史密斯圆图简介

史密斯圆图（Smith chart ）分析长线的工作状态离不开计算阻抗、反射系数等参数，会遇到大量繁琐的复数运算，在计算机技术还未广泛应用的过去，图解法就是常用的手段之一。

在天线和微波工程设计中，经常会用到各种图形曲线，它们既简便直观，又具有足够的准确度，即使计算机技术广泛应用的今天，它们仍然对天线和微波工程设计有着重要的影响作用。

Smith chart 就是其中最常用一种。

1、Smith chart 的构成在Smith chart 中反射系数和阻抗一一对应；Smith chart 包含两部分，一部分是阻抗Smith 圆图（Z-Smith chart ），它由等反射系数圆和阻抗圆图构成；另外一部分是导纳Smith 圆图（Y-Smith chart ），它由等反射系数圆和导纳圆图构成；它们共同构成YZ-Smith chart 。

阻抗圆图又由电阻和电抗两部分构成，导纳圆图由电导和电纳构成。

1.1 等反射系数圆在如图1所示的带负载的传输线电路图中，由长线理论的知识我们可以得到负载处的反射系数0Γ为：000000Lj L u v L Z Z j eZ Z θ-Γ==Γ+Γ=Γ+ 其中00arctan(/)Lv u θ=ΓΓ。

图1 带负载的传输线电路图在离负载距离为z 处的反射系数Γ为：2000L j j z in u v in Z Z j e eZ Z θβ--Γ==Γ+Γ=Γ+ 其中220u v Γ=Γ+Γ，arctan(/)L v u θ=ΓΓ。

椐此我们用极坐标当负载和传输线的特征阻抗确定下来之后，传输线上不同位置处的反射系数辐值（1Γ≤）将不再改变，而变得只是反射系数的辐角；辐角的变化为2z β-∆，传输线上的位置向负载方向移动时，辐角逆时针转动，向波源方向移动时，辐角向顺时针方向转动，如图2所示。

图2 等反射系数圆传输线上不同位置处的反射系数的辐角变化只与2z β-，其中传波常数2/p βπλ=，所以Γ是一个周期为0.5p λ的周期性函数。

1.2 阻抗圆图根据传输线理论我们可以得到如下公式，我们把阻抗写成反射系数的函数：11()11u vin u v j Z z R jX j +Γ+Γ+Γ=+==-Γ-Γ-Γ将上式写成实部和虚部分开的形式得：22222212()(1)(1)u v vin u v u v Z z R jX j -Γ-ΓΓ=+=+-Γ+Γ-Γ+Γ 实部分别相等得：22221(1)u v u v R -Γ-Γ=-Γ+Γ 可以进一步化为下边这种形式：2221()()11u v R R RΓ-+Γ=++ 可以明显的看出来，它是标准的圆的方程。

同样，分别相等得：222(1)vu v X Γ=-Γ+Γ 可以进一步化为标准圆的方程的形式：22211(1)()()u v X XΓ-+Γ-=最后我们得到了输入阻抗与反射系数一一对应的关系！1.2.1 等电阻圆图将电阻与反射系数的关系在直角坐标系中画出来，我们便得到了等电阻圆图，如图3所示。

我们根据式子2221()()11u v R R RΓ-+Γ=++ 取几个R 的值，画出它与等反射系数的关系图：R0 1/3 1 3 ∞圆心坐标 （0，0） （1/4，0） （1/2，0） （3/4，0） （1，0）半径13/41/21/4图3. 等电阻圆图1.2.2 等电抗圆图同样，将电抗与反射系数的关系在直角坐标系中画出来，我们便得到了等电阻圆图，如图4所示。

我们根据式子22211(1)()()u v X XΓ-+Γ-= 取几个X 的值，画出它与等反射系数的关系图：X1/313∞圆心坐标 （1，∞） （1，3） （1，1） （1，1/3） （1，0）半径 ∞3 1 1/3 0图4 等电抗圆图因为1Γ≤，等电抗圆图应该不超出1Γ=的范围，图中我们把超出的部分去掉了。

1.2.3 阻抗圆图（ Z-Smith chart ）将电抗圆图和电阻圆图画在同一个坐标图中就构成了阻抗圆图（ Z-Smith chart ），如下图图5所示：图5. 阻抗圆图（ Z-Smith chart ）图中阻抗和反射系数一一对应！阻抗圆图为串联电路提供了较大的方便，为了使并联电路也能够同样方便，下边我们引出导纳圆图（Y-Smith chart ）。

1.3 导纳圆图（Y-Smith chart ）根据导纳的定义我们可以得到以下的式子：111()()11j in j in e Y z G jB Z z e ππ---Γ+Γ=+===+Γ-Γ将其和输入阻抗与反射系数的式子作比较：1()1j in j e Y z G jB e ππ--+Γ=+=-Γ1()1in Z z R jX +Γ=+=-Γ从中我们可以看出，导纳和反射系数的关系式与阻抗和反射系数的关系式具有相同的形式，不同的仅仅是()inYz 的反射系数比()in Z z 中的反射系数多了一个j e π-，那也就是说，只要将阻抗圆图的复平面逆时针旋转180度既得到了导纳圆图（Y-Smith chart），如下图图6所示。

YZ-Smith chart图6 .Z-Smith chart、Y-Smith chart、YZ-Smith chart1.4 YZ-Smith chart如图6所示将阻抗圆图（Z-Smith chart）和导纳圆图（Y-Smith chart）画在同一个坐标系中就构成了YZ-Smith chart。

它不仅为串联电路提供了极大的方便，同时它也为并联电路提供了极大的方便。

2、Smith chart 的特点从Smith chart 我们不仅可以简化计算，同时还它还可以帮助我们理好的理解长线理论中的概念的现实含义以及它本身。

由于纳圆图（Y-Smith chart ）与阻抗圆图（Z-Smith chart ）有简单的对应关系，所以下边我们仅对阻抗圆图（Z-Smith chart ）的特点作一个归纳。

如下图图7所示，阻抗圆图可以提供四个数据：X 、R 、Γ和相位θ；在横坐标上半部分电抗呈感性，横坐标下半部分电抗呈容性；在坐标为（1，0）处表示传输线终端呈开路（开路点）；（-1，0）对应于终端短路点；开路点与短路点之间相差π相位；电压波腹都落在正的横坐标轴，电压波节落在负的横坐标轴上；处于最外边的圆（1Γ=）代表驻波状态，其上半个圆代表纯电感，其下半圆代表纯电容；坐标原点代表阻抗匹配点（0Γ=）。

图7. 阻抗圆图特性3、Smith chart 的应用因为Smith chart 图一个最大的特点是()in Z z 与Γ的一一对应，所以它最大一个应用就是通过()in Z z （()inY z ）求Γ，或是通过Γ求()in Z z ，其是Γ包含辐度与辐角两部分，()in Z z （()in Y z ）包含电阻与电抗（电导G 与电纳B ）两部分。

它在用于求解电路时，又分为两部分，一部分是串联电路，主要用Z-Smith 求解，另一部分是并联电路，主要用Y-Smith 求解；下边我们就从这几个方面举例说明圆圆的用法。

3.1 ()inZ z 与Γ的一一对应例1、已知长线的特性阻抗050Z =Ω，终端接负载阻抗16.7150L Z j =+Ω，求终端电压反射系数。

图8（1）计算归一化负载阻抗值。

016.71500.33350L L Z jZ jZ +===+ 在阻抗图上找到0.33,3R X ==和两圆的交点A ，A 点即为L Z 在圆图中的位置。

（2）确定终端反射系数的模LΓ。

通过A 点的反射系数圆与右半段纯电阻线交于B 点。

B 点归一化阻抗0.72R =即为驻波比ρ值，因此LΓ等于13610.941361L ρρ--Γ===++ （3）确定终端反射系数的相角θ。

延长射线OA ，即可读得向波源方向的波长数的标度为0.20，则Lθ对应的波长数变化量为()()0.250.200.05B A zz zλλλ∆=-=-= 对应的Lθ的度数为0.05360=360.50L θ=⨯故终端电压反射系数为 36=0.94j L e Γ3.2 元件的串联例2、如下图所示，终端负载1025L Z j =+Ω，传输线的特征阻抗50o Z =Ω，其它参数如电路图中所示，求波源输入端的输入阻抗in Z 和电压反射系数inΓ。

下边我们将用电子版的Z-Smith 来解这个问题，这可以省去读纸版图中数据的麻烦，我们使用的软件是Smith v2.0。

（1） 为了避免计算归一化阻抗的麻烦，一开始就可以设传输线的特征阻抗，我们设为50oZ =Ω。

（2） 在Z-Smith 中找到1025LZ j =+Ω，如点1所示。

（3） 对应00.400,50Z λ=Ω长为的传输线，将点1在极坐标中顺时针方向转0.400360=2880.5λλ⨯，至点2，如图所示。

（4） 对应于纯电阻26.2Ω，将点2在等电抗的圆弧上向电阻增大的方向移动，移动增量为26.2Ω，至点3，如图所示。

（5） 对应于纯电感41j Ω，将点3在等电阻的圆弧上向电抗增大的方向移动，移动增量为41Ω，至点4，如图所示。

（6） 对应于00.300,50Z λ=Ω长为的传输线，将点4在极坐标中顺时针方向转0.300360=2160.5λλ⨯，至点5，如图所示。

（7） 对应于对应于纯电容27.4j -Ω，将点5在等电阻的圆弧上向电抗减小的方向移动，移动增量为27.4Ω，至点6，如图所示。

（8） 根据点6所在的位置就可以读出输入阻抗25.946.0inZ j =-Ω 电压反射系数86.50.58j ine -Γ=图9. 串联电路的计算3.3 元件的并联例3、如下图所示，终端负载0.0040.010LY j S =-，传输线的特征阻抗50o Z =Ω（0.02oY S =），其它参数如电路图中所示，求波源输入端的输入导纳in Y （输入阻抗in Z ）和电压反射系数inΓ。

同样，我们用电子版的Y-Smith 对其进行求解：（1） 在图中找到点0.0040.010LY j S =-，如图中点1所示。

（2） 对应于并联的电容0.005j S -，在等电导圆的圆弧上向电纳减小的方向移动，移动的增量为0.005S ，至点2。

（3） 对应于并联的电导0.011S ，在等电纳圆的圆弧上向电阻增大的方向移动，移动增量为0.011S ，至点3.（4） 对应于并联的电感0.037j S -，在等电导圆的圆弧上向电纳减小的方向移动，移动增量为0.037S ，至点4.（5） 根据点4所在的位置就可以读出输入导纳为Y 0.015j0.032in S =-（12.325.2?in Z j =-Ω） 电压反射系数124.10.67j in e -Γ=图10. 并联电路的计算3.4 元件的串联与并联例4、如下图所示，终端为短路传输线，传输线的特征阻抗50oZ =Ω，其它参数如电路图中所示，求波源输入端的输入阻抗in Z 和电压反射系数inΓ。