初中数学二次函数题型-对称轴、顶点、最值
初中数学知识点二次函数顶点坐标公式
初中数学知识点二次函数顶点坐标公式二次函数顶点坐标公式是二次函数的重要知识点，它能够帮助我们快速确定二次函数的顶点坐标。
下面是关于二次函数顶点坐标公式的详细解析。
首先，我们需要了解什么是二次函数。
二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，可以向上开口（抛物线开口向上）或向下开口（抛物线开口向下）。
顶点是二次函数图像的最高点（开口向下的情况下是最低点），也是二次函数的特殊点之一、顶点坐标公式可以用来计算二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标公式如下：对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a≠0顶点的x坐标：x=-b/(2a)顶点的y坐标：y=f(x)其中f(x)表示二次函数的值。
接下来，我们来详细说明如何使用二次函数顶点坐标公式。
首先，我们需要确定二次函数的系数a、b、c的值。
假设我们有一个二次函数y=2x²-4x+3，现在要计算它的顶点坐标。
根据顶点坐标公式，我们首先计算顶点的x坐标：x=-b/(2a)。
在这个例子中，a=2，b=-4，所以我们有x=-(-4)/(2*2)=4/4=1然后，我们计算顶点的y坐标。
将x=1代入二次函数y=2x²-4x+3中计算y的值。
y=2*1²-4*1+3=2-4+3=1所以，这个二次函数的顶点坐标为(1,1)。
通过这个例子，我们可以看到如何使用二次函数顶点坐标公式来计算二次函数的顶点坐标。
除了顶点坐标公式，还有一些与二次函数有关的知识点需要了解。
1.二次函数的开口方向：二次函数的系数a的正负决定了二次函数的开口方向。
当a>0时，二次函数的抛物线开口向上；当a<0时，二次函数的抛物线开口向下。
2.二次函数的轴对称性：二次函数的图像在其顶点处有轴对称性。
也就是说，对于二次函数y=ax²+bx+c，其中a≠0，二次函数的图像关于直线x=-b / (2a)对称。
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
中考数学复习指导：如何求解二次函数最值不在顶点处的问题
如何求解二次函数最值不在顶点处的问题如何求解二次函数最值不在顶点处的问题有一类二次函数的最值问题，它的自变量x 的取值范围为全体实数中的“某一段”，欲解x 的这段范围内的函数最值问题，应视情况而定：当x 的“某一段”范围分布在对称轴的两侧时，函数最值就是二次函数的最值；当x 的“某一段”范围分布在对称轴的左侧或右侧时，要根据对称轴两侧二次函数的增减性来确定最值，常常在“端点”处的纵坐标值就是此段范围内的函数的最大值或最小值．例1 当－2≤x ≤1时，二次函数y =－(x －m )2 + m 2 + 1有最大值4，则实数m 的值为( )(A) －74 (B)(C) 2 或－74分析 这里，二次函数中自变量x 的范围不是一切实数，而是实数范围中的“某一段”．x 的“某一段”有可能在对称轴x = m 的左侧，也有可能在直线x = m 的右侧，也有可能在直线x = m 的两侧．此三种情况均可画出对应的“草图”以增强问题分析的直观性． 解 抛物线开口向上，对称轴为直线x = m ．① x 的“某一段”分布在对称轴的右侧即m <－2，如图1，函数值y 随x 的增大而减小，所以当x =－2时函数值最大，即 －(－2－m )2 + m 2 + 1=4．解得m =－74，这与m <－2相矛盾，故此种情形不存在． ② x 的“某一段”分布在对称轴的两侧即－2≤m ≤1，如图2，当x = m 时函数值最大，即为二次函数的最大值，即 m 2 + 1=4．解得m =，但m 舍去．③ x 的“某一段”分布在对称轴的左侧即m >1，如图3，函数值y 随x 的增大而增大，所以当x = 1时函数值最大，即－(1－m )2 + m 2 + 1=4，解得m =2．综上，m 的值为2．故选C ．评注 情况①③的对称轴都没有在指定的x 的取值范围内，所以两种情况下的最值求解，依据的是二次函数对称轴一侧的增减性，而不是利用的最值公式；情况②的对称轴在指定的x 的范围内，最值为二次函数在全体实数范围内的最值．例2 已知二次函数y = x 2 + bx + c (b ，c 为常数)．(1) 当b =2，c =－3时，求二次函数的最小值；(2) 当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(3) 当c =b 2时，若在自变量x 的值满足b ≤x ≤b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．分析 第(1) 问求二次函数在全体实数范围内的最值，利用的是最值公式．第(2) 问根据已知条件，可得关于x 的方程x 2 + bx + 4=0，利用判别式=0，得b =±4． 第(3) 问抛物线开口方向向上，与y 轴的交点 (0，c 2) 在y 轴的正半轴上，据此画出“草图”．抛物线与x 轴的交点有可能都落在x 轴的正半轴上，也有可能都落在x 轴的负半轴上；又因函数的最小值是指定自变量x 范围内的最小值，应从自变量x 的指定范围与对称轴x =－2b 的位置关系的三种情况出发逐一分析． 解 (1) y 最小=241(3)241××−−×=－4．(2) 由题意，得x 2 + bx + 4=0，方程有两个相等的实数根，故△=b 2－4×1×4=0，解得b =±4．所以二次函数的解析式为y = x 2 + 4x + 5，或y = x 2－4x + 5．(3) y =x 2 + bx + b 2，对称轴x =－2b 与x 指定范围的位置关系有三种情况： (i) 当b ≤x ≤b +3分布在对称轴x =－2b 的右侧时，则 －2b <b ，得b >0． 对称轴右侧的函数值y 随x 值的增大而增大，当x =b 时函数值最小，即b 2+b 2+b 2=21，解得b=但b=b(ii) 当b ≤x ≤b + 3分布在对称轴x =－2b 的左侧时，有 －2b>b + 3，得b <－2．对称轴左侧的函数值y 随x 值的增大而减小，当x =b +3时函数值最小，即 (b + 3)2 + b (b + 3) + b 2=21，解得b =－4，b =1．但b=1舍去，所以b =－4．(iii) 当b ≤x ≤b + 3分布在对称轴x =－2b 的两侧时，有 6<－2b <b +3，得－2<b <0． 此时，抛物线顶点纵坐标的值即为最小值，即2244b b −=21整理，得b 2=28，解得b =±但b=±综上，得y = x 2 x + 7，或y = x 2－4x +16．总之，求二次函数的最值，必须根据其自变量的取值范围进行分析和讨论．。
专题06二次函数的图象与性质(1)(5个知识点4种题型1个易错点)原卷版-初中数学北师大版9年级上册
专题06二次函数的图象与性质（1）（5个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数2x y =与2x y -=的图象及性质知识点2.二次函数)0(2≠=a ax y 的图象及性质（重点）知识点3.二次函数)0(2≠+=a k ax y 的图象及性质（重点）知识点4.二次函数)0()(2≠-=a h x a y 的图象与性质（重点）知识点5.二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象与性质（重点）【方法二】实例探索法题型1.判断二次函数图象的开口大小题型2.二次函数与一次函数的综合题型3.画二次函数的图象题型4.二次函数与几何图形的综合【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数a 的作用【方法四】成果评定法【学习目标】1.掌握二次函数)0(),0(,222≠+=≠==a c ax y a ax y x y 图象的画法及性质，并了解三个函数之间的关系。
2.掌握二次函数)0()(),0()(22≠+-=≠-=a k h x a y a h x a y 图象的画法及性质，并了解)0()()0(22≠+-=≠=a k h x a y a ax y 与图象之间的关系。
3.能灵活运用二次函数)0(2≠=a ax y 与)0()(2≠+-=a k h x a y 图象之间的关系解决问题。
4.重点：二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 图象的画法及性质5.难点：二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y性质的应用【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数2x y =与2x y -=的图象及性质二次函数y ＝±x 2的图象与性质抛物线y ＝x 2y ＝－x2顶点坐标(0，0)(0，0)对称轴y 轴y 轴开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小最值当x ＝0时，有最小值0当x ＝0时，有最大值0【例1】已知二次函数y ＝x 2的图象与直线y ＝x ＋2的图象如图所示.(1)判断y ＝x 2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)设直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝x 2的交点分别为A ，B ，如图所示，试确定A ，B 两点的坐标；(3)连接OA ，OB ，求△AOB 的面积.【变式】已知二次函数y ＝x 2，当－1≤x ≤2时，求函数y 的最小值和最大值.小王的解答过程如下：解：当x＝－1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4.小王的解答过程正确吗?如果不正确，写出正确的解答过程.【例2】观察二次函数y＝－x2的图象，请问：(1)什么时候y随x的增大而增大?什么时候y随x的增大而减小?(2)什么时候函数有最大值或最小值?其最大值或最小值是多少?【变式】函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝x－2交于点(1，b).(1)求a，b的值.(2)x取何值时，y随x的增大而增大?知识点2.二次函数)0axy的图象及性质（重点）=a(2≠二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a│越小，开口越大， 图象两边越靠近x 轴.【例3】．（2023秋•普陀区期末）下列关于抛物线y ＝2x 2和抛物线y ＝﹣2x 2的说法中，不正确的是（）A ．对称轴都是y 轴B ．在y 轴左侧的部分都是上升的C ．开口方向相反D ．顶点都是原点【变式】．（2023秋•琼山区校级期中）已知抛物线y ＝（3m ﹣1）x 2的开口向下，则m 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．知识点3.二次函数)0(2≠+=a k ax y 的图象及性质（重点）关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>>2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当0x>时，y随x的增大而增大；当0x<时，y随x的增大而减小.当0x>时，y随x的增大而减小；当0x<时，y随x的增大而增大.最大（小）值当0x=时，y c=最小值当0x=时，y c=最大值【例4】．（2023秋•日喀则市期末）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．知识点4.二次函数)0()(2≠-=ahxay的图象与性质（重点）一般地，二次函数()2y a x m=+的图像是抛物线，称为抛物线()2y a x m=+，它可以通过将抛物线2y ax=向左（0m>时）或向右（0m<时）平移m个单位得到．抛物线()2y a x m=+（其中a、m是常数，且0a≠）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x=-m；顶点坐标是（-m，0）．当0a>时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a<时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例5】．（2023秋•西昌市校级期末）y＝ax+b与y＝a（x+b）2在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．知识点5.二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象与性质（重点）二次函数()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的图像即抛物线()2y a x m k =++，可以通过将抛物线2y ax =进行两次平移得到．这两次平移可以是：先向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位，再向上（0k >时）或向下（0k <时）平移k 个单位．利用图形平移的性质，可知：抛物线()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的对称轴是经过点（m -，0）且平行于y 轴的直线，即直线x =m -；抛物线的顶点坐标是（m -，k ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例6】．（2022秋•环江县期末）二次函数y ＝2（x +2）2﹣1的图象是（）A ．B ．C ．D ．【变式1】．（2023•长兴县一模）抛物线y ＝2（x +9）2﹣3的顶点坐标是（）A ．（9，3）B ．（9，﹣3）C ．（﹣9，3）D ．（﹣9，﹣3）【变式2】．（2023秋•西山区校级月考）在直角坐标系中，将抛物线y ＝﹣2x 2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为（）A ．y ＝﹣2（x +1）2﹣2B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+2C ．y ＝﹣2（x +2）2﹣1D ．y ＝﹣2（x ﹣2）2+1【方法二】实例探索法题型1.判断二次函数图象的开口大小1.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数212y x =、22y x =的图像；（2）函数212y x =、22y x =的图像与函数2y x =的图像，有何异同？2.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像；（2）函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像与函数2y x =、212y x =、22y x =的图像有何异同？题型2.二次函数与一次函数的综合3.已知直线423y x =+上有两个点A 、B ，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线2y ax =也经过点A ，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B 吗？请说出你的理由．4.物线2=与直线23y ax=-交于点（1，b）．y x（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．题型3.画二次函数的图象(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）--，是否在这个函数图象上，说明理由．(2)判断点(24)y=时对应的函数图象在第一象限的点的坐标．(3)求当4题型4.二次函数与几何图形的综合6.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数a 的作用7.抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，则a 的值为______．【方法四】成果评定法一．选择题（共9小题）1．（2023秋•长春期末）若点A 在二次函数2(5)4y x =--图象的对称轴上，则点A 的坐标可能是()A ．(5,0)-B ．(5,0)C ．(0,4)D ．(0,4)-2．（2023秋•新宾县期末）抛物线221y x =-+通过变换可以得到抛物线22(1)3y x =-++，以下变换过程正确的是()A ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位3．（2023秋•西城区校级月考）已知点1(3,)A y -，2(1,)B y ，3(4,)C y 在抛物线2(2)y x k =--+上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是()A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<4．（2023秋•绿园区期末）二次函数24(2)5y x =---的顶点坐标是()A ．(2,5)-B ．(2,5)C ．(2,5)--D ．(2,5)-5．（2022秋•上虞区期末）已知二次函数22y ax c =+，当2x =时，函数值等于8，则下列关于a ，c 的关系式中，正确的是()A ．28a c +=B ．24a c +=C ．28a c -=D ．24a c -=6．（2022秋•东阿县期末）已知1a >，点1(1,)A a y -，2(,)B a y ，3(1,)C a y +都在二次函数22y x =-的图象上，则()A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．213y y y <<7．（2022秋•柯城区期末）将抛物线23y x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为()A ．23(1)2y x =-++B ．23(1)2y x =---C ．23(1)2y x =-+-D ．23(1)2y x =--+8．（2023秋•明光市期中）抛物线23y x =--的顶点坐标为()A ．(3,1)--B ．(1,3)--C ．(0,3)-D ．(2,3)-9．（2022秋•抚松县期末）已知二次函数2()1y x a =-+，当12x -时，y 的最小值为1a +，则a 的值为()A ．0或1B ．0或4C ．1或4D ．0或1或4二．填空题（共8小题）10．（2023秋•日喀则市期末）抛物线2(1)2y x =++的顶点坐标为．11．（2023秋•西城区校级月考）将二次函数y ＝2x 2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是．12．（2023秋•普陀区期末）如图，抛物线24y x x =-+的顶点为P ，M 为对称轴上一点，如果PM OM =，那么点M 的坐标是．13．（2023秋•普陀区期末）已知点A 在抛物线2(1)2y x =-+上，点A '与点A 关于此抛物线的对称轴对称，如果点A 的横坐标是1-，那么点A '的坐标是．14．（2023秋•徐汇区期末）将抛物线2y x =-向右平移后，所得新抛物线的顶点是B ，新抛物线与原抛物线交于点A （如图所示），联结OA 、AB ，如果AOB ∆是等边三角形，那么点B 的坐标是．15．（2023秋•宣化区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(1,1)、(1,4)、(4,4)．若抛物线2y ax =的图象与正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是．16．（2022秋•松北区校级期末）二次函数2(1)5y x =-++的最大值是．17．（2022秋•凤山县期末）如图，把抛物线22y x =向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到抛物线l ，抛物线l 的顶点为P ，它的对称轴与抛物线22y x =交于点Q ，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共5小题）18．（2022秋•东阿县期末）如图，A ，B ，C ，D 四点在抛物线2y ax =上，且////AB CD x 轴，与y 轴的交点分别为E ，F ，已知20AB =，10CD =，3EF =，求a 的值及OF 的长．19．（2023秋•琼山区校级期中）已知如图所示，直线l 经过点(4,0)A 和(0,4)B ，它与抛物线2y ax =在第一象限内交于点P ，且AOP ∆的面积为4．（1）求直线AB 的表达式；（2）求a 的值．20．（2023秋•安庆期中）平移抛物线212y x =，使顶点坐标为2(,)t t ，并且经过点(2,4)，求平移后抛物线对应的函数表达式．21．（2022秋•运城期末）探究二次函数22(3)1y x =--及其图象的性质，请填空：①图象的开口方向是；②图象的对称轴为直线；③图象与y 轴的交点坐标为；④当x =时，函数y 有最小值，最小值为．22．（2022秋•霍邱县期末）已知抛物线2(1)y a x h =-+，经过点(0,3)-和(3,0)．（1）求a 、h 的值；（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．。
2024河南中考数学备考专题：二次函数图象与性质综合题 对称性、增减性、最值问题
∴抛物线的顶点坐标为(t，－t)；
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－t.
(2)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线上，其中t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t.
①若y1的最小值是－2，求y1的最大值；
画出草图，标出对称轴
t－1≤x1≤t＋2与对称轴的关系？ 从图像发现了什么? 最大值在哪取？
(2)求抛物线上动点Q纵坐
题
类讨论点M，N的坐标；根据
标的取值范围
二次函数增减性确定最值
典例精讲
例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－t.
(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)； 看到这个能想到什么？
解：(1)∵y＝x2－2tx＋t2－t＝(x－t)2－t，
完全平方式
一题多解
点C(0，c)
B( 0)
c 2
，
已知A(1，0)
将已知点坐标代入抛物线解析式
练习 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－4ax＋c
(a＜0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C.
(2)若点P(x0，m),Q(
5 2
，n)在抛物线上，且m＜n，求x0的取值范围．
第一步： 画出草图
2024中考备考重难专题课件
二次函数图象与性质综合题
对称性、增减性、最值问题
目 录
1 典例精讲 2 课堂练兵 3 课后小练
考情分析
年份 题号 题型 分值
解题关键点
设问形式
(1)将B(0，c)转化为A(c，0)
(1)求抛物线的解析式及
解
(2)根据抛物线上点与对称轴的
顶点坐标；
2023 21 答 10 距离，判断出点M的位置；分
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是抛物线，开口向上或向下，其顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二、二次函数的性质1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a。
3. 最值：当a>0时，二次函数的最值为最小值，为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最值为最大值，为c-b²/4a。
4. 零点：二次函数的零点为x轴与函数图像的交点，是方程ax²+bx+c=0的解。
三、二次函数的图像1. 开口向上的二次函数图像是上凹的抛物线，最值为最小值。
2、开口向下的二次函数图像是下凹的抛物线，最值为最大值。
四、二次函数的相关变形1. 二次函数的平移：y=ax²+bx+c中，整体向左平移h个单位，变为y=a(x+h)²+bx+c；整体向下平移k个单位，变为y=a(x)²+bx+(c-k)。
2. 二次函数的垂直缩放：y=ax²+bx+c中，整体向上缩放k倍，变为y=(ak)x²+bx+c。
3. 二次函数的水平缩放：y=ax²+bx+c中，整体水平缩放k倍，变为y=ax²+(bk)x+c。
五、求解二次函数的相关问题1. 求二次函数的零点：利用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a可以求得二次函数的零点。
2. 求二次函数的最值：通过对称轴和顶点坐标的关系，可以求得二次函数的最值。
3. 求二次函数的图像与坐标轴的交点：将函数代入x=0和y=0可以求得函数与坐标轴的交点。
六、二次函数的应用1. 生活中的应用：抛物线运动、拱桥结构、水流下落等。
2. 数学解题中的应用：解方程、求最值、求零点等。
专题07二次函数的图象与性质(2)(4个知识点2种题型1个易错点)原卷版-初中数学北师大版9年级上册
专题07二次函数的图象与性质（2）（4个知识点2种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象及性质（重点难点）【方法二】实例探索法题型1.由抛物线的顶点坐标、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围题型2.二次函数的增减性问题题型3.抛物线的对称性题型4.根据条件确定参数的取值范围题型5.二次函数与其他函数相结合的双图象问题题型6.二次函数图象与图形的综合【方法三】差异对比法易错点：不能根据二次函数的各项系数确定二次函数的大致图象【方法四】成果评定法【学习目标】1.掌握二函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的画法及性质。
2.会计算二次函数图象)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标，图象的开口方向，图象的对称轴。
3.会用二次函数的图象与性质解决相关的计算题。
4.重点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象及性质。
5.难点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 性质的应用。
【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象及性质（重点难点）二次函数2y ax bx c =++的图像称为抛物线2y ax bx c =++，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．任意一个二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）都可以运用配方法，把它的解析式化为()2y a x m k =++的形式．对2y ax bx c =++配方得：22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭．由此可知：抛物线2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是（2ba-，244ac b a-）．当0a >时，抛物线2y ax bx c =++开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线2b x a=-）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当0a <时，抛物线2y ax bx c =++开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线2bx a =-）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．【例1】对于二次函数2288y x x =-+-：（1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？（2）求出此抛物线与x 、y 轴的交点坐标；（3）当x 取何值时，y 随着x 的增大而减小．【变式1】.已知二次函数2y ax bx c =++，若0a <，0b <，0c >，那么它的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．xy xy xy xy【变式2】二次函数2y ax bx c =++中，0a >，0b <，0c =，则其图像的顶点在第____象限．【方法二】实例探索法题型1.由抛物线的顶点坐标、对称轴及最值求字母或代数式的取值范围1．（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图像如图所示，对称轴为12x =，且经过点(2,0)，下列说法：①<0abc ；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若11,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、25,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的两点，则12y y =；⑤1()4b m am b >+（其中12m ≠），正确的结论有（）A ．②③④B ．①②⑤C ．①③⑤D ．①②④⑤题型2.二次函数的增减性问题2.已知抛物线()21y x =--，当x >1时，y 随着x 的增大而______；当x <1时，y 随着x 的增大而______．3.请选择一组a 、b 、c 的值，使二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像同时满足下列条件：当2x ≤时，y 随x 的增大而增大；当2x >时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是___________________．题型3.抛物线的对称性4.已知二次函数23(1)y x k =-+的图像上有A 2，y 1）、B （2，y 2）、C （5-，y 3）三个点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．312y y y >>D ．321y y y >>5.已知抛物线2y x mx n =-+-的对称轴为3x =-，且过点（0，4），求m 、n 的值．题型4.根据条件确定参数的取值范围6．（2023·安徽合肥·校考一模）已知抛物线245y ax ax =--，其中a 为常数，且0a ＞．(1)设此抛物线与y 轴的交点为A ，过点A 作y 轴的垂线交抛物线于另一点B ，求点B 的坐标；(2)若抛物线2y ax =先向右平移h 个单位长度，再向下平移3h 个单位长度后，可得抛物线245y ax ax =--，求a 的值；(3)已知点()1,M m y 、()25,N y 均在此抛物线上，且12y y <，求m 的取值范围．题型5.二次函数与其他函数相结合的双图象问题7.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．xyxyxyxy8.如图，已知二次函数()2y a x m =+与一次函数y ax m =+，它们在同一直角坐标系中的图像大致是（）xy OxyOxy Oxy OA ．B ．C ．D ．题型6.二次函数图象与图形的综合9.将抛物线244y x x =-+沿y 轴向下平移后，所得抛物线与x 轴交于点A 、B ，顶点为C ．如果ABC ∆是等腰直角三角形，求顶点C 的坐标．10．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考阶段练习）已知k 为任意实数，随着k 的变化，抛物线222(1)3y x k x k =--+-的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是___________．【方法三】差异对比法易错点：不能根据二次函数的各项系数确定二次函数的大致图象11.已知二次函数2y ax bx c =++，若0a <，0b <，0c >，那么它的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．xyxyxyxy【方法四】成果评定法一．选择题（共10小题）1．（2023秋•绿园区期末）若抛物线2y x bx c =++的对称轴为y 轴，且点(2,6)P 在该抛物线上，则c 的值为()A ．2-B ．0C ．2D ．42．（2022秋•孝义市期末）将抛物线244y x x =+-向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到抛物线的表达式为()A ．2(4)11y x =+-B ．2(4)5y x =+-C ．211y x =-D ．25y x =-3．（2023秋•庐阳区校级月考）已知二次函数2y ax bx c =++中的y 与x 的部分对应值如下表：x⋯1-012⋯y⋯5-131⋯则下列判断正确的是()A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当1x >时，y 随x 的增大而减小D ．方程20ax bx c ++=的正根在3与4之间4．（2022秋•姜堰区期末）将关于x 的函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象向下平移两个单位，以下说法错误的是()A ．开口方向不变B ．对称轴不变C ．与y 轴的交点不变D ．自变量x 的取值范围不变5．（2022秋•丹江口市期末）把二次函数211322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向左平移4个单位，则两次平移后的图象解析式是()A ．21(7)72y x =-++B ．21(3)42y x =-++C ．21(1)72y x =--+D ．21(1)12y x =--+6．（2023秋•克东县期末）点11(2,)P y -，22(2,)P y ，33(4,)P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是()A ．231y y y >>B ．213y y y >=C ．132y y y =>D ．123y y y =>7．（2022秋•东明县期末）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =，下列结论：①0abc >；②20a b +=；③420a b c ++>；④30a c +=，其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2023秋•明光市期中）如图，抛物线与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．若OA ＝OB ，则下列结论成立的是（）A ．4b ﹣c ＝1B ．b +4c ＝1C ．4b ﹣c ＝4D ．4b +c ＝49．（2022秋•桥西区期末）题目：“如图，抛物线2y x mx =+与直线y x b =-+相交于点(2,0)A 和点B ．点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围．”对于其答案，甲答：3M x =．乙答：12M x -<，丙答：12M x -<，丁答：12M x -，则正确的是()A ．只有甲答的对B ．甲、乙答案合在一起才完整C ．甲、丙答案合在一起才完整D ．甲、丁答案合在一起才完整10．（2022秋•安新县期末）在平面直角坐标系中，如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的一部分，给出下列命题：①50a b c ++=；②2b a >；③方程20ax bx c ++=的两根分别为3-和1；④240b ac ->，其中正确的命题有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共8小题）11．（2023秋•铁西区期末）二次函数269y x x =++的最小值是．12．（2023秋•闵行区月考）已知点1(1,)A y 和2(2,)B y 在二次函数22(0)y ax ax c a =++<图象上，则12y y -0．（填“>”、“<”或“=”)13．（2023秋•雁塔区校级月考）若1231(,),(1,),(2,)2A yB yC y -三点都在二次函数24(0)y ax ax c a =-+>的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为．（用“<”连接）14．（2023秋•普陀区期末）已知二次函数232y x x m =++-的图象与y 轴的交点在正半轴上，那么m 的取值范围是．15．（2023秋•浑江区期末）开口向下的抛物线22(2)21y m x mx =-++的对称轴经过点(1,2)-，则m =．16．（2022秋•潢川县期末）二次函数y ＝x 2﹣4x +3的图象与直线y ＝﹣1的交点坐标是．17．（2022秋•姜堰区期末）已知关于x 的二次函数2y x c =-+的图象不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数c 的值为．18．（2023秋•吉林期中）若二次函数y =△2(1)6x +-有最大值，则“△”中可填的数字是．三．解答题（共6小题）19．（2022秋•广陵区校级期末）如图，已知抛物线23y x mx =-++经过点(2,3)M -．（1）求m 的值，并求出此抛物线的顶点坐标；（2）当30x -时，直接写出y 的取值范围．20．（2022秋•郸城县期末）已知二次函数2243y x x =-++．（1）求开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）当x 为何值时，y 随x 增大而减小，当x 为何值时，y 随x 增大而增大．21．（2023秋•黄山期中）定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：2(1)2y x =--的“同轴对称抛物线”为2(1)2y x =--+．（1）抛物线213(1)22y x =--+的顶点坐标为，它的“同轴对称抛物线”为；（2）如图，在平面直角坐标系中，第四象限的点B 是抛物线241y ax ax =-+上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线241y ax ax =-+的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线241y ax ax =-+的对称轴对称的点B '、C '，连接BC 、CC '、C B ''、B B '．当四边形BCC B ''为正方形时，求a 的值．22．（2023秋•芜湖期中）已知二次函数223y x x =+-的图象顶点为M ．（1）请直接写出点M 的坐标；（2）请通过列表描点，画出该二次函数的大致图象；（3）当22x -<<时，则y 的取值范围是.（直接写出结果）23．（2023•海曙区一模）对于抛物线243(0)y ax x a =-+>．（1）若抛物线过点(4,3)．①求顶点坐标；②当06x 时，直接写出y 的取值范围为；（2）已知当0x m 时，19y ，求a 和m 的值．24．（2023秋•上思县期中）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x ，y 满足如表．x ⋯1-0123⋯y ⋯03-4-3-0⋯（1）该抛物线的顶点坐标为；（2）当5x=时，求对应的函数值；（3）当1x>时，函数y的值随x的增大而（填“增大”或“减小”)．。
中考数学-二次函数题型-对称轴、顶点、最值
二次函数题型-对称轴、顶点、最值
教学目标:
二次函数的对称轴、顶点、最值
二次函数的对称轴、顶点、最值
（技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k；如果解析式为一般式y=ax2+bx+c则最值为
1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。
2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝.
3．抛物线y＝பைடு நூலகம்2＋3x的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A. B. C. D.
5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( )
A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴
10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a=时，该函数y的最小值为0.
11．已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝______。
12．已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝。
C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴
6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－ 的顶点的横坐标是2，则m的值是_.
7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。
8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。
9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
初中数学“二次函数”的几种题型
浅谈初中数学“二次函数”的几种题型纵观历届中考对二次函数的考察,反复出现的内容可以归纳为以下几点:二次函数的定义式问题,解析式问题(求参数),图像问题,图像平移问题,二次函数与方程、不等式问题,含绝对值的二次函数问题,二次函数的最值问题,以及二次函数和直线相交问题,二次函数实际应用问题。
一、数形结合分析题学习二次函数要注意数形结合,做到由图像想到性质,由性质想到图像的形状及位置。
由抛物线的开口方向,对称轴可确定a、b的符号,由抛物线与y轴交点位置可确定c的符号,由抛物线与x轴的交点个数可确定b2-4ac的符号。
例如:已知二次函数的图像如图所示,试确定a、b、c、b2-4ac、 a+b+c、a-b+c的符号。
本题着重考察抛物线开口方向,对称轴及顶点位置,抛物线与x 轴、y轴的校点,还有某些特殊点对应的函数植大小等。
由二次函数的图象位置与解析式中字母的取值关系,可得a、b、c的符号。
抛物线与x轴的交点个数决定b2-4ac的符号,此外,我们注意到f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,结合图像可知其符号。
数形结合是我们研究二次函数问题常用的思想方法,解题过程中要认真观察,充分挖掘图形中所包含的信息。
二、求二次函数的解析式题确定一个二次函数的解析式的基本方法则是“待定系数法”,待定系数法是先假定一个含有等待确定系数的恒等式。
然后再根据恒等式的定义或性质,列出含有待定系数的方程或方程组。
求出待定系数的值,从而使问题获得解决。
基本的方法大致如下:①假定某函数解析式的标准形式(如y=kx+b);②根据条件列出关于k和b的方程组;③解方程组,解得k、b的值;④代入设的标准形式。
管这种方法叫做待定系数法。
它和列方程(组)解应用题的程序类似。
它们都属于待定的方法,其特点是先“设”后“定”。
在解题中,受结论启发,往往先设某个未知数、某个标准形式,而后根据条件加以具体确定。
(3)用待定系数法确定二次函数解析式一般需三个独立条件,根据不同条件选择不同设法,基本的设法如下:①一般式(也叫三点式):y=ax2+bx+c(a≠o);二次函数y=ax2+bx+c(a≠o)(a≠o)中,含有三个系数a、b、c,因此一般应给出或求出x和y的三组对应值,即给出抛物线上的三个点的坐标,就可以求出待定系数a、b、c来,从而得到二次函数的解析式。
初中数学二次函数大汇总
初中数学二次函数大汇总二次函数是一个非常重要的数学概念，在初中数学中占有重要的地位。
它是一种形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c都是实数，而且a不等于0。
在数学中，我们会学习许多与二次函数相关的概念、性质和应用，本篇文章将对初中数学中的二次函数知识进行大汇总。
一、基本概念1.二次函数的定义：二次函数是一个以x的二次方为最高次幂的函数。
2. 二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为实数，且a不等于0。
3.二次函数的图像：二次函数的图像通常是一个称为抛物线的曲线。
二、二次函数的图像和性质1.二次函数的对称轴：二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称，称为对称轴。
2.二次函数的顶点和最值：二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，而最值就是顶点的纵坐标。
3.二次函数的开口方向：当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
4. 二次函数的平移：在一般式y=ax^2+bx+c中，若b平移b个单位，则f(x) = a(x-b)^2+c。
三、一元二次方程1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0（其中a、b和c为实数，且a不等于0）的方程。
2. 一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其根的公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。
3. 一元二次方程的判别式：一元二次方程的判别式为D=b^2-4ac，可以判断方程的根的情况。
四、二次函数的应用1.面积问题：二次函数常常用于求解最大/最小面积问题，如给定周长的矩形的最大面积、最小切线段等。
2.轨迹问题：二次函数的图像可以用来表示物体的轨迹，如抛物线轨迹、卫星轨道等。
3.弹射问题：二次函数可以用来描述弹射物体在竖直方向上的运动，如空中抛物运动等。
4.正比例问题：在一些实际问题中，两个变量之间可能存在二次函数的正比例关系，如重力加速度与高度的关系等。
以上内容仅仅是初中数学中关于二次函数的一些基本知识和常见应用，二次函数在高中和大学阶段还有更深入的研究和应用。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结初中数学二次函数知识点总结二次函数的图象与性质二次函数开口方向对称轴顶点增减性最大（小）值y=ax2a>0时，开口向上；a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；当a0时，当x=0时，=0；当a0时，当x=0时，=c；当a0时，当x=h时，y 最小=0；当a0时，当x=h时，y最小=k；当a0时，当x=h时，y最小=k；当a0时，开口方向向上；a1.二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线x=h或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。
h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a开口3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口；当a0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0;k0时，函数在x=h 处取得最小值ymix=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k当ah范围内事增函数，在x且X（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y 代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。
两交点X值就是相应X1X2值。
两图像对称①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称；②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称；③y=ax2+bx+c与y=-a(x-h2+k关于顶点对称；④y=ax2+bx+c与y=-a(x+h2-k关于原点对称。
人教版九年级数学上册第22章 _二次函数的对称轴和最值应用专题复习
人教版数学九年级上册 二次函数的对称轴和最值应用专题复习一、对称轴的应用对称轴是二次函数y=a +bx+c(a ≠0)的一个重要特征量，它揭示了a,b 之间的固定等量 关系，反映了函数最值取得时，自变量的大小，描述了函数值在对称轴两侧的变化趋势及函 数值的增减性，界定了二次函数上对称点的坐标特点，确定了对称轴与对称点的横坐标之间 的等量关系，这些都为二次函数问题的解决提供有力帮助.下面就结合2019年的考题，向大 家介绍对称轴在解填空题，选择题中的具体应用，供学习时借鉴.1.根据对称轴代入消元比较代数式的大小例1 （2019年甘肃省天水市）二次函数y ＝a 2x +bx+c 的图象如图1所示，若M=4a+2b ，N=a﹣b ．则M 、N 的大小关系为M N ．（填“＞”、“＝”或“＜”）解析：根据题意，得抛物线的对称轴为直线x=1，所以-ab 2=1即b=-2a ， 所以M=4a+2b=4a-4a=0,N=a-b=a-(-2a)=3a ，因为抛物线开口向上，所以a ＞0，所以N ＞0， 因为正数大于0，所以M ＜N ，所以应该填“＜”.点评：解答时，用好两个方面的重要知识，一是用好数形结合的思想，把数找准，把形对准；二是熟练掌握读图捕获解题信息的能力，从抛物线的开口方向，对称轴的位置，抛物线与坐标轴的交点情况，抛物线函数值的正负性判断及其分布范围等方面入手，把“形”所揭示的解题信息“数”化，结合求证对象，深刻推理即可.2.解析式提供对称轴，比较函数值的大小例2（2019年甘肃省兰州市）已知点A （1， ），B （2， ）在抛物线y= - +2上， 则下列结论正确的是 （ ）A ．2＞ ＞B ．2＞ ＞C ． ＞ ＞2D ． ＞ ＞2分析：从解析式上，看出抛物线的对称轴为直线x=-1，且抛物线的开口向下，于是得到抛物线的最大值是2，且在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，这样就可以做出判断了. 解：因为二次函数的解析式为y= - +2，所以抛物线的对称轴为直线x=-1，且抛物线的开口向下，所以抛物线的最大值是2，因为在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，所以21y y ＞，所以正确结论是2＞ ＞ ，所以选A.3.对称轴是抛物线与x 轴交点横坐标和的一半例3（2019年四川省成都市）如图2，二次函数y=a 2x +bx+c 的图象经过点A （1，0），B （5，0），下列说法正确的是（ ）A ．c ＜0B ．2b ﹣4ac ＜0C ．a ﹣b+c ＜0D ．图象的对称轴是直线x=3分析：二次函数y=a 2x +bx+c （a ≠0）①常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．②抛物线与x 轴交点个数．△=2b ﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=2b ﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=2b ﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．③与x 轴两个交点的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），则对称轴x=221x x +. 解：因为二次函数y=a 2x +bx+c 的图象与y 轴交于正半轴，所以c ＞0，所以A 错误；因为二次函数y=a 2x +bx+c 的图象与x 轴由2个交点，所以2b ﹣4ac ＞0，所以B 错误； 当x=﹣1时，y ＞0，即a ﹣b+c ＞0，所以C 错误；因为A （1，0），B （5，0），所以对称轴为直线x=251+=3，所以D 正确．所以选D. 4.偏离对称轴型的结论判断例4 （2019年湖南省益阳市）已知二次函数数y=a 2x +bx+c 的图象如图3所示，下列结论：①ac ＜0，②b ﹣2a ＜0，③2b ﹣4ac ＜0，④a ﹣b+c ＜0，正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④分析：a 的符号看抛物线的开口方向，c 的符号看抛物线与y 轴交点的位置，判别式的符号看抛物线与x 轴交点的个数，其次，根据对称轴的特点，建立基本不等式是解题的一个崭新特点．解：因为图象开口向下，与y 轴交于正半轴，所以a ＜0，c ＞0，所以ac ＜0，所以①正确；根据图像，得对称轴x ＜﹣1，所以﹣＜﹣1，因为a ＜0，所以-2a ＞0,所以b ＜2a ， 所以b ﹣2a ＜0，所以②正确．因为图象与x 轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知2b ﹣4ac ＞0，所以③错误． 根据图像，得当x=﹣1时，y ＞0，所以a ﹣b+c ＞0，所以④错误；所以选A ．5.对称轴+最值型的结论判断例5 （2019年湖北省鄂州市）二次函数y=a 2x +bx+c 的图象如图4所示，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc ＜0；②3a+c ＞0；③0)(22＜b c a -+；④a+b ≤m （am+b ）（m 为实数）．其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个分析：a,b,c 的符号比较容易确定；第②结论的确定，需要从图像中找到一条有效的信息作为基础，这个基础信息的来源有两条途径，一是当x=-1时，函数值的属性；一是当x=1时，函数值的属性，选择最适当的；③的判断也是要建立在上述两条基本信息上，变形基础信息，使之符合平方差公式继而做出判断；④的判断，除了基础信息外，还需要一种新理念，那就是二次函数的最值，利用二次函数的最值构建一个基本不等式，这是对二次函数最值的全面理解，这一点也是解题中常用到的解题理念.解：因为抛物线开口向上，所以a ＞0，因为抛物线的对称轴在y 轴右侧，所以b ＜0 因为抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＞0，所以abc ＜0，所以①正确；当x=﹣1时,y=a ﹣b+c,因为y ＞0，所以a ﹣b+c ＞0，因为-ab 2=1，所以b=﹣2a ， 把b=﹣2a 代入a ﹣b+c ＞0中得3a+c ＞0，所以②正确；当x=1时，y=a+b+c ，因为y ＜0，所以a+b+c ＜0，所以（a+c+b ）(a+c-b)＜0,所以0)(22＜b c a -+，所以③正确；因为抛物线开口向上，所以当x=1时，y=a+b+c 是函数的最小值；当x=m 时，y=a 2m +bm+c ，根据题意，得a+b+c ≤a 2m +bm+c 即a+b ≤m （am+b ），所以④正确．所以选D ．6.对称点确定对称轴与公式对称轴联手定参数值例6（2019年河南省）已知抛物线y=﹣2x +bx+4经过（﹣2，n ）和（4，n ）两点，则n 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣4C ．2D ．4 分析：根据函数解析式，确定抛物线的对称轴；根据对称点的坐标确定对称轴；根据对称轴的唯一性构造方程求解即可.解：抛物线y=﹣2x +bx+4经过（﹣2，n ）和（4，n ）两点，因为两点的纵坐标相同，所以两点是对称点，所以对称轴为直线x=242+-=1；根据公式，得抛物线的对称轴为直线x=-ab 2=2b ，因为抛物线的对称轴是唯一的，所以2b =1，所以b=2，所以抛物线的解析式为： y=﹣2x +2x+4，将点（﹣2，n ）代入函数解析式，得n=4；所以选D ．7.根据对称轴确定抛物线与x 轴的交点坐标例7（2019年四川省广安市）二次函数y ＝a 2x +bx+c （a ≠0）的部分图象如图5所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=1，下列结论：①abc ＜0②b ＜c ③3a+c ＝0④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个分析：解答图像结论判断题，关键是从图像中捕获正确有效的解题信息，常用捕捉信息的方向有：图像分布法：看图像的开口，与坐标轴相交情况，对称轴与x 轴的相交情况，确定a,b,c 和判别式的符号；特殊值法：观察图像中给出的自变量的特殊值，确定其对应的函数值，结合图像确定函数值的属性，这往往是结论判断的推理基础信息，非常关键，非常重要； 对称轴信息：有三个方面的重要意义，一是公式法确定对称轴；二是对称点确定对称轴；顶点坐标确定对称轴；适当变形对称轴等式，使用代入消元，将对解题有极大的帮助.最值信息：抛物线开口向上，函数有最小值，函数图像上任意一点的函数值不小于最值；抛物线开口向下，函数有最大值，函数图像上任意一点的函数值不大于最值.解：因为对称轴位于x 轴的右侧，则a ，b 异号，即ab ＜0．因为抛物线与y 轴交于正半轴，所以c ＞0．所以abc ＜0．所以①正确；因为抛物线开口向下，所以a ＜0．因为抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，所以b=﹣2a ．因为x=﹣1时，y=0，所以a ﹣b+c=0，所以c=﹣3a ， 所以b ﹣c=﹣2a+3a=a ＜0，即b ＜c ，所以②正确；所以3a+c=0，所以③正确；由抛物线的对称性质得到：抛物线与x 轴的另一交点坐标是（3，0）．所以当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，所以④正确．综上所述，正确的结论有4个．所以选D ．二、二次函数最值的应用二次函数的最值是一个重要的学习内容，更是一个重要的考点.如何全面掌握二次函数的最 值？下面就从五个方面探究二次函数最值的应用，供学习时借鉴.1. 根据解析式确定函数的最值例1（2019年湖北省荆州市）二次函数y=﹣22x ﹣4x+5的最大值是 ．分析：这种考题是与教材内容完全一致的题型，是学习生最熟悉的题型，属于基础性知识. 解法1：公式法 因为y=﹣22x ﹣4x+5，且a=-2,b=-4,c=5,所以最大值y=)2(4)4(5)2(44422-⨯--⨯-⨯=-a b ac =7. 解法2：配方法因为y=﹣22x ﹣4x+5=-2（ ） +7,所以二次函数的最大值为7.2.抛物线开口向下，函数有最大值，函数图像上任意一点的函数值不大于最值例2（2019年甘肃省兰州市）已知点A （1， ），B （2， ）在抛物线y= - +2上， 则下列结论正确的是 （ ）A ．2＞ ＞B ．2＞ ＞C ． ＞ ＞2D ． ＞ ＞2分析：从解析式上，看出抛物线的对称轴为直线x=-1，且抛物线的开口向下，于是得到抛物线的最大值是2，且在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，这样就可以做出判断了. 解：因为二次函数的解析式为y= - +2，所以抛物线的对称轴为直线x=-1，且抛物线的开口向下，所以抛物线的最大值是2，因为在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，所以 21y y ＞，所以正确结论是2＞ ＞ ，所以选A.3.抛物线开口向上，函数有最小值，函数图像上任意一点的函数值不小于最值例3 （2019年湖北省鄂州市）二次函数y=a 2x +bx+c 的图象如图1所示，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc ＜0；②3a+c ＞0；③0)(22＜b c a -+；④a+b ≤m （am+b ）（m 为实数）．其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个分析：a,b,c 的符号比较容易确定；第②结论的确定，需要从图像中找到一条有效的信息作为基础，这个基础信息的来源有两条途径，一是当x=-1时，函数值的属性；一是当x=1时，函数值的属性，选择最适当的；③的判断也是要建立在上述两条基本信息上，变形基础信息，使之符合平方差公式继而做出判断；④的判断，除了基础信息外，还需要一种新理念，那就是二次函数的最值，利用二次函数的最值构建一个基本不等式，这是对二次函数最值的全面理解，这一点也是解题中常用到的解题理念.解：因为抛物线开口向上，所以a ＞0，因为抛物线的对称轴在y 轴右侧，所以b ＜0 因为抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＞0，所以abc ＜0，所以①正确；当x=﹣1时,y=a ﹣b+c,因为y ＞0，所以a ﹣b+c ＞0，因为-ab 2=1，所以b=﹣2a ， 把b=﹣2a 代入a ﹣b+c ＞0中得3a+c ＞0，所以②正确；当x=1时，y=a+b+c ，因为y ＜0，所以a+b+c ＜0，所以（a+c+b ）(a+c-b)＜0,所以0)(22＜b c a -+，所以③正确；因为抛物线开口向上，所以当x=1时，y=a+b+c 是函数的最小值；当x=m 时，y=a 2m +bm+c ，根据题意，得a+b+c ≤a 2m +bm+c 即a+b ≤m （am+b ），所以④正确．所以选D ．4.构造二次函数型求最值例4 （2019年安徽省）一次函数y=kx+4与二次函数y=a +c 的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点.（1）求k ，a ，c 的值；（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y=a +c 的图像相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W= + ，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值. 分析：抓住交点坐标意义：交点的坐标分别满足相交的两个函数的解析式，继而确定两个函数的解析式；利用函数值为m ，求得直线与抛物线两个交点的横坐标，继而求得线段BC 的程度，从而构造出以m为自变量的二次函数即可确定最值.解：（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，所以直线的解析式为y=-2x+4，因为二次函数顶点为（0,c），所以c=4,把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2.（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2+4，令y=m，得2+m-4=0,所以x= ，如图2，设B，C两点的坐标分别为（n，m）（p，m），所以BC=|p-n|=2,OA=m,所以W=+=+4×=-2m+8=（）+7，因为0＜m＜4，所以当m=1时，W取得最小值7.5.自变量特定范围内，确定函数的最大值、最小值例5 (2019年浙江省温州市)已知二次函数y=﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2分析：画出函数的图像，首先整体判断函数的最值，后结合图像，判断在规定自变量范围内的最值，两者结合起来综合作出判断.解：作函数图像如图4，因为y=﹣4x+2=（）﹣2，整体看，函数有最小值-2；因为﹣1≤x≤3，所以当x=2时，有最小值﹣2，当x=﹣1时，有最大值为y=9﹣2=7．所以选D．。
【初中数学】专题八 二次函数的对称轴与区间增减性及最值问题 (练习题)
专题八二次函数的对称轴与区间增减性及最值问题(363)1.已知二次函数y=ax2+2ax+a−1(a>0)．(1)求证：抛物线与x轴有两个交点；(2)求该抛物线的顶点坐标；(3)结合函数图象回答：当x≥1时，其对应的函数值y的最小值范围是2≤y≤6，求a的取值范围．2.已知P(m,n)为抛物线y=ax2−4ax+b(a≠0)上一动点．(1)P1(1，n1)，P2(3，n2)为点P运动所经过的两个位置，判断n1，n2的大小，并说明理由；(2)当1≤m≤4时，n的取值范围是1≤n≤4，求抛物线的函数解析式．3.平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−2m2x+2交y轴于点A，交直线x=4于点B．(1)抛物线的对称轴为直线x=(用含m的代数式表示)；(2)记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)，若对于图象G上任意一点P(x P，y P)，y P≤2，求m的取值范围．4.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2−(2m+1)x+m−5的图象与x轴有两个公共点．(1)求m的取值范围．(2)若m取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是−6≤y≤4−n，求n的值；③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数解析式为y=a(x−ℎ)2+k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．5.已知二次函数y=(a−1)x2+2(a−1)x+2a−3,其中a−1<0.(1)求该二次函数的对称轴方程；(2)若对每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不大于3，求a的取值范围．参考答案1(1)【答案】证明：令y=0，则ax2+2ax+a−1=0,∴Δ=4a2−4a(a−1)=4a．∵a>0,∴4a>0,∴Δ>0,∴抛物线与x轴有两个交点．(2)【答案】抛物线的对称轴为直线x=−2a2a=−1,把x=−1代入y=ax2+2ax+a−1，得y=−1，∴该抛物线的顶点坐标为(−1，−1)．(3)【答案】①把(1,2)代入y=ax2+2ax+a−1，得a=34．②把(1,6)代入y=ax2+2ax+a−1,得a=74．∴由图象可知：34≤a≤74．2(1)【答案】解：n1=n2.理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为直线x=2.∵点P1(1，n1)，P2(3，n2)在抛物线y=ax2−4ax+b上，∴n1=n2.(2)【答案】当a>0时，抛物线的顶点为(2，1)，且过点(4，4)，∴抛物线的函数解析式为y=34x2−3x+4.当a<0时，抛物线的顶点为(2，4)，且过点(4，1)，∴抛物线的函数解析式为y=−34x2+3x+1.综上所述，抛物线的函数解析式为y=34x2−3x+4或y=−34x2+3x+1.3(1)【答案】m【解析】:抛物线的对称轴为直线x=−−2m22m=m,故答案为：m(2)【答案】解：当m>0时，如图①．∵A(0,2)，∴要使0≤x P≤4时，始终满足y P≤2，只需使抛物线y=mx2−2m2x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧，∴m≥2.当m<0时，如图②，此时，y P≤2恒成立．综上所述，m<0或m≥2.4(1)【答案】解：∵二次函数y=mx2−(2m+1)x+m−5的图象与x轴有两个公共点，∴{m ≠0，<br >[−(2m +1)]2−4m(m −5)>0， 解得m >−124且m ≠0.(2)【答案】①若m 取满足条件的最小的整数，由(1)可知m =1， ∴二次函数的解析式为y =x 2−3x −4.②二次函数图象的对称轴为直线x =32，当n ≤x ≤1<32时，函数值y 随自变量x 的增大而减小． ∵−6≤y ≤4−n ，∴当x =1时，函数值为−6，当x =n 时，函数值为4−n ， ∴n 2−3n −4=4−n ， 解得n =−2或n =4(不合题意，舍去)，∴n 的值为−2.③由①可知a =1，又函数图象经过原点，∴k =−ℎ2.∵当x <2时，y 随x 的增大而减小，∴ℎ≥2，∴k ≤−4.5(1)【答案】解：对称轴方程：x =−2(a−1)2(a−1)=−1.(2)【答案】抛物线y =(a −1)x 2+2(a −1)x +2a −3的顶点坐标是(−1,a −2)． 依题意可得{a −1<0,a −2≤3,解得{a <1,a ≤5，∴a 的取值范围是a <1.。
专题-二次函数中的条件最值问题
二次函数中的条件最值内容简概：二次函数的最值在实际应用中常常与自变量的取值范围密切相关，根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．如果对称轴和取值范围都给定，可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形；若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大值）. 如果对称轴、取值范围不能确定，可以分为三种情形；（1）取值范围确定，但对称轴不确定（2）对称轴确定但取值范围不能确定（3）对称轴和取值范围都不能确定关键词：二次函数、条件最值、取值范围、对称轴二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）是初中函数的主要内容，二次函数的最值是近年中考的一个热点．二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况为：当a＞0时，函数在x=－2ba处取得最小值244b aca-，无最大值；当a＜0时，函数在x=－2ba处取得最大值244b aca-，无最小值．而二次函数的最值在实际应用中常常与自变量x的取值范围密切相关，根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形，下面就不同类型举例说明。
一．对称轴在取值范围内【例1】当－2≤x≤2,时，求函数y=x2－2x－3的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值．【解析】作出函数的图象．当x=1时，y最小值=－4，当x=－2时，y最大值=5．【例2】当1≤x≤2时，求函数y=－x2－x+1的最大值和最小值．【解析】作出函数的图象．当x=1时，y最小值=－4，当x=2时，y最大值=5．由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．可以归纳为：若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大x值）。
初中二次函数压轴题题型归纳及方法
初中二次函数压轴题题型归纳及方法一、题型归纳初中二次函数压轴题主要包括以下几种类型：1. 求解二次方程，确定函数的零点2. 求解顶点坐标、对称轴及最值3. 判断函数的单调性和定义域、值域4. 与其他函数进行比较，确定大小关系5. 给定函数图像或部分信息，确定函数的表达式二、方法详解1. 求解二次方程，确定函数的零点求解二次方程可以使用因式分解法、配方法和公式法。
其中，因式分解法适用于形如x^2+bx+c=0的方程；配方法适用于形如ax^2+bx+c=0且a≠0的方程；公式法适用于所有形如ax^2+bx+c=0的方程。
求得二次方程的根后，即可得到函数的零点。
若根为实数，则该实数即为零点；若根为复数，则该函数无实零点。
2. 求解顶点坐标、对称轴及最值对于一般形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的二次函数，其顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
对称轴为x=-b/2a，最值为f(-b/2a)。
若函数为y=a(x-h)^2+k的形式，则顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h，最值为k。
3. 判断函数的单调性和定义域、值域对于一般形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的二次函数，当a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
定义域为实数集R，值域取决于a的符号。
4. 与其他函数进行比较，确定大小关系与线性函数比较：当x趋近正无穷时，二次函数增长速度大于线性函数；当x趋近负无穷时，二次函数增长速度小于线性函数。
因此，在x 轴正半轴上，二次函数与线性函数相交一次，并在该点处取得最小值（或最大值）；在x轴负半轴上，则无交点。
与指数函数比较：当x趋近正无穷时，指数函数增长速度大于二次函数；当x趋近负无穷时，指数函数增长速度小于二次函数。
因此，在x 轴正半轴上，指数函数与二次函数相交一次，并在该点处取得最小值（或最大值）；在x轴负半轴上，则无交点。
中考数学专题复习：二次函数图象综合应用
图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 例题精讲典题精练A ．B ．C ．D ．⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为()02，-，则下列结论中，正确的是（ ）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+= ）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为．⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确；当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确； 当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确；0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；b 思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值 为 ．⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑶当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5．⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】 如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ，两点．⑴ 求a 值； ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =． 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y可解得12x x ==，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b <∴()10a -+<，∴1a >-于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <． 又∵当0x =时，1y c =-=当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--， 则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->， 又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值． 分析： 先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-； ⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-．综上所述：2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+，（1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-； （2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-．故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值． 分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论：若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==； 若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此， 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结： 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围． 分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ．训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（ ）A B C D【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸21x x -=确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确．21x x -=.训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．【解析】 设1(A x ，0)，2(B x ，0)，思维拓展训练(选讲)则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-=== 当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--， 可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-= ，再分别算出对应的y 值，列出表1：表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232m y y =-，343m y y =-，454m y y =-，…； 121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：表2：x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变，判断1s 、2s 、3s 之间关系，并说明理由；⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3： 表3： x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y 值算错了，请指出算错的y 值（直接写答案）．【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==．⑶ 表中的420改为410．题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】 如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=， 其中正确的结论的序号是 ． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是 ．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba-<，∴20a b +>；∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >．A BCD复习巩固故②③④．【练习3】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ．【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <． 因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，，把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++． 因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测。
二次函数与最值(分类讨论)
二次函数与最值1、利用顶点式，公式法求函数最大值（最小值）2、利用函数的增减性求函数最值【题型1 对称轴为常数】【例1】二次函数y= -x ²-2x+c 在-3≤x ≤2的范围内有最小值-5，则c 的值是（ ） A 、-6B 、-2C 、2D 、3【趁热打铁】1．已知二次函数y=x ²-2x -3，当m ≤x ≤m+1的最小值为5，则 m 的值（ ）A.-2或5 B -4或3 C.-5或2 D.-3或4【题型2 对称轴为未知数】【例2】当-2≤x ≤1时，二次函数 y= -（x -m ）2+m ²＋1有最大值4，则m 的值为（ ）A 、47-B 、33-或C 、2或473-或 D 、2或【趁热打铁】1、已知二次函数y=（x -h ）2＋1（h 为常数），在自变量x 满足 1≤x ≤3的情况下，函数值y 有最小值为5，则h 的值为（ ）A.1或3 B.-1或5 C.-1或+1D.3或5【题型3 区间为未知量】【例3】关于x 的二次函数y=x ²＋bx ＋b 2在b ≤x ≤b ＋3范围内，函数值有最小值 21，求b 的值？知识梳理 典例分析 3-【趁热打铁】1、已知二次函数 y=-（x-1）2＋5，当m≤x≤n且mn<0时，y的最小值为2m，最大值为2n，求m＋n 的值。
【题型4 最值中探究最值】【例4】二次函数y=x²-2hx+h，当自变量x在-1≤x≤1的范围内有最小值n，求n的最大值【趁热打铁】1、已知函数y=-x²＋（m-1）x+m（m 为常数）图象的顶点纵坐标为n，当-2≤m≤3时，求n的取值范围【题型5 综合题型】【例5】（长郡2019-2020第三次月考）定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”．如矩形、等腰梯形都是“梦想四边形”．（1）如图1，在四边形ABCD中，E是CD边上的一点，AD∥BE，BC＝CE，∠A＝135°，∠ABC＝105°．请判断四边形ABCD是否为“梦想四边形”，并说明理由；（2）如图2，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点．点P、Q分别是线段OA、AB上的动点，点P从点O出发以每秒个单位长度的速度向点A运动，点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，设运动时间为t 秒．当四边形BOPQ为“梦想四边形”时，求t的值；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝x 与抛物线交于点D，AC、BD的延长线相交于点E．四边形ABDC为“梦想四边形”，且满足：①OC＝2；②∠ACD＝∠BDC；③OD2＝OB•OC；④BD＝2DE．点P（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+c上的一点，t＝y0﹣x0，若t≤m+恒成立，求m的最小值．【趁热打铁】1、（2017长沙中考）如图，抛物线21648(0)y mx mx m m =-+>与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 左侧），与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD 、BD 、AC 、AD ，延长AD 交y 轴于点E 。
初中数学-----二次函数的最值问题
二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．二次函数的最值问题答案A 组1．4 14或2，322．2216l m 3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值94，无最小值． 4．当34x =时，min 318y =；当2x =-时，max 19y =．5．5y ≥- 6．当56x =时，min 36y =-23x =或1时，max 3y =． 7．当54t =-时，min 0y =． B 组1．(1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =．(2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-．2．21m -≤≤-． 3．2,2a b ==-．4．14a =-或1a =-． 5．当0t ≤时，max 22y t =-，此时1x =；当0t >时，max 22y t =+，此时1x =-．练习 A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =-7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；(2) 当a 为实数时，求函数的最大值．2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 二次函数题型-对称轴、顶点、最值测试 教学目标: 二次函数的对称轴、顶点、最值
二次函数的对称轴、顶点、最值
（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b 2
4a 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2
－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ .
3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A.13
B.10
C.15
D.14
5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( )
A.开口向上，对称轴是y 轴
B.开口向下，对称轴是y 轴
C.开口向下，对称轴平行于y 轴
D.开口向上，对称轴平行于y 轴
6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14
的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。
8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。
9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
10．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0.
11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。
12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。