a =±43.因此,双曲线的渐近线方程为4x ±3y =0.答案 C[押题依据] 对于圆锥曲线,定义是非常重要的,高考中常以选择题或填空题的形式灵活考查圆锥曲线的定义以及由定义所涉及的几何性质.本题是典型的焦点三角形问题,突出了定义,同时考查了余弦定理,方法较灵活,故押此题.【押题2】在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为________. 解析 根据椭圆焦点在x 轴上,可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),∵e =22,∴c a =22.根据△ABF 2的周长为16得4a =16,因此a =4,b =22,∴椭圆方程为x 216+y 28=1.答案x216+y28=1 [押题依据] 椭圆的方程、几何性质与定义是解析几何的重要内容,是高考的热点问题,通常的考查方式是把椭圆的几何性质、椭圆的定义相互综合.本题难度较小,属基础题目,故押此题.。

2020版高考数学大二轮复习第二部分专题5解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线课件文

2020版高考数学大二轮复习第二部分专题5解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线课件文

2.(2019·武汉质检)已知双曲线x42-by22=1(b>0)的渐近线方程为 3x±y=0,则 b=(
)
A.2 3
B. 3
3 C. 2
D.12
解析:因为双曲线x42-by22=1(b>0)的渐近线方程为 y=±b2x,又渐近线方程为 y=± 3x,
所以b2= 3,b=2 3,故选 A. 答案:A
[题后悟通] 1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定 通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立,消元后得到一元二次ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程,其 Δ>0;另 一方法就是数形结合,如直线与双曲线有两个不同的公共点,可通过判定直线的斜率 与双曲线渐近线的斜率的大小得到.
4.(2019·桂林、崇左模拟)以抛物线 C:y2=2px(p>0)的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点.已知|AB|=2 6,|DE|=2 10,则 p 等于________. 解析:如图,|AB|=2 6,|AM|= 6, |DE|=2 10,|DN|= 10,|ON|=p2, ∴xA= 26p2=3p, ∵|OD|=|OA|, ∴ |ON|2+|DN|2= |OM|2+|AM|2, ∴p42+10=p92+6,解得:p= 2.(负值舍去) 答案: 2
线的焦点坐标为( )
A.( 3,0)
B.(0, 3)
C.(2 3,0)
D.(0,2 3)
解析:抛物线 y2=2px(p>0)上的点到准线的最小距离为 3,就是顶点到焦点的距离是 3,即p2= 3,则抛物线的焦点坐标为( 3,0).故选 A.
答案:A
3.(2019·大连模拟)过椭圆2x52+1y62 =1 的中心任作一直线交椭圆于 P,Q 两点,F 是椭

高考数学二轮专题复习训练:专题第讲 椭圆双曲线抛物线

高考数学二轮专题复习训练:专题第讲 椭圆双曲线抛物线

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 (推荐时间:60分钟) 一、填空题 1.(2011·湖南改编)设双曲线x 2a 2-y 29=1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y =0,则a 的值为________.2.已知抛物线y 2=2px (p >0)的准线与圆(x -3)2+y 2=16相切,则p 的值为________.3.(2011·江西)若双曲线y 216-x 2m=1的离心率e =2,则m =________. 4.P 为双曲线x 29-y 216=1的右支上一点,M 、N 分别是圆(x +5)2+y 2=4和(x -5)2+y 2=1上的点,则PM -PN 的最大值为________.5.两个正数a 、b 的等差中项是52,一个等比中项是6,且a >b ,则双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率e 等于________.6.设F 1、F 2分别是双曲线x 2-y 29=1的左、右焦点,若点P 在双曲线上,且PF 1→·PF 2→=0,则|PF 1→+PF 2→|等于________.7.(2011·山东改编)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C :x 2+y 2-6x +5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为________.8.已知F 1(-c,0),F 2(c,0)为椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两个焦点,P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→=c 2,则此椭圆离心率的取值范围是____________.9.(2011·辽宁)已知点(2,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1 (a >0,b >0)上,C 的焦距为4,则它的离心率为________.10.已知抛物线y =2x 2上任意一点P ,则点P 到直线x +2y +8=0的距离的最小值为________.11.已知椭圆长轴长为短轴长的3倍且经过点P (3,0),则椭圆的标准方程是________________.12.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1 (a >0,b >0)的离心率为e =2,过双曲线上一点M 作直线MA ,MB 交双曲线于A ,B 两点,且斜率分别为k 1,k 2,若直线AB 过原点O ,则k 1·k 2的值为________.二、解答题13.已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,直线l 过点A (4,0)且与抛物线交于P 、Q 两点,并设以弦PQ 为直径的圆恒过原点.(1)求焦点坐标;(2)若FP →+FQ →=FR →,试求动点R 的轨迹方程.14. (2011·陕西)如图,设P 是圆x 2+y 2=25上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影,M 为PD 上一点,且MD =45PD . (1)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度. 15.设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的离心率e =12,右焦点到直线x a +y b =1的距离d =217,O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于A ,B 两点,证明:点O 到直线AB 的距离为定值.答 案1.2 2. 2 3. 48 4. 9 5. 133 6. 210 7.x 25-y 24=1 8.⎣⎡⎦⎤33,22 9.2 10. 127580 11. x 29+y 2=1或y 281+x 29=1 12. 3 13.解 (1)设直线的方程为x =ky +4,代入y 2=2px ,得y 2-2kpy -8p =0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则有y 1+y 2=2kp ,y 1y 2=-8p .而OP →·OQ →=0,故0=x 1x 2+y 1y 2=(ky 1+4)(ky 2+4)-8p =k 2y 1y 2+4k (y 1+y 2)+16-8p , 即0=-8k 2p +8k 2p +16-8p ,得p =2,所以焦点F (1,0).(2)设R (x ,y ),由FP →+FQ →=FR →得(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(x -1,y ),所以x 1+x 2=x +1,y 1+y 2=y .而y 21=4x 1,y 22=4x 2,可得y (y 1-y 2)=(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2).又FR 的中点坐标为M (x +12,y 2), 当x 1≠x 2时,由k PQ =k MA 得4y =y 1-y 2x 1-x 2=y 2x +12-4, 整理得y 2=4x -28.当x 1=x 2时,R 的坐标为(7,0),也满足y 2=4x -28.所以y 2=4x -28即为动点R 的轨迹方程.14. 解 (1)设M 的坐标为(x ,y ),P 的坐标为(x P ,y P ), 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P =x ,y P =54y , ∵P 在圆上, ∴x 2+(54y )2=25, 即轨迹C 的方程为x 225+y 216=1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x -3), 设直线与C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将直线方程y =45(x -3)代入C 的方程,得x 225+(x -3)225=1,即x 2-3x -8=0. ∴x 1=3-412,x 2=3+412. ∴线段AB 的长度为 AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2 =(1+1625)(x 1-x 2)2 =4125×41=415. 15.(1)解 由e =12得c a =12, 即a =2c ,b =3c .由右焦点到直线x a +y b=1的距离为 d =217,得|bc -ab |a 2+b2=217, 解得a =2,b = 3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1. (2)证明 ①直线AB 斜率不存在时, 设A (m ,n ),B (m ,-n ),则n m ×-n m=-1,∴m 2=n 2. 把m 2=n 2代入x 24+y 23=1,得m 2=127. ∴O 到直线AB 的距离为|m |=2217. ②直线AB 斜率存在时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为y =kx +m ,与椭圆x 24+y 23=1联立消去y 得 (3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-12=0,x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2. ∵OA ⊥OB ,∴x 1x 2+y 1y 2=0,∴x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0.即(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,∴(k 2+1)4m 2-123+4k 2-8k 2m 23+4k2+m 2=0, 整理得7m 2=12(k 2+1),所以O 到直线AB 的距离d =|m |k 2+1=127=2217. 由①②可知,点O 到直线AB 的距离为定值.。

(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线教案

(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线教案

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程[核心提炼]1.圆锥曲线的定义、标准方程 名称 椭圆双曲线 抛物线定义|PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|)||PF 1|-|PF 2||=2a (2a <|F 1F 2|)|PF |=|PM |点F 不在直线l 上,PM ⊥l 于M 标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)y 2=2px (p >0)所谓“定型”,就是曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“定量”,就是指利用待定系数法求出方程中的a 2,b 2,p 的值.[典型例题](1)(2019·杭州市高考二模)设倾斜角为α的直线l 经过抛物线Г:y 2=2px (p >0)的焦点F ,与抛物线Г交于A ,B 两点,设点A 在x 轴上方,点B 在x 轴下方.若|AF ||BF |=m ,则cos α的值为( )A.m -1m +1 B.mm +1C.m -1mD .2mm +1(2)椭圆x 24+y 2=1上到点C (1,0)的距离最小的点P 的坐标为________.(3)(2019·高考浙江卷)已知椭圆x 29+y 25=1的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,|OF |为半径的圆上,则直线PF 的斜率是________.【解析】 (1)设抛物线y 2=2px (p >0)的准线为l :x =-p2.如图所示,分别过点A ,B 作AM ⊥l ,BN ⊥l ,垂足分别为M ,N .在三角形ABC 中,∠BAC 等于直线AB 的倾斜角α, 由|AF ||BF |=m ,|AF |=m |BF |,|AB |=|AF |+|BF |=(m +1)|BF |, 根据抛物线的定义得:|AM |=|AF |=m |BF |,|BN |=|BF |, 所以|AC |=|AM |-|MC |=m |BF |-|BF |=(m -1)|BF |,在直角三角形ABC 中,cos α=cos ∠BAC =|AC ||AB |=(m -1)|BF |(m +1)|BF |=m -1m +1,故选A.(2)设点P (x ,y ),则|PC |2=(x -1)2+y 2=(x -1)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 24 =34x 2-2x +2=34⎝⎛⎭⎪⎫x -432+23.因为-2≤x ≤2,所以当x =43时,|PC |min =63,此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43,53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43,-53.(3)通解:依题意,设点P (m ,n )(n >0),由题意知F (-2,0),所以线段FP 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2+m 2,n 2在圆x 2+y 2=4上,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫-2+m 22+⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22=4,又点P (m ,n )在椭圆x 29+y 25=1上,所以m 29+n 25=1,所以4m 2-36m -63=0,所以m =-32或m =212(舍去),n =152,所以k PF =152-0-32-(-2)=15.优解:如图,取PF 的中点M ,连接OM ,由题意知|OM |=|OF |=2,设椭圆的右焦点为F 1,连接PF 1.在△PFF 1中,OM 为中位线,所以|PF 1|=4,由椭圆的定义知|PF |+|PF 1|=6,所以|PF |=2,因为M 为PF 的中点,所以|MF |=1.在等腰三角形OMF 中,过O 作OH ⊥MF 于点H ,所以|OH |=22-⎝ ⎛⎭⎪⎫122=152,所以k PF =tan ∠HFO =15212=15.【答案】 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫43,53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43,-53 (3)15(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点,首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解. ②应用抛物线的定义,灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解.(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”.①定型.就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程. ②计算.即利用待定系数法求出方程中的a 2,b 2或p .另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y 2=2ax 或x 2=2ay (a ≠0),椭圆常设为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0),双曲线常设为mx 2-ny 2=1(mn >0).[对点训练]1.已知F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,点⎝⎛⎭⎪⎫1,22在椭圆上,且点(-1,0)到直线PF 2的距离为455,其中点P (-1,-4),则椭圆的标准方程为( )A .x 2+y 24=1B.x 24+y 2=1 C .x 2+y 22=1D.x 22+y 2=1 解析:选D.设F 2的坐标为(c ,0)(c >0),则kPF 2=4c +1,故直线PF 2的方程为y =4c +1(x -c ),即4c +1x -y -4cc +1=0,点(-1,0)到直线PF 2的距离d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪-4c +1-4c c +1⎝ ⎛⎭⎪⎫4c +12+1=4⎝ ⎛⎭⎪⎫4c +12+1=455,即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c +12=4,解得c =1或c =-3(舍去),所以a 2-b 2=1.①又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,22在椭圆E 上, 所以1a 2+12b 2=1,② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=2,b 2=1,所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.故选D.2.(2019·嘉兴一中高考适应性考试)若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍,则双曲线的离心率为________,如果双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4,则双曲线的虚轴长为________.解析:因为右焦点到渐近线的距离为b ,若右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍, 所以b =34·2c =32c , 平方得b 2=34c 2=c 2-a 2,即a 2=14c 2,则c =2a ,则离心率e =c a=2,因为双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4, 所以2a =4,则a =2, 从而b =16-4=2 3. 答案:2 4 3圆锥曲线的几何性质[核心提炼]1.椭圆、双曲线中,a ,b ,c 之间的关系(1)在椭圆中:a 2=b 2+c 2,离心率为e =ca=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2; (2)在双曲线中:c 2=a 2+b 2,离心率为e =ca=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 2.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系.[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是( ) A.22B .1 C. 2 D .2 (2)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为( )A .1 B. 2 C .2 D .2 2【解析】 (1)因为双曲线的渐近线方程为x ±y =0,所以无论双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上,都满足a =b ,所以c =2a ,所以双曲线的离心率e =c a= 2.故选C.(2)设a ,b ,c 分别为椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距,依题意知,当三角形的高为b 时面积最大,所以12×2cb =1,bc =1,而2a =2b 2+c 2≥22bc =22(当且仅当b =c =1时取等号),故选D.【答案】 (1)C (2)D圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a ,b ,c ,e 各量之间的关系是求解问题的关键.(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是确立一个关于a ,b ,c 的方程(组)或不等式(组),再根据a ,b ,c 的关系消掉b 得到a ,c 的关系式.建立关于a ,b ,c 的方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.[注] 求椭圆、双曲线的离心率,常利用方程思想及整体代入法,该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到.[对点训练]1.(2019·绍兴诸暨高考二模)设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左,右焦点分别是F 1,F 2,点P 在双曲线上,且满足∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2=60°,则此双曲线的离心率等于( )A .23-2 B.3+12C.3+1D .23+2解析:选C.设双曲线的焦距长为2c ,因为点P 为双曲线上一点,且∠PF 1F 2=30°,∠PF 2F 1=60°, 所以P 在右支上,∠F 2PF 1=90°, 即PF 1⊥PF 2,|PF 1|=2c sin 60°=3c , |PF 2|=2c cos 60°=c ,所以由双曲线的定义可得|PF 1|-|PF 2|=(3-1)c =2a , 所以e =c a=23-1=3+1.故选C.2.(2019·宁波高考模拟)如图,F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点,A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点,若AF 1⊥BF 1,且∠AF 1O =π3,则C 1与C 2的离心率之和为( )A .2 3B .4C .2 5D .2 6解析:选A.F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点,A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点,若AF 1⊥BF 1,且∠AF 1O =π3,可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12c ,32c ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ,-32c , 代入椭圆方程可得c 24a 2+3c 24b 2=1,可得e 24+34e 2-4=1,可得e 4-8e 2+4=0,解得e =3-1.代入双曲线方程可得:c 24a 2-3c 24b2=1,可得:e 24-34-4e 2=1,可得:e 4-8e 2+4=0,解得e =3+1, 则C 1与C 2的离心率之和为2 3. 故选A.直线与圆锥曲线 [核心提炼]1.直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去一个变量(如y )得到方程Ax 2+Bx +C =0. ①若A =0,则:圆锥曲线可能为双曲线或抛物线,此时直线与圆锥曲线只有一个交点. ②若A ≠0,则:当Δ>0时,直线与圆锥曲线有两个交点(相交);当Δ=0时,直线与圆锥曲线有一个交点(相切);当Δ<0时,直线与圆锥曲线没有交点(相离).2.直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求,根据根与系数的关系,进行整体代入,即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)时,|AB |=1+k 2·|x 1-x 2|=1+1k2|y 1-y 2|,其中|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2. 考向1 位置关系的判断[典型例题]在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :y 2=2px (p>0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |;(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由.【解】 (1)由已知得M (0,t ),P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ,t . 又N 为M 关于点P 的对称点,故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ,t ,ON 的方程为y =p t x ,代入y 2=2px ,整理得px2-2t 2x =0,解得x 1=0,x 2=2t2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ,2t .所以N 为OH 的中点,即|OH ||ON |=2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点. 理由如下:直线MH 的方程为y -t =p 2t x ,即x =2tp(y -t ).代入y 2=2px 得y 2-4ty +4t 2=0,解得y 1=y 2=2t ,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.考向2 弦长问题[典型例题]已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为( )A .16B .14C .12D .10【解析】 抛物线C :y 2=4x 的焦点为F (1,0),由题意可知l 1,l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ,则l 1:y =k (x -1),l 2:y =-1k (x -1),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x ,y =k (x -1),消去y得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),所以x 1+x 2=2k 2+4k 2=2+4k2,由抛物线的定义可知,|AB |=x 1+x 2+2=2+4k 2+2=4+4k2.同理得|DE |=4+4k 2,所以|AB |+|DE |=4+4k2+4+4k 2=8+4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2+k 2≥8+8=16,当且仅当1k2=k 2,即k =±1时取等号,故|AB |+|DE |的最小值为16,故选A.【答案】 A考向3 分点(中点)问题[典型例题]已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为4,且经过点P (2,53).(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 经过M (0,1),且与C 交于A ,B 两点,MA →=-23MB →,求l 的方程.【解】 (1)依题意知,2c =4,则椭圆C 的焦点为F 1(-2,0),F 2(2,0),2a =|PF 1|+|PF 2|=(2+2)2+(53)2+(2-2)2+(53)2=6,所以b 2=a 2-c 2=5,所以椭圆C 的方程为x 29+y 25=1.(2)当l 的斜率不存在时,l 与x 轴垂直,则l 的方程为x =0,A ,B 为椭圆短轴上的两点,不符合题意.当l 的斜率存在时,设l 的方程为y =kx +1,由⎩⎪⎨⎪⎧x 29+y 25=1,y =kx +1,得(9k 2+5)x 2+18kx -36=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-18k 9k 2+5,x 1·x 2=-369k 2+5,由MA →=-23MB →得,(x 1,y 1-1)=-23(x 2,y 2-1),则x 1=-23x 2,所以13x 2=-18k 9k 2+5,-23x 22=-369k 2+5,所以(-54k 9k 2+5)2=549k 2+5,解得k =±13,故直线l 的方程为y =±13x +1.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标;(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是否为零); (3)应用根与系数的关系及判别式;(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.[对点训练]1.(2018·高考浙江卷)已知点P (0,1),椭圆x 24+y 2=m (m >1)上两点A ,B 满足AP →=2PB →,则当m =________时,点B 横坐标的绝对值最大.解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由AP →=2 PB →,得⎩⎪⎨⎪⎧-x 1=2x 2,1-y 1=2(y 2-1),即x 1=-2x 2,y 1=3-2y 2.因为点A ,B 在椭圆上,所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224+(3-2y 2)2=m ,x 224+y 22=m ,得y 2=14m +34,所以x 22=m -(3-2y 2)2=-14m 2+52m -94=-14(m -5)2+4≤4,所以当m =5时,点B 横坐标的绝对值最大,最大值为2.答案:52.(2019·温州十五校联合体联考)过点M (0,1)且斜率为1的直线l 与双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两渐近线交于点A ,B ,且BM →=2AM →,则直线l 的方程为____________;如果双曲线的焦距为210,则b 的值为________.解析:直线l 的方程为y =x +1,两渐近线的方程为y =±b ax .其交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b -a ,b b -a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫-a a +b ,b a +b .由BM →=2AM →,得x B =2x A .若a b -a =-2a a +b ,得a =3b ,由a 2+b 2=10b 2=10得b =1,若-aa +b =2ab -a,得a =-3b (舍去).答案:y =x +1 1专题强化训练1.(2018·高考浙江卷)双曲线x 23-y 2=1的焦点坐标是( ) A .(-2,0),(2,0)B .(-2,0),(2,0)C .(0,-2),(0,2)D .(0,-2),(0,2)解析:选B.由题可知双曲线的焦点在x 轴上,因为c 2=a 2+b 2=3+1=4,所以c =2,故焦点坐标为(-2,0),(2,0).故选B.2.已知圆M :(x -1)2+y 2=38,椭圆C :x 23+y 2=1,若直线l 与椭圆交于A ,B 两点,与圆M 相切于点P ,且P 为AB 的中点,则这样的直线l 有( )A .2条B .3条C .4条D .6条解析:选C.当直线AB 斜率不存在时且与圆M 相切时,P 在x 轴上,故满足条件的直线有2条;当直线AB 斜率存在时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0), 由x 213+y 21=1,x 223+y 22=1,两式相减,整理得:y 1-y 2x 1-x 2=-13·x 1+x 2y 1+y 2, 则k AB =-x 03y 0,k MP =y 0x 0-1,k MP ·k AB =-1,k MP ·k AB =-x 03y 0·y 0x 0-1=-1,解得x 0=32, 由32<3,可得P 在椭圆内部, 则这样的P 点有2个,即直线AB 斜率存在时,也有2条. 综上可得,所示直线l 有4条.故选C.3.若椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)和圆x 2+y 2=(b2+c )2有四个交点,其中c 为椭圆的半焦距,则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A .(55,35) B .(0,25) C .(25,35) D .(35,55) 解析:选 A.由题意可知,椭圆的上、下顶点在圆内,左、右顶点在圆外,则⎩⎪⎨⎪⎧a >b2+c ,b <b2+c⇒⎩⎪⎨⎪⎧(a -c )2>14(a 2-c 2),a 2-c 2<2c⇒55<e <35.4.(2019·学军中学质检)双曲线M :x 2-y 2b2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,记|F 1F 2|=2c ,以坐标原点O 为圆心,c 为半径的圆与双曲线M 在第一象限的交点为P ,若|PF 1|=c +2,则点P 的横坐标为( )A.3+12 B.3+22 C.3+32D.332解析:选A.由点P 在双曲线的第一象限可得|PF 1|-|PF 2|=2,则|PF 2|=|PF 1|-2=c ,又|OP |=c ,∠F 1PF 2=90°,由勾股定理可得(c +2)2+c 2=(2c )2,解得c =1+ 3.易知△POF 2为等边三角形,则x P =c2=3+12. 5.已知离心率e =52的双曲线C :x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ,A 两点,若△AOF 的面积为4,则a 的值为( )A .2 2B .3C .4D .5 解析:选C.因为e =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2=52,所以b a =12,|AF ||OA |=b a =12,设|AF |=m ,|OA |=2m ,由面积关系得12·m ·2m =4,所以m =2,由勾股定理,得c =m 2+(2m )2=25,又c a =52,所以a =4,故选C.6.(2019·宁波市诺丁汉大学附中高三期末考试)过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的两条切线,切点分别为A 、B ,双曲线左顶点为M ,若∠AMB =120°,则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C .3 D .2解析:选D.依题意,作图如图所示: 因为OA ⊥FA ,∠AMO =60°,OM =OA , 所以△AMO 为等边三角形, 所以OA =OM =a ,在直角三角形OAF 中,OF =c ,所以该双曲线的离心率e =c a =OF OA =1sin 30°=2,故选D.7.(2019·杭州高三模拟)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的右顶点为A ,O 为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ,Q ,若∠PAQ =π3且OQ →=5OP →,则双曲线C的离心率为( )A.213 B .2 C.72D .3 解析:选A.由图知△APQ 是等边三角形,设PQ 中点是H ,圆的半径为r ,则AH ⊥PQ ,AH =32r ,PQ =r ,因为OQ →=5OP →,所以OP =14r ,PH =12r ,即OH =14r +12r =34r ,所以tan ∠HOA =AH OH =233,即b a =233,b 2a 2=c 2-a 2a 2=43,从而得e =c a =213,故选A. 8.如图,设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |-1|AF |-1B.|BF |2-1|AF |2-1 C.|BF |+1|AF |+1D.|BF |2+1|AF |2+1解析:选A.由图形可知,△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ,且A ,B ,C 三点共线,易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1,0),作准线l ,则l 的方程为x =-1.因为点A ,B 在抛物线上,过A ,B 分别作AK ,BH 与准线垂直,垂足分别为点K ,H ,且与y 轴分别交于点N ,M .由抛物线定义,得|BM |=|BF |-1,|AN |=|AF |-1.在△CAN 中,BM ∥AN ,所以 |BC ||AC |=|BM ||AN |=|BF |-1|AF |-1.9.(2019·温州高考模拟)过抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,若|AF |=8|OF |(O 为坐标原点),则|AF ||BF |=________.解析:由题意,|AF |=4p ,设|BF |=x ,由抛物线的定义,可得p -x 4p -x =x x +4p ,解得x =47p ,所以|AF ||BF |=7,故答案为7.答案:710.(2019·浙江名校协作体高三期末考试)设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,过点F 作与x 轴垂直的直线交两渐近线于A ,B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为P ,设O 为坐标原点,若OP →=λOA →+μOB →,λμ=425(λ,μ∈R ),则双曲线的离心率e 的值是________.解析:由题意可知,双曲线的渐近线为y =±b ax ,右焦点为F (c ,0),则点A ,B ,P 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,bc a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,-bc a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,b 2a ,所以OA →,OB →,OP →的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,bc a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,-bc a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,b 2a ,又OP →=λOA →+μOB →,则⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,b 2a =λ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,bc a +μ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,-bc a ,即⎩⎪⎨⎪⎧λ+μ=1b a=λc a -μc a ,又λμ=425,解得λ=45,μ=15,所以b a =4c 5a -c 5a ⇒e 2-1=35e ⇒e =54. 答案:5411.(2019·台州市高考一模)如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC →=4FB →,则|AB →|=________.解析:分别过A ,B 作准线的垂线,垂足分别为A 1,B 1,则DF =p =2,由抛物线的定义可知FB =BB 1,AF =AA 1,因为FC →=4FB →,所以DF BB 1=FC BC =43,所以FB =BB 1=32.所以FC =4FB =6,所以cos ∠DFC =DF FC =13,所以cos ∠A 1AC =AA 1AC =AF AF +6=13,解得AF =3, 所以AB =AF +BF =3+32=92.答案:9212.设双曲线x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2.若点P 在双曲线上,且△F 1PF 2为锐角三角形,则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是__________.解析:由题意不妨设点P 在双曲线的右支上,现考虑两种极限情况:当PF 2⊥x 轴时,|PF 1|+|PF 2|有最大值8;当∠P 为直角时,|PF 1|+|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形,所以|PF 1|+|PF 2|的取值范围为(27,8).答案:(27,8)13.(2019·浙江新高考冲刺卷)如图,过双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a ,b >0)左焦点F 1的直线交双曲线左支于A ,B 两点,C 是双曲线右支上一点,且A ,C 在x 轴的异侧,若满足|OA |=|OF 1|=|OC |,|CF 1|=2|BF 1|,则双曲线的离心率为________.解析:取双曲线的右焦点F 2,连接CF 2,延长交双曲线于D ,连接AF 2,DF 1, 由|OA |=|OF 1|=|OC |=|OF 2|=c , 可得四边形F 1AF 2C 为矩形, 设|CF 1|=2|BF 1|=2m , 由对称性可得|DF 2|=m , |AF 1|=4c 2-4m 2, 即有|CF 2|=4c 2-4m 2,由双曲线的定义可得2a =|CF 1|-|CF 2|=2m -4c 2-4m 2,① 在直角三角形DCF 1中,|DC |=m +4c 2-4m 2,|CF 1|=2m ,|DF 1|=2a +m , 可得(2a +m )2=(2m )2+(m +4c 2-4m 2)2,② 由①②可得3m =4a ,即m =4a 3, 代入①可得,2a =8a3-4c 2-64a 29,化简可得c 2=179a 2,即有e =c a =173. 故答案为173. 答案:17314.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F (c ,0)关于直线y =bcx 的对称点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是________.解析:设椭圆的另一个焦点为F 1(-c ,0),如图,连接QF 1,QF ,设QF 与直线y =b cx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点,且OM ⊥FQ , 又O 为线段F 1F 的中点, 所以F 1Q ∥OM ,所以F 1Q ⊥QF ,|F 1Q |=2|OM |. 在Rt △MOF 中,tan ∠MOF =|MF ||OM |=bc, |OF |=c ,可解得|OM |=c 2a ,|MF |=bca,故|QF |=2|MF |=2bc a ,|QF 1|=2|OM |=2c2a.由椭圆的定义得|QF |+|QF 1|=2bc a +2c2a=2a ,整理得b =c ,所以a =b 2+c 2=2c ,故e =c a =22. 答案:2215.(2019·温州模拟)已知直线l :y =-x +3与椭圆C :mx 2+ny 2=1(n >m >0)有且只有一个公共点P (2,1).(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线l ′:y =-x +b 交C 于A ,B 两点,且PA ⊥PB ,求b 的值.解:(1)联立直线l :y =-x +3与椭圆C :mx 2+ny 2=1(n >m >0), 可得(m +n )x 2-6nx +9n -1=0,由题意可得Δ=36n 2-4(m +n )(9n -1)=0,即为9mn =m +n , 又P 在椭圆上,可得4m +n =1, 解方程可得m =16,n =13,即有椭圆方程为x 26+y 23=1. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立直线y =b -x 和椭圆方程,可得3x 2-4bx +2b 2-6=0, 判别式Δ=16b 2-12(2b 2-6)>0, x 1+x 2=4b 3,x 1x 2=2b 2-63,y 1+y 2=2b -(x 1+x 2)=2b 3,y 1y 2=(b -x 1)·(b -x 2)=b 2-b (x 1+x 2)+x 1x 2=b 2-63,由PA ⊥PB ,即为PA →·PB →=(x 1-2)(x 2-2)+(y 1-1)(y 2-1) =x 1x 2-2(x 1+x 2)+4+y 1y 2-(y 1+y 2)+1 =2b 2-63-2·4b 3+b 2-63-2b 3+5=0,解得b =3或13,代入判别式,则b =13成立.故b 为13.16.(2019·浙江金华十校高考模拟)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F 的坐标为(1,0),P ,Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点,使PF ⊥QF ,C 为PQ 中点,线段PQ 的垂直平分线交x 轴,y 轴于点A ,B (线段PQ 不垂直x 轴),当Q 运动到椭圆的右顶点时,|PF |=22. (1)求椭圆M 的标准方程;(2)若S △ABO ∶S △BCF =3∶5,求直线PQ 的方程. 解:(1)当Q 运动到椭圆的右顶点时,PF ⊥x 轴,所以|PF |=b 2a =22,又c =1,a 2=b 2+c 2,所以a =2,b =1. 椭圆M 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)设直线PQ 的方程为y =kx +b ′,显然k ≠0, 联立椭圆方程得:(2k 2+1)x 2+4kb ′x +2(b ′2-1)=0, 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),由根与系数的关系得:⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2=2(b ′2-1)2k 2+1>0,①x 1+x 2=-4kb ′2k 2+1>0,②Δ=8(2k 2-b ′2+1)>0,③由PF →·QF →=0⇒(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=0得:3b ′2-1+4kb ′=0,④点C ⎝⎛⎭⎪⎫-2kb ′2k 2+1,b ′2k 2+1,所以线段PQ 的中垂线AB 方程为:y -b ′2k 2+1=-1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +2kb ′2k 2+1, 令y =0可得:A ⎝⎛⎭⎪⎫-kb ′2k 2+1,0;令x =0可得 B ⎝⎛⎭⎪⎫0,-b ′2k 2+1,则A 为BC 中点, 故S △BCF S △ABO =2S △ABF S △ABO =2|AF ||AO |=2(1-x A )x A =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A -1, 由④式得:k =1-3b ′24b ′,则x A =-kb ′2k 2+1=6b ′4-2b ′29b ′4+2b ′2+1, S △BCF S △ABO =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A -1=6b ′4+8b ′2+26b ′4-2b ′2=53,得b ′2=3. 所以b ′=3,k =-233或b ′=-3,k =233.经检验,满足条件①②③,故直线PQ 的方程为:y =233x -3,y =-233x + 3.17.(2019·绍兴市高三教学质量调测)已知点A (-2,0),B (0,1)在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆C 的方程;(2)P 是线段AB 上的点,直线y =12x +m (m ≥0)交椭圆C 于M ,N 两点.若△MNP 是斜边长为10的直角三角形,求直线MN 的方程.解:(1)因为点A (-2,0),B (0,1)在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1上,所以a =2,b =1,故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y =12x +m x24+y 2=1消去y ,得12x 2+mx +m 2-1=0,则Δ=2-m 2>0,x 1+x 2=-2m ,x 1x 2=2m 2-2,|MN |=52|x 1-x 2|=10-5m 2. ①当MN 为斜边时, 10-5m 2=10,解得m =0,满足Δ>0, 此时以MN 为直径的圆方程为x 2+y 2=52.点A (-2,0),B (0,1)分别在圆外和圆内, 即在线段AB 上存在点P ,此时直线MN 的方程y =12x ,满足题意.②当MN 为直角边时,两平行直线AB 与MN 的距离d =255|m -1|, 所以d 2+|MN |2=45|m -1|2+(10-5m 2)=10,即21m 2+8m -4=0,解得m =27或m =-23(舍),又Δ>0,所以m =27.过点A 作直线MN :y =12x +27的垂线,可得垂足坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-127,-47,垂足在椭圆外,即在线段AB 上存在点P ,所以直线MN 的方程y =12x +27,符合题意.综上所述,直线MN 的方程为y =12x 或y =12x +27.18.(2019·杭州市高考数学二模)设抛物线Γ:y 2=2px (p >0)上的点M (x 0,4)到焦点F 的距离|MF |=54x 0.(1)求抛物线Γ的方程;(2)过点F 的直线l 与抛物线Γ相交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线l ′与抛物线Γ相交于C ,D 两点,若AC →·AD →=0,求直线l 的方程.解:(1)因为|MF |=x 0+p 2=54x 0,所以x 0=2p .即M (2p ,4).把M (2p ,4)代入抛物线方程得4p 2=16,解得p =2. 所以抛物线Γ的方程为y 2=4x .(2)易知直线l 的斜率存在,不妨设直线l 的方程为y =k (x -1),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4xy =k (x -1),消元得:k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2k 2+4k 2,y 1+y 2=4k.设AB 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2+2k2,2k ,所以|AB |=x 1+x 2+p =4(k 2+1)k2. 所以直线l ′的方程为y -2k =-1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -k 2+2k 2,即x =-ky +2k2+3.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2=4x x =-ky +2k 2+3, 消元得:y 2+4ky -4⎝⎛⎭⎪⎫3+2k2=0.设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),则y 3+y 4=-4k ,y 3y 4=-4⎝⎛⎭⎪⎫3+2k 2.所以x 3+x 4=4k 4+6k 2+4k2, 所以CD 的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4+3k 2+2k 2,-2k . 所以|CD |=1+k2(y 3+y 4)2-4y 3y 4=4(k 2+1)k 2+2|k |,|PQ |=2(k 2+1)k 2+1|k |,因为AC →·AD →=0,所以AC ⊥AD .所以|AQ |=12|CD |.因为AB ⊥CD ,所以|AP |2+|PQ |2=|AQ |2, 即14|AB |2+|PQ |2=14|CD |2, 所以16(k 2+1)2k 4+16(k 2+1)3k 2=16(k 2+1)2(k 2+2)k2, 解得k =±1,所以直线l 的方程为x -y -1=0或x +y -1=0.。

2020版高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质教案(文)

2020版高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质教案(文)

第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质[做小题——激活思维]1.椭圆C :x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆C 于A ,B 两点,则△F 1AB 的周长为( )A .12B .16C .20D .24 C [△F 1AB 的周长为 |F 1A |+|F 1B |+|AB |=|F 1A |+|F 2A |+|F 1B |+|F 2B | =2a +2a =4a .在椭圆x 225+y 216=1中,a 2=25,a =5,∴△F 1AB 的周长为4a =20,故选C.]2.已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14,0,直线l :x =-14,点B 是l 上的动点.若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ,则点M 的轨迹是( )A .双曲线B .椭圆C .圆D .抛物线D [由已知得|MF |=|MB |,根据抛物线的定义知,点M 的轨迹是以点F 为焦点,直线l 为准线的抛物线.]3.设P 是双曲线x 216-y 220=1上一点,F 1,F 2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF 1|=9,则|PF 2|=________.17 [由题意知|PF 1|=9<a +c =10,所以P 点在双曲线的左支,则有|PF 2|-|PF 1|=2a =8,故|PF 2|=|PF 1|+8=17.]4.设e 是椭圆x 24+y 2k =1的离心率,且e =23,则实数k 的值是________.209或365[当k >4时,有e =1-4k =23,解得k =365;当0<k <4时,有e =1-k4=23,解得k =209.故实数k 的值为209或365.]5.双曲线x 2a 2-y 29=1(a >0)的一条渐近线方程为y =35x ,则a =________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2-y 29=1(a >0),∴双曲线的渐近线方程为y =±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y =35x ,∴a =5.]6.抛物线8x 2+y =0的焦点坐标为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-132 [由8x 2+y =0,得x 2=-18y . ∴2p =18,p =116,∴焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0,-132.][扣要点——查缺补漏]1.圆锥曲线的定义及标准方程(1)应用圆锥曲线的定义解题时,一定不要忽视定义中的隐含条件,如T 3.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离,一般可以利用定义进行转化.如T 1,T 2.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”. 2.圆锥曲线的几何性质(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,就是确立一个关于a ,b ,c 的方程(组)或不等式(组),再根据a ,b ,c 的关系消掉b 得到a ,c 的关系式,如T 4.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.圆锥曲线的定义与标准方程(5年4考)[高考解读] 高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少,多对于圆锥曲线的性质进行综合考查.1.(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B |,|AB |=|BF 1|,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1 B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1 切入点:|AF 2|=2|F 2B |,|AB |=|BF 1|.关键点:挖掘隐含条件,确定点A 的位置,求a ,b 的值.B [设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由椭圆定义可得|AF 1|+|AB |+|BF 1|=4a .∵|AB |=|BF 1|, ∴|AF 1|+2|AB |=4a .又|AF 2|=2|F 2B |,∴|AB |=32|AF 2|,∴|AF 1|+3|AF 2|=4a .又∵|AF 1|+|AF 2|=2a ,∴|AF 2|=a ,∴A 为椭圆的短轴端点.如图,不妨设A (0,b ),又F 2(1,0),AF 2→=2F 2B →,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-b 2.将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1,得94a 2+b 24b2=1,∴a 2=3,b 2=a 2-c 2=2.∴椭圆C 的方程为x 23+y 22=1.故选B.]2.(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C :x 2-y 28=1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,66).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为________.切入点:△APF 的周长最小.关键点:根据双曲线的定义及△APF 周长最小,确定P 点坐标.126 [由双曲线方程x 2-y 28=1可知,a =1,c =3,故F (3,0),F 1(-3,0).当点P 在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF |-|PF 1|=2,所以|PF |=|PF 1|+2,从而△APF 的周长=|AP |+|PF |+|AF |=|AP |+|PF 1|+2+|AF |.因为|AF |=32+662=15为定值,所以当(|AP |+|PF 1|)最小时,△APF 的周长最小,由图象可知,此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示).由题意可知直线AF 1的方程为y =26x +66,由⎩⎪⎨⎪⎧y =26x +66,x 2-y 28=1,得y 2+66y -96=0,解得y =26或y =-86(舍去), 所以S △APF =S △AF 1F -S △PF 1F=12×6×66-12×6×26=12 6.] [教师备选题]1.[一题多解](2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y =±12x ,则该双曲线的标准方程为________.x 24-y 2=1 [法一:∵双曲线的渐近线方程为y =±12x , ∴可设双曲线的方程为x 2-4y 2=λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4,3), ∴λ=16-4×(3)2=4, ∴双曲线的标准方程为x 24-y 2=1.法二:∵渐近线y =12x 过点(4,2),而3<2,∴点(4,3)在渐近线y =12x 的下方,在y =-12x 的上方(如图).∴双曲线的焦点在x 轴上,故可设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0). 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a =12,16a 2-3b 2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4,b 2=1,∴双曲线的标准方程为x 24-y 2=1.]2.(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1+d 2=6,则双曲线的方程为( )A.x 23-y 29=1B.x 29-y 23=1C.x 24-y 212=1 D.x 212-y 24=1 A [设双曲线的右焦点为F (c,0).将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1,得c 2a 2-y 2b 2=1,∴ y =±b 2a.不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,b 2a ,B ⎝⎛⎭⎪⎫c ,-b 2a . 双曲线的一条渐近线方程为y =bax ,即bx -ay =0,则d 1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c -a ·b 2a b 2+-a2=|bc -b 2|c=bc(c -b ),d 2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c +a ·b 2a b 2+-a2=|bc +b 2|c=bc(c +b ),∴ d 1+d 2=bc·2c =2b =6,∴ b =3. ∵ c a=2,c 2=a 2+b 2,∴ a 2=3, ∴ 双曲线的方程为x 23-y 29=1.故选A.]1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:|MF 1|+|MF 2|=2a (2a >|F 1F 2|); (2)双曲线:||MF 1|-|MF 2||=2a (2a <|F 1F 2|); (3)抛物线:|MF |=d (d 为M 点到准线的距离).易错提醒:应用圆锥曲线定义解题时,易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”(1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程; (2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a 2,b 2或p .另外,当焦点位置无法确定时,抛物线方程常设为y 2=2ax 或x 2=2ay (a ≠0),椭圆方程常设为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,且m ≠n ),双曲线方程常设为mx 2-ny 2=1(mn >0).1.(椭圆的定义)设F 1,F 2为椭圆x 29+y 25=1的两个焦点,点P 在椭圆上,若线段PF 1的中点在y 轴上,则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514 B.59 C.49 D.513D [如图,设线段PF 1的中点为M ,因为O 是F 1F 2的中点,所以OM ∥PF 2,可得PF 2⊥x 轴,|PF 2|=b 2a =53,|PF 1|=2a -|PF 2|=133,所以|PF 2||PF 1|=513.故选D.]2.(双曲线的标准方程)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦距为45,渐近线方程为2x ±y =0,则双曲线的方程为( )A.x 24-y 216=1 B.x 216-y 24=1 C.x 216-y 264=1 D.x 264-y 216=1 A [易知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点在x 轴上,所以由渐近线方程为2x ±y =0,得b a=2,因为双曲线的焦距为45,所以c =2 5.结合c 2=a 2+b 2,可得a =2,b =4,所以双曲线的方程为x 24-y 216=1.]3.(抛物线的定义)过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,若|AF |=2|BF |=6,则p =________.4 [设直线AB 的方程为x =my +p2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),且x 1>x 2,将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2-2pmy -p 2=0,所以y 1y 2=-p 2,4x 1x 2=p 2.设抛物线的准线为l ,过A 作AC ⊥l ,垂足为C (图略),过B 作BD ⊥l ,垂足为D ,因为|AF |=2|BF |=6,根据抛物线的定义知,|AF |=|AC |=x 1+p 2=6,|BF |=|BD |=x 2+p2=3,所以x 1-x 2=3,x 1+x 2=9-p ,所以(x 1+x 2)2-(x 1-x 2)2=4x 1x 2=p 2,即18p -72=0,解得p =4.]圆锥曲线的性质(5年17考)[高考解读] 高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线,难度适中.1.(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p=1的一个焦点,则p=( )A .2B .3C .4D .8 切入点:抛物线的焦点是椭圆的焦点. 关键点:正确用p 表示抛物线和椭圆的焦点.D [抛物线y 2=2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2,0,椭圆x 23p +y 2p=1的焦点坐标为(±2p ,0).由题意得p2=2p ,∴p =0(舍去)或p =8.故选D.]2.(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C .2 D. 5切入点:以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2相交且|PQ |=|OF |.关键点:正确确定以OF 为直径的圆的方程.A [令双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0),则c =a 2+b 2.如图所示,由圆的对称性及条件|PQ |=|OF |可知,PQ 是以OF 为直径的圆的直径,且PQ ⊥OF .设垂足为M ,连接OP ,则|OP |=a ,|OM |=|MP |=c2,由|OM |2+|MP |2=|OP |2,得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22+⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22=a 2,∴c a =2,即离心率e = 2.故选A.]3.[一题多解](2017·全国卷Ⅰ)设A ,B 是椭圆C :x 23+y 2m=1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB =120°,则m 的取值范围是( )A .(0,1]∪[9,+∞)B .(0,3]∪[9,+∞)C .(0,1]∪[4,+∞)D .(0,3]∪[4,+∞)切入点:C 上存在点M 满足∠AMB =120°.关键点:求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于m 的不等式. A [法一:设焦点在x 轴上,点M (x ,y ). 过点M 作x 轴的垂线,交x 轴于点N , 则N (x,0).故tan∠AMB =tan(∠AMN +∠BMN ) =3+x |y |+3-x |y |1-3+x |y |·3-x |y |=23|y |x 2+y 2-3. 又tan∠AMB =tan 120°=-3,且由x 23+y 2m =1可得x 2=3-3y 2m,则23|y |3-3y 2m+y 2-3=23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1-3m y2=- 3. 解得|y |=2m3-m. 又0<|y |≤m ,即0<2m3-m ≤m ,结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况,同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9,+∞).故选A.法二:当0<m <3时,焦点在x 轴上, 要使C 上存在点M 满足∠AMB =120°, 则a b≥tan 60°=3,即3m≥3,解得0<m ≤1.当m >3时,焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB =120°, 则a b≥tan 60°=3,即m3≥3,解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞). 故选A.] [教师备选题]1.(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )A .y =±2xB .y =±3xC .y =±22x D .y =±32x A [因为双曲线的离心率为3,所以c a=3,即c =3a .又c 2=a 2+b 2,所以(3a )2=a 2+b 2,化简得2a 2=b 2,所以b a = 2.因为双曲线的渐近线方程为y =±bax ,所以y =±2x .故选A.]2.(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32D [因为F 是双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点,所以F (2,0).因为PF ⊥x 轴,所以可设P 的坐标为(2,y P ). 因为P 是C 上一点,所以4-y 2P3=1,解得y P =±3,所以P (2,±3),|PF |=3.又因为A (1,3),所以点A 到直线PF 的距离为1, 所以S △APF =12×|PF |×1=12×3×1=32.故选D.]3.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx -ay +2ab =0相切,则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a . 又直线bx -ay +2ab =0与圆相切, ∴圆心到直线的距离d =2aba 2+b2=a ,解得a =3b ,∴b a=13,∴e =c a =a 2-b 2a=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫132=63. 故选A.]1.椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定a ,b ,c 的等量关系或不等关系,然后把b 用a ,c 代换,求ca的值.2.双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法:把双曲线标准方程等号右边的1改为零,分解因式可得. (2)用法:①可得b a 或a b的值.②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.1.(椭圆的离心率)[一题多解]直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34B [法一:如图,|OB |为椭圆中心到l 的距离,则|OA |·|OF |=|AF |·|OB |,即bc =a ·b 2,所以e =c a =12.故选B.法二:设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由题意可取直线l 的方程为y =ba 2-b 2x +b ,椭圆中心到l 的距离为b a 2-b 2a ,由题意知b a 2-b 2a =14×2b ,即a 2-b 2a =12,故离心率e =12.] 2.(双曲线的离心率)设F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,M为双曲线右支上一点,N 是MF 2的中点,O 为坐标原点,且ON ⊥MF 2,3|ON |=2|MF 2|,则C 的离心率为( )A .6B .5C .4D .3B [连接MF 1(图略),由双曲线的定义得|MF 1|-|MF 2|=2a ,因为N 为MF 2的中点,O 为F 1F 2的中点,所以ON ∥MF 1,所以|ON |=12|MF 1|,因为3|ON |=2|MF 2|,所以|MF 1|=8a ,|MF 2|=6a ,因为ON ⊥MF 2,所以MF 1⊥MF 2,在Rt△MF 1F 2中,由勾股定理得(8a )2+(6a )2=(2c )2,即5a =c ,因为e =c a,所以e =5,故选B.]3.(椭圆与抛物线的综合)已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C :y 2=8x 的焦点重合,A ,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB |=( )A .3B .6C .9D .12B [抛物线C :y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线方程为x =-2.从而椭圆E 的半焦距c=2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),因为离心率e =c a =12,所以a =4,所以b 2=a2-c 2=12.由题意知|AB |=2b 2a =2×124=6.故选B.]直线与圆锥曲线的综合问题(5年5考)[高考解读] 直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的亮点,主要涉及直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题,突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法,注意通性通法的应用,考查考生的逻辑推理和数学运算核心素养.角度一:直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C :y 2=2x ,点A (2,0),B (-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM =∠ABN .切入点:①直线l 过点A ;②l 与C 交于M ,N 两点;③l 与x 轴垂直. 关键点:将问题转化为证明k BM 与k BN 具有某种关系.[解] (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得点M 的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM 的方程为y =12x +1或y =-12x -1.(2)证明:当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM =∠ABN .当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y =k (x -2)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y =k x -2,y 2=2x 得ky 2-2y -4k =0,可知y 1+y 2=2k,y 1y 2=-4.直线BM ,BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2y 1+y 2x 1+2x 2+2.①将x 1=y 1k +2,x 2=y 2k+2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k y 1+y 2k=-8+8k=0.所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM =∠ABN . 综上,∠ABM =∠ABN .角度二:直线与圆锥曲线的相交弦问题2.(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m >0).(1)证明:k <-12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →+FA →+FB →=0.证明:2|FP →|=|FA →|+|FB →|. 切入点:①直线l 与椭圆C 相交;②AB 的中点M (1,m ).关键点:根据FP →+FA →+FB →=0及点P 在C 上确定m ,并进一步得出|FP →|,|FA →|,|FB →|的关系.[证明] (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 214+y 213=1,x 224+y 223=1.两式相减,并由y 1-y 2x 1-x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23·k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k =-34m.由题设得0<m <32,故k <-12.(2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0).由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m <0. 又点P 在C 上,所以m =34,从而P 1,-32,|FP →|=32.于是|FA →|=x 1-12+y 21=x 1-12+31-x 214=2-x 12.同理|FB →|=2-x 22.所以|FA →|+|FB →|=4-12(x 1+x 2)=3.故2|FP →|=|FA →|+|FB →|. [教师备选题](2018·北京高考)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63,焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B .(1)求椭圆M 的方程;(2)若k =1,求|AB |的最大值;(3)设P (-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ,若C ,D 和点Q ⎝⎛⎭⎪⎫-74,14共线,求k .[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=b 2+c 2,c a =63,2c =22,解得a =3,b =1.所以椭圆M 的方程为x 23+y 2=1. (2)设直线l 的方程为y =x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m ,x 23+y 2=1,得4x 2+6mx +3m 2-3=0,所以x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=3m 2-34.所以|AB |= x 2-x 12+y 2-y 12= 2x 2-x 12= 2[x 1+x 22-4x 1x 2]=12-3m 22. 当m =0,即直线l 过原点时,|AB |最大,最大值为 6. (3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由题意得x 21+3y 21=3,x 22+3y 22=3. 直线PA 的方程为y =y 1x 1+2(x +2).由⎩⎪⎨⎪⎧y =y 1x 1+2x +2,x 2+3y 2=3,得[(x 1+2)2+3y 21]x 2+12y 21x +12y 21-3(x 1+2)2=0. 设C (x C ,y C ),所以x C +x 1=-12y 21x 1+22+3y 21=4x 21-124x 1+7. 所以x C =4x 21-124x 1+7-x 1=-12-7x 14x 1+7.所以y C =y 1x 1+2(x C +2)=y 14x 1+7. 设D (x D ,y D ),同理得x D =-12-7x 24x 2+7,y D =y 24x 2+7.记直线CQ ,DQ 的斜率分别为k CQ ,k DQ ,则k CQ -k DQ =y 14x 1+7-14-12-7x 14x 1+7+74-y 24x 2+7-14-12-7x 24x 2+7+74=4(y 1-y 2-x 1+x 2). 因为C ,D ,Q 三点共线,所以k CQ -k DQ =0. 故y 1-y 2=x 1-x 2. 所以直线l 的斜率k =y 1-y 2x 1-x 2=1.1.判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法(1)代数法:联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ,y 的方程组,消去y (或x )得到一个一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标;(2)几何法:画出直线与圆锥曲线,根据图形判断公共点个数. 2.弦长公式设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 的两交点为P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2). 则|PQ |=|x 1-x 2|1+k 2=[x 1+x 22-4x 1x 2]1+k2.或|PQ |=|y 1-y 2|1+1k2=[y 1+y 22-4y 1y 2]⎝⎛⎭⎪⎫1+1k 2(k ≠0).3.弦的中点圆锥曲线C :f (x ,y )=0的弦为PQ .若P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),中点M (x 0,y 0),则x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0.1.(直线与椭圆的综合)已知离心率为12的椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,上顶点为B ,且BA 1→·BA 2→=-1.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆左焦点F 的直线l 与椭圆交于M ,N 两点,且直线l 与x 轴不垂直,若D 为x 轴上一点,|DM →|=|DN →|,求|MN ||DF |的值.[解] (1)A 1,A 2,B 的坐标分别为(-a,0),(a,0),(0,b ),BA 1→·BA 2→=(-a ,-b )·(a ,-b )=b 2-a 2=-1,∴c 2=1. 又e =c a =12,∴a 2=4,b 2=3.∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知F (-1,0),设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), ∵直线l 与x 轴不垂直,∴可设其方程为y =k (x +1). 当k =0时,易得|MN |=4,|DF |=1,|MN ||DF |=4.当k ≠0时,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 23=1,y =k x +1,得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2-12=0,∴x 1+x 2=-8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2, ∴|MN |=x 1-x 22+y 1-y 22=1+k 2|x 1-x 2|=1+k2x 1+x 22-4x 1x 2=12+12k 23+4k2. 又y 1+y 2=k (x 1+x 2+2)=6k3+4k2, ∴MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-4k 23+4k 2,3k 3+4k 2,∴MN 的垂直平分线方程为y -3k 3+4k 2=-1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4k 23+4k 2(k ≠0), 令y =0得,1k x +k 3+4k 2=0,解得x =-k23+4k2.|DF |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪-k 23+4k 2+1=3+3k 23+4k 2,∴|MN ||DF |=4.综上所述,|MN ||DF |=4.2.(直线与抛物线的综合)过抛物线E :x 2=4y 的焦点F 的直线交抛物线于M ,N 两点,抛物线在M ,N 两点处的切线交于点P .(1)证明点P 落在抛物线E 的准线上; (2)设MF →=2FN →,求△PMN 的面积.[解] (1)抛物线x 2=4y 的焦点坐标为(0,1),准线方程为y =-1.设直线MN 的方程为y =kx +1,代入抛物线方程x 2=4y ,整理得x 2-4kx -4=0. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4. 对y =14x 2求导,得y ′=12x ,所以直线PM 的方程为y -y 1=12x 1(x -x 1).①直线PN 的方程为y -y 2=12x 2(x -x 2).②联立方程①②,消去x ,得y =-1. 所以点P 落在抛物线E 的准线上.(2)因为MF →=(-x 1,1-y 1),FN →=(x 2,y 2-1),且MF →=2FN →.所以⎩⎪⎨⎪⎧-x 1=2x 2,1-y 1=2y 2-1,得x 21=8,x 22=2.不妨取M (22,2),N (-2,12),由①②得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22,-1.易得|MN |=92,点P 到直线MN 的距离d =322,所以△PMN 的面积S =12×92×322=2728.。

【精选高考】2019-2020高考数学二轮复习专题五解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质能力

【精选高考】2019-2020高考数学二轮复习专题五解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质能力

第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质一、选择题1.(2018·广西南宁模拟)双曲线x 225-y 220=1的渐近线方程为( )A .y =±45xB .y =±54xC .y =±15xD .y =±255x解析:在双曲线 x 225-y 220=1中,a =5,b =25,而其渐近线方程为y =±b a x ,∴其渐近线方程为y =±255x ,故选D.答案:D2.已知椭圆C 的方程为x 216+y 2m 2=1(m >0),如果直线y =22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ,则m 的值为( )A .2B .2 2C .8D .2 3解析:根据已知条件得c =16-m 2,则点⎝ ⎛⎭⎪⎫16-m 2,2216-m 2在椭圆x 216+y 2m 2=1(m >0)上,∴16-m 216+16-m 22m 2=1,可得m =2 2.答案:B3.(2018·张掖模拟)双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+(y -2)2=1相切,则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C .2 D .3解析:双曲线x 2a 2-y 2b2=1的渐近线与圆x 2+(y -2)2=1相切,则圆心(0,2)到直线bx -ay =0的距离为1,所以2aa 2+b2=1,即2a c =1,所以双曲线的离心率e =ca=2,故选C. 答案:C4.(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1、A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx -ay +2ab =0相切,则C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.13解析:以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点O (0,0),半径为a .由题意,圆心到直线bx -ay +2ab =0的距答案:A5.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦距为45,渐近线方程为2x ±y =0,则双曲线的方程为( )A.x 24-y 216=1 B.x 216-y 24=1 C.x 216-y 264=1 D.x 264-y 216=1 解析:易知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点在x 轴上,所以由渐近线方程为2x ±y =0,得ba=2,因为双曲线的焦距为45,所以c =25,结合c 2=a 2+b 2,可得a =2,b =4,所以双曲线的方程为x 24-y 216=1,故选A.答案:A6.(2018·长春模拟)已知O 为坐标原点,设F 1,F 2分别是双曲线x 2-y 2=1的左、右焦点,P 为双曲线上任意一点,过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线,垂足为H ,则|OH |=( )A .1B .2C .4D.12解析:不妨设P 在双曲线的左支,如图,延长F 1H 交PF 2于点M ,由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ,故△PF 1M 为等腰三角形,|PF 1|=|PM |且H 为F 1M 的中点,所以OH 为△MF 1F 2的中位线,所以|OH |=12|MF 2|=12(|PF 2|-|PM |)=12(|PF 2|-|PF 1|)=1.故选A.答案:A7.(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B .2 C.322D .2 2解析:由题意,得e =c a=2,c 2=a 2+b 2,得a 2=b 2.又因为a >0,b >0,所以a =b ,渐近线方程为x ±y =0,点(4,0)到渐近线的距离为42=22,故选D. 答案:D8.(2018·石家庄一模)已知直线l :y =2x +3被椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)截得的弦长为7,有下列直线:①y =2x -3;②y =2x +1;③y =-2x -3;④y =-2x +3.其中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )A .1条B .2条C .3条D .4条解析:易知直线y =2x -3与直线l 关于原点对称,直线y =-2x -3与直线l 关于x 轴对称,直线y =-2x +3与直线l 关于y 轴对称,故由椭圆的对称性可知,有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.选C.答案:C9.(2018·洛阳模拟)设双曲线C :x 216-y 29=1的右焦点为F ,过F 作双曲线C 的渐近线的垂线,垂足分别为M ,N ,若d 是双曲线上任意一点P 到直线MN 的距离,则d|PF |的值为( ) A.34 B.45C.54D .无法确定解析:双曲线C :x 216-y 29=1中,a =4,b =3,c =5,右焦点F (5,0),渐近线方程为y =±34x .不妨设M 在直线y =34x 上,N 在直线y =-34x 上,则直线MF 的斜率为-43,其方程为y =-43(x -5),设M (t ,34t ),代入直线MF 的方程,得34t =-43(t -5),解得t =165,即M (165,125).由对称性可得N (165,-125),所以直线MN 的方程为x =165.设P (m ,n ),则d =|m -165|,m 216-n 29=1,即n 2=916(m 2-16),则|PF |=m -2+n 2=14|5m -16|.故d |PF |=|m -165|14|5m -16|=45,故选B. 答案:B10.(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM →·FN →=( )A .5B .6C .7D .8解析:由题意知直线MN 的方程为y =23(x +2),联立直线与抛物线的方程,得⎩⎪⎨⎪⎧y =23x +,y 2=4x ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2或⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =4.不妨设M 为(1,2),N 为(4,4).又∵抛物线焦点为F (1,0),∴FM →=(0,2),FN →=(3,4), ∴FM →·FN →=0×3+2×4=8. 故选D. 答案:D11.(2018·广西五校联考)已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M ,N 两点,若MF 1→·NF →1>0,则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A .(2,2+1)B .(1,2+1)C .(1,3)D .(3,+∞)解析:设F 1(-c,0),F 2(c,0),依题意可得c 2a 2-y 2b 2=1,得到y =b 2a ,不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ,b 2a ,N ⎝⎛⎭⎪⎫c ,-b 2a ,则MF →1·NF →1=⎝ ⎛⎭⎪⎫-2c ,-b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-2c ,b 2a =4c 2-b 4a2>0,得到4a 2c 2-(c 2-a 2)2>0, 即a 4+c 4-6a 2c 2<0, 故e 4-6e 2+1<0,解得3-22<e 2<3+22, 又e >1,所以1<e 2<3+22, 解得1<e <1+ 2 答案:B12.(2018·南昌模拟)抛物线y 2=8x 的焦点为F ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是抛物线上的两个动点,若x 1+x 2+4=233|AB |,则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析:由抛物线的定义可得|AF |=x 1+2,|BF |=x 2+2,又x 1+x 2+4=233|AB |,得|AF |+|BF |=233|AB |,所以cos ∠AFB =|AF |2+|BF |2-|AB |22|AF |·|BF |=|AF |2+|BF |2-⎣⎢⎡⎦⎥⎤32()|AF |+|BF |22|AF |·|BF |=14|AF |2+14|BF |2-32|AF |·|BF |2|AF |·|BF |=18⎝ ⎛⎭⎪⎫|AF ||BF |+|BF ||AF |-34≥18×2|AF ||BF |·|BF ||AF |-34=-12,而0<∠AFB <π, 所以∠AFB 的最大值为2π3.答案:D 二、填空题13.(2018·成都模拟)已知双曲线x 2a 2-y 22=1(a >0)和抛物线y 2=8x 有相同的焦点,则双曲线的离心率为________.解析:易知抛物线y 2=8x 的焦点为(2,0),所以双曲线x 2a 2-y 22=1的一个焦点为(2,0),则a 2+2=22,即a =2,所以双曲线的离心率e =c a=22= 2.答案: 214.(2018·武汉调研)双曲线Γ:y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)的焦距为10,焦点到渐近线的距离为3,则Γ的实轴长等于________.解析:双曲线的焦点(0,5)到渐近线y =a bx ,即ax -by =0的距离为|5b |a 2+b2=5bc=b =3,所以a =4,2a =8.答案:815.(2018·唐山模拟)过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,若|AF |=2|BF |=6,则p =________.解析:设AB 的方程为x =my +p2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),且x 1>x 2,将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2-2pmy-p 2=0,所以y 1y 2=-p 2,4x 1x 2=p 2.设抛物线的准线为l ,过A 作AC ⊥l ,垂足为C ,过B 作BD ⊥l ,垂足为D ,因为|AF |=2|BF |=6,根据抛物线的定义知,|AF |=|AC |=x 1+p 2=6,|BF |=|BD |=x 2+p2=3,所以x 1-x 2=3,x 1+x 2=9-p ,所以(x 1+x 2)2-(x 1-x 2)2=4x 1x 2=p 2,即18p -72=0,解得p =4.答案:416.(2017·高考全国卷Ⅰ改编)设A ,B 是椭圆C :x23+y2m =1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB =120°,则m 的取值范围是________.解析:当0<m <3时,焦点在x 轴上, 要使C 上存在点M 满足∠AMB =120°, 则a b≥tan 60°=3,即3m≥ 3,解得0<m ≤1.当m >3时,焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB =120°, 则a b≥tan 60°=3,即m3≥3,解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞). 答案:(0,1]∪[9,+∞) 三、解答题17.(2018·辽宁五校联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,上顶点为B ,若△BF 1F 2的周长为6,且点F 1到直线BF 2的距离为b .(1)求椭圆C 的方程;(2)设A 1,A 2是椭圆C 长轴的两个端点,P 是椭圆C 上不同于A 1,A 2的任意一点,直线A 1P 交直线x =m 于点M ,若以MP 为直径的圆过点A 2,求实数m 的值.解析:(1)由题意得F 1(-c,0),F 2(c,0),B (0,b ), 则2a +2c =6,①直线BF 2的方程为bx +cy -bc =0, 所以|-bc -bc |c 2+b 2=b ,即2c =a ,②又a 2=b 2+c 2,③所以由①②③可得a =2,b =3, 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)不妨设A 1(-2,0),A 2(2,0),P (x 0,y 0), 则直线A 1P 的方程为y =y 0x 0+2(x +2),所以M (m ,y 0x 0+2(m +2)),又点P 在椭圆C 上,所以y 20=3(1-x 204),若以MP 为直径的圆过点A 2,则A 2M ⊥A 2P ,A 2M →·A 2P →=0,所以(m -2,y 0x 0+2(m +2))·(x 0-2,y 0)=(m -2)(x 0-2)+y 20x 0+2(m +2)=(m -2)(x 0-2)+-x 204x 0+2(m +2)=(x 0-2)(14m -72)=0.又点P 不同于点A 1,A 2,所以x 0≠±2, 所以m =14.18.(2018·福州模拟)抛物线C :y =2x 2-4x +a 与两坐标轴有三个交点,其中与y 轴的交点为P . (1)若点Q (x ,y )(1<x <4)在C 上,求直线PQ 斜率的取值范围; (2)证明:经过这三个交点的圆E 过定点.解析:(1)由题意得P (0,a )(a ≠0),Q (x,2x 2-4x +a )(1<x <4), 故k PQ =2x 2-4x +a -ax=2x -4,因为1<x <4,所以-2<k PQ <4,所以直线PQ 的斜率的取值范围为(-2,4). (2)证明:法一:P (0,a )(a ≠0).令2x 2-4x +a =0,则Δ=16-8a >0,a <2,且a ≠0, 解得x =1±4-2a2, 故抛物线C 与x 轴交于A (1-4-2a 2,0),B (1+4-2a2,0)两点. 故可设圆E 的圆心为M (1,t ), 由|MP |2=|MA |2,得12+(t -a )2=(4-2a 2)2+t 2,解得t =a 2+14, 则圆E 的半径r =|MP |=1+14-a 22.所以圆E 的方程为(x -1)2+(y -a 2-14)2=1+(14-a 2)2,所以圆E 的一般方程为x 2+y 2-2x -(a +12)y +a 2=0,即x 2+y 2-2x -12y +a (12-y )=0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-2x -12y =0,12-y =0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =12或⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =12,故圆E 过定点(0,12),(2,12).法二:P (0,a )(a ≠0),设抛物线C 与x 轴的两个交点分别为A (x 1,0),B (x 2,0),圆E 的一般方程为x 2+y 2+Dx +Fy +G =0,则⎩⎪⎨⎪⎧x 21+Dx 1+G =0,x 22+Dx 2+G =0,a 2+Fa +G =0.因为x 1,x 2是方程2x 2-4x +a =0,即x 2-2x +a2=0的两根,所以x 21-2x 1+a2=0,x 22-2x 2+a2=0,所以D =-2,G =a2, 所以F =-G -a 2a =-(a +12),所以圆E 的一般方程为x 2+y 2-2x -(a +12)y +a 2=0,即x 2+y 2-2x -12y +a (12-y )=0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-2x -12y =0,12-y =0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =12或⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =12,故圆E 过定点(0,12),(2,12).19.(2018·广州模拟)如图,在直角坐标系xOy 中,椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的上焦点为F 1,椭圆C 的离心率为12,且过点(1,263).(1)求椭圆C 的方程;(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上),垂直于l 的直线与l 交于点M ,与x 轴交于点H ,若F 1B →·F 1H →=0,且|MO |=|MA |,求直线l 的方程.解析:(1)因为椭圆C 的离心率为12,所以c a =12,即a =2c .又a 2=b 2+c 2,所以b 2=3c 2,即b 2=34a 2,所以椭圆C 的方程为y 2a 2+x234a 2=1.把点(1,263)代入椭圆C 的方程中,解得a 2=4.所以椭圆C 的方程为y 24+x 23=1.(2)由(1)知,A (0,2),设直线l 的斜率为k (k ≠0),则直线l 的方程为y =kx +2,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +2,x 23+y24=1,得(3k 2+4)x 2+12kx =0.设B (x B ,y B ),得x B =-12k3k 2+4, 所以y B =-6k 2+83k 2+4,所以B (-12k 3k 2+4,-6k 2+83k 2+4).设M (x M ,y M ),因为|MO |=|MA |,所以点M 在线段OA 的垂直平分线上, 所以y M =1,因为y M =kx M +2,所以x M =-1k ,即M (-1k,1).设H (x H,0),又直线HM 垂直于直线l ,所以k MH =-1k ,即1-1k-x H=-1k.所以x H =k -1k ,即H (k -1k,0).又F 1(0,1),所以F 1B →=(-12k 3k 2+4,4-9k 23k 2+4),F 1H →=(k -1k,-1).因为F 1B →·F 1H →=0,所以-12k 3k 2+4·(k -1k )-4-9k23k 2+4=0,解得k =±263.所以直线l 的方程为y =±263x +2.。

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第2讲 椭圆、双曲线、抛物线高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题;2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )A.y =±2xB.y =±3xC.y =±22xD.y =±32x 解析 法一 由题意知,e =c a =3,所以c =3a ,所以b =c 2-a 2=2a ,即b a=2,所以该双曲线的渐近线方程为y =±b ax =±2x .法二 由e =c a=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2=3,得b a =2,所以该双曲线的渐近线方程为y =±b ax =±2x .答案 A2.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M ,N 两点,则FM →·FN →=( ) A.5B.6C.7D.8解析 过点(-2,0)且斜率为23的直线的方程为y =23(x +2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =23(x +2),y 2=4x ,得x 2-5x+4=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则y 1>0,y 2>0,根据根与系数的关系,得x 1+x 2=5,x 1x 2=4.易知F (1,0),所以FM →=(x 1-1,y 1),FN →=(x 2-1,y 2),所以FM →·FN →=(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+4x 1x 2=4-5+1+8=8. 答案 D3.(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为( ) A.23B.12C.13D.14解析 由题意可知椭圆的焦点在x 轴上,如图所示,设|F 1F 2|=2c ,∵△PF 1F 2为等腰三角形,且∠F 1F 2P =120°, ∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c .∵|OF 2|=c ,过P 作PE 垂直x 轴,则∠PF 2E =60°,所以F 2E =c ,PE =3c ,即点P (2c ,3c ).∵点P 在过点A ,且斜率为36的直线上,∴3c 2c +a =36,解得c a =14,∴e =14. 答案 D4.(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C :x 22+y 2=1的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA =∠OMB . (1)解 由已知得F (1,0),l 的方程为x =1.把x =1代入椭圆方程x 22+y 2=1,可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-22.又M (2,0),所以AM 的方程为y =-22x +2或y =22x - 2. (2)证明 当l 与x 轴重合时,∠OMA =∠OMB =0°. 当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线, 所以∠OMA =∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为y =k (x -1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1<2,x 2<2,直线MA ,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1x 1-2+y 2x 2-2.由y 1=k (x 1-1),y 2=k (x 2-1)得k MA +k MB =2kx 1x 2-3k (x 1+x 2)+4k(x 1-2)(x 2-2).将y =k (x -1)代入x 22+y 2=1得(2k 2+1)x 2-4k 2x +2k 2-2=0. 所以,x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2k 2-22k 2+1.则2kx 1x 2-3k (x 1+x 2)+4k =4k 3-4k -12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0. 从而k MA +k MB =0,故MA ,MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA =∠OMB .综上,∠OMA =∠OMB .考 点 整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:|MF 1|+|MF 2|=2a (2a >|F 1F 2|); (2)双曲线:||MF 1|-|MF 2||=2a (2a <|F 1F 2|); (3)抛物线:|MF |=d (d 为M 点到准线的距离).温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时,易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)(焦点在y 轴上);(2)双曲线:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)(焦点在y 轴上);(3)抛物线:y 2=2px ,y 2=-2px ,x 2=2py ,x 2=-2py (p >0). 3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ,b ,c 之间的关系①在椭圆中:a 2=b 2+c 2;离心率为e =ca=1-b 2a 2. ②在双曲线中:c 2=a 2+b 2;离心率为e =ca=1+b 2a2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±ba x ;焦点坐标F 1(-c ,0),F 2(c ,0).②双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±abx ,焦点坐标F 1(0,-c ),F 2(0,c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0,准线方程x =-p 2.②抛物线x 2=2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,p 2,准线方程y =-p2. 4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入.即当斜率为k ,直线与圆锥曲线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)时,|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2=2px (p >0)过焦点F 的弦AB ,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=p 24,y 1y 2=-p 2,弦长|AB |=x 1+x 2+p .热点一 圆锥曲线的定义及标准方程【例1】 (1)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1+d 2=6,则双曲线的方程为( ) A.x 24-y 212=1 B.x 212-y 24=1 C.x 23-y 29=1D.x 29-y 23=1 (2)(2018·烟台二模)已知抛物线C :x 2=4y 的焦点为F ,M 是抛物线C 上一点,若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ,交抛物线C 的准线l 于点T ,且FM →=MN →,则|NT |=________.解析 (1)由d 1+d 2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b =3.因为双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,所以c a =2,所以a 2+b 2a 2=4,所以a 2+9a2=4,解得a 2=3,所以双曲线的方程为x 23-y 29=1.(2)由x 2=4y ,知F (0,1),准线l :y =-1. 设点M (x 0,y 0),且x 0>0,y 0>0.由FM →=MN →,知点M 是线段FN 的中点,N 是FT 中点,利用抛物线定义,|MF |=|MM ′|=y 0+1,且|FF ′|=2|NN ′|=2.又2(y 0+1)=|FF ′|+|NN ′|=3,知y 0=12.∴|MF |=12+1=32,从而|NT |=|FN |=2|MF |=3.答案 (1)C (2)3探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离,一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化,使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,就是指确定类型,所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a 2,b 2,p 的值,最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =52x ,且与椭圆x 212+y23=1有公共焦点,则C 的方程为( )A.x 28-y 210=1 B.x 24-y 25=1 C.x 25-y 24=1D.x 24-y 23=1 (2)(2018·衡水中学调研)P 为椭圆C :x 22+y 2=1上一动点,F 1,F 2分别为左、右焦点,延长F 1P 至点Q ,使得|PQ |=|PF 2|,记动点Q 的轨迹为Ω,设点B 为椭圆C 短轴上一顶点,直线BF 2与Ω交于M ,N 两点,则|MN |=________.解析 (1)由题设知b a =52,① 又由椭圆x 212+y 23=1与双曲线有公共焦点,易知a 2+b 2=c 2=9,②由①②解得a =2,b =5,则双曲线C 的方程为x 24-y 25=1.(2)∵|PF 1|+|PF 2|=2a =22,且|PQ |=|PF 2|, ∴|F 1Q |=|F 1P |+|PF 2|=2 2.∴Ω为以F 1(-1,0)为圆心,22为半径的圆. ∵|BF 1|=|BF 2|=2,|F 1F 2|=2,∴BF 1⊥BF 2,故|MN |=2|F 1M |2-|BF 1|2=2(22)2-(2)2=2 6. 答案 (1)B (2)2 6 热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B.2C.322D.2 2(2)(2018·北京卷改编)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线N :x 2m 2-y 2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为________.解析 (1)法一 由离心率e =c a=2,得c =2a ,又b 2=c 2-a 2,得b =a ,所以双曲线C 的渐近线方程为y =±x .由点到直线的距离公式,得点(4,0)到C 的渐近线的距离为41+1=2 2.法二 离心率e =2的双曲线是等轴双曲线,其渐近线方程是y =±x ,∴点(4,0)到C 的渐近线的距离为41+1=2 2.(2)设椭圆的右焦点为F (c ,0),双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A , 由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2,3c 2,由点A 在椭圆M 上得,c 24a 2+3c 24b 2=1,∴b 2c 2+3a 2c 2=4a 2b 2,∵b 2=a 2-c 2,∴(a 2-c 2)c 2+3a 2c 2=4a 2(a 2-c 2),则4a 4-8a 2c 2+c 4=0,e 4-8e 2+4=0,∴e 2=4+23(舍),e 2=4-2 3.由0<e <1,得e =3-1. 答案 (1)D (2)3-1探究提高 1.分析圆锥曲线中a ,b ,c ,e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键. 2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是确立一个关于a ,b ,c 的方程(组)或不等式(组),再根据a ,b ,c 的关系消掉b 得到a ,c 的关系式.建立关于a ,b ,c 的方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab的值,也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.【训练2】 (1)(2018·成都质检)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点E (0,t )(0<t <b ).已知动点P 在椭圆上,且点P ,E ,F 2不共线,若△PEF 2的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为( ) A.32B.22C.12D.33(2)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x2=2py (p >0)交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为________. 解析 (1)由椭圆的定义及对称性,△PEF 2的周长的最小值为2a .∴2a =4b ,a =2b ,则c =a 2-b 2=3b ,则椭圆C 的离心率e =c a =32.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程:⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2-y 2b 2=1,x 2=2py ,消去x 得a 2y 2-2pb 2y +a 2b 2=0,由根与系数的关系得y 1+y 2=2b2a2p ,又∵|AF |+|BF |=4|OF |,∴y 1+p 2+y 2+p 2=4×p2,即y 1+y 2=p ,∴2b 2a 2p =p ,即b 2a 2=12b a =22. ∴双曲线渐近线方程为y =±22x . 答案 (1)A (2)y =±22x 热点三 直线与圆锥曲线考法1 直线与圆锥曲线的位置关系【例3-1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :y 2=2px (p >0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |;(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点?说明理由.解 (1)如图,由已知得M (0,t ),P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ,t , 又N 为M 关于点P 的对称点,故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ,t , 故直线ON 的方程为y =ptx ,将其代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x =0, 解得x 1=0,x 2=2t 2p,因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ,2t .所以N 为OH 的中点,即|OH ||ON |=2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点,理由如下:直线MH 的方程为y -t =p 2t x ,即x =2tp(y -t ).代入y 2=2px 得y 2-4ty +4t 2=0,解得y 1=y 2=2t ,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外,直线MH 与C 没有其它公共点.探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N ,H 的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH 的方程与曲线C 联立,根据方程组的解的个数进行判断.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧. 【训练3】 (2018·潍坊三模)已知M 为圆O :x 2+y 2=1上一动点,过点M 作x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为A ,B ,连接BA 延长至点P ,使得|PA |=2,记点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程;(2)直线l :y =kx +m 与圆O 相切,且与曲线C 交于D ,E 两点,直线l 1平行于l 且与曲线C 相切于点Q (O ,Q 位于l 两侧),S △ODE S △QDE =23,求k 的值. 解 (1)设P (x ,y ),A (x 0,0),B (0,y 0),则M (x 0,y 0)且x 20+y 20=1, 由题意知OAMB 为矩形,∴|AB |=|OM |=1, ∴AP →=2BA →,即(x -x 0,y )=2(x 0,-y 0), ∴x 0=x3,y 0=-y 2,则x 29+y24=1,故曲线C 的方程为x 29+y 24=1.(2)设l 1:y =kx +n ,∵l 与圆O 相切, ∴圆心O 到l 的距离d 1=|m |k 2+1=1,得m 2=k 2+1,① ∵l 1与l 距离d 2=|m -n |k 2+1,② ∵S △ODE S △QDE =12|DE |·d 112|DE |·d 2=d 1d 2=|m ||m -n |=23, ∴m =-2n 或m =25n ,又O ,Q 位于l 两侧,∴m =25n ,③联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29+y 24=1,y =kx +n ,消去y 整理得(9k 2+4)x 2+18knx +9n 2-36=0, 由Δ=0,得n 2=9k 2+4,④ 由①③④得k =±31111.考法2 有关弦的中点、弦长问题【例3-2】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m >0). (1)证明:k <-12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →+FA →+FB →=0.证明:|FA →|,|FP →|,|FB →|成等差数列,并求该数列的公差.(1)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 214+y 213=1,x 224+y 223=1. 两式相减,并由y 1-y 2x 1-x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23·k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k =-34m.①由于点M (1,m )(m >0)在椭圆x 24+y 23=1内,∴14+m 23<1,解得0<m <32,故k <-12. (2)解 由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0). 由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m <0.又点P 在C 上,所以m =34,从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-32,|FP →|=32. 于是|FA →|=(x 1-1)2+y 21=(x 1-1)2+3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 214=2-x 12. 同理|FB →|=2-x 22.所以|FA →|+|FB →|=4-12(x 1+x 2)=3.故2|FP →|=|FA →|+|FB →|, 即|FA →|,|FP →|,|FB →|成等差数列. 设该数列的公差为d ,则 2|d |=||FB →|-|FA →||=12|x 1-x 2|=12(x 1+x 2)2-4x 1x 2.② 将m =34代入①得k =-1.所以l 的方程为y =-x +74,代入C 的方程,并整理得7x 2-14x +14=0.故x 1+x 2=2,x 1x 2=128,代入②解得|d |=32128.所以该数列的公差为32128或-32128.探究提高 1.在涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB |=1+k2|x 2-x 1|,设而不求计算弦长;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解,以简化运算.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条件Δ>0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练4】 (2018·天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为B ,已知椭圆的离心率为53,点A 的坐标为(b ,0),且|FB |·|AB |=6 2. (1)求椭圆的方程;(2)设直线l :y =kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ,且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |=524sin ∠AOQ (O 为原点),求k 的值. 解 (1)设椭圆的焦距为2c ,由已知有c 2a 2=59,又由a 2=b 2+c 2,可得2a =3b . 由已知可得,|FB |=a ,|AB |=2b , 由|FB |·|AB |=62, 可得ab =6,从而a =3,b =2.所以,椭圆的方程为x 29+y 24=1.(2)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点Q 的坐标为(x 2,y 2). 由已知有y 1>y 2>0, 故|PQ |sin ∠AOQ =y 1-y 2.又因为|AQ |=y 2sin ∠OAB ,而∠OAB =π4,故|AQ |=2y 2.由|AQ ||PQ |=524sin ∠AOQ ,可得5y 1=9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,x 29+y 24=1,消去x ,可得y 1=6k9k 2+4. 易知直线AB 的方程为x +y -2=0,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ,x +y -2=0,消去x ,可得y 2=2kk +1.代入5y 1=9y 2,可得5(k +1)=39k 2+4, 将等式两边平方,整理得56k 2-50k +11=0, 解得k =12或k =1128.所以,k 的值为12或1128.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2+By 2=1,其中A ,B 是不等的常数,A >B >0时,表示焦点在y 轴上的椭圆;B >A >0时,表示焦点在x 轴上的椭圆;AB <0时表示双曲线. 2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题,恰当选用定义解题,会效果明显,定义中的定值是标准方程的基础.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法:法一:直接求出a ,c ,计算e =ca;法二:根据已知条件确定a ,b ,c 的等量关系,然后把b 用a ,c 代换,求c a.4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的,此公式可以记忆,也可以在解题的过程中,利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法,设弦的两端点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),分别代入圆锥曲线方程,两式作差,式中含有x 1+x 2,y 1+y 2,y 1-y 2x 1-x 2三个量,则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系,借助弦的中点坐标即可求得斜率;(2)根与系数的关系,联立直线与圆锥曲线的方程,化为一元二次方程,用根与系数的关系求解.一、选择题1.(2018·合肥调研)已知双曲线C :y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与直线2x -y +1=0垂直,则双曲线C 的离心率为( ) A.2B.2C. 3D. 5解析 依题意,2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-a b =-1,∴b =2a .则e 2=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2=5,∴e = 5. 答案 D2.(2018·南昌质检)已知抛物线C :x 2=4y ,过抛物线C 上两点A ,B 分别作抛物线的两条切线PA ,PB ,P 为两切线的交点,O 为坐标原点,若PA →·PB →=0,则直线OA 与OB 的斜率之积为( ) A.-14B.-3C.-18D.-4解析 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ,x 2A 4,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ,x 2B 4,由x 2=4y ,得y ′=x 2.所以k AP =x A 2,k BP =x B 2,由PA →·PB →=0,得PA ⊥PB .∴x A 2·x B2=-1,则x A ·x B =-4,又k OA ·k OB =x 2A 4x A ·x 2B4x B =x A x B 16=-14.答案 A3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为( ) A.13B.12C.23D.32解析 由c 2=a 2+b 2=4得c =2,所以F (2,0), 将x =2代入x 2-y 23=1,得y =±3,所以|PF |=3.又A 的坐标是(1,3),故△APF 的面积为12×3×(2-1)=32.答案 D4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点,A 为椭圆上一点,∠F 1AF 2=π2,连接AF 2交y 轴于M 点,若3|OM |=|OF 2|,则该椭圆的离心率为( )A.13B.33C.58D.104解析 设|AF 1|=m ,|AF 2|=n . 如图所示,由题意可得 ∵Rt △F 1AF 2∽Rt △MOF 2.∴|AF 1||AF 2|=|OM ||OF 2|=13,则n =3m .又|AF 1|+|AF 2|=m +n =2a , ∴m =a 2,n =32a .在Rt △F 1AF 2中,m 2+n 2=4c 2,即104a 2=4c 2,∴e 2=c 2a 2=1016,故e =104.答案 D5.(2018·石家庄调研)已知F 1,F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,P 为双曲线上一点,PF 2与x 轴垂直,∠PF 1F 2=30°,且虚轴长为22,则双曲线的标准方程为( ) A.x 24-y 22=1 B.x 23-y 22=1 C.x 24-y 28=1D.x 2-y 22=1解析 如图,不妨设点P (x 0,y 0)在第一象限,则PF 2⊥x 轴, 在Rt △PF 1F 2中,∠PF 1F 2=30°,|F 1F 2|=2c , 则|PF 2|=23c 3,|PF 1|=43c3,又因为|PF 1|-|PF 2|=23c3=2a ,即c =3a .又2b =22,知b =2,且c 2-a 2=2,从而得a 2=1,c 2=3. 故双曲线的标准方程为x 2-y 22=1.答案 D 二、填空题6.(2018·北京卷)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴.若l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为________.解析 由题意知,a >0,对于y 2=4ax ,当x =1时,y =±2a ,由于l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4,所以4a =4,所以a =1,所以抛物线的焦点坐标为(1,0). 答案 (1,0)7.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F (c ,0)到一条渐近线的距离为32c ,则其离心率的值是________. 解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y =bax ,所以|bc |a 2+b 2=b =32c ,所以b 2=c 2-a 2=34c 2,得c =2a , 所以双曲线的离心率e =c a=2. 答案 28.设抛物线x 2=4y 的焦点为F ,A 为抛物线上第一象限内一点,满足|AF |=2;已知P 为抛物线准线上任一点,当|PA |+|PF |取得最小值时,△PAF 的外接圆半径为________. 解析 由x 2=4y ,知p =2,∴焦点F (0,1),准线y =-1. 依题意,设A (x 0,y 0)(x 0>0),由定义,得|AF |=y 0+p2,则y 0=2-1=1,∴AF ⊥y 轴.易知当P (1,-1)时,|PA |+|PF |最小,∴|PF |=12+(-1-1)2= 5. 由正弦定理,2R =|PF |sin A =525=52,因此△PAF 的外接圆半径R =54.答案 54三、解答题9.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=8. (1)求l 的方程;(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.解 (1)由题意得F (1,0),l 的方程为y =k (x -1)(k >0).设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),y 2=4x 得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0. Δ=16k 2+16>0,故x 1+x 2=2k 2+4k2.所以|AB |=|AF |+|BF |=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k2.由题设知4k 2+4k2=8,解得k =-1(舍去),k =1.因此l 的方程为y =x -1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y -2=-(x -3),即y =-x +5.设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0=-x 0+5,(x 0+1)2=(y 0-x 0+1)22+16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=3,y 0=2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0=11,y 0=-6.因此所求圆的方程为(x -3)2+(y -2)2=16或(x -11)2+(y +6)2=144.10.(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (-2,0),B (2,0),焦点在x 轴上,离心率为32. (1)求椭圆C 的方程;(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ,N ,过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.(1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c a =32,解得c = 3.所以b 2=a 2-c 2=1.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)证明 设M (m ,n ),则D (m ,0),N (m ,-n ). 由题设知m ≠±2,且n ≠0.直线AM 的斜率k AM =nm +2,故直线DE 的斜率k DE =-m +2n. 所以直线DE 的方程为y =-m +2n(x -m ). 直线BN 的方程为y =n2-m(x -2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y =-m +2n (x -m ),y =n 2-m (x -2),解得点E 的纵坐标y E =-n (4-m 2)4-m 2+n2.由点M 在椭圆C 上,得4-m 2=4n 2, 所以y E =-45n .又S △BDE =12|BD |·|y E |=25|BD |·|n |,S △BDN =12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.11.设F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,M 是椭圆C 上一点,且MF 2与x轴垂直,直线MF 1在y 轴上的截距为34,且|MF 2|=35|MF 1|.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知直线l :y =kx +t 与椭圆C 交于E 、F 两点,且直线l 与圆7x 2+7y 2=12相切,求OE →·OF →的值(O 为坐标原点).解 (1)设直线MF 1与y 轴的交点为N ,则|ON |=34.∵MF 2⊥x 轴,∴在△F 1F 2M 中,ON 綉12MF 2,则|MF 2|=32.又|MF 2|+|MF 1|=2a ,|MF 2|=35|MF 1|,∴|MF 2|=34a =32,∴a =2.又|MF 2|=b 2a,∴b 2=3.∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +t ,x 24+y 23=1,消y 得(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2-12=0.∴x 1+x 2=-8kt 3+4k 2,x 1x 2=4t 2-123+4k2,Δ=(8kt )2-4(3+4k 2)(4t 2-12)>0,得t 2<3+4k 2,(*)则OE →·OF →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+t )(kx 2+t ) =(1+k 2)x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2=(1+k 2)(4t 2-12)3+4k 2-8k 2t 23+4k 2+t 2(3+4k 2)3+4k 2=7t 2-12(1+k 2)3+4k2. 又直线l 与圆7x 2+7y 2=12相切, ∴|t |1+k2=127,则1+k 2=712t 2满足(*)式, 故OE →·OF →=7t 2-12×712t23+4k2=0.。

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