高考数学等差数列专题复习(专题训练)doc

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高考数学专题检测 等差数列

高考数学专题检测 等差数列

6.2 等差数列一、选择题1.(2022届辽宁渤海大学附中月考二)在等差数列{a n }中,若a 2+a 3+a 4=6,a 6=4,则公差d=( )A.1B.2C.13D.23答案 D ∵{a n }是等差数列,a 2+a 3+a 4=6,∴3a 3=6,a 3=2,又a 6=4,∴a 6-a 3=3d=2,∴d=23. 2.(2021皖北协作体模拟,4)等差数列{a n }的公差为d,当首项a 1与d 变化时,a 2+a 10+a 21是一个定值,则下列选项中一定为定值的是( )A.a 10B.a 11C.a 12D.a 13答案 B ∵等差数列{a n }的公差为d,∴a 2+a 10+a 21=a 1+d+a 1+9d+a 1+20d=3(a 1+10d)=3a 11.∵当a 1与d 变化时,a 2+a 10+a 21是一个定值,∴3a 11是定值,即a 11是一个定值.故选B.3.(2022届河南三市联考,4)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( )A.5B.7C.9D.11答案 A 由等差数列{a n }的性质及a 1+a 3+a 5=3,得3a 3=3,∴a 3=1,∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5.故选A. 4.(2022届山东学情10月联考,6)已知等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ,且a 4b 6=13,则S 7T 11=( ) A.733 B.13 C.1433 D.711答案 A S 7=7(a 1+a 7)2=7×2a 42=7a 4,T 11=11(b 1+b 11)2=11×2b 62=11b 6,∴S 7T 11=7a 411b 6=711×13=733. 5.(2022届北京交大附中开学考,3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=a 3,且a 3≠0,则S 4S 3=( ) A.1 B.53 C.83D.3 答案 C 设等差数列{a n }的公差为d,∵S 3=a 3,且a 3≠0,∴3a 1+3d=a 1+2d,∴-2a 1=d ≠0.∴S 4S 3=4a 1+4×32d 3a 1+3×22d =83. 6.(2022届北京一零一中学统练二,6)设{a n }是等差数列,下列结论中正确的是( )A.若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0B.若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0C.若0<a 1<a 2,则a 2>√a 1a 3D.若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0答案 C 对于A,取a 1=1,a 2=0,a 3=-1,满足a 1+a 2>0,但a 2+a 3=-1<0,故A 中结论不正确. 对于B,取a 1=1,a 2=-1,a 3=-3,满足a 1+a 3<0,但a 1+a 2=0,故B 中结论不正确.对于D,取a 1=-1,a 2=-2,a 3=-3,满足a 1<0,但(a 2-a 1)(a 2-a 3)<0,故D 中结论不正确.故选C.7.(2022届西南名校联考,6)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,若a 2<-a 11<a 1,则( )A.S 11>0且S 12<0B.S 11<0且S 12<0C.S 11>0且S 12>0D.S 11<0且S 12>0答案 A 由题意知,a 1+a 11>0,a 2+a 11=a 1+a 12<0,得S 11=11(a 1+a 11)2>0,S 12=12(a 1+a 12)2<0.故选A. 8.(2022届广西北海模拟,10)已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4=10,且a 1,a 2,a 3+1成等比数列,则公差d=( )A.1B.2C.3D.4答案 A ∵S 4=10,∴4a 1+4×32d=10,即2a 1+3d=5①, ∵a 1,a 2,a 3+1成等比数列,∴(a 1+d)2=a 1(a 1+2d+1),即a 12+2a 1d+d 2=a 12+2a 1d+a 1,也即d 2=a 1②,联立①②解得{d =1,a 1=1或{d =-52,a 1=254(舍去). 9.(2021上海松江一模)记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知点(n,a n )在直线y=10-2x 上,若有且只有两个正整数n 满足S n ≥k,则实数k 的取值范围是( )A.(8,14]B.(14,18]C.(18,20]D.(18,814] 答案 C 由已知可得a n =10-2n,因为a n -a n-1=-2,n ≥2,所以数列{a n }为等差数列,首项为8,公差为-2,所以S n =8n+n(n -1)2×(-2)=-n 2+9n,当n=4或5时,S n 取得最大值,为20,因为有且只有两个正整数n 满足S n ≥k,所以满足条件的n=4和n=5,因为S 3=S 6=18,所以实数k 的取值范围是(18,20].故选C. 二、填空题10.(2022届四川绵阳第一次诊断,13)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=2,S 7=35,则a 6= . 答案 7解析 由等差数列性质知S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=35,故a 4=5.又∵a 1=2,∴公差d=1.∴a n =n+1,则a 6=7. 11.(2022届清华附中10月月考,11)已知数列{a n }满足a n+1-a n =3(n ∈N *),a 3=1,则a 5= . 答案 7解析 由数列{a n }满足a n+1-a n =3(n ∈N *),得数列{a n }是以3为公差的等差数列, 又a 3=1,所以a 5=a 3+2×3=1+6=7.12.(2022届北京一零一中学统练二,11)若数列{a n }满足a 1=-2,且对于任意的m,n ∈N *,都有a m+n =a m +a n ,则a 3= ;数列{a n }的前10项和S 10= .答案 -6;-110解析 ∵对于任意的m,n ∈N *,都有a m+n =a m +a n , ∴取m=1,有a n+1-a n =a 1=-2,∴数列{a n }是以-2为首项,-2为公差的等差数列,∴a n =-2-2(n-1)=-2n.∴a 3=-6.数列{a n }的前10项和S 10=10×(-2-20)2=-110. 13.(2022届广西模拟,15)在等差数列{a n }中,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,以S n 表示{a n }的前n 项和,则使S n 达到最大值的n 是 .答案 20解析 因为a 1+a 3+a 5=3a 3=105,a 2+a 4+a 6=3a 4=99,所以a 3=35,a 4=33,从而公差d=-2,则a 1=39,S n =39n+12n(n-1)(-2)=-n 2+40n=-(n-20)2+400,所以当n=20时,S n 取最大值. 三、解答题14.(2022届江苏泰州中学检测,20)已知数列{a n }满足a 1=6,a n-1a n -6a n-1+9=0,n ∈N *且n ≥2. (1)求证:数列{1a n -3}为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式;(3)设b n =a n (n+1)2,求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)证明:当n ≥2时,a n-1a n -6a n-1+9=0⇒a n =6a n -1-9a n -1,∴1a n -3-1a n -1-3=a n -13a n -1-9-1a n -1-3=a n -1-33(a n -1-3)=13.又∵1a 1-3=13,∴数列{1a n -3}是以13为首项,13为公差的等差数列. (2)由(1)得1a n -3=13+(n-1)·13=n 3,∴a n =3(n+1)n. (3)∵b n =a n (n+1)2=3n(n+1)=3(1n -1n+1),∴T n =b 1+b 2+…+b n =3(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n -1n+1)=3(1-1n+1)=3n n+1.15.(2022届北京一七一中学10月月考,16)已知等比数列{a n }的各项均为正数,a 2=8,a 3+a 4=48.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 4a n 证明:{b n }为等差数列,并求{b n }的前n 项和S n .解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q,依题意知q>0,∵a 2=8,a 3+a 4=48,∴a 1q=8,a 1q 2+a 1q 3=48,即8q+8q 2=48,解得q=2或q=-3(舍),∴a 1=a 2q=4, ∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1·q n-1=2n+1.(2)由(1)得b n =log 4a n =log 42n+1=(n+1)·log 42=n+12, ∵b n+1-b n =n+22-n+12=12,∴数列{b n }是首项为1,公差d=12的等差数列, ∴S n =nb 1+n(n -1)2d=n 2+3n 4. 16.(2022届广东阶段测,17)已知数列{a n }满足a 1=1,a n +a n-1=2n(n ≥2,n ∈N *).(1)记b n =a 2n ,求数列{b n }的通项公式;(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解析 (1)依题意得,a 2+a 1=4,又a 1=1,故b 1=a 2=3.因为a 2n+2+a 2n+1=4n+4,a 2n+1+a 2n =4n+2,所以b n+1-b n =a 2n+2-a 2n =(a 2n+2+a 2n+1)-(a 2n+1+a 2n )=(4n+4)-(4n+2)=2.因此,{b n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为b n =2n+1.(2)解法一:因为a 2n +a 2n-1=4n,所以由(1)知a 2n-1=4n-a 2n =2n-1.当n=2k(k ∈N *)时,S n =(a 1+a 3+…+a 2k-1)+(a 2+a 4+…+a 2k )=(1+3+…+2k-1)+(3+5+…+2k+1)=(1+2k -1)·k 2+(3+2k+1)·k 2=k(2k+2)=n(n+2)2. 当n=2k-1(k ∈N *)时,S n =S n+1-a n+1=(n+1)(n+3)2-(n+2)=n(n+2)-12. 因此,S n ={n(n+2)-12,n 为奇数,n(n+2)2,n 为偶数. 解法二:当n=2k(k ∈N *)时, S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2k-1+a 2k )=4+8+…+4k=(4+4k)·k 2=k(2k+2)=n(n+2)2. 当n=2k+1(k ∈N *)时,S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2k +a 2k+1)=1+6+10+…+(4k+2)=1+(6+4k+2)·k 2=k(2k+4)+1=(n -1)(n+3)2+1=n(n+2)-12,S 1=a 1=1=1×3-12也满足上式. 故S n ={n(n+2)-12,n 为奇数,n(n+2)2,n 为偶数. 17.(2022届河南调研,18)已知数列{a n }满足a 1=4,a n+1=2a n +2n+1(n ∈N *),设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)证明:数列{a n 2n }是等差数列. (2)求S n .解析 (1)证明:由a n+1=2a n +2n+1,得a n+12n+1-a n 2n =1. 因为a 121=2,所以数列{a n 2n }是以2为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)得a n 2n =2+(n-1)×1=n+1,所以a n =(n+1)·2n ,所以S n =2×21+3×22+…+n×2n-1+(n+1)×2n ①,2S n =2×22+3×23+…+n×2n +(n+1)×2n+1②,①-②得-S n =2×21+22+…+2n -(n+1)×2n+1=-n ·2n+1,所以S n =n ·2n+1.18.(2021湖南百校联考,17)在①a n+1a n =-12,②a n+1-a n =-16,③a n+1=a n +n-8这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的S n 存在最大值,则求出最大值;若问题中的S n 不存在最大值,请说明理由. 问题:设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=4, ,求{a n }的通项公式,并判断S n 是否存在最大值. 注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.解析 方案一:选①.因为a n+1a n =-12,a 1=4,所以{a n }是首项为4,公比为-12的等比数列.所以a n =4×(-12)n -1=(-12)n -3, 当n 为奇数时,S n =4[1-(-12)n ]1+12=83(1+12n ), 因为S n =83(1+12n )随着n 的增大而减小,所以S n 的最大值为S 1=4. 当n 为偶数时,S n =83(1-12n ),且S n =83(1-12n )<83<4.综上,S n 存在最大值,且最大值为4. 方案二:选②.因为a n+1-a n =-16,a 1=4,所以{a n }是首项为4,公差为-16的等差数列,所以a n =4+(n-1)(-16)=-16n+256,由-16n+256≥0,得n ≤25,所以S n 存在最大值,且最大值为S 25(或S 24),因为S 25=25×4+25×242×(-16)=50,所以S n 的最大值为50.方案三:选③.因为a n+1=a n+n-8,所以a n+1-a n=n-8,所以a2-a1=-7,a3-a2=-6,……,a n-a n-1=n-9(n≥2),则a n-a1=a2-a1+a3-a2+…+a n-a n-1=(-7+n-9)(n-1)2=n2-17n+162,又a1=4,所以a n=n2-17n+242,当n≥16时,a n>0恒成立,故S n不存在最大值.。

高考数学等差数列选择题专项训练(讲义及答案)含答案

高考数学等差数列选择题专项训练(讲义及答案)含答案

一、等差数列选择题1.等差数列{}n a 中,若26a =,43a =,则5a =( ) A .32B .92C .2D .9解析:A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ,再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】 设公差为d ,则423634222a a d --===--, 所以5433322a a d =+=-=. 故选:A2.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为( ) A .3、8、13、18、23 B .4、8、12、16、20 C .5、9、13、17、21 D .6、10、14、18、22解析:C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列, 则171,25a a ==,则712514716a a d --===-, 则这5个数依次是5,9,13,17,21. 故选:C3.设等差数列{}n a 的公差d ≠0,前n 项和为n S ,若425S a =,则99S a =( ) A .9 B .5C .1D .59解析:B 【分析】由已知条件,结合等差数列通项公式得1a d =,即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=,即有13424a a a a ++=,得1a d =,∴1999()452a a S d ⨯+==,99a d =,且0d ≠,∴995S a =. 故选:B4.设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+,则63a b 的值为( ) A .511B .38C .1D .2解析:C 【分析】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,求出n a ,n b ,进而求出6a ,3b ,则63a b 可得. 【详解】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,可得当2n ≥时,()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-,()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+,当1n =,()11112,3710a S b T λλλ====+=,符合()221n a n λ=-,()232n b n λ=+故622a λ=,322b λ=, 故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时,11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解. 5.在数列{}n a 中,129a =-,()*13n n a a n +=+∈N ,则1220aa a +++=( )A .10B .145C .300D .320解析:C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-,结合分组求和法即可得解。

高考数学一轮复习专题:等差数列及其前n项和(教案及同步练习)

高考数学一轮复习专题:等差数列及其前n项和(教案及同步练习)

1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d .3.等差中项由三个数a ,A ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n .(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d .(4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(6)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…构成等差数列.5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2或S n =na 1+n (n -1)2d . 6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).7.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法:a n +1-a n =d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列.(2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.(3)通项公式:a n =pn +q (p ,q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(4)前n 项和公式:S n =An 2+Bn (A ,B 为常数)⇔{a n }是等差数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( × )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n =3-2n ,则它的公差为-2.( √ )1.在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6等于( )A .-1B .0C .1D .6答案 B解析 由等差数列的性质,得a 6=2a 4-a 2=2×2-4=0,故选B.2.(教材改编)设数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,若a 6=2且S 5=30,则S 8等于( )A .31B .32C .33D .34 答案 B解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+5d =2,5a 1+10d =30,解得⎩⎨⎧ a 1=263,d =-43,∴S 8=8a 1+8×72d =32. 3.(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100等于( )A .100B .99C .98D .97答案 C解析 由等差数列性质,知S 9=9(a 1+a 9)2=9×2a 52=9a 5=27,得a 5=3,而a 10=8,因此公差d =a 10-a 510-5=1, ∴a 100=a 10+90d =98,故选C.4.设数列{a n }是等差数列,若a 3+a 4+a 5=12,则a 1+a 2+…+a 7等于( )A .14B .21C .28D .35答案 C∴a 1+a 2+…+a 7=7a 4=28.5.若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大. 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列,且a 7+a 8+a 9=3a 8>0,所以a 8>0.又a 7+a 10=a 8+a 9<0,所以a 9<0.故当n =8时,其前n 项和最大.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中,若a 1=-2,且对任意的n ∈N *有2a n +1=1+2a n ,则数列{a n }前10项的和为( )A .2B .10 C.52 D.54(2)(2016·北京)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6=________.答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n +1=1+2a n 得a n +1-a n =12, 所以数列{a n }是首项为-2,公差为12的等差数列, 所以S 10=10×(-2)+10×(10-1)2×12=52. (2)∵a 3+a 5=2a 4=0,∴a 4=0.又a 1=6,∴a 4=a 1+3d =0,∴d =-2.∴S 6=6×6+6×(6-1)2×(-2)=6. 思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 6=11,则S 7等于( )A .13B .35C .49D .63(2)(2016·江苏)已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是________. 答案 (1)C (2)20∴S 7=7(a 1+a 7)2=49. (2)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+(a 1+d )2=-3,5a 1+5×42d =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-4,d =3, 则a 9=a 1+8d =-4+8×3=20.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *). (1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由.(1)证明 因为a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *), b n =1a n -1(n ∈N *), 所以b n +1-b n =1a n +1-1-1a n -1=1(2-1a n)-1-1a n -1=a n a n -1-1a n -1=1. 又b 1=1a 1-1=-52. 所以数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列. (2)解 由(1)知b n =n -72, 则a n =1+1b n =1+22n -7. 设f (x )=1+22x -7, 则f (x )在区间(-∞,72)和(72,+∞)上为减函数. 所以当n =3时,a n 取得最小值-1,当n =4时,a n 取得最大值3.引申探究本例中,若将条件变为a 1=35,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),试求数列{a n }的通项公式. 解 由已知可得a n +1n +1=a n n+1,即a n +1n +1-a n n=1,又a 1=35, ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11=35为首项,1为公差的等差数列, ∴a n n =35+(n -1)·1=n -25, ∴a n =n 2-25n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n 都有a n +1-a n 等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n 都有2a n +1=a n +a n +2后,可递推得出a n +2-a n +1=a n +1-a n =a n -a n -1=a n -1-a n -2=…=a 2-a 1,根据定义得出数列{a n }为等差数列.(3)通项公式法:得出a n =pn +q 后,得a n +1-a n =p 对任意正整数n 恒成立,根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法:得出S n =An 2+Bn 后,根据S n ,a n 的关系,得出a n ,再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.(1)在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1a n +2(n ∈N *),则该数列的通项为( ) A .a n =1nB .a n =2n +1C .a n =2n +2D .a n =3n答案 A解析 由已知式2a n +1=1a n +1a n +2可得 1a n +1-1a n =1a n +2-1a n +1,知{1a n }是首项为1a 1=1,公差为1a 2-1a 1=2-1=1的等差数列,所以1a n =n ,即a n =1n . (2)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=2a n +1-a n +2.①设b n =a n +1-a n ,证明{b n }是等差数列;②求{a n }的通项公式.①证明 由a n +2=2a n +1-a n +2,得a n +2-a n +1=a n +1-a n +2,即b n +1=b n +2.又b 1=a 2-a 1=1,所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列.②解 由①得b n =1+2(n -1)=2n -1,即a n +1-a n =2n -1.于是∑n k =1 (a k +1-a k )=∑nk =1(2k -1), 所以a n +1-a 1=n 2,即a n +1=n 2+a 1.又a 1=1,所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.题型三 等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________.(2)已知{a n },{b n }都是等差数列,若a 1+b 10=9,a 3+b 8=15,则a 5+b 6=________.答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列,所以a 3+a 7=a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25,所以a 5=5,故a 2+a 8=2a 5=10.(2)因为{a n },{b n }都是等差数列,所以2a 3=a 1+a 5,2b 8=b 10+b 6,所以2(a 3+b 8)=(a 1+b 10)+(a 5+b 6),即2×15=9+(a 5+b 6),解得a 5+b 6=21.命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=-12,S 9=45,则S 12=________.(2)在等差数列{a n }中,a 1=-2 018,其前n 项和为S n ,若S 1212-S 1010=2,则S 2 018的值等于( ) A .-2 018B .-2 016C .-2 019D .-2 017 答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列,所以S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9成等差数列,所以2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6),即2(S 6+12)=-12+(45-S 6),解得S 6=3.又2(S 9-S 6)=(S 6-S 3)+(S 12-S 9),即2×(45-3)=(3+12)+(S 12-45),解得S 12=114.(2)由题意知,数列{S n n}为等差数列,其公差为1, ∴S 2 0182 018=S 11+(2 018-1)×1 =-2 018+2 017=-1.∴S 2 018=-2 018.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质:在等差数列{a n }中,a m -a n =(m -n )d ⇔a m -a n m -n=d (m ≠n ),其几何意义是点(n ,a n ),(m ,a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则①S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);②S 2n -1=(2n -1)a n .(1)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11等于( )A .58B .88C .143D .176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若S n T n =3n -22n +1,则a 7b 7等于( ) A.3727B.3828C.3929D.4030答案 (1)B (2)A解析 (1)S 11=11(a 1+a 11)2=11(a 4+a 8)2=11×162=88. (2)a 7b 7=2a 72b 7=a 1+a 13b 1+b 13=a 1+a 132×13b 1+b 132×13=S 13T 13 =3×13-22×13+1=3727.6.等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列,求其前n 项和与最值在高考中时常出现.题型有小题,也有大题,难度不大.典例1 (1)在等差数列{a n }中,2(a 1+a 3+a 5)+3(a 7+a 9)=54,则此数列前10项的和S 10等于( )A .45B .60C .75D .90 (2)在等差数列{a n }中,S 10=100,S 100=10,则S 110=________.解析 (1)由题意得a 3+a 8=9,所以S 10=10(a 1+a 10)2=10(a 3+a 8)2=10×92=45. (2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则⎩⎨⎧10a 1+10×92d =100,100a 1+100×992d =10,解得⎩⎨⎧ a 1=1 099100,d =-1150.所以S 110=110a 1+110×1092d =-110. 方法二 因为S 100-S 10=(a 11+a 100)×902=-90, 所以a 11+a 100=-2,所以S 110=(a 1+a 110)×1102=(a 11+a 100)×1102=-110. 答案 (1)A (2)-110典例2 在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值.规范解答解 ∵a 1=20,S 10=S 15,∴10×20+10×92d =15×20+15×142d , ∴d =-53. 方法一 由a n =20+(n -1)×⎝⎛⎭⎫-53=-53n +653, 得a 13=0.即当n ≤12时,a n >0,当n ≥14时,a n <0.∴当n =12或n =13时,S n 取得最大值,且最大值为S 12=S 13=12×20+12×112×⎝⎛⎭⎫-53 =130.方法二 S n =20n +n (n -1)2·⎝⎛⎭⎫-53 =-56n 2+1256n =-56⎝⎛⎭⎫n -2522+3 12524. ∵n ∈N *,∴当n =12或n =13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130.方法三 由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0.∴5a 13=0,即a 13=0.∴当n =12或n =13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130.1.(2016·重庆一诊)在数列{a n }中,a n +1-a n =2,a 2=5,则{a n }的前4项和为( )A .9B .22C .24D .32 答案 C解析 由a n +1-a n =2,知{a n }为等差数列且公差d =2,∴由a 2=5,得a 1=3,a 3=7,a 4=9,∴前4项和为3+5+7+9=24,故选C.2.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中,甲所得为( )A.54钱B.53钱C.32钱D.43钱 答案 D解析 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+d =3a 1+9d ,2a 1+d =52,⎩⎨⎧ a 1=43,d =-16,故选D.3.(2017·佛山调研)已知等差数列{a n }满足a 2=3,S n -S n -3=51(n >3),S n =100,则n 的值为( )A .8B .9C .10D .11答案 C解析 由S n -S n -3=51,得a n -2+a n -1+a n =51,所以a n -1=17,又a 2=3,S n =n (a 2+a n -1)2=100,解得n =10. 4.在等差数列{a n }中,a 9=12a 12+6,则数列{a n }的前11项和S 11等于( ) A .24B .48C .66D .132 答案 D解析 方法一 由a 1+8d =12(a 1+11d )+6,得a 1+5d =12,∴a 1=12-5d .又S 11=11a 1+11×102d =11a 1+55d =11(12-5d )+55d =132.方法二 由a 9=12a 12+6,得2a 9-a 12=12. 由等差数列的性质得,a 6+a 12-a 12=12,a 6=12,S 11=11(a 1+a 11)2=11×2a 62=132,故选D. 5.已知数列{a n }满足a n +1=a n -57,且a 1=5,设{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A .7B .8C .7或8D .8或9答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5,公差为-57的等差数列,所以a n =5-57(n -1)=40-5n 7,该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以S n 取得最大值时,n =7或n =8,故选C.*6.设等差数列{a n }满足a 1=1,a n >0(n ∈N *),其前n 项和为S n ,若数列{S n }也为等差数列,则S n +10a 2n的最大值是( )A .310B .212C .180D .121 答案 D解析 设数列{a n }的公差为d ,依题意得2S 2=S 1+S 3,因为a 1=1,所以22a 1+d =a 1+3a 1+3d , 化简可得d =2a 1=2,所以a n =1+(n -1)×2=2n -1,S n =n +n (n -1)2×2=n 2, 所以S n +10a 2n =(n +10)2(2n -1)2=(n +102n -1)2 =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n -1)+2122n -12 =14⎝⎛⎭⎫1+212n -12≤121, 故选D.7.(2015·安徽)已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n -1+12(n ≥2),则数列{a n }的前9项和等于________.答案 27解析 由题意知数列{a n }是以1为首项,以12为公差的等差数列,∴S 9=9×1+9×82×12=9+18=27.8.已知数列{a n }中,a 1=1且1a n +1=1a n +13(n ∈N *),则a 10=________. 答案 14解析 由已知得1a 10=1a 1+(10-1)×13=1+3=4,故a 10=14.9.设数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=________. 答案 130解析 由a n =2n -10(n ∈N *)知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由a n =2n -10≥0,得n ≥5,∴当n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,∴|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=20+110=130.10.设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意自然数n 都有S n T n =2n -34n -3,则a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4的值为________. 答案1941解析 ∵{a n },{b n }为等差数列, ∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=a 92b 6+a 32b 6=a 9+a 32b 6=a 6b 6.∵S 11T 11=a 1+a 11b 1+b 11=2a 62b 6=2×11-34×11-3=1941, ∴a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=1941. 11.在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d , 则a n =a 1+(n -1)d .由a 1=1,a 3=-3,可得1+2d =-3,解得d =-2. 从而a n =1+(n -1)×(-2)=3-2n . (2)由(1)可知a n =3-2n ,所以S n =n [1+(3-2n )]2=2n -n 2.由S k =-35,可得2k -k 2=-35, 即k 2-2k -35=0,解得k =7或k =-5. 又k ∈N *,故k =7.12.若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时,由a n +2S n S n -1=0, 得S n -S n -1=-2S n S n -1,所以1S n -1S n -1=2,又1S 1=1a 1=2, 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n =2n ,∴S n =12n .当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -12(n -1)=n -1-n 2n (n -1)=-12n (n -1).当n =1时,a 1=12不适合上式.故a n=⎩⎨⎧12,n =1,-12n (n -1),n ≥2.*13.已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且满足2S n =a 2n +n -4(n ∈N *).(1)求证:数列{a n }为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n =1时,有2a 1=a 21+1-4, 即a 21-2a 1-3=0, 解得a 1=3(a 1=-1舍去). 当n ≥2时,有2S n -1=a 2n -1+n -5, 又2S n =a 2n +n -4,两式相减得2a n =a 2n -a 2n -1+1,即a2n-2a n+1=a2n-1,也即(a n-1)2=a2n-1,因此a n-1=a n-1或a n-1=-a n-1.若a n-1=-a n-1,则a n+a n-1=1.而a1=3,所以a2=-2,这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾,所以a n-1=a n-1,即a n-a n-1=1,因此数列{a n}是首项为3,公差为1的等差数列.(2)解由(1)知a1=3,d=1,所以数列{a n}的通项公式a n=3+(n-1)×1=n+2,即a n=n+2.第2讲 等差数列及其前n 项和一、选择题1. {a n }为等差数列,公差d =-2,S n 为其前n 项和.若S 10=S 11,则a 1=( )A .18B .20C .22D .24解析 由S 10=S 11得a 11=S 11-S 10=0,a 1=a 11+(1-11)d =0+(-10)×(-2)=20. 答案 B2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( ).A .6B .7C .8D .9解析 由a 4+a 6=a 1+a 9=-11+a 9=-6,得a 9=5,从而d =2,所以S n =-11n +n (n -1)=n 2-12n =(n -6)2-36,因此当S n 取得最小值时,n =6. 答案 A3.已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20等于( ). A .-1B .1C .3D .7解析 两式相减,可得3d =-6,d =-2.由已知可得3a 3=105,a 3=35,所以a 20=a 3+17d =35+17×(-2)=1. 答案 B4.在等差数列{a n }中,S 15>0,S 16<0,则使a n >0成立的n 的最大值为( ). A .6B .7C .8D .9解析 依题意得S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8>0,即a 8>0;S 16=16(a 1+a 16)2=8(a 1+a 16)=8(a 8+a 9)<0,即a 8+a 9<0,a 9<-a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8,选C. 答案 C5.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S k +2-S k =24,则k =( ).A .8B .7C .6D .5解析 由a 1=1,公差d =2得通项a n =2n -1,又S k +2-S k =a k +1+a k +2,所以2k +1+2k +3=24,得k =5. 答案 D6.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a nb n为整数的正整数的个数是( ). A .2B .3C .4D .5解析 由A n B n =7n +45n +3得:a n b n =A 2n -1B 2n -1=14n +382n +2=7n +19n +1,要使a n b n 为整数,则需7n +19n +1=7+12n +1为整数,所以n =1,2,3,5,11,共有5个. 答案 D 二、填空题7.已知数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,a 7-a 5=4,a 11=21,S k =9,则k =________.解析 a 7-a 5=2d =4,d =2,a 1=a 11-10d =21-20=1,S k =k +k k -12×2=k 2=9.又k ∈N *,故k =3.答案 38.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 412-S 39=1,则公差为________.解析 依题意得S 4=4a 1+4×32d =4a 1+6d ,S 3=3a 1+3×22d =3a 1+3d ,于是有4a 1+6d12-3a 1+3d9=1,由此解得d =6,即公差为6. 答案 69.在等差数列{a n }中,a 1=-3,11a 5=5a 8-13,则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________.解析 (直接法)设公差为d ,则11(-3+4d )=5(-3+7d )-13, 所以d =59,所以数列{a n }为递增数列.令a n ≤0,所以-3+(n -1)·59≤0,所以n ≤325,又n ∈N *,前6项均为负值, 所以S n 的最小值为-293. 答案 -29310.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是________,项数是________.解析 设等差数列{a n }的项数为2n +1, S 奇=a 1+a 3+…+a 2n +1=(n +1)(a 1+a 2n +1)2=(n +1)a n +1,S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2n =n (a 2+a 2n )2=na n +1,∴S 奇S 偶=n +1n =4433,解得n =3,∴项数2n +1=7,S 奇-S 偶=a n +1,即a 4=44-33=11为所求中间项. 答案 11 7 三、解答题11.设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0.(1)若S 5=5,求S 6及a 1; (2)求d 的取值范围. 解 (1)由题意知S 6=-15S 5=-3,a 6=S 6-S 5=-8,所以⎩⎨⎧5a 1+10d =5,a 1+5d =-8.解得a 1=7,所以S 6=-3,a 1=7.(2)因为S 5S 6+15=0,所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 21+9da 1+10d 2+1=0,故(4a 1+9d )2=d 2-8,所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤-22或d ≥2 2.12.在等差数列{a n }中,公差d >0,前n 项和为S n ,a 2·a 3=45,a 1+a 5=18. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =S n n +c (n ∈N *),是否存在一个非零常数c ,使数列{b n }也为等差数列?若存在,求出c 的值;若不存在,请说明理由.解 (1)由题设,知{a n }是等差数列,且公差d >0, 则由⎩⎨⎧ a 2a 3=45,a 1+a 5=18,得⎩⎨⎧(a 1+d )(a 1+2d )=45,a 1+(a 1+4d )=18.解得⎩⎨⎧a 1=1,d =4.∴a n =4n -3(n ∈N *).(2)由b n =S nn +c =n (1+4n -3)2n +c =2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12n +c ,∵c ≠0,∴可令c =-12,得到b n =2n . ∵b n +1-b n =2(n +1)-2n =2(n ∈N *), ∴数列{b n }是公差为2的等差数列.即存在一个非零常数c =-12,使数列{b n }也为等差数列. 13.在数列{a n }中,a 1=8,a 4=2,且满足a n +2+a n =2a n +1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和,求S n .解 (1)由2a n +1=a n +2+a n 可得{a n }是等差数列, 且公差d =a 4-a 14-1=2-83=-2.∴a n =a 1+(n -1)d =-2n +10. (2)令a n ≥0,得n ≤5.即当n ≤5时,a n ≥0,n ≥6时,a n <0. ∴当n ≤5时,S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =a 1+a 2+…+a n =-n 2+9n ; 当n ≥6时,S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =a 1+a 2+…+a 5-(a 6+a 7+…+a n ) =-(a 1+a 2+…+a n )+2(a 1+a 2+…+a 5) =-(-n 2+9n )+2×(-52+45) =n 2-9n +40,∴S n =⎩⎨⎧-n 2+9n ,n ≤5,n 2-9n +40,n ≥6.14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2a n =S 2+S n 对一切正整数n 都成立. (1)求a 1,a 2的值;(2)设a 1>0,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时,T n 最大?并求出T n 的最大值.解 (1)取n =1,得a 2a 1=S 2+S 1=2a 1+a 2,① 取n =2,得a 22=2a 1+2a 2,② 由②-①,得a 2(a 2-a 1)=a 2,③(i)若a 2=0,由①知a 1=0, (ii)若a 2≠0,由③知a 2-a 1=1.④由①、④解得,a 1=2+1,a 2=2+2;或a 1=1-2,a 2=2- 2.综上可得a 1=0,a 2=0;或a 1=2+1,a 2=2+2;或a 1=1-2,a 2=2- 2. (2)当a 1>0时,由(1)知a 1=2+1,a 2=2+2.当n ≥2时,有(2+2)a n =S 2+S n ,(2+2)a n -1=S 2+S n -1, 所以(1+2)a n =(2+2)a n -1,即a n =2a n -1(n ≥2), 所以a n =a 1(2)n -1=(2+1)·(2)n -1. 令b n =lg 10a 1a n,则b n =1-lg(2)n -1=1-12(n -1)lg 2=12lg 1002n -1,所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为-12lg 2), 从而b 1>b 2>…>b 7=lg 108>lg 1=0, 当n ≥8时,b n ≤b 8=12lg 100128<12lg 1=0, 故n =7时,T n 取得最大值,且T n 的最大值为 T 7=7(b 1+b 7)2=7(1+1-3lg 2)2=7-212lg 2.。

统考版2022届高考数学一轮复习专练30等差数列及其前n项和练习理含解析

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专练30 等差数列及其前n 项和命题X 围:等差数列的概念和性质、等差数列的通项公式及前n 项和公式.[基础强化]一、选择题1.[2021·某某测试]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若S 5=2S 4,a 2+a 4=8,则a 5=() A .6B .7 C .8D .102.[2021·某某某某测试]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 4=52,S 10=15,则a 7=()A.12B .1 C.32D .2 3.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=() A .-12B .-10 C .10D .124.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为() A .1B .2 C .4D .85.[2021·某某某某月考]等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3+a 7=22,S 11=143.若S n >195,则n 的最小值为()A .13B .14C .15D .16 6.[2021·皖南八校联考]已知等差数列{a n }中,a 2=1,前5项和S 5=-15,则数列{a n }的公差为()A .-3B .-52C .-2D .-4 7.[2021·某某师大附中高三测试]已知数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn (a ,b ∈R )且a 2=3,a 6=11,则S 7=()A .13B .49C .35D .63 8.[2020·全国卷Ⅱ]天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A .3699块B .3474块C .3402块D .3339块9.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则() A .a n =2n -5B .a n =3n -10C .S n =2n 2-8nD .S n =12n 2-2n二、填空题10.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S 10S 5=________.11.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=0,a 6+a 7=14,则S 7=________. 12.[2021·某某某某一调]等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4+a 5=25,S 6=57,则{a n }的公差为______.[能力提升] 13.[2021·某某某某测试]我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气,其日影子长依次成等差数列,经记录测算,夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为尺,这十二个节气的所有日影子长之和为84尺,则夏至的日影子长为________尺.14.已知数列{a n }为等差数列,数列{b n }为等比数列,且满足a 2016+a 2017=π,b 20b 21=4,则tan a 1+a 40322+b 19b 22=()A.33B. 3 C .1D .-115.若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大.16.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n =8时S n 取最大值,则d 的取值X 围是________.专练30 等差数列及其前n 项和1.D 设等差数列{a n }的公差为d .∵S 5=2S 4,a 2+a 4=8, ∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 1+5×42d =2⎝⎛⎭⎫4a 1+4×32d ,a 1+d +a 1+3d =8,整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1+2d =0,a 1+2d =4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-2,d =3.∴a 5=a 1+4d =-2+12=10.故选D.2.A 设等差数列{a n }的首项为a 1,则由等差数列{a n }的前n 项和为S n 及S 10=15,得10(a 1+a 10)2=15,所以a 1+a 10=3.由等差数列的性质,得a 1+a 10=a 4+a 7,所以a 4+a 7=3.又因为a 4=52,所以a 7=12.故选A.3.B 设等差数列{a n }的公差为d ,则3⎝⎛⎭⎫3a 1+3×22d =2a 1+d +4a 1+4×32d ,得d =-32a 1,又a 1=2,∴d =-3,∴a 5=a 1+4d =-10.4.C ∵S 6=(a 1+a 6)×62=48,∴a 1+a 6=16,又a 4+a 5=24,∴(a 4+a 5)-(a 1+a 6)=8, ∴3d -d =8,d =4.5.B 设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3+a 7=22,所以2a 5=22,即a 5=11.又因为S 11=(a 1+a 11)×112=2a 6×112=143,解得11a 6=143,即a 6=13.所以公差d =a 6-a 5=2,所以a n =a 5+(n -5)d =11+(n -5)×2=2n +1,所以S n =(a 1+a n )n2=(n +2)n .令(n +2)n >195,则n 2+2n -195>0,解得n >13或n <-15(舍).故选B. 6.D ∵{a n }为等差数列,∴S 5=5a 3=-15, ∴a 3=-3,∴d =a 3-a 2=-3-1=-4.7.B ∵S n =an 2+bn ,∴{a n }为等差数列,∴S 7=(a 1+a 7)×72=(a 2+a 6)×72=(3+11)×72=49.8.C 由题意可设每层有n 个环,则三层共有3n 个环,∴每一环扇面形石板的块数构成以a 1=9为首项、9为公差的等差数列{a n },且项数为3n .不妨设上层扇面形石板总数为S 1,中层总数为S 2,下层总数为S 3,∴S 3-S 2=[9(2n +1)·n +n (n -1)2×9]-[9(n +1)·n +n (n -1)2×9]=9n 2=729,解得n =9(负值舍去).则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9+27×262×9=27×9+27×13×9=27×14×9=3402(块).故选C.9.A 方法一:设等差数列{a n }的公差为d ,∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4=0,a 5=5,∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-3,d =2,∴a n =a 1+(n -1)d =-3+2(n -1)=2n -5,S n =na 1+n (n -1)2d =n 2-4n .故选A.方法二:设等差数列{a n }的公差为d ,∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4=0,a 5=5,∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-3,d =2.选项A ,a 1=2×1-5=-3;选项B ,a 1=3×1-10=-7,排除B ;选项C ,S 1=2-8=-6,排除C ;选项D ,S 1=12-2=-32,排除D.故选A.10.4解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由a 2=3a 1,即a 1+d =3a 1,得d =2a 1,所以S 10S 5=10a 1+10×92d 5a 1+5×42d =10a 1+10×92×2a 15a 1+5×42×2a 1=10025=4.11.14解析:∵{a n }为等差数列,∴a 6=a 3+3d ,a 7=a 3+4d , ∴a 6+a 7=7d =14,∴d =2,∴a 4=a 3+d =2, ∴S 7=7a 4=7×2=14. 12.3解析:设{a n }的公差为d .因为a 4+a 5=25,S 6=57,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+7d =25,6a 1+15d =57,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,d =3,所以{a n }的公差为3.13.解析:设此等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,由题意得,⎩⎪⎨⎪⎧S 12=84,a 1+a 5+a 9=,即⎩⎪⎨⎪⎧12a 1+12×112d =84,3a 5=3(a 1+4d )=,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=,d =1,所以夏至的日影子长为尺. 14.Atan a 1+a 40322+b 19b 22=tan a 2016+a 20172+b 20b 21=tan π6=33,故选A.15.8解析:∵a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 9=2a 8, ∴3a 8>0,即a 8>0.又∵a 7+a 10=a 8+a 9<0,∴a 9<0, ∴等差数列前8项的和最大.故n =8.16.⎝⎛⎭⎫-1,-78 解析:解法一:由于S n =7n +n (n -1)2d =d 2n 2+⎝⎛⎭⎫7-d 2n ,设f (x )=d 2x 2+⎝⎛⎭⎫7-d 2x ,则其图象的对称轴为直线x =12-7d.当且仅当n =8时,S n 取得最大值,故<12-7d <,解得-1<d <-78.解法二:由题意,得a 8>0,a 9<0,所以7+7d >0,且7+8d <0,即-1<d <-78.。

高考等差数列专题及答案doc

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一、等差数列选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,2n ≥且*n ∈N ,满足120n n n a S S -+=,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,则下列说法中错误的是( )A .214a =-B .648211S S S =+ C .数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D .1121n n n n nT T T n n +-=++ 2.等差数列{}n a 的公差为2,若248,,a a a 成等比数列,则9S =( ) A .72B .90C .36D .453.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,15a =,且满足122527n na a n n +-=--,若p ,*q ∈N ,p q >,则p q S S -的最小值为( )A .6-B .2-C .1-D .04.在等差数列{}n a 中,3914a a +=,23a =,则10a =( ) A .11B .10C .6D .35.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( ) A .16 B .-16 C .4D .-46.已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =+-,则13525a a a a ++++=( )A .350B .351C .674D .6757.已知数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,记n S ,n T 分别为{}n a ,{}n b 的前n 项和,且713n n S n T n -=,则55a b =( ) A .3415B .2310C .317D .62278.已知等差数列{}n a ,其前n 项的和为n S ,3456720a a a a a ++++=,则9S =( ) A .24 B .36 C .48 D .64 9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( )A .8B .10C .12D .1410.已知数列{}n a 中,132a =,且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈,若对于任意*n N ∈,都有n a nλ≥成立,则实数λ的最小值是( )A .2B .4C .8D .1611.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7916+=a a ,则15S =( ) A .60B .120C .160D .24012.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .47B .1629C .815D .4513.在数列{}n a 中,129a =-,()*13n n a a n +=+∈N ,则1220a a a +++=( )A .10B .145C .300D .32014.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则n a =( )A .21n -B .43n -C .54n -D .n15.已知数列{}n a 的前项和221n S n =+,n *∈N ,则5a =( )A .20B .17C .18D .1916.已知等差数列{}n a 中,161,11a a ==,则数列{}n a 的公差为( ) A .53B .2C .8D .1317.已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19B .20C .21D .2218.在等差数列{}n a 中,已知前21项和2163S =,则25820a a a a ++++的值为( )A .7B .9C .21D .4219.等差数列{}n a 中,若26a =,43a =,则5a =( ) A .32B .92C .2D .920.若两个等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且3221n n S n T n +=+,则1215a b =( ) A .32B .7059C .7159D .85二、多选题21.已知数列{}n a 是等差数列,前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是( )A .7S 最小B .130S =C .49S S =D .70a =22.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,若612S S =,则下列结论中正确的有( ) A .1:17:2a d =-B .180S =C .当0d >时,6140a a +>D .当0d <时,614a a >23.题目文件丢失!24.题目文件丢失! 25.题目文件丢失!26.著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记S n 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a = B .733S =C .135********a a a a a ++++=D .22212201920202019a a a a a +++= 27.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,667711,01a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .01q <<B .681a a >C .n S 的最大值为7SD .n T 的最大值为6T28.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且35a =,73a =,则( ) A .12d =B .12d =-C .918S =D .936S =29.已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,57S S =,则( ) A .60a > B .6S 最大 C .130S >D .110S >30.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是( ) A .1055a = B .2020a 是偶数C .2020201820223a a a =+D .123a a a +++…20202022a a +=【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-代入120nn n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,由221a S S =-可判断A 选项的正误;利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误;求出n T ,可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时,由1n n n a S S -=-, 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=, 整理得1112n n S S --=(2n ≥且n +∈N ). 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项,以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=,12n S n ∴=. A 中,当2n =时,221111424a S S =-=-=-,A 选项正确; B 中,1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,显然有648211S S S =+,B 选项正确; C 中,记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++, ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++,()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++,故{}n b 为递减数列, ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=,C 选项正确; D 中,12n n S =,()()2212n n n T n n +∴==+,()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠,D 选项错误.故选:D . 【点睛】关键点点睛:利用n S 与n a 的关系求通项,一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解,在变形过程中要注意1a 是否适用,当利用作差法求解不方便时,应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 2.B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列,有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ,进而得到1a 、n a ,即可求9S . 【详解】由题意知:244a a =-,848a a =+,又248,,a a a 成等比数列,∴2444(4)(8)a a a =-+,解之得48a =,∴143862a a d =-=-=,则1(1)2n a a n d n =+-=,∴99(229)902S ⨯+⨯==,故选:B 【点睛】思路点睛:由其中三项成等比数列,利用等比中项性质求项,进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比,即2k m n a a a =; 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用. 3.A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--,由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--,求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--,所以122527n na a n n +-=--, 又1127a =--,所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项,公差为2的等差数列, 所以()1212327na n n n =-+-=--,所以()()2327n a n n =--,令()()23270n a n n =--≤,解得3722n ≤≤, 所以230,0a a <<,其余各项均大于0, 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选:A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项,再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项,即可得解. 4.A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ,代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=,23a =, 又{}n a 为等差数列, 得39121014a a a d +=+=,213a a d =+=,解得12,1a d ==, 则101+92911a a d ==+=; 故选:A. 5.A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.6.A 【分析】先利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式,再利用通项公式求出13525a a a a ++++的值.【详解】当1n =时,21112112a S ==+⨯-=;当2n ≥时,()()()22121121121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.12a =不适合上式,2,121,2n n a n n =⎧∴=⎨+≥⎩.因此,()()3251352512127512235022a a a a a a ⨯+⨯+++++=+=+=;故选:A. 【点睛】易错点睛:利用前n 项和n S 求通项n a ,一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,但需要验证1a 是否满足()2n a n ≥.7.D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】由713n n S n T n-=, ()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选:D 8.B 【分析】利用等差数列的性质进行化简,由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质,可得345675520a a a a a a ++++==,则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选:B 9.C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列,S 3=12,即1232312a a a a ++==,解得24a =. 由12a =,所以数列的公差21422d a a =-=-=, 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=, 所以62612a =⨯=. 故选:C 10.A【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+,由等差数列的定义得出22n n n a +=,从而得出()22nn n λ+≥,求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值,即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时,11122n n n a a -=+,所以11221n n n n a a --=+,而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列,故22nn a n =+,从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立,即()22nn n λ+≥恒成立,所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,所以2λ≥,即实数λ的最小值是2 故选:A 11.B 【分析】利用等差数列的性质,由7916+=a a ,得到88a =,然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ,所以由等差数列的性质得978216a a a +==, 解得88a =, 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=. 故选:B 12.D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=,解得45d =. 故该女子织布每天增加45尺. 故选:D 13.C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-,结合分组求和法即可得解。

高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)

高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)

高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ;n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq;等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数,且a3 ·a9 =2 2a ,a2 =1,则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.(安徽卷)已知为等差数列,,则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3(. 江西卷)公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904(湖南卷)设S n 是等差数列a n 的前n 项和,已知a2 3,a6 11,则S7 等于【】第1页/ 共8页A .13 B.35 C.49 D.633.(辽宁卷)已知a为等差数列,且a7 -2 a4 =-1, a3 =0, 则公差d=n(A)-2 (B)-12 (C)12(D)24.(四川卷)等差数列{a n }的公差不为零,首项a1 =1,a2 是a1 和a5 的等比中项,则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.(湖北卷)设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ],则{ 52 1} ,[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.(湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:他们研究过图1 中的1,3,6,10,⋯,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16⋯这样的数成为正方形数。

高考备考数学等差等比数列专题练习

高考备考数学等差等比数列专题练习

高考数学等差等比数列专题练习一.选择题1.{}n a 为等差数列,且7421a a -=-,30a =,则公差d =( ) A .2-B .12-C .12D .22.在等比数列{}n a 中,若37a =,前3项和321S =,则公比q 的值为( ) A .1B .12-C .1或12-D .1-或12-3.已知等比数列{}n a 中有31174a a a =,数列{}n b 是等差数列,且77a b =,则59b b +=( ) A .2B .4C .8D .164.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足122n n S λ+=+,则λ的值为( ) A .4B .2C .2-D .4-5.已知{}n a 为正项等比数列,n S 是它的前n 项和,若116a =,且4a 与7a 的等差中项为98,则5S 的值是( )A .29B .30C .31D .326.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每天分发大米3升”,在该问题中第3天共分发大米( ) A .192升B .213升C .234升D .255升7.在等差数列{}n a 中,满足4737a a =,且10a >,n S 是{}n a 前n 项的和,若n S 取得最大值,则n =( ) A .7B .8C .9D .108.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足6a ,43a ,5a -成等差数列,则42S S =( ) A .3B .9C .10D .139.等差数列{}n a 的前n 项和是n S ,公差d 不等于零,若2a ,3a ,6a 成等比,则( ) A .10a d >,30dS > B .10a d >,30dS < C .10a d <,30dS >D .10a d <,30dS <10.设等差数列{}n a 的前n 项和n S ,44a =,515S =,若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为1011,则m =( )A .8B .9C .10D .1111.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,则“n n S na <对2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增数列”的( ) A .充分必要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必条件12.已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列,点()222,log M a 、()255,log N a 都在直线1y x =-上,则数列{}n a 的前n 项和为( ) A .22n - B .122n +- C .21n - D .121n +-13.各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知630S =,970S =,则3S =_____. 14.等比数列{}n a 的各项均为正数,且154a a =,则2122232425log log log log log a a a a a ++++=_____. 15.设有四个数的数列1a ,2a ,3a ,4a 前三个数构成一个等比数列,其和为k ,后三个数构成一个等差数列,其和为15,且公差非零.对于任意固定的实数k ,若满足条件的数列个数大于1,则k 的取值范围为________. 16.数列{}n a 满足1111,231,n n n n n a a a a a ----⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数,若134a =,则数列{}n a 的前100项的和是__________.二、填空题。

高考数学数列多选题复习训练题(含答案解析)

高考数学数列多选题复习训练题(含答案解析)

高考数学数列多选题复习训练题(含答案解析)1.(2022·江苏江苏·一模)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,则( ) A .6422S S S =−B .()6423S S S =−C .2n S ,42n n S S −,64n n S S −成等差数列D .22S ,44S ,66S 成等差数列【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式分别判断. 【详解】 由已知得()112n n n dS a n −=+, A 选项,61615S a d =+,4146S a d =+,212S a d =+,所以42162611S S a d S −=+≠,A 选项错误;B 选项,()42163615S S a d S −=+=,B 选项正确;C 选项,()()221122122n S a n n n d a n n n d =+−=+−,()414241n S a n n n d =+−,()616361n S a n n n d =+−,()242126n n S S a n n n d −=+−,()2641210n n S S a n n n d −=+−,则()()()22264114241222262n n n n S S S a n n n d a n n n d S S ⎡⎤+−=+−=+−=−⎣⎦,C 选项正确;D 选项,2112222S a d d a +==+,411463442S a d a d +==+,6116155662S a d a d +==+,则6241232264S S Sa d +=+=⨯,D 选项正确; 故选:BCD.2.(2022·江苏南通·模拟预测)若数列{}n a 是等比数列,则( ) A .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列B .数列{}n ka 是等比数列C .数列{}1n n a a ++是等比数列D .数列{}2n a 是等比数列【答案】AD 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠,利用等比数列的定义结合特例法可判断各选项的正误. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠,11111n n n na a a q a ++==,则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1q 为公比的等比数列,A 对; 0k =时,0n ka =,则{}n ka 不是等比数列,B 错;()11n n n n n a a a a q a q ++=+=+,1q =−时,10n n a a ++=,此时{}1n n a a ++不是等比数列,C 错;2212n na q a +=,所以,{}2n a 是公比为2q 的等比数列,D 对. 故选:AD .3.(2022·福建宁德·模拟预测)数列{n a }中,设12n n T a a a =⋅…….若n T 存在最大值,则n a 可以是( ) A .62n n a −= B .()1nn a =− C .29n a n =− D .121n n a n +=− 【答案】BD 【解析】 【分析】根据数列的单调性即可判断. 【详解】对于A ,()()115436212322n n n n n T a a aa −−−−+−=== ,当n 趋于无穷大时,n T 也趋于无穷大, 故n T 不存在最大值; 对于B ,()()()()()()1123211111n n nn T +=−−−−=− ,当()12n n + 为偶数时,1n T = ,当()12n n +为奇数时,1n T =− , 故n T 的最大值为1;对于C ,()()1121128n n n n n T T a a a a T n ++−=−=− ,当5n ≥ 时,10,n n n T T T +>> ,∴5n ≥ 时n T 是递增的数列,不存在最大值; 对于D ,1232342,1,,135a a a ===== 即当3n ≥ 时,0121n n <+<− ,1n a < , 即3n ≥ 时,()1110n n n n T T T a ++−=−< ,所以n T 是递减的数列, 最大值为122T T == ; 故选:BD.4.(2022·福建·模拟预测)已知等差数列{}n a 的前n 项和为2212n a n n S +=,公差为d ,则( )A .11a =B .1d =C .()213521n n S a n −=+++⋅⋅⋅+−D .2222n nn S a a =+ 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用代入法,结合等差数列的通项公式和前n 项和公式逐一判断即可. 【详解】取1n =,则21112a a +=,解得11a =,即A 正确;由A 可知,22n n nS +=,则212321d S a =−=−=,即B 正确;于是有1(1)1n a n n =+−⋅=,因为22n n S a n −=,且()()212113212n n n n +−+++−==,即C 正确; 因为()222222222nn n n nS n n a a +==+=+,即D 错误.故选:ABC5.(2021·山东·模拟预测)设等比数列{an }的公比为q ,其前n 项和为Sn ,前n 项积为Tn ,并满足条件a 1>1,a 2019a 2020>1,2019202011a a −−<0,下列结论正确的是( )A .S 2019<S 2020B .a 2019a 2021﹣1<0C .T 2020是数列{Tn }中的最大值D .数列{Tn }无最大值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意,由等比数列的通项公式可得(a 1q 2018)(a 1q 2019)=(a 1)2(q 4037)>1,分析可得q >0,可得数列{an }各项均为正值,又由2019202011a a −−<0可得2019202011a a <⎧⎨>⎩或2019202011a a >⎧⎨<⎩,由等比数列的性质分析可得q 的范围,据此分析4个选项,综合即可得答案. 【详解】根据题意,等比数列{an }的公比为q ,若a 2019a 2020>1,则(a 1q 2018)(a 1q 2019)=(a 1)2(q 4037)>1,又由a 1>1,必有q >0,则数列{an }各项均为正值, 又由2019202011a a −−<0,即(a 2019﹣1)(a 2020﹣1)<0,则有2019202011a a <⎧⎨>⎩或2019202011a a >⎧⎨<⎩,又由a 1>1,必有0<q <1,则有2019202011a a >⎧⎨<⎩,对于A ,有S 2020﹣S 2019=a 2020>0,即S 2019<S 2020,则A 正确; 对于B ,有a 2020<1,则a 2019a 2021=(a 2020)2<1,则B 正确;对于C ,2019202011a a >⎧⎨<⎩,则T 2019是数列{Tn }中的最大值,C 错误,同理D 错误;故选:AB6.(2022·海南·模拟预测)在数列{}n a 中,11a =,数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列,设n S 为{}n a 的前n 项和,则( )A .121n na =− B .1122n n a =+ C .数列{}n a 为递减数列 D .378S >【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知结合等比数列通项公式可求11na +,进而可求n a ,然后结合单调性定义及数列的求和分别检验各选项即可判断和选择. 【详解】因为11a =,数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列,所以111222n nna −+=⋅=所以121n n a =−,故A 正确,B 错误; 因为()21,1xy x =−≥是单调增函数,故()1,121x y x =≥−是单调减函数, 故数列{}n a 是减数列,故C 正确; 31231171378S a a a =++=++>,故D 正确.故选:ACD .7.(2022·江苏连云港·模拟预测)“外观数列”是一类有趣的数列,该数列由正整数构成,后一项是前一项的“外观描述”.例如:取第一项为1,将其外观描述为“1个1”,则第二项为11;将11描述为“2个1”,则第三项为21;将21描述为“1个2,1个1”,则第四项为1211;将1211描述为“1个1,1个2,2个1”,则第五项为111221,…,这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述,给定首项即可依次推出数列后面的项.对于外观数列{}n a ,下列说法正确的是( ) A .若13a =,则5131213a =B .若122a =,则10022a =C .若16a =,则100a 的最后一个数字为6D .若1123a =,则100a 中没有数字4【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题干中的递推规律,依次分析各项的正误. 【详解】对于A 项,13a =,即“1个3”,213a =,即“1个1,1个3”,31113a =,即“3个1,1个3”,故43113a =,故A 项错;对于B 项,122a =,即“2个2”, 222a =,即“2个2”,以此类推,该数列的各项均为22,则10022a =,故B 项正确;对于C 项,16a =,即“1个6”, 216a =,即“1个1,1个6”, 31116a =,即“3个1,1个6”,故43116a =,即“1个3,2个1,1个6”,以此类推可知,()*n a n ∈N 的最后一个数字均为6,故C 项正确;对于D 项,1123a =,则2111213a =,331121113a =,41321123113a =,L ,若数列{}n a 中,()5,N k a k k *≥∈中为第一次出现数字4,则1k a −中必出现了4个连续的相同数字,如11111k a −=,则在2k a −的描述中必包含“1个1,1个1”, 即211k a −=,显然2k a −的描述是不合乎要求的, 若12222k a −=或13333k a −=,同理可知均不合乎题意,故()N n a n *∈不包含数字4,故D 项正确. 故选:BCD.8.(2022·广东茂名·模拟预测)一组数据1x ,2x ,…,10x 是公差为1−的等差数列,若去掉首末两项1x ,10x 后,则( ) A .平均数不变 B .中位数没变C .极差没变D .方差变小【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断A ,由中位数的概念可判断B ,由方差及等差数列的通项公式计算即可判断C ,根据极差及等差数列的通项公式可判断D . 【详解】由题意可知,对于选项A , 原数据的平均数为1210511()5(1010x x x x x =+++=⨯+ 6561)()2x x x =+,去掉1x ,10x 后的平均数为2395656111()4()()882x x x x x x x x x '=+++=⨯+=+=,即平均数不变,故选项A 正确;对于选项B ,原数据的中位数为561()2x x +,去掉1x ,10x 后的中位数仍为561()2x x +,即中位数没变,故选项B 正确;对于选项C ,原数据的极差为11099x x d −=−=, 去掉1x ,10x 后的极差为2977x x d −=−=, 即极差变小,故选项C 错误;对于选项D ,设公差为d ,则原数据的方差为222215625610561111()()()10222s x x x x x x x x x ⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−++−+++−+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭2221975()()()10222[d d d =−+−+−222311()()()222d d d +−+−++2222357933()()()()2224]2d d d d +++=, 去掉1x ,10x 后的方差为22222563569561111()()()8222s x x x x x x x x x ⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤'=−++−+++−+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭2222222217531135721()()()()()()()()8222222224[]d d d d d d d d =−+−+−+−++++=, 即方差变小,故选项D 正确. 故选:ABD.9.(2022·山东济宁·二模)已知一组数据1x ,2x ,…,11x 是公差不为0的等差数列,若去掉数据6x ,则( ) A .中位数不变 B .平均数变小 C .方差变大 D .方差变小【答案】AC 【解析】 【分析】由中位数的概念可判断A ,根据平均数的概念结合等差数列的性质判断B ,由方差计算公式即可判断CD. 【详解】对于选项A ,原数据的中位数为6x ,去掉6x 后的中位数为5761()2x x x +=,即中位数没变,故选项A 正确;对于选项B ,原数据的平均数为()111121161111()11112x x x x x x x +=+++=⨯=,去掉6x 后的平均数为1111257811610()11()10102x x x x x x x x x x x +'=+++++++=⨯==即平均数不变,故选项B 错误:对于选项C ,则原数据的方差为()()22221626116]1[()11s x x x x x x =−+−++−,去掉6x 后的方差为()()()()()22222216265676116110s x x x x x x x x x x ⎡⎤'=−+−++−+−++−⎣⎦,故2s 2s '<,即方差变大,故选项C 正确,选项D 错误.10.(2022·山东临沂·模拟预测)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知233=+nn S .数列{}n b 满足3log n n n a b a =,则( )A .13,1,3, 1.n n n a n −=⎧=⎨>⎩B .113n n n b −−=C .数列{}n b 的前n 项和113211243n n n T −+=−⋅ D .数列{}n b 的前n 项和113211243n n n T −−=+⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】根据n S 与n a 的关系,即可求出n a ,利用错位相减法即可求出数列{}n b 的前n 项和n T ,据此,逐个选项判断即可得出答案. 【详解】对于A ,因为233=+nn S ,所以,当1n =时,11226S a ==,得13a =,当2n ≥时,1113332n n n n n n a S S −−−−=−==,经检验,当1n =时,不符合13−=n n a ,所以,13,1,3, 1.n n n a n −=⎧=⎨>⎩故A 正确;对于B ,因为3log n n n a b a =,得311,1log 31,23n n nn n a b n a n −⎧=⎪⎪==⎨−⎪≥⎪⎩,故B 错误; 对于C ,数列{}n b 的前n 项和1232311123133333n n n n T b b b b −−=++++=+++++①, 234111231393333n nn T −=+++++②,所以,−①②得, 23122111111()3933333n n n n T −−=++⨯+++−11515311193293929333n n n n n n −−−⎛⎫=+−=+⨯−− ⎪⎝⎭1823n=−⋅,得 113211243n n n T −+=−⋅,故C 正确,D 错误; 故选:AC11.(2023·福建漳州·三模)已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =−,则下列说法正确的是( ). A .{}n a 是递增数列 B .{}n a 是递减数列C .122n a n =-D .数列{}n S 的最大项为5S 和6S【答案】BCD 【解析】 【分析】根据211n S n n =−,利用二次函数的性质判断D ,利用数列通项和前n 项和关系求得通项公式判断ABC. 【详解】解:因为22111211124n S n n n ⎛⎫=−=−−+ ⎪⎝⎭,所以数列{}n S 的最大项为5S 和6S ,故D 正确;当1n =时,110a =,当2n ≥时,由211n S n n =−,得()()211111n S n n −=−−−,两式相减得:212n a n =−+, 又110a =,适合上式, 所以212n a n =−+,故C 正确;因为120n n a a −−=−<,所以{}n a 是递减数列,故A 错误,B 正确; 故选:BCD12.(2022·湖南怀化·一模)设{}()*n a n N ∈是各项为正数的等比数列,q 是其公比,nK是其前n 项的积,且56678,K K K K K <=>,则下列选项中成立的是( ) A .01q << B .71a =C .95K K >D .6K 与7K 均为n K 的最大值【答案】ABD【分析】结合等比数列的定义利用数列的单调性判断各选项. 【详解】由已知数列各项均为正,因此乘积n K 也为正,公比0q >, 又56678,K K K K K <=>, 6651K a K =>,7761Ka K ==,B 正确; 8871K a K =<,761aq a =<,即01q <<,A 正确; 由71a =得681a a =,591a a =,所以49K K =,而51a >,54K K >,因此95K K <,C 错; 由上知126781a a a a a <<<<=<<,{}n K 先增后减,6K 与7K 均为n K 的最大值,D 正确.故选:ABD .13.(2022·福建龙岩·模拟预测)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,公比为q ,则下列命题正确的是( )A .若11a =,2q =,则663S =B .若1q >,则数列{}n a 是单调递增数列C .若10a >,0q >,lg n n b a =,则数列{} n b 是公差为lg q 的等差数列D .若10a >,0q >,且()21105612a a a a +=+,则110a a +的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】A :利用等比数列前n 项和公式即可计算;B :根据函数单调性即可判断;C :根据等差数列定义即可判断;D :利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A ,66612216312S −==−=−,故A 正确;对于B ,∵11n n a a q −=⋅,故{}n a 的单调性由q 和1a 共同决定,q >1无法判断数列为递增数列,如10a <,此时数列为递减数列,故B 错误;对于C ,∵111lg lg lg lg n n n n n na b b a a q a +++−=−==为常数,∴数列{}n b 是公差为lg q 的等差数列,故C 正确;对于D ,若10a >,0q >,则0n a >,56110a a a a =, ∵()21105612a a a a +=+, ∴()2211011011012122a a a a a a +⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭…,即()()22110110124a a a a +++…,即()211016a a +≤,即11004a a <+…,即当110a a =时,110a a +的最大值为4,故D 错误. 故选:AC .14.(2022·江苏泰州·模拟预测)数列{}n a 满足1111,,2n n n a a a n N *+==∈,n S 为数列{}n a 的前n 项和,则( ) A .418a =B .1n n a a +≤C .3n S <D .132n n S S −<【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意求得212112n n n n n n a a a a a a ++++==,得到{}n a 的奇数项和偶数项分别构成公比为12的等比数列,且首项分别为1211,2a a ==,由414a =,可判定A 错误;求得n 为奇数和n 为偶数时,数列的通项公式,可判定B 正确;根据n 为奇数和偶数,求得n S ,可判定C 正确;结合2n =时,可判定D 错误. 【详解】由题意,数列{}n a 满足11,2n n na a n N *+=∈,可得212112n n n n n na a a a a a ++++==, 因为11a =,可得2112a a =,所以212a =, 所以{}n a 的奇数项和偶数项分别构成公比为12的等比数列,且首项分别为1211,2a a ==,对于A 中,可得421124a a =⨯=,所以A 错误; 对于B 中,若n 为奇数时,可数列的通项公式为1122111()()22n n n a −−=⨯=; 若n 为偶数时,可数列的通项公式为122111()()222n n n a +=⨯=,当n 为奇数时,121()2n n a −=,2211()2n n a ++=,此时1n n a a +<,当n 为偶数时,121()2n n a +=,1211()2n n a ++=,此时1n n a a +=,综上可得:1n n a a +≤,所以B 正确; 对于C 中,数列{}n a 为1111111,,,,,,,224488,可得{}1n n a a ++构成首项为32,公比为12的等比数列,当n 为偶数时,可得2231[1()]1223[1()]31212nn n S −==⋅−<−, 当n 为奇数时,可得121211[1()]12112[1()]31212n n n S −−⋅−=+=+⋅−<−,所以C 正确;对于D 中,当2n =时,可得213122S =+=,13322S =,此时132n n S S −=,所以D 错误.故选:BC.15.(2022·重庆·二模)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12a =,且()1210n n n a na ++−=()n N *∈,则下列结论正确的是( ) A .{}n na 是等比数列 B .n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列C .2n n a n =⋅D .()122nn S n =−⋅+【答案】BC 【解析】 【分析】由条件变形,先求n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,再判断选项【详解】 由题意得121n n a a n n +=⋅+,故n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2,公比为2的等比数列, 1222n n na n−=⋅=,则2n n a n =⋅.故B ,C 正确,A 错误 122222n n S n =+⋅++⋅, 23122222n n S n +=+⋅++⋅,两式相减得:()1212(222)122n n n n S n n ++=⋅−+++=−⋅+,故D 错误.故选:BC16.(2022·广东茂名·模拟预测)已知数列{}n a 的前n 项和为S ,11a =,121n n n S S a +=++,数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ,*n ∈N ,则下列选项正确的为( ) A .数列{}1n a +是等比数列 B .数列{}1n a +是等差数列C .数列{}n a 的通项公式为21n n a =−D .1n T > 【答案】AC 【解析】 【分析】由1121n n n n a S S a ++=−=+可得,1121n n a a ++=+,可判断A,B 的正误,再求出n a ,可判断C 的正误,利用裂项相消法求n T ,可判断D 的正误. 【详解】因为121n n n S S a +=++,所以1121n n n n a S S a ++=−=+,1+122n n a a +=+, 即1121n n a a ++=+,且112a +=, 所以数列{}1n a +是首项为2,公比为2的等比数列,故A 正确,B 错误;所以12nn a +=,即21n n a =−,故C 正确;因为()()111212122211121n n n n n n n n a a +++−−−−==−⋅,所以12231121212121111111111212121n n n n T ++−+−+=−−−−+−−−=−−<…, 故D 错误; 故选:AC.17.(2022·重庆·二模)设等差数列{}n a 前n 项和为n S ,公差0d >,若920S S =,则下列结论中正确的有( ) A .150a = B .当15n =时,n S 取得最小值 C .10220a a +> D .当0n S >时,n 的最小值为29【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式,结合该数列的单调性逐一判断即可. 【详解】 解:根据题意,由9201111511998202019140022S S a d a d a d a =⇒+⨯⨯=+⨯⨯⇒+=⇒=.故A 正确;因为0d >,故当15n <时,0n a <,150a =,当15n >时,0n a >,当15n =或14n =时,n S 取得最小值,故B 正确;由于()102216150a a a a d d +=2=2+=2>,故C 正确;因为0d >,n *∈N ,所以由1111(1)(14)(1)(29)0222n S na n n d n d n n d dn n =+−=−+−=−>,可得:29,n >n *∈N ,因此n 的最小值为30,故D 错误.故选:ABC18.(2022·河北保定·一模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足11a =,22a =,1143n n n a a a +−=−,则下面说法正确的是( ) A .数列{}1n n a a +−为等比数列 B .数列{}13n n a a +−为等差数列C .131n n a -=+D .3142n n nS −=+【答案】ABD【分析】由已知递推式可得()113n n n n a a a a +−−=−或1133n n n n a a a a +−−=−,从而可得数列{}1n n a a +−为公比为3的等比数列,数列{}13n n a a +−为常数列,从而可求出,n n a S ,进而可分析判断 【详解】根据题意得()()111113434344n n n n n n n n n a a a a ka k a a k a a k +−+−−⎛⎫=−⇒+=+−=+−⎪+⎝⎭,令2343014k k k k k =−⇒++=⇒=−+或3k =−,所以可得:()113n n n n a a a a +−−=−或1133n n n n a a a a +−−=−,所以数列{}1n n a a +−为公比为3的等比数列,故选项A 正确;数列{}13n n a a +−为常数列,即为公差为0的等差数列,故选项B 正确;所以1113n n n a a −+−=⨯,且131n n a a +−=−,解得1312n n a −+=,所以C 错误,所以12n n S a a a =++⋅⋅⋅+ 011313131222n −+++=++⋅⋅⋅+()011133322n n −=++⋅⋅⋅++ 1132132n n −=⨯+− 3142n n −=+,所以D 正确,故选:ABD .19.(2022·全国·模拟预测)已知数列{}n a 满足()1213n n n a a a m ++=+,12n a ≠−,则下列说法正确的有( )A .若12=−m ,11a =,则35a =B .若0m =,112a =,则11331n n n a −−=+C .若12m =,12a ≠−,3,则32n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是等比数列 D .若12m =−,11a =,则766n n a =−【答案】BC 【解析】A 选项由递推关系计算可判断;B 选项,递推关系变形为1111113n n a a +⎛⎫−=− ⎪⎝⎭,构造一个等比数列11n a ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭,可求出通项公式,从而判断;C 选项由递推关系变形出1132n n a a ++−+3372n n a a −=−⨯+,从而得到判断;D 选项,递推关系变形得出112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪−⎩⎭是等比数列,从而求得通项公式进行判断. 【详解】A 选项:若12=−m ,则()121312n n n a a a ++=−,即131221n n n a a a +−=+.又11a =,则231233a −==−,391221615a −−==−+,故A 错误. B 选项:若0m =,则()1213n n n a a a ++=,即1321nn n a a a +=+, 即112133n n a a +=+,则1111113n n a a +⎛⎫−=− ⎪⎝⎭.又112a =,则111211a −=−=, 所以11n a ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是首项为1,公比为13的等比数列,则11113n n a −⎛⎫−= ⎪⎝⎭,即1111113133n n n n a −−−+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,即11331n n n a −−=+,故B 正确.C 选项:若12m =,则()121312n n n a a a ++=+,即131221n n n a a a ++=+,则()()1131233123213213122312221221n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++−+−+−+===+++++++393371472n n n n a a a a ⎛⎫−+−=−⨯ ⎪++⎝⎭,所以32n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是公比为37−的等比数列,故C 正确.D 选项:若12m =−,则113221n n n a a a +−=+,则11132112222121n n n n n n a a a a a a +−−−−−==++,则1212121111112121222n n n n n n a a a a a a +−+⎛⎫==+=+≠ ⎪−−⎝⎭−−,即11111122n n a a +−=−−.又11a =,则11212a =−,所以112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪−⎩⎭是首项为2,公差为1的等差数列,所以1112n n a =+−, 即1121n a n −=+,即1112n a n =++,故D 错误, 故选:BC.20.(2022·广东·一模)已知数列{}n a 满足11a =,*12()N n n n a a n ++=∈,则下列结论中正确的是( ) A .45a =B .{}n a 为等比数列C .202212202123a a a +++=−D .2023122022223a a a −+++=【答案】AD 【解析】 【分析】利用递推式可求得234,,a a a 的值,可判断A,B;将122021a a a +++变为1235202042021()()()a a a a a a a ++++++++,利用等比数列的求和公式,求得结果,判断C; 将122022a a a +++变为412320212022))()((a a a a a a +++++++,利用等比数列的求和公式,求得结果,判断D; 【详解】11a =,则1222,1a a a +== ,又2334,3a a a +== ,同理33442,5a a a +== ,故A 正确;而32121,3a a a a == ,故{}n a 不是等比数列,B 错误; 1220211235204202021()()()a a a a a a a a a a =+++++++++++1010101120222420204-4-12-112+2++2=1+==1-433=+(14) ,故C 错误; 122022123202120242()a a a a a a a a a ++++=++++++()()101110112023132021-24-22-22+2++2===1-433⨯=2(14),故D 正确, 故选:AD21.(2022·福建·模拟预测)已知{}n a 是正项等差数列,其公差为d ,若存在常数c ,使得对任意正整数n 均有12n n n ac a a c+=+,则以下判断不正确的是( ) A .0d > B .0d = C .1c > D .01c <<【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可得101n a +<≤,结合通项公式可得0d =,从而可得()212c c a −=,故可得02c <<,故可得正确的选项.【详解】由题设可得{}n a 是无穷正项等差数列,故0d ≥且0c >, 由基本不等式有122nn n a c a a c+=+≥, 所以101n a +<≤对任意的正整数n 恒成立, 即101a nd <+≤对任意的正整数n 恒成立,即111a nd a −<≤−对任意的正整数n 恒成立,故0d =且101a <≤. 而1112a c a a c=+,故()212c c a −=, 所以()021c c <−≤,所以02c <<, 故选:ACD22.(2022·重庆市育才中学模拟预测)已知数列{an }满足11a =,21n n n a a a +=+,则( )A .{an }是递增数列B .n a n ≥C .202120222a ≤D .121111111n a a a ++⋅⋅⋅+<+++ 【答案】ABD 【解析】 【分析】由递推公式和20n a >可判断A ,由数列递增和11a =可判断B ,由递推公式知21n n a a +>可判断C ,对递推公式取倒裂项,然后累加、放缩可判断D. 【详解】因为a 1=1,21n n n a a a +=+,所以1n n a a +>,故A 正确;易知,所以n a 为正整数,又{an }是递增数列,所以n a n ≥,故B 正确;由递推公式得:232,64a a ==>,又221n n n n a a a a +=+>,所以244a >,22225(4)4a >=,()23222644a >=,易知201922021202242a >>,故C 不正确;取倒得1111(1)11n n n n n a a a a a +=−++=,则由累加法得2341123123111111111111()1111n n n a a a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+−+++⋅⋅⋅+++++整理得123111111111111111n n n a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+=−=−++++, 又110n a +>所以121111111n a a a ++⋅⋅⋅+<+++故选:ABD23.(2022·河北张家口·三模)已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( ) A .n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B .n S 是关于n 的二次函数C .{}n na 不可能是等差数列D .“0d >”是“112n n n S S S −++>”的充要条件【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC ,再结合充分条件和必要条件的定义即可判断D. 【详解】解:由11(1)2n S na n n d =+−知,11(1)2n S a n d n =+−,则1112+−=+n n S S d n n ,所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,故A 正确; 当0d =时,1n S na =不是n 的二次函数,故B 不正确; 当0d =时,11,n n a a na na ==,则()111n n n a na a ++−=,所以{}n na 是等差数列,故C 不正确; 当0d >时,1102n n n S S d S −+=−>+,故112n n n S S S −++>,11111120n n n n n n n n n n n S S S S S S S a a a a d −++−+++>⇔−>−⇔>⇔−=>,所以“0d >”是“112n n n S S S −++>”的充要条件,故D 正确. 故选:AD.24.(2022·江苏江苏·三模)已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且122n n na S a =+,则( ) A .{}2n S 是等差数列B .212n n n S S S +++<C .1n n a a +>D .1ln n nS n S −≥ 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,求出1a ,再将n a 转化为n S ,即可证明,对于B,利用A 的结论求出n S ,再利用基本不等式,即可证明. 对于C ,求出21a a <,即可判断正误,对于D ,构造函数()12ln f x x x x=−−,即可判断正误【详解】 1111122a a S a ==+,10a >,解得:111S a == 2n ≥时,()11122n n n n n S S S S S −−−=+−, 整理得:2211n n S S −−=故{}2n S 是等差数列,选项A 正确;2211n S S n n =+−=,则=n S212n n n S S S +++<==,选项B 正确;22111a S S a =−=<,选项C 错误;令()12ln f x x x x =−−,1≥x ,()()2210x f x x −'=≥ ()f x 在[)1,+∞递增,()()10f x f ≥=,则ln 0fn≥ 即1ln n nS n S −≥,选项D 正确; 故选:ABD.25.(2022·河北保定·一模)已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,且21n n S S n +=−+,则下列选项中正确的是( ).A .121n n a a n ++=−(2n ≥)B .22n n a a +−=C .若10a =,则1004950S =D .若数列{}n a 单调递增,则1a 的取值范围是11,43⎛⎫− ⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】 【分析】对于A , 由 21n n S S n +=−+,多写一项,两式相减即可得出答案.对于B ,由 121n n a a n ++=−(2n ≥),多递推一项,两式相减即可得出答案少了条件2n ≥. 对于C ,由分析知22n n a a +−=,所以{}n a 奇数项是以10a =为首项,2为公差的等差数列,偶数项是以21a =为首项,2为公差的等差数列,由等差数列得前n 项和公式即可得出答案. 对于D ,因为数列{}n a 单调递增,根据1234n a a a a a <<<<<,即可求出1a 的取值范围.【详解】对于A ,因为21n n S S n +=−+,当()2121n n n S S n −≥=−+−,,两式相减得:121n n a a n ++=−(2n ≥),所以A 正确.对于B ,因为121n n a a n ++=−(2n ≥),所以()+122+11=21n n a a n n ++=−+, 两式相减得:22n n a a +−=(2n ≥),所以B 不正确.对于C ,21n n S S n +=−+,令1n =,则211S S =−+,1211a a a +=−+,因为10a =,所以21a =.令2n =,则324S S =−+,112324a a a a a ++=−−+ ,所以32a =.因为22n n a a +−=(2n ≥),而312a a −=,所以22n n a a +−=.所以{}n a 奇数项是以10a =为首项,2为公差的等差数列. 偶数项是以21a =为首项,2为公差的等差数列. 则:()()10012399100139924100=+++S a a a a a a a a a a a =+++++++++5049504950025012=495022⨯⨯⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 正确.对于D ,21n n S S n +=−+,令1n =,则211S S =−+,1211a a a +=−+,则2121a a =−+又因为+12=21n n a a n +++,令1n =则23=3a a +,所以()3211=332122a a a a −=−−+=+, 同理:()4311=552223a a a a −=−+=−+,()5411=772324a a a a −=−−+=+,因为数列{}n a 单调递增,所以1234n a a a a a <<<<<,解12a a <得:113a <,解23a a <得:114a >−,解34a a <得:114a <, 解45a a <得:114a >−,解56a a <得:114a <, 所以1a 的取值范围是11,44⎛⎫− ⎪⎝⎭,所以D 不正确.故选:AC. 【点睛】本题考查的是等差数列的知识,解题的关键是利用121n n a a n ++=−,得出{}n a 的奇数项、偶数项分别成等差数列,考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力,属于难题.26.(2022·山东日照·二模)已知数列{}n a 满足11a =,()12ln 11n n n a a a +=++,则下列说法正确的有( ) A .31225a a a <+ B .2211n nn a a a +−≤+ C .若2n ≥,则131141n i i a =≤<+∑ D .()()1ln 121ln 2nni i a =+≤−∑【答案】BCD 【解析】 【分析】直接计算出23,a a 即可判断A 选项;构造函数函数()ln 1f x x x =−−,由ln 1x x +…,得到ln 1n n a a +…,进而判断B 选项;由ln 11n a +…得到121n n a a ++…,再结合累乘法得到12n n a +…,按照等比数列求和公式即可判断C 选项;构造函数()12ln g x x x x=−+,由11ln 2x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭…得到212n n n a a a ++…,结合累乘法求得()1ln 12ln2n n a −+…,按照等比数列求和公式即可判断D 选项.【详解】()()2113222ln 113,2ln 116ln37a a a a a a =++==++=+,则()3122512ln360a a a −+=−>,又120a a +>,所以31225a a a >+,A 不正确. 令函数()ln 1f x x x =−−,则()11f x x'=−,则()f x 在()0,1上单调递减,在()1,∞+上单调递增,()()10f x f =…,即ln 1x x +…,又易得{}n a 是递增数列,11n a a =…,故ln 1n n a a +…,所以2121n n a a ++…,B 正确.易知{}n a 是递增数列,所以11n a a =…,则()1ln 11,2ln 1121n n n n n a a a a a ++=+++厖,则()1121n n a a +++…,即1121n n a a +++…,所以11212111211n n n n n a a a a a a −−−−++⋅⋅++…,即()111212n n n a a −++=…,所以1112n n a +…,所以2111111111221111222212n n n ni i a =⎛⎫− ⎪⎝⎭+++==−<+−∑…,而当2n …时,则有11211131114ni i a a a =+=+++∑…,C 正确. 令函数()12ln g x x x x =−+,则()222212110x x g x x x x−+−=−−='…,所以()g x 在()0,∞+上单调递减,所以当1x …时,()()10g x g =…,则11ln 2x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭…, 所以211121122n n n n n n a a a a a a +⎡⎤⎛⎫−++=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦…,()()()()()()()()()211121211ln 1ln 1ln 1ln 111,2,2ln 1ln 1ln 1ln 1n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +−−+−−++++++⋅⋅⋅++++剟?,()()111ln 12ln 12ln2n n n a a −−++=…,所以())()11ln 1(122ln221ln2nn n i i a −=++++=−∑…,D 正确.故选:BCD. 【点睛】本题关键点在于B 选项通过构造函数()ln 1f x x x =−−进行放缩得到ln 1n n a a +…,结合()12ln 11n n n a a a +=++即可判断;C 选项由ln 11n a +…放缩得到121n n a a ++…,D 选项构造函数()12ln g x x x x=−+得到212n nn a a a ++…,再结合累乘法和求和公式进行判断. 27.(2022·福建南平·三模)如图,在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ,其中1,2,3,,,i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅且,i i x y ∈Z .记n n n a x y =+,如()11,0A 记为11a =,()21,1A −记为20a =,()30,1A −记为31,a =−⋅⋅⋅,以此类推;设数列{}n a 的前n 项和为n S .则( )A .202242a =B .202287S =−C .82n a n =D .()245312n n n n S ++=【答案】ABD 【解析】 【分析】由图观察可知第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0,则2440n n S +=,同时第n 圈的最后一个点对应坐标为(),n n ,设2022a 在第k 圈,则k 圈共有()41k k +个数,可判断前22圈共有2024个数,2024a 所在点的坐标为()22,22,向前推导,则可判断A ,B 选项;当2n =时,16a 所在点的坐标为()2,2−−,即可判断C 选项;借助2440n n S +=与图可知22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S aaa++++++++=−=+++,即n 项之和,对应点的坐标为()1,+n n ,()1,1n n +−,…,()1,1n +,即可求解判断D 选项.【详解】由题,第一圈从点()1,0到点()1,1共8个点,由对称性可知81280S a a a =+++=;第二圈从点()2,1到点()2,2共16个点,由对称性可知248910240S S a a a −=+++=,即 240S =,以此类推,可得第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0,即()214482n nn n SS ++⨯==,设2022a 在第k 圈,则()()888168412k k k kk ++++==+,由此可知前22圈共有2024个数,故20240S =,则()2022202420242023S S a a =−+,2024a 所在点的坐标为()22,22,则2024222244a =+=,2023a 所在点的坐标为()21,22,则2023212243a =+=,2022a 所在点的坐标为()20,22,则2022202242a =+=,故A 正确;()()20222024202420230444387S S a a =−+=−+=−,故B 正确;8a 所在点的坐标为()1,1,则8112a =+=,16a 所在点的坐标为()2,2−−,则16224a =−−=−,故C 错误;22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S aaa++++++++=−=+++,对应点的坐标为()1,+n n ,()1,1n n +−,…,()1,1n +,所以()()()()()245111112122n n S n n n n n n n n +=+++++−++++=+++++()()2123122n n n n n ++++==,故D 正确.故选:ABD 【点睛】关键点点睛:观察图形,利用对称性求解问题,对D 选项,考虑已知的前n 项和与所求的关系,结合图形,可适当先列举找到规律,再求解.28.(2022·辽宁·东北育才学校二模)如图所示,正五边形ABCDE 的边长为1a ,正五边形11111A B C D E 的边长为2a ,正五边形22222A B C D E 的边长为3a ,……,依次下去,正五边形11111n n n n n A B C D E −−−−−的边长为n a ,记ACE α∠=,则下列结论中正确的是( )A.cos α=B .数列{}n aC .数列{}n a的等比数列D .对任意θ∈R ,cos cos(2)cos(4)cos(6)cos(8)1θθαθαθαθα++++++++= 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正五边形的几何性质可知1111111,,,B EAC AE AC CE AB AE CB AB AE B E B C λ======,根据长度关系列方程解得λ=,再利用正弦定理可求得cos α,通过图形类比归纳的12211n n a a a a λ+==,对于D ,注意5πα=,利用诱导公式和两角和差公式化简计算. 【详解】在△ACE ,2CAE AEC α∠=∠=,设1AC CE AE a λλ=== 易知△ACE ∽△1B AE ,则111B E a λ=,11AB AE a ==1ACE CAB ∠=∠,则111AB CB a ==∵11CB B E CE +=,即1111a a a λλ+=,解得λ=又∵AC AE λ=,由正弦定理得sin 2sin αλα=,即2sin cos sin ααλα=∴cos 2λα=,A 正确; 同理:△11B EC ∽△1B AE ,则111211B C B E AE λλ==即2121a a λ=,则2211a a λ==以此类推,1n n a a +={}n aB 正确,C 不正确;∵cos α=2cos 22cos 1αα=−=又∵5πα=,则可得: cos cos(2)cos(4)cos(6)cos(8)θθαθαθαθα++++++++[][][]cos cos(2)cos ()πcos ()πcos (2)2πθθαθαθαθα=+++−+++++−+cos cos(2)cos()cos()cos(2)θθαθαθαθα=++−−−++−()cos 2cos cos 22cos cos cos 12cos 22cos 0θθαθαθαα=+−=+−=D 不正确; 故选:AB .。

高考数学模拟试题与解析 专题16 等差数列(解析版)

高考数学模拟试题与解析 专题16 等差数列(解析版)

专题16等差数列目录 (1)基础题型一:判断(证明)等差数列 ...................................................................................................................... 1 基础题型二:等差数列通项公式基本量计算 .......................................................................................................... 5 基础题型三:等差中项(下标和性质) .................................................................................................................. 7 基础题型四:等差数列前n 项和基本量计算 .......................................................................................................... 9 基础题型五:两个等差数列前n 项和比的问题 . (11) (14)提升题型一:等差数列单调性 ................................................................................................................................ 14 提升题型二:含绝对值的等差数列前n 项和 ........................................................................................................ 17 提升题型三:等差数列奇数项或偶数项和 ............................................................................................................ 21 提升题型四:n a 与n S的关系 ................................................................................................................................. 23 提升题型五:等差数列片段和性质 ........................................................................................................................ 26 提升题型六:等差数列前n 项和最值 .................................................................................................................... 27 提升题型七:根据等差数列前n 项和最值求参数 (31)基础题型一:判断(证明)等差数列1.(2022·湖南长沙·高三阶段练习)若数列{an }的前n 项和为232n S n n a =++,则“0a =”是“数列{an }为等差数列”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【详解】∵232n S n n a =++,则115S a a ==+,n,1n=.112n,23=,3a=不是等差数列.基础题型二:等差数列通项公式基本量计算基础题型三:等差中项(下标和性质)【详解】2n n a a ++129151115,a a a a =+++12915292942a +⨯=⨯=故答案为:116.7.(2022·上海市西南位育中学高二期末)等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=,则28a a +=_________ 【答案】180【详解】因为等差数列{}n a 中,3456755450++++==a a a a a a , 所以590a =, 所以2852180+==a a a . 故答案为:180.基础题型四:等差数列前n 项和基本量计算【详解】2n n a a ++129151115,a a a a =+++12915292942a +⨯=⨯=故答案为:116.2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中)根据下列条件,求相应的等差数列基础题型五:两个等差数列前n 项和比的问题1.(2022·河南新乡·一模(文))设等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若3542n n S n T n +=-,则88a b =( ) A .2528B .3539C .5558D .25292.(2022·宁夏·银川二中高三阶段练习(理))设等差数列n 与等差数列n 的前n 项和分别为n S ,n T ,若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-,则935784a a b b b b +++的值为( )A .37B .79C .1941D .1-3.(2022·江苏·北大附属宿迁实验学校高二期中)已知两个等差数列n a 和n b 的前n 项和分别为Sn 和Tn ,且n n S T =2703n n ++,则76a b 的值为( ) A .487B .425C .849D .144.(2022·全国·高二课时练习)两等差数列{}n a 和{}n b ,前n 项和分别为n S ,n T ,且3n n T n =+,则220715a ab b ++的值为( )A .14924B .7914C .165D .51105.(2022·广东·南海中学高二阶段练习)已知等差数列n a 、n b ,其前项和分别为n S 、n T ,2331n n a n b n +=-,则1111S T = A .1517B .2532C .1D .26.(2022·云南昭通·高三期末(理))等差数列,n n a b 的前n 项和分别为132,,,221n n n n S n S T a T n -==+,则{}n b 的公差为___________. 【详解】32n n S n T n -=又112a S k ===⨯2(21)4=+=n T n n 116420=+==b 即{}n b 的公差为8. 故答案为:8.7.(2022·上海·高三专题练习)已知数列n 、n 均为正项等比数列,n 、n 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项积,且ln 57ln 2n n P n Q n-=,则33ln ln a b 的值为___________.53,21n n A n B n +=-求这两个数列的第9项之比99.a b9.(2022·全国·高二课时练习)已知两个等差数列n a 和n b 的前n 项和分别为n 和n ,311n n A n B n +=+,求25837a a a b b +++的值.提升题型一:等差数列单调性1.(2022·全国·高二课时练习)设{}n a 是等差数列,则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由题意可得公差21320d a a a a =-=->,所以数列{}n a 是递增数列,即充分性成立; 若数列{}n a 是递增数列,则必有123a a a <<,即必要性成立. 故选:C .【详解】∵等差数列{}n a 是递增数列,且1233a a a ++≤,∴21,0a d ≤>,又∵()731113863228a a a d a d a -≤=+-+=-≤,∴14a ≥-,2105d a a <=-≤,4134a a d =+>-,42211011a a d =+≤+=,即4a 的取值范围为(]4,11-,故答案为(]4,11-.提升题型二:含绝对值的等差数列前n 项和2678,(6,N*)(+),(7,n n a a n n a a a a n n +++≤∈++-++≥∈2252=-n n n S , 78,N*),||.n a +27+,前,19216,10n n ,n ∈)设等差数列{}n a 的公差是是递减数列,因为512a a +舍去),3d =-,解得d 9,则当9n 时,0n a ;当n >3)108=; 21)351(3)22n n ⨯-=-+9n 时,n T 235122n n -+,9n >时,T 11a ++…a +235122n n -+综上可得,19216,10n T n ,n ∈昆明一中高三阶段练习)已知数列12220n n a -++-.求数列{}n a 的通项公式;求数列{}n a 的前【答案】(1)16n a =22214,214n n n n -+-+12n n a -++12220+-=(2126n n a --++=-()12062n n +---+164n n =-,(1212162n n n a a a a +++=+++=0n a <,易知112a =,28a =,234523415n na a a a a a a a a a a +++++=+++---)()32314n a a a a a +-+++()()121642128402n n +-=⨯+++-2214n n =-4>. 高二期中)已知数列{}a 的前n 项和为{}a 的前n 项和为S n a ++,求(1231315n n n a a a a a S +++=++++==()123123789n n a a a a a a a a a a ++++=++++-+++)()27123789721498n n a a a a a a a a S S n n ++-++++++++=-=-+.综2,171498,7n n n n -≤≤+> 山西省浑源中学高二阶段练习)表示n S 等差数列{}n a 的前n 项的和,且4S S =的通项n a 及n S ; n a ++14,n S n =78n ≤≥)解:设等差数列{综上所述,2213,171384,8nn n nTn n n⎧-≤≤=⎨-+≥⎩.提升题型三:等差数列奇数项或偶数项和23na-+++23n a -+++531a a -+++)(2321n n a a --++++上海南汇中学高二期末)在等差数列9960a ++=100a ++=__________.145【详解】等差数列{n a 12, 10013599246100a a a a a a a a a ++=+++++++++24610013599a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++605085d =+=1231001260501452a a a a ++++=⨯+⨯=. 故答案为:145.5.(2022·江苏·高二课时练习)已知等差数列{}n a 中,前m (m 为奇数)项的和为中偶数项之和为33,且323=-+n提升题型四:na 与nS 的关系(2)90-(1)解:由题意可得()()22142132a S S k k k =-=---=-=,解得1k =,所以,2n S n n =-. 当1n =时,110a S ==,当2n ≥时,()()()2211122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦, 10a =也满足22n a n =-,故对任意的N n *∈,22n a n =-.(2)解:()221010222120n n S a n n n n n -=---=-+,所以,当10n =或11时,n S 取得最小值,且最小值为90-.3.(2022·全国·高三专题练习)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,n ∈*N ,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+,*n ∈N .求,n n a b ;【答案】41n a n =-;12n n b -=【详解】由于n S =22n n +,当n ≥2时,1n n n a S S -=-=2222(1)(1)41n n n n n ⎡⎤+--+-=-⎣⎦,*n ∈N .当n =1时,113a S ==;41n a n ∴=-, 由24log 3n n a b =+, 12n n b -∴=,*n ∈N .4.(2022·全国·高三专题练习)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,()()1131n n n S n S n ++-+=+.(1)求证:{}n a 为等差数列; 【答案】(1)证明见解析;【详解】证明:(1)∵()()1131n n n S n S n ++-+=+, ∴()()12,2n n nS n S n n --+=≥,两式做差得:()()()1112321n n n n S n S n S +-+-+++=, ∴()()()()1111221n n n n n S n S n S n S +-+-+++-+=, ∴()()1121n n n a n a ++-+= ∴()111n n na n a --+=,两式做差得:()()()1112210n n n n a n a n a +-+-+++=, ∴1120n n n a a a +--+=, 即:112n n n a a a -+=+, ∴{}n a 为等差数列.n a ++,求77>(2N*n n -∈(1231315n n n a a a a a S +++=++++==()123123789n n a a a a a a a a a a ++++=++++-+++)()27123789721498n n a a a a a a a a S S n n ++-++++++++=-=-+.2,171498,7n n n n n -≤≤-+> 重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习(理))已知数列{}n a 的前n 项和为12n S a =,)2112n n S nS n n --=+-.的通项公式;提升题型五:等差数列片段和性质4.(2022·宁夏·吴忠中学高二期中(理))设等差数列的前n 项和为48,8,20n S S S ==若,则9101112a a a a +++= . 【答案】16【详解】由等差数列性质知:484128,,S S S S S --也成等差, 所以1288,12,S S -成等差,即12816S S -=, 因此910111212816a a a a S S +++=-=,故答案为16.5.(2022·江苏南通·高二期中)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1020S =,3090S =,则20S =___________ 【答案】50【详解】由题设1020103020,,S S S S S --成等差数列, 所以20101030202()S S S S S -=+-,则20103033150S S S =+=, 所以2050S =. 故答案为:50提升题型六:等差数列前n 项和最值提升题型七:根据等差数列前n 项和最值求参数1.(2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试)在等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项的和,已知678125a a a a ++=,且10a >,当n S 取得最大值时,n 的值为( ) A .17 B .18C .19D .20【答案】C【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d ,12n na n -++的前n 项和为解得1202a≤≤,由于1a是整数,所以1a的可能取值是18,19,20.。

高考数学等差数列选择题专项训练专项练习及答案

高考数学等差数列选择题专项训练专项练习及答案

一、等差数列选择题1.已知等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41a =,则12a 的值是( ) A .15 B .30C .3D .64解析:A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的通项公式列方程组,求出1a 和d 的值,12111a a d =+,即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩,即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得:174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==, 所以12a 的值是15, 故选:A2.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若542S S =,248a a +=,则5a 等于( ) A .6 B .7 C .8 D .10解析:D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ,即可求得5a . 【详解】解:设数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 则由542S S =,248a a +=,得:111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩,即{1132024a d a d +-+=, 解得:{123a d =-=,51424310a a d ∴=+=-+⨯=.故选:D.3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( ) A .70S >,且80S <B .70S <,且80S >C .70S >,且80S >D .70S <,且80S <解析:A 【分析】根据已知条件,结合等差数列前n 项和公式,即可容易判断. 【详解】依题意,有170a a +>,180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选:A .4.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<解析:D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选:D.5.已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19 B .20C .21D .22解析:B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,再由等差数列的通项公式可得1nn a ,进而可得1n a n=,再结合基本不等式即可得解. 【详解】 因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,所以12211n n n a a a ++=+,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,设其公差为d , 由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅, 所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩,解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以()1111n n d n a a =+-=,所以1n a n=,所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立,又10020n n +≥=,当且仅当10n =时,等号成立, 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 6.已知等差数列{}n a 中,161,11a a ==,则数列{}n a 的公差为( ) A .53B .2C .8D .13解析:B 【分析】设公差为d ,则615a a d =+,即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ,则615a a d =+,即1115d =+,解得:2d =, 所以数列{}n a 的公差为2, 故选:B7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2938a a a +=+,则15S =( ) A .60 B .120C .160D .240解析:B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+,结合题意,可得出88a =,最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质,得出()11515815152a a S a +==,从而可得出结果.【详解】解:由题可知,2938a a a +=+,由等差数列的性质可知2938a a a a +=+,则88a =,故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选:B.8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,31567a a a +=+,则23S =( ) A .121 B .161C .141D .151解析:B 【分析】由条件可得127a =,然后231223S a =,算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+,所以15637a a a =-+,所以1537a d =+,所以1537a d -=,即127a =所以231223161S a == 故选:B9.已知数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,记n S ,n T 分别为{}n a ,{}n b 的前n 项和,且713n n S n T n -=,则55a b =( ) A .3415B .2310C .317D .6227解析:D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】 由713n n S n T n-=, ()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选:D10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11 B .12C .23D .24解析:C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C.11.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁”.现恰有30人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520),其中年长者年龄介于90至100,其余29人的年龄依次相差一岁,则最年轻者的年龄为( ) A .32 B .33C .34D .35解析:D 【分析】设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=,结合等差数列的求和公式得出111429m n =-,再由[]90,100m ∈求出n 的值.【详解】根据题意可知,这30个老人年龄之和为1520,设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,[]90,100m ∈,则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=则有291114n m +=,则111429m n =-,所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤,因为年龄为整数,所以35n =. 故选:D12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且3944a a a +=+,则15S =( ) A .45 B .50C .60D .80解析:C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列,3944a a a +=+,4844a a a ∴+=+,84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选:C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式,属于基础题 13.定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ,又2n n a b =,则1223910111b b b b b b +++=( )A .817B .1021C .1123D .919解析:D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和,然后利用前n 项和求解通项公式,最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得:12n n S n=,则:22n S n =, 当1n =时,112a S ==,当2n ≥时,142n n n a S S n -=-=-, 且14122a =⨯-=,据此可得 42n a n =-, 故212nn a b n ==-,()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 据此有:12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选:D14.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10- B .8C .12D .14解析:D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=,则()177477142a a S a +=== 故选:D15.数列{}n a 是项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和是24,偶数项的和为30,若它的末项比首项大212,则该数列的项数是( ) A .8 B .4C .12D .16解析:A 【分析】设项数为2n ,由题意可得()21212n d -⋅=,及6S S nd -==奇偶可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n , 末项比首项大212, ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇,30S =偶,30246S S nd ∴-=-==奇偶②.由①②,可得32d =,4n =, 即项数是8, 故选:A.二、等差数列多选题16.已知数列{}n a 满足:12a =,当2n ≥时,)212n a =-,则关于数列{}n a 的说法正确的是 ( )A .27a =B .数列{}n a 为递增数列C .221n a n n =+-D .数列{}n a 为周期数列解析:ABC 【分析】由)212n a =-1=,再利用等差数列的定义求得n a ,然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时,由)212n a =-,得)221n a +=,1=,又12a =,所以是以2为首项,以1为公差的等差数列,2(1)11n n =+-⨯=+,即221n a n n =+-,故C 正确;所以27a =,故A 正确;()212n a n =+-,所以{}n a 为递增数列,故正确;数列{}n a 不具有周期性,故D 错误; 故选:ABC 17.题目文件丢失!18.题目文件丢失! 19.题目文件丢失!20.等差数列{}n a 是递增数列,公差为d ,前n 项和为n S ,满足753a a =,下列选项正确的是( ) A .0d <B .10a <C .当5n =时n S 最小D .0n S >时n 的最小值为8解析:BD 【分析】由题意可知0d >,由已知条件753a a =可得出13a d =-,可判断出AB 选项的正误,求出n S 关于d 的表达式,利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列,则0d >,A 选项错误;753a a =,则()11634a d a d +=+,可得130a d =-<,B 选项正确;()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,当3n =或4时,n S 最小,C 选项错误; 令0n S >,可得270n n ->,解得0n <或7n >.n N *∈,所以,满足0n S >时n 的最小值为8,D 选项正确.故选:BD.21.公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =,n S 为{}n a 前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .110S =B .10n n S S -=(110n ≤≤)C .当110S >时,5n S S ≥D .当110S <时,5n S S ≥解析:BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =,解得192a d =-,然后逐项判断.【详解】 设公差d 不为零, 因为38a a =,所以1127a d a d +=+, 即1127a d a d +=--, 解得192a d =-,11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭,故A 错误;()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n dd na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-,故B 正确; 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭,解得0d >,()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥,故C 正确;D 错误; 故选:BC 22.在数列{}n a 中,若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .{(1)}n -是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 解析:BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}n a 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n aa ---=---=是常数, {(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确;对于C ,数列{}n a 中的项列举出来是,1a ,2a ,,k a ,,2k a ,数列{}kn a 中的项列举出来是,k a ,2k a ,3k a ,,()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=,将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa a a a a a a kp +++++--+-+-++-=,222k k a a kp ∴-=,()221kn kn a a kp +∴-=,{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列,故C 正确;对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,属于中档题.23.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是( )A .{}n a 为等差数列B .0n a >C .n S 最小值为214- D .{}n a 为单调递增数列解析:AD 【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式,可对A ,B ,D 进行判断,对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解:当1n =时,11154a S ==-=-,当2n ≥时,2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-,当1n =时,14a =-满足上式, 所以26n a n =-,由于()122n n a a n --=≥,所以数列{}n a 为首项为4-,公差为2的等差数列, 因为公差大于零,所以{}n a 为单调递增数列,所以A ,D 正确,B 错误, 由于225255()24n S n n n =-=--,而n ∈+N ,所以当2n =或3n =时,n S 取最小值,且最小值为6-,所以C 错误, 故选:AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系,考查由递推式求通项并判断等差数列,考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题,属于基础题24.在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是( )A .n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈);B .2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈);C .()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ;D .{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈).解析:AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列.【详解】A 选项中n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈),数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式,所以是等差数列,故正确,B 选项中2n n a a d +-=(d 为常数,*n N ∈),不符合从第二项起,相邻项的差为同一个常数,故错误;C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ,对于数列{}n a 符合等差中项的形式,所以是等差数列,故正确;D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++(*n N ∈),不符合2n S An Bn =+,所以{}n a 不为等差数列.故错误.故选:AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用,如何去判断数列为等差数列,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.25.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( ) A .a 6>0B .2437d -<<- C .S n <0时,n 的最小值为13D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 解析:ABCD【分析】S 12>0,a 7<0,利用等差数列的求和公式及其性质可得:a 6+a 7>0,a 6>0.再利用a 3=a 1+2d =12,可得247-<d <﹣3.a 1>0.利用S 13=13a 7<0.可得S n <0时,n 的最小值为13.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中,n ≤6时,n n S a >0.7≤n ≤12时,n n S a <0.n ≥13时,n n S a >0.进而判断出D 是否正确.【详解】∵S 12>0,a 7<0,∴()67122a a +>0,a 1+6d <0.∴a 6+a 7>0,a 6>0.∴2a 1+11d >0,a 1+5d >0,又∵a 3=a 1+2d =12,∴247-<d <﹣3.a 1>0. S 13=()113132a a +=13a 7<0.∴S n <0时,n 的最小值为13. 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中,n ≤6时,n n S a >0,7≤n ≤12时,n n S a <0,n ≥13时,n n S a >0. 对于:7≤n ≤12时,n nS a <0.S n >0,但是随着n 的增大而减小;a n <0, 但是随着n 的增大而减小,可得:n nS a <0,但是随着n 的增大而增大. ∴n =7时,n nS a 取得最小值. 综上可得:ABCD 都正确.故选:ABCD .【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.。

高考数学(文)专题提分训练:等差数列(含答案解析)[ 高考]

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等差数列高考试题考点一 等差数列的概念与性质1.(2013年辽宁卷,文4)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题:p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列;p 3:数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列;p 4:数列{a n +3nd}是递增数列. 其中的真命题为( )(A)p 1,p 2 (B)p 3,p 4 (C)p 2,p 3 (D)p 1,p 4解析:因为d>0,所以数列{a n }是递增数列,p 1为真命题;若等差数列为-10,-9,-8,…,则1×a 1>2a 2,所以p 2为假命题;若等差数列为1,32,2,…,则11a =1, 22a =322=34,所以p 3为假命题;又因为a n+1+3(n+1)d-(a n +3nd)=a n +d+3nd+3d-a n -3nd=4d>0,所以p 4为真命题,故选D. 答案:D2.(2012年辽宁卷,文4)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10等于( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)24解析:由等差数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *), 则a m +a n =a p +a q , 得a 4+a 8=a 2+a 10=16. 故选B. 答案:B3.(2010年大纲全国卷Ⅱ,文6)如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于( )(A)14 (B)21 (C)28 (D)35解析:∵a3+a4+a5=12,∴a4=4,a1+a2+…+a7=12×7×(a1+a7)=7a4=28.故选C.答案:C4.(2011年重庆卷,文1)在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10等于( )(A)12 (B)14 (C)16 (D)18解析:在等差数列{a n}中,公差d=a3-a2=4-2=2,则a10=a2+8d=2+16=18.故选D.答案:D5.(2010年重庆卷,文2)在等差数列{a n}中,a1+a9=10,则a5的值为( )(A)5 (B)6 (C)8 (D)10解析:在等差数列{a n}中,由性质可直接得a1+a9=2a5,所以a5=5,故选A. 答案:A6.(2009年辽宁卷,文3){a n}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d 等于( )(A)-2 (B)-12(C)12(D)2解析:a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1,∴d=-12.故选B.答案:B7.(2013年重庆卷,文12)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .解析:设等差数列的公差为d,则9=2+4d,d=74.故c-a=2d=72.答案:728.(2012年北京卷,文10)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,若a 1=12,S 2=a 3,则a 2= ,S n = . 解析:设等差数列{a n }的公差为d, ∵S 2=a 3,∴2a 1+d=a 1+2d,∴a 1=d. 又∵a 1=12,∴d=12, ∴a 2=a 1+d=1,S n =na 1+()12n n d -=14n 2+14n. 答案:114n 2+14n 9.(2011年天津卷,文11)已知{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,n ∈N *.若a 3=16,S 20=20,则S 10的值为 . 解析:设等差数列首项为a 1,公差为d,由题意可得11216,120201920,2a d a d +=⎧⎪⎨+⨯⨯=⎪⎩ 解得120,2,a d =⎧⎨=-⎩∴S 10=10a 1+12×10×9d =10×20+12×10×9×(-2) =110.答案:11010.(2011年辽宁卷,文15)S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 2=S 6,a 4=1,则a 5= .解析:由S 2=S 6得a 3+a 4+a 5+a 6=0, 由等差数列性质a 3+a 6=a 4+a 5, ∴2(a 4+a 5)=0, ∴1+a 5=0, ∴a 5=-1. 答案:-111.(2010年辽宁卷,文14)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9= .解析:设等差数列公差为d,则 S 3=3a 1+322⨯d=3a 1+3d=3, 即a 1+d=1,① S 6=6a 1+652⨯d=6a 1+15d=24, 即2a 1+5d=8,②联立①②两式得a 1=-1,d=2, 故a 9=a 1+8d=-1+8×2=15. 答案:1512.(2009年山东卷,文13)在等差数列{a n }中,a 3=7,a 5=a 2+6,则a 6= .解析:设等差数列的公差为d,首项为a 1,则31522,3,a a d a a d =+⎧⎨-=⎩解得12,3,d a =⎧⎨=⎩ 所以a 6=a 1+5d=13.答案:1313.(2012年湖北卷,文20)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前n 项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d,由题意得()()1111333,28,a d a a d a d +=-⎧⎪⎨++=⎪⎩解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3,a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n-1)=-3n+5, 或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.故|a n |=|3n-7|=37,1,2,37, 3.n n n n -+=⎧⎨-≥⎩记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n=1时,S 1=|a 1|=4;当n=2时,S 2=|a 1|+|a 2|=5; 当n ≥3时,S n =S 2+|a 3|+|a 4|+…+|a n |=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7) =5+()()22372n n -+-⎡⎤⎣⎦=32n 2-112n+10. 当n=2时,满足此式.综上,S n =24,1,31110, 1.22n n n n =⎧⎪⎨-+>⎪⎩14.(2010年山东卷,文18)已知等差数列{a n }满足:a 3=7,a 5+a 7=26,{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ; (2)令b n =211n a - (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, 由于a 3=7,a 5+a 7=26,所以a 1+2d=7,2a 1+10d=26, 解得a 1=3,d=2.所以a n =a 1+(n-1)d=2n+1,S n =na 1+()12n n -d=n 2+2n.(2)因为a n =2n+1,所以2n a -1=(a n -1)(a n +1)=4n(n+1),因此b n =()141n n +=14(1n -11n +).故T n =b 1+b 2+…+b n=14[(1-12)+(12-13)+…+(1n -11n +)] =14(1-11n +)=()41nn +. 所以数列{b n }的前n 项和T n =()41nn +. 考点二 等差数列的通项和前n 项和公式1.(2013年安徽卷,文7)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 8=4a 3,a 7=-2,则a 9等于( ) (A)-6 (B)-4 (C)-2 (D)2解析:由S 8=4a 3得()1882a a +=4a 3,即a 1+a 8=a 2+a 7=a 3,所以公差d=a 3-a 2=a 7=-2,a 9=a 7+2d=-2+(-4)=-6.故选A. 答案:A2.(2013年陕西卷,文17)设S n 表示数列{a n }的前n 项和. (1)若{a n }为等差数列,推导S n 的计算公式;(2)若a 1=1,q ≠0,且对所有正整数n,有S n =11nq q--.判断{a n }是否为等比数列,并证明你的结论. 解:(1)设{a n }的公差为d, 则S n =a 1+a 2+…+a n=a 1+(a 1+d)+…+[a 1+(n-1)d],又S n =a n +(a n -d)+…+[a n -(n-1)d], ∴2S n =n(a 1+a n ),∴S n =()12n n a a +. (2)当n=1时,S 1=1.当n=2时,S 2=211q q--=1+q,a 1+a 2=1+q,a 2=q.当n=3时,S 3=311q q--=1+q+q 2,a 1+a 2+a 3=1+q+q 2,a 3=q 2;初步断定数列{a n }为等比数列. 证明如下:∵S n =11nq q--,∴a n+1=S n+1-S n =111n q q +---11nq q--=()11n q q q--=q n. ∵a 1=1,q ≠0,∴当n ≥1时,有1n na a +=1nn q q -=q,因此,{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列.3.(2010年新课标全国卷,文17)设等差数列{a n }满足a 3=5,a 10=-9.(1)求{a n }的通项公式;(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值. 解:(1)由a n =a 1+(n-1)d 及a 3=5,a 10=-9得1125,99,a d a d +=⎧⎨+=-⎩ 可解得19,2,a d =⎧⎨=-⎩所以数列{a n }的通项公式为a n =11-2n(n ∈N *).(2)法一 由(1)知,S n =na 1+()12n n -d=10n-n 2. 因为S n =-(n-5)2+25,所以当n=5时,S n 取得最大值. 法二 由(1)知S n =na 1+()12n n -d=10n-n 2, a n =11-2n 令a n =0得n=5.5, a 5=1,a 6=-1,所以数列{a n }前5项都为正数,从第6项起都是负数, 因此S n 的最大值是S 5,S 5=()1552a a +=()5912⨯+=25. 故当n=5时,S n 取得最大值.4.(2010年浙江卷,文19)设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0. (1)若S 5=5,求S 6及a 1; (2)求d 的取值范围. 解:(1)由题意知S 6=515S -=-3, a 6=S 6-S 5=-8,所以115105,58,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得a 1=7,d=-3.所以S 6=-3,a 1=7. (2)因为S 5S 6+15=0,所以(5a 1+10d)(6a 1+15d)+15=0, 即221a +9da 1+10d 2+1=0. 故(4a 1+9d)2=d 2-8, 所以d 2≥8,故d 的取值范围为d ≤或d ≥考点三 等差数列的综合应用1.(2012年四川卷,文12)设函数f(x)=(x-3)3+x-1,{a n }是公差不为0的等差数列,f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 7)=14,则a 1+a 2+…+a 7等于( ) (A)0 (B)7 (C)14 (D)21解析:∵{a n }是公差不为0的等差数列, 且f(a 1)+f(a 2)+…+f(a 7)=14, ∴[(a 1-3)3+a 1-1]+[(a 2-3)3+a 2-1]+…+[(a 7-3)3+a 7-1]=14, ∴(a 1+a 2+a 3+…+a 7)-7=14, ∴a 1+a 2+a 3+…+a 7=21.故选D. 答案:D2.(2011年湖北卷,文9)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) (A)1升 (B)6766升 (C)4744升 (D)3733升 解析:设自上而下各节容积成等差数列的公差为d,首节容积为a 1,则由已知得()()()()()()1111111233,6784,a a d a d a d a d a d a d ++++++=⎧⎪⎨+++++=⎪⎩解得113,227.66a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴第5节容积为a 1+4d=6766(升).故选B. 答案:B3.(2011年陕西卷,文10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )(A)①和 (B)⑨和⑩(C)⑨和 (D)⑩和解析:设树苗放置在第n个坑,则各位同学从各自树坑前来领树苗所走的总路程为s=20[1+2+3+…+(n-1)]+20[1+2+3+…+(20-n)]=20[()12n n-+()()20212n n--]=20×224220212n n-+⨯=20(n2-21n+210),对称轴为n=10.5,又n∈N*,∴n=10或11.故选D.答案:D模拟试题考点一等差数列的概念与基本运算1.(2013山师大附中模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根,S5等于( )(A)52(B)5 (C)-52(D)-5解析:因为a2、a4是方程x2-x-2=0的两个根, 所以a2+a4=1.又S5=()1552a a+=()2452a a+=52.故选A.答案:A2.(2013贵州六校联盟联考)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a5=8,S3=6,则a9等于( )(A)8 (B)12 (C)16 (D)24解析:在等差数列中,a 5=a 1+4d=8, S 3=3a 1+322⨯d=3a 1+3d=6, 即a 1+d=2,解得a 1=0,d=2. 所以a 9=a 1+8d=8×2=16.故选C. 答案:C3.(2013北京市东城区期末)已知{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,若a 3=6,S 3=12,则公差d 等于( ) (A)1 (B)53(C)2 (D)3 解析:因为a 3=6,S 3=12, 所以S 3=12=()1332a a +=()1362a +, 解得a 1=2,所以a 3=6=a 1+2d=2+2d,解得d=2.答案:C4.(2013云南师大附中检测)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,当整数n>1时,S n+1+S n-1=2(S n +S 1)都成立,则S 15= . 解析:由S n+1+S n-1=2(S n +S 1) 得(S n+1-S n )-(S n -S n-1)=2S 1=2, 即a n+1-a n =2(n ≥2),数列{a n }从第二项起构成公差为2的等差数列, S 15=1+2+4+6+8+…+28=211. 答案:2115.(2013云南昆明一中检测)已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 10=S 4,则89S a 等于 . 解析:由a 10=S 4, 得a 1+9d=4a 1+432⨯d=4a 1+6d, 即a 1=d ≠0. 所以S 8=8a 1+872⨯d=8a 1+28d=36d,所以89S a =1368d a d +=369d d=4. 答案:46.(2012莱芜检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=12,S n =n 2a n -n(n-1),n=1,2,… (1)求证数列1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,并求S n ; (2)设b n =323n S n n +,求证b 1+b 2+…+b n<512. 解:(1)由S n =n 2a n -n(n-1)知 当n ≥2时,S n =n 2(S n -S n-1)-n(n-1), 即(n 2-1)S n -n 2S n-1=n(n-1),∴1n n +S n -1n n -S n-1=1,对n ≥2成立.又111+S 1=1,∴1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. 1n n+S n =1+(n-1)·1, ∴S n =21n n +.(2)b n =323n S n n +=()()113n n ++=12(11n +-13n +), b 1+b 2+…+b n =12(12-14+13-15+…+1n -12n ++11n +-13n +)=12(56-12n +-13n +)<512.考点二 等差数列的最值问题1.(2013北大附中河南分校调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 15>0,S 16<0,则11S a ,22S a ,…,1515S a 中最大的项为( )(A)66S a (B)77S a (C)99S a (D)88S a 解析:由S 15=()115152a a +=15a 8>0, 得a 8>0. 由S 16=()116152a a +=()98152a a +<0,得a 9+a 8<0,所以a 9<0,且d<0.所以数列{a n }为递减的数列.所以a 1,…,a 8为正,a 9,…,a n 为负, 且S 1,…,S 15>0,S 16,…,S n <0, 则1515S a <0,…, 1010S a <0, 99S a <0, 88S a >0,…, 11Sa >0, 又S 8>S 1,a 1>a 8, 所以88S a >11S a >0, 所以最大的项为88S a . 答案:D2.(2012青岛高三期末检测)在等差数列{a n }中,已知a 1=-6,a n =0,公差d ∈N *,则n(n ≥3)的最大值为( ) (A)7 (B)6 (C)5 (D)8 解析:a n =a 1+(n-1)d=0, ∴d=61n -, 又d ∈N *,∴n(n ≥3)的最大值为7.答案:A3.(2012安徽质检)在等差数列{a n }中,a 1=13,S 3=S 11,试求S n 的最大值. 解:法一 等差数列的前n 项和可以看做是关于n 的二次函数.∵S 3=S 11,3112+=7, ∴n=7时,S n 最大.又由S 3=S 11得a 4+a 5+…+a 11=0, ∴4(a 7+a 8)=0,又a 1=13, 从而可知d=-2,∴S 7=49,即S n 的最大值为49. 法二 由已知得d=-2. 设等差数列的前n 项和最大,可知10,0,n n a a +≥⎧⎨≤⎩∴132≤n ≤152, 由n ∈N *可知n=7时,S n 最大. S 7=7a 1+762⨯×d=49,故S n 的最大值是49. 考点三 等差数列与其他知识的综合应用1.(2011泉州模拟)“点P n (n,a n )(n ∈N *)都在直线y=x+1上”是“数列{a n }为等差数列”的( )(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若a n =n+1,则{a n }为等差数列,反之显然不成立,故选A. 答案:A2.(2011广东梅县模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若OB =a 1OA +a 200OC ,且A 、B 、C 三点共线(该直线不经过点O),则S 200等于( )(A)100 (B)101 (C)200 (D)201解析:∵OB =a 1OA +a 200OC ,且A 、B 、C 三点共线, ∴a 1+a 200=1. ∴S 200=()12002002a a +=100.答案:A3.(2012安徽江南十校联考)已知函数f(x)=cos x,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1、x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3、x4,若把这四个数从小到大排列构成等差数列,则实数m等于( )(A)12(B)-12(C)2(D)-2解析:简图如图所示,若m>0,则公差d=3π2-π2=π,显然不成立,所以m<0.则公差d=3ππ223-=π3.所以m=cos(π2+π3)=-2.答案:D4.(2012安徽皖南八校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n 项和为S n(n∈N*),a1=3,S3=39.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若在a n与a n+1之间插入n个数,使得这n+2个数组成一个公差为d n 的等差数列,求1nd⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和T n.解:(1)设等比数列{a n}的公比为q(q>0),∵a1=3,S3=39,∴q≠1,∴()3311q q--=39,∴1+q+q 2=13,q 2+q-12=0, ∴q=3,q=-4(舍去). 故a n =3n.(2)∵a n =3n ,则a n+1=3n+1,由题意知a n+1=a n +(n+1)d n ,则d n =231nn ⋅+.则1n d =123nn +⋅, 所以T n =11d +21d +…+1n d =223⨯+2323⨯+…+123n n +⨯① 13T n =2323⨯+3323⨯+…+1123n n ++⨯② ①-②得23T n =13+12(213+313+…+13n )-1123n n ++⨯ =13+12×111193113n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦--1123n n ++⨯ =512-12243n n ++⨯, 所以T n =58-5283nn+⨯.综合检测1.(2012福建师大附中模拟)已知等差数列{a n }的前13项之和为39,则a 6+a 7+a 8等于( ) (A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:∵S 13=13a 7=39, ∴a 7=3,又a 6+a 7+a 8=3a 7=9,故选B. 答案:B2.(2013北京海淀区期末)数列{a n }满足a 1=1,a n+1=r ·a n +r(n ∈N *,r ∈R 且r ≠0),则“r=1”是“数列{a n }成等差数列”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:若r=1,则a n+1=a n +1, 即a n+1-a n =1,所以数列{a n }成等差数列.若数列{a n }成等差数列,设公差为d,则a n+1-a n =r ·a n +r-(r ·a n-1+r)=r(a n -a n-1), 即d=dr,若d ≠0,则r=1, 若d=0,则a n+1=a n =a 1=1, 即1=r+r=2r, 此时r=12.所以r=1是数列{a n }成等差数列的充分不必要条件.答案:A3.(2012滨州模拟)已知由正项组成的等差数列{a n }的前20项的和是100,那么a 6·a 15的最大值是( ) (A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在解析:由已知得()120202a a +=100,∴a 1+a 20=10. 已知a n >0, 则a 6·a 15≤(6152a a +)2=1202a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭2=102⎛⎫ ⎪⎝⎭2=25. 答案:A4.(2012东莞一模)设{lg a n }是等差数列,公差d=lg 3,且{lg a n }的前三项和为6lg 3,则{a n }的通项为 . 解析:由已知得lg a 1+lg a 1+lg 3+lg a 1+2lg 3=6lg 3. ∴lg 31a =3lg 3, 31a =33, ∴a 1=3,故{lg a n }是首项为lg 3,公差为lg 3的等差数列, ∴lg a n =lg 3+(n-1)lg 3=nlg 3, ∴a n =3n. 答案:a n =3n5.(2012徐州检测)设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和,且S 9=18,S n =240,若a n-4=30(n>9),则n= . 解析:设{a n }的首项为a 1,公差为d,由已知得()()11198918,21240,2530,a d n n na d a n d ⨯⎧+=⎪⎪-⎪+=⎨⎪⎪+-=⎪⎩ 即 ()11142, 1240,2530,a d n a d n a n d +=⎧⎪-⎪+=⎨⎪⎪+-=⎩①②③③-①得(n-9)d=28, 由③-②得()92n d -=30-240n,则n=15.答案:156.(2012琼海一模)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前6项和为60,且a 6为a 1和a 21的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n+1-b n =a n (n ∈N *),且b 1=3,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0),则()()1211161560,205,a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得12,5,d a =⎧⎨=⎩ ∴a n =2n+3. (2)由b n+1-b n =a n 知b n -b n-1=a n-1(n ≥2,n ∈N *),b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1 =a n-1+a n-2+…+a 1+b 1 =(n-1)(n-1+4)+3 =n(n+2).∴b n =n(n+2)(n ∈N *). ∴1n b =()12n n +=12(1n -12n +), ∴T n =12(1-13+12-14+…+1n -12n +) =12(32-11n +-12n +)=()()235412n n n n +++.。

高考数学备考训练-等差数列

高考数学备考训练-等差数列

高考数学备考训练-等差数列一、选择题1.(2010·重庆卷,文)在等差数列{a n }中,a 1+a 9=10,则a 5的值为( ) A .5 B .6 C .8 D .10 答案 A解析 依题意得a 1+a 9=2a 5=10,a 5=5,选A.2.在等差数列{a n }中,a 2+a 6=3π2,则sin(2a 4-π3)=( )A.32B.12C .-32D .-12答案 D解析 ∵a 2+a 6=3π2,∴2a 4=3π2,∴sin(2a 4-π3)=sin(3π2-π3)=-cos π3=-12,选D.3.(2011·合肥质检)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 4=9,S 3=15,则数列{a n }的通项a n =( )A .2n -3B .2n -1C .2n +1D .2n +3 答案 C解析 由{ a 4=9S 3=15⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+3d =93a 1+3d =15⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3d =2,所以通项a n =2n +1.4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m -1+a m +1-2a 2m =0,S 2m -1=39,则m =( ) A .38 B .39 C .20 D .19 答案 C解析 ∵a m -1+a m +1=2a 2m 又∵a m -1+a m +1=2a m ∴a m =1或0(舍去) ∵S 2m -1=(2m -1)(a 1+a 2m -1)2=(2m -1)a m∴(2m -1)a m =39,∴2m -1=39∴m =20.5.设{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则a 11+a 12+a 13=( )A .120B .105C .90D .75 答案 B解析 设公差为d 且d >0.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3=15a 1a 2a 3=80,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =5a 1(a 1+d )(a 1+2d )=80.解得a 1=2,d =3(∵d >0).∴a 11+a 12+a 13=3a 12=3(a 1+11d )=1056.若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ,T n ,已知S n T n =7n n +3,则a 5b 5等于( )A .7 B.23C.278D.214 答案 D解析 a 5b 5=2a 52b 5=a 1+a 9b 1+b 9=92(a 1+a 9)92(b 1+b 9)=S 9T 9=214.7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=6,a 3=4,则公差d 等于( )A .1 B.53C .2D .3 答案 C解析由⎩⎨⎧3(a 1+4)2=6a 1+2d =4,解得d =2.二、填空题8.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,且a 4=15,S 5=55,则过点P (3,a 3)、Q (4,a 4)的直线的斜率是________.解析 设数列{a n }的公差为d ,则依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=a 1+3d =15S 5=5a 1+10d =55⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3d =4,故直线PQ 的斜率为a 4-a 34-3=d1=4.9.已知数列{a n }中,a 3=2,a 5=1,若{11+a n}是等差数列,则a 11=________.答案 0解析 记b n =11+a n,则b 3=13,b 5=12,数列{b n }的公差为12×(12-13)=112,b 1=16,∴b n=n +112,即11+a n =n +112,∴a n =11-n n +1,故a 11=0. 10.等差数列{a n }中,S n 是其前n 项和,a 1=-2010,S 20092009-S 20072007=2,则S 2010的值为________.答案 -2010解析 在等差数列{a n }中,设公差为d ,则S n n =na 1+n2(n -1)dn =a 1+d 2(n -1),∴S 20092009-S 20072007=a 1+d 2×2008-a 1-d2×2006=d =2,∴S 2010=-2010×2010+2010×20092×2=-2010×2010+2010×2009=-2010.11.方程(x 2-x +m )(x 2-x +n )=0有四个不等实根,且组成一个公差为12的等差数列,则mn 的值为________.答案 -15256解析 设四个根组成的等差数列为x 1,x 2,x 3,x 4,根据等差数列的性质,则有x 1+x 4=x 2+x 3=1∴2x 1+3d =1,又d =12,∴x 1=-14∴x 2=14,x 3=34,x 4=54∴mn =(x 1x 4)(x 2x 3)=-1525612.(2010·浙江卷,文)在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,答案 n 2+n解析 第n 行的第一个数是n ,第n 行的数构成以n 为公差的等差数列,则其第n +1项为n +n ·n =n 2+n .13.(2010·苏北四市调研)已知数列{a n }共有m 项,记{a n }的所有项和为S (1),第二项及以后所有项和为S (2),第三项及以后所有项和为S (3),…,第n 项及以后所有项和为S (n ),若S (n )是首项为1,公差为2的等差数列的前n 项和,则当n <m 时,a n =________.答案 -2n -1解析 由题意得S (n )=a n +…+a m =n ×1+n (n -1)2×2=n 2,当n <m 时,S (n +1)=a n +1+…+a m =(n +1)2.故a n =S (n )-S (n +1)=n 2-(n +1)2=-2n -1.三、解答题14.在编号为1~9的九个盒子中,共放有351粒米,已知每个盒子都比前一号盒子多放同样粒数的米.(1)如果1号盒子内放了11粒米,那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米? (2)如果3号盒子内放了23粒米,那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几米粒? 答案 (1)7 (2)8解析 1~9号的九个盒子中米的粒数依次组成等差数列{a n } (1)a 1=11,S 9=351,求得:d =7 (2)a 3=23,S 9=351,求得:d =815.(2010·浙江卷,文)设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0.(1)若S 5=5,求S 6及a 1; (2)求d 的取值范围.解析 (1)由题意知S 6=-15S 5=-3,a 6=S 6-S 5=-8,所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1+10d =5,a 1+5d =-8.解得a 1=7,所以S 6=-3,a 1=7.(2)因为S 5S 6+15=0,所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 21+9da 1+10d 2+1=0,故(4a 1+9d )2=d 2-8,所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤-22或d ≥2 2.16.设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数,前n 项和为S n . (1)若a 11=0,S 14=98,求数列{a n }的通项公式;(2)若a 1≥6,a 11>0,S 14≤77,求所有可能的数列{a n }的通项公式. 答案 (1)a n =22-2n(2)a n =12-n 和a n =13-n解 (1)由S 14=98得2a 1+13d =14, 又a 11=a 1+10d =0,故解得d =-2,a 1=20. 因此{a n }的通项公式是a n =22-2n ,n =1,2,3,…. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧S 14≤77a 11>0a 1≥6,得⎩⎨⎧2a 1+13d ≤11a 1+10d >0a 1≥6,即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+13d ≤11 ①-2a 1-20d <0, ②-2a 1≤-12 ③由①+②得-7d <11,即d >-117.由①+③得13d ≤-1,即d ≤-113.于是-117<d ≤-113.又d ∈Z ,故d =-1.④ 将④代入①②得10<a 1≤12. 又a 1∈Z ,故a 1=11或a 1=12. 所以所有可能的数列{a n }的通项公式是a n =12-n 和a n =13-n ,n =1,2,3,….1.在数列{an }中,a 1=15,3an +1=3an -2(n ∈N*),则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )A .a 21·a 22B .a 22·a 23C .a 23·a 24D .a 24·a 25 答案 C解析 由3an +1=3an -2 ,得an +1=an -23,即数列{an }是以a 1=15为首项,-23为公差的等差数列,所以an =15-23(n -1)=47-2n 3,可得a 23>0,a 24<0,即得a 23·a 24<0,故选C.2.(09·安徽)已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20等于( )A .-1B .1C .3D .7 答案 B解析 两式相减,可得3d =-6,d =-2.由已知可得3a 3=105,a 3=35,所以a 20=a 3+17d =35+(-34)=1.3.(2011·《高考调研》原创题)已知A n ={x |2n <x <2n+1且x =7m +1,m ,n ∈N },则A 6中各元素的和为( )A .792B .890C .891D .990 答案 C解析 ∵A 6={x |26<x <27且x =7m +1,m ∈N }, \∴A 6的元素x =各数成一首项为71,公差为7的等差数列,∴71+78+…+127=71×9+9×82×7=8914.(2010·盐城)已知等差数列{a n }的前20项的和为100,那么a 7·a 14的最大值是________. 答案 25解析 方法一 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由题意:20a 1+20×192×d =100,即a 1=5-9.5d ,又a 7·a 14=(a 1+6d )(a 1+13d )=(6d +5-9.5d )(5-9.5d +13d )=25-12.25d 2 所以a 7·a 14的最大值为25. 方法二 ∵a 7+a 14=10,∴a 7·a 14≤(a 7+a 142)2=25.5.在等差数列{an }中,Sn 是它的前n 项的和,且S 6<S 7,S 7>S 8.有下列四个命题: ①此数列的公差d <0; ②S 9一定小于S 6;③a 7是各项中最大的一项; ④S 7一定是Sn 中的最大值.其中正确命题的序号是________. 答案 ①②④解析 ∵S 6<S 7 ∴a 7>0 ∵S 7>S 8 ∴a 8<0∴d <0,∴S 9-S 6=a 7+a 8+a 9=3a 8<0n =7时,Sn 最大. 6.将等差数列3,8,13,18,…按顺序抄在练习本上,已知每行抄13个数,每页抄21行.求数33333所在的页和行.解析 a 1=3,d =5,a n =33333,∴33333=3+(n -1)×5,∴n =6667,可得a n 在第25页,第9行.1.(06·重庆)若{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A .4005B .4006C .4007D .4008答案 B解析 解法一:S 4006=4006(a 1+a 4006)2=2003(a 2003+a 2004)>0. ∵a 2003>0,a 2004<0. ∴S 4007=4007a 2004<0.∴4006是S n >0的最大自然数.解法二:a 1>0,a 2003+a 2004>0且a 2003·a 2004<0 ∴a 2003>0且a 2004<0. ∴S 2003为S n 中的最大值. ∵S n 是关于n 的二次函数.∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小. ∴40072在对称轴右侧. ∴4006在抛物线与x 轴右交点的左侧,4007、4008都在其右侧.∴S n >0中最大的自然数是4006.2.在等差数列{a n }中,满足3a 4=7a 7,且a 1>0,S n 是数列{a n }前n 项的和.若S n 取得最大值,则n =________.答案 9解析 设公差为d ,由题设,3(a 1+3d )=7(a 1+6d ),解得d =-433a 1<0,解不等式a n >0,即a 1+(n -1)(-433a 1)>0,得n <374,则n ≤9.当n ≤9时,a n >0.同理,可得当n ≥10时,a n <0. 故当n =9时,S n 取得最大值.3.(2010·江苏卷,理)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n .已知2a 2=a 1+a 3,数列{S n }是公差为d 的等差数列.求数列{a n }的通项公式(用n ,d 表示).解析 由题设知,S n =S 1+(n -1)d =a 1+(n -1)d ,则当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(S n-S n -1)(S n +S n -1)=2d a 1-3d 2+2d 2n .由2a 2=a 1+a 3,得2(2d a 1+d 2)=a 1+2d a 1+3d 2,解得a 1=d . 故当n ≥2时,a n =2nd 2-d 2.又a 1=d 2,所以数列{a n }的通项公式为a n =(2n -1)d 2.4.数列{a n }满足a 1=1,a n +1=(n 2+n -λ)a n (n =1,2,…),λ是常数. (1)当a 2=-1时,求λ及a 3的值;(2)数列{a n }是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,请说明理由; 解 (1)由于a n +1=(n 2+n -λ)a n (n =1,2,…),且a 1=1, 所以当a 2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3. 从而a 3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)数列{a n }不可能为等差数列.证明如下: 由a 1=1,a n +1=(n 2+n -λ)a n 得a 2=2-λ,a 3=(6-λ)(2-λ),a 4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 若存在λ,使{a n }为等差数列,则a 3-a 2=a 2-a 1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.于是a 2-a 1=1-λ=-2,a 4-a 3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24,这与{a n }为等差数列矛盾.所以,对任意λ,{a n }都不可能为等差数列. 5.已知等差数列{a n }中,公差d >0,其前n 项和为S n ,且满足:a 2·a 3=45,a 1+a 4=14. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)通过公式b n =S nn +c 构造一个新的数列{b n },若{b n }也是等差数列,求非零常数c ;(3)求f (n )=b n(n +25)·b n +1(n ∈N *)的最大值.解析 (1){a n }为等差数列, ∴a 1+a 4=a 2+a 3=14,又a 2·a 3=45. ∴a 2,a 3是方程x 2-14x +45=0的两实根. 又公差d >0,∴a 2<a 3,∴a 2=5,a 3=9.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =5a 1+2d =9⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1d =4.∴a n =4n -3. (2)由(1)知,S n =n ·1+n (n -1)2·4=2n 2-n ,∴b n =S n n +c =2n 2-n n +c .∴b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c .又{b n }也是等差数列,∴b 1+b 3=2b 2. 即2·62+c =11+c +153+c ,解得c =-12(c =0舍去).∴b n =2n 2-nn -12=2n .易知{b n }是等差数列,故c =-12.(3)f (n )=2n (n +25)·2(n +1)=nn 2+26n +25=1n +25n+26≤1225+26=136.当且仅当n =25n ,即n =5时取等号,∴f (n )max =136.。

高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)一、单选题1.若3与13的等差中项是4与m 的等比中项,则m =( ) A .12B .16C .8D .202.在等差数列{}n a 中,49a =,且2410,,a a a 构成等比数列,则公差d 等于( ) A .3-B .0C .3D .0或33.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7614,10S a ==,则{}n a 的公差为( ) A .4B .3C .2D .14.已知数列{}n a ,{}n b 均为等差数列,且125a =,175b =,22120a b +=,则3737a b +的值为( ) A .760B .820C .780D .8605.在等差数列{an }中,若a 2+2a 6+a 10=120,则a 3+a 9等于( ) A .30B .40C .60D .806.在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌:“甲乙丙丁戊己庚,七人钱本不均平,甲乙念三七钱钞,念六一钱戊己庚,惟有丙丁钱无数,要依等第数分明,请问先生能算者,细推详算莫差争.”题意是:“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人,他们手里钱不一样多,依次成等差数列,已知甲、乙两人共237钱,戊、己、庚三人共261钱,求各人钱数.”根据上题的已知条件,戊有( ) A .107钱B .102钱C .101钱D .94钱7.已知数列{an }是首项为1a ,公差为d 的等差数列,前n 项和为Sn ,满足4325a a =+,则S 9=( ) A .35B .40C .45D .50 8.正项等比数列{}n a 中,5a ,34a ,42a -成等差数列,若212a =,则17a a =( ) A .4B .8C .32D .649.已知{}n a 是公差不为零的等差数列,2414a a +=,且126,,a a a 成等比数列,则公差为( ) A .1B .2C .3D .410.设等差数列{}n a 的公差为d ,10a >,则“50a >”是“0d >”的( )A .充要条件B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件11.设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ,若3710a a += ,则9S = ( ) A .22.5B .45C .67.5D .9012.在等差数列{}n a 中n S 为前n 项和,7624a a =- ,则9S =( ) A .28 B .30C .32D .36二、填空题13.记n S 为等差数列{n a }的前n 项和,若24a =,420S =,则9a =_________.14.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4a ,5S ,{}750S ∈-,,则n S 的最小值为__________.15.已知数列{}n a 中,11a =,()1121n n n n a a n a na ++⋅=+-,则通项公式n a =______. 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若30a =,636S S =+,则7S =_____. 三、解答题17.已知等差数列{}n a 满足32a =,前4项和47S =. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设等比数列{}n b 满足23b a =,415b a =,数列{}n b 的通项公式.18.已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值,且3718a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .19.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+. (1)证明:{}n a 是等差数列;(2)若479,,a a a 成等比数列,求n S 的最小值.20.已知在n的展开式中,前3项的系数成等差数列,求:(1)展开式中二项式系数最大项的项; (2)展开式中系数最大的项; (3)展开式中所有有理项.21.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知535S =,且4a 是1a 与13a 的等比中项,数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+.(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式; (2)若14a <,对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤---恒成立,求实数λ的最小值.22.这三个条件中任选一个,补充在下面题目条件中,并解答.①25a =,()11232,n n n S S S n n *+--+=≥∈N ;②25a =,()111322,n n n n S S S a n n *+--=--≥∈N ;③()132,12n n S S n n n n *--=≥∈-N . 问题:已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,且___________.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)已知n b 是n a 、1n a +的等比中项,求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T参考答案1.B2.D3.A4.B5.C7.C8.D9.C10.B11.B12.D 13.18 14.6- 15.21nn - 16.717.(1)设等差数列{}n a 首项为1a ,公差为d .∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得:1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+(2)设等比数列{}n b 首项为1b ,公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得:24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩ ∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18.(1)根据题意得,13331log 15log 10log 42a =-+333331533log log log log 2log 211022⎛⎫=+=+=⨯= ⎪⎝⎭,因为数列{}n a 是等差数列,设公差为d ,则由3718a a +=,得112618a d a d +++=,解得2d =,所以()11221n a n n =+-⨯=-.(2)由(1)可得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 19.(1)因为221nn S n a n +=+,即222n n S n na n+=+①,当2n ≥时,()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②,①-②得,()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----, 即()12212211n n n a n na n a -+-=--+,即()()()1212121n n n a n a n ----=-,所以11n n a a --=,2n ≥且N*n ∈, 所以{}n a 是以1为公差的等差数列. (2)[方法一]:二次函数的性质由(1)可得413a a =+,716a a =+,918a a =+,又4a ,7a ,9a 成等比数列,所以2749a a a =⋅,即()()()2111638a a a +=+⋅+,解得112a =-,所以13n a n =-,所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭, 所以,当12n =或13n =时,()min 78n S =-. [方法二]:【最优解】邻项变号法由(1)可得413a a =+,716a a =+,918a a =+,又4a ,7a ,9a 成等比数列,所以2749a a a =⋅,即()()()2111638a a a +=+⋅+,解得112a =-, 所以13n a n =-,即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时,()min 78n S =-. 20.(1)n展开式的通项公式为1C kn kk k nT -+=⋅3561C 2n kk n k x -=,依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅,即2C 4(1)n n =-,得8n =,所以8的展开式有9项,二项式系数最大的项为5项,所以22433584135C 28T x x ==. (2)由(1)知,2456181C 2kk k k T x -+=,设展开式中系数最大的项为第1k +项,则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩,即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩,即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩,解得23k ≤≤,所以2k =或3k =, 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x . (3)由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知,2456k -为整数,得0k =,6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21.(1)设等差数列{}n a 的公差为d , 由535S =得151035a d +=, 因为4a 是1a 与13a 的等比中项,所以()()2111312a d a a d +=+.化简得172a d =-且2123a d d =,解方程组得17,0a d ==或13,2a d==.故{}n a 的通项公式为7n a =或21n a n =+(其中N n *∈);因为245n T n n =+,所以214(1)5(1)n T n n -=-+-,(2)n ≥,所以22145[4(1)5(1)]81n n n b T T n n n n n -=-=+--+-=+,因为119b T ==,满足上式,所以()81N n b n n *=+∈;(2)因为14a <,所以21n a n =+, 所以(2)n S n n =+,所以221114488141n n S b n n n n ==-+---,所以22211221111114442141(2)1n n S b S b S b n +++=+++------1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭, 易见111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随n 的增大而增大,从而11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭恒成立, 所以12λ≥,故λ的最小值为12.22.(1)解:选条件①时,25a =,1123n n n S S S +--+=,整理得()()113n n n n S S S S +----=,故13n n a a +-=(常数),且213a a -=, 所以数列{}n a 是以2为首项,3为公差的等差数列.故()13131n a a n n =+-=-;选条件②时,25a =,()*111322,n n n n S S S a n n +--=--≥∈N ,整理得()1112n n n n n S S S S a +---=--,故112n n n a a a +-+=,故数列{}n a 是等差数列,公差213d a a =-=,故()13131n a a n n =+-=-; 选条件③时,()*132,12n n S S n n n n --=≥∈-N ,且121S =, 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项,32为公差的等差数列,则()33121222n S n n n =+-=+,所以23122n S n n =+,则2n ≥时,131n n n a S S n -=-=-.又112311a S ===⨯-满足31n a n =-,所以31n a n =-,*n ∈N . (2)解:由(1)得:31n a n =-,由于n b 是n a 、1n a +的等比中项,所以()()213132n n n b a a n n +==-+⋅,则()()211111313233132n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 故()11111111113255831323232232n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭。

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题(含答案)

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题(含答案)

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题(含答案)一、基础知识:1、等差数列性质与等比数列性质:(1)若{}n a 为等差数列,0,1c c >≠,则{}na c成等比数列证明:设{}n a 的公差为d ,则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列(2)若{}n a 为正项等比数列,0,1c c >≠,则{}log c n a 成等差数列 证明:设{}n a 的公比为q ,则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题:例1:已知等比数列{}n a 中,若1324,,2a a a 成等差数列,则公比q =( ) A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路:由“1324,,2a a a 成等差数列”可得:3123122422a a a a a a =+⇒=+,再由等比数列定义可得:23121,a a q a a q ==,所以等式变为:22q q =+解得2q =或1q =−,经检验均符合条件 答案:B例2:已知{}n a 是等差数列,且公差d 不为零,其前n 项和是n S ,若348,,a a a 成等比数列,则( )A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路:从“348,,a a a 成等比数列”入手可得:()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++,整理后可得:2135a d d=−,所以135d a =−,则211305a d a =−<,且()2141646025a dS d a d =+=−<,所以B 符合要求答案:B小炼有话说:在等差数列(或等比数列)中,如果只有关于项的一个条件,则可以考虑将涉及的项均用1,a d (或1,a q )进行表示,从而得到1,a d (或1,a q )的关系例3:已知等比数列{}n a 中的各项均为正数,且510119122a a a a e +=,则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路:由等比数列性质可得:1011912a a a a =,从而51011912a a a a e ==,因为{}n a 为等比数列,所以{}ln n a 为等差数列,求和可用等差数列求和公式:101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案:50例4:三个数成等比数列,其乘积为512,如果第一个数与第三个数各减2,则成等差数列,则这三个数为___________ 思路:可设这三个数为,,a a aq q ,则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=,解得8a =,而第一个数与第三个数各减2,新的等差数列为82,8,82q q −−,所以有:()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭,即22252520q q q q+=⇒−+=,解得2q =或者12q =,2q =时,这三个数为4,8,16,当12q =时,这三个数为16,8,4 答案: 4,8,16小炼有话说:三个数成等比(或等差)数列时,可以中间的数为核心。

高考数学数学等差数列选择题专项训练的专项培优练习题(附解析

高考数学数学等差数列选择题专项训练的专项培优练习题(附解析

一、等差数列选择题1.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈,则下列判断正确的是( )A .22p p S p a =⋅B .p q m n a a a a >C .1111p q m na a a a +<+ D .1111p q m nS S S S +>+ 解析:D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误;利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误;利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误;利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠,故选项A 错误;对于B 选项,由于m p q n -=-,则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m n m n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2220q n n m d q n d =-----<,故选项B 错误;对于C 选项,由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅,故选项C 错误; 对于D 选项,设0x q n m p =-=->,则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<,从而pq mn <,由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++,故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--,故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=,由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+,故选项D 正确. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列中不等式关系的判断,在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ,并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断.2.在等差数列{}n a 中,25812a a a ++=,则{}n a 的前9项和9S =( ) A .36 B .48C .56D .72解析:A 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,得出54a =,再由等差数列前n 项和公式,即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列,25812a a a ++=, 所以5312a =,即54a =, 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选:A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 3.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25 B .11C .10D .9解析:D 【分析】利用等差数列的性质直接求解. 【详解】 因为131,5a a ==,315529a a a a =+∴=,故选:D .4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( ) A .48 B .60C .72D .24解析:A 【分析】根据条件列方程组,求首项和公差,再根据107891093S S a a a a -=++=,代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:102a d =⎧⎨=⎩, ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选:A5.在数列{}n a 中,129a =-,()*13n n a a n +=+∈N ,则1220a a a +++=( )A .10B .145C .300D .320解析:C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-,结合分组求和法即可得解。

高考数学一轮复习全套课时作业6-2等差数列

高考数学一轮复习全套课时作业6-2等差数列

题组层级快练 6.2等差数列一、单项选择题1.(2021·河北辛集中学月考)已知数列{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,若a 3=6,S 3=12,则公差d 等于()A .1B.53C .2D .32.(2017·课标全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为()A .1B .2C .4D .83.(2021·南昌市一模)已知{a n }为等差数列,若a 2=2a 3+1,a 4=2a 3+7,则a 5=()A .1B .2C .3D .64.(2020·西安四校联考)在等差数列{a n }中,a 2=5,a 7=3,在该数列中的任何两项之间插入一个数,使之仍为等差数列,则这个新等差数列的公差为()A .-25B .-45C .-15D .-355.(2020·安徽合肥二模)a 1=1,a 4=4,则a 10=()A .-45B .-54C.413D.1346.(2021·合肥市一检)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),a 5+a 7-a 62=0,则S 11的值为()A .11B .12C .20D .227.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 3S 6=13,则S 6S 12=()A.310B.13C.18D.198.(2021·福建高三质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 7+a 8+a 13=2π21,则tanS 14=()A .-33B.33C .-3D.39.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=9,S 99-S 55=-4,则S n 取最大值时的n 为()A .4B .5C .6D .4或510.(2021·沈阳二中模拟)《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:“一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”这首歌诀的大意是:“一位老公公有九个儿子,九个儿子从大到小排列,相邻两人的年龄差三岁,并且儿子们的年龄之和为207岁,请问大儿子多少岁,其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中,记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ,则a 3=()A .17B .29C .23D .3511.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为()A .13B .12C .11D .10二、多项选择题12.已知数列{a n }是公差不为0的等差数列,前n 项和为S n ,满足a 1+5a 3=S 8,下列选项正确的有()A .a 10=0B .S 10最小C .S 7=S 12D .S 20=0三、填空题与解答题13.等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S n T n =3n -12n +3,则a 10b 10=________.14.(2020·沈阳市模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 3=a 5,a m =2019,则m =________.15.设数列{a n }的各项都为正数,其前n 项和为S n ,已知对任意n ∈N *,S n 是a n 2和a n 的等差中项.(1)证明:数列{a n }为等差数列;(2)若b n =-n +5,求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值.16.已知A n ={x|2n <x<2n +1且x =7m +1,m ,n ∈N },则A 6中各元素的和为________.9个数构成一个首项为71,公差为7的等差数列.∴71+78+…+127=71×9+9×82×7=891.17.(2019·课标全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9=-a 5.(1)若a 3=4,求{a n }的通项公式;(2)若a 1>0,求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.6.2等差数列参考答案1.答案C解析由已知得S 3=3a 2=12,即a 2=4,∴d =a 3-a 2=6-4=2.2.答案C解析设等差数列{a n }的公差为d ,1+3d +a 1+4d =24,1+6×52d =48,1=-2,=4,故选C.3.答案B解析设数列{a n }的公差为d ,将题中两式相减可得2d =6,所以d =3,所以a 2=2(a 2+3)+1,解得a 2=-7,所以a 5=a 2+(5-2)d =-7+9=2.故选B.4.答案C解析∵{a n }的公差d =3-57-2=-25,∴新等差数列的公差d×12=-15.故选C.5.答案A解析由题意,得1a 1=1,1a 4=14,d =1a 4-1a 13=-14,由此可得1a n=1+(n -1)=-n 4+54,因此1a 10=-54,所以a 10=-45.故选A.6.答案D解析方法一:设等差数列的公差为d(d >0),则由(a 1+4d)+(a 1+6d)-(a 1+5d)2=0,得(a 1+5d)(a 1+5d -2)=0,所以a 1+5d =0或a 1+5d =2,又a 1>0,所以a 1+5d >0,则a 1+5d =2,则S 11=11a 1+11×102d =11(a 1+5d)=11×2=22.故选D.方法二:因为{a n }为正项等差数列,所以由等差数列的性质,并结合a 5+a 7-a 62=0,得2a 6-a 62=0,a 6=2,则S 11=11(a 1+a 11)2=11×2a 62=11a 6=22.故选D.7.答案A解析令S 3=1,则S 6=3,∴S 9=1+2+3=6.S 12=S 9+4=10,∴S 6S 12=310.故选A.8.答案D 9.答案B解析由{a n }为等差数列,设公差为d ,有S 99-S55=a 5-a 3=2d =-4,即d =-2,又a 1=9,所以a n =-2n+11,由a n =-2n +11<0,得n>112,所以S n 取最大值时n 为5.故选B.10.答案B解析依题意{a n }为等差数列,且d =-3,S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=207,∴a 5=23,∴a 3=a 5-2d =29.故选B.11.答案A解析因为a 1+a 2+a 3=34,a n -2+a n -1+a n =146,所以a 1+a 2+a 3+a n -2+a n -1+a n =34+146=180.又因为a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2,所以3(a 1+a n )=180,从而a 1+a n =60.所以S n =n (a 1+a n )2=n·602=390,即n =13.12.答案AC解析根据题意,数列{a n }是等差数列,若a 1+5a 3=S 8,即a 1+5a 1+10d =8a 1+28d ,变形可得a 1=-9d ,又由a n =a 1+(n -1)d =(n -10)d ,则有a 10=0,故A 一定正确;不能确定a 1和d 的符号,不能确定S 10最小,故B 不正确;又由S n =na 1+n (n -1)d 2=-9nd +n (n -1)d 2=d2×(n 2-19n),则有S 7=S 12,故C 一定正确;则S 20=20a 1+20×192d =-180d +190d =10d ,∵d ≠0,∴S 20≠0,则D 不正确.13.答案5641解析在等差数列中,S 19=19a 10,T 19=19b 10,因此a 10b 10=S 19T 19=3×19-12×19+3=5641.14.答案1010解析设公差为d ,由题知S 3=a 5,即3a 1+3d =a 1+4d ,得d =2a 1,又a 1=1,故d =2.于是a n =1+2(n -1)=2n -1,再由2m -1=2019,得m =1010.15.答案(1)证明见解析(2)当n=2或n=3时,{a n·b n}的最大值为6解析(1)证明:由已知可得2S n=a n2+a n,且a n>0,当n=1时,2a1=a12+a1,解得a1=1.当n≥2时,有2S n-1=a n-12+a n-1,所以2a n=2S n-2S n-1=a n2-a n-12+a n-a n-1,所以a n2-a n-12=a n+a n-1,即(a n+a n-1)(a n-a n-1)=a n+a n-1,因为a n+a n-1>0,所以a n-a n-1=1(n≥2).故数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)可知a n=n,设c n=a n·b n,则c n=n(-n+5)=-n2+5n+254,因为n∈N*,所以n=2或3,c2=c3=6,因此当n=2或n=3时,{a n·b n}取最大项,且最大项的值为6. 16.答案891解析∵A6={x|26<x<27且x=7m+1,m∈N},∴A6的元素有9个:71,78,85,92,99,106,113,120,127,9个数构成一个首项为71,公差为7的等差数列.∴71+78+…+127=71×9+9×82×7=891.17.答案(1)a n=10-2n(2){n|1≤n≤10,n∈N}解析(1)设{a n}的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{a n}的通项公式为a n=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故a n=(n-5)d,S n=n(n-9)d2.由a1>0知d<0,故S n≥a n等价于n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}.。

2023届高考数学复习:历年经典好题专项(等差数列)练习(附答案)

2023届高考数学复习:历年经典好题专项(等差数列)练习(附答案)

6 -1
=-1,a3=5,a4=4,∴a3a4=20.故选
6-1
当 a1=7,a6=2 时,d=
D.
6.C 把每段重量依次用 ai(i=1,2,…,20)表示,数列{an}是等差数列,由题意得





7.A 由已知


4,

2
1
1

1
3
3
两式相加得 a1+a20= (4+2)= ,所以 a10+a11=a1+a20= .故选 C.
.
围是
13.(历年浙江,11)我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列
是二阶等差数列.数列
( 1)
2
(n∈N*)的前 3 项和是
( 1)
2
.
14.在等差数列{an}中,a1=-8,a2=3a4.
(1)求数列{an}的通项公式;
4
(n∈N*),Tn 为数列{bn}的前
(14 )
(n∈N*),则该数列的通项公式为(
2
)
2
1
3

8.(多选)设{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,且 S7<S8,S8=S9>S10,则下列结论正确的是(
)
A.d<0
B.a9=0
C.S11>S7
D.S8,S9 均为 Sn 的最大值
9.(2018 北京,理 9)设{an}是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为
问各得几何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三
人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”这个问题中,戊所

高考数学的等差数列多选题专项训练及答案

高考数学的等差数列多选题专项训练及答案

高考数学的等差数列多选题专项训练及答案一、等差数列多选题1.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则50a >,60a <;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;C .若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;D .若89S S <,则78S S <. 解析:ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】对于A :因为正数,公差不为0,且100S =,所以公差0d <, 所以1101010()02a a S +==,即1100a a +=, 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=,又0d <, 所以50a >,60a <,故A 正确; 对于B :因为412S S =,则1240S S -=,所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=,又10a >, 所以890,0a a ><, 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>,116891616()16()022a a a a S ++===, 所以使0n S >的最大的n 为15,故B 正确; 对于C :因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>,则80a >, 116891616()16()022a a a a S ++===,则890a a +=,即90a <, 所以则{}n S 中8S 最大,故C 错误;对于D :因为89S S <,则9980S a S =->,又10a >, 所以8870a S S =->,即87S S >,故D 正确, 故选:ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题.2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( )A .a 6>0B .2437d -<<- C .S n <0时,n 的最小值为13 D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 解析:ABCD 【分析】S 12>0,a 7<0,利用等差数列的求和公式及其性质可得:a 6+a 7>0,a 6>0.再利用a 3=a 1+2d =12,可得247-<d <﹣3.a 1>0.利用S 13=13a 7<0.可得S n <0时,n 的最小值为13.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中,n ≤6时,n n S a >0.7≤n ≤12时,n n S a <0.n ≥13时,n n S a >0.进而判断出D 是否正确. 【详解】∵S 12>0,a 7<0,∴()67122a a +>0,a 1+6d <0.∴a 6+a 7>0,a 6>0.∴2a 1+11d >0,a 1+5d >0, 又∵a 3=a 1+2d =12,∴247-<d <﹣3.a 1>0. S 13=()113132a a +=13a 7<0.∴S n <0时,n 的最小值为13.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中,n ≤6时,n n S a >0,7≤n ≤12时,n n S a <0,n ≥13时,n n S a >0.对于:7≤n ≤12时,nn S a <0.S n >0,但是随着n 的增大而减小;a n <0,但是随着n 的增大而减小,可得:nnS a <0,但是随着n 的增大而增大.∴n =7时,nnS a 取得最小值. 综上可得:ABCD 都正确. 故选:ABCD . 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.3.数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+,则下列说法正确的是( ) A .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n =C .数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D .数列{}n a 为递减数列解析:ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=,从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1,公差为2的等差数列,再依次判断选项即可.【详解】对选项A ,因为121nn n a a a +=+,11a =, 所以121112n n n n a a a a ++==+,即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1,公差为2的等差数列,故A 正确.对选项B ,由A 知:112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==,故B 正确.对选项C ,因为121n n a =-,所以121n a n =-,故C 错误. 对选项D ,因为121n a n =-,所以数列{}n a 为递减数列,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和,同时考查了递推公式,属于中档题.4.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大 B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大 C .310S S =D .当8n ≥时,0n a < 解析:AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >,80a <,即可求公差0d <,然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <,所以7670S S a -=> , 因为78S S >,所以8780S S a -=<, 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<, 所以{}n a 是递减数列,故1a 最大,选项A 正确;选项B 不正确;10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>,所以310S S ≠,故选项C 不正确;当8n ≥时,80n a a ≤<,即0n a <,故选项D 正确; 故选:AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ,属于基础题. 5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,且3201911111a a e e +≤++,则( ) A .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≥ B .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≤ C .当数列{}n a 为等比数列时,20210T > D .当数列{}n a 为等比数列时,20210T < 解析:AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++,构造函数()1112xf x e =-+,利用函数单调性可得320190a a +≥,再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++,可得32019111101212a a e e -+-≤++,令()1112x f x e =-+, ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++,所以()1112x f x e =-+是奇函数,且在R 上单调递减,所以320190a a +≥,所以当数列{}n a 为等差数列时,()320192*********a a S +=≥;当数列{}n a 为等比数列时,且3a ,1011a ,2019a 同号,所以3a ,1011a ,2019a 均大于零, 故()2021202110110T a =>.故选:AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列,考查逻辑推理能力,转化与化归的数学思想,属于中档题 6.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =C .95S S >D .6S 与7S 均为n S 的最大值解析:BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项:{}n a 是等差数列,若67S S =,则7670S S a -==,故B 正确;又由56S S <得6560S S a -=>,则有760d a a =-<,故A 错误; 而C 选项,95S S >,即67890a a a a +++>,可得()7820a a +>, 又由70a =且0d <,则80a <,必有780a a +<,显然C 选项是错误的. ∵56S S <,678S S S =>,∴6S 与7S 均为n S 的最大值,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质,需熟记公式,属于基础题. 7.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是( ) A .1055a = B .2020a 是偶数C .2020201820223a a a =+D .123a a a +++…20202022a a +=解析:AC 【分析】由该数列的性质,逐项判断即可得解. 【详解】对于A ,821a =,9211334a =+=,10213455a =+=,故A 正确;对于B ,由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数,故B 错误;对于C ,20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=,故C 正确; 对于D ,202220212020a a a =+,202120202019a a a =+,202020192018a a a =+,32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=,各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++, 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++,故D 错误. 故选:AC. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则( )A .80a <B .当且仅当n = 7时,n S 取得最大值C .49S S =D .满足0n S >的n 的最大值为12解析:ACD 【分析】由题可得16a d =-,0d <,21322n d d S n n =-,求出80a d =<可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出49,S S 可判断C ;令213022n d dS n n =->,解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则()5111122+4++100a a a d a d +==,解得16a d =-,10a >,0d ∴<,且()21113+222n n n d d S na d n n -==-, 对于A ,81+7670a a d d d d ==-+=<,故A 正确;对于B ,21322n d d S n n =-的对称轴为132n =,开口向下,故6n =或7时,n S 取得最大值,故B 错误; 对于C ,4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-,9138191822d d S d =⨯-⨯=-,故49S S =,故C 正确;对于D ,令213022n d dS n n =->,解得013n <<,故n 的最大值为12,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】方法点睛:由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,nS在1n =取最值.9.已知数列{}n a 是递增的等差数列,5105a a +=,6914a a ⋅=-.12n n n n b a a a ++=⋅⋅,数列{}n b 的前n 项和为n T ,下列结论正确的是( ) A .320n a n =-B .325n a n =-+C .当4n =时,n T 取最小值D .当6n =时,n T 取最小值解析:AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差,得到通项公式判断A 与B ;再求出n T ,由{}n b 的项分析n T 的最小值. 【详解】解:在递增的等差数列{}n a 中, 由5105a a +=,得695a a +=,又6914a a =-,联立解得62a =-,97a =, 则967(2)3963a a d ---===-,16525317a a d =-=--⨯=-. 173(1)320n a n n ∴=-+-=-.故A 正确,B 错误;12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负,第5项为正,第六项为负,第六项以后均为正. 而5610820b b +=-=>.∴当4n =时,n T 取最小值,故C 正确,D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列的求和,考查分析问题与解决问题的能力,属于中档题.10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则( ) A .若59S >S ,则150S > B .若59S =S ,则7S 是n S 中最大的项 C .若67S S >, 则78S S > D .若67S S >则56S S >.解析:BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断. 【详解】A 错:67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<;B 对:n S 对称轴为n =7;C 对:6770S S a >⇒<,又10a >,887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>;D 错:6770S S a >⇒<,但不能得出6a 是否为负,因此不一定有56S S >. 故选:BC . 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列的前n 项和性质,(1)n S 是关于n 的二次函数,可以利用二次函数性质得最值;(2)1n n n S S a -=+,可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小;(3)1()2n n n a a S +=,因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负. 11.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}F n ,则(){}F n 的通项公式为( )A .(1)1()2n n F n -+=B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C .()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D .()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦解析:BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,显然()()11,21F F ==,()()()3122F F F =+=,()()()4233F F F =+=,,()()()11,2F n F n F n n +=+-≥,所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==,即B 满足条件;由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥, 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以12+为首项,12+为公比的等比数列, 所以()()1nF n n +-=⎝⎭()11515()nF F nn-+=++,令1nn nFb-=⎝⎭,则11n nb+=+,所以1n nb b+=-,所以nb⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的等比数列,所以1nnb-+,所以()11152n n n nF n--⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=-⎪⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦;即C满足条件;故选:BC【点睛】考查等比数列的性质和通项公式,数列递推公式的应用,本题运算量较大,难度较大,要求由较高的逻辑思维能力,属于中档题.12.等差数列{}n a是递增数列,公差为d,前n项和为n S,满足753a a=,下列选项正确的是()A.0d<B .10a<C.当5n=时n S最小D.0nS>时n的最小值为8解析:BD【分析】由题意可知0d>,由已知条件753a a=可得出13a d=-,可判断出AB选项的正误,求出n S关于d的表达式,利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.【详解】由于等差数列{}n a是递增数列,则0d>,A选项错误;753a a=,则()11634a d a d+=+,可得130a d=-<,B选项正确;()()()22171117493222224 nn n dn n d n n dS na nd n d-⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,当3n=或4时,nS最小,C选项错误;令0nS>,可得270n n->,解得0n<或7n>.n N *∈,所以,满足0n S >时n 的最小值为8,D 选项正确.故选:BD.13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,218a =,512a =,则下列选项正确的是( ) A .2d =- B .122a =C .3430a a +=D .当且仅当11n =时,n S 取得最大值解析:AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-,进而计算即可得答案. 【详解】解:设等差数列{}n a 的公差为d , 则52318312a a d d =+=+=,解得2d =-.所以120a =,342530a a a a +=+=,11110201020a a d =+=-⨯=, 所以当且仅当10n =或11时,n S 取得最大值. 故选:AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算,前n 项和n S 的最值问题,是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况:(1)当10,0a d ><时,n S 有最大值,可以通过n S 的二次函数性质求解,也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定;(2)当10,0a d <>时,n S 有最小值,可以通过n S 的二次函数性质求解,也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定;14.已知数列{}n a 满足112a =-,111n n a a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )A .2-B .23C .32D .3解析:BD 【分析】根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论. 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-,111n n a a +=-,212131()2a ∴==--;32131a a ==-; 4131112a a a ==-=-; ∴数列{}n a 是周期为3的数列,且前3项为12-,23,3; 故选:BD . 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题.15.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4 B .-2C .0D .2解析:AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++,利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<,只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立,然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=,11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++, 则11111n n a a n n n n --=---,12111221n n a a n n n n ---=-----,,2111122a a -=-, 上述式子累加可得:111n a a n n -=-,122n a n n∴=-<,()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立,对A ,当4a =-时,不等式()()2540t t +-≤,解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,包含[]1,2,故A 正确;对B ,当2a =-时,不等式()()2320t t +-≤,解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,包含[]1,2,故B 正确;对C ,当0a =时,不等式()210t t +≤,解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,不包含[]1,2,故C 错误;对D ,当2a =时,不等式()()2120t t -+≤,解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,不包含[]1,2,故D 错误,故选:AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立,考查了转化与划归的思想,属于中档题. 16.设数列{}n a 满足1102a <<,()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立,则下列说法正确的是( ) A .2112a << B .{}n a 是递增数列 C .2020312a << D .2020314a << 解析:ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-,再利用导数判断出函数的单调性,利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-,1102a << 设()()ln 2f x x x =+-, 则()11122xf x x x-'=-=--, 所以当01x <<时,0f x,即()f x 在0,1上为单调递增函数, 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数,即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=, 所以()112f x << , 即11(2)2n a n <<≥, 所以2112a <<,2020112a <<,故A 正确;C 不正确; 由()f x 在0,1上为单调递增函数,112n a <<,所以{}n a 是递增数列,故B 正确;2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>,故D 正确 故选:ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用,属于难题.17.题目文件丢失!18.已知数列{}n a 是等差数列,前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是( ) A .7S 最小 B .130S =C .49S S =D .70a =解析:BCD 【分析】由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=,求出1a 与d 的关系,结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】设等差数列数列{}n a 的公差为d .由13522,a a S +=有()1112542252a a a d d ⨯+=++,即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176773212S a d a d d ⨯=+=+=-,无法判断其是否有最小值,故A 错误. 选项B. 113137131302a S a a +=⨯==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =,故C 正确. 故选:BCD 【点睛】关键点睛:本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用,解答本题的关键是由条件13522,a a S +=得到160a d +=,即70a =,然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,属于中档题.19.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68a =B .733S =C .135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D .22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 解析:ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确; 对B ,71123581333S =++++++=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-, 可得:135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=,故D 正确;故选:ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换. 20.已知数列{}2nna n +是首项为1,公差为d 的等差数列,则下列判断正确的是( ) A .a 1=3 B .若d =1,则a n =n 2+2n C .a 2可能为6D .a 1,a 2,a 3可能成等差数列解析:ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为1112a =+,1(1)2n n a n d n =+-+,所以a 1=3,a n =[1+(n -1)d ](n +2n ).若d =1,则a n =n (n +2n );若d =0,则a 2=6.因为a 2=6+6d ,a 3=11+22d ,所以若a 1,a 2,a 3成等差数列,则a 1+a 3=a 2,即14+22d =12+12d ,解得15d =-. 故选ACD。

高考数学专题三数列 微专题21 等差数列、等比数列

高考数学专题三数列 微专题21 等差数列、等比数列

设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,且q>0, 因为 S14=7(a10+3),则 14a1+14×2 13d=7(a1+9d+3),可得 a1+4d= 3,即 a5=3,
因为b5=b=16,则b1q4=(b1q)4=16,可得q=2,b1=1, 因为cn=an+bn, 所以T9=c1+c2+…+c9=(a1+a2+…+a9)+(b1+b2+…+b9) =a1+2 a9×9+b111--qq9=a5×9+11--229 =3×9+11--229=538.

由 a1+S11=67,得 12a1+11×2 10d=67,即 12a1+55d=67.

由①②解得a1=1,d=1,所以an=n, 于是a3a10=3×10=30,而a30=30,故a3a10是{an}中的第30项.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.(2023·武汉模拟)已知等比数列{an}满足a6=2,且a7,a5,a9成等差数列,
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,且 d>1.令 bn=n2a+n n, 记 Sn,Tn 分别为数列{an},{bn}的前 n 项和. ①若 3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
∵3a2=3a1+a3, ∴3d=a1+2d,解得a1=d, ∴S3=3a2=3(a1+d)=6d,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 a5-a3=12,a6-a4=24,则Sann等于
A.2n-1
√B.2-21-n
C.2-2n-1
D.21-n-1
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方法一 设等比数列{an}的公比为q, 则 q=aa65--aa43=2142=2. 由a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,得a1=1. 所以 an=a1qn-1=2n-1,Sn=a111--qqn=2n-1, 所以Sann=22n-n-11=2-21-n.
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一、等差数列选择题1.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺,20日共织布232尺,则该女子织布每日增加( )尺 A .47B .1629C .815D .452.等差数列{}n a 中,已知14739a a a ++=,则4a =( ) A .13B .14C .15D .163.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=,则7S =( ) A .10-B .8C .12D .144.定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ,又2n n a b =,则1223910111b b b b b b +++=( ) A .817 B .1021C .1123 D .9195.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n -B .nC .21n -D .2n6.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁”.现恰有30人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520),其中年长者年龄介于90至100,其余29人的年龄依次相差一岁,则最年轻者的年龄为( ) A .32B .33C .34D .357.已知等差数列{}n a 中,前n 项和215n S n n =-,则使n S 有最小值的n 是( )A .7B .8C .7或8D .98.已知等差数列{}n a 满足48a =,6711a a +=,则2a =( ) A .10B .9C .8D .79.南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为( ) A .161B .155C .141D .13910.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若5620a a +=,11132S =,则{}n a 的公差为( )A .2B .43C .4D .4-11.在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ,若数列{}n x 是等比数列,数列{}n y 是等差数列,则函数()y f x =的解析式可能是( ) A .3(4)f x x =+B .2()4f x x =C .3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .4()log f x x =12.已知等差数列{}n a 的公差d 为正数,()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数,则n a =( )A .21n -B .43n -C .54n -D .n13.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知58a =,36S =,则107S S -的值是( ) A .48B .60C .72D .2414.已知{}n a 是公差为2的等差数列,前5项和525S =,若215m a =,则m =( ) A .4B .6C .7D .815.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =.定义数列{}n b 如下:()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值,则13519 b b b b ++++=( )A .25B .50C .75D .10016.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且132a a +=,422a a -=,则5S =( ) A .21B .15C .10D .617.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<18.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若718a a a -<<-,则必定有( ) A .70S >,且80S < B .70S <,且80S > C .70S >,且80S >D .70S <,且80S <19.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7916+=a a ,则15S =( ) A .60B .120C .160D .24020.设n S 是等差数列{}n a (*n N ∈)的前n 项和,且141,16a S ==,则7a =( ) A .7B .10C .13D .16二、多选题21.(多选)在数列{}n a 中,若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列B .(){}1n- 是等方差数列C .{}2n是等方差数列.D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列22.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,则下列结论一定正确的是( ) A .100a = B .911a a = C .当9n =或10时,n S 取得最大值D .613S S =23.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的m ,*n N ∈,都有m n m n a a a +=+,则下列结论正确的是( )A .11285a a a a +=+B .56110a a a a <C .若该数列的前三项依次为x ,1x -,3x ,则10103a = D .数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 24.已知数列{}n a :1,1,2,3,5,…其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68S a = B .733S =C .135********a a a a a ++++= D .2222123202020202021a a a a a a ++++=25.公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =,n S 为{}n a 前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .110S =B .10n n S S -=(110n ≤≤)C .当110S >时,5n S S ≥D .当110S <时,5n S S ≥26.等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,151115,a S S ==,则以下正确的是( )A .1d =-B .413a a =C .n S 的最大值为8SD .使得0n S >的最大整数15n =27.在数列{}n a 中,若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列B .{(1)}n -是等方差数列C .若{}n a 是等方差数列,则{}()*,kn a k Nk ∈为常数)也是等方差数列D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 28.下列命题正确的是( )A .给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B .若等差数列{}n a 的公差0d >,则{}n a 是递增数列C .若a ,b ,c 成等差数列,则111,,a b c可能成等差数列 D .若数列{}n a 是等差数列,则数列{}12++n n a a 也是等差数列29.已知数列{}n a 满足:13a =,当2n ≥时,)211n a =-,则关于数列{}n a 说法正确的是( )A .28a =B .数列{}n a 为递增数列C .数列{}n a 为周期数列D .22n a n n =+30.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1718S S =,则下列各式的值为0的是( ) A .17aB .35SC .1719a a -D .1916S S -【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺,由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺, 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=, 解得45d =. 故该女子织布每天增加45尺. 故选:D 2.A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=,代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=, 所以1474339a a a a ++==,解得:413a =, 故选:A 3.D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ,再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=,则()177477142a a S a +=== 故选:D 4.D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和,然后利用前n 项和求解通项公式,最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得:12n n S n=,则:22n S n =, 当1n =时,112a S ==,当2n ≥时,142n n n a S S n -=-=-, 且14122a =⨯-=,据此可得 42n a n =-,故212nn a b n ==-,()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 据此有:12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选:D 5.B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组,求解出首项和公差,则等差数列{}n a 的通项公式可求.【详解】因为3518a S +=,633a a =+,所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩, 所以111a d =⎧⎨=⎩,所以()111n a n n =+-⨯=, 故选:B. 6.D 【分析】设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=,结合等差数列的求和公式得出111429m n =-,再由[]90,100m ∈求出n 的值.【详解】根据题意可知,这30个老人年龄之和为1520,设年纪最小者年龄为n ,年纪最大者为m ,[]90,100m ∈,则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=则有291114n m +=,则111429m n =-,所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤,因为年龄为整数,所以35n =. 故选:D 7.C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数,结合二次函数的图象与性质可以求解.【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭,∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点.又抛物线开口向上,以152x =为对称轴,且1515|7822-=-|, 所以当7,8n =时,n S 有最小值. 故选:C 8.A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ,进一步求得2a . 【详解】在等差数列{}n a 中,设公差为d ,由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩,24210a a d ∴=-=. 故选:A 9.B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ,根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得:3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ,解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选:B. 10.C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ,再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解:()11111611111322a a S a+⨯===,612a ∴=,又5620a a +=,58a ∴=,654d a a ∴=-=.故选:C . 11.D 【分析】把点列代入函数解析式,根据{x n }是等比数列,可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数,可判断出{y n }是等差数列. 【详解】对于A ,函数3(4)f x x =+上的点列{x n ,y n },有y n =43n x +,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于B ,函数2()4f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =24n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数,因此1n n y y +-=()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于C ,函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ,y n },有y n =3()4n x ,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=133()()44n n x x+-=33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,这是一个与n 有关的数,故{y n }不是等差数列;对于D ,函数4()log f x x =上的点列{x n ,y n },有y n =4log n x,由于{x n }是等比数列,所以1n nx x +为常数, 因此1n n y y +-=114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数,故{y n }是等差数列;故选:D . 【点睛】 方法点睛:判断数列是不是等差数列的方法:定义法,等差中项法. 12.A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项,由2132a a a =+列出方程,求出公差,利用等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】11a =,()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =,则()()121211a a t a +=+,解得21a t =-令2n =,则()()2322121a a t a +=+,即()2311t a t -=-,若1t =,则20,1a d ==,与已知矛盾,故解得31a t =+{}n a 等差数列,2132a a a ∴=+,即()2111t t -=++,解得4t =则公差212d a a =-=,所以()1121n a a n d n =+-=-.故选:A 13.A 【分析】根据条件列方程组,求首项和公差,再根据107891093S S a a a a -=++=,代入求值. 【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得:102a d =⎧⎨=⎩, ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选:A 14.A 【分析】由525S =求出1a ,从而可求出数列的通项公式,进而可求出m 的值 【详解】 解:由题意得15452252a ⨯+⨯=,解得11a =, 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-, 因为215m a =,所以22115m ⋅-=,解得4m =, 故选:A 15.B 【分析】先求得21n a n =-,根据n a m ≥,求得12m n +≥,进而得到21212k k b --=,结合等差数列的求和公式,即可求解. 【详解】由题意,等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =,可得21n a n =-,因为n a m ≥,即21n m -≥,解得12m n +≥, 当21m k =-,(*k N ∈)时,1mm b k m+=,即()()11212m m m mk m b m m +===++, 即21212k k b --=, 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选:B. 16.C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组,求解出1,a d 的值,再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】 因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩,所以122222a d d +=⎧⎨=⎩,所以101a d =⎧⎨=⎩,所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=, 故选:C. 17.D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选:D. 18.A 【分析】根据已知条件,结合等差数列前n 项和公式,即可容易判断. 【详解】依题意,有170a a +>,180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选:A . 19.B 【分析】利用等差数列的性质,由7916+=a a ,得到88a =,然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ,所以由等差数列的性质得978216a a a +==, 解得88a =, 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=. 故选:B 20.C【分析】由题建立关系求出公差,即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,141,16a S ==,41464616S a d d ∴=+=+=,2d ∴=, 71613a a d ∴=+=.故选:C二、多选题21.BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}na 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n aa ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确;对于C ,数列{}2n 中,()()22221112234n n n n n a a ----=-=⨯不是常数,{}2n ∴不是等方差数列,故C 错误; 对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BD. 【点睛】关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断. 22.ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-,结合等差数列的性质,逐一判断即可得出结论. 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,∴()111875282a a d a d ⨯++=+,解得19a d =-, 故10190a a d =+=,故A 正确;∵918a a d d d =+=-=,11110a a d d =+=,故有911a a =,故B 正确; 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ,它的最值,还跟d 的值有关,故C 错误; 由于61656392S a d d ⨯=+=-,131131213392S a d d ⨯=+=-,故613S S =,故D 正确, 故选:ABD. 【点睛】思路点睛:利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简,直接根据性质判断结果. 23.AC 【分析】令1m =,则11n n a a a +-=,根据10a >,可判定A 正确;由256110200a a a a d -=>,可判定B 错误;根据等差数列的性质,可判定C 正确;122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,根据02>d ,可判定D 错误. 【详解】令1m =,则11n n a a a +-=,因为10a >,所以{}n a 为等差数列且公差0d >,故A 正确;由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>,所以56110a a a a >,故B错误;根据等差数列的性质,可得()213x x x -=+,所以13x =,213x -=, 故1011109333a =+⨯=,故C 正确; 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭,因为02>d ,所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列,故D 错误. 故选:AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法;1、作差比较法:根据1n n a a +-的符号,判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列;2、作商比较法:根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系,进行判定; 3、数形结合法:结合相应的函数的图象直观判断. 24.BCD 【分析】根据题意写出8a ,6S ,7S ,从而判断A ,B 的正误;写出递推关系,对递推关系进行适当的变形,利用累加法即可判断C ,D 的正误. 【详解】对A ,821a =,620S =,故A 不正确; 对B ,761333S S =+=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,…,202120222020a a a =-,可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=,故C 正确;对D ,该数列总有21n n n a a a ++=+,2121a a a =,则()222312321a a a a a a a a =-=-, ()233423423a a a a a a a a =-=-,…,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-, 22019a =2019202020192018a a a a -,220202020202120202019a a a a a =-, 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=,故D 正确.故选:BCD 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是对CD 的判断,即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 25.BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =,解得192a d =-,然后逐项判断.【详解】 设公差d 不为零, 因为38a a =,所以1127a d a d +=+, 即1127a d a d +=--, 解得192a d =-,11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭,故A 错误;()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n dd na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-,故B 正确;若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭,解得0d >,()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥,故C 正确;D 错误; 故选:BC 26.BCD 【分析】 设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩,再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意,1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩,所以1215d a =-⎧⎨=⎩,故A 错误; 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-,所以413a a =,故B 正确; 因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+,所以当且仅当8n =时,n S 取最大值,故C 正确; 要使()28640n S n =--+>,则16n <且n N +∈, 所以使得0n S >的最大整数15n =,故D 正确. 故选:BCD. 27.BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故{}n a 不是等方差数列,故A 错误;对于B ,数列(){}1n-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方差数列,故B 正确;对于C ,数列{}n a 中的项列举出来是,1a ,2a ,,k a ,,2k a ,数列{}kn a 中的项列举出来是,k a ,2k a ,3k a ,,()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=,将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k k k k k k k k a a a a a a a a kp +++++--+-+-++-=,222k k a a kp ∴-=,()221kn k n a a kp +∴-=,{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列,故C 正确; 对于D ,{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列,()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,2210n n a a --=是常数,故D 正确.故选:BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,属于中档题. 28.BCD 【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误. 【详解】A 选项:给出数列的有限项不一定可以确定通项公式;B 选项:由等差数列性质知0d >,{}n a 必是递增数列;C 选项:1a b c ===时,1111a b c===是等差数列,而a = 1,b = 2,c = 3时不成立; D 选项:数列{}n a 是等差数列公差为d ,所以11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列;故选:BCD 【点睛】本题考查了等差数列,利用等差数列的性质判断选项的正误,属于基础题. 29.ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=,公差为1的等差数列,结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=,1=,即数列2=,公差为1的等差数列,2(1)11n n =+-⨯=+,∴22n a n n =+,得28a =,由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列,所以易知ABD 正确,故选:ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式,通过通项公式研究数列的函数性质,属于中档题. 30.BD 【分析】 由1718S S =得180a =,利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确;;根据351835S a =可知 B 正确;根据171920a a d -=-≠可知C 不正确;根据19161830S S a -==可知D 正确. 【详解】因为1718S S =,所以18170S S -=,所以180a =,因为公差0d ≠,所以17180a a d d =-=-≠,故A 不正确;13518351835()35235022a a a S a +⨯====,故B 正确; 171920a a d -=-≠,故C 不正确;19161718191830S S a a a a -=++==,故D 正确.故选:BD. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式,考查了等差数列的下标性质,属于基础题.。

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