2017年浙江中考数学真题分类汇编二次函数(解析版)

合集下载

2017中考数学复习----二次函数综合题

2017中考数学复习----二次函数综合题1．如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B 两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标；（3）连接B、C，点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM ⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．2．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．4．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣2的顶点为点D，与直线y=kx在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C．（1）求△AOD的面积；（2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标；（3）如图2，点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且∠POA=45°，求出点P的坐标．5．如图，已知抛物线L1：y1=x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．7．如图，已知抛物线与x轴交于A （﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q点，当P点运动到什么位置时，线段PQ的长最大，并求此时P点的坐标．6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（1，﹣4），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，抛物线与y轴交于点C．（1）求这个函数解析式；（2）试确定以B、C、P为顶点的三角形的形状；（3）已知在对称轴上存在一点F使得△ACF周长最小，请写出F点的坐标．8．如图，抛物线y=﹣x2+ax+8（a≠0）于x轴从左到右交于点A，B于y轴交于点C于直线y=kx+b 交于点c和点D（m，5），tan∠DCO=1。

2017年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象2017(解答题)

2017年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象解答题三、解答题1. （2017山东滨州，24，14分）（本小题满分14分）如图，直线y ＝kx ＋b （k 、b 为常数）分别与x 轴、y 轴交于点A (－4，0)、B (0，3)，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与y 轴交于点C ．（1）求直线y ＝kx ＋b 的解析式；（2）若点P (x ，y )是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1上的任意一点，设点P 到直线AB 的距离为d ，求d 关于x 的函数解析式，并求d 取最小值时点P 的坐标；（3）若点E 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，求CE ＋EF 的最小值．思路分析：（1）将A 、B 两点坐标代入y ＝kx ＋b 中，求出k 、b 的值；（2）作出点P 到直线AB的距离后，由于∠AHC ＝90°，考虑构造“K 形”相似，得到△MAH 、△OBA 、△NHP 三个三角形两两相似，三边之比都是3∶4∶5．由“345NH CN CH==”可得23(3)(21)4345m x x x m d +--++-==，整理可得d 关于x 的二次函数，配方可求出d 的最小值；（3）如果点C 关于直线x ＝1的对称点C ′，根据对称性可知，CE ＝C ′E ．当C ′F ⊥AB 时，CE＋EF 最小．解：（1）∵y ＝kx ＋b 经过A (－4，0)、B (0，3),∴403k b b -+=⎧⎨=⎩，解得k ＝34，b ＝3．∴y ＝34x ＋3．（2）过点P 作PH ⊥AB 于点H ，过点H 作x 轴的平行线MN ，分别过点A 、P 作MN 的垂线段，垂足分别为M 、N ．设H (m ，34m ＋3)，则M (－4，34m ＋3)，N (x ，34m ＋3)，P (x ，－x 2＋2x ＋1)．∵PH ⊥AB ，∴∠CHN ＋∠AHM ＝90°，∵AM ⊥MN ，∴∠MAH ＋∠AHM ＝90°．∴∠MAH ＝∠CHN ，∵∠AMH ＝∠CNH ＝90°，∴△AMH ∽△HNP ． ∵MA ∥y 轴，∴△MAH ∽△OBA ．∴△OBA ∽△NHP ． ∴345NH CN CH==． ∴23(3)(21)4345m x x x m d+--++-==．整理得：24855d x x =-+，所以当x ＝58，即P (58，11964)．（3）作点C 关于直线x ＝1的对称点C ′，过点C ′作C ′F ⊥AB 于F ．过点F 作JK ∥x 轴，，分别过点A 、C ′作AJ ⊥JK 于点J ，C ′K ⊥JK 于点K ．则C ′(2，1)设F (m ，34m ＋3)∵C ′F ⊥AB ，∠AFJ ＋∠C ′FK ＝90°，∵CK ⊥JK ，∴∠C ′＋∠C ′FK ＝90°．∴∠C ′＝∠AFJ ，∵∠J ＝∠K ＝90°，∴△AFJ ∽△FC ′K ．∴'AJ JF FK C K =，∴33443224m m m m ++=-+，解得m ＝825或－4（不符合题意）． ∴F (825，8125)，∵C ′(2，1)，∴FC ′＝145．∴CE ＋EF 的最小值＝C ′E ＝145．2. （2017江苏徐州，26，9分）如图① ，菱形ABCD 中，5AB =cm ，动点P 从点B 出发，沿折线BC CD DA --运动到点A 停止，动点Q 从点A 出发，沿线段AB 运动到点B 停止，它们运动的速度相同.设点P 出发xs 时，BPQ ∆的面积为y 2cm .已知y 与x 之间的函数关系.如图②所示，其中,OM MN 为线段，曲线NK 为抛物线的一部分，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）当12x <<时，BPQ ∆的面积（填“变”或“不变”）；（2）分别求出线段OM ，曲线NK 所对应的函数表达式；（3）当x 为何值时，BPQ ∆的面积是52cm ？Ds ）图① 图②思路分析：（1）观察图象②可知，当1＜x ＜2时，y ＝10,故△BPQ 的面积不变；（2）用待定系数法求其解析式即可；（3）把y ＝5分别代入（2）中的一次函数及二次函数解析式，求出x 的值即可，对x 的值注意取舍.解：（1）不变（2）设OM所在直线的函数表达式为y＝kx，把M（1，10）代入，得k＝10. ∴线段OM的函数表达式为y＝10x（0＜x＜1）在曲线NK上取一点G，使它的横坐标52，由题意可得其纵坐标为52.∴曲线NK过三点N（2，10），G（52，52），K（3,0）∵曲线NK为抛物线的一部分，设其表达式为y＝ax2＋bx＋c，可得42102555422930a b ca b ca b c++=⎧⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解得106090abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴曲线NK的函数表达式为y＝10x2－60x＋90（2＜x＜3）（3）把y＝5代入y＝10x，解得x＝1 2，把y＝5代入y＝10x2－60x＋90，解得x1＝3－22，x2＝3＋22（舍去）∴当x＝3－22或x＝12时，BPQ∆的面积是52cm3.（2017江苏南京，26，8分）已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m（m为常数）（1）该函数的图像与x轴公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2（2）求证∶不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图像上．（3）当－2≤m≤3时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围．思路分析∶（1）计算二次函数对应一元二次方程的判别式b2－4ac，判断即可；（2）先利用配方法求出（1）的函数的顶点坐标，然后代入y＝(x＋1)2，即可得证；（3）由（2）可知函数图像的顶点纵坐标，再表示为z＝，然后分类讨论即可．解∶（1）D．二次函数对应的一元二次方程为－x2＋(m－1)x＋m＝0，则b2－4ac＝(m－1)2＋4m＝(m＋1)2≥0，所以一元二次方程有两个相等或两个不相等的实数根，即对应的二次函数图像与x轴有1个或2个交点．（2）y＝－x2＋(m－1)x＋m＝－，所以该函数的图像的顶点坐标为（，）()211,24mm⎛⎫⎝+-⎪⎪⎭．把x＝代入y＝(x＋1)2，得y＝．因此，不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图像上．（3）设函数z＝．当m＝－1时，z有最小值0．当m＜－1时，z随m的增大而减小；当1m>-时，z随m的增大而增大．又当2m=-时，在z＝；当m＝3时，z＝＝4．因此，当－2≤m≤3时，该函数的的图像的顶点纵坐标的取值范围是0≤z≤4．4.（2017湖南衡阳，26，10分）（本小题满分10分）如图，△AOB的顶点A、B分别在x轴、y轴上，∠BAO=450，且△AOB的面积为8．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C．①若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；②将抛物线G 向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标．思路分析：(1)因为∠BAO=450，所以OA=OB，且△AOB的面积为8，所以OA=OB=4,故直接写出点A、B的坐标为（4，0），（0,4）。

中考数学压轴题二次函数问题解答题解析版

27．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(k为常数）．（1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值；（2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值．【答案】(1);(2)k>1；（3）1或3.（2）把点代入抛物线，得把点代入抛物线，得解得当时，对应的抛物线部分位于对称轴左侧，随的增大而减小，时，，解得，（舍去）综上，或3．【关键点拨】本题考査的知识点是二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识．28．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【答案】(1) 50千克(2) 12.529．随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆.我市某旅行社推出“辽阳—葫芦岛海滨观光一日游”项目，团队人均报名费用y（元）与团队报名人数x（人）之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元.旅行社收到的团队总报名费用为w（元）. （1）直接写出当x≥20时，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元，报名旅游的人数是多少？（3）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？【答案】（1）；（2）30；（3）36人，3168元.（2）20×120=2400＜3000，由题意得：w=xy=x（-2x+160）=3000，-2x2+160x-3000=0，x2-80x+1500=0，（x-50）（x-30）=0，x=50或30，当x=50时，y==60，不符合题意，舍去，当x=30时，y==100＞88，符合题意，答：报名旅游的人数是30人；（3）w=xy=x（-2x+160）=-2x2+160x=-2（x2-80x+1600-1600）=-2（x-40）2+3200，∵-2＜0，∴x＜40，w随x的增大而增大，∵x=36时，w有最大值为：-2（36-40）2+3200=3168，∴当一个团队有36人报名时，旅行社收到的总报名费最多，最多总报名费是3168元．【关键点拨】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，正确得出y与x的函数关系式是解题的关键．30．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2），，144元（2）根据题意知，，，当时，随的增大而增大，，当时，取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【关键点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．31．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．(1)求抛物线的解析式(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；(3)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)5；(3)①或4；②存在，D点坐标为(，)或(-1+，)或(-1-，-)或(-4，3).【解析】(1)将代入将和代入抛物线解析式为(3)①当时，，则关于抛物线对称轴对称的面积为当时由已知为等腰直角三角形，过点作于点，设点坐标为，则为，代入解得的面积为4故答案为：或4【关键点拨】本题考查了直角坐标系下抛物线的综合运用与图形变换，能够综合应用相似形和分类讨论是解答本题的关键.32．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横坐标为，当时，求的值；（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．【答案】（1）y x2x﹣3；（2）；（3）．（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（，0），H（，﹣2）．∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO OA＝3，∴E（0，3）．∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QH CH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴．∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQ AQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．【关键点拨】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.33．知识背景当a＞0且x＞0时，因为（﹣）2≥0，所以x﹣2+≥0，从而x+（当x=时取等号）．设函数y=x+（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．应用举例已知函数为y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x==2时，y1+y2=x+有最小值为2 =4．解决问题（1）已知函数为y1=x+3（x＞﹣3）与函数y2=（x+3）2+9（x＞﹣3），当x取何值时，有最小值？最小值是多少？（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？【答案】（1）6；（2）w有最小值，最小值=201.4元．【关键点拨】本题考查二次函数的应用，反比例函数的应用，函数的最值问题，完全平方公式等知识，解题的关键是学会构建函数解决问题，属于中考常考题型．34．如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x 轴上有一动点C(m,0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m 的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱周长取最大值时，求点G的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）或.（2）由已知，点坐标为点坐标为轴（3）如图，过点做于点由（2）同理四边形是平行四边形整理得：，即由已知周长时，最大．点坐标为，，此时点坐标为，当点、位置对调时，依然满足条件点坐标为，或，【关键点拨】本题考查一次函数与二次函数的综合运用，解题的关键是能够根据题意找到有限条件列出解析式或表示出相关坐标.35．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．【答案】（1）；（2）△BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t的值为1或4．【解析】（1）将、代入，得：，解得：，此二次函数解析式为．（3）设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为，将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，，点的坐标为，，点的坐标为，．点的坐标为，，，．为直角三角形，分三种情况考虑：①当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；②当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；③当时，有，即，整理，得：．，该方程无解（或解均为增解）．[来源:Z&xx&]综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4．【关键点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．36．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①Q（2，3）；②Q2（，），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，MN=9或．理由见解析.（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，∵S△OBC=S△QBC，∴PQ∥BC，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，联立得：，解得：或，即Q（2，3）；②设G（1，2），∴PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，联立得：，解得：或，∴Q2（，），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），整理得：b2+10b﹣75=0，解得：b=﹣15或b=5，∵正方形边长为MN=，∴MN=9或．【关键点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．(2)结论：OE的长与a值无关．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，当y=0时，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的长与a值无关．(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，∴∠DPM=∠EPN，∴△DPM≌△EPN，∴PM=PN，PM=EN，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣1，当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，∵抛物线的顶点在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣1(m＜1)．故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．[来源]【关键点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质.38．如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①S四边形ACFD= 4；②Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．∴CD=2，且CD∥x轴，∵A（﹣1，0），∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；②∵点P在线段AB上，∴∠DAQ不可能为直角，∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，∵A（﹣1，0），D（2，3），∴直线AD解析式为y=x+1，∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，把D（2，3）代入可求得b′=5，∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，∴Q（1，4）；【关键点拨】此题重点考察学生对于抛物线的综合应用能力，熟练抛物线的图像和性质，四边形面积的计算方法，点坐标的求解方式是解答本题的关键.39．已知抛物线F：y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2x；（2）y2﹣y1＝（m＞0）；（3）①等边三角形；②点P的坐标为（2）、（）和（，﹣2）．∴y1m，y2m，∴y2﹣y1＝(m)﹣(m)(m＞0)；②∵△AA′B为等边三角形，∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为(x，y)．(i)当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为(2)；(ii)当AB为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为()；(iii)当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为(，﹣2)．综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为(2)、()和(，﹣2)．【关键点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法是解(1)的关键，将一次函数解析式代入二次函数解析式是解(2)的关键，分别求出AB、AA′、A′B的值以及分情况讨论是解(3)的关键.40．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐标为（，3）；（3）F坐标为（0，﹣）．（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2），∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3，当m=﹣=时，S最大=，此时M坐标为（，3）；（3）连接BF，如图②所示，当﹣x2+x+20=0时，x1=，x2=，∴OA=，OB=，∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴，即，解得：OF=，则F坐标为（0，﹣）．【关键点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．41．如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）P点坐标为（4,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）则抛物线解析式为；（2）当在直线上方时，设坐标为，则有，，当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当点时，也满足；当在直线下方时，同理可得：的坐标为，，综上，的坐标为，或，或，或；过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：【关键点拨】二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．42．已知抛物线的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、、．（3）y x2x+2的对称轴是x，设P（，n），AP2=（1）2+n2n2，CP2（2﹣n）2，AC2=12+22=5.分三种情况讨论：①当AP=AC时，AP2=AC2，n2=5，方程无解；②当AP=CP时，AP2=CP2，n2（2﹣n）2，解得：n=0，即P1（，0）；③当AC=CP时，AC2=CP2，（2﹣n）2=5，解得：n1=2，n2=2，P2（，2），P3（，2）．综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（，0），（，2），（，2）．【关键点拨】本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏．43．空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长；（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园A BCD的面积最大，并求面积的最大值．【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析.（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得：S=，0＜x＜a∵0＜a＜50∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大当x=a时，S最大=50a-a2②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得S=，a≤x＜50+当a＜25+＜50时，即0＜a＜时，则x=25+时，S最大=（25+）2=，当25+≤a，即≤a＜50时，S随x的增大而减小[来源:Zxx∴x=a时，S最大==，【关键点拨】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．44．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点．（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y x2﹣3；（3）M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC•tan30°，设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k，联立两个方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；【关键点拨】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．45．如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B 点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．【答案】（1），点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)；（2）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)．（2）当时，，点的坐标为．设直线的解析式为．将、代入，，解得：，直线的解析式为．假设存在，设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，如图所示．，．，当时，的面积最大，最大面积是16 ．，存在点，使的面积最大，最大面积是16 ．【关键点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度，找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．。

【经典推荐含解析及考点卡片】2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之函数基础知识

2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之函数基础知识一．选择题（共13小题）1．（2021•衢州）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（）A．15km B．16km C．44km D．45km 2．（2018•绍兴）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（﹣1，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数（）A．当x＜1时，y随x的增大而增大B．当x＜1时，y随x的增大而减小C．当x＞1时，y随x的增大而增大D．当x＞1时，y随x的增大而减小3．（2018•金华）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（）A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱4．（2017•绍兴）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（）A．B．C．D．5．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小6．（2018•金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（）A．（5，30）B．（8，10）C．（9，10）D．（10，10）7．（2017•温州）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24）B．（﹣6，25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）8．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．9．（2020•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）A．y＝x+2B．y＝x+2C．y＝4x+2D．y＝x+2 10．（2019•衢州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A．B．C．D．11．（2021•嘉兴）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（）A．≤B．≥C．≥D．≤12．（2020•台州）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．13．（2017•丽水）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（）A．乙先出发的时间为0.5小时B．甲的速度是80千米/小时C．甲出发0.5小时后两车相遇D．甲到B地比乙到A地早小时二．填空题（共4小题）14．（2020•金华）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可）．15．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．16．（2018•临安区）P（3，﹣4）到x轴的距离是．17．（2019•衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点F n﹣1，…，则顶点F2019的坐标为．三．解答题（共3小题）18．（2021•嘉兴）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．（1）y是关于x的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．19．（2020•嘉兴）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．x.....123456......y......632 1.5 1.21......（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．20．（2018•舟山）小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？（2）结合图象回答：①当t＝0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．②秋千摆动第一个来回需多少时间？2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之函数基础知识参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2021•衢州）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（）A．15km B．16km C．44km D．45km【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【分析】根据图象信息先求出甲、乙速度，然后根据第二次乙追上甲时所走路程相同求出甲所用时间，再求距离B地的距离即可．【解答】解：由图象可知：甲的速度为：60÷3＝20（km/h），乙追上甲时，甲走了30km，此时甲所用时间为：30÷20＝1.5（h），乙所用时间为：1.5﹣1＝0.5（h），∴乙的速度为：30÷0.5＝60（km/h），设乙休息半小时再次追上甲时，甲所用时间为t，则：20t＝60（t﹣1﹣0.5），解得：t＝2.25，此时甲距离B地为：（3﹣2.25）×20＝0.75×20＝15（km），故选：A．【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是读取图象中信息求出甲、乙的速度．2．（2018•绍兴）如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（﹣1，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数（）A．当x＜1时，y随x的增大而增大B．当x＜1时，y随x的增大而减小C．当x＞1时，y随x的增大而增大D．当x＞1时，y随x的增大而减小【考点】函数的图象．【专题】函数及其图象．【分析】根据函数图象和题目中的条件，可以写出各段中函数图象的变化情况，从而可以解答本题．【解答】解：由函数图象可得，当x＜1时，y随x的增大而增大，故选项A正确，选项B错误，当1＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，故选项C、D错误，故选：A．【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2018•金华）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（）A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱【考点】函数的图象．【专题】函数及其图象；一次函数及其应用．【分析】A、观察函数图象，可得出：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；B、观察函数图象，可得出：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；C、利用待定系数法求出：当x≥25时，y A与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝35时y A的值，将其与50比较后即可得出结论C正确；D、利用待定系数法求出：当x≥50时，y B与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当x＝70时y B的值，将其与120比较后即可得出结论D错误．综上即可得出结论．【解答】解：A、观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；B、观察函数图象，可知：当每月上网费用≥50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；C、设当x≥25时，y A＝kx+b，将（25，30）、（55，120）代入y A＝kx+b，得：，解得：，∴y A＝3x﹣45（x≥25），当x＝35时，y A＝3x﹣45＝60＞50，∴每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱，结论C正确；D、设当x≥50时，y B＝mx+n，将（50，50）、（55，65）代入y B＝mx+n，得：，解得：，∴y B＝3x﹣100（x≥50），当x＝70时，y B＝3x﹣100＝110＜120，∴结论D错误．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4．（2017•绍兴）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为D．故选：D．【点评】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．5．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小【考点】动点问题的函数图象．【分析】设PD＝x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，∴AB＝＝＝2，设PD＝x，AB边上的高为h，h＝＝，∵PD∥BC，∴＝，∴AD＝2x，AP＝x，∴S1+S2＝•2x•x+（2﹣1﹣x）•＝x2﹣2x+4﹣＝（x﹣1）2+3﹣，∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，当1≤x≤2﹣时，S1+S2的值随x的增大而增大．故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形面积，平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型．6．（2018•金华）小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是（）A．（5，30）B．（8，10）C．（9，10）D．（10，10）【考点】坐标确定位置．【专题】计算题．【分析】先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标．【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴于D，∴BD＝5，CD＝50÷2﹣16＝9，OA＝OD﹣AD＝40﹣30＝10，∴P（9，10）；故选：C．【点评】此题考查了坐标确定位置，根据题意确定出CD＝9，AD＝10是解本题的关键．7．（2017•温州）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24）B．（﹣6，25）C．（﹣5，24）D．（﹣5，25）【考点】规律型：点的坐标．【专题】推理填空题．【分析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离＝21+5＝26，所以P9的坐标为（﹣6，25），故选：B．【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P9的位置．8．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．【分析】求得解析式即可判断．【解答】解：∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），∴2＝a+a，解得a＝1，∴y＝x+1，∴直线交y轴的正半轴于点（0，1），且过点（1，2），故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．9．（2020•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）A．y＝x+2B．y＝x+2C．y＝4x+2D．y＝x+2【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．【分析】求得A、B的坐标，然后分别求得各个直线与x的交点，进行比较即可得出结论．【解答】解：∵直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）A、y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；B、y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；C、y＝4x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；D、y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．10．（2019•衢州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】函数及其图象．【分析】根据题意分类讨论，随着点P位置的变化，△CPE的面积的变化趋势．【解答】解：通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△CPE的面积为0；当点P在EA上运动时，△CPE的高BC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大，当x＝2时有最大面积为4，当P在AD边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x 增大而增大，当x＝6时，有最大面积为8，当点P在DC边上运动时，△CPE的底边EC不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小，最小面积为0；故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y 随x的变化而变化的趋势．11．（2021•嘉兴）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（）A．≤B．≥C．≥D．≤【考点】一次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【分析】结合选项可知，只需要判断出a和b的正负即可，点P（a，b）在直线y＝﹣3x ﹣4上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0中，可判断出a与b正负，即可得出结论．【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，∴﹣3a﹣4＝b，又2a﹣5b≤0，∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，解得a≤﹣＜0，当a＝﹣时，得b＝﹣，∴b≥﹣，∵2a﹣5b≤0，∴2a≤5b，∴≤．故选：D．【点评】本题主要考查一次函数上点的坐标特征，不等式的基本性质等，判断出a与b 的正负是解题关键．12．（2020•台州）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间t（单位：s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，由此即可判断．【解答】解：由题意小球在左侧时，V＝kt，∴y＝•t＝kt2，∴小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象是先缓后陡，在右侧上升时，情形与左侧相反，故选：C．【点评】本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．（2017•丽水）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（）A．乙先出发的时间为0.5小时B．甲的速度是80千米/小时C．甲出发0.5小时后两车相遇D．甲到B地比乙到A地早小时【考点】函数的图象．【分析】根据已知图象分别分析甲、乙两车的速度，进而分析得出答案．【解答】解：A、由图象横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，正确，不合题意；B、∵乙先出发0.5小时，两车相距（100﹣70）km，∴乙车的速度为：60km/h，故乙行驶全程所用时间为：＝1（小时），由最后时间为1.75小时，可得乙先到达A地，故甲车整个过程所用时间为：1.75﹣0.5＝1.25（小时），故甲车的速度为：＝80（km/h），故B选项正确，不合题意；C、由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为：40km，乙车行驶的距离为：60km，40+60＝100，故两车相遇，故C选项正确，不合题意；D、由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：1.75﹣1＝（小时），故此选项错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，解决本题的关键正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．二．填空题（共4小题）14．（2020•金华）点P（m，2）在第二象限内，则m的值可以是（写出一个即可）﹣1（答案不唯一）．．【考点】点的坐标．【专题】平面直角坐标系；几何直观．【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出m的取值范围，进而得出答案．【解答】解：∵点P（m，2）在第二象限内，∴m＜0，则m的值可以是﹣1（答案不唯一）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的取值范围是解题关键．15．（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点A（3，1）为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B（1，1），点C（1，3），点D（4，4），点E（5，2），则∠BAC＝∠DAE（填“＞”、“＝”、“＜”中的一个）．【考点】坐标与图形性质；直角三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】几何直观．【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系．【解答】解：连接DE，由上图可知AB＝2，BC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，又∵AE＝＝＝，同理可得DE＝＝，AD＝＝，则在△ADE中，有AE2+DE2＝AD2，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE＝45°，∴∠BAC＝∠DAE，故答案为：＝．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理及其逆定理，对于直角三角形的判定可以根据各个点的坐标，求出各线段的长度来实现，然后再根据边来判断角的大小．其解题关键在于构造相关的直角三角形．16．（2018•临安区）P（3，﹣4）到x轴的距离是4．【考点】点的坐标．【分析】根据点在坐标系中坐标的几何意义即可解答．【解答】解：根据点在坐标系中坐标的几何意义可知，P（3，﹣4）到x轴的距离是|﹣4|＝4．故答案为：4．【点评】本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．17．（2019•衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点F n﹣1，…，则顶点F2019的坐标为（）．【考点】规律型：点的坐标．【专题】规律型；图形的相似．【分析】（1）先证明△AOB∽△BCD，所以＝，因为DC＝1，BC＝2，所有＝；（2）利用三角形相似与三角形全等依次求出F1，F2，F3，F4的坐标，观察求出F2019的坐标．【解答】解：（1）∵∠ABO+∠DBC＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠DBC＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BCD＝90°，∴△AOB∽△BCD，∴＝，∵DC＝1，BC＝2，∴＝，故答案为；（2）解：过C作CM⊥y轴于M，过M1作M1N⊥x轴，过F作FN1⊥x轴．根据勾股定理易证得BD＝＝，CM＝OA＝，DM＝OB＝AN＝，∴C（，），∵AF＝3，M1F＝BC＝2，∴AM1＝AF﹣M1F＝3﹣2＝1，∴△BOA≌ANM1（AAS），∴NM1＝OA＝，∵NM1∥FN1，∴，，∴FN1＝，∴AN1＝，∴ON1＝OA+AN1＝+＝∴F（，），同理，F1（，），即（）F2（，），即（，）F3（，），即（，）F4（，），即（，）…F2019（，），即（，405），故答案为即（，405）．【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．三．解答题（共3小题）18．（2021•嘉兴）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．（1）y是关于x的函数吗？为什么？（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．【考点】函数的概念；数学常识．【专题】函数及其图象；模型思想．【分析】（1）根据函数的定义，可直接判断；（2）由图象可知，“加速期”结束时，即跑30米时，小斌的速度为10.4m/s．（3）答案不唯一．建议合理即可．【解答】解：（1）y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．【点评】本题主要考查函数图象的应用，结合题干中“百米赛跑数学模型”读出图中的数据是解题关键．19．（2020•嘉兴）经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．x.....123456......y......632 1.5 1.21......（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．【考点】函数的图象；函数关系式．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【分析】（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式．（2）根据反比例函数的性质解答即可．【解答】解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为，把x＝1，y＝6代入，得k＝6，∴函数表达式为；（2）∵k＝6＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2．【点评】本题考查描点法画函数图象、反比例函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键掌握描点法作图，学会利用图象得出函数的性质解决问题，属于中考常考题型．20．（2018•舟山）小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？（2）结合图象回答：①当t＝0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．②秋千摆动第一个来回需多少时间？【考点】函数的图象；函数的概念．【专题】函数及其图象．【分析】（1）根据图象和函数的定义可以解答本题；（2）①根据函数图象可以解答本题；②根据函数图象中的数据可以解答本题．【解答】解：（1）由图象可知，对于每一个摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应，∴变量h是关于t的函数；（2）①由函数图象可知，当t＝0.7s时，h＝0.5m，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度是0.5m；②由图象可知，秋千摆动第一个来回需2.8s．【点评】本题考查函数图象和函数概念，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．考点卡片1．数学常识数学常识此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．平时要注意多观察，留意身边的小知识．2．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．3．点的坐标（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．（2）平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．（3）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．4．规律型：点的坐标规律型：点的坐标．5．坐标确定位置平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．6．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．7．函数的概念函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．8．函数关系式。

2019年浙江省中考数学分类汇编专题：二次函数(含答案解析)

2019年浙江省中考数学分类汇编专题:二次函数一、单选题1.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A.(1，3)B.（1，-3)C.（-1，3）D.（-1，-3）【答案】A【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质【解析】【解答】解：∵y=（x-1）2+3，∴二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.2.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A.有最大值﹣1，有最小值﹣2B.有最大值0，有最小值﹣1C.有最大值7，有最小值﹣1D.有最大值7，有最小值﹣2【答案】D【考点】二次函数的最值【解析】【解答】∵由知当x=2，最小值为-2，又∵x=-1与x=3关于x=2对称故最大值为，故答案为：D。

【分析】先配方，∵对称轴x=2，在给定定义域范围内，故最小值可求。

图像张口向上，故离图像最远的点为最大值。

3.小飞研究二次函数(为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，随的增大而增大，则的取值范围为其中错误结论的序号是（）A.①B.②C.③D.④【答案】C【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：∵抛物线y=-（x-m）2-m+1∴顶点坐标为：（m，-m+1）∵y=-x+1当x=m时，y=-m+1∴抛物线的顶点坐标始终在直线y=-x+1上，故①正确；设抛物线的顶点坐标C（m，-m+1），与x轴的两交点坐标为B、A过点C作CD⊥x轴，当△ACB是等腰直角三角形时，则AD=DB=CD=-m+1，OD=m∴点B的横坐标为：m+（-m+1）=1∴点B（1,0）∴-（1-m）2-m+1=0解之：m1=1（舍去），m2=0当m=0时，抛物线的顶点与x轴的两交点构成等腰直角三角形，故②正确；∵A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＞2m∴∵a=-1，对称轴为直线x=m∴当x＞m时，y随x的增大而减小，∴时，，故③错误；∵当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，对称轴为直线x=m∴m≥2，故④正确；故答案为：C【分析】利用抛物线的解析式，可得到顶点坐标，再将顶点坐标代入y=-x+1进行验证，就可对①作出判断；过点C作CD⊥x轴，利用等腰直角三角形的性质，可知AD=DB=CD=-m+1，OD=m，从而求出点B的坐标，再将点B的坐标代入抛物线的解析式，就可求出符合题意的m的值，可对②作出判断；利用二次函数的性质，可对③④作出判断；综上所述，可得出说法错误的结论。

中考热点- 二次函数选填压轴题(解析版)--新九年级数学

中考热点02二次函数选填压轴题一、单选题1(2020·浙江杭州·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知函数y1=x2+ax+1，y2=x2+bx+2，y3= x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2=ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，()A.若M1=2，M2=2，则M3=0B.若M1=1，M2=0，则M3=0C.若M1=0，M2=2，则M3=0D.若M1=0，M2=0，则M3=0【答案】B【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．【解析】解：选项B正确．理由：∵M1=1，∴a2-4=0，∵a是正实数，∴a=2，∵b2=ac，∴c=12b2，∵M2=0，∴b2-8<0，∴b2<8，对于y3=x2+cx+4，则有△=c2-16=14b2-16=14(b2-64)<0，∴M3=0，∴选项B正确，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点个数及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本题的关键．2(2021·浙江·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A1,0和B3,0，点P1x1,y1，P2x2,y2是抛物线上不同于A,B的两个点，记△P1AB的面积为S1,△P2AB的面积为S2．有下列结论：①当x1>x2+2时，S1>S2；②当x1<2-x2时，S1<S2；③当x1-2>x2-2>1时，S1>S2；④当x1-2>x2+2>1时，S1<S2．其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】通过x1和x2的不等关系，确定P1x1,y1，P2x2,y2在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解．【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A1,0和B3,0，∴该抛物线对称轴为x=2，当x1>x2+2时与当x1<2-x2时无法确定P1x1,y1，P2x2,y2在抛物线上的相对位置，故①和②都不正确；当x1-2>x2-2>1时，P1x1,y1比P2x2,y2离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，∴y1 >y2 ，∴S1>S2，故③正确；当x1-2>x2+2>1时，即在x轴上x1到2的距离比x2到-2的距离大，且都大于1，可知在x轴上x1到2的距离大于1，x2到2的距离不能确定，所以无法比较P1x1,y1与P2x2,y2谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．3(2022·浙江宁波·校考三模)如图，二次函数y=ax2+bx+c a<0与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=2，则下列说法中正确的有()①abc<0；②4ac-b24a>0；③16a+4b+c>0；④5a+c>0；⑤方程ax2+bx+c=0(a≠0)其中一个解的取值范围为-2<x<-1．A.1个B.3个C.4个D.5个【答案】B【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置判断①；根据顶点的纵坐标判断②；根据对称轴及点C的坐标判断③；根据抛物线与x轴的交点情况判断④⑤．【解析】解：∵该抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a<0，c>0，∵它的对称轴为直线x=2，∴-b2a=2，b=-4a，∴b>0，∴abc<0，故①正确；∵该抛物线的顶点在x轴的上方，∴它的顶点的纵坐标4ac-b24a>0，故②正确；∵它的对称轴为直线x=2，与点C关于直线x=2对称的点的横坐标为4，∴当x=4时，y=16a+4b+c>0，故③正确；由③知点B的横坐标在4与5之间，∵它的对称轴为直线x=2，∴点A的横坐标在0与-1之间，∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)其中一个解的取值范围为-1<x<0，故⑤错误；故当x=-1时，a-b+c<0，∵b=-4a，∴a-b+c=a--4a+c<0，即5a+c<0，故④错误，故正确的有①②③，共3个，故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．4(2022·浙江宁波·一模)已知A，B两点的坐标分别为2，-3，0，-1，线段AB上有一动点M m，n，过点M作x轴的平行线交抛物线y=a(x-1)2+2于P x1，y2，Q x2，y2两点(P在Q的左侧)．若x1≤m<x2恒成立，则a的取值范围为()A.a<-5B.a≤-3C.-5<a<0D.-3≤a<0【答案】D【分析】根据A、B两点的坐标，得出线段AB(B除外)位于第四象限，再根据抛物线解析式，得出抛物线y=a(x-1)2+2的顶点坐标为1，2，此顶点位于第一象限，得出a<0，再结合图象，得出若x1≤m<x2，则当x=2时，二次函数的函数值y>-3；当x=0时，二次函数的函数值y≥-1，即可联立不等式组，解出即可得出结论．【解析】解：如图，由题意得：线段AB(B除外)位于第四象限，∴过点M且平行x轴的直线在x轴的下方，∵抛物线y=a(x-1)2+2的顶点坐标为1，2，此顶点位于第一象限，∴a<0，结合图象可知，若x1≤m<x2，则当x=2时，二次函数的函数值y>-3；当x=0时，二次函数的函数值y≥-1，即a2-12+2>-3a0-12+2≥-1，解得：a≥-3，又∵a<0，∴-3≤a<0．故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元一次不等式组，根据图象正确理解x1≤m <x2恒成立是解本题的关键．5(2021·浙江宁波·校考三模)已知二次函数y=x2-2bx+6b的顶点为(m，n)．当1≤m≤a时，5≤n≤9，则a的取值范围为()A.1<a≤3B.3≤a≤5C.3≤a<5D.5≤a≤7【答案】B【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，然后即可得到m与b的关系和n与b的关系，再根据当1≤m≤a时，5≤n≤9，即可求得a的取值范围．【解析】解：∵二次函数y=x2-2bx+6b=x-b2-b2+6b，其顶点为(m,n)，∴该函数的顶点坐标为(b,-b2+6b)，∴m=b，n=-b2+6b，∵当1≤m≤a时，5≤n≤9，∴1≤b≤a5≤-b2+6b≤9 ，解得3≤a≤5，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出该函数的顶点坐标．6(2022·浙江杭州·杭州市十三中教育集团(总校)校联考模拟预测)已知函数y1和y2是关于x的函数，点m,n在函数y1的图象上，点p,q在函数y2的图象上，规定：当n=q时，有m+p=0，那么称函数y1和y2具有“性质O”，则下列函数具有“性质O”的是()A.y1=x2-2x和y2=x-1B.y1=-x2+2x-1和y2=-xC.y1=x2-2x和y2=-x+1D.y1=-x2-2x-1和y2=x【答案】C【分析】将点m,n代入函数y1，点p,q代入函数y2，根据当n=q时，有m+p=0，可得一元二次方程，利用△=b2-4ac判断方程是否有解，即可求解．【解析】解：将点m,n代入y1=x2-2x可得：n=m2-2m将点p,q代入y2=x-1可得：q=p-1∵n=q∴m2-2m=p-1∵m+p=0∴p=-m∴m2-2m=-m-1，即m2-m+1=0∵△=-12-4×1×1=-3<0∴方程无解，故A选项不符合题意将点m,n代入y1=-x2+2x-1可得：n=-m2+2m-1将点p,q代入y2=-x可得：q=-p∵n=q∴-m2+2m-1=-p∵m+p=0∴p=-m∴-m2+2m-1=m，即m2-m+1=0∵△=-12-4×1×1=-3<0∴方程无解，故B选项不符合题意将点m,n代入y1=x2-2x可得：n=m2-2m将点p,q代入y2=-x+1可得：q=-p+1∵n=q∴m2-2m=-p+1∵m+p=0∴p=-m∴m2-2m=m+1，即m2-3m-1=0∵△=-32-4×1×-1=13>0∴方程有解，故C选项不符合题意将点m,n代入y1=-x2-2x-1可得：n=-m2-2m-1将点p,q代入y2=x可得：q=p∵n=q∴-m2-2m-1=p∵m+p=0∴p=-m∴-m2-2m-1=-m，即m2+m+1=0∵△=12-4×1×1=-3<0∴方程无解，故D选项不符合题意故选C．【点睛】本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用根的判别式判断方程是否有解，从而达到解决问题的目的．7(2023·浙江·模拟预测)已知二次函数y=x2+ax+b=x-x1x-x2(a，b，x1，x2为常数)，若1< x1<x2<2，记t=a+b，则()A.-2<t<-34B.-2<t<0 C.-1<t<-34D.-1<t<0【答案】D【分析】由题意可得a=-x1+x2-1，再根据1<x1<x2<2x2-1，b=x1x2，从而得到a+b=x1-1可得-1<x1-1-1<0，由此即可得到答案．x2-1【解析】解：∵二次函数y=x2+ax+b=x-x1x-x2，1<x1<x2<2，∴x1，x2是方程x2+ax+b=0的两个根，∴a=-x1+x2，b=x1x2，∴a+b=-x1+x2+x1x2，∴a+b=x1-1-1，x2-1∵1<x1<x2<2，∴0<x1-1<x2-1<1，∴0<x1-1<1，x2-1∴-1<x1-1-1<0，x2-1∴-1<a+b<0，∴-1<t<0，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，正确得到a+b=x1-1-1是x2-1解题的关键．8(2022·浙江杭州·统考一模)已知P1x1,y1图象上的两为抛物线y=-ax2+4ax+c a≠0，P2x2,y2点，且x1<x2，则下列说法正确的是()A.若x1+x2<4，则y1<y2B.若x1+x2>4，则y1<y2C.若a x1+x2-4>0，则y1>y2<0，则y1>y2 D.若a x1+x2-4【答案】D【分析】根据函数解析式求出抛物线的对称轴直线，分类讨论a>0及a<0时各自的选项即可求解．【解析】∵y=-ax2+4ax+c a≠0，∴y=-a x-2，2+4a+c a≠0∴抛物线的对称轴直线为x=2，①当-a>0时，抛物线的开口向上，∵x1<x2，∴当x1+x2<4时，点P1x1,y1在左侧，点P2x2,y2右与点P2x2,y2在对称轴的左侧，或点P1x1,y1侧，且点P1x1,y1离对称轴的距离大，离对称轴的距离比点P2x2,y2∴y1>y2，故选项A错误；②当-a<0时，抛物线的开口向下，∵x1<x2，∴当x1+x2>4时，点P1x1,y1在左侧，点P2x2,y2右在对称轴的右侧，或点P1x1,y1与点P2x2,y2侧，且点P1x1,y1离对称轴的距离小，离对称轴的距离比点P2x2,y2∴y1>y2，故选项B错误；③若a x1+x2-4<0，当x1+x2<4时，a>0，则-a<0时，抛物线的开口向下，∵x1<x2，∴当x 1+x 2<4时，点P 1x 1,y 1 与点P 2x 2,y 2 在对称轴的左侧，或点P 1x 1,y 1 在左侧，点P 2x 2,y 2 右侧，且点P 1x 1,y 1 离对称轴的距离比点P 2x 2,y 2 离对称轴的距离大，∴y 1<y 2；当x 1+x 2>4时，a <0，则-a >0时，抛物线的开口向上，∵x 1<x 2，∴当x 1+x 2>4时，点P 1x 1,y 1 与点P 2x 2,y 2 在对称轴的右侧，或点P 1x 1,y 1 在左侧，点P 2x 2,y 2 右侧，且点P 1x 1,y 1 离对称轴的距离比点P 2x 2,y 2 离对称轴的距离小，∴y 1<y 2；故选项C 错误；④若a x 1+x 2-4 >0，当x 1+x 2<4时，a <0，则-a >0时，抛物线的开口向上，∵x 1<x 2，∴x 1+x 2<4时，点P 1x 1,y 1 与点P 2x 2,y 2 在对称轴的左侧，或点P 1x 1,y 1 在左侧，点P 2x 2,y 2 右侧，且点P 1x 1,y 1 离对称轴的距离比点P 2x 2,y 2 离对称轴的距离大，∴y 1>y 2；当x 1+x 2>4时，a >0，则-a <0时，抛物线的开口向下，∵x 1<x 2，∴x 1+x 2>4时，点P 1x 1,y 1 与点P 2x 2,y 2 在对称轴的右侧，或点P 1x 1,y 1 在左侧，点P 2x 2,y 2 右侧，且点P 1x 1,y 1 离对称轴的距离比点P 2x 2,y 2 离对称轴的距离小，∴y 1>y 2；故选项D 正确，故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系．9(2021·浙江金华·校联考二模)利用函数知识对代数式ax 2+bx +c (a ≠0)的以下说法作出判断，则正确的是()A.如果存在两个实数p ≠q ，使得ap 2+bp +c =aq 2+bq +c ，则ax 2+bx +c =a (x -p )(x -q )B.存在三个实数m ≠n ≠s ，使得am 2+bm +c =an 2+bn +c =as 2+bs +cC.如果ac <0，则一定存在两个实数m <n ，使am 2+bm +c <0<an 2+bn +cD.如果ac >0，则一定存在两个实数m <n ，使am 2+bm +c <0<an 2+bn +c【答案】C【分析】根据二次函数的性质及与x 轴的交点的判定，即可一一判定．【解析】解：设y =ax 2+bx +c (a ≠0)，A .如果存在两个实数p ≠q ，使得ap 2+bp +c =aq 2+bq +c ，则说明在y =ax 2+bx +c (a ≠0)中，当x =p 和x =q 时的y 值相等，但并不能说明此时p 、q 是y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标，故A 中结论不一定成立；B .若am 2+bm +c =an 2+bn +c =as 2+bs +c ，则说明在y =ax 2+bx +c (a ≠0)中，当x =m 、n 、s 时，对应的y 值相等，因此m 、n 、s 中至少有两个数是相等的，故B 错误；C .如果ac <0，则b 2-4ac >0，则y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象和x 轴必有两个不同的交点，所以此时一定存在两个实数m <n ，使得am 2+bm +c <0<an 2+bn +c ，故C 在结论正确；D.如果ac>0，则b2-4ac的值的正负无法确定，此时y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴的交点情况无法确定，所以D中结论不一定成立，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，解题的关键是灵活运用这些知识．10(2022·浙江杭州·二模)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)，顶点坐标为(1, n)，与y轴的交点在(0,2)和(0,3)两点之间(包含端点)．下列结论中正确的是()①不等式ax2+c<-bx的解集为x<-1或x>3；②9a2-b2<0；③一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根分别为x1=13，x2=-1；④6≤3n-2≤10．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④【答案】D【分析】利用对称轴及点A的坐标可以求出抛物线与x轴的另一交点，结合图象即可求出不等式的解集；利用对称轴x=-b2a=1，可知b=-2a，进一步可求出9a2-b2=5a2≥0；利用韦达定理求出方程ax2+bx+c=0根与系数的关系，可知-ba =2，ca=-3，进一步可以求出方程cx2+bx+a=0的两根；利用b=-2aa-b+c=0，可以推出a=-13cb=23c，其中2≤c≤3，再利用n=4ac-b24a可知3n-2=4c-2，利用c的范围可以求出3n-2的范围；【解析】解：∵对称轴x=1，A(-1,0)，∴抛物线交于x轴的另一点坐标为(3,0)，∴结合图象可知ax2+bx+c<0的解集为x<-1或x>3，故①正确；∵对称轴x=-b2a=1，∴b=-2a，即9a2-b2=5a2≥0，故②错误；∵ax2+bx+c=0中根与系数的关系：x1+x2=-ba =2，x1∙x2=ca=-3假设方程cx2+bx+a=0的根为x3和x4，∴c a x2+bax+1=0，∴-3x2-2x+1=0，因式分解得：3x-1x+1=0∴x3=-1，x4=13∴cx2+bx+a=0的两个根分别为x1=13，x2=-1，故③正确；∵b=-2aa-b+c=0∴a=-13cb=23c∴n=4ac-b24a∴3n-2=4c-2∵2≤c≤3∴4×2-2≤3n-2≤4×3-2，即6≤3n-2≤10，故④正确；综上所述：正确的有①③④，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图像问题，韦达定理，要能够结合图象求出不等式解集，找出系数a、b、c 之间的关系，求出二元一次方程ax2+bx+c=0的根，做该类题的关键是结合图象进行求解．11(2023秋·浙江湖州·九年级统考期末)抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M m,y1，N m+1,y 2为图形G上两点，若y1>y2，则m的取值范围是()A.0≤m<12B.1-32<m<1C.1-32<m<1+32D.1-32<m<12【答案】D【分析】先求得点C，抛物线的对称轴，画出函数图象，结合图象的单调性和y1>y2，分两种情况：①当m≤0时，②当0<m<1时，得到关于m的不等式，解不等式即可得出结论．【解析】解：∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，∴C0,3，直线l为y=3，抛物线的对称轴为直线x=-22×-1=1，y轴右侧的部分的抛物线为y=x2-2x+3，∵m<m+1，∴点M在点N左侧，如图，当x≥1时，函数单调递增，∴m<1，①当m≤0时，∵y1>y2，∴-m2+2m+3>m+12-2m+1+3，解得1-32<m<3+12，又∵m ≤0，∴1-32<m ≤0；②当0<m <1时，∵y 1>y 2，∴m 2-2m +3>m +1 2-2m +1 +3，解得m <12，又∵0<m ，∴0<m <12，综上，m 的取值范围为1-32<m <12，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、翻折的性质，注重数形结合是解答本题的关键．12(2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习)若二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象于x 轴的交点坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1<x 2，图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，对于以下说法：①b 2-4ac >0；②x =x 0是方程ax 2+bx +c =y 0的解；③x 1<x 0<x 2④a x 0-x 1 x 0-x 2 <0；⑤x 0<x 1或x 0>x 2，其中正确的有()A.①②B.①②④C.①②⑤D.①②④⑤【答案】B【分析】根据抛物线与x 轴有两个不同的交点，根的判别式Δ>0，再分a >0和a <0两种情况对③④⑤选项讨论即可得解．【解析】①∵二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象于x 轴的交点坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1<x 2，∴方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，∴Δ=b 2-4ac >0，①正确；②∵图象上有一点M (x 0，y 0)，∴ax 2+bx +c =y 0，∴x =x 0是方程ax 2+bx +c =y 0的解，②正确；③当a >0时，∵M (x 0，y 0)在x 轴下方，∴x 1<x 0<x 2；当a <0时，∵M (x 0，y 0)在x 轴下方，∴x 0<x 1或x 0>x 2，③错误；④∵二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象于x 轴的交点坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，∴y =ax 2+bx +c =a x -x 1 x -x 2 ，∵图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，∴y 0=a x 0-x 1 x 0-x 2 <0，④正确；⑤根据③即可得出⑤错误．综上可知正确的结论有①②④．故选：B【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据二次函数的相关性质逐一分析四条结论的正误．13(2022秋·浙江金华·九年级统考期末)已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 都是常数，且a ≠0)开口向上且过点A -1,0 ，B m ,0 (1<m <2)，小明得出下列结论：①b >0；②若-1,y 1 和1,y 2 都在抛物线上，则y 1>y 2；③2a +c >0；④若方程a x -m x +1 +4=0没有实数根，则b 2-4ac <16a ．其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1【答案】B【分析】根据抛物线的开口以及对称轴即可判断①③，根据抛物线上的点离对称轴的距离越远，其函数值越大，即可判断②，将方程转化为ax 2+bx +c +4=0无实根，根据一元二次方程根的判别式即可求解．【解析】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 都是常数，且a ≠0)开口向上且过点A -1,0 ，B m ,0 (1<m <2)，∴对称轴为直线x =m -12，a >0，又对称轴为x =-b2a，∴ba=1-m ∵1<m <2∴1-m <0∵a >0∴b =1-m a <0故①不正确，②∵对称轴为直线x =m -12，1<m <2，∵1-m -12=3-m 2<1，m -12--1 =m +12>1-1,y 1 和1,y 2 都在抛物线上，又抛物线开口向上，离抛物线越远的点的函数值越大，∴y 1>y 2故②正确，∵对称轴为直线x =m -12，1<m <2，∴0<m -12<12，∴0<-b 2a <12，∴a >-b >0，由抛物线过点A -1,0 ，则a -b +c =0，∴a -b +c <a +a +c =2a +c ，∴2a +c >0，故③正确，∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 都是常数，且a ≠0)开口向上且过点A -1,0 ，B m ,0 (1<m <2)，设抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式为y =a x -m x +1 ，若方程a x -m x +1 +4=0没有实数根，即ax2+bx+c+4=0无实根，∴Δ=b2-4a c+4=b2-4ac-16a<0，即b2-4ac<16a．故④正确，故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键．14(2022秋·浙江杭州·九年级校考期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c a≠0的对称轴是x=-2，并与x轴交于A，B两点，若OA=5OB，则下列结论中：①abc>0；②a+c2-b2=0；③9a+4c<0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据函数图像的开口方向，对称轴，图像与y轴的交点，即可判断①；根据对称轴x=-2，OA =5OB，可得OA=5，OB=1，点A(-5，0)，点B(1，0)，当x=1时，y=0即可判断②；根据对称轴x =-2以及a+b+c=0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x=-2时y=4a-2b +c即可判断④.【解析】解：①观察图像可知a>0，b>0，c<0，∴abc<0，故①错误②∵对称轴为直线x=-2，OA=5OB，可得OA=5，OB=1∴点A(-5，0)，点B(1，0)∴当x=1时，y=0即a+b+c=0∴(a+c)2-b2=(a+b+c)(a+c-b)=0故②正确③抛物线的对称轴为直线x=-2，即-b2a =-2∴b=4a∵a+b+c=0∴5a+c=0∴c=-5a∴9a+4c=-11a<0，故③正确④当x=-2时函数有最小值y=4a-2b+c，当x=m时，am2+bm+c≥4a-2b+c整理得，若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，故④正确故选C【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图像与系数关系．15(2022秋·浙江舟山·九年级校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1:y=x2-1，将C1向右平移4个单位，得到抛物线C2，过点P p,0作x轴的垂线，交C1于点M，交C2于点N，q为M与N 的纵坐标中的较小值(若二者相等则任取其一)，将所有这样的点p,q组成的图形记为图形T．若直线y =x+n与图形T恰好有4个公共点，则n的取值范围是()A.-54<n<1 B.-1<n<1 C.-1<n≤1 D.-5<n<1【答案】A【分析】先求出抛物线平移后的解析式，即可求出两抛物线的交点坐标为(2，3)，从而得出T的图象，然后求出直线y=x+n绕过点(2，3)时的n值和直线y=x+n与C1只有一个交点时的n值，即可得出直线y=x+n与图形T恰好有4个公共点时的n的取值范围．【解析】解：∵抛物线C1:y=x2-1，将C1向右平移4个单位，得到抛物线C2，∴抛物线C2：y=(x-4)2-1，联立，得y=x2-1y=x-42-1，解得：x=2y=3,∴抛物线交点坐标为(2,3)，由题意得图形T的图象如图所示，把点(2,3)代入直线y=x+n，得3=2+n，解得：n=1，当直线y=x+n与C1只有一个交时，则x+n=x2-1，即x2-x-1-n=0有两个相等根，则Δ=12-4×1×(-n-1)=0，解得n=-5 4，∵直线y=x+n与图形T恰好有4个公共点，∴-5<n<1，4故选：A．【点睛】本题属二次函数综合题目，考查了二次函数图象的平移，抛物线的交点，直线与抛物线的交点，得出T的图象是解题的关键．16(2023春·浙江杭州·九年级专题练习)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1，0)和B(3，0)，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1>x2+2时，S1>S2；②当x1<2-x2时，S1<S2；③当|x1-2|>|x2-2|>1时，S1>S2；④当|x1-2|>|x2+2|>1时，S1<S2．其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】判定一个命题正确与否，只要举出一个反例便可确定，因此，不妨设a>0，结合二次函数的图象与性质逐项判定即可得出结论．【解析】解：不妨假设a>0．①如图1中，P1，P2满足x1>x2+2，∵P1P2∥AB，∴S1=S2，故①错误；②当x1=-2，x2=-1，满足x1<2-x2，则S1>S2，故②错误；③∵|x1-2|>|x2-2|>1，∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，∴S1>S2，故③正确；④如图2中，P1，P2满足|x1-2|>|x2+2|>1，但是S1=S2，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题17(2021·浙江金华·统考二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+2tx-t2+t+2．(1)若该抛物线过原点，则t的值为．(2)已知点A(-4,-2)与点B(2,-2)，若该抛物线与线段AB只有一个交点，则t的范围是__．【答案】-1或2-4≤t<-3,0<t≤5【分析】(1)把(0，0)代入抛物线解析式即可；(2)把点A(-4,-2)与点B(2,-2)分别代入解析式，求出t的值,再根据抛物线开口确定t的范围．【解析】解：(1)把(0，0)代入抛物线y=-x2+2tx-t2+t+2得，0=-t2+t+2，解得，t1=-1，t2=2；故答案为：-1或2(2)由解析式可知抛物线的对称轴是直线x=t；把点A(-4,-2)代入解析式得，-2=-16-8t-t2+t+2，解得，t1=-3，t2=-4；当t1=-3时，抛物线与线段刚好有两个交点(-4,-2)和(-2,-2)，当t2=-4时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是-4≤t<-3；把点B(2,-2)代入解析式得，-2=-4+4t-t2+t+2，解得，t1=0，t2=5；当t1=0时，抛物线与线段刚好有两个交点(-2,-2)和(2,-2)，当t2=5时，抛物线与线段只有一个交点，故t的范围是0<t≤5；故答案为：-4≤t<-3,0<t≤5【点睛】本题考查了二次函数的性质和它与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数和一元二次方程的知识，准确进行计算和正确进行推理．18(2020·浙江杭州·模拟预测)对于实数a、b，定义运算“★”:a★b=a2-ab(a≤b)b2-ab(a>b)，关于x的方程(2x+1)★(x-1)=t恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是．【答案】0<t<9 4【分析】根据题目的定义运算，写出分段函数的解析式，然后根据解析式画出函数图象，方程(2x+1)★(x-1)=t恰好有三个不相等的实数根，说明函数图象与直线y=t有三个交点，由图象求出结果．【解析】解：(2x+1)★(x-1)=2x2+5x+2x≤-2-x2-x+2x>-2，画出图象：y=-x2-x+2=-x+122+94，从图象来看，函数图象与直线y=t有三个交点时，t的取值范围是：0<t<9 4．故答案是：0<t<9 4．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是利用数形结合的思想求解问题．19(2019·浙江湖州·统考二模)对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n-m=k(b-a)，则称此函数为“k属和合函数”．例如：正比例函数y=-3x，当1≤x≤3时，-9≤y≤-3，则3-(-9)=k(3-1)，求得：k=3，所以函数y= -3x为“3属和合函数”．(1)若一次函数y=ax-1(1≤x≤5)为“1属和合函数”，则a的值；(2)已知二次函数y=-3x2+6ax+a2+2a，当-1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，则k的取值范围．【答案】a=1或a=-1k≥3 2【分析】(1)分两种情况：利用“k属和合函数”的定义即可得出结论；(2)分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k属和合函数”的定义即可得出结论；【解析】解：(1)当a>0时，∵1≤x≤5，∴a-1≤y≤5a-1，∵函数y=ax-1(1≤x≤5)为“1属和合函数”，∴(5a-1)-(a-1)=5-1，∴a=1；当a<0时，(a-1)-(5a-1)=5-1，∴a=-1，∴a=1或a=-1；(2)∵二次函数y=-3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x=a，∵当-1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，∴当x=-1时，y=a2-4a-3，当x=1时，y=a2+8a-3，当x=a时，y=4a2+2a，①如图1，当a≤-1时，当x=-1时，有y max=a2-4a-3，当x=1时，有y min=a2+8a-3∴(a2-4a-3)-(a2+8a-3)=2k，∴k=-6a，∴k≥6；②如图2，当-1<a≤0时，当x=a时，有y max=4a2+2a，当x=1时，有y min=a2+8a-3∴(4a2+2a)-(a2+8a-3)=2k，(a-1)2，∴k=32≤k<6；∴32③如图3，当0<a≤1时，当x=a时，有y max=4a2+2a，当x=-1时，有y min=a2-4a-3∴(4a2+2a)-(a2-4a-3)=2k，<k≤6；∴k=32④如图4，当a>1时，当x=1时，有y max=a2+8a-3，当x=-1时，有y min=a2-4a-3∴(a2+8a-3)-(a2-4a-3)=2k，∴k=-6a，∴k>6；即：k的取值范围为k≥3 2 .【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了的新定义的理解和应用，反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质，分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．20(2020·浙江宁波·统考模拟预测)抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且经过点(-1，0)．若关于x的一元二次方程x2+bx+c-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根，则t的取值范围是．【答案】-4≤t<5【分析】先根据二次函数对称轴公式得出b的值，将-1，0代入二次函数解析式得出c的值，再根据二次函数的性质得出在-1<x<4中，y的取值范围，最后根据一元二次方程x2+bx+c-t=0有实数根得出y=x2+bx+c与y=t的图像在-1<x<4中有交点即得．【解析】∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1∴-b2=1，解得：b=-2∵抛物线经过点-1，0∴1+2+c=0，解得：c=-3∴抛物线的解析式是y=x2-2x-3∵y=x2-2x-3=x-12-4∴当x=1时，y最小值=-4∵当x=-1时，y=x2-2x-3=0当x=4时，y=x2-2x-3=5∴在抛物线y=x2-2x-3中，当-1<x<4时，-4≤y<5∴令y=t，要使y=x2-2x-3与y=t有交点，则-4≤t<5∵关于x的一元二次方程x2+bx+c-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根∴y=x2+bx+c与y=t的图像在-1<x<4中有交点∴-4≤t<5故答案为：-4≤t<5【点睛】本题考查了二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，解题关键是根据一元二次方程的根是对应函数图像交点的横坐标将根转化为图像的交点．21(2022·浙江绍兴·校考一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y=mx(m>0)的图象交于点C(2，4)，B为线段AC的中点，若点D为线段AC上的一个动点，过点D作DE∥x轴，交反比例函数图象于点E，连接OD，OE，则△ODE面积的最大值为．【答案】9 2．【分析】一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，用k、b的值表示点A和点B的坐标，根据B为线段AC的中点，求得点A和点B的坐标及k、b的值，可得一次函数解析式，根据点C 坐标可得反比例函数解析式，延长ED交y轴于点F，设点E纵坐标为a，可得点E和点D坐标，根据S△ODE=S△OFE-S△OFD可求得关于a的二次函数，利用二次函数的性质即可得到△ODE面积的最大值．【解析】解：对于一次函数y=kx+b，当x=0时，y=b，∴B(0，b)，当y=0时，kx+b=0，解得x=-b k，∴A-bk ,0，∵点C(2，4)，B为线段AC的中点，∴点B纵坐标为2，∴B(0，2)，即b =2，∵点A 与点C 关于点B 对称，∴点A 横坐标为-2，∴A (-2,0)，即-bk =-2，∴k =1，∴一次函数解析式为y =x +2，∵反比例函数y =mx(m >0)的图象过点C (2，4)，∴将点C (2，4)代入，得m =8，∴反比例函数y =8x，延长ED 交y 轴于点F ，设点E 纵坐标为a ，把y =a 代入y =8x ，得x =8a，则E 8a ,a，把y =a 代入y =x +2，得x +2=a ，∴x =a -2，∴D (a -2,a )，∴S △ODE =S △OFE -S △OFD =12·OF ·EF -12·OF ·DF ，∵EF =8a，DF =a -2，OF =a ，∴S △ODE =12·a ·8a -12·a ·a -2 =4-12a 2+a =-12a 2-2a -8 =-12a -1 2-9 ，∴当a =1时，S △ODE 有最大值，最大值为92．故答案为92．【点睛】本题考查了一次函数和与反比例函数综合，二次函数的性质，求一次函数解析式和反比例函数解析式等知识点．正确作出辅助线是解题的关键．22(2022·浙江宁波·校考模拟预测)如图，一组x 轴正半轴上的点B 1，B 2，⋯B n 满足条件OB 1=B 1B 2=B 2B 3⋯=B n -1B n =2，抛物线的顶点A 1，A 2，⋯A n 依次是反比例函数y =9x图象上的点，第一条抛物线以A 1为顶点且过点O 和B 1；第二条抛物线以A 2为顶点且经过点B 1和B 2；⋯第n 条抛物线以A n 为顶点且经过点B n -1，B n ．依次连结抛物线的顶点和与x 轴的两个交点，形成△OA 1B 1、△BA 2B 2、⋯、△B n -1A n B n ．若三角形是一个直角三角形，则它相对应的抛物线的函数表达式为．【答案】y =-x 2+18x -80【分析】根据题意得三角形为等腰三角形，根据OB 1=B 1B 2=B 2B 3⋯=B n -1B n =2可得到点B 1(2,0)，B 2(4,0)，B 3(6,0)，B n (2n ,0)，根据抛物线的顶点A 1，A 2，⋯A n 依次是反比例函数y =9x图象上的点，设点A n m ,9m ，根据A n B n -2=A n B n 建立等式m -(2n -2) 2+9m 2=m -2n 2+9m2，化简后得到m =2n -1，因此可以得到点A 1(1,9)，A 2(3,3)，⋯A 2n -12n -1,92n -1，再根据等腰直角三角形的性质可以得到92n -1=12B n -1B n =1，从而求出n 的值，从而得到三角形三个点的坐标值，再根据待定系数法解求出二次函数的解析式．【解析】解：由题意得，△OA 1B 1、△BA 2B 2、⋯、△B n -1A n B n 均为等腰三角形，∵OB 1=B 1B 2=B 2B 3⋯=B n -1B n =2，∴点B 1(2,0)，B 2(4,0)，B 3(6,0)，B n (2n ,0)设点A n m ,9m，∵A n B n -2=A n B n ，∴m -(2n -2) 2+9m 2=m -2n 2+9m2，∴m -2n +2 2-m -2n 2=0，∴(m -2n +2+m -2n )m -2n +2-m +2n =0∴m -2n +1=0，∴m =2n -1，∴点A 1(1,9)，A 2(3,3)，⋯A 2n -12n -1,92n -1，∵△B n -1A n B n 是直角三角形，∴△B n -1A n B n 为等腰直角三角形，∴92n -1=12B n -1B n =1∴n =5，∴A 5(9,1)∴B 4(8,0)，B 5(10,0)，设抛物线的解析式为y=a(x-8)(x-10)，将点A5(9,1)代入解析式，得1=-a，∴a=-1，∴抛物线的解析式为y=-(x-8)(x-10)=-x2+18x-80．故答案为：y=-x2+18x-80．【点睛】本题考查等腰直角三角形、反比例函数的性质、二次函数的性质，解题的关键是根据题意得到三角形为等腰三角形，根据腰长相等建立等式，从而求出n的值．23(2022秋·浙江嘉兴·九年级桐乡市第七中学校考期中)在直角坐标系xOy中，对于点P x,y和Q x,y，给出如下定义：若y =y x≥0-y x<0称点Q为点P的“可控变点”，例如：点1,2的“可控变点”为点1,2，点-1,3的“可控变点”为点-1,-3．(1)若点-1,-2是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为；(2)若点P在函数y=-x2+18-5≤x≤a的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y 的取值范围是-18<y ≤18，则实数a的取值范围是．【答案】(-1,2)11≤a<6【分析】(1)根据“可控变点”的定义求解即可；(2)由题意可得，点P的“可控变点”Q一定在函数y =-x2+18(x≥0) x2-18(x<0)的图象上，结合图象和定义，即可求解．【解析】解：(1)-1<0，∴点-1,-2的“可控变点”M的坐标为(-1,2)；(2)由题意可得y=-x2+18图象上的点P的“可控变点”必在函数y =-x2+18(x≥0)x2-18(x<0)的图象上，如图∵-18<y ≤18∴-x2+18=-18解得x=6，当x=-5时，y =x2-18=7当y =7时，7=-x2+18(x≥0)，解得x=11a的取值范围为11≤a<6故答案为：(-1,2)，11≤a<6【点睛】此题考查的是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．24(2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A(1, 0)和B(3,0)，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2.有下列结论：①当x1>x2+2时，S1>S2；②当x1<2-x2时，S1<S2；③当|x1-2|>|x2-2|>1时，S1>S2；④当|x1-2|>|x2+2|>1时，S1<S2.其中正确结论的是.【答案】③【分析】不妨假设a>0，利用图象法一一判断即可.。

押浙江卷第23题(二次函数的应用与综合)(解析版)-备战2024年中考数学临考题号押题

押浙江卷第23题（二次函数的应用与综合）押题方向：二次函数应用及综合问题2023年浙江真题考点命题趋势2023年湖州卷第21题二次函数的应用从近几年浙江各地中考来看，解答题中二次函数考查内容主要是二次函数的实际应用、二次函数综合，其中二次函数的综合题经常以压轴题出现，试题的整体难度比较高，预计2024年浙江卷还将重视二次函数综合问题的考查。

2023年湖州卷、衢州卷、绍兴卷、舟山、嘉兴卷、丽水卷第23题、杭州卷第22题、金华卷第24题二次函数综合1．（2023•杭州）设二次函数y ＝ax 2+bx +1（a ≠0，b 是实数）．已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：x …﹣10123…y…m1n1p…（1）若m ＝4，①求二次函数的表达式；②写出一个符合条件的x 的取值范围，使得y 随x 的增大而减小．（2）若在m ，n ，p 这三个实数中，只有一个是正数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）①利用待定系数法即可求得；②利用二次函数的性质得出结论；（2）根据题意m ≤0，由﹣＝1，得出b ＝﹣2a ，则二次函数为y ＝ax 2﹣2ax +1，得出m ＝a +2a +1≤0，解得a ≤﹣．【解析】解：（1）①由题意得，∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小；（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a+2a+1≤0，∴a≤﹣．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出m＝a+2a+1＜0是解题的关键．2．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；【思路点拨】（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），用待定系数法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝，根据﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；（3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【解析】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），∴，∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝m，∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，∴由图象的对称性得n＝2m，∴m＝，∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∴﹣4＜n＜﹣2；（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴﹣＝m，∴b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：，①×3+②得：12am2+12＝0，∴am2+1＝0，∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【点睛】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用．3．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．【思路点拨】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；（2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．【解析】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；（2）如图：∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．4．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．（1）当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标；②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．【思路点拨】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；（2）根据函数的增减性求解；（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．【解析】解：（1）①∵b＝4，c＝3时，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴顶点坐标为（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），∴当x＝2时，y有最大值7，∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴当x＝﹣1时，y有最小值为：﹣2，∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，∴c＝2，又∵，∴b＝±2，∵b＞0，∴b＝2．∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．5．（2023•湖州）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：销售价格x（元/千克）5040日销售量y（千克）100200（1）试求出y关于x的函数表达式．（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？【思路点拨】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表中数据即可得出结论；（2）根据每日总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．【解析】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．将x＝50，y＝100和x＝40，y＝200分别代入，得：，解得：，∴y关于x的函数表达式是：y＝﹣10x+600．（2）W＝（x﹣30）（﹣10x+600）＝﹣10x2+900x﹣18000．当x＝﹣＝45时，在30≤x＜60的范围内，W取到最大值，最大值是2250．答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．6．（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？【思路点拨】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【解析】解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，∴球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．7．（2023•湖州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为（1，5）．（1）求c的值及顶点M的坐标．（2）如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位（0＜t＜3）得到对应的矩形A′B′C′D′．已知边C′D′，A′B′分别与函数y＝x2﹣4x+c的图象交于点P，Q，连接PQ，过点P作PG⊥A′B′于点G．①当t＝2时，求QG的长；②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用待定系数法将（0，5）代入y＝x2﹣4x+c，即可求得c的值，再利用配方法将抛物线的解析式化为顶点式或运用顶点公式即可求得答案；（2）①当t＝2时，D′，A′的坐标分别是（2，0），（3，0）．进而可求得点P、Q的纵坐标，利用QG ＝y Q﹣y G，即可求得答案；②根据题意，得：P（t，t2﹣4t+5），Q（t+1，t2﹣2t+2），G（t+1，t2﹣4t+5），分两种情况：当点G在点Q的上方时，当点G在点Q的下方时，分别求得t的值即可．【解析】解（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），∴c＝5，∴y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴顶点M的坐标是（2，1）．（2）①如图1，∵A在x轴上，B的坐标为（1，5），∴点A的坐标是（1，0）．当t＝2时，D′，A′的坐标分别是（2，0），（3，0）．当x＝3时，y＝32﹣4×3+5＝2，即点Q的纵坐标是2．当x＝2时，y＝1，即点P的纵坐标是1．∵PG⊥A′B′，∴点G的纵坐标是1，∴QG＝2﹣1＝1．②存在．理由如下：∵△PGQ的面积为1，PG＝1，∴QG＝2．根据题意，得：P（t，t2﹣4t+5），Q（t+1，t2﹣2t+2），∴G（t+1，t2﹣4t+5），如图2，当点G在点Q的上方时，QG＝t2﹣4t+5﹣（t2﹣2t+2）＝3﹣2t＝2，此时（在0＜t＜3的范围内）．如图3，当点G在点Q的下方时，QG＝t2﹣2t+2﹣（t2﹣4t+5）＝2t﹣3＝2，此时（在0＜t＜3的范围内）．综上所述，存在t，使得△PGQ的面积为1，此时t的值为或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点，平移变换的性质，三角形面积等，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．8．（2023•金华）如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为（2，0），直线BC与直线PD相交于点E．（1）如图2，若抛物线经过原点O．①求该抛物线的函数表达式；②求的值．（2）连结PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由．【思路点拨】（1）①由抛物线经过原点O（0，0）、C（2，0），可得抛物线的顶点P（1，），利用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x；②先求出A（﹣2，0），B（0，），运用待定系数法可得直线OP的解析式为y＝x，过点B作BF∥x轴交OP于点F，F（，），可得BF＝，再由BF∥OC，得出△BEF∽△CEO，进而可得＝＝＝；（2）分四种情形，分别作出图形求解即可．【解析】解：（1）①∵抛物线经过原点O （0，0）、C （2，0），∴对称轴为直线x ＝1，当x ＝1时，y ＝×1+＝，∴抛物线的顶点P （1，），设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+，把C （2，0）代入，得a +＝0，解得：a ＝﹣，∴y ＝﹣（x ﹣1）2+＝﹣x 2+3x ，∴该抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+3x ；②∵直线y ＝与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴A （﹣2，0），B （0，），设直线OP 的解析式为y ＝kx ，把P （1，）代入，得：k ＝，∴直线OP 的解析式为y ＝x ，如图，过点B 作BF ∥x 轴交OP 于点F ，则点F 的纵坐标与点B 的纵坐标相同，∴＝x ，解得：x ＝，∴F （，），∴BF＝，∵BF∥OC，∴△BEF∽△CEO，∴＝＝＝，∴的值为．（2）设点P的横坐标为t，①如图2﹣1，当t＞2，存在∠CPE＝∠BAO，设∠CPE＝∠BAO＝α，∠APC＝β，则∠APD＝α+β，∵∠PCD＝∠PAO+∠APC＝α+β，∵PC＝PD，∴∠PDC＝∠PCD＝∠APD，∴AP＝AD＝2t，过点P作PF⊥x轴于点F，则AF＝t+2，在Rt△APF中，cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝6．②如图2﹣2中，当0＜t≤2时，存在∠CPE＝∠BAO．过点P作PF⊥x轴于点F，同法cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝．③如图2﹣3中，当﹣2＜t≤0时，存在∠CPE＝∠BAO＝α，∵PC＝PD，∴∠CPE＝α，∴∠BAO﹣∠PDC＝α，∴∠APD＝∠PDA，∴AD＝AP＝﹣2t，同法cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝﹣．④当t≤﹣2时，同法cos∠BAO＝＝，＝，∴t＝﹣【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数综合运用，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．9．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为；（3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4．【解析】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：1＝4﹣4t+3，（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为x＝t．若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，∴t2﹣2t2+3＝﹣2，解得t＝；若t＞3，当x＝3时函数取最小值，∴9﹣6t+3＝﹣2，解得（不符合题意，舍去）；综上所述，t的值为；（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，∴t＝m﹣1，∵t＞0，∴m﹣1＞0，解得m＞1，∵m﹣2＜m，∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），∵b＜3，∴4＜2m﹣2，解得m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，∵y随x的增大而减小，且a＜b，∴4＜m﹣2，解得m＞6，此时m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，∵a＜b，∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），解得：m＜4，此时m满足的条件是3＜m＜4，综上所述，3＜m＜4或m＞6．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用．10．（2023•衢州）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s＝kt2（k≠0）；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的函数表达式为s＝k（t﹣70）2+h（k≠0）．（1）求出启航阶段s（m）关于t（s）的函数表达式（写出自变量的取值范围）．（2）已知途中阶段龙舟速度为5m/s．①当t＝90s时，求出此时龙舟划行的总路程．②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，t≤85.20s视为达标．请说明该龙舟队能否达标．（3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点．求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．【思路点拨】（1）把A（20，50）代入s＝kt2得出k的值，则可得出答案；（2）①设s＝5t+b，把（20，50）代入，得出50＝5×20+b，求得b＝﹣50，当t＝90时，求出s＝400，则可得出答案；②把s＝375代入s＝5t﹣50，求得t＝85，则可得出答案；（3）由（1）可知k＝，把（90，400）代入s＝，求得h＝350．求出s＝405.125，则可得出答案．【解析】解：（1）把A（20，50）代入s＝kt2得50＝400k，解得，∴启航阶段总路程s关于时间t的函数表达式为s＝（0＜t≤20）；（2）①设s＝5t+b，把（20，50）代入，得50＝5×20+b，解得b＝﹣50，∴s＝5t﹣50．当t＝90时，s＝450﹣50＝400．∴当t＝90s时，龙舟划行的总路程为400m．②500﹣125＝375，把s＝375代入s＝5t﹣50，得t＝85．∵85＜85.20，∴该龙舟队能达标．（3）加速期：由（1）可知k＝，把（90，400）代入s＝，得h＝350．∴函数表达式为s＝，把t＝91代入s＝，解得s＝405.125．∴（500﹣405.125）÷5.25≈18.07（s），∴90+1+18.07＝109.07（s）．答：该龙舟队完成训练所需时间为109，07s．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．11．（2024•嘉善县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），且a＞b＞c，a+b+c＝0．（1）当b＝0时，求方程ax2+bx+c＝0的根；（2）已知该二次函数的对称轴为x＝m，求证：；（3）已知该二次函数的图象与x轴，y轴分别交于A（x1，0），B（x2，0），C（0，c）三点（A在B的左侧），且x1+4x2＝0，若△ABC为直角三角形，求该二次函数表达式．【思路点拨】（1）当b＝0时，方程为：ax2+c＝0，即可求解；（2）证明a＞0且c＜0，即可求解；（3）若△ABC为直角三角形，则只存在∠ACB为直角，即可求解．【解析】（1）解：∵a＞b＞c，a+b+c＝0，则a＞0且c＜0，当b＝0时，方程为：ax2+c＝0，解得：x＝±；（2）证明：由（1）知，a＞0且c＜0，则a+b＝﹣c＞0，即a+b＞0，则﹣＜1，即﹣＜，∴；（3）解：∵a＞0且c＜0，且x1+4x2＝0，解：由（1）知，抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+（﹣a﹣b），则x1+x2＝﹣且x1x2＝﹣，将x1+4x2＝0代入上式两式得：4x2＝＝1+＝1+3x2，解得：x2＝1，则x1＝﹣4，即点A、B的坐标分别为：（﹣4，0）、（1，0），则可大致画出函数的图象如下：若△ABC为直角三角形，则只存在∠ACB为直角，则∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠ACO＝∠OBC，∴tan∠ACO＝tan∠OBC，则OC2＝OA×OB，即CO2＝1×4＝4，解得：CO＝2，则点C（0，﹣2），由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），则﹣4a＝﹣2，解得：a＝，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、直角三角形的性质等熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．1．二次函数的应用：应用待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键.2．二次函数的综合问题：熟练掌握待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，函数图象上点的特征是解题的关键．3．要重视数形结合在解决二次函数综合问题中的作用.1．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；（2）若该函数图象的对称轴为直线x＝2，A（x1，m），B（x2，m）为该函数图象上的任意两点，其中x1＜x2，求当x1，x2为何值时，m＝8a；（3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点（1，2），当a＜b时求3a+b的取值范围．【思路点拨】（1）依据题意，求出Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，进而结合a≠0可以判断Δ＞0，即可求解；（2）依据题意，也有对称轴为直线x＝2，可得b＝﹣4a，从而y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，当y1＝y2＝8a时，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，然后计算即可求解；（3）依据题意，由（1）知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶点在第二象限，则抛物线开口向下，即a＜0，进而求解．【解析】解：（1）由题意得，Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，又a≠0，∴a2＞0．∴16a2＞0．又对于任意的b都有b2≥0，∴Δ＝b2+16a2＞0．∴函数图象与x轴的交点个数为2．（2）∵x＝2＝﹣，∴b＝﹣4a．∴抛物线表达式为y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，当y1＝y2＝8a时，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，解得x＝6或﹣2，则x1＝﹣2，x2＝6．（3）将（1，2）代入抛物线表达式得：2＝a+b﹣4a，则b＝3a+2，∵a＜b，故a＜3a+2，∴解得a＞﹣1．∴抛物线的表达式为y＝ax2+（3a+2）x﹣4a，由（1）知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶点在第二象限，∴抛物线开口向下，即a＜0．∴函数的对称轴x＝﹣＝﹣﹣＜0，解得a＜﹣，∴﹣1＜a＜﹣．∴﹣3＜3a＜﹣2．故﹣1＜3a+2＜0，即﹣1＜b＜0．∴﹣4＜3a+b＜﹣2．∴3a+b的取值范围：﹣4＜3a+b＜﹣2．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．2．在二次函数y＝﹣x2+ax+1中（a≠0）．（1）当a＝2时，①求该二次函数图象的顶点坐标；②当0≤x≤3时，求y的取值范围；（2）若A（a﹣2，b），B（a，c）两点都在这个二次函数的图象上，且b＜c，求a的取值范围．【思路点拨】（1）①把解析式化成顶点式即可求得；②根据二次函数的性质，可以得到当0＜x＜3时，y的取值范围；（2）根据抛物线的对称性及增减性即可解决问题．【解析】解：（1）①把a＝2代入得y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2）；②∵y＝﹣x2+2x+1的开口向下，对称轴为直线x＝1，∴当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y有最大值2．∵当x＝0时，y＝1；当x＝3时，y＝﹣2∴当0≤x≤3时，﹣2≤y≤2；（2）抛物线的对称轴为直线，①当，即0≤a≤4时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，∴，解得a＜2，∴0≤a＜2②当，即a＜0时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，∴成立，∴a＜0③对称轴在点A左侧不合题意，舍去，综上所述，a＜2．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．3．已知二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣2的图象过点（5，5）．（1）求二次函数的表达式．（2）若A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函数图象上的点，且x1+2x2＝2，求y1+y2的最小值．（3）若点P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函数的图象上，且a＜b．对于某一个实数n，若b﹣a的最小值为1，则b﹣a的最大值为多少？【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据图象上点的坐标特征得出y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，由x1+2x2＝2可知x1＝2﹣2x2，即可求得y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2＝5（x2﹣）2﹣，利用二次函数的性质即可求得最小值；（3）由题意可知当点P（a，n）和Q（b，n+2）在对称轴的同侧时b﹣a的值最小，当点P（a，n）和Q （b，n+2）在异侧是b﹣a的值最大，据此求解即可．【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣2的图象过点（5，5），∴5＝25﹣10k+k﹣2，∴k＝2，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x；（2）∵A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函数图象上的点，∴y1＝﹣4x1，y2＝﹣4x2，∴y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，∵x1+2x2＝2，∴x1＝2﹣2x2，∴y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2＝（2﹣2x2）2﹣4（2﹣2x2）+﹣4x2＝5﹣4x2﹣4＝5（x2﹣）2﹣，∵5＞0，∴y1+y2的最小值是﹣；（3）∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴t图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵点P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函数的图象上，且a＜b．对于某一个实数n，若b﹣a的最小值为1，∴点P（a，n）和Q（b，n+2）在对称轴的右侧，此时b﹣a＝1，则b＝a+1，∴a2﹣4a＝n①，（a+1）2﹣4（a+1）＝n+2②，②﹣①得a＝，∴b＝a+1＝，∴此时点P（，n）和Q（，n+2），当点P是点（，n）的对称点时，则b﹣a的值最大，∵对称轴为直线x＝2，∴点（，n）的对称点为（，n），∴此时a＝，∴b﹣a的最大值为：﹣＝2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．4．定义：对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内的最大值，记作M[x1，x2]．如函数y＝2x，在﹣1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M[﹣1，3]＝6．请根据以上信息，完成以下问题：已知函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+a2﹣1（a为常数）．（1）若a＝2．①直接写出该函数的表达式，并求M[1，4]的值；②已知，求p的值．（2）若该函数的图象经过点（0，0），且M[﹣3，k]＝k，求k的值．【思路点拨】（1）①将a值代入运算即可，利用新定义的规定计算即可；②令y＝3，求得x值，再利用新定义的规定解答即可；（2）利用待定系数法求得a值，再利用分类讨论的方法，依据新定义的规定列出关于k的方程解答即可．【解析】解：（1）①∵a＝2，∴y＝x2﹣4x+3．∵[1，4]，∴1≤x≤4．∴当x＝4时，y＝x2﹣4x+3＝3，取得最大值，∴M[1，4]＝3；②∵，∴当p≤x≤时，函数y取得最大值3，令y＝3，则x2﹣4x+3＝3，∴x＝0或x＝4．∴p＝0．（2）∵该函数的图象经过点（0，0），∴a2﹣1＝0，∴a＝±1．当a＝1时，y＝﹣4x，∵M[﹣3，k]＝k，∴k＝﹣4×（﹣3）＝12，∴k＝12．当a＝﹣1时，y＝﹣2x2﹣4x．∵y＝﹣2（x+1）2+2，∴当x＝﹣1时，y取得最大值为2，∵M[﹣3，k]＝k，∴﹣2k2﹣4k＝k，∴k＝0（不合题意，舍去）或k＝﹣．∵当a＝﹣1时，y＝﹣2x2﹣4x．∵y＝﹣2（x+1）2+2，∴当x＝﹣1时，y取得最大值为2，∴k＝2．当﹣3≤x≤2时，函数的最大值为2，∴k＝2．综上，k的值为12或k＝﹣或k＝2．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式，一次函数的性质，待定系数法，二次函数图象的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．5．设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝0时，求二次函数的表达式；（2）当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，求a的值；（3）若a＜﹣3，求证：n﹣m﹣p＞20．【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用抛物线的对称性得出抛物线的对称轴为直线x＝1，利用二次函数的性质得到当x＝1时，函数y取得最小值，再利用待定系数法解答即可；（3）利用抛物线的对称轴为直线x＝1，得到b＝﹣2a，则y＝ax2﹣2ax+1，利用表格求得m，np的值，并计算出n﹣m﹣p＝﹣7a﹣1，再利用不等式的性质解答即可得出结论．【解析】（1）解：当m＝0时，抛物线y＝ax2+bx+1经过（﹣1，0），（0，1），（2，1）三点，∴，∴，∴二次函数的表达式为y＝﹣x+1；（2）解：∵抛物线y＝ax2+bx+1经过（0，1），（2，1）两点，∴当x＝0或x＝2时，y＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴y＝ax2﹣2ax+1，∵当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，∴如果a＞0，当x＝1时，函数y取得最小值，∴，∴．∴a的值为；如果a＜0，则x＝﹣1或x＝3时，函数y取得最小值，∴a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1＝，∴a＝﹣．综上，a的值为或﹣．（3）证明：由（2）知：抛物线的对称轴为直线x＝1，∴＝1，∴b＝﹣2a．∴y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1＝3a+1，n＝a﹣2a+1＝﹣a+1，p＝m＝3a+1，∴n﹣m﹣p＝﹣a+1﹣（3a+1）﹣（3a+1）＝﹣7a﹣1．∵a＜﹣3，∴﹣7a＞21，∴﹣7a﹣1＞20．即：n﹣m﹣p＞20．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质和待定系数法是解题的关键．6．（2024•浙江模拟）已知点A（m，p），B（3，q），C（m+2，p）都在二次函数y＝2x2+bx+4的图象上．（1）若m＝1，求该二次函数的表达式；（2）求p+q的最大值；（3）若p＜q＜4，求m的取值范围．【思路点拨】（1）当m＝1时，根据二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝＝m+1求出b即可；（2）根据﹣＝m+1得出b＝﹣4（m+1），然后求出p+q关于m的二次函数解析式，根据函数的性质求最值；（3）根据p＜q＜4以及二次函数的性质求出m的取值范围．【解析】解：（1）根据题意得，二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝＝m+1，当m＝1时，﹣＝2，∴b＝﹣8，∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+4；（2）∵﹣＝m+1，∴b＝﹣4（m+1），把A，B坐标分别代入y＝2x2+bx+4得，p＝2m2﹣4（m+1）m+4＝﹣2m2﹣4m+4，q＝18﹣4（m+1）×3+4＝﹣12m+10，∴p+q＝﹣2m2﹣4m+4﹣12m+10＝﹣2m2﹣16m+14＝﹣2（m﹣4）2+46，∵﹣2＜0，∴m＝4时，p+q最大值为46；（3）∵p＜q，∴m＞3或m+2＜3，∵q＜4，∴﹣12m+10＜4，解得m＞，∴m的取值范围为＜m＜1或m＞3．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的最值以及二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解答．7．已知二次函数y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函数y2＝ax+m．（1）若二次函数y1的图象过点（1，0）和（2，2），求二次函数的表达式．（2）若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点A，且A不是原点．①求证：m＝ab；②若二次函数y1与一次函数y2的另一个交点B为y1的顶点，求b的值．【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①令y＝0，分别求得两个函数的图象与x轴的交点，依据已知条件列出关于a，b，m的等式，整理即可得出结论；②利用配方法求得抛物线的顶点坐标，将坐标代入一次函数的解析式，再利用①的结论得到关于b的方程，解方程即可得出结论．【解析】（1）解：∵二次函数y1的图象过（1，0），（2，2）点，∴，解得：，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x；（2）①证明：令y1＝0，则ax（x+b）＝0，解得：x＝0或x＝﹣b．∴抛物线y1＝ax（x+b）与x轴交于（0，0）（﹣b，0）．令y2＝0，则ax+m＝0，∴x＝﹣．∴直线y2＝ax+m与x轴交于（﹣，0），∵若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，∴﹣＝﹣b，∴m＝ab；②解：∵y1＝ax（x+b）＝ax2+abx＝a（x+）2﹣，∴二次函数的顶点为（﹣，﹣）．∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，∴a•（﹣）+m＝﹣．由①知：m＝ab，∴﹣+ab＝﹣，解得：b＝0（不合题意，舍去）或b＝﹣2．∴若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，b的值为﹣2．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，函数图象的交点，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．8．（2024•宁波模拟）设一次函数y1＝a（x+m）的图象与x轴交于点A，二次函数的图象与x轴交于A，B两个不同的点，设函数y＝y1+y2．（1）设点Q（0，q）在函数y的图象上，若q＞c，求证：am＞0．（2）若函数y2，y的图象在x轴上截得的线段长分别为d1，d2，求d1，d2的数量关系式．（3）若函数y1的图象分别与函数y2的图象、函数y的图象交于点E（x1，e），F（x2，f），且点E，F不同于点A，求x1﹣x2的值．【思路点拨】（1）把y1与y2相加得y＝ax2+（a+b）x+am+c，把点Q代入y，再计算即可．（2）设A（t，0），代入y1得y1＝a（x﹣t）．设B（k，0），又A（t，0）得y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk，故y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at，设y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk两根为p、q，再计算即可．（3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k），得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k），计算得x1＝k+1．由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，计算得x2＝k．故x1﹣x2＝k+1﹣k＝1．【解析】解：（1）∵y1＝a（x+m），，∴y＝y1+y2＝a（x+m）+ax2+bx+c＝ax2+（a+b）x+am+c，∵点Q（0，q）在函数y的图象上，∴q＝am+c，即q﹣c＝am，∵q＞c，∴am＞0．（2）设A（t，0），代入y1＝a（x+m）得：0＝a（t+m），∵a≠0，∴t+m＝0，∴m＝﹣t，y1＝a（x﹣t）．设B（k，0），又A（t，0），∴y2＝a（x﹣t）（x﹣k）＝ax2﹣（at+ak）x+atk，∴y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at，设y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk两根为p、q，∴p+q＝＝t+k，pq＝＝tk，∴＝（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq＝（t+k）2﹣4tk＝t2+k2﹣2tk，即＝t2+k2﹣2tk＝（t﹣k）2，∴d1＝，设y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at两根为r、s，∴r+s＝＝k+t﹣1，rs＝＝kt﹣t，∴＝（r﹣s）2＝（r+s）2﹣4rs＝（k+t﹣1）2﹣4（kt﹣t）＝k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1，∴﹣＝|（t2+k2﹣2tk）﹣（k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1）|＝|2（k﹣t）﹣1|＝±2d1﹣1，答：d1，d2的数量关系式是：﹣＝±2d1﹣1．（3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k），得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k），∴a（x﹣t）（x﹣k）﹣a（x﹣t）＝0，∴a（x﹣t）（x﹣k﹣1）＝0，∴x＝t，x＝k+1，即A（t，0），x1＝k+1．由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，∴ax2﹣（at+ak）x+atk＝0，∴x2﹣（t+k）x+tk＝0，∴（x﹣t）（x﹣k）＝0，∴x＝t，x＝k，即A（t，0），x2＝k．∴x1﹣x2＝k+1﹣k＝1．【点睛】本题考查了抛物线的知识，掌握抛物线的性质是解题关键．9．如图，小车从点A出发，沿与水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面BE的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：v＝10t，高度h与时间t满足关系：（g≠0，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面BE的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒．（1）当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？（2）小车继续在粗糙的水平地面BE上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面BE上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：+vT （a≠0，a是常数），当v＝20（厘米/秒）时，s＝50（厘米），T＝5（秒）．如果把小车出发点A离水平地面BE的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间T＝4秒时，小车在水平地面BE上滑行的距离为多少？【思路点拨】（1）先根据已知条件求出g的值，求出高度h与时间t的函数解析式，再把h＝45代入解析式求出t，再把t的值代入y＝10t求出速度v；（2）先把v＝20，s＝50，T＝5代入+vT求出a的值，再根据h＝125求出t，再求出v，然后求出s即可．【解析】解：（1）当t＝2，h＝20时，20＝g×22，解得g＝10，∴h＝×10t2＝5t2；∴当h＝45时，5t2＝45，解得t＝3或t＝﹣3（舍去），此时v＝10×3＝30（cm/s），答：当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要3秒钟，此时小车到达B点时的速度是30厘米/秒；（2）把v＝20，s＝50，T＝5代入+vT，则50＝﹣a×52+20×5，解得a＝4，∴s＝﹣2T2+vT，当h＝125时，5t2＝125，。

浙江省2017年中考数学真题分类汇编坐标系、一次函数与反比例函数(解析版)

浙江省2017年中考数学真题分类汇编：坐标系、一次函数与反比例函数（解析版）一、单选题1、（2017•温州）已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y=3x﹣2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（）A、0＜y1＜y2B、y1＜0＜y2C、y1＜y2＜0D、y2＜0＜y12、（2017·台州）已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（）A、B、C、D、3、（2017•绍兴）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（）A、B、C、D、4、（2017·丽水）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x(小时)的函数关系的图象.下列说法错误的是（）A、乙先出发的时间为0.5小时B、甲的速度是80千米/小时C、甲出发0.5小时后两车相遇D、甲到B地比乙到A地早小时二、填空题5、（2017·丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交于x轴、y轴于A，B两点，已知点C（2，0）.(1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是________；(2)设点P为线段OB的中点，连结PA，PC,若∠CPA=∠ABO，则m的值是________.6、（2017•宁波）已知△ABC的三个顶点为A ，B ，C ，将△ABC向右平移m（）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则m的值为________.7、（2017·金华）如图，已知点A(2,3)和点B(0,2)，点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为________.8、（2017•温州）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y= （k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为________．三、解答题9、（2017•温州）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．(1)在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；(2)在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．10、（2017·金华）(本题6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(−2，−2)，B(−4,−1），C(−4,−4)．(1)作出ABC关于原点O成中心对称的A 1B1C1.(2)作出点A关于x轴的对称点A'.若把点A'向右平移a个单位长度后落在A 1B1C1的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围.11、（2017·台州）如图，直线：与直线：相交于点P（1，b）(1)求b，m的值(2)垂直于x轴的直线与直线，分别相交于C，D，若线段CD长为2，求a的值12、（2017•宁波）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12．(1)求k的值；(2)根据图象，当时，写出自变量的取值范围．13、（2017•杭州）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y．①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？14、（2017·嘉兴）如图，一次函数（）与反比例函数（）的图象交于点，．(1)求这两个函数的表达式；(2)在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求的值；若不存在，说明理由．15、（2017·衢州）“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游。

2017年浙江中考数学真题分类汇编二次函数(解析版)

2017年浙江中考真题分类汇编（数学）：专题06 二次函数一、单选题（共6题；共12分）1、（2017•宁波）抛物线（m是常数）的顶点在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2、（2017·金华）对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是（ )A、对称轴是直线x=1，最小值是2B、对称轴是直线x=1，最大值是2C、对称轴是直线x=−1，最小值是2D、对称轴是直线x=−1，最大值是23、（2017•杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A、若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B、若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C、若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0D、若m＜1，则（m﹣1）a+b＜04、（2017•绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2,1）.一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A、y=x2+8x+14B、y=x2-8x+14C、y=x2+4x+3D、y=x2-4x+35、（2017·嘉兴）下列关于函数的四个命题：①当时，有最小值10；②为任意实数，时的函数值大于时的函数值；③若，且是整数，当时，的整数值有个；④若函数图象过点和，其中，，则．其中真命题的序号是（）A、①B、②C、③D、④6、（2017·丽水）将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1,4）的方法是（）A、向左平移1个单位B、向右平移3个单位C、向上平移3个单位D、向下平移1个单位二、填空题（共1题；共2分）三、解答题（共12题；共156分）8、（2017•绍兴）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为为50m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2).(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大。

2017全国中考数学真题分类-二次函数几何方面的应用(选择题+解答题)解析版

2017全国中考数学真题分类知识点20二次函数几何方面的应用（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1. 8．(2017江苏扬州，，3分)如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A （0，2）、B （1，0）、C （2，1），若二次函数21y x bx =++的图像与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是A ．2b ≤-B ．2b <-C ．2b ≥-D ．2b >-【答案】C【解析】由二次函数系数a 、b 、c 的几何意义可知该函数的开口方向和开口大小是确定不变的，与y 轴的交点（０，１）也是确定不变的。

唯一变化的是“b”，也就是说对称轴是变化的。

若抛物线经过点（０，１）和Ｃ（２，１）这组对称点，可知其对称轴是直线12bx =-=，即b ＝－２时是符合题意的，所以可以排除Ｂ、Ｄ两个选择支，如果将该抛物线向右平移，此时抛物线与阴影部分就没有公共点了，向左平移才能符合题意，所以12b-≤，即2b ≥-。

二、解答题1. （2017重庆，26，12分）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线3332332--=x x y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当∆PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM +MN +NK 的最小值；（3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线3332332--=x x y 沿x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D，y '的顶点为点F．在新抛物线y '的对称轴上，是否存在点Q，使得∆FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）首先求出A、E点的坐标，然后设出直线AE的解析式，并将A、E点的坐标代入，求得方程组的解，便可得到直线AE的解析式；（2）由抛物线解析式求得C点坐标，则可得出直线CE的解析式；过点P作PH∥x轴，交CE于点H，设出P点坐标，可推出H点坐标，根据斜三角形面积公式“2铅垂高水平宽⨯”可表示出∆PCE的面积，并可计算出其面积最大时P点的坐标；分别作K关于CP、CD的对称点的对称点K1、K2，将KM +MN+KN即可确定出转化成一条线段，由“两点之间，线段最短”及勾股定理计算出其最小值即可；（3）运用已知两定点时确定等腰三角形常用的方法“两圆一线”即可在抛物线y '的对称轴上找到符合条件的四个点，分别确定其坐标即可．解：（1）∵抛物线3332332--=xxy与x轴交于A，B两点，且点E（4，n）在抛物线上，∴03332332=--xx，解得：x1＝－1，x2＝3，∴A，B两点的坐标分别为（－1，0），（3，0）；343324332-⨯-⨯=y＝335，∴点E坐标为（4，335）．设直线AE的解析式的解析式为y＝kx+b，将A点、E点坐标分别代入，得：⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=bkbk4335，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3333bk，∴y＝33x+33；（2）∵令x ＝0，得y ＝ 3-，∴点C （0，3-），∵点E 坐标为（4，335），∴直线CE 的解析式为y ＝3332-x ，过点P 作PH ∥x 轴，交CE 于点H ，如图，设点P 的坐标为（t ，3332332--t t ），则H （t ，3332-t ），∴PH ＝3332-t －（3332332--t t ）＝t t 334332+-， ∴t t t t PH x x S C E PCE 338332334334212122+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯⨯=⋅-=∆，∵0332<-，抛物线开口向下，40<<t ，∴当⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=3322338t ＝2时，PCE S ∆取得最大值，此时P 为（2，3-）；∵点C （0，3-），B （3，0），由三角形中位线定理得K （23，23-），∵y C ＝y P ＝3-，∴PC ∥x 轴，作K关于CP 的对称点K 1，则K 1（23，233-）；∵333tan ==∠OCB ，∴∠OCB ＝60゜，∵D （1，0），∴3331tan ==∠OCD ，∴∠OCD ＝ 30゜，∴∠OCD ＝∠BCD ＝30゜，∴CD 平分∠OCB ，∴点K 关于CD 的对称点K 2在y 轴上，又∵CK ＝OC ＝3，∴点K 2与点O 重合，连接OK 1，交CD 于点N ，交CP 于点M ，如图，∴KM ＝ K 1M ，KN ＝ON ，∴KM +MN +KN ＝K 1M +MN +ON ，根据“两点之间，线段最短”可得，此时KM +MN +KN 的值最小，∴K 1 K 2 ＝O K 1＝32332322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴KM +MN +KN 的最小值为3；（3）点Q 的坐标为（3，321234+-），（3，321234--），（3，32），（3，332-）．2. （2017浙江衢州,22，10分）（本题满分10分）定义：如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，点P 在抛物线上（P 点与A 、B 两点不重合），如果△ABP 的三边需满足AP 2＋BP 2＝AB 2，则称点P 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点坐标．（2）如图2，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋bx （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，点P （13C 的勾股点，求抛物线C 的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q 在抛物线C 上，求满足条件S △ABQ ＝S △ABP 的Q 点（异于点P ）的坐标．思路分析：（1）所谓勾股点，即以AB为直径的圆与抛物线的交点．y＝－x2＋1与x轴交点坐标为（1，0），（－1，0），故圆心为原点，半径为1，与抛物线交点为（0，1）.（2）由P点坐标可知∠PAB＝60°，又∠APB＝90°，从而求得B点坐标，利用待定系数法即可求解．（3）由S△ABQ＝S△ABP，故有|y Q|y Q物线解析式即可求解．解（1）勾股点的坐标（0，1）．（2）抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过原点（0，0），即A为（0，0）．如图，作PG⊥x轴于点G，连结PA，PB．∵点P的坐标为（1，∴AG＝1，PG PA＝2，tan∠PAB∴∠PAB＝60°，∴Rt△PAB中，AB＝cos60PA＝4，∴点B（4，0）．设y＝ax（x－4），当x＝1时，ya．∴y x（x－4x2x．（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP易知点Qx2x1＝3，x2＝1（不合题意，舍去）．∴Q1（3．②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP易知点Qx2解得x1＝2x2＝2Q2（2，Q2（2．综上，满足条件的Q点有三个：Q1（3，Q2（2，Q2（2．3.（2017山东济宁，21，9分）已知函数2(25)2y mx m x m=--+-的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1①当1n x≤≤-时，y的取值范围是13y n≤≤-，求n的值；②函数C2：22()y x h k=-+的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．思路分析：（1）根据函数2(25)2y mx m x m=--+-图象与x轴有两个公共点，即一元二次方程2(25)20mx m x m --+-=有两个不同的实数解，即需满足m ≠0且根的判别式△＞0，解不等式组得25,12m <且0m ≠；（2）由二次函数22y x x =+性质，当14x <-时，y 随x 的增大而减小，求出n 的值为—2；（3）由图形可知当P 为射线MO 与圆的交点时，距离最大，先求出MO 的解析式，设出点P 的坐标，根据勾股定理求出点P 的坐标，继而求出PM 最大时的函数解析式为()2221y x =-+．解：（1）由题意可得：()()20,25420.m m m m ≠⎧⎪⎨---->⎡⎤⎪⎣⎦⎩解得：25,12m <且0,m ≠ 当2m =时，函数解析式为：22y x x =+．（2）函数22y x x =+图象开口向上，对称轴为1,4x =-∴当14x <-时，y 随x 的增大而减小．∵当1n x ≤≤-时，y 的取值范围是13y n ≤≤-， ∴ 223n n n +=-．∴ 2n =-或0n =（舍去）． ∴2n =-．（3）∵221122,48y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭∴图象顶点M 的坐标为11,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由图形可知当P 为射线MO 与圆的交点时，距离最大．∵点P 在直线OM 上，由11(0,0),(,)48O M --可求得直线解析式为：12y x =，设P （a ，b ），则有a ＝2b ，根据勾股定理可得()2222PO b b =+求得2,1a b ==．∴PM 最大时的函数解析式为()2221y x =-+．4. （2017山东威海，25，12分）如图，已知抛物线y =ax ²+bx +c 过点A (－1,0)，B (3,0)，C （0，3）.点M ，N 为抛物线上的动点，过点M 作MD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，交x 轴于点E . （1）求二次函数y =ax ²+bx +c 的表达式；（2）过点N 作NF ⊥x 轴，垂足为点F .若四边形MNFE 为正方形（此处限定点M 在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN =90°，MD =MN ，求点M 的横坐标.解：∵抛物线2y ax bx c =++的图像经过点A (-1,0),B (3,0)，∴抛物线的函数表达式为y =a (x +1)(x -3),将点C (0，3)代入上式，得3=a (0+1)(0-3)，解得a =-1.∴所求函数表达式为y =－(x +1)(x －3)=－x 2+2x +3．(2)由(1)知，抛物线的对称轴为212(1)x ==⨯-．如图1，设M 点的坐标(m ，－m 2+2m +3),∴ME =|－m 2+2m +3|．∵M ,N 关于x =1对称，且点M 在对称轴右侧， ∴N 点横坐标为2-m . ∴MN =2m -2∵四边形MNEF 为正方形∴ME =MN . ∴22322m m m -++=- ．分两种情况:①2m - +2m +3=2m -2.解,得12m m ==不符合题意,合去).当 m ,正方形的面积为22(2224⎡⎤+-=+⎣⎦综上所述，正方形的面积为24-或24+（3）设直线BC 的函数表达式为y =kx +b .把点B (3,0),C (0,3)代入表达式，得30,3,k b b +=⎧⎨=⎩解得1,3.k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的函数表达式为y =-x +3，设点M 的坐标为(a ,223a a -++), 则点D 的坐标为(a ,-a +3)， ∴DM =23a a -+ ，∵DM //y 轴，DM ⊥MN ,∴MN //x 轴. ∴M ,N 关于x =1对称. ∴N 点的横坐标为2-a ， ∴MN =22a -， ∵DM =MN ，∴2322a a a -+=- ．分两种情况：①如图2，2322a a a -+=- ，解，得122,1a a ==- ．②如图3，2322a a a -+=-，解，得3455,22a a +-==．综上所述，M 点的横坐标为122,1a a ==-，34,a a ==5.（2017年四川绵阳，24,11分）（本题满分12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2,1），并且经过点（4,2）．直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C于直线m交于对称轴右侧的点M（t，1）．直线m 上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F．求BE∶MF的值．解：（1）设抛物线方程为，因为抛物线的顶点坐标是（2，1），所以…………………………1分又抛物线经过点（4，2），所以，解得，………………2分所以抛物线的方程是．……………………………3分（2）联立，消去y，整理得，………………………4分解得，，…………………………5分代入直线方程，解得，，所以B（），D（），因为点C是BD的中点，所以点C的纵坐标为，………………………6分利用勾股定理，可算出BD=，即半径R=，即圆心C到x轴的距离等于半径R，所以圆C与x轴相切．…………………………7分（3）连接BM和DM，因为BD为直径，所以∠BMD=90°，所以∠BME+∠DMF=90°，又因为BE⊥m于点E，DF⊥m于点F，所以∠BME=∠MDF，所以△BME∽△MDF，所以，……………………………9分即，代入得，化简得，解得t =5或t =1，………………………………10分因为点M 在对称轴右侧，所以t =5，………………………11分所以…………………………………………………12分法2：过点C 作CH ⊥m ，垂足为H ，连接CM ，由（2）知CM =R =25，CH =R -1=23，由勾股定理，得MH =2，…………………9分又HF =，所以MF =HF -MH =-2，…………………10分又BE =y 1-1=23-25，所以MF BE =25+1，………………………………………………12分思路分析：（1）知抛物线的顶点和其它任意一点，可设出抛物线的顶点式，代入点的坐标即可求出抛物线的解析式；（2）由抛物线与直线交于B、D，联立方程组，求出点B点D坐标，求出直径BD的长度，从而求出半径，与C的纵坐标进行比较，得出结论；（3）连接BM和DM，因为BD为直径，所以∠BMD=90°，所以∠BME+∠DMF=90°，又因为BE⊥m于点E，DF⊥m于点F，所以∠BME=∠MDF，所以△BME∽△MDF，所以，即，代入得，化简得，解得t=5或t=1，因为点M在对称轴右侧，所以t=5，所以．6.（2017四川攀枝花，24，12分）如图15，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值．（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若∆BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．图1 备用图思路分析：（1）由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）方法1：（代数法）设点的坐标转化成所求线段，找特殊角转化成所求线段，联立函数关系，代入整理成关于目标线段和的二次函数关系式，从而找到最值；方法2：（几何法）以BC 为对称轴将FCE ∆对称得到F CE '∆，作PH CF '⊥于H ，则PF +EF =PF ′= 2 PH =()()223C P P y y y -=-∴当P y 最小时，PF EF +取最大值42．（3）①先设点再分类讨论，利用勾股定理得到关于所求D 点的一元方程式，解得即为D 1和D 2；②利用直径圆周角性质构造圆，利用线段距离公式建立一元方程式，解得即为D 3和D 4．结合①中D 1和D 2的坐标，当D 在D 2D 4和D 3D 1之间时候为锐角三角形，从而得到点D 的纵坐标的取值范围．解析：（1）由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3．解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3．∴抛物线的解析式为：y ＝x 2－4x ＋3．（2）方法1：如图，过P 作PG ∥CF 交CB 与G ，由题意知∠BCO ＝∠CEF ＝45°，F （0，m ）C （0，3）， ∴∆CFE 和∆GPE 均为等腰直角三角形， ∴EF ＝22CF ＝22（3－m ） PE ＝22PG ，设x P ＝t （1＜t ＜3），则PE ＝22PG ＝22（－t ＋3－t －m ）＝22（－m －2t ＋3）， t 2－4t ＋3＝t ＋m ，∴PE ＋EF ＝22（3－m ）＋22（－m －2t ＋3）＝ 22（－2t －2m ＋6）＝－2（t ＋m －3）＝－2（t 2－4t ）＝－2（t －2）2＋42，∴当t ＝2时，PE ＋EF 最大值＝42．方法2：（几何法）由题易知直线BC的解析式为3y x=-+，OC=OB=3，∴∠OCB=45°．同理可知∠OFE=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H点，则PF+EF=PF′= 2 PH．yxHPF'CBAOFE又PH=3C P Py y y-=-．∴当Py最小时，PF+EF取最大值，∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当1Py=-时，(PF+EF)max= 2 ×(3+1)=4 2 ．（3）①由（1）知对称轴x＝2，设D（2，n），如图．当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C上方D1位置时由勾股定理得CD2＋BC2＝BD2，即（2－0）2＋（n－3）2＋（32）2＝（3－2）2＋（0－n）2 ，解得n＝5；当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C下方D2位置时由勾股定理得BD2＋BC2＝CD2 即（2－3）2＋（n－0）2＋（32）2＝（2－0）2＋（n－3）2 ，解得n＝－1．∴当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为（2，5）或（2，－1）．②如图：以BC的中点T（3，3），12BC为半径作⊙T，与对称轴x＝2交于D3和D4，由直径所对的圆周角是直角得∠CD3B＝∠CD2B＝90°，设D（2，m），由DT＝12BC32得（32－2）2＋（32－m）2＝2322⎛⎝⎭，解得m＝173±，∴D 3（2，173+）D 4（2，173-），又由①得D 1为（2，5），D 2（2，－1），∴若∆BCD 是锐角三角形，D 点在线段13D D 或24D D 上时（不与端点重合），则点D 的纵坐标的取值范围是－1＜D y ＜1732-或1732+＜D y ＜5．7. （2017四川内江，28，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A ，B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x ＝1. （1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．思路分析：(1) 由点B 的坐标与对称轴可求得点C 的坐标，把点A ，B ，C 的坐标分别代入抛物线的解析式，列出关于系数a ，b ，c 的方程组，求解即可；(2)设运动时间为t 秒，利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式，用配方法求的最大值；(3) 根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案，注意分类讨论．解：(1)∵点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x ＝1，∴A （－2，0）.把点A （－2，0），B （4，0），点C （0，3），分别代入y ＝ax 2+bx+c （a≠0），得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.3,0416,024ccbacba解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=.3,43,83cba∴该抛物线的解析式为y＝343832++-xx．(2) 如图1，设运动时间为t秒，则AM＝3t，BN＝t，∴MB＝6－3t．由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC＝2243+＝5．如图1，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴BCBNOCHN=，即53tHN=，∴HN＝t53．∴S△MBN＝21MB·HN＝21(6－3t)·t53＝=+-tt591092109)1(1092+--t．当△MBN存在时，0＜t＜2，∴当t＝1时，S△MBN最大＝109．∴S与t的函数关系为S＝109)1(1092+--t，S的最大值为109．（3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B＝54=BCOB，设运动时间为t秒，则AM＝3t，BN＝t．∴MB＝6－3t．当∠MNB＝90°时，cos∠B＝54=BMBN，即5436=-tt，解得t＝1724．当∠BM＇N＇＝90°时，cos∠B＝5436=-tt，解得t＝1930．综合上所述，当t＝1724或t＝1930时，△MBN为直角三角形．8. （2017江苏无锡，27，10分）如图，以原点O 为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A 、B 两点（点B 在点A的右边），P 是半径OB 上一点，过P 且垂直于AB 的直线与⊙O 分别交于C 、D 两点（点C 在点D 的上方），直线AC 、DB 交于点E ．若AC ：CE ＝1:2．（1）求点P 的坐标；（2）求过点A 和点E ，且顶点在直线CD 上的抛物线的函数表达式．思路分析：（1）过点E 作E F ⊥x 轴于F ，设P （m ，0）.①由相似三角形的判定与性质证得AF ＝3AP ，BF ＝3PB ；②由关系式AF －BF ＝AB ，可得m ＝1．∴点P 的坐标（1，0）．（2）①由已知证得A （－3，0），E （9，），抛物线过点（5，0）；②用待定系数法可得抛物线的函数表达式．解：（1）过点E 作E F ⊥x 轴于F ，∵CD ⊥AB ，∴CD ∥EF ，PC ＝PD ． ∴△ACP ∽△AEF ，△BPD ∽△BEF . ∵AC ：CE ＝1:2．∴AC ：AE ＝1:3． ∴AP AF ＝CP EF ＝13，DP EF ＝PB BF ＝13． ∴AF ＝3AP ，BF ＝3PB ． ∵AF －BF ＝AB ．又∵⊙O 的半径为3，设P （m ，0）， ∴3（3＋m ）－3（3－m ）＝6 ∴m ＝1．∴P （1，0）（2）∵P （1，0），∴OP ＝1，A （－3，0）． ∵OA ＝3，∴AP ＝4，BP ＝2．∴AF ＝12. 连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°．∵CD ⊥AB ，∴△ACP∽△CBP ．∴AP CP ＝CPBP． ∴CP 2＝AP ·BP ＝4×2＝8. ∴CP ＝．∴EF ＝3CP ＝． ∴E （9，）.∵抛物线的顶点在直线CD 上，∴CD 是抛物线的对称轴， ∴抛物线过点（5，0）.设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．根据题意得09-30255819a b ca b c a b c ⎧⎪+⎨⎪+⎩＝＋，＝＋，＋，解得8484a b c ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪--⎪⎪⎩＝＝-＝ ∴抛物线的函数表达式为yx 2x ．9. （2017山东潍坊）（本小题满分13分）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过平行四边形ABCD 的顶点A (0，3)、B (－1，0)、D (2，3)，抛物线与x 轴的另一交点为E ．经过点E 的直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F ．点P 为直线l 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的解析式；（2）当t 何值时，△PFE 的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点P 使△PFE 为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．思路分析：（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式；（2）由平行四边形的对称性可知直线l 必过其对称中心，同时利用抛物线的对称性确定E 点坐标，进而可求直线l 的解析式，结合二次函数解析式确定点F 的坐标．作PH ⊥x 轴，交l 于点M ，作FN ⊥PH ，列出PM 关于t 的解析式，最后利用三角形的面积得S △PFE 关于t 的解析式，利用二次函数的最值求得t 值，从而使问题得以解决；（3）分两种情形讨论：①若∠P 1AE =90°，作P 1G ⊥y 轴，易得P 1G =AG ，由此构建一元二次方程求t 的值；②若∠AP 2E =90°，作P 2K ⊥x 轴，AQ ⊥P 2K ，则△P 2KE ∽△AQP 2，由此利用对应边成比例构建一元二次方程求t 的值．解：（1）将点A (0，3)、B (－1，0)、D (2，3)代入y =ax 2+bx +c ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=,324,0,3c b a c b a c 得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.1,2,1c b a 所以，抛物线解析式为：y=－x 2+2x +3．（2）因为直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，所以必过其对称中心(21，23)．由点A 、D 知，对称轴为x =1，∴E (3，0)，设直线l 的解析式为：y =kx +m ，代入点(21，23)和(3，0)得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.03,2321m k m k 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.59,53m k 所以直线l 的解析式为：y =53-x +59．由⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=,32,59532x x y x y 解得x F =52-．作PH ⊥x 轴，交l 于点M ，作FN ⊥PH ．点P 的纵坐标为y P =－t 2+2t +3，点M 的纵坐标为y M =53-t +59．所以PM =y P －y M =－t 2+2t +3+53t －59=－t 2+513t +56．则S △PFE =S △PFM + S △PEM =21PM ·FN +21PM ·EH =21PM ·(FN + EH )=21·(－t 2+513t +56)(3+52) =1017-·(t －1013)2+100289×1017 所以当t =1013时，△PFE 的面积最大，最大值的立方根为31017100289⨯=1017．（3）由图可知∠PEA ≠90°．①若∠P 1AE =90°，作P 1G ⊥y 轴，因为OA =OE ，所以∠OAE =∠OEA =45°，所以∠P 1AG =∠AP 1G =45°，所以P 1G =AG ．所以t =－t 2+2t +3－3，即－t 2+t =0，解得t =1或t =0(舍去)．②若∠AP 2E =90°，作P 2K ⊥x 轴，AQ ⊥P 2K ，则△P 2KE ∽△AQP 2，所以QP KEAQ K P 22=，所以tt tt t t 233222+--=++-，即t 2－t －1=0，解之得t =251+或t =251-＜52-(舍去)．综上可知t =1或t =251+适合题意．10. （2017湖南岳阳，本题满分10分）如图，抛物线223y x bx c =++经过点()3,0B ，()0,2C -，直线l ：2233y x =--交y 轴于点E ，且与抛物线交于A ，D 两点．P 为抛物线上一动点（不与A ，D 重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线l 下方时，过点P 作PM x ∥轴交l 于点M ，PN y ∥轴交l 于点N ．求PM PN +的最大值；（3）设F 为直线l 上的点，以E ，C ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．备用图解：（1）将()3,0B ，()0,2C -代入223y x bx c =++，得：6302b c c ++=⎧⎨=-⎩解得：432b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：224233y x x =--；（2）设()224,21233P a a a a ⎛⎫---<< ⎪⎝⎭，则22,33N a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴222242133=3333222PN a a a ⎛⎫=-++--+≤ ⎪⎝⎭∵M ，N 在直线l ：2233y x =--上，PM x ∥，PN y ∥∴23PN PM =∴51524PM PN PN +=≤即：PM PN +的最大值为：154；（3）能设22,33F m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭① 当EC 为边时，有224,233P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，EC PF =即：22244=3333m m -++解得：m =，其中0m =时不成立，舍去； ② 当EC 为对角线时，PF 中点即为EC 中点（0，43-）2,23P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在抛物线上所以，224222333m m m +-=-解得：01m =-或，其中0m =时不成立，舍去；综上所述：F 点的坐标为：41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、()1,0-、⎝⎭、⎝⎭．11. （2017湖南常德，25，10分）如图12，已知抛物线的对称轴是y 轴，且点(2,2)，(1,54)在抛物线上，点P 是抛物线上不与顶点N 重合的一动点，过点P 作PA ⊥x 轴于A ，PC ⊥y 轴于C ，延长PC 交抛物线于E ，设M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点. （1）求抛物线的解析式及顶点N 的坐标；（2）求证：四边形PMDA 是平行四边形；（3）求证：△DPE ∽△PAM P 的坐标.图12思路分析：（1）将点(2,2)，(1,54)坐标代入y=ax2+k中求出解析式，即可得到顶点N的坐标；（2）根据解析式设出点P坐标，从而得到点A、C的坐标，再通过N的坐标求出点M的坐标和D的坐标，即可求出MD和PA 的长度，得出长度相等，而MD∥PA，所以四边形PMDA是平行四边形；（3）在（2）证明之后继续证明PM=PA，则四边形PMDA是菱形，∠MDP=12∠PDE=12∠ADM=12∠APM，所以∠PDE=∠APM，而△DPE和△PAM都是等腰三角形，顶角相等，则两个三角形相似.解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+k，∵点(2,2)，(1,54)在抛物线上，∴4254a ka k+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得141ak⎧=⎪⎨⎪=⎩.∴该抛物线的解析式为：y=14x2+1，顶点N的坐标为（0,1）；（2）设点P坐标为（x, 14x2+1），∵PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点.∴A（x,0），C（0,14x2+1），M（0,2），D（0，1－14x2）；PA∥y轴；∴MD=2－（1－14x2）=14x2+1=PA且MD∥PA∴四边形PMDA是平行四边形；（3）由（2）得四边形PMDA是平行四边形，PC=x，CM=14x2+1－2=14x2－1；∵在Rt△PCM中，PM2114x==+=PA∴四边形PMDA 是菱形，△PAM 是等腰三角形； ∴∠APM =∠ADM ；∠MDP =12∠ADM ；根据抛物线的对称性，PD =ED ， ∴△DPE 是等腰三角形，DC 平分∠PDE ， ∴∠MDP =12∠PDE ， ∴∠PDE =∠APM ；又∵∠PDE ，∠APM 分别为等腰△DPE 和△PAM 的顶角； ∴△DPE ∽△PAM PE =2x ，AM =222x +∵PE ：AM =3时，解得：x =23±； ∴相似比为3时P 点坐标为：（23±，4）12. 24.(2017湖北咸宁，24，12分)如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.⑴求抛物线的解析式及点D 的坐标；⑵连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；⑶平行于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ，当点P 在x 轴上，且PQ=12MN 时，求菱形对角线MN 的长.思路分析：(1)利用OB=OC=6得到点B(6，0)，C(0，-6)，将其代入抛物线的解析可以求出b 、c 的值，进而得到抛物线的解析式，最后通过配方得到顶点坐标；(2)由于F 为抛物线上一动点，∠FAB=∠EDB ，可以分两种情况求解：一是点F 在x 轴上方；二是点F 在x 轴下方.每一种情况都可以作FG ⊥x 轴于点G ，构造Rt △AFG 与Rt △DBE 相似，利用对应边成比例或三角函数的定义求点F 的坐标.(3)首先根据MN 与x 轴的位置关系画出符合要求的两种图形：一是MN 在x 轴上方；二是MN 在x 轴下方.设菱形对角线的交点T 到x 轴的距离为n ，利用PQ=12MN ，得到MT=2n ，进而得到点M 的坐标为(2+2n ，n)，再由点M 在抛物线上，得21(22)2(22)62n n n =+-+-，求出n 的值，最后可以求得MN=2MT=4n 的两个值. 解：(1)∵OB=OC=6， ∴B(6，0)，C(0，-6).∴216+6026b c c ⎧⨯+=⎪⎨⎪=-⎩，解得26b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为21262y x x =--. ……2分 ∵21262y x x =--=21(2)82x --， ∴点D 的坐标为(2，-8). ……4分 (2)如图，当点F 在x 轴上方时，设点F 的坐标为(x ，21262x x --).过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，易求得OA=2，则AG=x+2，FG=21262x x --.∵∠FAB=∠EDB，∴tan∠FAG=tan∠BDE，即21261222x xx--=+，解得17x=，22x=-(舍去).当x=7时，y=92，∴点F的坐标为(7，92). ……6分当点F在x轴下方时，设同理求得点F的坐标为(5，72-).综上所述，点F的坐标为(7，92)或(5，72-). ……8分(3)∵点P在x轴上，∴根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0).如图，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点.∵PQ=12MN ， ∴MT=2PT.设TP=n ，则MT=2n. ∴M(2+2n ，n).∵点M 在抛物线上， ∴21(22)2(22)62n n n =+-+-，即2280n n --=.解得1n =，2n =(舍去).∴. ……10分当MN 在x 轴下方时，设TP=n ，得M(2+2n ，-n).∵点M 在抛物线上， ∴21(22)2(22)62n n n -=+-+-，即22+80n n -=.解得114n -+=，214n -=(舍去).∴1-.综上所述，菱形对角线MN 1-. ……12分13. 24．（2017湖北宜昌）（本小题满分12分）已知抛物线y=ax 2+bx+c ，其中2a=b>0>c ，且a+b+c=0. （1）直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c =0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点A 在第三象限；（3）直线y= x+m 与轴,x y 轴分别相交于B,C 两点，与抛物线y=ax 2+bx+c 相交于A,D 两点.设抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴与x 轴相交于E ,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F ,使得△ADF 与△OCB 相似.并且12ADF ADE S S ∆∆=，求此时抛物线的表达式.xyO思路分析：（1）利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根；（2）确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合，二可借助顶点坐标的正负性；（3）借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标，将坐标转化为相应的线段长，进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值.解：（1）ax 2+bx+c =0的一个根为1（或者-3）（2）证明：∵ b =2a ，∴对称轴x=2ba-=-1,将b=2a 代入a+b+c=0.得c=-3a . 方法一：∵a=b>0>c ，∴b 2-4ac>0,∴244ac b a-<0, 所以顶点A （-1，244ac b a-）在第三象限.方法二：∵b =2a ， c=-3a ，∴244ac b a -=221244a b a --=-4a <0, 所以顶点A （-1，244ac b a-）在第三象限.（3）∵b =2a ， c=-3a∴242a a a -± ∴x 1=-3，x 2=1,所以函数表达式为y=ax 2+2ax-3a ，∵直线y= x+m 与x 轴、y 轴分别相交于B,C,两点，则OB=OC=m所以△BOC 是以∠BOC 为直角的等腰三角形，这时直线y=x+m 与对称轴x=-1的夹角∠BAE=45°.又因点F 在对称轴左侧的抛物线上，则∠BAE>45°，这时△BOC 与△ADF 相似，顶点A 只可能对应△BOC 中的直角顶点O ，即△ADF是以A 为直角顶点的等腰三角形，且对称轴是x =-1，设对称轴x =-1与OF 交于点G. ∵直线y=x+m 过顶点A ，所以m=1-4a ，∴直线解析式为y=x+1-4a,解方程组21423y x a y ax ax a =+-⎧⎨=+-⎩，解得1114x y a =-⎧⎨=-⎩，221114x ay a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这里的（-1，4a ）即为顶点A ，点（1a -1，1a -4a ）即为顶点D 的坐标（1a -1，1a -4a ） D 点到对称轴x=-1的距离为1a -1-（-1）=1a，AE =4a -=4a,S △ADE =12×1a×4a=2,即它的面积为定值.这时等腰直角△ADF 的面积为1，所以底边DF =2，而x=-1是它的对称轴，这时D,C 重合且在y 轴上，由1a-1=0，∴a=1，此时抛物线的解析式y=x 2+2x-314. （2017湖南邵阳，26，10分）（本小题满10分）如图（十六）所示，顶点（49-21，）的抛物线y ＝ax 2＋bx＋c 过点M （2，0）. （1）求抛物线的解析式；（2）点A 是抛物线与x 轴的交点（不与点M 重合），点B 是抛物线与y 轴的交点，点C 是直线y ＝x ＋1上一点（处于x 轴下方），点D 是反比例函数y ＝xk（k >0）图象上一点.若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，求k 的值.思路分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为 y ＝a (x －21)2－49，再把点M （2，0）代入，可求a ＝1，所以抛物线的解析式可求.（2）先分别求出A 、B 两点的坐标，及AB 线段长，再根据反比例函数y ＝xk（k >0），考虑点C 在x 轴下方，故点D 只能在第一、三象限．确定菱形有两种情形：①菱形以AB 为边，如图一。

2017全国中考数学真题分类-二次函数概念、性质和图象(选择题+填空题+解答题)解析版

2017全国中考数学真题分类知识点18二次函数概念、性质和图象（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1. ．(2017四川广安，10，3分)如图所示，抛物线y ＝ax ²+bx +c 的顶点为B (－1，3)，与x 轴的交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b ²－4ac ＝0 ②a +b +c >0 ③2a －b ＝0 ④c －a ＝3A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B ，解析：由图象可知，抛物线与x 轴有两个交点，∴b ²－4ac ＞0，故结论①不正确；∵抛物线的对称轴为x ＝－1，与x 轴的一个交点A 在点（－3，0）和（－2，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，故结论②不正确．∵抛物线的对称轴x ＝－2ba＝－1，∴2a ＝b ，即2a －b ＝0，故结论③正确；∵抛物线y ＝ax ²+bx+c 的顶点为B （－1，3），∴a －b +c ＝3，∵抛物线的对称轴x ＝－1，∴2a ＝b ，∴a －2a +c ＝3，即c －a ＝3，故结论④正确；综上所述，正确的结论有2个．故选B ．2. （2017浙江丽水·8·3分）将函数y ＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（）A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位答案：D ．解析：选项知识点结果 A将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位得到函数y ＝(x ＋1)2，其图象经过点（1，4）.×B 将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位得到函数y ＝(x －3)2，其图象经过点（1，4）. ×C 将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位得到函数y ＝x 2＋3，其图象经过点（1，4）. ×D 将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位得到函数y ＝x 2－1，其图象不经过点（1，4）.√3. （2017山东枣庄12，3分）已知函数221y ax ax =--（a 是常数，0a ≠），下列结论正确的是A ．当a ＝1时，函数图象经过点（－1，0）B ．当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C ．若a <0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方D ．若a >0，则当1x ≥时，y 随x 的增大而增大答案：D ，解析：A 、当a ＝1时，函数解析式为y ＝x 2－2x －1，当x ＝－1时，y ＝1＋2－1＝2， ∴当a ＝1时，函数图象经过点（－1，2），∴A 选项不符合题意； B 、当a ＝2时，函数解析式为y ＝－2x 2＋4x －1，令y ＝－2x 2＋4x －1＝0，则△＝42－4×（－2）×（－1）＝8＞0，∴当a ＝－2时，函数图象与x 轴有两个不同的交点，∴B 选项不符合题意；C 、∵y ＝ax 2－2ax －1＝a （x －1）2－1－a ，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，－1－a ），当－1－a ＜0时，有a ＞－1，∴C 选项不符合题意；D 、∵y ＝ax 2－2ax －1＝a （x －1）2－1－a ，∴二次函数图象的对称轴为x ＝1．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，∴D 选项符合题意．故选D ．4. （2017四川成都，10，3分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，下列说法正确的是（）A ．20,40abc b ac <-> B ．20,40abc b ac >->C. 20,40abc b ac <-<D ．20,40abc b ac >-<答案：B ，解析：由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，则a ＞0，与y 轴交点在y 轴的负半轴上，由c <0，对称轴在y 轴的左侧，则2b a->0，所以b <0，所以0abc >；图象与x 轴有两点交点，则240b ac ->，综上，故选B .5. (2017浙江金华，6，3分)对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是A ．对称轴是直线x ＝1，最小值是2B ．对称轴是直线x ＝1，最大值是2C ．对称轴是直线x ＝－1，最小值是2D ．对称轴是直线x ＝－1，最大值是2 答案：B ，解析：二次函数y ＝－(x －1)2＋2的对称轴是直线x ＝1. ∵－1<0，∴抛物线开口向下，有最大值，最大值是2.6. （2017安徽中考·9．4分）已知抛物线2y ax bx c =++与反比例函数by x=的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y bx ac =+的图象可能是（）答案：B ．解析：由公共点的横坐标为1，且在反比例函数by x=的图象上，当x ＝1时，y ＝b ，即公共点坐标为（1，b ），又点（1，b ）在抛物线2y ax bx c =++上，得a ＋b ＋c ＝b ，a ＋c ＝0，由a ≠0知ac ＜0，一次函数y bx ac =+的图象与y 轴交点在负半轴上，反比例函数by x=的图象的一支在第一象限，b ＞0，一次函数y bx ac =+的图象满足y 随x 增大而增大，选项B 符合条件，选B ．7. （2017山东德州，7，3分）下列函数中，对于任意实数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，满足y 1＜y 2的是（）A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝2x 2＋1D ．y ＝x1-答案：A ，解析：一次函数y ＝－3x ＋2中，由于k ＝－3＜0，所以y 随着x 的增大而减小，即对于任意实数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，满足y 1＜y 2． 8. （2017山东威海，11，3分）．已知二次函数y =ax ²+bx +c (a ≠0)的图像如图所示．若正比例函数y =(b +c )x 与反比例函数y =a b cx-+在同一坐标系中的大致图像是（）答案：C，解析：由抛物线知a＞0，b＜0，c＞0，故a－b+c＞0，反比例函数过一三象限;当x=1时，y=a+b+c ＜0，即b+c＜－a, 因为a＞0，所以b+c＜0，所以正比例函数过二四象限，故选C．9.（2017山东菏泽，8,3分）一次函数y＝ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（）答案：A，解析：根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，选项D不符合题意，对称轴x=－2ba＞0，选项B不符合题意，与y轴的交点在y轴负半轴，选项C不符合题意，只有选项A符合题意．10. 10．（2017年四川绵阳，10,3分）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是A．b＞8 B．b＞－8 C．b≥8 D．b≥－8答案：D 解析：二次函数向下平移1个单位，再向右平移3个单位后，得到y=（x－3）2+1，再结合与一次函数y=2x+b有公共点，联立方程组，建立关于x的一元二次方程，利用一元二次方程有解的条件△≥0，可求出b的范围．11. (2017年四川南充，10，3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图5所示，下列结论错误的是( )A．4ac＜b2B．abc＜0 C．b＋c＞3a D．a＜bxOy－－图5（8题图） A. B. C. D答案：D 解析：(1)∵抛物线与横轴有两个交点，∴△＞0，即b 2－4ac ＞0．∴4ac ＜b 2．可见选项A 中的结论正确．(2)∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵对称轴在y 轴左边，∴－2b a＜0．∴b ＜0；∵抛物线与y 轴的负半轴相交，∴c ＜0．∴abc ＜0．可见选项B 中的结论正确． (3)∵－2b a＞－1，a ＜0，∴b ＞2a ①．∵x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0②．①＋②，得c ＞a ③．①＋③，得b ＋c ＞3a ．可见选项C 中的结论正确． (4)∵－2b a＜－12，a ＜0，∴a ＞b ．可见选项D 中的结论错误．综上所述，选项D ．12. （2017浙江舟山，10，3分）下列关于函数y ＝x 2－6x +10的四个命题：①当x ＝0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x ＝3+n 时的函数值大于x ＝3－n 时的函数值；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，y 的整数值有(2n －4)个；④若函数图象过点(a ，y 0)和(b ，y 0+1)，其中a >0，b >0，则a <b ．其中真命题的序号是（） A ．① B ．②C ．③D ．④答案：C ，解析：因为y ＝x 2－6x +10＝(x －3)2+1，所以当x ＝3时，y 有最小值1，故①错误；n 为任意实数，当x ＝3+n 时，y ＝(3+n －3)2+1＝ n 2+1，当x ＝3－n 时，y ＝(3－n －3)2+1＝ n 2+1，所以两函数值相等，故②错误；若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，令x ＝n ，则y 1＝(n －3)2+1＝ n 2－6n +10，令x ＝n +1，则y 2＝(n +1－3)2+1＝ n 2－4n +5，由于y 2－ y 1＝2n －5，所以之间的整数值的个数是2n －5+1＝2n +4个，故③正确；由二次函数的图象知④错误．令x ＝4，则y ＝(4－3)2+1＝2，令x ＝5，则y ＝(5－3)2+1＝5，y 的整数值有2，3，4，5，2n －4＝2×4－4＝4个，令x ＝6，则y ＝(6－3)2+1＝10， y 的整数值有5，6，7，8，9，10，2n －4＝2×5－4＝6个，令x ＝7，则y ＝(7－3)2+1＝10， y 的整数值有10，11，12，13，14，15，16，17共8个，2n －4＝2×6－4＝8个， 13. （2017四川攀枝花，9，3分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，则下列命题中正确的是（）A ．a ＞b ＞cB ．一次函数y ＝ax ＋c 的图像不经过第四象限C ．m （am ＋b ）＋b ＝a （m 是任意实数）D ．3b ＋2c ＞0 答案：D解析：由题意知抛物线对称轴为12b x a =-=-，即12a b =，故A 错误；a ＞0，c ＜0∴一次函数y ＝ax ＋c 的图像不经过第二象限，故B 错误；m （am ＋b ）＋b ＝a ，2b a =可得m ＝－112a b =，故C 错误；又当1x =时，0y a b c =++>，∴102b bc ++>，即320b c +>，故选D ．14. （2017江苏盐城，6，3分）如图，将函数y ＝21(2)12x -+的图像沿y 轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点A （1，m ）、B （4，n ）平移后的对应点分别为点A ′、B ′．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式是A ．y ＝21(2)22x --B ．y ＝21(2)72x -+C ．y ＝21(2)52x --D ．y ＝21(2)42x -+答案：D ，解析：连接AB 、A ′B ′，则S 阴影＝S 四边形ABB ′A ′．由平移可知，AA ′＝BB ′，AA ′∥BB ′，所以四边形ABB ′A ′是平行四边形．分别延长A ′A 、B ′B 交x 轴于点M 、N ．因为A （1，m ）、B （4，n ），所以MN ＝4－1＝3．因为ABB A S''＝AA ′·MN ，所以9＝3AA ′，解得AA ′＝3，即沿y 轴向上平移了3个单位，所以新图像的函数表达式y ＝21(2)42x -+．B 'A 'ABOyx第6题图2 的增大而增大；④方程ax 2+bx +c =0有一个根大于4．其中正确的结论有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B ，解析：由表格所给出的自变量与函数值变化趋势，随x 的值增大，y 值先增大后变小可知抛物线的开口向下；由对称性知其图象的对称轴为x =32，所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大正确；由表可知，方程ax 2+bx +c =0根在-1与0和3与4之间所以正确的2个．此题也可求出解析式进行判断．16.7．（2017江苏连云港，7，3分）已知抛物线20yax a 过12,Ay ，21,B y 两点，则下列关系式一定正确的是A ．120y yB ．210y y C ．120y yD ．210y y答案：C ，解析：∵20y ax a ∴抛物线的开口向上，对称轴为y 轴，12,Ay 在对称轴的左侧，21,B y 在对称轴的右侧，点A 离开对称轴的距离大于点B 离开对称轴的距离，∴120yy 因此选择C 选项．17. （2017四川达州8，3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则一次函数2y ax b =-与反比例函数cy x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A B C D答案C，解析：由于抛物线的开口向下，∴a<0，由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c>0，由于抛物线的对称轴是x=-1∴-12ba=-，∴b=2a，∴y=ax-4a，对于方程组4y ax acyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y,可整理成：240ax ax c--=，∆=2164a ac+，∵抛物线过点(-3,0),∴9a-3b+c=0,∴c=-3a,∴2222164=161240a ac a a a+-=>,∴直线与反比例函数有交点，故本题选C．18. 11．（2017四川眉山，11，3分）若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－axA．有最大值a4B．有最大值－a4C．有最小值a4D．有最小值－a4答案：B，解析：因为一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，所以⎩⎨⎧a＋1＞0，a＜0，因此－1＜a＜0，而y＝ax2－ax＝a(x－12)2－14a，所以二次函数有最大值－a4．19. 8．（2017四川宜宾，8，3分）如图，抛物线211(1)12y x=++与22(4)3y a x=--交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①23a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x>1时，y1＞y2，其中正确结论的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C ，解析：抛物线22(4)3y a x =--过点A （1，3），∴3＝9a －3，解得a ＝23，由题意可知E （4，﹣3），点A （1,3）、C 关于x ＝4对称，得到C （7,3），∴AC ＝6，而AE = ，故AC ≠AE ，由抛物线的对称性可知，AD ＝BD 显然．根据抛物线的对称性可知，AD ＝BD ，两个函数比较大小，首先要知道这两个函数图象的交点，则2212(1)1(4)323x x ++=--，解得x 1＝1，x 2＝37，所以当1＜x ＜37时，y 1＞y 2．20. （2017山东滨州，7，3分）将抛物线y ＝2x 2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）A ．y ＝2(x －3)2－5B ．y ＝2(x ＋3)2＋5C ．y ＝2(x －3)2＋5D ．y ＝2(x ＋3)2－5答案：A ，解析：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0）， ∵向右平移3个单位，再向下平移5个单位， ∴平移后的顶点坐标为（3，﹣5），∴平移后的抛物线解析式为y ＝2(x －3)2－5.故选A.21. 8．（2017江苏苏州，8，3分）若二次函数y =ax 2+1的图象经过点（-2,0），则关于x 的方程 a (x -2)2+1=0的实数根为 A ．x 1=0，x 2=4B ．x 1=—2，x 2=6C ． x 1=32，x 2=52D ．x 1=—4，x 2=0答案：A ，解析：根据“二次函数图象上点的坐标特征”可得4a +1=0，a =-14，则21(2)104x --+=，解一元二次方程得x 1=0，x 2=4．22. 9.(2017甘肃兰州，9，4分）抛物线y =3x ²-3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为A. y =3(x -3)²-3B. y =3x ²C. y =3(x +3)²-3D. y =3x ²-6【答案】A【解析】由题知，y =3x ²-3为顶点式，直接根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可。

中考数学中二次函数压轴题分类总结

二次函数的压轴题分类复习一、抛物线关于三角形面积问题例题二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.练习：1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ．（1）求点E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求∆BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；yBAMEF2. 如图，已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．二、抛物线中线段长度最小问题例题如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a =1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．OABP EQFxyEN MDCBAOyx练习：1. 如图， Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．三、抛物线与线段和最小的问题例题如图，已知抛物线()()()120y x x a a a=-+>与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题； ①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．练习：1. 如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP2. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出H 的坐标；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1. .如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线12 x=-（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．3. 如图，已知抛物线于x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

2017年中考数学分类汇编二次函数压轴题14道

中考数学分类汇编二次函数压轴题1.（2016•成都第28题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =a （x +1）2﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣），顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴的右侧．（1）求a 的值及点A ，B 的坐标；（2）当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3：7的两部分时，求直线l 的函数表达式；（3）当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否为菱形？若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．2.（2016•扬州第28题）如图1，二次函数2y ax bx =+的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1.（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 在该二次函数的图像上，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；（3）如图3，一次函数y kx =（k ＞0）的图像与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线TM ⊥OC ，垂足为点M ，且M 在线段OC 上（不与O 、C 重合），过点T 作直线TN ∥y轴交OC 于点N 。

若在点T 运动的过程中，2ON OM为常数，试确定k 的值。

xy图3NM OC Tx y图2（备用图）BAOxy13-1图1B AO二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题3.（2016•益阳第21题）如图，顶点为(3,1)A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ；（3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标．4.（2016•哈尔滨第27题）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx （a ≠0）的图象经过点A （1，4），对称轴是直线x ＝－32，线段AD 平行于x 轴，交抛物线于点D ．在y 轴上取一点C （0，2），直线AC 交抛物线于点B ，连结OA ，OB ，OD ，BD ．（1）求该二次函数的解析式；（2）设点F 是BD 的中点，点P 是线段DO 上的动点，将△BPF 沿边PF 翻折，得到△B ′PF ，使△B ′PF 与△DPF 重叠部分的面积是△BDP 的面积的 14 ，若点B ′在OD 上方，求线段PD 的长度;（3）在（2）的条件下，过B ′作B ′H ⊥PF 于H ，点Q 在OD 下方的抛物线上，连接AQ 与B ′H 交于点M ，点G 在线段AM 上，使∠HPN +∠DAQ =135°，延长PG 交AD 于N ．若AN + B ′M =52,求点Q 的坐标．xyA D CBOxyA DCBO xyA DCBOKOyxC BA图2三、与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题5.（2016•重庆第26题）如图1，二次函数1x 2-x 21y 2+=的图象与一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0,1），点B 在第一象限内，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N ，且S △AMO ︰S 四边形AONB =1︰48。

(完整)2017年中考数学二次函数压轴题(含答案),推荐文档

2017 年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M 是线段BC 上的点（不与B，C 重合），过M 作MN∥y 轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC 的解析式，已知点M 的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N 点的坐标，N、M 纵坐标的差的绝对值即为MN 的长．（3）设MN 交x 轴于D，那么△BNC 的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△=MN（OD+DB）=MN•OB，MN 的表达式在（2）中已求得，OB 的长易知，由此列出关MNB于S△BNC、m 的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC 是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC 的解析式为：y=kx+b，则有：；故直线 BC 的解析式：y =﹣x +3．已知点 M 的横坐标为 m ，MN ∥y ，则 M （m ，﹣m +3）、N （m ，﹣m 2+2m +3）；∴故 MN =﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）=﹣m 2+3m （0＜m ＜3）．（3）如图；∵S △BNC =S △MNC +S △MNB =MN （OD +DB ）=MN •OB ，∴S △BNC =（﹣m 2+3m ）•3=﹣（m ﹣）2+（0＜m ＜3）；∴当 m =时，△BNC 的面积最大，最大值为．2. 如图，抛物线的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时 M 点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；转化思想．分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将 B 点坐标代入解析式中即可．，解得（2）首先根据抛物线的解析式确定A 点坐标，然后通过证明△ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC 的面积可由S△MBC=BC×h 表示，若要它的面积最大，需要使h 取最大值，即点M 到直线BC 的距离最大，若设一条平行于BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC 为直角三角形，AB 为△ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB 的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC 的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M 即直线l 和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M 点作MN⊥x 轴于N，S△BMC=S 梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．平行四边形类3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n 经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M，设点P 的横坐标为t．（1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．（2）若点P 在第四象限，连接AM、BM，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．.专题：压轴题；存在型．分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n 的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P 的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P 点的纵坐标减去M 的纵坐标得到PM 的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM 最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△=S△BPM+S△APM 计算即可；ABM（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB 时，点P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能；当P 在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P 在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t 的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB 的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB 的解析式是y=x﹣3；（2）设点P 的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p 在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM 最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB 时，点P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，①当P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P 在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P 点的横坐标是；③当P 在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P 点的横坐标是．所以P 点的横坐标是或．4.如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4 倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S 四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4 倍，得出一元二次方程，得出P 点坐标即可；（3）利用P 点坐标以及B 点坐标即可得出四边形PB′A′B 为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．解答：解：（1）△A′B′O 是由△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P 为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P 点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S 四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O 面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4 倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4 倍．（3）四边形PB′A′B 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2 个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）5.如图，抛物线y=x2﹣2x+c 的顶点A 在直线l：y=x﹣5 上．（1）求抛物线顶点A 的坐标；（2）设抛物线与y 轴交于点B，与x 轴交于点C、D（C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状；（3）在直线l 上是否存在一点P，使以点P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A 的横坐标，然后代入直线l 的解析式中即可求出点A 的坐标．（2）由A 点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B 的坐标．则AB、AD、BD 三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB 为对角线、②AD 为对角线两种情况讨论，即①AD PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P 点的坐标．解答：解：（1）∵顶点A 的横坐标为x=﹣=1，且顶点A 在y=x﹣5 上，∴当x=1 时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD 是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0 时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD 是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5 交y 轴于点E（0，﹣5），交x 轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF 与△OBD 都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB 或PABD，如图，过点P 作y 轴的垂线，过点A 作x 轴的垂线交过P 且平行于x 轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1﹣x ）2+（1﹣x ）2=18，x 2﹣2x ﹣8=0，x =﹣2 或 41 1 1 1 1∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P 为顶点的四边形是平行四边形．周长类6.如图，Rt△ABO 的两直角边OA、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c 经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE，点A、B、O 的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P 使得△PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M 是线段OB 上的一个动点（点M 与点O、B 不重合），过点M 作∥BD 交x 轴于点N，连接PM、PN，设OM 的长为t，△PMN 的面积为S，求S 和t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M 点的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c 即可；（2）根据菱形的性质得出C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5 或2 时，y 的值即可．（3）首先设直线CD 对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y 即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN 的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO 中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5 时，y=，当x=2 时，y=，∴点C 和点D 都在所求抛物线上；（3）设CD 与对称轴交于点P，则P 为所求的点，设直线CD 对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x 于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×= ，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S 存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S 取最大值是，此时，点M 的坐标为（0，）．等腰三角形类7.如图，点A 在x 轴上，OA=4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过点A、O、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）首先根据OA 的旋转条件确定B 点位置，然后过B 做x 轴的垂线，通过构建直角三角形和OB 的长（即OA 长）确定B 点的坐标．（2）已知O、A、B 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P 点的坐标，而O、B 坐标已知，可先表示出△OPB 三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P 点．解答：解：（1）如图，过B 点作BC⊥x 轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2 ，∴点B 的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O 和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+ x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2 与x 轴的交点为D，设点P 的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2 时，在Rt△POD 中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B 三点在同一直线上，∴y=2 不符合题意，舍去，∴点P 的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P 的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P 的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为（2，﹣2），8.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2 经过点B．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）根据题意，过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B 到x、y 轴的距离，即B 的坐标；（2）根据抛物线过B 点的坐标，可得a 的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C 是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1 分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2 分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3 分）∴点B 的坐标为（﹣3，1）；（4 分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2 经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5 分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7 分）（3）假设存在点P，使得△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形：①若以点C 为直角顶点；则延长BC 至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8 分）过点P1作P1M⊥x 轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10 分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11 分）②若以点A 为直角顶点；则过点A 作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12 分）过点P2作P2N⊥y 轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13 分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14 分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2 上．（16 分）9.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2 经过点B．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）首先过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B 的坐标；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）分别从①以AC 为直角边，点C 为直角顶点，则延长BC 至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x 轴，②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，则过点A 作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y 轴，③若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，则过点A 作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y 轴，去分析则可求得答案．解答：解：（1）过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B 的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2 过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP 是等腰直角三角形，①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点，则延长BC 至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x 轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2 上；②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，则过点A 作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y 轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2 上；③若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，则过点A 作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y 轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2 上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．综合类10.如图，已知抛物线y=x2+bx+c 的图象与x 轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y 轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC 与抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M 作MN∥y 轴交直线BC 于点N，求MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以BC 为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ 的面积为S1，△ABN 的面积为S2，且S1=6S2，求点P 的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）设直线BC 的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC 的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN 的长是直线BC 的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN 的长和M 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN 的最大值；（3）先求出△ABN 的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ 的边BC 上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D 作直线BC 的平行线，交抛物线与点P，交x 轴于点E，在直线DE 上截取PQ=BC，则四边形CBPQ 为平行四边形．证明△ EBD 为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E 的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ 的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P 的坐标．解答：解：（1）设直线BC 的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC 的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+ ，∴当x=时，MN 有最大值；（3）∵MN 取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1 或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN 的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ 的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ 的边BC 上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5 ，∴BC•BD=30，∴BD=3 ．过点D 作直线BC 的平行线，交抛物线与点P，交x 轴于点E，在直线DE 上截取PQ=BC，则四边形CBPQ 为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD 为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ 的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ 的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P 的坐标为P1（2，﹣3）（与点D 重合）或P2（3，﹣4）．11.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D 在x 轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P 是线段QE 上的动点，点F 是线段OD 上的动点，问：在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ 与△CDO 均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C 关于直线QE 的对称点C′，作点C 关于x 轴的对称点C″，连接C′C″，交OD 于点F，交QE 于点P，则△PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF 的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF 的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF 周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D 点坐标为（1，0）．设直线CD 的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD 的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a= ．∴y= （x﹣2）2+3= x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD 为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x 轴，则点C、E 关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E 的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE 交于点M，则M（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME 与△QMC 均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD 为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C 关于直线QE 的对称点C′，作点C 关于x 轴的对称点C″，连接C′C″，交OD 于点F，交QE 于点P，则△PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF 的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F′，在线段QE 上取异于点P 的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE 的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE 对称，△QCE 为等腰直角三角形，∴△QC′E 为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x 轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y 轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″=== ．综上所述，在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长存在最小值，最小值为．12.如图，抛物线与x 轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y 轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标．（2）试判断△BCD 的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD 的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p 在x 轴和y 轴两种情况讨论，舍出P 的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y 轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D 的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD 是直角三角形．理由如下：解法一：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E、F．∵在Rt△BOC 中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF 中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE 中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD 为直角三角形．解法二：过点D 作DF⊥y 轴于点F．在Rt△BOC 中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF 中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD 为直角三角形．（3）①△BCD 的三边，==，又=，故当P 是原点O 时，△ACP∽△DBC；②当AC 是直角边时，若AC 与CD 是对应边，设P 的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P 的坐标是（0，﹣9），三角形ACP 不是直角三角形，则△ACP∽△CBD 不成立；③当AC 是直角边，若AC 与BC 是对应边时，设P 的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P 是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD 一定成立；④当P 在x 轴上时，AC 是直角边，P 一定在B 的左侧，设P 的坐标是（d，0）．则AP=1﹣d，当AC 与CD 是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3 ，此时，两个三角形不相似；⑤当P 在x 轴上时，AC 是直角边，P 一定在B 的左侧，设P 的坐标是（e，0）．则AP=1﹣e，当AC 与DC 是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．总之，符合条件的点P 的坐标为：．对应练习13.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3 与x 轴交于A、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C，其中A 点的坐标是（1，0），C 点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC 的下方，试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC 的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC 的解析式，设出过点E 与AC 平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y 得到关于x 的一元二次方程，利用根的判别式△=0 时，△ACE 的面积最大，然后求出此时与AC 平行的直线，然后求出点E 的坐标，并求出该直线与x 轴的交点F 的坐标，再求出AF，再根据直线l 与x 轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC 间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3 经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B 关于对称轴对称，∴点D 为AC 与对称轴的交点时△BCD 的周长最小，设直线AC 的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC 的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2 时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD 的周长最小；（3）如图，设过点E 与直线AC 平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y 得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E 到AC 的距离最大，△ACE 的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E 的坐标为（，﹣），设过点E 的直线与x 轴交点为F，则F（，0），∴AF= ﹣1=，∵直线AC 的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F 到AC 的距离为×=，又∵AC= =3 ，∴△ACE 的最大面积=×3×= ，此时E 点坐标为（，﹣）．14.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4 与x 轴相交于A、B 两点，与y 轴相交于点C，若已知A 点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C 的坐标，连接AC、BC 并求线段BC 所在直线的解析式；（3）试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x= 求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C 坐标；令y=0，可求出点B 坐标．再利用待定系数法求出直线BD 的解析式；（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本问为存在型问题．若△ACQ 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4 的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+ ，∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4 中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8 或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC 的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k= ，b=4，∴直线BC 的解析式为：y= x+4．（3）可判定△AOC∽△COB 成立．理由如下：在△AOC 与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC=== ，AQ==，CQ==．i）当AQ=CQ 时，有= ，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ 时，有= ，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ 不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ 时，有= ，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴点Q 坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ 为等腰三角形，点Q 的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+ ），Q3（3，4﹣）．15.如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2 的图象过C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？（3）点P 是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB 为平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：如解答图所示：（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C 的坐标；然后利用点C 的坐标求出抛物线的解析式；（2）首先求出直线BC 与AC 的解析式，设直线l 与BC、AC 交于点E、F，则可求出EF 的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l 的解析式；（3）首先作出▱PACB，然后证明点P 在抛物线上即可．解答：解：（1）如答图 1 所示，过点C 作CD⊥x 轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB 与△CDA 中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2 上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．。

中考数学真题模拟题汇编二次函数抛物线(带答案解析)

中考数学真题模拟题汇编二次函数抛物线（带答案解析）姓名：_______________班级：_______________考号：_______________题号一、简答题二、综合题三、选择题四、填空题总分得分一、简答题（每空？分，共？分）1、如图，抛物线y=﹣经过A（4，0），C（0，4）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，点E是OC 的中点，作直线AC、点M在抛物线上，过点M作MD⊥x轴，垂足为点D，交直线AC于点N，设点M的横坐标为m，MN 的长度为d．（1）直接写出直线AC的函数关系式；（2）求抛物线对应的函数关系式；（3）求d关于m的函数关系式；（4）当以点M、N、E、O为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出m的值．2、如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．评卷人得分3、如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P 的横坐标为m；①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴、y轴相交于A、B两点，二次函数的图像经过点A．（1）试证明二次函数的图像与x轴有两个交点；（2）若二次函数图像的顶点D在直线AB上，求m，n的值；（3）设二次函数的图像与x轴的另一个交点为点C，顶点D关于x轴的对称点设为点E，以AE，AC 为邻边作平行四边形EACF，顶点F能否在该二次函数的图像上？如果在，求出这个二次函数的表达式；如果不在，请说明理由？二、综合题评卷人得分（每空？分，共？分）5、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（﹣2，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，求直线BD和直线EF的解析式；（3）是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．6、如图，已知抛物线＝22－2与轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与轴交于点C．（1）写出以A，B，C为顶点的三角形的面积；（2）过点E（0，6）且与轴平行的直线l1与抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点作平行四边形。

近五年(2017-2021)年浙江中考数学真题分类汇编之二次函数(含解析)

2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之二次函数一．选择题（共16小题）1．（2018•临安区）抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）2．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6 3．（2018•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2018•绍兴）若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）5．（2017•杭州）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0 6．（2021•杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（）A．B．C．D．7．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y ＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位8．（2019•衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）9．（2020•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c10．（2020•温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2 11．（2019•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．12．（2018•湖州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥13．（2017•绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y＝x2+8x+14B．y＝x2﹣8x+14C．y＝x2+4x+3D．y＝x2﹣4x+3 14．（2021•湖州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4 15．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值16．（2019•舟山）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得到如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④二．填空题（共4小题）17．（2018•湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是．18．（2017•金华）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC＝10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．（1）如图1，若BC＝4m，则S＝m2．（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m．19．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt ﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝．20．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+2（a ≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是．三．解答题（共3小题）21．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．22．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．23．（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．（1）当m＝5时，求n的值．（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2018•临安区）抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）．故选：A．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．2．（2021•绍兴）关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．3．（2018•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质；一次函数的图象．【专题】函数及其图象．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b＜0，∴y＝（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．4．（2018•绍兴）若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质．【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y＝（x ﹣1+2）2﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4．当x＝﹣3时，y＝（x+1）2﹣4＝0，∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．5．（2017•杭州）设直线x＝1是函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由对称轴x＝﹣＝1得：b＝﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．【解答】解：由对称轴x＝﹣＝1得：b＝﹣2a．（m+1）a+b＝ma+a﹣2a＝（m﹣1）a，当m＞1时，（m﹣1）a+b＝（m﹣1）a﹣2a＝（m﹣3）a，（m﹣1）a+b与0无法判断．当m＜1时，（m+1）a+b＝（m+1）a﹣2a＝（m﹣1）a＞0．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用对称轴得出b＝﹣2a是解题关键．6．（2021•杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（）A．B．C．D．【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】函数思想；应用意识．【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则a＜0，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．【解答】解：由图象知，A、B、D组成的二次函数图象开口向上，a＞0；A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x2+b1x+c1，把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，，解得a1＝；设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，，解得a＝，即a最大的值为，也可以根据a的绝对值越大开口越小直接代入ABD三点计算，即可求求解．故选：A．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．7．（2019•绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y ＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质．【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【解答】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．8．（2019•衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）【考点】二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质．【分析】由抛物线顶点式可求得答案．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．9．（2020•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确．【解答】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．10．（2020•温州）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，∴y3＜y1＜y2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．11．（2019•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．【解答】解：解得或．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．12．（2018•湖州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质．【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；【解答】解：∵抛物线的解析式为y＝ax2﹣x+2．观察图象可知当a＜0时，x＝﹣1时，y≤2时，且﹣≥﹣，满足条件，可得a≤﹣1；当a＞0时，x＝2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，且﹣≤2满足条件，∴a≥，∵直线MN的解析式为y＝﹣x+，由，消去y得到，3ax2﹣2x+1＝0，∵Δ＞0，∴a＜，∴≤a＜满足条件，综上所述，满足条件的a的值为a≤﹣1或≤a＜，故选：A．【点评】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．13．（2017•绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y＝x2+8x+14B．y＝x2﹣8x+14C．y＝x2+4x+3D．y＝x2﹣4x+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先由对称计算出C点的坐标，再根据平移规律求出新抛物线的解析式即可解题．【解答】解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，∴矩形ABCD关于坐标原点对称，∵A点C点是对角线上的两个点，∴A点、C点关于坐标原点对称，∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；∴透明纸由A点平移至C点，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；∵透明纸经过A点时，函数表达式为y＝x2，∴透明纸经过C点时，函数表达式为y＝（x+4）2﹣2＝x2+8x+14故选：A．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式．14．（2021•湖州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】不妨假设a＞0，利用图象法一一判断即可．【解答】解：方法一：不妨假设a＞0．①如图1中，P1，P2满足x1＞x2+2，∵P1P2∥AB，∴S1＝S2，故①错误．②当x1＝﹣2，x2＝﹣1，满足x1＜2﹣x2，则S1＞S2，故②错误，③∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1，∴P1，P2在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大，∴S1＞S2，故③正确，④如图2中，P1，P2满足|x1﹣2|＞|x2+2|＞1，但是S1＝S2，故④错误．故选：A．方法二：解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），∴该抛物线对称轴为x＝2，当x1＞x2+2时与当x1＜2﹣x2时无法确定P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上的对应位置，故①和②都不正确；当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，P1（x1，y1）比P2（x2，y2）离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，∴|y1|＞|y2|，∴S1＞S2，故③正确；当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，即在x轴上x1到2的距离比x2到﹣2的距离大，且都大于1，可知在x轴上x1到2的距离大于1，x2到﹣2的距离大于1，但x2到2的距离不能确定，所以无法比较P1（x1，y1）比P2（x2，y2）谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；故选：A．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．15．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【专题】函数的综合应用；几何直观；运算能力．【分析】方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判断出45°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围，当a，b异号时，m＝0，当a＝﹣，b＝时，n最小＝，即可得出n﹣m的范围；②当n﹣m＝1时，当a，b同号时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝，再判断出45°≤∠MNH＜90°，当a，b 异号时，m＝0，则n＝1，即可求出a，b，即可得出结论．方法2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论．【解答】解：方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，∴∠BCD＝90°，∵∠ADE＝∠BED＝90°，∴∠ADE＝∠BCD＝∠BED＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，∵点A，B在抛物线y＝x2上，且a，b同号，∴45°≤∠ABC＜90°，∴tan∠ABC≥1，∴n﹣m≥1，当a，b异号时，m＝0，当a＝﹣，b＝时，n＝，此时，n﹣m＝，∴≤n﹣m＜1，即n﹣m≥，即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为，故选项C，D都错误；②当n﹣m＝1时，如图2，当a，b同号时，过点N作NH⊥MQ于H，同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，在Rt△MHN中，tan∠MNH＝＝，∵点M，N在抛物线y＝x2上，∴m≥0，当m＝0时，n＝1，∴点N（0，0），M（1，1），∴NH＝1，此时，∠MNH＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴≥1，当a，b异号时，m＝0，∴n＝1，∴a＝﹣1，b＝1，即b﹣a＝2，∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；故选：B．方法2、当n﹣m＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b都越大时，a﹣b越接近于0，但不能取0，即b﹣a没有最小值，当a，b异号时，当a＝﹣1，b＝1时，b﹣a＝2最大，当b﹣a＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b离y轴越远，n﹣m越大，但取不到最大，当a，b在y轴两侧时，当a＝﹣，b＝时，n﹣m取到最小，最小值为，因此，只有选项B正确，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出∠MNH的范围是解本题的关键．16．（2019•舟山）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时得到如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；等腰直角三角形；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】数形结合；二次函数图象及其性质．【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1解得：x1＝m﹣，x2＝m+∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|解得：m＝0或1，当m＝1时，二次函数y＝﹣（x﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；∴存在m＝0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确；③∵x1+x2＞2m∴∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离∵x1＜x2，且a＝﹣1＜0∴y1＞y2故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且a＝﹣1＜0∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．二．填空题（共4小题）17．（2018•湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是﹣2．【考点】抛物线与x轴的交点；正方形的性质；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；矩形菱形正方形．【分析】根据正方形的性质结合题意，可得出点B的坐标为（﹣，﹣），再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABOC是正方形，∴点B的坐标为（﹣，﹣）．∵抛物线y＝ax2过点B，∴﹣＝a（﹣）2，解得：b1＝0（舍去），b2＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键．18．（2017•金华）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC＝10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．（1）如图1，若BC＝4m，则S＝88πm2．（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m．【考点】二次函数的应用；等边三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径的圆和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，据此列式求解可得；（2）此时小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以A为圆心、x为半径的圆、以C为圆心、10﹣x为半径的圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）如图1，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示：由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径的圆和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，∴S＝×π•102+•π•62+•π•42＝88π，故答案为：88π；（2）如图2，设BC＝x，则AB＝10﹣x，∴S＝•π•102+•π•x2+•π•（10﹣x）2＝（x2﹣5x+250）＝（x﹣）2+，当x＝时，S取得最小值，∴BC＝，故答案为：．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积．19．（2021•台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt ﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝：1．【考点】二次函数的应用；解直角三角形．【专题】二次函数的应用；推理能力．【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝2h2，求出v1＝v2，可得结论．【解答】解：由题意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，∵h1＝2h2，∴v1＝v2，∴t1：t2＝v1：v2＝：1，故答案为：：1．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出t1，t2，证明v1＝v2即可．20．（2021•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+2（a ≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是2或﹣8．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理．【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】由题意△AOM是直角三角形，当对称轴x≠0或x≠3时，可知一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M，当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以点M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，利用图象法求解即可．【解答】解：∵△AOM是直角三角形，∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，且点M 在对称轴上的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M，∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形（如图所示）．观察图象可知，﹣＝﹣1或4，∴＝2或﹣8，故答案为：2或﹣8．【点评】本题考查二次函数的性质，直角三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是判断出对称轴的位置，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共3小题）21．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．。

2017年浙江省杭州市中考数学试卷含答案

在
此
20.(本小题满分 10 分)
在面积都相等的所有矩形中,当其中一个矩形的一边长为 1 时,它的另一边长为 3.
(1)设矩形的相邻两边长分别为 x , y .
卷
①求 y 关于 x 的函数表达式；
②当 y≥3 时,求 x 的取值范围；
(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为 6,方方说有一个矩形的周长为 10.你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？
参观人次的平均年增长率为 x ,则
()
A.10.8(1 x) 16.8
B.16.8(1 x) 10.8
C.10.8(1 x)2 16.8
D.10.8[(1 x) (1 x)2 ] 16.8
8.如图,在 Rt△ABC 中, ABC 90 , AB 2 , BC 1 .把 △ABC
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

30
40
50
60

120
130
140
150

150
140
130
120
猜想：关于的函数表达式, 关于的函数表达式,并给出证明；
(2)若 135 , CD 3 , △ABE 的面积为 △ABC 的面积的 4 倍 ,求 O 半径的长.
数.
数学试卷第 3页（共 18页）
18.(本小题满分 8 分) 在平面直角坐标系中,一次函数 y kx b ( k,b 都是常数,且 k 0 )的图象经过点 (1,0) 和 (0, 2) . (1)当 2＜x≤3 时,求 y 的取值范围； (2)已知点 P(m,n) 在该函数的图象上,且 m n 4 ,求点 P 的坐标.

2017中考数学重要考点梳理：第十二讲二次函数的图像与性质(课件+2016真题演练+解析版)

C.3个
D.4个
【解析】选C.∵二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点,
ห้องสมุดไป่ตู้∴c=0,∴abc=0,∴①正确;
∵x=1时,y<0,∴a+b+c<0,∴②不正确; ∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴是x=- 3 ,
2
∴ b 3 ,b<0,∴b=3a,
2a 2
又∵a<0,b<0,∴a>b,∴③正确;
7.二次函数y=x2-2x+1与x轴的交点个数是2.
(√)
(×)
考点一
二次函数图象和性质
【示范题1】(2016·临沂中考)二次函数y=ax2+bx+c, 自变量x与函数y的对应值如下表: x y … … -5 4 -4 0 -3 -2 -2 -2 -1 0 0 4 … …
下列说法正确的是
(
)
A.抛物线的开口向下
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
所示,则2a+b≠0. (×)
4.若函数y=mx2+(m+2)x+ 1 m+1的图象与x轴只有一个交
2
点,那么m的值为2或-2.
(×)
5.将抛物线y=x2向左平移2个单位,再向下平移3个单位, 则新抛物线的解析式为y=(x+2)2-3.
3
(√)
6.函数y= 1 x2的图象开口向上,对称轴是y轴.
2a
2a
增大时,y随x的增大而_____.
4ac b 2 (5)最值:当x=- b 时,y最小值=______. 4a 2a
2.当a<0时:

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了.”9、（2017·嘉兴）如图，某日的钱塘江观潮信息如表：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数（，是常数）刻画．(1)求的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；(2)11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为千米/分，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）．10、（2017·丽水）如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A—C—B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示.(1)求a的值；(2)求图2中图象C2段的函数表达式；(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围.11、（2017•温州）如图，过抛物线y= x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(2)在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．12、（2017•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．(1)若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．13、（2017•湖州）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．(1)设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；(2)设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/ ．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．①分别求出当和时，与的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）14、（2017•宁波）如图，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C 在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．(1)求c的值及直线AC的函数表达式；(2)点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．15、（2017·台州）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程，操作步骤是：第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。

(1)在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）(2)结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当，，，与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（，），Q（，）就是符合要求的一对固定点？16、（2017·台州）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的液体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征。

其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数，为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间的部分数据如下表：速度v（千米/小时）… 5 10 20 32 40 48 …流量q（辆/小时）… 550 1000 1600 1792 1600 1152 …(1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是________（只需填上正确答案的序号）①② ③(2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？(3)已知q，v，k满足，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题：①市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵，试分析当车流密度k在什么范围时，该路段出现轻度拥堵；②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值17、（2017·衢州）定义：如图1，抛物线与轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足，则称点P为抛物线的勾股点。

(1)直接写出抛物线的勾股点的坐标；(2)如图2，已知抛物线C：与轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；(3)在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件的点Q（异于点P）的坐标18、（2017·金华）(本题12分)如图1,在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别O(0,0),A(3,)，B(9,5 )，C(14,0).动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA−AB−BC运动，在OA，AB，BC上运动的速度分别为3，，(单位长度/秒)﹒当P,Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动．(1)求AB所在直线的函数表达式.(2)如图2，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.(3)在P,Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值.19、（2017·金华）(本题8分) 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分. 如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度1.55m.(1)当a=− 时，①求h的值.②通过计算判断此球能否过网.(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值.答案解析部分一、单选题1、【答案】A【考点】坐标确定位置，二次函数的性质【解析】【解答】解：∵y=x2-2x+m2+2.∴y=（x-1）2+m2+1.∴顶点坐标（1，m2+1）.∴顶点坐标在第一象限.故答案为A.【分析】根据配方法得出顶点坐标，从而判断出象限.2、【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：∵y=-+2,∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，2），对称轴为x=1，∴当x=1时，y有最大值2，故选B。

【分析】由抛物线的解析式可确定其开口方向、对称轴、顶点坐标及最值，则可求得答案。

3、【答案】C【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：由对称轴，得b=﹣2a．（m﹣1）a+b=ma﹣a﹣2a=（m﹣3）a∵a＜0当m＜1时，（m﹣3）a＞0，故选：C．【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．4、【答案】A【考点】二次函数的图象【解析】【解答】解：如图，A（2,1），则可得C（-2，-1）.由A（2,1）到C（-2，-1），需要向左平移4个单位，向下平移2个单位，则抛物线的函数表达式为y=x2，经过平移变为y=（x+4）2-2= x2+8x+14，故选A.【分析】题中的意思就是将抛物线y=x2平移后，点A平移到了点C，由A的坐标不难得出C的坐标，由平移的性质可得点A怎样平移到点C，那么抛物线y=x2，就怎样平移到新的抛物线.5、【答案】C【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：①错，理由：当x=时，y取得最小值；②错，理由：因为，即横坐标分别为x=3+n , x=3−n的两点的纵坐标相等，即它们的函数值相等；③对，理由：若n>3，则当x=n时，y=n2− 6n+10>1,当x=n+1时，y=(n+1)2− 6(n+1)+10=n2−4n+5,则n2−4n+5-（n2− 6n+10）=2n-5，因为当n为整数时，n2− 6n+10也是整数，2n-5也是整数，n2−4n+5也是整数，故y有2n-5+1=2n-4个整数值；④错，理由：当x<3时，y随x的增大而减小，所以当a<3,b<3时，因为y0<y0+1,所以a>b，故错误；故答案选C.【分析】①二次项系数为正数，故y有最小值，运用公式x=解出x的值，即可解答；②横坐标分别为x=3+n , x=3−n的两点是关于对称轴对称的；③分别求出x=n,x=n+1的y值，这两个y值是整数，用后者与前都作差，可得它们的差，差加1即为整数值个数；④当这两点在对称轴的左侧时，明示有a<b。

2017年浙江中考数学真题分类汇编 二次函数(解析版)

2017中考数学复习----二次函数综合题

2017年全国中考数学真题分类 二次函数概念、性质和图象2017(解答题)

中考数学压轴题二次函数问题解答题解析版

【经典推荐含解析及考点卡片】2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之函数基础知识

2019年浙江省中考数学分类汇编专题：二次函数(含答案解析)

中考热点- 二次函数选填压轴题(解析版)--新九年级数学

押浙江卷第23题(二次函数的应用与综合)(解析版)-备战2024年中考数学临考题号押题

浙江省2017年中考数学真题分类汇编 坐标系、一次函数与反比例函数(解析版)

2017年浙江中考数学真题分类汇编 二次函数(解析版)

2017全国中考数学真题分类-二次函数几何方面的应用(选择题+解答题)解析版

2017全国中考数学真题分类-二次函数概念、性质和图象(选择题+填空题+解答题)解析版

中考数学中二次函数压轴题分类总结

2017年中考数学分类汇编二次函数压轴题14道

(完整)2017年中考数学二次函数压轴题(含答案),推荐文档

中考数学真题模拟题汇编 二次函数抛物线(带答案解析)

近五年(2017-2021)年浙江中考数学真题分类汇编之二次函数(含解析)

2017年浙江省杭州市中考数学试卷含答案

2017中考数学重要考点梳理：第十二讲二次函数的图像与性质(课件+2016真题演练+解析版)

2017年浙江中考数学真题分类汇编二次函数(解析版)

2017年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象2017(解答题)

浙江省2017年中考数学真题分类汇编坐标系、一次函数与反比例函数(解析版)

2017年浙江中考数学真题分类汇编二次函数(解析版)

中考数学真题模拟题汇编二次函数抛物线(带答案解析)