控制系统的时域数学模型
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2-1控制系统的时域数学模型
(2)消去中间变量 i(t) (2) (t)
duo (t ) ui (t ) = RC + uo (t ) dt
(3)标准化
duo (t ) RC + uo (t ) = ui (t ) dt
例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
由基尔霍夫电压定律
机械力学系统的数学模型： 机械力学系统的数学模型：
d 2 y (t ) dy (t ) m + f + ky (t ) = F (t ) 2 dt dt
相似系统 相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。
小结
取一次近似， 取一次近似，且令
∆y( x) = y( x) − y( x0 ) ≈ −E0 sin x0 ⋅ ( x − x0 )
既有
∆y = −E0 sin x0 ⋅ ∆x
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。 试列写其线性化方程。 解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [θ0 ,ϕ0 ]
Class is over. ByeBye-bye!
式中：
T1 = R1C1
T2 = R2C2
T3 = R1C2
牛顿定律约束
机械系统
例3 一个由弹簧、质量、 阻尼器组成的做直线运动的 力学系统。图中，m为物体 的质量，k为弹簧系数，f为 粘性摩擦系数，F(t)为物体受 到的外作用力，y(t)为物体的 位移。试列写质量m在外力 F(t)作用下，位移y(t)的运动 方程。
元件约束
d 2uo (t ) duo (t ) R1C1 R2C2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) + uo (t ) = ui (t ) 2 dt dt dt
第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
自动控制原理第2章(2)
(3) 按信号流向将各框图连起来
Ur(s) + _ I1(s) 1/R1
Uc(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
方框图等效变换 基本连接方式：串联、并联、反馈 基本连接方式：串联、并联、
1.串联方框的等效变换 1.串联方框的等效变换
R(s) C(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s)
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控制系统的结构图与信号流图
例3 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s) 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)
H2(s) R(s)
_ _
G1(s)
G2(s)
_
G3(s) H3(s)
G4(s)
C(s)
H1(s)
解：①将G3(s)输出端的分支点后移得： (s)输出端的分支点后移得： 输出端的分支点后移得
x1 = xr gxc x2 = ax1 fx4 x3 = bx2 exc x4 = cx3 xc = dx4
xr x1
a x2 b -f
x3 c
-g
x4 d
-e
xc
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控制系统的结构图与信号流图
2、由系统结构图绘制信号流图 在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号， ①在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框， ②用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，得到支路
G(s) H(s)
R(s)
C(s) G(s) 1m G(s)H(s)
化简一般方法：移动分支点或相加点 化简一般方法： 交换相加点 合并
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型第章控制系统的数学模2-1 1 数学模型数学模型本书中主要介绍的几种系统模型图型：信号流程图数学模型描述系统行为特性的数学表达式模方块图信号程图数学模型：微分方程传递函数频率特性一、数学模型：描述系统行为特性的数学表达式。
是对实际物理系统的一种数学抽象。
模型各有特点，使用时可灵活掌握。
若分析研究系统的动态特性，取其数学模型比较方便；若分析研究系统的内部结构情况，取其物理模型比较直观；若两者皆有，则取其图模型比较合理。
11——1.1. 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型微分方程r(t)——输入量c(t)c(t)a dc(t)a c(t)d a d a ++++L L dr(t)r(t)d r(t)db 其中，(i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，b a r(t)b b ++++=L L b (,,,;j ,,)实,j i2——定定常条输的变2.2.控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型传递函数A. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：L[c(t)]G()式中C()L[(t)])s (C G(s)==式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式那么：C(s)=R(s)G(s)[R()G()][C()]()11[R(s)G(s)]L [C(s)]c(t)-1-1==推广到一般情况，系统时域数学模型——推广到般情况，系统时域数学模型微分方程：L L c(t)a a a a 011-n 1-n n n ++++r(t)b d b d d b -++++=L L b ()dt dtdt 011-m 1m m m L L R(s)b sR(s)b R(s)sb R(s)s b 01-1m m +++=a. 控制系统传递函数的一般表达形式:s −L L 传式011n n a s a s a a R(s)+++−b.b.表示成典型环节表达形式：111+++−s T s T s T s s R L )))()(21n υ∏∏i C )(s ωω；==11j l pnpnωωm 系统的稳态增益K =——系统的稳态增益；2m m m+=2n n nν++=c 零极点表达形式K C +++++L c. 表示成零、极点表达形式：)())(()(21m r z s z s z s s =−——νjp 系统的极点，个零极点。
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
第1讲 控制系统的时域数学模型
例.试列出图示弹簧-阻尼器-质量的机械位移系统的 运动方程。输入量为外力F，输出量为位移x。
F m f
k
x
解：图中，m为质量，f为粘性阻 尼系数，K为弹性系数。先对 质量块进行受力分析，然后 根据牛顿定理，可列出该系 统的微分方程如下：
m x f x Kx F
x为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m、f和K的单位分别为： , N .s / m, N / m kg
例：在例2-8中，若已知 L 1H , C 1F , R 1 ，且电容上初始电 u0 (0) 0.1 i0 ( 1A 压 ，初始电流 V ，电源电压0) 0.。试求电 路突然接通电源时，电容电压 的变化规律。 ui (t ) 1V u0 (t ) 解：在前例中已求得网络微分方程：
令 x x x0 K ( df ( x) / dx) x0
y Kx
略去增量符号
y f (x)
y Kx
K (df ( x) / dx) x0 是比例系数，是函数f ( x)在A点的切线斜率。
这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作 状态是可行的。原因：
自动控制系统在正常情况下都处于稳定的工作状 态，即平衡状态，这时被控量与期望值保持一致， 控制系统也不进行控制动作。一旦被控量偏离期望 值产生偏差时，控制系统便开始控制动作，以便减 小或消除这个偏差，因此，控制系统中被控量的偏 差一般不会很大，只是“小偏差”。 在建立控制系统数学模型时，通常是将系统的 稳定工作状态作为起始状态，仅仅研究小偏差的运 动情况，也就是只研究相对于平衡状态下，系统输 入量和输出量的运动特性，这正是增量线性化方程 所描述的系统特性。
y
y0
df dx x0 y f (x)
控制系统的微分方程-时域数学模型
x
Kx
式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，
是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工
作点附近展开。
⑵该系统的输出量是 ，输入量是ug，扰动量是 M c
⑶速度控制系统方块图：
u u u g
e
-
运放Ⅰ
1 运放Ⅱ
u2
功放
ua
Mc
电动机
uf
测速
⑷各环节微分方程：
运放Ⅰ：u1 k1(ug u f ) k1ue ， 运放Ⅱ：u2 k2( u1 u1)
功率放大：ua k3u2 ，反馈环节：u f k f
控制系统的微分方程---控制系统的时域数学模型
微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型， 微分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。 1、控制系统微分方程的建立
例1: 图示是由R、电感L和电容C组成的无源网络，写出以ui(t) 为输入量，以 uo(t)为输出量的网络微分方程。
图3.1 RLC无源网络
叠加性 均匀性
3、线性方程的求解 研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。
方法有经典法，拉氏变换法。在自动系统理论中主要使用拉氏 变换法。
[拉氏变换求微分方程解的步骤]： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代 数方程。 ②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
4、非线性微分方程的线性化
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果 描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为 线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理， 即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的 系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典 控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应中， 除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一 般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近 用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。
自动控制原理-胡寿松-第二章
G(s)
C(s) R(s)b0 s m a Nhomakorabea s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
bm
(1s
1)(
2 2
s
2
222s 1)
式中， i
an (T1s 1)(T22s2 22T2s
、T j 称为时间常数；
1)
(is 1)
(2) t≥0 时 f(t)是分段连续的
(3) ∫ ∞ f(t)e -st dt <∞
0
f(t)的拉氏变换为：
F(s)=∫
∞ 0
f(t)e-stdt
记作 F(s)=L[f(t)]
拉氏反变换为：
f(t)=L-1 [F(s)]
第一节控制系统的时域数学模型
2．常用函数的拉氏变换
(3()1(6))单单指位位数斜阶函坡数跃函函数e-数att I(t)
(Tjs 1)
m
K bm
K*
(zi )
i
为传递系数或增益。
an
n
( p j )
j 1
第二节控制系统的复数域数学模型
三、 典型环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很大。但若 从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系 统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。 研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
第二节控制系统的复数域数学模型
1．比例环节
放大倍数
微分拉氏方反程变: 换得c(:t)=Kr(t) c(取t)=拉K氏变换:
单位阶跃响应曲线
得传递函数: Gcr(((tts)))
K
自动控制原理控制系统的数学模型
自动控制原理控制系统的数学模型自动控制原理是现代控制工程学的基础，在控制系统的设计中起着至关重要的作用。
控制系统的数学模型是指通过数学方法对控制系统进行建模和描述，以便分析和设计控制系统的性能和稳定性。
控制系统的数学模型可以分为时域模型和频域模型两种形式。
一、时域模型时域模型是描述控制系统在时间域上动态行为的数学表达式。
时域模型是基于系统的差分方程或微分方程的。
1.线性时不变系统的时域模型对于线性时不变系统，可以通过系统的微分方程或差分方程来建立时域模型。
常见的时域模型包括：-一阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*u(t)-二阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*(1+t/Td)*u(t)2.非线性系统的时域模型对于非线性系统，时域模型可以通过系统的状态空间方程来建立。
常见的非线性系统时域模型包括：- Van der Pol方程： d^2x/dt^2 - μ(1 - x^2) * dx/dt + x = 0 - Lorenz方程：dx/dt = σ * (y - x), dy/dt = rx - y - xz, dz/dt = xy - βz二、频域模型频域模型是描述控制系统在频域上动态行为的数学表达式。
频域模型是基于系统的传递函数或频率响应函数的。
1.传递函数模型传递函数是系统的输入和输出之间的关系，是频域模型的核心。
传递函数可以通过系统的拉普拉斯变换或Z变换得到。
常见的传递函数模型包括：-一阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T*s+1)-二阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T^2*s^2+2ξ*T*s+1)2.频率响应模型频率响应函数是系统在不同频率下的输出和输入之间的关系。
频率响应函数可以通过系统的传递函数模型进行计算。
常见的频率响应模型包括：-幅频特性：描述系统在不同频率下的增益变化-相频特性：描述系统在不同频率下的相位变化控制系统的数学模型是对系统动态行为的数学描述，通过对控制系统进行数学建模和分析，可以有效地设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
自动控制理论-第二章
2-1 控制系统的时域数学模型
1、控制系统微分方程的建立 （1）举例 例1：电路无源网络 试列写以 u (t ) 为输入量，以 u (t )为 输出量的网络微分方程
i
o
解：设回路电流为 i(t ) ，由基尔霍夫 定律可写出回路方程为
di ( t ) 1 + i ( t ) dt + Ri ( t ) = u i ( t ) dt C ∫ 1 u o (t ) = i ( t ) dt C ∫ L
f 2 (t )
c(t ) = c1 (t )
作用时， c(t ) = c2 (t ) 叠加性：当 f (t ) 、 f (t ) 同时作用时，c(t ) = c1 (t ) + c2 (t ) 均匀性：当 f (t ) = A ⋅ f1 (t ) 时， c(t ) = A ⋅ c1 (t ) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
[
]
1 1 1 F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f ( − n ) (0) n s s s
式中
f
( −1)
f ( −1) (0)、f ( −2) (0) L f ( − n ) (0)
(−n)
为
f (t )
的各重积分在 t = 0 时的值。如果
(0) = f ( −2 ) (0) = L = f
(0) = 0 ，则有
L ∫ L ∫ f (t )(dt ) n =
[
]
1 F (s) sn
（4）初值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s)
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
自动控制原理 第2章数学模型
y y0 K ( x x0 ) 或写为 y Kx
即：线性化方程
式中，
y0
f ( x0 )，K
df dx
，y
x x0
y
y0，x
x x0
严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只 是近似地表征系统的运动情况。
实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所 得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过 程，所以线性化方法是很有实际意义的。
绝对的线性元件和线性系统不存在
非线性微分方程的线性化
实际物理元件或系统都是非线性的，构成系统的元件 都具有不同程度的非线性。
建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸 多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
线性化:在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代 替非线性方程。
线性化的基本条件:非线性特性必须是非本质的，系统各 变量对于工作点仅有微小的偏离。
第二章 控制系统的数学模型
本章内容
2.1 控制系统的时域数学模型 2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图/方框图 2.4 梅森公式与信号流图
系统的数学模型
数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的 数学表达式。
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统 的数学模型。
b0s m a0s n
b1s m 1 a1s n 1
... bm 1s ... an 1s
bm an
N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
系统传递函数的极点就是系统的特征根。 零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
自动控制原理第二章
1 ui (t ) 1(t ), U i ( s) s Ui 0.1s 0.2 1 1 u0 (t ) L [U 0 ( s )] L [ 2 2 ] s s 1 s s 1 1 0.1s 0.2 1 L [ 2 ] 2 s ( s s 1) s s 1
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
输入： Fi 1(t )
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
相似系统
RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。 相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。
化的过程。
4、线性系统的基本特性 叠加性：系统在几个输入信号同时作用 下的总响应，等于这几个输入信号单独 作用的响应之和。
如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ，
对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。
如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性。
满足齐次性。
满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件
例如 y=kx 是线性元件
输入 x1 输出 y1=kx1 x2 输入x1 ＋x2 C为常数， Cx1 y2=kx2 y1 ＋ y2 满足迭加性 Cy1 满足齐次性
所表示的元件 为线性元件
线性方程不一定满足迭加性和齐次性
y=kx+b(b为常数 0)线性方程，所表示的元件不是 线性元件 . 输入 x1y1 输出 y1＝ kx1+b x2 y2 y2 =kx2+b 输入 x1 ＋ x2 输出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数 :kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。
自动控制原理(数学模型)精选全文完整版
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0)
0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s
lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
二、非线性系统微分方程的线性化
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x ) E0 cos[x(t )]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y(x0)
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y(x) y(x) y(x0) E 0 sin x0 ( x x0 )
1
s(s a)( s b)
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
3 用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
自动控制原理2控制系统的时域数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 2-1 控制系统的时域数学模型(2) • 2-2 控制系统的复域数学模型(2) • 2-3 控制系统的结构图(4)
2-1 控制系统的时域数学模型
• 1.线性元件的微分方程 • 2.控制系统微分方程的建立 • 3.线性系统的特性 • 4.线性定常微分方程的求解 • 5.非线性元件微分方程的线性化 • －－切线法或小偏差法
uo (t )
ui (t )
uo (t)
1.线性元件的微分方程(2)
例：图示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。 解：由牛顿运动定律有
d 2 x(t)
m dt 2
F (t) F1 (t) F2 (t)
F (t) f dx(t) Kx(t) dt
2.控制系统微分方程的建立(1)
步骤：
① 原理图
方块图；
② 分别列写各元件的微分方程；
③ 消去中间变量，得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。
注意：
1）信号传递的单向性。即前一个元件的输出量是后一个元件的输入，一级一级地单向 传递。
2）前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应。如齿轮系统对电动机转动惯量的 影响等。
当增量(
x )很x0小时，略去其d高f (次x)幂项，则有
令 y y0 f (x) f (x0 ) ( dx )x0 (x x0 )
则线性y 化 方y 程y可0 简f记(x为) f (x0) x x x0 K (df (x) / dx)x0
略去增量符号 ，便得函数y=f(x)y在工K作点xA附近的线性化方程
式中F1（t）是阻尼器阻力，F2（t）是弹簧弹力
比较:
LC
• 2-1 控制系统的时域数学模型(2) • 2-2 控制系统的复域数学模型(2) • 2-3 控制系统的结构图(4)
2-1 控制系统的时域数学模型
• 1.线性元件的微分方程 • 2.控制系统微分方程的建立 • 3.线性系统的特性 • 4.线性定常微分方程的求解 • 5.非线性元件微分方程的线性化 • －－切线法或小偏差法
uo (t )
ui (t )
uo (t)
1.线性元件的微分方程(2)
例：图示弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。 解：由牛顿运动定律有
d 2 x(t)
m dt 2
F (t) F1 (t) F2 (t)
F (t) f dx(t) Kx(t) dt
2.控制系统微分方程的建立(1)
步骤：
① 原理图
方块图；
② 分别列写各元件的微分方程；
③ 消去中间变量，得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。
注意：
1）信号传递的单向性。即前一个元件的输出量是后一个元件的输入，一级一级地单向 传递。
2）前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应。如齿轮系统对电动机转动惯量的 影响等。
当增量(
x )很x0小时，略去其d高f (次x)幂项，则有
令 y y0 f (x) f (x0 ) ( dx )x0 (x x0 )
则线性y 化 方y 程y可0 简f记(x为) f (x0) x x x0 K (df (x) / dx)x0
略去增量符号 ，便得函数y=f(x)y在工K作点xA附近的线性化方程
式中F1（t）是阻尼器阻力，F2（t）是弹簧弹力
比较:
LC
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（1） 确定输入和输出量 （2） 依据定律列写原始方程
（3） 消去中间变量，写出微分方程 （4） 将微分方程标准化。
例题：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
ui 输入
uo 输出
由②：i C d，uo dt
[解]：据基尔霍夫电路定理：
uo
L
di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
➢ 拉氏变换求解法：
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表
达式，即为所求微分方程的解。
1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换， 得到变量s的代数方程；
⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部 件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关 系的微分方程。
例题：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
ug ue+ u1
-
功率
+
u u 2 放大器 a
w Mc
负载
uf
[解]：⑴该系统的组成和原理；
测速发电机
⑵该系统的输出量是w ，输入量是ug，扰动量是 M c
fx
[解]：图1和图2分别为系统原理结构图
mx 和质量块受力分析图。图中，m为质量，
图1
图2
f为粘滞阻尼系数，k为弹性系数。
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：
d2x m dt2
F
f
dx dt
kx
整理得
d2x m dt2
f
dx dt
kx
F
这也是一个二阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。
②
代入①得：
LC
d 2uo dt2
RC
duo dt
uo
ui
控制系统的微分方程
例题：列写电枢控制直流电动机的微分方程
La ua ia
Ra
wm Jm fm
Ea SM
负载
MC
取电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc为输入量，输出 是转速w
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
在国际单位制中，m、f和k的单位分别为：kg、N s / m、N / m
二、控制系统微分方程的建立
1、步骤
⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。
⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理 的方程。
⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。
wm
(t)
1 Ce
ua
(t)
例题： 图为弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统，列写质量 在 输入量为外力F，输出量为位移x。
阻尼器是一种产生粘性摩擦的装置，由活塞和
Fk
F k x 充满油液的缸体组成。活塞和缸体之间的任何
相对运动都将受到油液的阻滞。阻尼器用来吸
m
m
收系统的能量并转变为热量而散失掉。
f
x
,
K1
R2 R1
u2
K 2 (
du1 dt
u1)
,
R1C ,
K2
R2 R1
ua K3u2
直流电动机
Tm
dw m dt
wm
Kmua
KC M C
减速器（齿轮系）
w
1 i
w
m
测速发电机
ut Ktw
消去中间变量
ut u1 u2 ua wm
控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为
Tm
(iTm
K1K2K3Km Kt )
(i
K1K2K3Km Kt
)
K g K1K 2 K3 K m (i K1K 2 K3 K m Kt ) K g K1K 2 K3 K m (i K1K 2 K3 K m Kt )
三、线性定常微分方程的求解 ➢ 直接求解法：通解+特解
状态响应）
自由解+强迫解（零输入响应+零
dt
(Ra
fm
CmCe )wm (t)
Cmua
(t)
La
dM C dt
(t)
Ra M C
(t)
Ra
La J m fm CmCe
d 2wm (t)
dt2
La Ra
fm fm
Ra Jm CmCe
dwm (t)
dt
wm (t)
Ra
Cm fm CmCe
ua (t)
Ra
La fm CmCe
dMC (t) dt
u ⑶速度控制系统方块图：
u u g
e 运放Ⅰ 1 运放Ⅱ
u2
功放
ua
Mc w
电动机
-
uf
测速
系统输出w 系统输入参考量 u g
控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、 功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机
运放1 运放2 功放
u1 K1 (u g u f ) K1ue
ua
(t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dwm (t)
dt
fmwm (t)
Mm
M C (t)
若以角速度w m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
La J m
d 2wm (t)
dt 2
(La
fm
Ra J m )
dwm (t)
TL
La Ra
,
当电枢回路的电感可以忽略不计
Tm
dwm (t)
dt
wm (t)
K1ua
(t)
K2MC
(t)
Tm Ra J m (Ra fm CmCe ) , K2 Ra (Ra fm CmCe )
K1 Cm (Ra fm CmCe )
若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽 略不计，则上式可进一步简化
数学模型表示方法
时域模型
数学模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
建立控制系统的数学模型方法有分析法 （机理建模法）和实验法（系统辨识）。
分析法是根据系统各部分的运动机理进行 分析，列写相应的运动方程。
实验法是给系统施加测试信号，记录其输 出响应。
2-1 控制系统的时域数学模型
二、线性M C (t)
TLTm
d 2wm (t)
dt2
(TL
Ra
Ra fm fm CmCe
Tm
)
dwm (t
dt
)
wm (t)
K1ua
(t)
K3
dMC dt
(t)
K2M
C
(t)
Tm Ra J m (Ra fm CmCe ) , K1 Cm (Ra fm CmCe ) K2 Ra (Ra fm CmCe ) , K3 La (Ra fm CmCe ) ,
第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型 2-2 控制系统的复数域数学模型 2-3 控制系统的结构图 2-4 控制系统的信号流图
数学模型是描述系统内部物理量(或变 量)之间关系的数学表达式。 数学模型可 以有多种形式。在经典理论中，常用的数 学模型是微（差）分方程、传递函数、结 构图、信号流图、频率特性等；在现代控 制理论中，采用的是状态空间表达式。结 构图、信号流图、状态图是数学模型的图 形表达形式。
（3） 消去中间变量，写出微分方程 （4） 将微分方程标准化。
例题：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
ui 输入
uo 输出
由②：i C d，uo dt
[解]：据基尔霍夫电路定理：
uo
L
di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
➢ 拉氏变换求解法：
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表
达式，即为所求微分方程的解。
1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换， 得到变量s的代数方程；
⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部 件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关 系的微分方程。
例题：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
ug ue+ u1
-
功率
+
u u 2 放大器 a
w Mc
负载
uf
[解]：⑴该系统的组成和原理；
测速发电机
⑵该系统的输出量是w ，输入量是ug，扰动量是 M c
fx
[解]：图1和图2分别为系统原理结构图
mx 和质量块受力分析图。图中，m为质量，
图1
图2
f为粘滞阻尼系数，k为弹性系数。
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：
d2x m dt2
F
f
dx dt
kx
整理得
d2x m dt2
f
dx dt
kx
F
这也是一个二阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。
②
代入①得：
LC
d 2uo dt2
RC
duo dt
uo
ui
控制系统的微分方程
例题：列写电枢控制直流电动机的微分方程
La ua ia
Ra
wm Jm fm
Ea SM
负载
MC
取电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc为输入量，输出 是转速w
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
在国际单位制中，m、f和k的单位分别为：kg、N s / m、N / m
二、控制系统微分方程的建立
1、步骤
⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。
⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理 的方程。
⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。
wm
(t)
1 Ce
ua
(t)
例题： 图为弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统，列写质量 在 输入量为外力F，输出量为位移x。
阻尼器是一种产生粘性摩擦的装置，由活塞和
Fk
F k x 充满油液的缸体组成。活塞和缸体之间的任何
相对运动都将受到油液的阻滞。阻尼器用来吸
m
m
收系统的能量并转变为热量而散失掉。
f
x
,
K1
R2 R1
u2
K 2 (
du1 dt
u1)
,
R1C ,
K2
R2 R1
ua K3u2
直流电动机
Tm
dw m dt
wm
Kmua
KC M C
减速器（齿轮系）
w
1 i
w
m
测速发电机
ut Ktw
消去中间变量
ut u1 u2 ua wm
控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为
Tm
(iTm
K1K2K3Km Kt )
(i
K1K2K3Km Kt
)
K g K1K 2 K3 K m (i K1K 2 K3 K m Kt ) K g K1K 2 K3 K m (i K1K 2 K3 K m Kt )
三、线性定常微分方程的求解 ➢ 直接求解法：通解+特解
状态响应）
自由解+强迫解（零输入响应+零
dt
(Ra
fm
CmCe )wm (t)
Cmua
(t)
La
dM C dt
(t)
Ra M C
(t)
Ra
La J m fm CmCe
d 2wm (t)
dt2
La Ra
fm fm
Ra Jm CmCe
dwm (t)
dt
wm (t)
Ra
Cm fm CmCe
ua (t)
Ra
La fm CmCe
dMC (t) dt
u ⑶速度控制系统方块图：
u u g
e 运放Ⅰ 1 运放Ⅱ
u2
功放
ua
Mc w
电动机
-
uf
测速
系统输出w 系统输入参考量 u g
控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、 功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机
运放1 运放2 功放
u1 K1 (u g u f ) K1ue
ua
(t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dwm (t)
dt
fmwm (t)
Mm
M C (t)
若以角速度w m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
La J m
d 2wm (t)
dt 2
(La
fm
Ra J m )
dwm (t)
TL
La Ra
,
当电枢回路的电感可以忽略不计
Tm
dwm (t)
dt
wm (t)
K1ua
(t)
K2MC
(t)
Tm Ra J m (Ra fm CmCe ) , K2 Ra (Ra fm CmCe )
K1 Cm (Ra fm CmCe )
若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽 略不计，则上式可进一步简化
数学模型表示方法
时域模型
数学模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
建立控制系统的数学模型方法有分析法 （机理建模法）和实验法（系统辨识）。
分析法是根据系统各部分的运动机理进行 分析，列写相应的运动方程。
实验法是给系统施加测试信号，记录其输 出响应。
2-1 控制系统的时域数学模型
二、线性M C (t)
TLTm
d 2wm (t)
dt2
(TL
Ra
Ra fm fm CmCe
Tm
)
dwm (t
dt
)
wm (t)
K1ua
(t)
K3
dMC dt
(t)
K2M
C
(t)
Tm Ra J m (Ra fm CmCe ) , K1 Cm (Ra fm CmCe ) K2 Ra (Ra fm CmCe ) , K3 La (Ra fm CmCe ) ,
第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型 2-2 控制系统的复数域数学模型 2-3 控制系统的结构图 2-4 控制系统的信号流图
数学模型是描述系统内部物理量(或变 量)之间关系的数学表达式。 数学模型可 以有多种形式。在经典理论中，常用的数 学模型是微（差）分方程、传递函数、结 构图、信号流图、频率特性等；在现代控 制理论中，采用的是状态空间表达式。结 构图、信号流图、状态图是数学模型的图 形表达形式。