史密斯圆图简介

史密斯圆图（Smith chart ）

分析长线的工作状态离不开计算阻抗、反射系数等参数，会遇到大量繁琐的复数运算，在计算机技术还未广泛应用的过去，图解法就是常用的手段之一。在天线和微波工程设计中，经常会用到各种图形曲线，它们既简便直观，又具有足够的准确度，即使计算机技术广泛应用的今天，它们仍然对天线和微波工程设计有着重要的影响作用。Smith chart 就是其中最常用一种。

1、Smith chart 的构成

在Smith chart 中反射系数和阻抗一一对应；Smith chart 包含两部分，一部分是阻抗Smith 圆图（Z-Smith chart ），它由等反射系数圆和阻抗圆图构成；另外一部分是导纳Smith 圆图（Y-Smith chart ），它由等反射系数圆和导纳圆图构成；它们共同构成YZ-Smith chart 。阻抗圆图又由电阻和电抗两部分构成，导纳圆图由电导和电纳构成。

1.1 等反射系数圆

在如图1所示的带负载的传输线电路图中，由长线理论的知识我们可以得到负载处的反射系数0

Γ为：

000000

L

j L u v L Z Z j e

Z Z θ-Γ==Γ+Γ=Γ+ 其中00arctan(/)L

v u θ

=ΓΓ。

图1 带负载的传输线电路图

在离负载距离为z 处的反射系数Γ为：

2000

L j j z in u v in Z Z j e e

Z Z θβ--Γ==Γ+Γ=Γ+ 其中220

u v Γ

=Γ+Γ，arctan(/)L v u θ=ΓΓ。椐此我们用极坐标

当负载和传输线的特征阻抗确定下来之后，传输线上不同位置处的反射系数辐值（1Γ≤）将不再改变，而变得只是反射系数的辐角；辐角的变化为2z β-∆，传输线上的位置向负载方向移动时，辐角逆时针转动，向波源方向移动时，辐角向顺时针方向转动，如图2所示。

图2 等反射系数圆

传输线上不同位置处的反射系数的辐角变化只与2z β-，其中传波常数

2/p βπλ=，所以Γ是一个周期为0.5p λ的周期性函数。

1.2 阻抗圆图

根据传输线理论我们可以得到如下公式，我们把阻抗写成反射系数的函数：

11()11u v

in u v j Z z R jX j +Γ+Γ+Γ=+==

-Γ-Γ-Γ

将上式写成实部和虚部分开的形式得：

2222

22

12()(1)(1)u v v

in u v u v Z z R jX j -Γ-ΓΓ=+=+-Γ+Γ-Γ+Γ 实部分别相等得：

2222

1(1)u v u v R -Γ-Γ=

-Γ+Γ 可以进一步化为下边这种形式：

22

21()()

11u v R R R

Γ-+Γ=++ 可以明显的看出来，它是标准的圆的方程。

同样，分别相等得：

22

2(1)v

u v X Γ=

-Γ+Γ 可以进一步化为标准圆的方程的形式：

2

2211(1)()()

u v X X

Γ-+Γ-=

最后我们得到了输入阻抗与反射系数一一对应的关系！

1.2.1 等电阻圆图

将电阻与反射系数的关系在直角坐标系中画出来，我们便得到了等电阻圆图，如图3所示。

我们根据式子

22

21()()

11u v R R R

Γ-+Γ=++ 取几个R 的值，画出它与等反射系数的关系图：

R

0 1/3 1 3 ∞

圆心坐标 （0，0） （1/4，0） （1/2，0） （3/4，0） （1，0）

半径

1

3/4

1/2

1/4

图3. 等电阻圆图

1.2.2 等电抗圆图

同样，将电抗与反射系数的关系在直角坐标系中画出来，我们便得到了等电阻圆图，如图4所示。

我们根据式子

22211(1)()()u v X X

Γ-+Γ-

= 取几个X 的值，画出它与等反射系数的关系图：

X

1/3

1

3

∞

圆心坐标 （1，∞） （1，3） （1，1） （1，1/3） （1，0）

半径 ∞

3 1 1/3 0

图4 等电抗圆图

因为1Γ

≤，等电抗圆图应该不超出1Γ=的范围，图中我们把超出的部分去

掉了。

1.2.3 阻抗圆图（ Z-Smith chart ）

将电抗圆图和电阻圆图画在同一个坐标图中就构成了阻抗圆图（ Z-Smith chart ），如下图图5所示：

图5. 阻抗圆图（ Z-Smith chart ）

图中阻抗和反射系数一一对应！阻抗圆图为串联电路提供了较大的方便，为了使并联电路也能够同样方便，下边我们引出导纳圆图（Y-Smith chart ）。

1.3 导纳圆图（Y-Smith chart ）

根据导纳的定义我们可以得到以下的式子：

111()()11j in j in e Y z G jB Z z e ππ---Γ+Γ=+===

+Γ-Γ

将其和输入阻抗与反射系数的式子作比较：

1()1j in j e Y z G jB e ππ--+Γ=+=

-Γ

1()1in Z z R jX +Γ=+=

-Γ

从中我们可以看出，导纳和反射系数的关系式与阻抗和反射系数的关系式具有相同的形式，不同的仅仅是()in

Y

z 的反射系数比()in Z z 中的反射系数多了一个

j e π-，那也就是说，只要将阻抗圆图的复平面逆时针旋转

180度既得到了导纳