有限单元法分析的基本步骤
数值模拟法-有限单元法的基本原理及步骤
式中 * T是 * 的转置矩阵。
*TF
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的
虚功是：
x
* x
y
* y
z
* z
xy
* xy
yz
* yz
zxLeabharlann * zx*T因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：
节点荷载矩阵
六、总体节点力与总体节点位移的关系 (总体刚度矩阵)
六、总体节点力与总体节点位移的关系 (总体刚度矩阵)
六、总体节点力与总体节点位移的关系 (总体刚度矩阵)
六、总体节点力与总体节点位移的关系 (总体刚度矩阵)
七、边界条件与方程求解
解方程
七、边界条件与方程求解
结果无解，为何？
七、边界条件与方程求解
五、单元节点力与节点位移的关系 (单元刚度矩阵)
节点虚位移是任意的
令 单元平衡方程
单元刚度矩阵
五、单元节点力与节点位移的关系 (单元刚度矩阵)
五、单元节点力与节点位移的关系 (单元刚度矩阵)
节点荷载矩阵
节点力
等效节点荷载
节点力与等效节点荷载 作用下的平衡方程
五、单元节点力与节点位移的关系 (单元刚度矩阵)
有限单元法的基本原理及步骤
以一维杆件为例
一、研究区域的离散化 二、单元位移与节点位移的关系 (形函数矩阵) 三、单元应变与节点位移的关系 (应变函数矩阵) 四、单元应力与节点位移的关系 (应力函数矩阵) 五、单元节点力与节点位移的关系 (单元刚度矩阵) 六、总体节点力与总体节点位移的关系 (总体刚度矩阵) 七、边界条件与方程求解
abaqus有限元分析过程
一、有限单元法的基本原理有限单元法（The Finite Element Method）简称有限元（FEM），它是利用电子计算机进行的一种数值分析方法。
它在工程技术领域中的应用十分广泛，几乎所有的弹塑性结构静力学和动力学问题都可用它求得满意的数值结果。
有限元方法的基本思路是：化整为零，积零为整。
即应用有限元法求解任意连续体时，应把连续的求解区域分割成有限个单元，并在每个单元上指定有限个结点，假设一个简单的函数（称插值函数）近似地表示其位移分布规律，再利用弹塑性理论中的变分原理或其他方法，建立单元结点的力和位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程组，从而求解结点的位移分量. 进而利用插值函数确定单元集合体上的场函数。
由位移求出应变, 由应变求出应力二、ABAQUS有限元分析过程有限元分析过程可以分为以下几个阶段1.建模阶段: 建模阶段是根据结构实际形状和实际工况条件建立有限元分析的计算模型――有限元模型，从而为有限元数值计算提供必要的输入数据。
有限元建模的中心任务是结构离散，即划分网格。
但是还是要处理许多与之相关的工作：如结构形式处理、集合模型建立、单元特性定义、单元质量检查、编号顺序以及模型边界条件的定义等。
2.计算阶段:计算阶段的任务是完成有限元方法有关的数值计算。
由于这一步运算量非常大，所以这部分工作由有限元分析软件控制并在计算机上自动完成3.后处理阶段: 它的任务是对计算输出的结果惊醒必要的处理，并按一定方式显示或打印出来，以便对结构性能的好坏或设计的合理性进行评估，并作为相应的改进或优化，这是惊醒结构有限元分析的目的所在。
下列的功能模块在ABAQUS/CAE操作整个过程中常常见到，这个表简明地描述了建立模型过程中要调用的每个功能模块。
“Part（部件）用户在Part模块里生成单个部件，可以直接在ABAQUS/CAE环境下用图形工具生成部件的几何形状，也可以从其它的图形软件输入部件。
有限单元法基本原理和数值方法
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场及热传导等领域中。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法，并阐述其在工程实践中的应用。
2. 基本原理有限单元法的基本原理是将复杂的连续体问题离散化为若干简单的子域，即有限单元。
每个有限单元由一个或多个节点组成，通过将子域内的导数方程或平衡方程转化为代数方程，再通过求解这些代数方程得到全局解。
有限单元法的基本步骤如下： - 确定问题的几何形状和边界条件； - 将几何形状分割为有限个单元，并为每个单元定义适当的数学模型； - 根据单元的数学模型建立刚度矩阵、质量矩阵等，并通过组装成全局矩阵； - 应用合适的边界条件，并求解线性或非线性代数方程组； - 根据代数方程组的解，计算各个单元内部的物理量。
3. 数值方法有限单元法中常用的数值方法包括： - 剖分方法：将连续域剖分为若干简单的有限单元，常用的有三角形剖分和四边形剖分。
- 元素类型：根据问题的特性选择合适的单元类型，如线性元、三角元、四边形元等。
- 积分方法：采用高斯积分等方法对每个单元内的积分方程进行数值求解。
- 方程求解：对线性方程组采用直接法（如高斯消元法）或迭代法（如共轭梯度法）进行求解。
- 后处理：根据问题的要求，进行应力、位移、应变等物理量的计算和显示。
4. 应用实例有限单元法广泛用于工程实践中，以下为其常见应用实例：- 结构力学：用于模拟建筑物、桥梁、飞机等结构的应力和变形。
- 流体力学：用于模拟流体在管道、水槽、风洞等中的流动。
- 电磁场：用于模拟电磁场在电路、电机、天线等中的分布。
- 热传导：用于模拟热传导在导热管、散热器、热交换器等中的传热情况。
5. 结论有限单元法作为一种数值计算方法，在工程实践中得到了广泛应用。
通过将连续问题离散化为有限单元，再通过数值方法求解代数方程组，可以获得连续问题的近似解。
有限单元法分析的基本步骤
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 程序的静力分析功能不仅可以进行线性分析，还可以进行非 线性分析，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触分析。结构 动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构的影响。ANSYS 程序 可进行的结构动力学分析的类型包括瞬态动力学分析、模态分析、谐 波响应分析及随机振动响应分析，还有结构非线性分析，即对结构非 线性导致结构的响应随外载荷发生不成比例的变化的分析。ANSYS 程序可求解静态和瞬态非线性问题，包括材料非线性、几何非线性和 单元非线性。动力学分析方面，ANSYS 程序可以分析大型三维柔体 运动。热分析方面，ANSYS 程序可以处理热传递的三种基本类型， 即传导、对流和辐射，对热传递的三种类型均可进行稳态和瞬态、线 性和非线性分析。
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 软件致力于耦合场的分析计算，能够对结构、流体、热和电 磁4 种场进行计算，因此，它博得了世界上数千家用户的钟爱。 ANSYS 公司由John Swanson 博士创立于1970 年，ANSYS 有限 元程序是该公司的主要产品。ANSYS 软件是集结构、热、流体、电 磁和声学于一体的大型通用有限元分析软件，可广泛地应用于核工业、 铁道、石油化工、航空航天、生物医学、轻工、地矿、水利和日用家 电等一般工业及科学研究。
• ADINA 在计算理论和求解问题的广泛性方面处于全球领先的地位线 性、流体、流固耦合等复杂的工程问题而开发的。
有限元(复习参考)
一．简答题：1.有限单元法和里兹法的区别：有限单元法：(1) 将连续的求解域离散为有限个单元组合体，利用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解域上待求的未知场函数。
(2)数学意义上，是把微分方程的连续形式转化为代数形式方程组。
里兹法：在整个求解域上，直接从泛函出发，通过假设试探函数，求得问题的近似解。
2. 泛函的两个基本点：(1)泛函有它的定义域，这个定义域是指满足一定条件的函数集。
(2)泛函](xy具有明确的对应关系，泛函的值是由一条可取曲线 与可取函数)[y的整体性质决定的，它表现在“积分”上。
3. 有限单元法的基本步骤：(1)结构或物体的离散化。
(2)选取单元内的场变量插值函数。
(3)进行单元分析，求单元特性矩阵和单元特性列阵。
(4)进行整体分析，组装整体特性矩阵和整体特性列阵，建立整体方程。
(5)计算单元内部的场变量。
4. 选取插值函数的原则：(1)广义坐标的个数与单元自由度数一致。
(2)为提高单元精度，插值多项式应尽量选取完全多项式。
有时完全多项式的项数与单元自由度数并不相同，这时可以增加单元的节点个数以使单元的自由度数和完全多项式的项数相同；还可以减少多项式的项数，以使问题变得简单，但此时应注意保持多项式的对称性。
5. 收敛准则：准则1 完备性要求。
如果出现在泛函中场函数的最高阶导数为m阶，则有限单元法收敛的条件之一是单元内场函数的插值函数至少是m次完全多项式，或者说插值函数必须包括本身和直至m阶导数为常数的项。
准则2 协调性要求。
如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在相邻单元的交界面上应有函数直到m - 1阶的连续导数。
6. 等参变换的定义：将局部(自然)坐标中几何形状规则的单元变换为整体坐标系中几何形状扭曲的单元。
当坐标变换和函数插值采用相同的节点，为等参单元；当坐标变换节点数多于插值函数节点数，为超参变换；当坐标变换节点数少于插值函数节点数，为亚参变换。
7. 等参单元基本思想：用相同数目的节点参数和相同的插值函数来定义单元的形状以及单元内的场变量。
有限单元法基本步骤示例
有限单元法在电磁 场分析中用于求解 电磁场方程
通过对电磁场进行 离散化处理，将连 续的电磁场转换为 离散的有限单元
通过对有限单元进 行数学建模和求解 ，得到电磁场的分 布情况和相关参数
有限单元法在电磁 场分析中具有广泛 的应用，如电磁场 仿真、天线设计、 电磁兼容性分析等
06 总结与展望
总结有限单元法的优势和不足
关系等。
最小势能原理
定义：最小势能原理是指在物理系统中，系统的总势能总是趋向于最小 值 应用：有限单元法中，通过最小化总势能来求解物理问题
优势：能够考虑系统的约束条件，得到精确解
局限性：对于非线性问题，可能会出现求解困难的情况
虚功原理
定义：虚功原理是有限单元法的基本原则之一，它指出在结构分析中，如果结 构受到的载荷是虚的（即不真实的），则结构的位移和应力也将是虚的。
优势：适用于复杂形状 和边界条件的离散化， 能够解决各种工程问题。
不足：计算量大，需要 高性能计算机支持；对 初学者来说，掌握难度 较大。
展望有限单元法未来的发展方向和应用前景
研究方向：随着科技的不断进步，有限单元法在理论和应用方面将会有更多的突破和创新，例 如开发更加高效、精确的算法和模型，以解决更加复杂的问题。
进。
05 有限单元法的应用实例
结构分析中的应用
有限单元法在结构分析中用于建立离散化模型，将连续的结构离散为有限 个单元，以便进行数值计算和分析。
有限单元法在结构分析中可以模拟各种复杂的结构和边界条件，例如桥梁、 高层建筑和核反应堆等。
有限单元法在结构分析中可以用于评估结构的强度、刚度和稳定性等性能 指标，为结构设计提供依据。
应用领域：随着工业和科技的不断发展，有限单元法将会被应用到更多的领域中，例如航空航 天、汽车、建筑、生物医学等，解决各种复杂的问题和挑战。
有限元法基础重点归纳(精)
30、有限元法的任务:建立和求解整个弹性体的节点位移和节点力之间的关系的平衡方程。31、单元刚度矩阵:表达了单元节点位移与节点力之间的转换关系。
32、单元刚度矩阵的性质:①单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义②K e是对称矩阵③K e的每一行或每一列元素之和为零,因此K e为奇异矩阵④K e不随单元的平行移动或作n π角度的转动而改变。33、刚度集成法集成规律:①先对每个单元求出其单元刚度矩阵K e ,而且以分块形式按节点编号顺序排列②将单元刚度矩阵扩大阶数为2n*2n ,并将单元刚度矩阵中的子块按局部码与总码的对应关系,搬到扩大后的矩阵中,形成单元贡献矩阵K e。③将所有单元贡献矩阵同一位置上的分块矩阵简单叠加成总体刚度矩阵中的一个子矩阵,各行各列都按以上步骤即形成总体刚度矩阵K。34、整体刚度矩阵的性质:①整体刚度矩阵是对称矩阵②整体刚度矩阵中每一元素的物理意义:整体刚度矩阵的第一列元素代表使第一个节点在x方向有一单元位移,而其余节点位移皆为零时必须在节点上施加的里。对于K的其余各列也有类似意义③整体刚度矩阵K的主对角线上的元素总是正的④整体刚度矩阵K是一个稀疏阵⑤整体刚度矩阵K是一个奇异阵。35、带形矩阵:整体刚度矩阵K的非零元素分布在以主对角线为中心的斜带形区域内的矩阵。
γxy
=E 1−μ
2∗
1−μ2
γxy
42、制造位移函数:{u (x,y =α1+α2x +α3y
v (x,y =α4+α5x +α6y
43、等参单元精度比四边形单元高,四边形精度比三角形精度高。
44、轴对称问题:很多工程物件,它们的几何形状承受的载荷以及约束条件都对称于其一固定轴,这即为对称轴,此时载荷作用下的位移、应变和应力也对称于该对称轴的问题。45、等参数单元:优点:①形状方位任意,适应性好,精度高,容易构造高阶单元②具有统一形式,规律性强,采用数值积分算,程序处理方便③高阶等参单元精度高,描述复杂边界,形状能力强,所需单元少。缺点:①单元各方向尺寸要尽量接近②单元边界不能过于曲折,不能有拐点折点,尽量接近直线或抛物线③边之间夹角要尽量接近直角④单元形状不能过度畸变,边中节点不能过于偏离中间。46、有限元法基础理论:弹性力学,材料力学
简支梁的有限单元法分析-三角形三节点单元
三角形三节点平面单元
王 峰
有限元分析的基本步骤：
结构离散化
单元分析
整体分析
1 结构离散化
图示为简支梁，梁的厚度为t，泊松比m =0.3，弹性 模量为E=2e+5Mpa，用三节点三角形单元进行离散， 直角三角形边长为2。
2 单元分析
单元分析的主要内容：由节点位移求内部任一点的
物理方程
{s }=[D]{} 而 { }=[B]{}e (求应力的表达式) {s }=[D][B]{ }e
记 [S]=[D][B]
[S]应力矩阵: [S]=[Si Sj Sm]
2.5节点力与节点位移的关系
令实际受力状态在虚位移状态上做虚功，虚功方程：
({ *}e )T {F}e { *}T tdxdy s
位移，由节点位移求单元应变、应力和节点力。
单元分析的步骤：
节点 (1) 位移
单元内部 各点位移
(2)
单元 (3) 应变
单元 应力
(4)
节点 力
单元分析
2.1 形函数
形函数反映了单元的位移形态，是坐标的函数。 三节点三角形单元的形函数为：
1 Ni ( x, y ) (ai bi x ci y )（i , j , m） 2A ai x j ym xm y j （i , j , m） bi y j ym ci xm x j
Ni 1 Ni 1 bi , ci x 2 A y 2 A
因此，三角形单元的应变矩阵[B]是常量，
（i , j , m）
代入数据得到：
1 0 0 0 1 0 1 B 0 0 0 1 0 1 2 0 1 1 0 1 1
什么是有限元方法基本思想是什么基本步骤
什么是有限元方法？ 基本思想是什么？ 基本步骤是什么？ 单元分析时的基本数学方法有哪些？
第二讲 弹性力学平面问题的
有限单元法
1、有限单元法的计算步骤 2、平面问题的常应变(三角形)单元 3、单元刚度矩阵 4、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 5、平面问题的矩形单元 6、六节点三角形单元 7、单元载荷移置 8、整体分析 9、整体刚度矩阵的形成 10、支承条件的处理 11、整体刚度矩阵的特点
考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后上式 就变成以结点位移为未知数的代数方程组。解此方程组可求 出结点位移。
7. 由单元的结点位移列阵计算单元应力
解出整体结构的结点位移列阵 后，再根据单元结点 的编号找出对应于单元的位移列阵 e，将 e代入就可求
出各单元的应力分量值。
vm
2 平面问题的常应变(三角形)单元
• 据弹性力学几何方程得 单元
的应变分量
x y
xy
u
u x
v y
y v
x
2 6
3 5
• 由于三节点三角形单元的位移 函数为线性函数，则单元的应 变分量均为常量，故这类三角 形单元称为常应变单元（位移 在单元内和边界上为线性变化， 应变为常量）
IN j
INm
i j
um
vm
ui
e
i j
m
vi
u v
j j
um
有限单元法基础
有限单元法基础
有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算
方法，常用于求解连续介质力学问题。
它将连续的物理域划分为有限数量的离散单元（finite elements），通过在每个单元内构建近似函数来描述物理场，再根据物理方程建立离散方程组，通过求解离散方程组来得到物理场的近似解。
有限单元法的基本思路是将连续域离散化为有限数量的小单元，每个小单元内使用适当的数学函数进行插值，将大问题分解为很多个小问题，并利用变量之间的连续性建立全局的离散方程组。
然后通过求解离散方程组得到近似解。
有限单元法的基本步骤包括：
1. 网格划分：将要求解的区域划分为多个离散单元，并在每个单元内选择适当的形状函数。
2. 形函数构造：在每个单元内选择适当的形状函数，用于描述物理场的分布。
3. 整体方程组：根据物理方程在每个单元上的积分，建立整个问题的离散方程组。
4. 边界条件：根据边界条件，将边界上的节点处的值固定为已知值。
5. 求解方程组：利用数值方法求解离散方程组，得到物理场的
近似解。
6. 后处理：根据求解结果，计算所需的物理量并进行分析和验证。
有限单元法具有广泛的应用，适用于各种连续介质力学问题的数值求解，如结构力学、固体力学、流体力学、热传导等。
它可以处理复杂的几何形状和边界条件，且精度和收敛性能较高。
有限元分析期末考试题目
e
e
为单元刚阵。而结构总应变能 U
m
U
e 1
m
e
m 1 1 { e }T [k ]e { }e { }T [ K ]{ } 2 e 1 2
单元外力功： W
e 1
e
e {u}T { p}d e {u}T {T }d ，将 {u} [ N ]{ } 代入有
fi qi
i
mi
j Tj
fj qj
j T
mj
T
有材料力学可知，轴向位移 只与轴向力 T 有关，弯曲位移 f 、 只与弯曲力 q 、 m 有关， 由直梁的弯曲变形关系，弯曲部分的节点位移与节点力关系为：
qi fi mi b e i [ k ] qj fj m j j
e T T e T T W e { } [ N ] { p}d e { } [ N ] {T }d e T e e T e { } {Q p } { } {QT }
其中 {Q p }e
e
[ N ]T { p}d,{QT }e e [ N ]T {T }d ，则整个结构的外力功
11、平面三节点三角形单元应力应变和位移有什么特征？为什么？
平面三节点三角形单元的位移是连续线性变化的，应变是常应变，如果单元是均质的， 应力也是常应力。 因为位移模式的选取为 u a1 a2 x a3 y, v a4 a5 x a6 y ，而单元应变的求解
0 x [ N ]{ }e ，应力求解方程为 { } [ D]{ } ，而 u [ N ][ ]e ，三 { } 0 方程为： y v y x
有限元分析过程范文
有限元分析过程范文1. 建立几何模型：首先需要根据实际结构的几何形状和尺寸，在计算机上进行建模。
常用的建模软件有AutoCAD、SolidWorks等。
在建模过程中，需要考虑结构的几何复杂性，将结构划分为多个小单元。
2.网格划分：建立几何模型后，需要将结构划分为有限个小单元，即进行网格划分。
常见的划分方法有三角形划分、四边形划分、四面体划分等。
划分的小单元越多，越能精确地反映结构的实际情况，但计算量也会增大。
3.建立有限元模型：在网格划分完成后，需要建立有限元模型。
有限元模型是通过数学方程来描述结构的行为，以便进行数值计算。
一般来说，有限元模型包括节点、单元和边界条件。
节点是划分后的小单元的连接点，单元是连接节点的小单元，边界条件是结构上固定或受力的位置。
4.建立位移和力的关系：在建立有限元模型后，需要建立位移和力之间的关系，即刚度矩阵。
刚度矩阵描述了结构在受力作用下的刚度特性。
刚度矩阵的建立需要根据结构的材料性质、几何形状和边界条件等参数来计算。
5.施加边界条件：在建立刚度矩阵后，需要施加边界条件。
边界条件是指结构上一些固定或受力的位置。
根据实际情况，可以将一些节点固定或施加外力。
6. 求解有限元方程：当建立模型、边界条件和刚度矩阵后，就可以通过求解有限元方程来得到结构的应力和位移等结果。
有限元方程是一个大型线性代数方程组，可以使用一些数值方法进行求解，如高斯消元法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel法等。
7.分析结果和后处理：求解有限元方程后，得到结构的应力、位移等结果。
需要对分析结果进行验证和后处理。
验证分析结果需要与实际情况进行对比，以确定分析结果的准确性。
后处理的目的是对分析结果进行分析和可视化，以便进一步了解结构的行为。
有限元分析可以应用于各种不同类型的结构，如建筑物、桥梁、飞机等。
通过有限元分析，可以更好地了解结构的性能和优化设计。
然而，有限元分析也有其局限性，如精确刻画结构的几何形状、边界条件和材料性质需要更高的精度和计算量，因此需要权衡模型的准确性和计算效率。
有限单元法及程序设计
有限单元法及程序设计有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种用于数值分析和计算的方法，广泛应用于工程和科学领域。
它通过将连续问题离散化成有限个小单元，并在每个小单元上建立数学模型来近似求解问题。
本文将介绍有限单元法的基本原理、步骤以及程序设计方面的注意事项。
一、有限单元法基本原理有限单元法的基本原理是将连续的物理区域划分为有限个离散的小单元，每个小单元内的场量近似表示为一些插值函数的线性组合。
通过对这些小单元进行逐个求解，最终得到整个问题的近似解。
有限单元法的核心思想是利用局部性原则，将整个问题分解成多个小问题。
每个小问题只涉及到相邻的单元，在确定了边界条件和材料特性后，可以进行独立的求解。
最后通过组合各个小问题的解，得到整个问题的解。
二、有限单元法步骤有限单元法的求解过程主要包括几个基本步骤，具体如下：1. 离散化：将连续的物理区域划分为有限的小单元。
常用的小单元形状包括三角形、四边形、六边形等。
2. 建立数学模型：在每个小单元上建立数学模型，通常使用插值函数来近似表示物理量。
插值函数的选择对求解结果的准确性和效率有重要影响。
3. 形成总体方程：根据物理规律和边界条件，利用适当的数学方法推导出总体方程。
常见的总体方程包括稳定性方程、运动方程等。
4. 矩阵装配：将每个小单元的局部方程装配成整个系统的总体方程。
这一步骤常常需要对单元进行编号和排序，以便正确地装配矩阵。
5. 边界条件处理：根据实际问题的边界条件，对总体方程进行修正。
边界条件的处理通常包括施加约束和设定边界值。
6. 求解方程：通过数值方法，如有限差分法或有限元法，求解总体方程。
常用的求解方法包括直接法和迭代法。
7. 后处理：对求解结果进行计算和分析，以获得实际问题的有用信息。
后处理包括输出位移、应力、应变等字段，以及进行可视化展示。
三、程序设计注意事项在进行有限单元法的程序设计时，需要充分考虑以下几个方面的注意事项：1. 算法选择：根据问题的特点和求解需求，选择合适的有限单元类型、插值函数和数值解法。
简支梁的有限单元法分析-三角形三节点单元
位移，由节点位移求单元应变、应力和节点力。
单元分析的步骤：
节点 (1) 位移
单元内部 各点位移
(2)
单元 (3) 应变
单元 应力
(4)
节点 力
单元分析
2.1 形函数
形函数反映了单元的位移形态，是坐标的函数。 三节点三角形单元的形函数为：
1 Ni ( x, y ) (ai bi x ci y )（i , j , m） 2A ai x j ym xm y j （i , j , m） bi y j ym ci xm x j
y j (0,2 )
x
m (0,0 ) i (2,0 )
三角形三节点单元
代入[D],[B]得三角形单元的单元刚度矩阵：
1 4 0 0 2 Et e [k ] 1 m2 m 4 1 4 m 4 对 1 m 8 1 m 8 0 1 m 8 1 m 8 称 1 m 8 0 1 m 8 1 m 8 1 4 3 m 8
A
由 { *}=[B]{ *}e
* e T e
得到 { *}T=({ *}e)T[B]T
* e T T e
({ } ) {F} ({ } ) [ B] D B tdxdy
A
三角形三节点单元，[B]为常量，单元厚度t也是常量，则
{F} [ B] D B tA
从结构中取出一个单元，如图其3个节点编 号是ni nj nm ，节点ni的2个自由度在结构自 由度的编号是2ni-1和2ni，在单元6个自由度 编号为1和2。
节点编号为
nj
1 51 ... ... 2 102 53 52 ... ... ... 561 ... ... 511
有限单元法基本原理和数值方法 (2)
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值计算方法。
它的基本原理是将连续体分割为离散的有限单元，通过建立有限单元间的关系，近似求解连续体的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法。
2. 有限单元法基本原理有限单元法基于两个基本假设：一是一个连续物体可以用小的有限单元来近似表示；二是连续物体在每个有限单元内有近似均匀的力和位移。
有限单元法的基本原理可以概括为以下几个步骤：2.1 离散化将连续物体划分为有限个离散的单元，每个单元都有自己的性质和参数。
通常采用三角形、四边形、四面体等简单形状的单元。
2.2 建立单元间的关系通过节点和单元之间的连接关系来构建整个有限元模型。
每个单元都与相邻的单元共享一些节点，通过共享的节点建立单元间的关系。
2.3 定义单元的属性为每个单元定义材料性质、几何属性和荷载条件等参数，这些参数将用于描述单元的行为。
2.4 定义求解问题的边界条件为有限元模型定义相应的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等。
2.5 利用单元间的关系建立方程通过应变能最小原理，利用单元间的关系建立求解整个结构的方程。
2.6 求解方程将建立的方程离散化，采用数值方法求解得到解。
3. 有限单元法数值方法有限单元法中常用的数值方法有直接法和迭代法。
3.1 直接法直接法是指直接求解线性方程组的方法，通常使用高斯消元法、LU分解法等。
直接法的优点是计算简单，稳定性好。
但是当方程组规模较大时，计算量会很大。
3.2 迭代法迭代法是指通过迭代逼近求解方程组的方法，常用的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
迭代法的优点是计算量相对较小，适用于大规模方程组。
但是迭代法的收敛性需要保证，且需要选择合适的迭代停止准则。
4. 有限单元法应用有限单元法广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、电磁场分析等。
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1.1 有限单元法简介
• 现有的商业化有限元分析软件已经成功地应用于固体力学、流体力学、 热传导、电磁学、声学和生物学等领域，能够求解弹性或塑性问题， 各类场分析问题（如流体场、温度场和电磁场等的稳态和瞬态问题）， 以及水流管路，电路，润滑，噪声和固体、流体温度的相互作用问题。
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1.4 单元形函数的构造
• 1.4.1 形函数构造的一般原理
• 单元的类型和形状取决于结构总体求解域的几何特点、问题类型和求 解精度。单元的形状可分为一维、二维和三维单元。单元插值形函数 主要取决于单元的形状、节点类型和单元的节点数目。节点的类型可 以是只包含场函数的节点值，也可能还包含场函数导数的节点值。
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1.3 机械结构有限元分析中常用的单元
• 1. 杆、梁单元 • 杆、梁单元是最简单的一维单元，单元内任意点的变形和应力由沿轴
线的坐标来确定。它用于弹簧螺杆、预应力螺杆、薄膜、桁架、螺栓、 C 形截面构件、薄壁管件、角钢或者狭长薄膜构件（只有薄膜应力和 弯力的情况）等模型。 • 2. 板单元 • 板单元内任意点的变形和应力由x、y 两个坐标确定，这是应用比较 广泛的基本单元之一，分为三角形单元和矩形板单元。 • 3. 多面体单元 • 多面体单元可分为四面体单元和六面体单元。
• 注意到({δ ∗}e )T 的任意性，式（1.45）可化简为：
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1.5 等效节点载荷列阵
• 其中，
• 式（1.45）右端括号中的第一项与节点虚位移相乘等于集中力所做的 虚功，它是单元上的集中力移置到节点上所得到的等效节点力，是一 个6×1 阶的列阵，记为{F}e；同理，式（1.45）右端括号中的第二项 是单元上的表面力移置到节点上所得到的等效节点力，记为{Q}e；第 三项是单元上的体积力移置到节点上所得到的等效节点力，记为{P}e。
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 软件致力于耦合场的分析计算，能够对结构、流体、热和电 磁4 种场进行计算，因此，它博得了世界上数千家用户的钟爱。 ANSYS 公司由John Swanson 博士创立于1970 年，ANSYS 有限 元程序是该公司的主要产品。ANSYS 软件是集结构、热、流体、电 磁和声学于一体的大型通用有限元分析软件，可广泛地应用于核工业、 铁道、石油化工、航空航天、生物医学、轻工、地矿、水利和日用家 电等一般工业及科学研究。
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1.2 有限单元法分析的基本步骤
• 有限单元法的基本思想是将结构离散化，并运用有限个容易分析的单 元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，再根据变 形协调条件进行综合求解。由于单元的数目是有限的，节点的数目也 是有限的，所以称之为有限单元法。
• 有限单元法的基本思路和基本原理是以结构力学中的位移法为基础的， 即把复杂的结构或连续体看成有限个单元的组合，各单元在节点处彼 此连续而组成整体，把连续体分成有限个单元和节点，称之为离散化， 先对单元进行特性分析，然后再根据各单元在节点处的平衡协调条件 建立方程，综合后进行整体分析。
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1.2 有限单元法分析的基本步骤
• 对于一个连续体的求解问题，有限单元法的实质就是将具有无限多个 自由度的连续体理想化为只有有限个自由度的单元集合体，单元之间 仅在节点处相连接，从而使问题简化为适合于数值求解的结构型问题。 因此，只要确定了单元的力学特性，就可以按结构分析的方法来进行 求解。
• ANSYS 的主要功能包括结构静力分析、结构动力学分析、结构非线 性分析、动力学分析、热分析、电磁场分析、流体动力学分析、声场 分析、压电分析、结构优化和疲劳分析等。结构静力分析用来求解外 载荷引起的位移、应力和力。
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 程序的静力分析功能不仅可以进行线性分析，还可以进行非 线性分析，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触分析。结构 动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构的影响。ANSYS 程序 可进行的结构动力学分析的类型包括瞬态动力学分析、模态分析、谐 波响应分析及随机振动响应分析，还有结构非线性分析，即对结构非 线性导致结构的响应随外载荷发生不成比例的变化的分析。ANSYS 程序可求解静态和瞬态非线性问题，包括材料非线性、几何非线性和 单元非线性。动力学分析方面，ANSYS 程序可以分析大型三维柔体 运动。热分析方面，ANSYS 程序可以处理热传递的三种基本类型， 即传导、对流和辐射，对热传递的三种类型均可进行稳态和瞬态、线 性和非线性分析。
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1.5 等效节点载荷列阵
• 在进行结构有限元整体分析时，结构的载荷列阵{R}是由结构全部单 元的等效节点力集合而成的，而其中单元的等效节点力{R}e 则是由作 用在单元上的集中力、表面力和体积力分别移置到节点上，再逐点加 以合成求得的。本节以平面三角形单元为例，讨论集中力、表面力和 体积力的等效移置方法以及如何形成结构等效载荷列阵，并与静力等 效进行对比。
• ADINA 在计算理论和求解问题的广泛性方面处于全球领先的地位线 性、流体、流固耦合等复杂的工程问题而开发的。
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1.1 有限单元法简介
• 非线性有限元分析软件ADINA 是由著名的有限元专家、麻省理工学 院的K.J.Bathe 教授领导开发的，其单一系统即可进行结构、流体和 热的耦合计算，并同时具有隐式和显式两种时间积分算法。由于其在 非线性求解、流固耦合分析等方面的强大功能，它迅速成为有限元分 析软件的后起之秀，ADINA 已经成为近年来发展最快的有限元软件 以及全球最重要的非线性求解软件，被广泛应用于各个行业的工程仿 真开发。
• 1.1.2 有限单元法的诞生及发展
• 我国古代数学家采用多边形的周长近似代替圆周长的方法堪称是有限 单元法的雏形。300多年前，牛顿和莱布尼茨发明了微积分法，证明 了该运算具有整体对局部的可加性。虽然积分运算与有限元技术对定 义域的划分是不同的，前者进行的是无限划分，而后者进行的是有限 划分，但积分运算为实现有限元技术奠定了一个理论基础。
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1.1 有限单元法简介
• 有限元法最早应用于结构力学中，后来随着计算机技术的发展，它慢 慢开始用于流体力学的数值模拟。目前，有限单元法在许多科学技术 领域和实际工程问题中都得到了广泛应用，例如，它在机械制造、材 料加工、航天技术、土木建筑、电子电气、国防军工、船舶、铁道、 汽车和石化能源等领域中的广泛应用已使得这些领域的设计水平发生 了质的飞跃，主要表现在以下几个方面：
间变化或随时间缓慢机械结构有限元分析及强度设计变化的应力、应 变和变形。 • （2）模态分析——求解系统的某种特征值或稳定值的问题，以得到 其固有频率和振形。
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1.1 有限单元法简介
• （3）瞬态动力学分析——求解系统所受到的外部载荷随时间变化的 动力学响应问题。
• （4）非结构动力学分析——主要分析机械系统的热传导（温度场）、 噪声和控制问题。
• （5）其他分析——如结构—流体耦合分析、结构—热和结构—噪声 等多场耦合分析等。
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• 目前流行的有限元分析软件主要有NASTRAN、ANSYS、ADINA、 ABAQUS、MARC、COSMOS 等。
• 因为MSC−NASTRAN 软件和NASA 的特殊关系，它在航空航天领域 具有很高的地位，它以最早期的主要用于航空航天方面的线性有限元 分析系统为基础，兼并了PDA 公司的PATRAN，又在以冲击、接触 为特长的DYNA3D 的基础上组织开发了DYTRAN。近来，它又兼并 了非线性分析软件MARC，成为目前世界上规模最大的有限元分析系 统。
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1.1 有限单元法简介
• 电磁场分析主要用于电磁场问题的分析，如电感、电容、磁通量密度、 涡流、电场分布、磁力线分布、力、运动效应、电路和能量损失等。 ANSYS 程序还具有将部分单元等效为一个独立单元的子结构功能以 及将模型中的某一部分与其余部分分开重新细化网格的子模型功能。 ANSYS 程序具有优化设计模块（OPT），可以进行结构的优化设计， 同时ANSYS 程序还具有参数化程序设计语言APDL，APDL 大大地 扩展了ANSYS 程序的优化功能，这也是ANSYS 程序与其他有限元 分析软件的不同之处。
是集中力{G}所做的虚功，等号右边第二项是表面力{q}所做的虚功， 积分沿着单元的边界进行；等号右边第三项表示体积力{ p}所做的虚 功，积分遍及整个单元；用形函数表示的单元位移模式方程为：
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1.5 等效节点载荷列阵
• 代入式（1.43），注意到节点虚位移列阵{δ *}e 可以提到积分号的外 面，于是有：
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1.1 有限单元法简介
• 在牛顿之后约100 年，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数 方程组的解法。这两项成果中的前者被用来将微分方程改写为积分表 达式，而后者则被用来求解有限元法所得出的代数方程组。
• 1.1.3 有限单元法在机械中的应用
• 有限单元法在机械中的应用主要体现在以下几方面： • （1）静力学分析——主要分析机械结构受外部载荷作用时，不随时
• 1.5.1 单元载荷的移置
• 根据虚位移原理，等效节点力所做的功与作用在单元上的集中力、表 面力和体积力在任何虚位移上所做的功相等，由此可以确定等效节点 力的大小。对于平面三角形单元，则有：
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1.5 等效节点载荷列阵
• 式中 {δ ∗}e——单元节点虚位移列阵； • {d∗}——单元内任一点的虚位移列阵； • t ——单元的厚度，假定为常量。 • 等号左边表示单元的等效节点力{R}e 所做的虚功；等号右边第一项