图论算法与编程实例

2 4
1 5
1 6 ??????????? 原??? 图
从第1点出发的最短路径
program dijkstra_example;
const
? vmax=100;
type
? path=record????????????????? {此记录类型用于记录每一个结点与v0的距离和其父结点}
??????????? if flag[k] then {找已在集合中的顶点}
????????????? for j:=1 to v do {求满足条件的边的最小值}
???????????????? if (not(flag[j])) and (w[k,j]<min) and (w[k,j]<>0)
??? 由于源结点V0是给定的，所谓称为单源最短路径。
【Dijkstra算法思想】
?? 把所有结点分为两组。
?? 第一组：包含已确定最短路径的结点。
?? 第二组：包含尚未确定最短路径的结点。
?? 按最短路径长度递增的顺序把第二组的结点加到第一组中去，直到V0可达的所有结点都包含于第一组中。在这个过程中，总保持从V0到第一组各结点的最短路径长度都不大于从V0到第二组任何结点的路径长度。
procedure init;
? begin
??? assign(input,'dijkstra.in');
??? reset(input);
??? assign(output,'dijkstra.out');
??? rewrite(output);
??? readln(v);
??? readln(e);
2 3 5
2 4 6
2 6 11
3 4 6
4 5 18
4 6 14
5 6 33
【输出样例】
1 2 10
2 3 5
2 4 6
2 6 11
4 5 18
原? 图
最小生成树
program prim_example;
Const
?? vmax=200
rewrite(output);
fillchar(w,sizeof(w),0);
readln(v);
for i:=1 to v do
readln(x[i],y[i]);
for i:=1 to v do {计算图的邻接矩阵}
【Prim算法思想】
任意时刻的中间结果都是一棵树，每次花费最小的代价，用一条边把不在树中的结点加进来。
【最小生成树算法实例】
??? 现有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权代表公路造价。在分析了这张图后发现，任一对城市都是连通的。现在要求用公路把所有城市联系起来，如何设计可使得工程的总造价最少？
【输出】 v-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条公路。
【输入样例】
6
10
1 2 10
1 5 19
1 6 21
2 3 5
2 4 6
2 6 11
3 4 6
4 5 18
4 6 14
5 6 33
【输出样例】
1 2
2 3
??? for i:=1 to v do
????? for j:=1 to v do
??????? if i<>j
????????? then w[i,j]:=30000
?? {30000只是一个较大的数的意思，实际应用于应该根据题目中给出的取值范围赋予一个充分大的数}
????????? else w[i,j]:=0;
prim(1);
writeln(sum:0:2);
close(input);
close(output);
end.
无向图的生成树就是从图的边集中选择一些边，使得这些边构成一个连通无环图，也就是树。如果给每一条边加一个权，所有生成树中权和最小的生成树称为最小生成树。
? begin
??? fillchar(flag,sizeof(flag),false);
??? flag[v0]:=true; {先选出v0}
??? for i:=1 to v-1 do {一共寻找v-1条边}
????? begin
??????? min:=maxint;
????????? for k:=1 to v do
??? for i:=1 to e do
????? begin
??????? read(x,y);
??????? readln(w[x,y]);
then begin
flag[nextk]:=true;
{writeln(prevk,' ',nextk,' ',min:0:2); 此部分输出每个结点对的距离，因题目不要求所以不输出。}
【输入】network.in
输入文件的第一行为一个正整数N(1≤N≤100)。
接下来N行，每行2个数U,V ，表示坐标。
【输出】network.out
输出最短路径距离（保留两位小数）
【样例数据】?
【输入】
5
0 0
0 1
0 -1
1 0
-1 0
【输出】
4.00
{思路分析：此题可以应用PRIM算法解决，关键是根据输入文件算出图的邻接矩阵，然后可以直接应用PRIM算法。}
begin
min:=1e38;
for k:=1 to v do
if flag[k] then
for j:=1 to v do
if (not flag[j]) and (w[k,j]<min) and (w[k,j]<>0)
????? readln(w[i,j]);
????? w[j,i]:=w[i,j];
??? end;
? prim(1);
? close(input);
? close(output);
end.
设图G=(V,E)是一个有向图,它的每一条边(U,V)都有一个非负权W(U,V)，在G中指定一个结点V0，要求从V0到G的每一个结点Vj的最短路径找出来（或指出不存在）。
??????? length:integer;
??????? pre:0..vmax;
?????? end;
var
? w:array[1..vmax,1..vmax] of integer;
? dist:array[1..vmax] of path;
? v,e,u,i,j,x,y:integer;
【输入】 第一行两个数v(v<=200),e，分别代表城市数和边数 以下e行，每行为两个顶点和它们之间的边权w(w<1000)。
【输出】 v-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条公路，再加该公路的造价。
【输入样例】
6 10
1 2 10
1 5 19
1 6 21
????????????????????????? writeln(prevk,' ',nextk,‘ ',min);
???????????????????????? end;
???????????? end;{for}
?? end;{prim}
begin
? assign(input,'prim.in');
图论算法
最小生成树算法(Prim算法)单源最短路径算法(Dijkstra算法)任意结点最短路径算法(Floyd算法)求有向带权图的所有环Bellman-Ford算法计算图的连通性计算最佳连通分支计算拓扑序列图论算法习题
网络建设问题最短变换问题挖地雷乌托邦城市乌托邦交通中心
某大学准备在校园网中构建校园网络，已知在校园网中选好了N（N<1000）个点，并准备在这些点安装网络设备和电脑。若要将N个点互相连接起来，问怎样布线才能使得总距离最短，两点间的布线长度等于这两个点的几何距离。
var
?? w:array[1..vmax,1..vmax]of integer;
?? i,j,k,v,e:integer;
procedure prim(v0:integer); {v0是开始结点}
? var
??? flag:array[1..vmax] of boolean;
??? min,prevk,nextk:integer;
var
flag:array[1..vmax] of boolean;
min:real;
prevk,nextk:integer;
Байду номын сангаасbegin
fillchar(flag,sizeof(flag),false);
flag[v0]:=true;
for i:=1 to v-1 do
? reset(input);
? assign(output,'prim.out');
? rewrite(output);
? fillchar(w,sizeof(w),0);
? readln(v,e);
? for k:=1 to e do
??? begin
????? read(i,j);
then begin
min:=w[k,j];