机械模态分析作业

机械模态分析

作业:如图1所示是一个单自由系统附件一个减振器形成的的两自由振动系统,已知m 1=105kg ，m 2=7kg ，k 1=10000N/m ，k 2=410N/m ，c 2=1.15N ·m-1·s ，F 1(t)=F 1e j ωt 。求：（简化为粘性比例阻尼进行实模态分析）

1． 物理坐标下的振动微分方程； 2． 频响函数矩阵；

3． 频响函数的模态展式矩阵； 4． 脉冲相应函数；

5． 画出H 11（ω）的幅频特性曲线，相频特性曲线，实频特性曲线，

虚频特性曲线，Nyquist 图，Bode 图； 6． 固有频率，阻尼固有频率； 7． 画出振型图；

8． 模态坐标系下的振动微分方程；

9． 模态参数：复模态质量，复模态刚度，复模态阻尼。 10.按实模态系统，给出灵敏度分析。

11.集全班同学的数据（必要的话再补做不同m 2，k 2，c 2参数下的数据，画出x1的最大振幅与m 2，k 2，c 2，的变化曲线，从而分析出减振器的最佳参数。 解：

1．振动微分方程

对质量m 1、m 2绘分离体图（如图1-1），用牛二定律列分离体在铅垂方向的力平衡方程得

1221221111122122122

()()()()F c x x k x x k x m x c x x k x x m x ∙∙∙∙

∙

∙

∙∙

+-+--=----= （1.1）

将（1.1）整理可得：

112

2112

21122

22

2222000m x c c x k k k x F m c c k k x x x ∙∙∙∙∙∙⎡⎤

⎡⎤

-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

⎣

⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（1.2）

且m 1=105、m 2=7、k 1=10000、k 2=410、c 2=1.15，代入（1.2）得： ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙0 410 410-410- 104101.15 1.15- 1.15- 15.17 0 0 1051212121F x x x x x x （1.3）

可以得出此二自由度系统振动微分方程为：()M x C x Kx f t ∙∙

∙

++= 其中M=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡7 0 0 105；C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 1.15 1.15- 1.15- 15.1；K=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡410 410- 410 - 10410；f(t)=

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡0 1F 图1-1、系统的分离体图 2．频响函数矩阵

由书P25（1.4-58）公式可知，此二自由度系统频响函数矩阵为一2×2

方阵，其表达式为：

图1 两自由度振动系统

21()()H K M j C ωωω-=-+，其中M=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡7 0 0 105；C=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 1.15 1.15- 1.15-

15.1；K=

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡410 410- 410 - 10410； （2.1）

写成矩阵形式：

（2.2）

3．频响函数的模态展式矩阵

1）求解瑞利阻尼矩阵

由于粘性阻尼矩阵C 无法进行正交性对角化，故不能直接应用坐标变换将（1.3）解耦。由于在该题中，粘性阻尼相对很小，对于小阻尼振动系统，可以利用瑞利比例阻尼来代替粘性阻尼，以获得可对角化的阻尼矩阵。

（1）瑞利比例阻尼系数的确定

瑞利比例阻尼：K +M =βαC ，其中⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡410 410- 410 - 10410；a 、β 为瑞利比例阻尼系数

瑞利比例阻尼系数存在以下关系：

11

122

2

2222βωα

ξωβωαξ

ω⎧+=⎪⎪⎨

⎪+=⎪⎩，其中i ω为圆频率i i f πω2=（i f 为系统固有频率，书中表示为i 0ω）；i ξ为阻

尼比i i

i 0=ωσξ

将上式写为矩阵形式：

111222

1

22122ωωξαξωβω⎡⎤

⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦

可得：

1

1112221

221

22ωωξαξβωω-⎡⎤

⎢⎥⎡⎤

⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎢⎥⎣⎦

，其中、i i f πω2=，i i

i 0=ωσξ （3.1）

由此可知，只要我们确定了一个系统任意两阶的固有频率及其阻尼比，就可以确定出瑞利比例阻尼

系数，从而得到瑞利比例阻尼矩阵。

（2）求该二阶系统的一、二阶固有频率及其阻尼比

利用求解该系统振动微分方程()M x C x Kx f t ∙∙

∙

++=的特征值i λ来确定固有频率及其阻尼比。由书P23（1.4-43）-（1.4-46）公式为求解步骤，下面利用Matlab 来计算固有频率i 0ω和阻尼比i ξ： 编写Matlab 程序polynomial.m 求特征方程，程序如下：

syms x;

m 1=105; m2=7; k1=10000; k2=410; c2=1.15; M=[m1 0;