年普通高中创新素养培养实验班招生考试试卷及答案

E D C

B

A 2014年普通高中创新素养培养实验班招生考试试卷

数学试题

一、选择题（共6题，每题4分，共24分）

1、从1，2，3，4，5这五个数字任取两个数字，使其乘积为偶数的概率为（ ）

（A ）45 （B ）710 （C ）35 （D ）12

解： 总数=4+3+2+1=10，符合条件的为：2×1；2×3；2×4；2×5；4×1；4×3；

4×5共7个（或只有1×3；1×5；3×5共3个例外），∴概率为

710或1－310＝710 2、已知锐角△ABC 角平分线AD 与高线BE 交于点M ，△CDE 是等边三角形，则

S △DEM ∶S △ABM 的值为（ ）

（A ）2∶2 （B ）1∶2 （C ）1∶3 （D ）1∶4

∵∠C =600，∠BEC =900，∴∠EBC =300，又∠CDE =600，∴∠BED =300， ∴ED =BD =CD ，∴AD 即是∠BAC 的平分线，又是BC 上的中线， ∴AB =AC ，∴△ABC 为正三角形，∴AD 与BE 的交点为△的重心 ∴S △DEM ∶S △ABM =1∶4。

3、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第二象限，点B在x轴负半轴上，

△OAB的面积是9，P是AB中点，若函数y＝k

x

（x<0）的图像经过点A、P，则k的

值为（）

（A）－6 （B）－4 （C）－3 （D）－2

设点A坐标为（m，n），点B（a，0），∵S△OAB=9，∴－1

2

an＝9，

∵P是AB的中点，∴点P坐标为（m＋a

2

，

n

2

），∵k＝xy，∴代入A、P坐标得：

k＝mn，k＝(m＋a)n

4

，∴mn＝

(m＋a)n

4

，∴3mn＝an，∵－an＝18，∴mn＝－6

∴k＝－6

（本例考点为点与函数的关系、中点坐标的应用，中点坐标是解压轴题的重要工具）

※ 同类测试题：如在直角坐标系中，存在一个平行四边形，其中平行四边形的三个项点的坐标为（1，3），（2，2）和（3，4），求另一顶点的坐标？

4、对于任意的有理数a，方程2x2＋(a＋1)x－(3a2－4a＋b)＝0的根总是有理数，则b的值为（）

（A）1 （B）－1 （C）2 （D）0

解：方程的△＝(a＋1)2＋8(3a2－4a＋b)＝(5a－3)2＋8b－8≥0，∴当8b－8≥0时，

P

G F

E

D C B A 必定△≥0，即方程必有实根，∴b ≥1，当b ＝1时，3a 2－4a ＋1＝(3a －1)(a －1)， ∴十字因式分解得方程为（(x －a ＋1)(2x ＋3a －1)＝0，∴b ＝1成立，

当b ＝2时，3a 2－4a ＋b ＝3a 2－4a ＋2不能因式分解，∴方程有可能为无理数解， （在一元二次方程中，运用方程的判别式和因式分解是解决方程有理根和整数根 重要工具，）

※同类测试题：使得m 2＋m ＋7是完全平方数的所有整数m 的积的值。

5、如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 的中点D 作直线l ∥AC ，l 与AB 交于点E ，与⊙O 交于点G 、F ，与⊙O 在点A 处的切线交于点P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长度为（ ） （ A ） 2 （B ） 5 （C ） 6 （D ）7

解：∵BD =CD ，DE ∥AC ，∴AE =BE ，又PE =EF ，

∴四边形PBFA 是平行四边形，∴PA =BF ，PB ∥AF ，PF ∥AC ∴∠BPF =∠FAC ，又∠FBC =∠FAC ，∴∠FBC =∠BPF ， ∴△BFD ∽△PFB ，∴DF BF ＝BF PF

，∴BF 2＝DF ·PF =6。 ∴PA =BF = 6 。

（考点为中位线、平行四边形的判定，与圆有关的角的运用在解决圆问题中，具有

N 相当重要的地位）

6、如图，已知锐角∠A =∠B ，AA 1、PP 1、BB 1均垂直于A 1B 1，垂足分别是A 1、P 1、B 1，且AA 1=17，AP +PB =13，BB 1=20，A 1B 1=12，则PP 1的长度为（ ）

（（C ）15（D ）16 E ，过P 作MN ∥A 1B 1，∵AA 1∥BB 1，∠AEP =∠B =∠A ，∴PA =PE ∴BE =PB +PA =PB +PE =13，EF =A 1B 1＝12，∴BF =BE 2－EF 2＝132－122＝5，

∴B 1F ＝BB 1－BF =20－5=15，∴EA 1＝15，∴AE =2，∴ME =1，∴PP 1＝MA 1＝16

二、填空题（共6题，每题4分，共24分）

7、已知a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，则2a 2－5a －2＋3a 2＋1

的值为 。 ∵a 2－3a ＋1＝0，∴a 2＋1＝3a ，a ＋1a

＝3 ∴原式=2(a 2－3a ＋1)＋a －4＋33a ＝a ＋1a

－4＝3－4＝－1， （本例代数的整式运算法，即以代数多项的值参与运算，而代数多项需根题型进行配制）

※同类测试：已知x ＝

3＋52，求x 10＋x 5＋1x 5＋1x 10的值。

H G F E D C B A

F

E D C B A

M G 8、“*”表示一种运算，规定x *y ＝1xy －1(x ＋1)(y ＋A )。若1*3＝112

，则2013*2014= 。

1*3＝11×3－1(1＋1)(3＋A )＝112

，解得A ＝－1， 2013*2014=

12013×2014－1(2013＋1)(2014－1)＝0 9、如图，Rt △ABC 的硬纸片，∠BAC =90°，AB =3，BC =5，AD 为BC 边上的高，从这张硬纸片上剪下一个如图所示的内接正方形EFGH ，则正方形EFGH 的边长为 . 解：由勾股定理得AC =4，由面积公式得AB ·AC =BC ·AD ，

∴AD =

125，设正方形的边长为x ，∵HG ∥BC ，∴HG BC ＝AH AB ， ∵HE ∥AD ，∴HE AD ＝BH AD

， 两式相加得：x 5＋x 125＝AH ＋BH AB ＝1，解得x ＝6037

。 10、如图，在△ABC 中，AB =AC ，CM 平分∠ACB ，与AB 交于点M ，AD ⊥BC 于点D ，ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥MC 与BC 交于点F ，若CF =10，则DE =

解：取CF 的中点G ，连接MG ，设DE =x ，EF =y ，

可得DC =CF －EF －DE =10－x －y ，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，