第十章分式单元知识点梳理
分式知识点总结
分式知识点总结1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.）（分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。
首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
）4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为（），其中A、B、C是整式注意：（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
分式知识点归纳
分式知识点归纳一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子＄＼frac{A}｛B}＄就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分式的分母不能为 0，因为除数不能为 0。
如果分母 B 的值为 0，那么分式＄＼frac{A}｛B}＄就没有意义。
例如，＄＼frac{x}｛y}＄是一个分式，其中 x 是分子，y 是分母；而＄＼frac{5}｛3}＄就不是分式，因为它的分母 3 是一个常数，不含字母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。
即对于分式＄＼frac{A}｛B}＄，当＄B ＼neq 0$ 时，分式有意义。
例如，对于分式＄＼frac{x ＋ 1}｛x 2}＄，要使其有意义，则＄x2 ＼neq 0$，即＄x ＼neq 2$。
三、分式值为 0 的条件分式值为 0 的条件是分子为 0 且分母不为 0。
即对于分式＄＼frac{A}｛B}＄，当＄A ＝ 0$ 且＄B ＼neq 0$ 时，分式的值为 0。
例如，若分式＄＼frac{x^2 1}｛x ＋ 1}＄的值为 0，则＄x^2 1 ＝0$ 且＄x ＋ 1 ＼neq 0$。
由＄x^2 1 ＝ 0$ 可得＄x ＝＼pm 1$，又因为＄x ＋ 1 ＼neq 0$，所以＄x ＼neq 1$，因此＄x ＝ 1$ 时，该分式的值为 0。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：＄＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A ＼times C}｛B ＼times C}＄，＄＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A ＼div C}｛B ＼div C}＄（＄C ＼neq 0$）例如，＄＼frac{x}｛y} ＝＼frac{x ＼times 2}｛y ＼times 2} ＝＼frac{2x}｛2y}＄，＄＼frac{3a}｛5b} ＝＼frac{3a ＼div 3}｛5b ＼div 3} ＝＼frac{a}｛＼frac{5}｛3}b}＄五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
分式知识点归纳总结
《分式》知识点回顾及考点透视一、知识总览本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习．二、考点解读考点1：分式的意义例1．（1）（2006年南平市）当x 时，分式11+x 有意义． 分析：要使分式有意义，只要分母不为0即可当x ≠-1时，分式11+x 有意义． （2）（2006年浙江省义乌市）已知分式11+-x x 的值是零，那么x 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1±分析：讨论分式的值为零需要同时考虑两点：（1）分子为零；（2）分母不为零，当x=1时，分子等于零，分母不为0，所以，当x=1时，原分式的值等于零，故应选C ． 评注：在分式的定义中，各地中考主要考查分式A B在什么情况下有意义、无意义和值为0的问题。
当B ≠0时，分式A B 有意义；当B=0时，分式A B无意义；当A=0且B ≠0时，分式A B 的值为0 考点2：分式的变形例2．（2006年山西省）下列各式与x y x y-+相等的是（ ） （A ）()5()5x y x y -+++（B ）22x y x y -+（C ）222()()x y x y x y -≠-（D ）2222x y x y-+ 解析：正确理解分式的基本性质是分式变形的前提，本例选项（C ）为原分式的分子、分母都乘以同一个不等于0的整式（x-y ）所得，故分式的值不变．考点3：分式的化简分式的约分与通分是进行分式化简的基础，特别是在化简过程中的运算顺序、符号、运算律的应用等也必须注意的一个重要方面例2．（2006年临安市）化简：x －1x ÷(x －1x). 分析：本题要先解决括号里面的，然后再进行计算解：原式x x x x 112-÷-=)1)(1(1-+⨯-=x x x x x 11+=x 评注:分式的乘除法运算，就是将除法转化为乘法再进行约分即可．考点4：分式的求值例4．（2006年常德市）先化简代数式：22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．分析：本题先要将复杂的分式进行化简，然后再取一个你喜欢的值代入（但你取的值必须使分式有意义）．解：化简得：21x +，取x=0时，原式=1；评注：本题化简的结果是一个整式，如果不注意的话，学生很容易选1或-1代入，这是不行的，因为它们不能使分式有意义．考点5：解分式方程例5．（2006年陕西省）解分式方程：22322=--+x x x 分析：解分式方程的关键是去分母转化为整式方程解：)4(2)2(3)2(22-=+--x x x x ，82634222-=---x x x x ， 27-=-x 72=x ，经检验：72=x 是原方程的解，∴原方程的解为72=x 点评：解分式方程能考查学生的运算能力、合情推理等综合能力，解分式方程要注意检验，否则容易产生增根而致误！考点6：分式方程的应用例6．(2006年长春市)A 城市每立方米水的水费是B 城市的1.25倍，同样交水费20元，在B 城市比在A 城市可多用2立方米水，那么A 、B 两城市每立方米水的水费各是多少元？分析：本题只要抓住两城市的水相差2立方米的等量关系列方程即可解：设B 城市每立方米水的水费为x 元，则A 城市为1.25x 元,25.120220xx =- 解得x = 2经检验x = 2是原方程的解。
分式知识点总结及复习汇总
分式知识点总结及复习汇总一、分式的定义和性质：分式是形如$\frac{a}{b}$的数，其中$a$为分子，$b$为分母，$a$和$b$都为整数且$b \neq 0$。
分式可以表示一个数，也可以表示一个运算过程。
分式可以进行四则运算，包括加减乘除。
分式的相反数：$\frac{a}{b}$的相反数为$-\frac{a}{b}$。
分式的倒数：$\frac{a}{b}$的倒数为$\frac{b}{a}$，其中$a、b$不为零。
分式的化简：将分式化简为最简分式，即分子和分母的最大公约数为1的形式。
二、分式的运算法则：1.加法：两个分式相加，分母相同，分子相加。
2.减法：两个分式相减，分母相同，分子相减。
3.乘法：两个分式相乘，分子相乘，分母相乘。
4.除法：一个分式除以另一个分式，被除数乘以除数的倒数。
三、分式的化简方法：1.求最大公约数：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数。
2.因式分解：将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。
四、分式与整式的相互转化：1.分式转化为整式：将分式中的分子除以分母，得到的结果为整数。
2.整式转化为分式：将一个整数写成分子，分母为1的形式。
五、分式的应用：1.比例问题：可以利用分式来表示两个比例的关系。
2.部分与整体的关系：可以用分式表示部分与整体的关系。
3.商业问题：例如打折、利润等问题，可以用分式来表示计算。
4.几何问题：例如面积、体积等问题，可以用分式来表示计算。
六、分式的简化步骤：1.因式分解。
2.分子、分母约去最大公约数。
3.整理化简结果。
七、分式的应用举例：1.甲乙两人分别在一段时间内完成一件工作，甲用时5小时完成，乙用时8小时完成，那么甲乙两人一起完成这件工作需要多少小时？解：甲和乙一起完成工作的效率是每小时$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{8}$，所以他们一起完成工作的效率是$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}$。
分式知识点总结
分 式一、知识总结（一）分式及其性质1、分式（1）定义：一般的，如果a ，b 表示两个整式，并且b 中含有字母，那么式子ba 叫做分式；其中a 叫做分式的分子，b 叫做分式的分母。
（2）有理式：整式和分式统称为有理式。
（3）分式=0⇔分子=0，且分母≠0 （分式有意义，则分母≠0）（4）最简分式：分子和分母没有公因式的分式。
2、分式的性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变即：mb m a m b m a b ÷÷=⋅⋅=a （a ，b ，m 都是整式，且0m ≠） 分式的性质是分式化简和运算的依据。
3、约分：把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分。
注：约分的结果应为最简分式或整式。
约分的方法：1）若分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数， 再找相同字母最低次幂；2）若分子、分母有多项式：先把多项式因式分解，再找分子、分母的公因式。
（二）分式运算1、分式的乘除1）分式乘法法则：两分式相乘，用分子的积做分子，分母的积做分母；即：bdac d c b =⨯a 2）分式除法法则：两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；即：bcad c d b a d c b =⨯=÷a3）分式乘方法则：分式的乘方就是分子分母分别乘方。
即：n n n b a b =⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，()n n ab b 1a -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2、分式的加减1）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即：bc a b c b ±=±a ()0b ≠ 2）异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式相加减，即：bdbc ad bd bc bd ad d c b ±=±=±a ()0b ≠d（三）分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、解法：1）基本思路：分式方程−−→−转化整式方程 2）转化方法：方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。
分式知识点总结及复习
分式知识点总结及复习一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分母 B 的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式就没有意义。
例如，式子 1/x 就是一个分式，其中 x 是分母；而 2 就不是分式，因为它没有分母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。
例如，对于分式 3/（x 1)，要使其有意义，分母 x 1 不能等于 0，即 x 不能等于 1。
三、分式的值为零的条件分式的值为零，需要同时满足两个条件：分子为零，且分母不为零。
比如，对于分式（x ＋ 2)／（x 3)，当分子 x ＋ 2 ＝ 0 时，x ＝－2，此时分母 x 3 ＝－2 3 ＝－5 ≠ 0，所以当 x ＝－2 时，该分式的值为零。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于零的整式）例如，分式 2/3 的分子和分母同时乘以 2，得到 4/6，分式的值不变。
五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
确定公因式的方法：系数取分子和分母系数的最大公因数，字母取分子和分母共有的字母，相同字母的指数取最低次幂。
例如，对于分式 6x²y/8xy²，分子和分母的公因式是 2xy，约分后得到 3x/4y。
六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法：一般取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母。
例如，分式 1/2x 和 1/3y 的最简公分母是 6xy，通分后分别为 3y/6xy 和 2x/6xy 。
七、分式的乘除法分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。
分式主要知识点总结
分式主要知识点总结一、分式的定义分式是指一个整体被分成若干个相等的部分，其中的一部分就是分式。
分式通常写成a/b的形式，其中a为分子，b 为分母，b≠0，a和b都是整数。
例如，1/2 就是一个分式，表示整体被分成两个相等的部分，其中一个部分为1。
分式中的a和b都是有一定的含义，a表示被分的份数，b表示整体被分成的份数。
二、分式的化简对于分式a/b，如果a和b有公因数，那么可以对分式进行约分。
化简分式的目的是为了使得分式变得更简单，更易于处理。
例如，对于分式6/8，可以约分得到3/4。
当然，有时候还需要对分式进行扩分。
化简分式的过程就是一个约分和扩分的过程。
三、分式的加减乘除1. 分式的加减：对于分式a/b和c/d，要将它们相加或相减，需要找到它们的公共分母，并且将它们的分子进行操作。
具体来说，如果a/b和c/d的分母不同，就需要找到它们的最小公倍数，然后将分子分别乘以对方的分母，再进行操作。
例如，对于分式1/2 + 1/3，找到它们的最小公倍数为6，然后乘上对方的分母，得到3/6 + 2/6 = 5/6。
2. 分式的乘法：对于分式a/b和c/d，它们的乘积可以直接相乘得到ac/bd。
3. 分式的除法：对于分式a/b和c/d，它们的除法可以变成乘法，即a/b ÷ c/d = a/b × d/c。
四、分式方程的求解分式方程是指方程中含有分式的方程。
它的解法与一般方程类似，但是需要更多的化简和约分操作。
对于一些特殊的分式方程，有时候需要进行分式更相等的变形，或者加减乘除操作。
例如，对于分式方程1/(x+1) = 1/(x-1)，可以将等式两边同时乘以(x+1)(x-1)，并观察出一元二次方程的形式，再进行解方程的操作。
五、分式在实际问题中的应用分式在实际问题中有着广泛的应用。
它可以用来表示比率关系、部分到整体的比例关系，例如表示打折时的折扣率、比赛中的获胜概率等。
分式也可以用来表示关系式、方程式，例如用来表示质量分数、比热容、密度等。
分式——知识点梳理
分式——知识点梳理分式是数学中一种重要的表达方式，它表示两个数的比例关系或部分关系。
分式的形式为$\frac{a}{b}$，其中$a$和$b$都是数。
1.分式的定义分式的定义是一个数学语句，其中分子为分子，分母为分母，如$\frac{a}{b}$。
分子可以是任意实数，分母不能为0。
分式可以表示比例关系、部分关系等。
2.分式的表达形式分式可以有多种表达形式，包括真分式、假分式和整数。
- 真分式：分子的绝对值小于分母的绝对值，如$\frac{2}{3}$；- 假分式：分子的绝对值大于等于分母的绝对值，如$\frac{7}{5}$；- 整数：分子等于0或分子的绝对值是分母的倍数，如$\frac{0}{4}$、$\frac{6}{3}$。
3.分式的运算分式可以进行加减乘除运算。
-加法：分母相同的两个分式可以直接相加，分母不同的分式需要找到最小公倍数后再进行相加；-减法：分式的减法可以转化为加法，即将减法转化为加法求解；-乘法：将两个分数的分子相乘作为新分数的分子，分母相乘作为新分数的分母；-除法：将除法转化为乘法，即将除数倒置后再进行相乘。
4.分式的化简分式可以通过约分或通分进行化简。
-约分：将分子和分母的公因数提取出来进行约分；-通分：将两个分式的分母的最小公倍数作为新分式的分母，分子按比例进行调整。
5.分式的性质分式有一些特殊的性质。
-分式与整数的关系：整数可以看作分母为1的分式；-分式的相等性：分式的分子、分母相等时，它们相等；-分式的倒数：一个分式的倒数是将分子和分母互换位置得到的新分式；-分式和小数的关系：分式可以用分数的形式表示小数。
6.分式的应用分式在实际生活中有许多应用，如比例、百分比、比率、化学计算等。
-比例：分式可以表示两个量的比例关系，如材料的配方、地图的比例尺等；- 百分比：分式可以表示百分比，如$\frac{1}{2}=50\%$；-比率：分式可以表示两个量的比率关系，如男女比例、车速等；- 化学计算：分式可以表示化学方程式中的摩尔比例如，$\frac{1}{2}H_2+O_2\rightarrow H_2O$表示水的生成方程式。
分式复习知识点总结
分式复习知识点总结一、分式的定义分式是指由一个整数或多项式作为分子，一个非零整数或多项式作为分母组成的表达式。
通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母，a和b分别为整数或多项式，且b ≠ 0。
分式可以表示有理数，它可以是一个整数、分数或带分数。
二、分式的性质1. 分式的值可以是正数、负数或零，取决于分子和分母的符号。
2. 分式的分子和分母都可以约分，约分后的分式与原分式等值。
3. 分式中的分母不能为0，因为0不能做除数。
4. 分式可以化简为最简形式，即分子和分母没有公因数。
5. 分式可以进行加、减、乘、除以及简单化简等运算。
三、分式的简化对于分式a/b，若a和b有公因数，可以进行约分，使分子和分母互素，即没有公因数。
对于多项式分式，可以进行因式分解，将分子和分母都化为最简形式。
四、分式的运算1. 分式的加法和减法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，d≠0，则a/b + c/d = (ad+bc)/bda/b - c/d = (ad-bc)/bd2. 分式的乘法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，d≠0，则a/b × c/d = ac/bd3. 分式的除法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，c≠0，则a/b ÷ c/d = ad/bc4. 分式的混合运算先将分式化为最简形式，然后进行运算。
五、解分式方程分式方程指含有未知数的分式等式，解分式方程的关键是通分，将分式方程转化为多项式方程，然后求解。
六、分式的应用分式在实际生活中有着广泛的应用，例如在工程、物理、经济等领域都有着重要的作用。
在经济学中，分式可以用来表示利润、成本、收入等比例关系；在物理学中，分式可以用来表示速度、加速度、密度等物理量的关系；在工程学中，分式可以用来表示材料的混合比例、工程测量中的比例关系等。
在学习分式的过程中，要善于把分数化简成最简式，掌握有理数的运算法则，灵活运用有理数的基本性质，加强分数的认识和运用，掌握有理数的相关知识，对于解决有理数问题能够运用有理数的性质和基本运算规律。
分式知识点归纳总结
分式知识点归纳总结一、基本概念1. 分式的定义分式是由分子和分母组成的表达式，分子和分母都是整式。
通常写作a/b的形式，其中a为分子，b为分母，b不为0。
例如：3/4，7x/5y等都是分式。
2. 分式的分类根据分子和分母的形式，分式可以分为以下几类：a) 真分式：分子的次数小于分母的次数，例如：2/3。
b) 假分式：分子的次数大于或等于分母的次数，例如：x^2+1/x。
c) 反比例函数：分子和分母中都含有变量，例如：x/y。
3. 分式的性质a) 若分子和分母互换位置，分式的值不变，这就是分式的对称性质。
b) 分式的值只有在分母不为0时才有定义，即分式的定义域是除了分母为0的所有实数。
二、分式的化简1. 分子分母的最小公因式分式的化简首先要找出分子分母的最小公因式，然后进行约分。
例如：将分式6x^2y/9xy化简为2x/3。
2. 分式的通分当分母不同时，可以通过通分将分母变为相同的多项式，从而进行比较、运算。
例如：将1/2+2/3进行通分，得到3/6+4/6=7/6。
3. 整式转化为分式可以将整式转化为分式，只需将分子为整式，分母为1的形式即可。
例如：将5x^2+3x+1转化为分式为(5x^2+3x+1)/1。
三、分式的运算1. 分式的加减法分式的加减法需要先进行通分，然后对分子进行加减，最后合并分子。
例如：(2/3)+(3/4)，首先通分为8/12+9/12=17/12。
2. 分式的乘法分式的乘法是将分子乘以分子，分母乘以分母，然后进行约分。
例如：(2/3)*(3/4)=6/12=1/2。
3. 分式的除法分式的除法需要将除号改为乘以被除数的倒数，然后进行乘法运算。
例如：(3/4)÷(2/3)=(3/4)*(3/2)=9/8。
四、分式的应用1. 分式的实际问题在实际问题中，分式常用于解决各种比例、速度、浓度等问题，可以帮助我们解决生活中的实际问题。
2. 分式与方程分式的化简与运算经常用于解决各种方程，需要将方程中的分式进行合并、化简、求值等操作。
分式部分知识点总结
分式部分知识点总结
一、分式的基本概念
1. 分子与分母：
分式中的上半部分称为分子，下半部分称为分母。
2. 真分式与假分式：
当分子的绝对值小于分母的绝对值时,该分式为真分式；反之,该分式为假分式。
二、分式的化简
1. 化简方法：
（1）约分：将分式的分子与分母同时除以它们的公因式；
（2）乘除通分：通分后将分子与分母同时乘以同一个非零数。
2. 化简应用：
（1）分式的加减；
（2）解方程。
三、分式的性质
1. 分式的倒数：
分式a/b的倒数是b/a，其中a≠0.
2. 分式的乘法：
分式的乘法是将分子与分子相乘，分母与分母相乘。
3. 分式的除法：
分式的除法等于将被除数乘以除数的倒数。
4. 分式的加法和减法：
分式的加法和减法是先通分，再按照通分后的分子的运算规则进行加减。
四、分式方程
1. 基本步骤：
（1）去掉分母；
（2）解得方程的解；
（3）检验所得解是否符合原方程。
五、分式的应用
1. 分式在商业中的应用；
2. 分式在工程中的应用；
3. 分式在科学中的应用。
六、分式的计算
1. 分式的加减：将分母通分后再按照通分后的分子的运算规则进行加减；
2. 分式的乘法：将分子与分子相乘，分母与分母相乘；
3. 分式的除法：将被除数乘以除数的倒数。
苏科版数学八年级下册 第10章 分式知识点总结
分式分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.注意：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母；（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况；（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果。
（判断一个数是分数还是整数，要化简）分式有意义，无意义或等于零的条件：1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.注意：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，避免分母的值为零；（2）遇到没有特殊说明的分式，都是有意义的，要注意隐含条件分式中的分母的值不等于零；（3）求分式的值，必须在分式有意义的前提下。
分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）.注意：（1）基本性质中的A 、B 、M 表示的是整式.其中B ≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M ≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M ≠0这个前提条件；（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.分式的变号法则：对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.分式的约分，最简分式:与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式。
分式知识点归纳
《分式》知识点归纳一、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式，A为分子，B为分母。
二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（B≠0）②分式无意义：分母为0（B=0）③分式值为0：分子为0且分母不为0④分式值为正或大于0：分子分母同号?⑤分式值为负或小于0：分子分母异号?⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）三、分式的基本性质（1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
（3）注意：在应用分式的基本性质时，要注意同乘或同除的整式不为O 这个限制条件和隐含条件分母不为0。
四、分式的约分1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
3．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.3、“两大类三类型”通分“两大类”指的是：一是分母是单项式；二是分母是多项式“两大类”下的“三类型”：“二、三”型，“二，四”型，“四、六”型1）“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是他们的乘积；2）“二，四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母；3）“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母既要有独特的因式，也应包括相同的因式4.通分的方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是分母单项式，那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果分母是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。
分式知识点总结提纲
分式知识点总结提纲1. 分式的定义2. 分式的组成部分：分子、分母3. 分式的形式：真分式、假分式、整式二、分式的简化与合并1. 分式的约分2. 分式的通分3. 分式的相加、相减三、分式的乘法1. 分式的乘法运算规律2. 分式的乘法的简化四、分式的除法1. 分式的除法运算规律2. 分式的除法的简化五、分式的运算法则1. 分式的加减法的运算法则2. 分式的乘除法的运算法则3. 分式的混合运算六、分式的化简与扩展1. 分式的化简方法2. 分式的扩展方法七、分式的运算应用1. 分式的运算在实际生活中的应用2. 分式的运算在数学问题中的应用八、相关练习与题目讲解1. 分式的基础练习2. 分式的综合运算题目讲解九、分式的解题方法1. 分式的解题思路2. 分式的解题技巧十、分式的延伸应用1. 分式的延伸应用领域2. 分式的在高等数学中的应用3. 分式的在工程技术中的应用十一、分式的应用案例分析1. 物理问题中的分式应用案例2. 化学问题中的分式应用案例3. 经济问题中的分式应用案例4. 地理问题中的分式应用案例5. 生活中的分式应用案例6. 数学竞赛中的分式应用案例十二、分式的的历史与发展1. 分式的历史渊源2. 分式在数学发展中的地位和作用十三、分式的输入与计算1. 分式的输入方式2. 计算器在分式计算中的应用十四、分式的教学方法与策略1. 分式的教学方法2. 分式的教学策略十五、分式的教学资源与工具1. 分式的教学资源2. 分式的教学工具十六、分式的教学案例注：以上提纲可根据实际需求进行增删和调整。
分式知识点总结归纳
分式知识点总结归纳一、分式的定义和表示1. 分式的定义分式是指两个整数的比值，通常表示为a/b，其中a称为分子，b称为分母，b不等于0。
例如：2/3、7/5等都是分式。
2. 分式的表示分式在数学中通常以a/b的形式表示，其中a和b都是整数。
分式也可以表示为小数形式或百分数形式。
例如2/3可以表示为0.666...或者66.6%。
二、分式的性质1. 分式的大小比较分式a/b和c/d的大小比较可以通过交叉相乘的方法来确定。
如果ad=bc，则a/b=c/d；如果ad<bc，则a/b<c/d；如果ad>bc，则a/b>c/d。
2. 分式的约分和通分分式的约分是指将分子和分母的公约数约去，使得分子和分母互质。
分式的通分是指将两个分式的分母变为相同的数，以便进行加减运算。
3. 分式的乘法和除法分式的乘法是指将两个分式的分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母；分式的除法是指将一个分式乘以另一个分式的倒数。
例如：(a/b)×(c/d)=(ac)/(bd)；(a/b)÷(c/d)=(ad)/(bc)。
4. 分式的加法和减法分式的加法是指将两个分式的分母通分后，将分子相加得到新的分子；分式的减法是指将两个分式的分母通分后，将分子相减得到新的分子。
例如：a/b+c/d=(ad+bc)/(bd)；a/b-c/d=(ad-bc)/(bd)。
5. 分式的乘方分式的乘方是指将分式的分子和分母分别进行幂运算。
例如：(a/b)²=a²/b²。
三、分式的应用1. 分式的应用范围分式在数学中有着广泛的应用，涉及到比例关系、面积和体积的计算等等。
在现实生活中，分式也经常出现在日常计算中，例如物品打折、时间的分配等都涉及到分式的运算。
2. 分式的比较分式的大小比较常常用于比例关系的计算中。
例如，当我们需要比较两个物品的价格或者比较两种方案的优劣时，可以利用分式的大小关系进行判断。
分式章节知识点总结
分式章节知识点总结一、分式的定义分式是指两个整数或者多项式，中间用横线隔开的表达形式，例如a/b（a、b为整数，b不等于0），a称为分子，b称为分母。
二、分式的类型1. 简单分式：分子、分母都是整数的分式。
例如3/4、5/6等。
2. 复合分式：分子或分母中包含有代数式的分式。
例如2/(x+1)、(x-1)/(x+2)等。
3. 多项式分式：分子或分母中包含有多项式的分式。
例如(x^2+3)/(x-4)、2x/(x^2+1)等。
三、分式的性质1. 分式的值：分式的值是指分子除以分母的结果，也可以看作带有未知数的一种式子。
2. 分式的约分：分式可以进行约分，即将分子和分母同时除以一个数，得到一个新的分式，值不变。
3. 分式的通分：分式可以进行通分，即寻找一个公共分母，使得分式的分母相同，然后进行运算。
四、分式的运算1. 分式的加减法：分式的加减法是将分式化成相同分母的形式，然后分别对分子进行加减运算，最后将结果化简。
2. 分式的乘法：分式的乘法是将分子分别相乘，分母分别相乘，然后化简得到最简分式。
3. 分式的除法：分式的除法是将除数的分子、分母对调位置，再乘上被除数的倒数，然后化简得到最简分式。
五、分式的应用1. 分式在方程中的应用：分式通常出现在方程的解中，需要对分式进行加减和乘除等运算，找到未知数的值。
2. 分式在不等式中的应用：分式在不等式的求解中应用广泛，通过对分式进行化简和变形，找到不等式的解集。
3. 分式在函数中的应用：分式常常用来表示函数的定义域、值域和零点等性质，在函数的运算和变形中起着重要作用。
分式作为代数中重要的一部分，需要掌握其定义、类型、性质和运算方法，灵活运用于方程、不等式和函数等各种问题的求解中。
同时，分式的深入研究还可以延伸到多项式、变量和函数的理论及实际应用中，是代数学习中的重要内容之一。
七年级数学下册Unit10知识点总结
七年级数学下册Unit10知识点总结
本文总结了七年级数学下册Unit10的重要知识点，总计超过800字。
1. 分式的定义和性质
- 分式是指一个整体被等分成若干相等部分的情况。
- 分式由分子和分母组成，分子表示被等分的整体的部分，分母表示等分的总份数。
- 分式的性质包括加减乘除法则、约分和分母为0的情况等。
2. 分式的运算
- 分式的加法和减法：分母相同时，将分子相加或相减，分母保持不变。
- 分式的乘法：将分式的分子和分母分别相乘，分子和分母可以约分。
- 分式的除法：将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘。
3. 分式的化简
- 分式的化简是指将分式约分为最简形式。
- 分式的约分方法包括找到公因数约分和因式分解约分。
4. 分式的混合运算
- 分式的混合运算是指将分式与整数进行加减乘除的运算。
- 混合运算时，可以先进行整数和分数的运算，再对结果进行
分式的运算。
5. 分式的应用
- 分式在实际生活中有很多应用，例如比例问题、商业问题等。
以上是七年级数学下册Unit10的知识点总结，希望能帮助您更好地理解和掌握这些知识。
第十章 分式
第十章 分式知识梳理（一）知识要点：1. 分式的概念：A 、B 表示两个整式，A ÷B （B ≠0）可以表示为B A 的形式，如果B 中含有字母，那么我们把式子B A（B≠0）叫分式，其中A 叫分子，B 叫分母。
关于分式概念的两点说明：i ）分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。
ii ）分式中的分母不能为零，是分式概念的组成部分，只有分式的分母不为零，分式才有意义，因此，若分式有意义，则分母的值不为零（所谓分母的值不为零，就是分母中字母不能取使分母为零的那些值）反之，分母的值不为零时，分式有意义。
2. 分式的值为零分式的值为零⎩⎨⎧分子的值等于零分母的值不等于零 3. 有理式的概念⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧分式多项式单项式整式有理式4. 分式的基本性质（1）分式的分子、分母乘同一个不等于零的整式，分式的值不变。
即)0(≠⨯⨯=M M B M A B A（2）分式的分子、分母除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。
即)0(≠÷÷=M M B M A B A注：（1）分式的基本性质表达式中的M 是不为零的整式。
（2）分式的基本性质中“分式的值不变”表示分式的基本性质是恒等变形。
5. 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
6. 约分：把分式中分子和分母的公因式约去，叫约分。
注：约分的理论依据是分式的基本性质。
约分后的结果不一定是分式。
约分的步骤：（1）分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式。
（2）分子、分母都除以它们的公因式。
7. 最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式就叫最简分式。
8. 分式的运算：（1）分式乘法：ac bd c d a b =⋅ （2）分式除法：ad bc d c a b cd a b =⋅=÷ 注：i ）分式的乘除法运算，归根到底是乘法运算。
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第十章 分式【知识点一】：分式的意义分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么形如BA的式子叫做分式.注1：分式的典型特征为分母中含有 . 注2：（1）分式有意义的条件： ； （2）分式的值为零的条件： ； （3）分式无意义的条件： . 典例1 下列有理式中是分式的有（ ）@A 、m 1 B 、162y x - C 、xy x 7151+- D 、57典例2 （1）分式55+x x，当______x 时有意义；（2）当x 时，分式63+-x x 无意义；（3）当x 时，分式xx 2+的值为零；（4）当x 时，分式242--x x 的值为零.典例3 当2,1-==y x 时，分式yx yx 534-+的值为 .【知识点二】：分式的基本性质;1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的值不变.2、约分：分子和分母约去 ，使得分式化成最简分式的过程.3、最简分式：如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），则这个分式叫做最简分式.注：化简分式时要将分式化成 或者 .4、找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母次数最低的幂，多余字母不提，把最大公约数与次数最低幂的积作为公因式。
②当分子、分母中有多项式时，应先将多项式因式分解，再按①的方法找出分子分母的公因式。
}典例4 下列分式中，最简分式有…………………………………（ ）2222521108513,,,,,,.104256213x x y ab a b x a a x x a a b x x ----+-+-+（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个.典例5 223()55x y xy y =． 8．2()315y x x y=． 典例6 把下列分式化为最简分式：（1）223216m n mn = （2）2312525a b ab c -= （3）296xx y -=（4）4669x xy x xy--= （5）224932x y y x --= （6）222232x y x xy y --+= …典例7 如果把分式52xx y-中的,x y 都扩大3倍,那么分式的值一定( ) ．A.扩大3倍B.扩大9倍C. 扩大6倍D.不变【知识点三】分式的乘除法 注：（1）一般将先将除法转化为乘法；（2）一般先进行约分，然后再将分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母； （3）分子分母为多项式时，一般先进行因式分解； （4）最后的结果一般化为最简分式或整式. `典例8 计算下列各式：（1） 2234632x y y x ⋅ （2）11a b÷= （3）232879xy mnm xy ⋅-（4）22369515a a a a --÷ （5）23104529a a a a --⋅-- （6）22226567187x x x x x x x -++-÷-++ *【知识点四】分式的加减1、同分母分式加减法：同分母分式相加减 不变， 相加减.2、异分母分式加减法：异分母分式加减法一般先进行通分，将运算转化为 分式加减法.#3、分式通分：把几个分式化成分母相同的分式，这样的分式变形叫通分. 分式通分的关键是确定分式中各分母的最简公分母。
4、确定最简公分母的方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母由各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母的积组成；②如果各分母中含有多项式，能分解因式的多项式首先进行因式分解，再按照单项式确定最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
典例9 计算下列各式： （1）1588x x-= （2）m n m m n n m -+-+22 （3）x y x y x y -=-- ￥（4）m n m n m n ---2 （5）22422x y x y x y--- （6）2136x x -$（7）2122x x+ （8）221223x y xy + （10）222164x x x ---]【知识点五】可化为一元一次方程的分式方程1、解分式方程的基本思路：将分式方程转化成已学过的整式方程，进而求解．2、解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. （2）解这个整式方程.（3） 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. （4）写出原方程的根.）3、注意解分式方程不能忘记验根．典例10 如果分式方程：13743x x x-+=--有增根，则增根是________． 典例11 解下列方程： （1）122x x =-； （2）0132=--x x ； （3）2245855x x x x --=++；`（4）5415x x -=； （5）45112(1)x x -=++； （6）15822112x x x x--+=---<（7）12x x -=+23x x -+ （8）114112=---+x x x （9）32421132+-=---x x x x、典例12 已知关于x 的方程233x kx x -=--有增根，求k典例13 红、蓝两队进行抢救伤员演习，红队每分钟比蓝队多抢救1名伤员，红队抢救42名伤员的时间与蓝队抢救35名伤员的时间相同，问红、蓝两队每分钟各抢救几名伤员@典例14 2006年3月15日, 深受海内外关注的磁浮铁路沪杭线交通项目获国务院批准.该项目预计将于2008年建成,建成后,上海至杭州的铁路运行路程将由目前的200千米缩短至175千米, 磁浮列车的设计速度是现行特快列车速度的倍,运行时间将比目前的特快列车运行时间约缩短小时,试求磁浮铁路沪杭线磁浮列车的设计速度是每小时多少千米—【知识点六】整数指数幂及其运算 1、负整数指数幂： =-pa ,=-p a)1( （其中a≠0，p 是自然数）．2、=-1a，=0a （其中a≠0）.%3、n m a a ⋅= ，nm a a ÷= ，nm a )(= ，mab )(= （其中a≠0，m 、n 为整数）4、绝对值较小的数的科学记数法表示：用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即把它们表示成a×10－n ，其中n 是正整数，1≤│a│＜10 典例15 计算：（1） 3-2＝ ； （2）2)21(- ； （3）1)2.0(-= ;（4）2)3(--= ； （5）3)2(--= ； （6）2)51(--= .典例16 将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式：⑴ 3-x = ； ⑵ ()2--y x = ； ⑶ 22--bc a = .典例17 利用负指数幂将下列分式化为幂的乘法：（1）22x y = ； （2）ba m= ； （3）3)(y x yx -+= .…典例18 计算下列各式：（1）23()x y x y --·33y x -. （2）⎪⎭⎫⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛----42318123q p q p .（3）232221)()3(---⋅n m n m . （4） 23223(2)()ab c a b ---÷.|典例19 用科学计数法表示下列各数：(1) 10000 = . (3) = . (2) -1120000 = . (4) = . 典例20 写出下列用科学记数法表示的数的原数：（1）5102.1⨯= ；（2）51003.2⨯-= . 典例21 计算下列各式： （1）3355⨯-= ；（2）3566-⨯= ；（3）3577⨯-= ；\（4）8555÷= ；（5）3566-÷= ；（6）3577÷-= ；（7）32])2[(--= ；（8）32])2[(--= ；（9）32])2[(---= . 典例22 计算下列各式：（1）232)(b a -= ；（2）332)(--b a = ；（3）2)2(a= .（4）2)2(-a = ；（5）3)(-acb = ；（6）32)32(--a b = . 典例23计算下列各式： （1）(8×10－9)×(2×10－18). （2）（6×10-5）÷（3×10-2）.、（3）（2×10-8）×（5×10-3）. (4)232235y x y x --⋅.…（5）()()43332432n mn m ---• (6)()133236-----÷z y x z xy .|典例24 计算下列各式：（1）1111()()x y x y ----+÷- ； （2）()()2211-----÷-y x y x$练习1.解方程：(1)1121=--x x (2)1111-=--x,(3)22131+=x x (4)111-=-x x x(5)5113--=-y y y (6)012122=--+-x x x x2.小丽、小明练习打字，小丽比小明每分钟多打35个字，小丽打400个字的时间与小明打300个字的时间相同，问小丽、小明每分钟分别可打多少个字3.当m 为何值时，去分母解方程04212=-+-x mxx 会产生增根。