无限维Lie代数和Leibniz代数
什么是代数学
什么是代数学在学习代数学过程中有人问:"近世代数讲完群环域以后就没再讲其他的东西，后面还应该学习些什么知识，才可以继续深入研究下去。
"这个问题的复杂程度不亚与代数学本身,我仅谈一下自己认识到的一些看法:首先说明，认为近世代数讲完群环域以后就完全是其他更高级的东西的说法是不对的，近世代数中讲的仅仅是群环域的基本概念及引论，事实上它们每一种都有一门或几门学科分支，国内很多学校已经有这样的硕士，博士点，接下来的环与模范畴、同调代数当然是最基本的。
我来介绍一下我所接触的代数学：我认为代数学是研究代数结构的学问，这有两层含义：第一层含义是研究各种代数结构，从而就不仅是群环域，还有这些结构的各种子结构，弱结构和对这些结构的公理进行变形后得到的各种结构;第二层含义是通过各种途径和技术来研究这些代数结构，比如同调的方法，范畴论的方法, 还有新近的量子化方法等等。
代数有两种含义，广义的和狭义的。
广义的代数是指群,环,域等等(下面将要看到,这个等等是不寻常的)这些结构及研究他们的方法论的总和; 狭义的代数一般专指向量空间上定义了某种满足一些公理化条件的乘法后的这种结构,这个概念当然可以推广到模上。
需要注意的是很多书上所说的代数还专门指乘法满足结合律的结合代数，这就是说这个空间对于其中的乘法运算构成环。
下面列举我接触到的部分课程清单(个人观点, 分类不很科学和完整,请大家指正和补充):[基本理论]: 群及其表示论分支: 一般群论拓扑群（连续群）置换群及其应用可解群幂零群典型群有限群论李群李型单群高阶K-群无限Ablel群半群理论 Ellis半群离散群组合群论(线性)代数群群表示论(常表示与模表示) 等等[基本理论]: 环与模范畴, 代数及其表示论,分支: 一般环论根论正则环局部环非交换环非交换(结合)代数分次环与模有限维代数可除代数 C*代数算子代数V on Neumann代数非交换多项式代数 (Ore代数) Artin代数及表示论腔胞代数 Lie代数无限维李代数 Lie超代数 Colored李代数Kac-Moody代数顶点算子代数微分代数(拟)遗传代数(Quasi-hereditary)量子代数拓扑代数等等一些有"名" 的代数:Azumaya代数 Baxter代数 Hecke代数 Boolean代数Cluster代数 Clifford代数 Frobienus代数Grassmann代数 Heisenberg代数 Jordan代数 Koszul代数Loop代数 Leibniz代数 Miscellaneous代数 Nakayama代数Poisson代数带子(Robbin)(Hopf)代数 Ringel–Hall代数Steenrod 代数管子(Tube)代数 W-代数 Weyl代数(Jacobson)-Witt代数 Nichols代数 Poincare代数 Yang-Mills代数等等一些小专题：张量代数交错代数包络代数 Morita理论 Galois扩张理论[基本理论]: 域论与数论相关: 有限域及其应用迦罗瓦理论赋值论数论导引解析数论基础代数数论基础丢番图分析超越数论模型式与模函数论筛法代数编码理论积性数论堆垒数论等等[基本理论]: Hopf代数与量子群相关: 有限维Hopf代数辫子Hopf代数 Hopf C*代数Hopf-伽罗瓦扩张 Multiplier Hopf代数余环与余模理论弱Hopf代数拟Hopf代数 Hopf代数胚点Hopf代数根树Hopf代数(Grossman-Larson, Connes-Moscovici-Kreimer)路Hopf代数(Hopf Quiver) 局部紧量子群非交换(微分)几何李双代数等等[基本理论]: 同调与上同调理论(Homology and Cohomology)相关: 交换代数同调代数代数K-理论高维代数A∞(双)代数L∞(双)代数循环同调群与李群的上同调Lie代数的上同调 Etale上同调 Hochschild同调与上同调等等[基本理论]: 范畴论及表示 (Category)相关: 阿贝尔范畴 n-范畴双范畴(Hopf范畴) 导出范畴(Derived Categories)张量范畴(Tensor or Monoidal Categories)三角范畴(Triangulated Categories) Fusion范畴等等数学中是有一些老化的学科，也有些个别人故意增加条件把问题复杂化的事例，代数中有，拓扑学也一样。
数学中的李群与李代数
数学中的李群与李代数李群与李代数在数学中扮演着重要的角色。
本文将对李群与李代数的基本概念进行介绍，并讨论它们之间的关系。
一、李群（Lie Group）李群是一种同时具有群结构和流形结构的数学对象。
群结构指的是李群上定义了乘法运算，同时存在单位元、逆元等性质。
而流形结构则是指李群在每个点附近都具有局部同胚于欧几里得空间的性质。
举个简单的例子，旋转矩阵群SO(3)就是一个李群。
它由所有的旋转矩阵组成，而旋转矩阵的乘法运算便构成了群运算。
此外，SO(3)也是一个三维实流形，因为它在每个点附近都可以通过欧几里得空间进行局部的描述。
李群的定义使得我们可以在其上定义微分结构，进而研究其微分几何性质。
比如，我们可以定义李群上的切空间和切丛，进而研究其在每个点上的切向量和切空间的结构。
二、李代数（Lie Algebra）李代数是李群的切空间上的代数结构。
它通常用于描述李群的局部性质。
李代数由向量空间和李括号这两个部分构成。
向量空间是李代数的基础，它的元素被称为李代数的生成元或向量场。
李代数的生成元通常用一组基向量来表示，这些向量之间通过线性组合构成一个线性空间。
李括号则定义了李代数中向量场之间的运算。
对于两个向量场X和Y，李括号[X, Y]被定义为它们的Lie导数的对易子。
李代数的一个经典例子是三维旋转群的李代数so(3)。
它由三个无限小旋转生成元构成，通常记作J₁, J₂和J₃。
它们之间的李括号满足以下关系：[J₁, J₂] = J₃, [J₂, J₃] = J₁, [J₃, J₁] = J₂。
三、李群与李代数的关系李群与李代数之间存在着密切的联系。
事实上，对于任意一个李群，都可以构造出与之对应的李代数。
这个李代数被称为李群的切代数，它反映了李群局部性质的信息。
具体地，李群的切代数可以通过计算李群上的左不变矢量场的李括号来得到。
左不变矢量场在李群的每个点上都是不变的，因此它在整个李群上构成了一个矢量场。
反过来，给定一个李代数，也可以构造出与之对应的李群。
完备Leibniz代数的性质及其低维分类
完备Leibniz代数的性质及其低维分类曾阳;林磊【摘要】本文研究了完备Leibniz代数的性质及低维分类.利用Leibniz代数中平方元生成的双边理想,获得了小于五维的完备Leibniz代数完整的分类,以及五维时一类特殊情况下完备Leibniz代数的分类,从而推广了Leibniz代数的结构理论.%In this paper we study the properties of complete Leibniz algebras and their classification of low dimensions. By using the two-sided ideals which are generated by square elements, we obtain complete classification of complete Leibniz algebras of dimension less than five. We also obtain the classification of the special case of five-dimensional complete Leibniz algebras. All these results develop the construction theory of Leibniz algebras.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2012(032)003【总页数】12页(P487-498)【关键词】Leibniz代数;完备李代数;完备Leibniz代数【作者】曾阳;林磊【作者单位】华东师范大学数学系,上海200241;华东师范大学数学系,上海200241【正文语种】中文【中图分类】O152.5Leibniz代数最早是由Bloch在文献[12]中考虑,当时被称为D-代数.直至上世纪九十年代,Loday[13]在研究不满足交错性的广义李代数时,正式提出了这个概念.关于非李的Leibniz代数分类问题,二维、三维以及四维幂零的情况已有完整分类,而其它情况下Leibniz代数的结构尚未有清晰而完整的刻画,关于Leibniz代数其它方面的研究则主要集中在关于同调问题等的抽象理论上(参见文献[6,10,11]等).上世纪四五十年代一些学者提出了完备李代数的概念,并对这类代数进行过研究.所谓完备李代数,就是满足中心为零而且导子都是内导子的一类特殊的李代数,我们常见的有限维复半单李代数就是完备李代数.关于完备李代数的结构和性质已有很深刻的结果(参见文献 [3]),但完备李代数的分类问题并没有完全解决.对于低维完备李代数,朱林生,孟道骥在文献[8]中给出了幂零根基维数≤6以及所有的≤7维完备李代数的分类.在前人工作的基础上,综合上述两类代数的特点,东北师范大学的常丽在其硕士学位论文[5]中提出了完备Leibniz代数的概念.但是,经研究发现,此种定义方法存在着瑕疵,即不存在非李的完备Leibniz代数.本文由此启发给出了完备Leibniz代数一种更合理的定义,并对这类代数进行了初步的研究.本文中,我们假设线性空间的基域是复数域.这部分内容是对于李代数以及Leibniz代数相关的一些概念和结果的回顾,它们都是标准的,可参见文献[3,8,10,13]或[15].定义2.1.1 一个Leibniz代数G是一个线性空间,上面定义了一个双线性映射:显然,对于Leibniz代数,有[x,[y,y]]=0以及[x,[y,z]]+[x,[z,y]]=0.注许多代数的定义都涉及到Leibniz等式,参见文献[2]等.李代数是乘积满足交错律的Leibniz代数.定义2.1.2 一个Leibniz代数G的右零化子定义为Zr(G)={x∈G|[G,x]=0}.易知Zr(G)是Leibniz代数G的双边理想.命题2.1.1 设G是一个Leibniz代数,则G中由平方元生成的双边理想包含在Zr(G)之中.命题2.1.2[10] 设G是Leibniz代数,则G中由平方元生成的理想I(G)由形如[x,x]的元素线性张成.定义2.1.3[15] 若一个李代数L满足下面两个条件:(i)L的中心为零,即C(L)=0.(ii)L的所有的导子都是内导子,即Der(L)=ad(L).则称李代数L为完备李代数.在常丽[5]的硕士学位论文中,给出完备Leibniz代数的定义如下:若Leibniz代数G满足条件:Zr(G)={x∈G|[G,x]=0}=0,Der G=ad G,则称G为完备Leibniz代数.经观察发现,此种定义方式存在着缺陷:对任意的Leibniz代数G,任取x,y∈G,都有[y,[x,x]]=[[y,x],x]-[[y,x],x]=0,即[x,x]∈Zr(G).若这个Leibniz代数满足定义中的条件,则有∀x∈G,[x,x]=0,此时Leibniz代数已经退化为李代数的情况,即不存在非李的完备Leibniz代数.下面,我们利用理想I(G),给出完备Leibniz代数的一个恰当的定义.定义2.2.1 设G是一个Leibniz代数,I(G)是G的由平方元生成的理想.若是一个完备李代数,则称G为完备Leibniz代数.根据上述定义方法,所有的完备李代数都是完备Leibniz代数,从而我们给出的完备Leibniz代数的定义与完备李代数的定义是相容的,完备Leibniz代数的概念是完备李代数概念的一种推广.下面我们给出完备Leibniz代数的几个代数性质:命题2.3.1 幂零Leibniz代数不是完备Leibniz代数.证设G是幂零Leibniz代数,由G幂零可以知道G/I(G)=L(G)是幂零李代数.而非零的幂零李代数中心不为零,而且存在外导子(参见文献[14]),故不是完备李代数,因此G不是完备Leibniz代数.命题2.3.2 设G是Leibniz代数,且G/J是李代数,其中J是G的理想,则J⊇I(G).证由于G/J是李代数,则对任意x∈G,设∈ G/J,有即[x,x]∈J.而I(G)由平方元所张成,由于J是G的理想,故有I(G)⊆J,命题得证.命题2.3.3 设G是Leibniz代数,I(G)是由其平方元生成的理想,则对于任意的x,y∈G,命题得证.引理2.3.1 不存在一维的完备Leibniz代数.证因为一维Leibniz代数是李代数,而一维李代数都是Abel的,中心为其本身,即中心不为零,故不存在一维的完备Leibniz代数.我们知道,在同构的意义下存在唯一的二维非Abel李代数G′,设其基为e1,e2,则有[e1,e2]=e2,[e2,e1]=-e2,其余括积为零.由此可得以下结论.引理2.3.2 [8] 二维非Abel李代数G′是完备李代数.引理2.3.2 中的李代数在以后的讨论中起着关键的作用,以下很多讨论都是以这个李代数为例进行一般性方法的阐述.在不特别说明的情况下,我们都用G′来指代这个完备李代数.根据上述论断,我们可以得到下面几个推论.推论2.3.1 若I(G)在G中的余维数为1,则G不是完备Leibniz代数.推论2.3.2 若I(G)在G中的余维数是2,且G/I(G)非交换,则G是完备Leibniz代数. 引理2.3.3 若I(G)=[G,G]/=G,则G不是完备Leibniz代数.关于完备Leibniz代数的中心,有以下命题.上面只抽象地给出了完备Leibniz代数的定义以及相关性质,但这并不能表明非李的完备Leibniz代数存在.实际上,非李的完备Leibniz代数确实存在,我们可以给出三维情况时的一个例子.例设G是一个以e1,e2,e3为基的3维Leibniz代数,它的乘法表为则G为非李的完备Leibniz代数.证因为[e1,e1]=e3,所以G不是李代数.我们对G的基验证Leibniz等式可证明,上述乘法表确实定义了一个Leibniz代数.下面验证此Leibniz代数的完备性.因为[e1,e1]=e3,所以Ce3⊆I(G).而Ce3显然是G的理想,且G/Ce3是李代数,由命题2.3.2可知Ce3⊇ I(G),因此I(G)=Ce3,即G/I(G)～=G′.而由引理2.3.2可知G′是完备李代数,所以G是完备Leibniz代数.直接通过定义进行验证可知,有如下结论成立.定理2.3.1 若G是Leibniz代数,G1,G2是G的双边理想,且G=G1⊕G2,则G是完备Leibniz代数的充分必要条件是G1,G2都是完备Leibniz代数.由这个定理的下述推论,我们可以给出许多非李的完备Leibniz代数的例子.推论2.3.3 若G1是非李的完备Leibniz代数,而G2是完备李代数,则G=G1⊕G2(作为理想的直和)是非李的完备Leibniz代数.当然,Leibniz代数中具有完备性的只是一小部分,我们也可以给出非完备的Leibniz 代数的例子.例设G是一个以e1,e2,e3为基的3维Leibniz代数,它的乘法表为则G不是完备Leibniz代数.证易见I(G)=Ce3,从而G/I(G)为二维Abel李代数,所以它不是完备李代数,因此在这种情况下G不是完备Leibniz代数.这一章我们将对小于4维非李的完备Leibniz代数给出完整分类.二维非李代数的Leibniz代数的分类已被Loday解决,有如下结果.引理3.1.1[13]设G为非李代数的Leibniz代数,且dimG=2,则G只有两种彼此不同构的情况:其中e1,e2为G的一组基,且基向量的其余括积均为0.定理3.1.1 不存在两维非李代数的完备Leibniz代数.证对于上述两种情况,0/=I(G)⊆[G,G],后者是一维的,所以dimI(G)=1.由推论2.3.1可以知道G不是完备Leibniz代数.我们再来看三维时的情况.蒋启芬在文献[1]中给出了三维Leibniz代数的完整分类,共有十三种彼此不同构的情况.我们根据第2章所得到的命题和定理,运用对第2章结尾两个例子类似的讨论方法,对这十三种情况进行一一验证,可以得到如下定理. 定理3.2.1 设G为一个三维非李代数的完备Leibniz代数,则G只有三种不同构的情况:其中e1,e2,e3为G的一组基,且基向量的其余括积均为0.由于除四维幂零情况外目前没有大于等于四维Leibniz代数的完整分类,而由命题2.3.1可知幂零Leibniz代数都不完备,所以我们不能继续采用验证的方法来给出完备Leibniz代数的分类.本文下面所要解决的最主要问题就是构造性地给出完备Leibniz代数.迄今为止,完备李代数的分类问题并没有完全得到解决,但是在朱林生和孟道骥的文章里,给出了低维完备李代数的分类.下面我们只把与本文相关的结果列举出来.命题4.1.1 [8]二维完备李代数只存在一种情况,即G′.三维完备李代数只存在一种情况,即sl(2).四维完备李代数只存在一种情况,即G′⊕G′.首先,对三维非李代数的完备Leibniz代数进行研究可以发现以下性质成立.命题4.2.1 若G是三维非李代数的完备Leibniz代数,则G/I(G)～=G′,而dimI(G)=1.证因为G不是李代数,故dim I(G)≥1.而低于三维的完备李代数只有G′这一种情况,所以G/I(G)～=G′. 命题得证.从这个结果可以看出,我们或许可以从完备Leibniz代数的商代数着手,得出相应的完备李代数的结构,再将其提升到原来的完备Leibniz代数,从而得到相应的完备Leibniz代数结构.由此,我们可以得到如下结果.定理4.2.1 设G是四维非李代数的完备Leibniz代数,则G/I(G)～=G′,此时dimI(G)=2;或者G/I(G)～=sl(2),此时dim I(G)=1.定理4.2.2 设G是五维非李代数的完备Leibniz代数,则G/I(G)～=G′,此时dim I(G)=3;或者G/I(G)～=sl(2),此时dim I(G)=2;或者G/I(G) ～=G′⊕ G′,此时dim I(G)=1.下面研究完备Leibniz代数的构造.在此之前,注意到以下事实.设G是一个Leibniz代数,G/I(G)=L(G)是其相应的李代数.从线性空间的角度,G可看成L(G)与I(G)的直和,即G=L(G)⊕I(G).在此观点下,设e1,…,em是L(G)的一组基,f1,…,fn是I(G)的一组基.设e1,…,em 在典范内射ι:L(G)→ G 下的象仍记为e1,…,em,则e1,…,em;f1,…,fn构成了G的一组基.因此下面在构造完备Leibniz代数的过程中,可将L(G)中的元素嵌入到G中从而将其看作G的元素.首先考虑dim I(G)=1时的情形.此种情况下有如下命题.命题4.2.2 设G是完备Leibniz代数,且I(G)=Ce,即I(G)是G的一维理想,[,]是G中的括积,[,]′是G相应的完备李代数G/I(G)～=L(G)中的括积.若存在线性函数f:L(G)-→C和双线性函数ϕ:L(G)×L(G)-→C满足以下条件:∀x,y∈L(G)均成立(因为L(G)同构地嵌入到了G,所以在等式左边,x,y可被看作G中的元素,[x,y]为G中的乘法).则以上定义的f和ϕ应满足以下条件:证因为Leibniz代数的结构由Leibniz等式完全确定,只要对其用Leibniz等式逐一验证即可.首先,我们讨论三个元素都在L(G)中的情况:∀x,y,z∈L(G),由Leibniz等式,而 x,y,z 作为李代数 L 中的元素有[x,[y,z]′]′=[[x,y]′,z]′-[[x,z]′,y]′,从而得到 (1).因为两式相等,可以得到(2).至此定理得证.在这里需要指出,对G的基元素验证其余的Leibniz等式,可以发现其余的Leibniz 等式都是平凡的,然后再利用线性性质即可得到条件(1),(2)是G构成Leibniz代数的充要条件.定理4.2.3 设L是李代数,[,]′是其括积,设I=Ce,构造向量空间G=L⊕Ce.若存在线性函数f:L-→ C和双线性函数ϕ:L×L-→ C,其中f与ϕ不全为零,且满足命题4.2.2的条件(1)和(2),则∀z=x+ke,z′=y+le,其中x,y∈L,k,l∈C,定义[z,z′]=[x,y]′+(ϕ(x,y)+kf(y))e,那么G是Leibniz代数.当L是完备李代数,且G中由平方元生成的理想包含e时,G是非李代数的完备Leibniz代数,并且dim I(G)=1. 由此可以看出,对于dim I(G)=1的情况,只要根据定理4.2.3的方法构造Leibniz代数G,然后根据命题4.2.2中的条件(1)和(2)列出方程,除此还要验证由平方元生成的理想确实为Ce,则可以得出相应的完备Leibniz代数.上面只是对一般情况的分析,当商代数为半单李代数时,是否有更强的结果?下面我们对此进行讨论.首先注意到,因为有限维半单李代数都是完备李代数,则由(2)可得:若L(G)是半单李代数,则[L(G),L(G)]=L(G),故对L(G)中任意的元素x,都有f(x)=0.这样命题4.2.2 中的条件(1),(2)可以简化为定理 4.2.4 若G是一个完备Leibniz代数,I(G)是G中由平方元生成的一维理想,且G/I(G)=L(G)是半单李代数,ϕ,f如命题4.2.2所定义,则它必须满足ϕ(x,[y,z]′)=ϕ([x,y]′,z)- ϕ([x,z]′,y), ϕ /=0,f=0(其中x,y,z ∈ L(G)).如此似乎可以得到一大类非李的完备Leibniz代数.但是,我们研究发现,这种情况其实并不存在.定理4.2.5 不存在这样的完备Leibniz代数G,使得I(G)是G中由平方元生成的一维理想,且G/I(G)=L(G)是一个半单李代数.证设e1,e2,...,en是L(G)的一组基,再添加向量e则张成空间G.由前面讨论可知∀z∈ L(G),f(z)=0.设z=k1e1+k2e2+…+knen+ke∈ G,则若证得对任意i,j均有ϕ(ei,ei)=0,ϕ(ei,ej)+ϕ(ej,ei)=0,此时I(G)=0,则产生矛盾,定理得证.根据复半单李代数中的根空间分解理论,我们取Cartan子代数和根空间构成的L(G)的一组基,可以很容易地证明这个结论.这个定理对一大类完备Leibniz代数的构造方法给出了否定的答案.因为sl(2)是单李代数,在研究四维完备Leibniz代数的分类时,利用上述定理可得到推论.推论4.2.1 不存在四维非李代数的完备Leibniz代数G,使得G/I(G)～=sl(2).下面研究dim I(G)=1时另一种比较简单的情况,即:G是五维非李代数的完备Leibniz代数,且G/I(G)～=G′⊕ G′,dim I(G)=1时的情况.设完备李代数G/I(G)=L(G)～=G′⊕G′的一组基为e1,e2,e3,e4,其中括积运算满足: 其余基元间的括积均为零.再添加I(G)中的基元素e,则它们构成了完备Leibniz代数G的一组基.先假设一组未知变量:下面就用命题4.2.2中的条件(1)和(2)来推导aij,bj所应满足的关系式.首先,先对f应满足的关系式进行讨论:下面根据条件(1),再讨论ϕ应满足的关系式:对其他情况进行类似计算,再将多余等式删去,则可得一个方程组值得注意的是,仅满足这个方程组并不能保证G的完备性,因为这些方程并不能保证I(G)是一维的,即平方元能生成Ce,所以要对完备Leibniz代数的结构进行更深入细致的讨论.对于Leibniz代数的同构映射,有如下比较显然的结论.引理4.2.1 设ψ:G1-→G2是Leibniz代数的同构,则其中C(G),C(G)分别是G,G的中心.下面根据所得方程组对Leibniz代数的乘法表进行化简整理.因为化简过程类似,只对其中一种情况进行详细说明.对其它情况进行类似整理化简,并将平方元不能生成Ce的情况删去,然后将同构的情况进行合并,我们可以得到如下定理.定理4.2.6 设G是五维非李代数的完备Leibniz代数,并且满足G/I(G)～=G′⊕G′.则在同构的意义下,存在着下面六种互相不同构的情况:证由上面的讨论可知,在同构的意义下,所有情况均可归纳为上述六大类.以第四与第六种情况为例证明这六大类彼此不同构.从而得出矛盾.其它情况类似可证,至此得到定理得证.下面对dimI(G)=2时的情况进行讨论.首先对一般情形进行研究:设G是完备Leibniz代数,且I(G)=Ce3⊕Ce4,即I(G)是由G中平方元生成的二维Abel理想.在构造完备Leibniz代数的过程中,与4.2.2节采取同样的讨论,可将完备李代数L(G)中的元素嵌入到G从而看作为G的元素.由此可得如下命题.命题4.2.3 设G是Leibniz代数,且I(G)=Ce3⊕Ce4,即I(G)是由G中平方元生成的二维理想,[,]是G中的括积,[,]′是G相应的李代数G/I(G)L(G)中的括积,若存在四个线性函数:f11,f12,f21,f22:L(G)-→C和两个双线性函数ϕ1,ϕ2,:L(G)×L(G)-→C满足以下条件:∀x,y∈L(G)均成立(因为L(G)同构地嵌入到了G,所以等式左边x,y可看作G中的元素).则以上定义的fij(其中i,j=1,2)和ϕ应满足以下条件:运用4.2.2节dim I(G)=1时类似的研究方法,对Leibniz等式进行验证即可得到结论.在这里需要指出,对G的基元素验证其余的Leibniz等式,可以发现其余的Leibniz 等式都是平凡的,然后再利用线性性质即可得到条件(1)–(6)是G构成Leibniz代数的充要条件.定理 4.2.7 设L是李代数,[,]′是其括积,设I=Ce3⊕Ce4,构造向量空间G=L⊕Ce3⊕Ce4.若存在线性函数fij:L-→ C和双线性函数ϕi:L×L-→ C,其中i,j=1,2,fij与ϕi不全为零,且满足命题4.2.3的条件(1)—(6),则那么G是Leibniz代数.当L是完备李代数,且G中由平方元生成的理想包含e3,e4时,G是非李代数的完备Leibniz代数,并且dim I(G)=2.下面研究一种特殊的情况:设G是四维非李代数的完备Leibniz代数,G/I(G)G′,其中dim I(G)=2.类似于前面对一维情况的讨论,可以作如下假设.设e1,e2是G′的一组基,乘法表是[e1,e2]′=e2,[e2,e1]′=-e2,可把e1,e2同构地嵌入到G中.再设e3,e4是I(G)的一组基,则e1,e2,e3,e4构成了G的一组基.我们可以假定一组未知量,再根据命题4.2.3中的六个条件列出这组未知量所应满足的关系式,可得到由Leibniz等式所派生出来的方程.利用方程组中未知量关系式将乘法表进行化简整理,可以得到如下定理.定理4.2.8 若G是四维非李代数的完备Leibniz代数,则必有G/I(G)～=G′,且在同构的意义下,存在着下列十二种彼此不同构的情况:以上均假设e1,e2,e3,e4为G的一组基,且基向量的其余括积为0.证由定理4.2.1可知四维完备Leibniz代数存在着两种可能的情况,再由推论4.2.1可知G/I(G)G′.根据推导出的乘法表系数所应满足的关系式,对满足条件的Leibniz 代数运用类似于4.2.2节的方法进行分类并归纳整理可以得到,在同构的意义下,所有情形都可以归纳到上述十二种彼此不同构的情况,而且在每种情况下乘法表所对应的Leibniz代数的平方元确实能生成二维理想I(G),即得到的Leibniz代数是完备的,至此定理得证.【相关文献】[1]蒋启芬.三维Leibniz代数的分类[J].数学研究与评论,2007,27(4):677–686.[2]佟洁,靳全勤.李代数的Possion代数结构II[J].数学杂志,2010,30(1):145–151.[3]孟道骥,朱林生,姜翠波.完备李代数[M].北京:科学出版社,2001.[4]段永健.关于低维Leibniz代数的一些相关性质的研究[D].上海:华东师范大学,2007.[5]常丽.Leibniz代数中的一些结果[D].上海:华东师范大学,2006.[6]刘东.无限维Lie代数和Leibniz代数[D].上海:华东师范大学,2004.[7]Albeverio S,Ayupov Sh A,Omirov B A.On nilpotent and simple Leibnizalgebras[J].Communications in Algebra,2005,33:159–172.[8]Zhu Linsheng,Meng Daoji.The classification of complete Lie algebras with low dimensions[J].Algebra Colloquium,1997,4(1):95–109.[9]Albeverio S,Omirov B A,Rakhimov I S.Classification of 4-dimensional nilpotent complex Leibniz algebras[J].Extracta Mathematicae,2006,21(3):197–210.[10]Kurdiani R,Pirashvili T.A Leibniz algebra structure on the second tensorpower[J].Journal of Lie Theory,2002,12:583–596.[11]Hu Naihong,Pei Yufeng,Liu Dong.A cohomological characterization of Leibniz central extensions of Lie algebras[12].Proc.Amer.Math.Soc.2008,136(2):437–447.[12]Bloch A.On a generalization of Lie algebra[J].Math.IUSSR Doklady,1965,163(3):471–473.[13]Loday J L.Une version non commutative des algebras de Lie:les algebra deLeibniz[J].Enseign.Math.Ann.,1993,296(1):139–158.[14]Humphreys J E.Introduction to Lie algebras and representations theory[M].Springer-Verlag,1972.[15]Jacobson N.Lie algebras[M].New York:Wiley,1962.。
lie定理
lie定理
Lie定理，又称李群的基本定理，是数学中的一项重要定理，
其是研究李群与李代数关系的基石。
它是由挪威数学家Sophus Lie在19世纪末发现的，其在微分几何，物理学和其
他领域中都具有重要的应用。
Lie定理主要研究李群和李代数之间的关系。
李群是具有连续
与光滑结构的群，而李代数则是李群的切代数，描述了群的局部性质。
在数学中，李群和李代数是非常重要的数学结构，广泛地应用于微分几何、泛函分析、物理学和控制理论。
Lie定理表述了某一种类型的局部李群只能有一种对应的李代数。
这一定理主要有两个部分：第一部分是局部连通的李群同构于它们的李代数的一个开邻域；第二部分是两个同构的李群是同构于它们的李代数的自同构群中的同伦类。
这个定理在研究李群与李代数相互之间的关系时非常有用。
Lie定理还可以被用来证明一个李群的阶可以被计算为它的李
代数的维数。
这简单而重要的结论是尤为重要的，因为它提供了理论工具来处理许多涉及李群的问题，例如确定群子的结构、寻找零点或判定群同构等问题。
除此之外，Lie定理还在声学、图像处理、机器学习和密码学
等领域中有着广泛的应用。
在声学中，对于一些声音患者，
Lie定理提供了有效的声音识别方式；在图像处理中，Lie群
提供了一种非常有效的表示图像旋转和缩放的方法；在机器学习中，Lie群的表示可以用来研究对称特征的学习；在密码学
中，李群和李代数的性质是旋转密码学的重要组成部分之一。
总之，Lie定理是数学和物理学中一个非常重要的定理，它在研究李群和李代数之间的关系，以及它们在数学、物理学、工程学和计算机科学中的广泛应用方面都发挥着巨大的作用。
leibniz-n-代数的广义frattini理想
leibniz-n-代数的广义frattini理想1. 利宾茨-N代数的概念利宾茨-N代数是一种抽象代数结构，它由一组元素和两个二元运算组成，其中一个是加法，另一个是乘法。
它满足利宾茨-N代数的公理，其中包括结合律、交换律、分配律和可逆性。
此外，它还满足广义Frattini理想，这意味着每个非空子集都是一个理想，而且它们之间没有重叠。
2. 广义Frattini理想的定义广义Frattini理想是一个给定的代数系统中的一个特殊的理想，它是由给定的系统的所有最小理想的交集而定义的。
它是由莱布尼茨在1890年提出的，并且在代数研究中一直被广泛使用。
它可以用来描述一个给定的代数系统中的某些特殊的性质，如简单性、紧性和正交性。
3. 广义Frattini理想的性质广义Frattini理想是一种给定集合的特殊子集，它的性质主要有以下几点：1. 广义Frattini理想是一个最小的正规子群，它是原始集合的最小正规子集；2. 广义Frattini理想是给定集合的最小正规子集，它包含了原始集合中所有的正规子集；3. 广义Frattini理想是一个正交的正规子集，它是原始集合中所有正交的正规子集的最小正规子集；4. 广义Frattini理想是一个紧的正规子集，它是原始集合中所有紧的正规子集的最小正规子集；5. 广义Frattini理想是一个可逆的正规子集，它是原始集合中所有可逆的正规子集的最小正规子集；6. 广义Frattini理想是一个简单的正规子集，它是原始集合中所有简单的正规子集的最小正规子集。
4. 广义Frattini理想的构造广义Frattini理想是一个多项式环的子环，它由所有的可被环的元素的幂组合所组成。
它可以被定义为：一个环R的广义Frattini理想是由所有的元素的幂组合$r^n$，其中$r\in R$且$n\in\mathbb{N}$组成的子环。
它可以被构造出来，从一个环R的一组元素$\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$开始，广义Frattini理想是由所有$a_i$的幂组合组成的子环。
李代数 挪威数学家索菲斯·李发现的非结合代数
李代数挪威数学家索菲斯·李发现的非结合代数李代数（Lie algebra）是一类重要的非结合代数。
最初是由19世纪挪威数学家索菲斯·李创立李群时引进的一个数学概念，经过一个世纪，特别是19世纪末和20世纪的前叶，由于威廉·基灵、嘉当、外尔等人卓有成效的工作，李代数本身的理论才得到完善，并且有了很大的发展。
一类重要的非结合代数。
非结合代数是环论的一个分支，与结合代数有着密切联系。
结合代数的定义中把乘法结合律删去，就是非结合代数。
李代数是挪威数学家索菲斯·李在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群的研究密切相关。
在更早些时候，它曾以含蓄的形式出现在力学中，其先决条件是“无穷小变换”概念，这至少可追溯到微积分的发端时代。
可用李代数语言表述的最早事实之一是关于哈密顿方程的积分问题。
李是从探讨具有r个参数的有限单群的结构开始的，并发现李代数的四种主要类型。
法国数学家嘉当在1894年的论文中给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个完全分类。
他和德国数学家基灵都发现，全部单李代数分成4个类型和5个例外代数，嘉当还构造出这些例外代数。
嘉当和德国数学家外尔还用表示论来研究李代数，后者得到一个关键性的结果。
“李代数”这个术语是1934年由外尔引进的。
随着时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升。
到20世纪80年代，李代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具，它还是有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源。
李代数的理论不断得到完善和发展，其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域抽象定义：设F是特征为0的域，L是F上的线性空间。
如果L上有一个运算L×L→L，(x,y)→[x,y]满足以下三个条件，则称L是一个李代数。
（1）这个运算是双线性的，即[ax+by,cz+dw]=ac[x,z]+cb[y,z]+ad[x,w]+bd[y,w]。
lie定理
lie定理Lie定理是描述李代数和李群之间关系的重要定理之一。
它由挪威数学家Marius Sophus Lie于19世纪末提出，并成为现代数学中重要的研究工具和理论基础。
Lie定理的核心思想是将李代数与李群联系起来，通过李代数的结构来研究李群的性质。
一、李代数的定义和基本性质在介绍Lie定理之前，我们首先需要了解李代数的基本定义和性质。
李代数是一个与实数或复数域上的线性空间V以及V上的一个二元运算[ , ] 相关的代数结构。
李代数满足以下四个性质：1. 封闭性：对于任意的A，B∈V，[A, B]∈V。
2. 反对称性：对于任意的A，B∈V，[A, B] = -[B, A]。
3. Jacobi恒等式：对于任意的A，B，C∈V，有[[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0。
4. 线性性：对于任意的A，B∈V和c∈实数或复数域，有[cA,B] = c[A, B]和[A, cB] = c[A, B]。
这些性质可以直观地理解为李代数上的“加法”和“乘法”运算。
加法运算就是将两个向量进行线性组合，而乘法运算则是通过李括号[ , ]将两个向量映射为另一个向量。
二、李群的定义和性质李群是一个既是连通流形又是群的对象。
李群和李代数之间的关系可以通过指数映射和对数映射来描述。
1. 指数映射：对于任意的李代数元素X∈V，指数映射exp：V→G将李代数元素X映射到李群元素g∈G，即g = exp(X)，其中exp(X)定义为李级数的形式exp(X) = e^X = ∑_(n=0)^(∞) X^n / n!。
2. 对数映射：对于任意的李群元素g∈G，对数映射log：G→V将李群元素g映射到李代数元素X∈V，即X = log(g)，其中log(g)定义为满足exp(X) = g的李代数元素X的集合。
指数映射和对数映射为李群和李代数之间的演算提供了数学方法和操作。
三、Lie定理的内容Lie定理是指在李群G上，通过指数映射和对数映射可以建立李群G和李代数V之间的一对一对应关系。
李群和李代数 通俗解释
李群和李代数通俗解释李群（Lie Group）和李代数（Lie Algebra）是数学中重要的概念，与对称性、变换和连续性有关。
下面将对李群和李代数进行通俗解释，以便更好地理解这两个概念。
1.李群（Lie Group）李群是一种特殊的集合，它同时具备了群和流形的结构。
在数学上，群指的是一组元素，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等条件。
而流形则可以理解为局部上与欧几里得空间相似的空间。
所以，李群就是一个既具备群结构又具备流形结构的集合。
在物理学和几何学中，李群用于描述对称性和变换。
例如，旋转矩阵、平移矩阵和伸缩矩阵都可以构成李群。
李群的研究有助于我们理解空间的对称性和变换规律，并在物理学和几何学中有广泛的应用。
2.李代数（Lie Algebra）李代数是与李群相关联的一种代数结构。
简单来说，李代数是一个向量空间，其中定义了一种特殊的二元运算——李括号。
李括号运算可以将两个向量相乘得到另一个向量。
在李代数中，我们不再关注具体的变换和对称性，而是研究变换和对称性所满足的代数关系。
通过研究李代数，我们可以揭示李群的结构和性质。
李代数的研究在物理学、几何学和数学中都有广泛的应用，尤其在对称性和变换的研究中发挥重要作用。
3.李群与李代数的关系李群和李代数是密切相关的。
李群可以通过李代数来描述，而李代数可以通过李群来构造。
具体来说，李群的切空间（Tangent Space）上的李代数就是李群的切矢量（Tangent Vector）。
反过来，给定一个李代数，我们可以通过指数映射（Exponential Mapping）构造出一个对应的李群。
总之，李群和李代数是数学中重要的概念，它们在对称性、变换和连续性的研究中起着重要作用。
李群描述了具有群和流形结构的集合，而李代数则研究了与李群相关联的代数结构。
通过对李群和李代数的研究，我们可以深入理解空间的对称性、变换规律和代数关系。
希望这个通俗的解释能够帮助你更好地理解李群和李代数。
代数学的发展
第一节代数学的发展一、伽罗瓦理论及群论的发展长期以来，求解方程一直是整个代数的中心内容，而且在19世纪前期仍是如此．19世纪在探讨方程求解的问题中，出现了一种全新的理论．这一理论虽然以解决方程论中的重要问题为目的，但却引入了群和域等新概念，从而开辟了代数学研究的新方向．阿贝尔和伽罗瓦是伽罗瓦理论及群论的主要奠基者．阿贝尔生于挪伽罗瓦生于巴黎附近的布拉伦(Bourg-la－Reine)．他们俩有着共同的命运，很年轻就在数学的新领域做出了辉煌成就，但却不幸夭折，阿贝尔在26岁时死于结核病和营养不良，伽罗瓦21岁时死于决斗．在世时都没有为人所赏识．为了求解四次以上的方程，华林、拉格朗日、鲁菲尼(P．Ruffi-ni，1765—1822)、高斯、柯西等人都作了十分有价值的工作．他们提出了方程的根的初等对称函数、置换等内容．这些都对阿贝尔、伽罗瓦有直接的影响．阿贝尔在1824年春天成功地证明了：用根式求解一般的五次方程是不可能的．在这个过程中，他首先证明了今天的阿贝尔定理：可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数．利用阿贝尔定理，1826年阿贝尔证明了高于四次的一般方程用根式求解的不可能性，根据阿贝尔的思想，克罗内克(L．Kro-necker，1823—1891)于1879年给出了一个直接、简单明了而又非常严密的证明．这样，几百年之久的求解高于四次的一般方程的问题就被阿贝尔解决了．不仅如此，阿贝尔还给出了特殊的可用根式求解的方程的特征：这些方程的所有根都是其中一个根的函数，即全部根为x，θ1(x)，θ2(x)，…，θn-1(x)．其中θ1是有理函数．1853年，克罗内克称具有这种特征的方程为阿贝尔(Abel)方程．随后，阿贝尔证明了更一般的定理：如果一个方程的所有根能表示成其中一个根的有理函数，且对于其中任意的两个根θα，θβ，有θα(θβ(x))=θβ(θα(x))．则该方程可用根式求解．阿贝尔一生在数学的其他领域也做出过重大的贡献．在椭圆函数方面、分析严密化方面都留下了他的足迹．其中有以他的名字命名的阿贝尔积分方程，阿贝尔定理，阿贝尔收敛判别法和关于幂级数的阿贝尔定理．阿贝尔的工作开辟了代数学研究的新方向，他引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念，并且开始了群论的研究．在群论、方程根的置换等问题的研究中，伽罗瓦也取得了重要成就．他试图解决这样的问题：虽然高于四次的方程一般不能用根式求解，但有些特殊的方程如阿贝尔方程却可用根式求解，那么哪些方程可用根式求解呢？为了解决这个问题，他利用了拉格朗日关于根的置换、排列的概念．如设x1，x2，x3，x4是一个四次方程的根，则在这四个根的排列中交换x i和x j就是一个置换，这样总共就有4！＝24种可能的置换．经过任何两个置换后仍是其中的一个置换，所置换的集合形成一个群，这样伽罗瓦就给出了关于抽象群的一个早期定义．这样，方程的群就成了它的可解性的关键．然后再这样进行探讨：给了一个方程，按照某种方法找到方程在系数域中的群G——根的置换群，这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变．找到G后，再找G的最大子群H，然后可以用一套仅含有理运算的手续来找到根的对于G的所有T≠R，它的值发生改变．存在一种方法构造R中的一个．这个方程称为一个部分预解式．经过一系列工作，伽罗瓦给出了找给定方程的群，逐次预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群——原来群的逐次子群的一系列方法，在这些工作中，群论的基本理论有了一些框架．然后伽罗瓦引入了正规子群(或称自共轭子群，不变子群)的概念．他证明了当作为约化方程的群的预解或是一个素数次p的二项方程x p-A＝0时，则H是G的一个具有指数p的正规子群；反之，如果H是G的一个正规子群，且具有素指数p，则相应的预解式是p次二项方程，或能化简到这样的方程．伽罗瓦引入了合成序列的概念：在子群序列G，H，K，L，…，E中，每一个都是前一个群中的极大正规子群．H对G的指数，K对H的指数等等，称为合成序列的指数．他得出了如下的重要结论：若一个方程的置换群的逐次子群所成的合成序列的指数都是素数，则这方程就能用根式求解；否则，该方程就不能用根式求解．利用这个结论，伽罗瓦证明，对于一般的n次方程，方程的置换群由n个根的全部n！个置换组成，置换群称为n级对称群．它的阶是n！．而n＝2时，合成序列的指数是2，n=3时合成序列的指数是2和3，n=4时合成序列的指数是2，3，2，2，因此当n≢4时方程能用根式求解．伽罗瓦于1830年彻底解决了方程能用根式求解的问题．他证明一个素数次的不可约方程能用根式求解的充分必要条件是，这个方程的每个根都是其中两个根的带有R中系数的有理系数．满足这种条件的方程称为伽罗瓦方程．最简单的伽罗瓦方程是x p-A＝0(p为素数)．阿贝尔方程也是一种伽罗瓦方程．伽罗瓦的工作一部分是关于方程的伽罗瓦理论，另一部分本身就是他所开创的一个新领域——群论．他是在严格的意义上使用“群(Group)”的第一个人，他引进了置换群、不变子群等概念，并且把群和域的扩张对应起来．群论的产生深刻地改变了代数学的内容，使代数学从主要研究方程开始转向研究各种代数结构，并且使代数学开始向更严密的方向迈进．伽罗瓦理论不仅回答了方程的求解问题，而且解决了古希腊“三大几何问题”中的“三等分任意角”和“倍立方体”问题．他的工作提供了可作图的一个判别法：对于一个作图问题首先要建立一个代数方程，它的解就是所要求的量．可作图的条件是这个量必须属于给定量的域的某个二次扩张域．利用这个判别法就可以解决上述两个问题，判明这两个问题都是不可解的．实际上，1837年旺策尔(P．L．Wantzel，1814—1848)用其它的方法曾独立地证明了这两个问题的不可能性．1837年旺策尔还给出了正多边形可作图的必要性证明，这个问题是高斯在1796年提出的，高斯断言：一个正n边形是可作图的，当且仅当任意正整数或0．拉格朗日已经知道子群的阶整除群的阶．伽罗瓦则给出了单群、合成群以及两个群G与G′之间的同构的概念．由于伽罗瓦的工作1846年才陆续发表，所以直到1870年约当(C．Jordan，1838—1922)发表著名的《置换和代数方程专论》(Traitédes Substitutions et des équations al-gébriques)，才第一次给伽罗瓦理论清楚、完善的表述，这时群的概念已从方程论进入到数学的更广泛的领域．约当不仅使群论系统化，而且做出了许多重要的工作．1869年，他从极大自共轭子群出发，引入了商群的概念，并且在1872年引入记号G i/G i+1表示商群．他曾证明了今天的约当—建立了同构、同态的概念，添加了关于传递群和合成群的许多结果，在书中，他还指出，可解方程的群都是交换群，他称这样的群为阿贝尔群．…，n)的线性变换来表示置换．1878年他曾提出，有限周期p的线性，…，n，εi是p次单位根．1868—1869年，他第一个对无限群进行了重要的研究，开创了利用群论研究几何变换的新道路．柯西也对群尤其是置换群的研究做出了重要的贡献．他的工作影响了著名的代数学家凯莱(A．Cayley，1821—1895)．在1849—1854年发表的三篇文章中，他首次提出了抽象群的概念，把群从具体的对象(如数、置换)扩大到更一般的范围，奠定了群论的理论基础．1872年，F．克莱因将群论与几何学联系起来，1873年李(M．S．Lie)引入连续群的概念，使群论与分析与几何联系在一起，从而产生了李群，李代数．19世纪对群论做出贡献的数学家还有西罗(L．Sylow，1832—1918)、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—尤其重要的是，1849年物理学家、矿物学家布雷威(A．Bra－vais，1811—1863)通过研究行列式为±1的三个变量的线性变换现32类对称的分子结构．他的研究开创了群论在物理中尤其是物质结构理论中的应用，而且这种应用越来越广．这样，群论就迅速为人们所承认，进入数学的中心，并且一度使人们认为分析、几何、物理学可以通过群论统一起来．的确，群论作为从纯数学方程中研究所产生的成果，能够在几何、分析，尤其是在具体的物质晶体结构中得到应用，不仅使得其理论本身成了蓬勃发展的领域，而且冲击了人们对数学的固有观念，甚至冲击了人们的世界观．二、四元数与向量在1830年时，复数用于表示平面上的向量已众所周知．但复数只能表示在同一个平面上物体受力的情况．如果作用于一个物体上的几个力不在一个平面上，那么又该怎样表示呢？1837年，哈密顿首先引进有序偶(a， b)来表示复数a＋bi，通过有序偶，他把复数的神秘性完全排除了．通过有序偶，对于两个复数a＋bi 与c＋di，他这样定义复数的运算：(a，b)±(c，d)=(a±c，b±d)，(a，b)·(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)，这样，复数的历史发展与逻辑发展就得到了统一．既然有序偶(a，b)表示的二维复数可以表示同一个平面的力，因此很自然地，哈密顿和许多人都试图寻找三维复数表示空间的力．他发现，要求三维复数具有当时所发现的数(从自然数到复数)所具有的乘法交换性，总是办不到，而且三维复数(a，b，c)无论如何也不能唯一地表示出空间的力．他长期为这个问题所困扰，苦思冥想长达十几年，但一无所获．1843年10月16日黄昏，哈密顿携夫人一道去都柏林作为会长主持爱尔兰皇家学会会议，当步行到勃洛翰格时，长期探求的内容突然像一道闪电出现了，“此时此刻我感到思想的电路接通了．”他在一刹那间顿悟出，要用新数表示出空间向量，必须作出两点让步：一是新数必须含有四个分量(1，i，j，k)；二是必须牺牲乘法交换律．他把这种新的数a＋bi＋cj＋dk (a，b，c，d为实数)叫做四元数，写成有序偶的形式为(a，b，c，d)．对于基本分量的乘法，他定义为：两个四元数a+bi＋cj＋dk，e+fi+gj+hk，按普通多项式相加、相等并利用上述基本乘法公式，仍为一四元数．他通过有序偶给出了四元数的加法与乘法：(a，b，c，d)＋(e，f，g ，h)＝(a＋e，b＋f，c＋g，d＋h)，(a，b，c，d)·(e，f，g，h)＝(ae bf cg dh，af＋be＋ch－dg，ag＋ce＋df-bh，ah＋bg＋de-cf)，四元数进行乘法运算时，交换律不再成立，如j·k＝i，但k·j＝－i；p＝3＋2i＋6j＋7k，q＝4＋6i＋8j＋9k，pq--111＋24i＋72j＋35k，但qp=-111＋28i＋24j＋75k．在数学史上，第一次出现了乘法交换律不成立的实例．在数学史乃至科学史上，四元数的产生是灵感导致伟大发明的极好例证．四元数的发明在方法论上也是富有启示的．首先是通过类比导致了哈密顿等人去寻求三维复数，但长期的错误类比困惑了人们相当长的时期．突然，一道思维的闪电将这种束缚击破，从而导致了四元数的发明．长期以来，我们只注意了群论的产生对代数学的冲击，而忽视了四元数对代数学的影响．正如非欧几何创立以前人们认为欧氏几何是唯一的、不可更改的几何一样，经过皮科克(G．Peacock， 1791—1858)等人的总结，到19世纪四十年代，数学界普遍接受的是下述代数公理：1．等量各加上第三个等量得到等量；2．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (加法结合律)；3．a＋b＝b＋a (加法交换律)；4．等量加等量给出等量；5．等量加不等量给出不等量；6．a(bc)＝(ab)c (乘法结合律)；7．ab＝ba (乘法交换律)；8．a(b＋c)=ab＋bc (乘法对加法的分配律)．那时数学家们把上述公理看作是自古不变的，认为存在与一般的代数不同的代数是不可思议的．试图作乘法的交换律不成立的一种代数结构，不仅没有人会那样想，就是有人想出来了，也会被认为是异端邪说，a×b ≠b×a，这太与常识相悖了．哈密顿也就是长期不敢相信这个事实，但他终于迈出了这一步．现在有了四元数，其中乘法交换律不成立，而结合律等成立，同时又能发展出一套有用的理论体系，而且在逻辑上前后一致．这就使数学家们认识到：可以构造一个有意义的、有用的数系，它可以不具有实数和复数的交换法．人们可以考虑偏离实数和复数的通常性质的自由创造．这样，四元数就使得人们认识到：代数学的公理是可以改变的，不仅交换律，就是其他运算规则如结合律等也可以不满足．可以构造各种各样的代数，而上述公理可以一个或几个不成立，这样就有大量的系统能够研究了，从而使代数学第一次达到了可以“自由”研究的程度．从逻辑上完全可以这样认为，群论可以在四元数引起代数的这些变化之后作为一个系统来研究，今天大多数群论的教材就反映了这一点．1844年，格拉斯曼(H．G．Grassmann，1809—1877)把四元数推广到n元数组，使每一个数组(x1，x2，…，x n)与一个x1e1＋x2e2＋…＋x n e n这样形式的结合代数相联系，建立了该代数的基本单位e1，e2，…，e n的乘法表，并由此建立了n维空间的概念，这样就把通常的二、三维解析几何坐标推广成n个，建立了相应的n维仿射空间和度量空间的几何学．这是代数、几何学上的重大突破，在这方面格拉斯曼几采与哈密顿齐名．1843年，凯莱也引入了n维空间的概念，1854年他又给出了八元数——称为凯莱数：x=x0＋x1e1＋x2e2＋…＋x7e7．克利福德(W．K．Clifford，1845—1879)创立了拟四元数q+wQ(q，Q是四元数，w2=-1)．等等．面对这样多新涌现出来的代数，人们开始思索，自由创造的数学都能具有哪些性质？1857年，有人证明，在R上可除代数仅有的可能性是维数为1，2，4，8的代数，即实数、复数、四元数和凯莱数．1878年，弗罗伯尼证明了，具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数线性结合代数，如服从结合律，则只有实数、复数和实四元数的代数．魏尔斯特拉斯在1861年证明了，有有限个原始单元的，实或复系数线性结合代数，如服从乘积定律和乘法交换律，就是实数和复数的代数．赫尔维茨(A．Hurwi－tz，1859—1919)证明了实数、复数、实四元数和拟四元数是仅有的满足乘法定律的线性结合代数，哈密顿要是早知道这一点，他就不会徒劳无益地花十几年功夫寻求三维复数了．这些定理告诉人们，任意创造新的代数系统与保持某些代数性质是相互制约的．哈密顿、格拉斯曼、凯莱等人，以推出不同于传统代数的遵守某种结构规律的代数方法，而开创了现代抽象代数的研究．减弱或者去掉普通代数的各种假定，或像非欧几何一样将其中一个或多个假定代之以其他的假定，就可以出现多种可供人们研究的体系．按照这种方法，我们可以得到群、半群、环、整环、格、除环、布尔环、域、若尔当代数、李代数，等等．这种方法无疑地得益于四元数发明后产生的思想．20世纪的抽象代数已成为数学的主流之一，这些都应该追溯到四元数．四元数在向量分析的发展中起了重要作用，直接导出了向量分析．哈密顿本人把四元数a＋bi＋cj＋dk分为两部分：实部和他称之为向量的复数部(a Complex Pant)．两个向量按照四元数的运算法则所得出的乘积同样具有实部和向量部分．设他记实部(数量部分)为Sαα′、向量部分为Vαα′．如果把α，α′看作两个向量α-(x，y，z)，α′=(x′y′z′)，则有Sαα′=-α·α′，Vαα′=αxa′．这样，向量分析的基本公式(数积和叉积)借助四元数就被确定了．著名的物理学家、数学家麦克斯韦(J．Maxwell，1831—1879)在处理电、磁的有关问题时，曾明确指出，规定一个向量需用三个分量，这三个量能解释成沿三个坐标轴的长度，并且强调说，这个向量概念就是当它作用于点函数u(x，y，z)时，产生向量在哈密顿工作的基础上，19世纪80年代吉布斯(J．W．Gi-bbs，1839—1903)、希维赛德(O．Heavside，1850—1925)开创了向量分析这门新的数学分支，为物理学提供了十分有益的工具．他们两人提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但独立于任何四元数，向量c为实数，称为分量．规定这样，吉布斯和希维赛德也建立起了数积和叉积；从而建立了向量代数．数．由t的不同值可以得到各个向量，如果都是O作为原点画出来，则这些向量的终点描出一条曲线(图13·1)．上面我们看到的梯度、旋度就是向量微分．向量的积分形式被19世纪的数学家、物理学家用来把许多公式表成了更加简捷的形式．高斯—奥斯特洛格拉德斯基(Gauss—Ostrogradsky)公式写成了梯度公式写成了希维赛德把麦克斯韦方程写成了物理学家选择了形式上更简单、运用更方便的向量分析方法，但是相反四元数倒受到了冷落．三、线性代数四元数的出现为线性代数理论(主要是矩阵理论)的发展铺平了道路．19世纪的线性代数在行列式方面逐渐完善了，同时还新创立了重要的矩阵理论和线性变换理论．柯西于1812年给出了现代意义下的行列式这个词，并且在1815年引入了把元素排成方阵并采用双重足标的记法，而1841年凯莱则引入了两条竖线，到此为止标准的行列式已经出现了：-α′β，αβ′γ″-αβ″γ′+α′β″γ-α′βγ″+α″βγ′-α″β′γ，等．”1815年柯西给出了行列式乘法：|a ij|·|b ij|=|c ij|，其中|a ij|、|b ij|表示n，舍尔克(H．F．Scherk，1798—1885)给出了行列式的一系列新性质，如其中某一行是另两行或几行的线性组合时，行列式为零，三角行列式的值是主对角线上的元素的乘积，等等．1841年，雅可比给出了行列式D的导数公式(当其元素是t的函数其中a ij是t的函数，A ij是a ij的代数余子式．行列式还被用于多重积分的变量替换中．1832—1833年，雅可比给出了一些特殊的结果．1839年，卡塔兰(E．C．Catalan，1814—1894)给出了一般的结果：其中x=x(u，v)，y＝y(u，v)是D到D′变换，其中分也有类似结果．1841年，雅可比写了一篇文章专门讨论函数行列式J．他给出了这样的结果：若J≠0，则F1，F2，…，F M(线性)无关．他还给出了雅可比行列式的乘积定理：有用，利用行列式，19世纪的数学家在这方面取得了大量的成果．1801年，高斯在《算术探讨》(Disquisitiones Arith-meticae)中引入．西尔维斯特(J．J．Sylvester，1814—1897)于1852年证明y2s+1-…-y2r-s了著名的惯性定律：对于一个二次齐式来说，不管使用何种变换，正项的个数s以及负项的个数r-s总是不变的．西尔维斯特对19世纪线性代数的发展做出了卓越贡献．他和魏尔斯特拉斯共同完成了二次型的理论．19世纪数学家们讨论了各种各样的特殊行列式如对称行列式、斜对称行列式、正交行列式，等等，得到了许多特殊的结果．如阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)于1893年得凯莱(A．Cayley)是矩阵论的创始人．在19世纪上半叶他就曾系统地研究过矩阵的有关性质．1849年他曾指出：矩阵在乘法下以及四元数在加法下构成群．1850年,西尔维斯特首先使用矩阵(Matix)一他写了《矩阵论的研究报告》(A Memoir on the Theory of Matrices)一文，给出了适用于n×n矩阵和m×n矩阵的许多定义：两个矩阵相等就是它们的对应元素相等；一个矩阵是两个矩阵之和，就是它的元素是两个他还给出了两个矩阵相乘的法则，并且指出，m×n矩阵只能用n×p 矩阵去乘．凯莱指出，矩阵乘法可结合，但一般不可交换．如AB≠BA．的公式凯莱给出了求一个矩阵A的逆矩阵A-1(其中A ij为行列式|A|中a ij的代数余子式．)他还断言，两个矩阵的乘积为零无需其中有一个为零矩阵．1870年，皮尔斯(B．Perice，1809—1880)引进了幂零元的概念：元素A对某个正整数n满足A n=0；同时还引进了幂等元的概念：元素A对某个n满足A n=A．后来，人们由此而定义了幂零矩阵A M＝0与幂等矩阵Am＝A．19世纪，人们定义了对称矩阵、反对称矩阵、斜对称矩阵、转置矩阵等特殊矩阵．1854年和1878年，埃尔米特、弗罗伯尼(F．G．Frobenius，1849—1917)分别给出了正交矩阵的定义：矩阵A是正交的，如果它等于它的转置矩阵A T的逆，即M＝(M T)．弗罗伯尼证明了正交矩阵总能写成(S-1－T)/(S+T)或者(I-T)/(I+T)的形式，其中S为对称矩阵，T为反对称矩阵，I为单位矩阵．从柯西开始，人们就开始讨论相似矩阵和相似行列式．如AP，则称矩阵A与B相似．相应地，人果存在一个可逆矩阵P使得B＝P-1们也这样定义了相似行列式．1879年，弗罗伯尼利用行列式引进了矩阵的秩的概念．一个m×n矩阵的秩为r，当且仅当它至少有一个r阶子式的行列式不为零，而所有高于r阶的子式的行列式都为零．矩阵的秩有一系列性质：秩(AB)≢min(秩(A)，秩(B))，等等．特征方程是矩阵和行列式理论中的重要内容，它最先是由欧拉开始研究的，随后拉格朗日、拉普拉斯在线性微分方程组的研究中明确地提出了这一概念，而“特征方程”这个术语则是柯西提出的．矩阵A的特征多项式是由下列多项式定义的：+…＋(-1)n C n．F(λ)＝|λI-A|=λn-C1λn-1λI-A称为A的特征矩阵，F(λ)=|λI-A|＝0称为A的特征方程．1858年，凯莱得到了著名的哈密顿—凯莱(Hamilton—Caylay)定理：n阶矩阵A是它的特征多项式的根，即F(A)=0．1890年，泰伯(H．Taber，1860—？)得到了这样的结论：特征方程的所有根之和即特征根之和是矩阵A的对角线之和，即矩阵A之值，也就是说C1＝tr(A)=∑a ij；而特征方程的常数项就是A的行列式之值，C n＝|A|．西尔维斯特还得出了“西尔维斯特定理”：若A是m×n矩阵，B是n ×m矩阵，m≣n，AB的特征多项式是f AB(λ)，BA的特征多项式是f BA(λ)，则f AB(λ)=λM·f BA(λ)．-n1878年，弗罗伯尼提出了矩阵A的最小多项式的概念，并指出它是由特征多项式的因子形成的而且是唯一的．但直到1904年亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)才证明了唯一性，同时他还证明了，若h(x)是矩阵A的最小多项式，g(x)是A满足的任一其他多项式，则有h(x)|g(x)．今天，我们把含有参数λ的矩阵叫做λ—矩阵，19世纪对λ—矩阵及其行列式进行了充分的讨论．1851年，西尔维斯特从对行列式以后，1878年弗罗伯尼将这两个概念引入到矩阵中，进行了大量的工作，并以完美的逻辑形式整理了初等因子、不变因子的理论，其中的重要工作是彻底弄清楚了矩阵之间关系的结构．如果存在两个可逆矩阵U，V使A＝UBV，则称A，B等价．1878年弗罗伯尼证明了，矩阵A，B等价的充要条件是A和B有相同的初等因子或不变因子；而早在1868年，魏尔斯特拉斯就已经证明，两个矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子和初等因子．他们所讨论的矩阵(同时也涉及到行列式)的元素不仅是实数，也扩充到了复元素．1870年，若尔当(亦称约当)证明了任何一个矩阵A可以变到标准型J称为约当标准型，J i称做对于λi的约当块．矩阵A的特征多项式矩阵的约当标准型的完整理论．1892年，梅茨勒(W．H．Metzler，1863—？)引入了矩阵的超越函数，如e M，lnM，sinM，arc sinM(其中M为矩阵)；而且其他人将矩阵(行列式)推广到了无穷阶的情形，矩阵元素也由普通的实数、复数扩充到属于抽象域了．凯莱、西尔维斯特建立了线性变换的理论．实际上，凯莱就是从两个相继线性变换的效应表示给出了矩阵的乘法定义．他们把一个矩阵看作一线性变换，从而利用线性变换处理了矩阵的相似、等价、合同等关系．后来线性变换又被应用于研究数论、射影几何，取得了巨大的成就，这一世纪已经出现了线性变换的矩阵标准形式：实际上，由于这一时期已经有了一般的n维空间理论，而且变换的思想早已进入数学界，在数论、代数、几何中引用各种变换已成为一种基本方法，因此，19世纪形成线性变换的基本理论是势在必然的事情．四、数论数论是最古老的数学分支之一，但是，数千年来它只是一系列孤立的巧妙结果、方法的集合．真正形成一门完整的学科——具有自己独特的范。
无中心的李代数
无中心的李代数
无中心的李代数（英文名称为Centerless Lie algebra）指的是李代数中不存在零化理想（即中心），其每个元素都可以作为左伴随作用于另一个元素，从而形成一种高度非线性的代数结构。
无中心的李代数在量子场论、数学物理等领域中被广泛地应用。
下面我们来看看无中心的李代数的一些基本性质：
1.无中心的李代数的任意非零元素都是一个生成元。
2.无中心的李代数一般不是互易的，即不满足如下性质：
$$[x,y]=[y,x]$$
3.一个无中心的李代数一般都可以表示成自由李代数模掉一个零化理想得到的商李代数的形式。
其中自由李代数表示了该李代数中所有的“无限小”元素，而零化理想则表示了该李代数中的一些不可逆过程。
4.无中心的李代数在物理中也有很多应用，例如在弦论中可以用作对称性群的结构，从而引出庞加莱对称群等概念。
总的来说，无中心的李代数是一种非常重要的代数结构，它在物理学和数学领域中有着广泛应用，并且研究该代数结构能够帮助我们深入理解许多复杂的问题。
量子Lie代数的表示分类问题
量子Lie代数的表示分类问题在数学领域中，量子Lie代数是一种重要且广泛应用的概念。
它与量子力学以及对称性有着密切的关系。
量子Lie代数的表示分类问题是指如何对给定的量子Lie代数进行分类，以便能够更好地理解和研究其性质。
1. 量子Lie代数的基本概念在深入探讨量子Lie代数的表示分类问题之前，我们先来回顾一下量子Lie代数的基本概念。
量子Lie代数是一种由一组生成元和一组满足特定关系的结构常数所构成的代数结构。
它与经典Lie代数类似，但在对易关系上有所变化，即量子Lie代数中的乘积运算并非满足交换律。
2. 量子Lie代数的表示论量子Lie代数的表示论是研究如何利用线性空间上的算子表示来描述量子Lie代数的一个重要分支。
在表示论中，我们通常研究将量子Lie代数的生成元映射为线性算子的映射关系。
这样的映射满足一定的条件，以保持量子Lie代数的结构。
3. 量子Lie代数的表示分类表示分类问题是指如何将给定的量子Lie代数按照一定的分类标准进行划分。
在量子Lie代数的表示分类中，常见的分类标准包括表示的维数、表示的相似性以及表示的不可约性等。
3.1 表示的维数表示的维数是指量子Lie代数映射到线性算子所对应的向量空间的维数。
不同维数的表示可以展现出量子Lie代数的不同性质和结构。
通过研究不同维数的表示，可以更全面地理解量子Lie代数的性质。
3.2 表示的相似性表示的相似性是指具有相同性质的不同表示之间的关系。
在表示分类中，我们常常通过研究各个表示之间的相似性，将它们划分为不同的等价类，从而简化问题的复杂性。
3.3 表示的不可约性表示的不可约性是指表示空间不存在真正的不变子空间。
即在表示空间中，任意子空间都不是该表示的不变子空间。
不可约表示在量子力学中起着重要的作用，并且与量子力学中的观测算子的特征值和态的描述有关。
4. 量子Lie代数的表示分类方法针对量子Lie代数的表示分类问题，通常有多种方法来解决。
复数域上无限维矩阵李代数的y—型李代数
复数域上无限维矩阵李代数的y—型
李代数
y—型李代数是复数域上无限维矩阵李代数的一种，它是由一组复数矩阵构成的李代数。
y—型李代数的特点是，它的矩阵元素是复数，而且它的矩阵元素是有限的，这意味着它
的维数是有限的。
y—型李代数的矩阵元素可以分为两类：一类是实数，另一类是复数。
实数矩阵元素可以
用实数表示，而复数矩阵元素可以用复数表示。
y—型李代数的矩阵元素可以用复数表示，也可以用实数表示。
y—型李代数的矩阵元素可以用来表示复数函数，也可以用来表示实数函数。
它的矩阵元
素可以用来表示复数空间中的点，也可以用来表示实数空间中的点。
y—型李代数的矩阵元素可以用来表示复数空间中的线性变换，也可以用来表示实数空间
中的线性变换。
它的矩阵元素可以用来表示复数空间中的线性变换，也可以用来表示实数
空间中的线性变换。
复数域上无限维矩阵李代数是一类抽象的代数结构，它由无限维复数矩阵构成。
其中，矩阵李代数是指一类满足李代数性质的矩阵结构。
李代数是一类具有可加性、可乘性和可逆性的代数结构，具有广泛的应用。
y—型李代数是指一类具有y—型结构的李代数。
y—型结构是指一种特殊的结构，其中一
个数对应一个y—型图形。
y—型李代数具有广泛的应用，如在量子力学、计算机科学和工程学等领域有着广泛的应用。
总之，复数域上无限维矩阵李代数的y—型李代数是一类具有y—型结构的复数域上无限
维矩阵李代数，它在许多领域有着广泛的应用。
l∞是banach代数
l∞是banach代数
l∞是一个完备的赋范空间，它也是一个Banach空间。
它是由
所有实数或复数的有界数列构成的空间，其中范数定义为数列的最
大绝对值。
l∞也是一个Banach代数，因为它不仅是一个Banach空间，还满足代数结构。
在l∞中，可以定义元素之间的乘法运算，
使得l∞成为一个代数结构。
这种乘法运算是逐项定义的，即对于
两个元素f和g，它们的乘积h的第n个分量为h(n) = f(n) g(n)。
这种乘法运算满足代数结构的要求，即结合律和分配律。
因此，l∞
不仅是一个完备的赋范空间，也是一个满足代数结构的Banach代数。
另外，l∞作为一个Banach代数还具有重要的性质，比如它是
可分的，即存在可数稠密子集。
这一性质在分析和函数空间理论中
有重要的应用。
另外，l∞还是一个自反空间，这意味着它与其对偶
空间具有相同的结构，这在函数空间理论和泛函分析中也具有重要
意义。
总之，l∞是一个重要的数学结构，既是一个完备的赋范空间，
又是一个Banach代数，在数学理论和实际应用中都具有重要的地位。
物理学中的李代数与李群
物理学中的李代数与李群
李代数和李群是数学中重要的概念，在物理学中也有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨物理学中的李代数和李群。
李代数是指一个向量空间上的一个Lie代数。
Lie代数是一组定义在一个向量空间上的Lie括号运算，而Lie括号运算是两个向量的交叉积，表示它们之间的代数关系。
比如，空间中的三个相互垂直的单位向量i,j,k定义了一个Lie代数，其中，[i,j] = k，[j,k] = i，[k,i] = j。
李群是指一个连续的群，其中群上的乘法是一个光滑变换。
举例而言，一个旋转矩阵群定义了一个李群，而一个李代数就是其导数在单位元上的值。
因此，李代数和李群是一一对应的。
在物理学中，李代数和李群是非常有用的工具。
它们可以用来描述物理系统的对称性和守恒量。
例如，电磁场的变换可以用李群来描述，而李代数可以用来计算两个对称变换间的代数关系。
此外，在量子力学中，李代数也被用来描述对称性以及量子态的演化。
一个著名的李群是洛伦茨群，它描述了洛伦兹变换的对称性。
由于洛伦兹变换涉及到时间和空间的变换，因此洛伦茨群可以帮
助我们理解相对论。
这个群的李代数是Poincare代数。
在标准模
型中，SU(3)群描述了强相互作用，SU(2)群描述了弱相互作用，
而U(1)群描述了电磁相互作用。
这些群和李代数的使用帮助了物
理学家们更好地理解自然界。
总之，李代数和李群是数学中和物理学中非常重要的概念。
它
们被广泛应用于对称性、守恒量和量子状态的描述。
在物理学中，李代数和李群是不可或缺的工具。
q-形变Witt超代数的Hom-Leibniz二上循环
２１年 ｌ ０１ ０月
莆 西 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ Ｐ ｔａ Ｕｎｖ ｒｉ ｏ ｒ ａ ｆ ｕ ｎ ｉ ｉｅｓｔ ｙ
中图分类号 ： ５． Ｏ１２５
Ｖｏ ． ８ １１ Ｎｏ５ ．
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文章 编 号 ：６ ２４４ （０ ）５０ １－４ １７ ．１３变 Ｗｉ 超 代 数 是 Ｗｉ 超 代 数 的 自然 推 ． ｔ ｔ ｔ ｔ
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上定义为 ：ｔｎ ＝｛ ， ｔ） ｝ ｔ ａ（ ） Ｏ ｔ ） ｝ ａ（ ＝｛ 口 ｎ （ Ｏ Ｏ， ｔ
无中心扩张的广义超Virasoro代数的Leibniz二上循环
上同调群． 众所周知 ， 超） 李（ 代数的二上循环在李超代数的中心扩张方面起着重要作用．李 （ ） 超 代数或者
Ｌｉｎｚ超 ） 数 的 Ｌｉｎｚ ｅ ｉ（ 代 ｂ ｅ ｉ二上循 环 和 Ｌｉｎｚ 上 同调群 也 同样 重 要 ， ｂ ｅｂｉ二 出现 了一 系 列关 于无 限维 李 （ ） 超 代 数和 Ｌｉｎｚ 超 ） 数 的 Ｌｉｎｚ 上循 环和 Ｌ ｉｎｚ ｅ ｉ（ 代 ｂ ｅｂｉ二 ｅ ｉ二上 同调 群 的文 章 Ｉ］ ｂ ９． 我 们 首先 给 出一 些 相关 的定 义．域 Ｆ上 的 Ｌｉｎｚ 代 数 是 指 带 有 一 个 Ｆ一双 线 性 映 射 ［－，－］ Ｌ× ｅｂｉ超 ：
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关 键词 ：广 义超 Ｖｒｓｒ 数 ； ｅｂ ｉ 二 上循 环 ； ｅ ｎｚ 上 同调群 ． ｉ ｏｏ代 ａ Ｌ ｉｎｚ Ｌｉ ｉ二 ｂ
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且 满足下 面 的关 系式 ¨ ： Ｊ
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本文 的 主要 目的 是研 究上 面所 定义 的广义 超 Ｖｒｓｒ ｉ ｏｏ代数 ５的 Ｌｉｎｚ ａ ｅ ｉ二上 循环 ， 一步 确定 Ｌｉｎｚ ｂ 进 ｅｂｉ二
一
的 ｚ 一阶 化 向量空 问 Ｌ＝ ①Ｌ ， ｒ使得 ［ ， ］ Ｌ＋ ， Ｖ 卢∈Ｚ Ｃ 口 ＿ ， ２
和超 的 Ｌ ｉｎｚＪｃｂ 等式 ｅｂ ｉ ａｏ ｉ
算子中基本Lie代数的研究
算子中基本Lie代数的研究随着数学研究的深入和发展，Lie理论在各个领域中都得到了广泛的应用，其中Lie代数的研究作为数学中的重要基础，也在不断地深入和扩展。
而在Lie代数中，基本Lie代数更是研究的热点之一，尤其是算子中的基本Lie代数，更是吸引了许多数学家的关注。
什么是基本Lie代数？在研究Lie代数时，我们常常会遇到一个重要的概念，那就是基本Lie代数。
基本Lie代数是指一个Lie代数的一个极大的Abel子代数，换句话说，Lie代数中最大的可约Abel子代数就是它的基本Lie代数。
基本Lie代数具有很多重要的性质，例如每个元素是可对角化的、简单Lie代数的基本Lie代数是一个利于研究的有限维泛Lie代数等等。
因此，对于Lie代数研究来说，基本Lie代数的研究也是至关重要的。
算子中的基本Lie代数算子是指一类映射，它将一类对象映射到另一类对象，这类对象可能是向量、函数、算子或者其他的对象。
在数学中，算子是一种常见的对象，它们可以用来描述一个系统的状态、变量或是相互作用。
在多项式代数的研究中，我们经常需要研究算子的基本Lie代数。
这类基本Lie代数是多项式环中的子代数，它们满足一定的性质，例如，任何单项式的对称群都被包含在它们之中。
研究算子中基本Lie代数的重要性为什么会有人关注算子中的基本Lie代数呢？这是因为，研究算子中的基本Lie代数可以解决许多数学上的问题，例如，这类Lie代数在代数几何、微分几何、表示论、李超代数等领域都有着广泛的应用。
例如，在代数几何中，基本Lie代数是研究代数球面的一个重要工具。
在微分几何中，基本Lie代数被用来描述某些微分算子的基本性质。
在表示论中，基本Lie代数是研究垂直于基本不变式的表示的一个重要工具。
在李超代数中，基本Lie代数是一个可约齐次空间李代数的基本性质。
总结综上所述，算子中基本Lie代数的研究对数学领域的发展有着极其重要的意义。
它不仅是解决现有数学问题的重要工具，更是对数学领域未来发展的重要启示。
lie代数
lie代数Lie代数是数学中一个重要的概念，其被广泛应用于物理学、几何学、代数学等不同学科领域。
本文将围绕“lie代数”展开一系列分步骤的讲解，以期为读者更好地理解该概念，从而拓展其数学知识。
第一步：什么是代数？代数是数学中的一个分支，主要研究各种数学结构及其运算规则。
在代数中，我们将一个集合和一些在该集合上定义的运算规则组合构成为一个代数结构。
常见的代数结构有群、环、域等。
第二步：什么是Lie代数？Lie代数是代数中的一种结构，它是一个向量空间V上的代数，其中定义了一种二元运算叫做李括号符号，记为[x,y]，其表示向量x 和y的对易关系。
李括号符号具有线性等性质，同时也具有蕴含李括号恒等式的Jacobi恒等式，即对所有x, y, z ∈ V，有[[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0，这一性质使得Lie代数具有丰富的性质和应用。
第三步：Lie代数的定义将一个向量空间和一个定义在这个向量空间上的李括号符号组合在一起，就构成了一个Lie代数。
一个Lie代数A是一个向量空间，其上有一个二元运算[ , ]（叫做李括号符号），满足以下三个条件：（1）对于任意的x,y∈A，[x,y]也在A中；（2）李括号符号符合反对称性质，即对于任意的x,y∈A，[x,y]=-[y,x]；（3）李括号满足Jacobi恒等式，即对于任意的x,y,z∈A，[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0；第四步：Lie代数的应用Lie代数在物理学、几何学、代数学等领域中都有广泛应用。
在物理学中，Lie代数被用于量子力学和广义相对论中的对称群的研究，如我们所熟知的SU(2)代数和SU(3)代数，它们分别对应着自旋和夸克。
在几何学中，Lie代数被用于李群（即连续对称变换群）的研究。
如SO(3)代数对应的李群SO(3)即为旋转群，它描述了三维空间中物体的旋转变换。
在代数学中，Lie代数可以用于研究李代数的表示理论等，同时也可被其他代数学领域所应用。
算子代数的概念
算子代数的概念算子代数（Operator Algebra）是数学中的一个重要分支领域，它研究的是含有算子（Operator）的代数结构。
具体而言，算子代数既关注算子的性质和运算，也关注算子之间的关系和代数结构的性质。
算子代数在理论物理、数学物理和函数分析等领域具有广泛的应用。
首先，我们来看一下什么是代数（Algebra）。
代数是数学中研究向量空间中的元素之间运算规律的一门学科。
代数可以分为线性代数、抽象代数等多个分支。
在线性代数中，我们研究的是向量空间及其上的线性运算，而在抽象代数中，我们研究的是将代数对象的性质提炼出来并进行研究的一种方法。
算子代数则是在代数的基础上引入算子的概念而形成的一种代数结构。
在算子代数中，我们研究的对象是一组线性算子及其运算规则。
算子代数的基本要素包括定义在线性空间上的算子以及算子之间的运算。
我们进一步来了解一下算子的定义和运算。
算子是一种将一个向量空间的元素映射到另一个向量空间的映射。
在算子代数中，我们通常研究的是定义在相同的向量空间上的算子。
例如，对于一个n维的向量空间，我们可以研究定义在这个向量空间上的n×n矩阵，这些矩阵构成了一个算子代数。
算子代数中的运算包括加法、数乘以及与之相关的代数结构，如乘法、卷积等。
具体来说，算子代数的运算定义如下：1. 加法：给定两个算子A和B，它们的和A+B也是一个算子。
对于所有的向量x，有(A+B)(x) = A(x) + B(x)。
2. 数乘：给定一个标量c和一个算子A，我们定义标量c与算子A的乘积cA 为一个算子。
对于所有的向量x，有(cA)(x) = cA(x)。
3. 乘法：给定两个算子A和B，它们的乘积AB也是一个算子。
对于所有的向量x，有(AB)(x) = A(B(x))。
在算子代数中，我们关注的不仅是这些运算的性质，还有算子之间的代数结构。
这就是为什么算子代数也被称为“代数”的原因。
从代数结构的角度来看，算子代数可以分为多种类型。
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无限维Lie代数和Leibniz代数
【摘要】：自从1993年以来，作为Lie代数和结合代数的推广，Leibniz 代数和结合对代数已经被广泛研究。
它们与同调、K-理论以及Lie代数等有密切联系。
在这篇文章里，我们主要讨论Lie代数和Leibniz 代数之间的联系，通过一些Lie理论的方法去研究某些无限维Leibniz 代数的结构和表示理论。
1．中心扩张问题在Lie代数的研究中起着非常重要的作用，因此有许多文章研究各种各样Lie代数的中心扩张问题。
最近同样有许多文章研究Leibniz代数的中心扩张问题。
在第2章，我们首先给出了Leibniz代数的中心扩张问题的一些一般理论。
对于单位结合对代数D和有限维单Lie代数(?)，我们决定了(?)D的普遍中心扩张。
同时研究了微分算子代数，量子2-torus，Virasoro-like 代数和它的q-analog的所有一维Leibniz中心扩张，决定了这些无限维代数的所有非平凡的Leibniz2-上循环。
2．对于单位结合代数A，SteinbergLie代数(?)(n，A)，(?)(n，A)和Steinbergunitary代数(?)(n，A)，(?)(n，A)已经被很多文章研究．在第3章，给定单位结合对代数D，(n≥3)，我们构造SteinbergLeibniz代数和SteinbergunitaryLeibniz 代数，证明它们分别是特殊线性矩阵Leibniz代数(?)(n，D)和初等矩阵Leibniz代数(?)(n，D，-，γ)的普遍中心扩张。
这些结果在Leibniz 代数的研究中起着重要作用，特别地，对有限根系阶化的Leibniz代数和LeibnizK-理论的研究其着重要作用。
3．有限根系阶化的Lie代数首先是由Berman和Moody[BM]定义和研究的，主要是为了研究更
多种重要类型的Lie代数，如Slodowy的intersection矩阵Lie代数([S])，高维仿射Lie代数[AABGP]等。
自1990年以来有许多文章研究各种类型的有限根系阶化的Lie代数。
在第4章，我们给出了有限根系阶化的Leibniz代数的定义，获得了A，D和E型的有限根系阶化的Leibniz代数的结构。
这个研究提供了获得更多类型Leibniz代数的一条路径。
4．在第5章，我们研究了Leibniz超代数的一般理论，给出了一些Leibniz超代数普遍中心扩张。
5．最近有限根系阶化Lie 超代数也被广泛研究。
在第6章我们研究了有限根系阶化的Leibniz 超代数。
给出了A(m，n)，C(n)，D(m，n)，D(2，1；α)，F(4)，G(2)型有限根系阶化的Leibniz超代数的一般结构。
6．仿射Lie代数的顶点算子表示在模形式、组合论等方面由很优美的应用。
ToroidalLie代数是仿射Kac-MoodyLie代数的自然推广。
在[MRY]和[RM]里，单边toroidalLie代数的齐次顶点表示被构造出来。
这个构造是仿射Kac-MoodyLie代数的Frenkel-Kac，Segal的lever-one构造的推广。
在第7章，我们构造出G_2型的toroidalLie代数以及放射Leibniz代数的这种顶点算子表示。
【关键词】：
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2004
【分类号】：O152.5
【目录】：第零章引言10-14第一章对代数和Leibniz代数14-221.1对代数及其同调14-171.1.1对代数14-151.1.2结合对代数的同调15-171.2Leibniz代数及其(上)同调17-221.2.1Leibniz代数17-181.2.2普遍包络(对)代数18-191.2.3Leibniz(上)同调19-22第二章Leibniz代数的中心扩张22-402.1中心扩张22-242.1.1普遍中心扩张22-232.1.2一维中心扩张23-242.2Leibniz代数(?)D的普遍中心扩张24-262.3ToroidalLeibniz代数的导子代数26-272.4ToroidalLeibniz代数的自同构27-282.5仿射Leibniz代数28-302.6微分算子代数上的Leibniz2-上循环30-362.7Virasoro-like代数及其q-analog的Leibniz2-上循环36-40第三章Steinberg(unitary)Leibniz代数40-623.1SteinbergLeibniz代数40-443.1.1SteinbergLie代数403.1.2交错对代数40-413.1.3SteinbergLeibniz代数41-443.2(?)(n，D)的普遍中心扩张44-463.3SteinbergunitaryLeibniz代数46-483.4(?)[(n，D，-，γ)的普遍中心扩张48-543.5(?)[(4，D，-，γ)的普遍中心扩张54-583.6一般型的SteinbergunitaryLeibniz代数58-62第四章有限根系阶化的Leibniz代数62-724.1有限根系阶化Lie代数624.2有限根系阶化的Leibniz代数62-664.3Δ-阶化Leibniz代数的中心同源66-684.4Recognition定理的证明68-724.4.1对于D和E型的Recognition定理68-704.4.2A型的Recognition定理70-72第五章Leibniz超代数72-825.1基本的典型Lie超代数72-745.1.1基本概念72-735.1.2基本的典型单Lie超代数的Chevally基73-745.2超对代数和Leibniz超代数74-795.2.1超对代数74-755.2.2Leibniz超代数
75-795.3Leibniz超代数的普遍中心扩张79-82第六章有限根系阶化的Leibniz超代数82-906.1基本概念826.2A(m，n)(m＞n)阶化Leibniz 超代数结构82-866.3其它型的Δ-阶化Leibniz超代数结构86-886.4A(n，n)-阶化Leibniz超代数88-90第七章顶点表示90-1087.1G_2型的ToroidalLie代数90-937.2(?)的顶点表示93-957.3定理7.2.1的证明95-1027.4模结构102-1057.5仿射Leibniz代数的表示105-108参考文献108-112 本论文购买请联系页眉网站。