二次函数的对称变换

二次函数的对称变换

学习目标：1.掌握二次函数关于x轴、y轴、原点对称的解析式的确定。

2.会研究二次函数关于某条直线，某个点的对称变换。

一、课前练习

1.点（1，-4）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。

2.点（x,y）关于x轴对称点坐标，关于y轴对称点，关于原点对称。

二、新课探究

类型一：二次函数关于x轴、y轴、原点的对称变换

问题一：画出y=x2-2x-3的草图方法：

问题二：画出y=x2-2x-3关于x轴对称的图像

方法：

问题三：请确定新抛物线的解析式

方法一：一般式

方法二：顶点式

问题四：观察两个解析式的区别与联系

角度一：一般式

角度二：顶点式

问题五：请用同样的方法研究二次函数y=x2-2x-3关于y轴和原点的对称变换

总结：一般式y=ax2+bx+c (a≠0)关于x轴对称的解析式为：

关于y轴对称的解析式为：

关于原点对称的解析式为：

顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 关于x轴对称的解析式为：

关于y轴对称的解析式为：

关于原点对称的解析式为：

练习：1.y=2x2-3x关于y轴对称的解析式为,

2.y=-(x-3)2+3关于原点对称的解析式为,

3已知y=-2x2+x+1与y=ax2+bx+c关于x轴对称，则a= b= c= 类型二：二次函数关于某条直线或某个点的对称变换（给个开口向上的图像）

问题一：选取关于某条直线对称

问题二：选取关于某一点对称

总结：研究对称变换的方法

二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++； 3. 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；

()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，

对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．