二次函数与一次函数结合题

一次函数与二次函数可能有一个焦点或两个焦点或没有交点，对于两个 （1） 求二次函数表达式时要填写最终的一般式 （2） 由一般式变顶点式时，可通过两个方法

方法一：通过定点坐标公式直接代入顶点式中，有一点需要注意，（X-h ） 方法二：可通过配方法解决问题

1．如图，将抛物线M 1:x ax y 42+=向右平移3个单位，

再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；

（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的

垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；

②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的

取值范围（直接写出结果）.

27.解：（1）∵点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，

∴A (－3，－3).………………………………………………………………1分 把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，

解得a =1.……………………………………………………………………2分 ∴M 1:x x y 42+=，顶点为(－2，－4). ∴M 2的顶点为(1，－1).

∴M 2的表达式为x x y 2-2=.…………3分 （2）①由题意，C (2，2)，

∴F (4，2).………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ， ∴2=4+n .

解得n =－2.………………………5分 ②n ＞3，n ＜－6.………………7分

一次函数与二次函数图像的结合，一定要多画图像进行观察通常是找临界点进行观察计算 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

1212

y ax x a =

+-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），且点A 的横坐标为-1． （1）求a 的值；

（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为'P ，求点'P 的坐标；

（3）将抛物线在A ，B 两点之间的部分（包括A ，

B 两点），先向下平移3个单位，再向

左平移m （0m >）个单位，平移后的图象记为图象G ，若图象G 与直线'PP 无交点，求m 的取值范围．

27．解：

O

y

x

（1）∵A （-1，0）在抛物线2

1212

y ax x a =

+-+上， ∴12102

a x a --+=，…….…………………………………………………...…1分 ∴解得2a =-，…………….………………………………………………………2分 （2）∴抛物线表达式为223y x x =-++．

∴抛物线223y x x =-++的顶点P 的坐标为（1，4）．…………….….………3分

（会配方，套公式给1分）

∵点P 关于原点的对称点为'P ，

∴'P 的坐标为（-1，-4）．………………………………………………….………4分 （3）直线'PP 的表达式为4y x =，…………….……………….…5分

图象向下平移3个单位后，'A 的坐标为（-1，-3），'B 的坐标为（3

若图象G 与直线'PP 无交点，则'B 要左移到M 及左边， 令3y =-代入'PP ，则34x =-

，M 的坐标为3,34⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

，………6分 ∴315

344

B'M=⎛⎫--= ⎪⎝⎭，

∴15

4

m >

．……………………………………………..……………7分 二次函数与斜率不确定的一次函数结合题型，判断交点问题 27．已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）．

（1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点

（3，0），求该抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，记抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)

在第一象限之间的部分为图象G ，如果直线 y =k (x +1)+4与图象G 有公共点，请结合函数

的图象，求直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标t 的取值范围．

27．（本小题满分7分）

（1）证明：∵△=(m +1)2－4×(－1)×(m +2)

=(m +3)2.……………………………………………………………1分 ∵m ＞0， ∴(m +3)2＞0， 即△＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根 (2)

分 （2）解：∵抛物线抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），

∴－32

+3(m +1)+(m +2)=0，………………………………………………3分 ∴m =1.

∴y =－x 2+2x +3 (4)

分

（3）解：∵y =－x 2+2x +3=－(x －1)2+4，

∴该抛物线的顶点为（1，4）.

∴当直线y =k (x +1)+4经过顶点（1，4）时， ∴4=k (1+1)+4， ∴k =0， ∴y =4.

∴此时直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标为 4.………………………5分

∵y =－x 2+2x +3， ∴当x =0时，y =3，

∴该抛物线与y 轴的交点为（0，3）.

∴此时直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标为 3............................6分 ∴3＜t ≤4. (7)

分

一次函数与二次函数焦点个数问题

27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点A （-1，a ），B （3，a ），且最低点的纵坐标为-4.

（1）求抛物线的表达式及a 的值；

（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称 轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B

两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围. 27.解：（1）∵抛物线2

2y x mx n =++过点 A （-1，a ）

，B （3，a ）， ∴抛物线的对称轴x =1．.…….1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4， ∴抛物线的顶点是（1，-4）．.…….2分 ∴抛物线的表达式是2

2(1)4y x =--， 即2

242y x x =--．.…3分

把A （-1，a ）代入抛物线表达式，求出4a =．.…….4分

（2）∵抛物线顶点(1,4)C -关于y 轴的对称点为点D ，∴(1,4)D --．

求出直线CD 的表达式为4y =-..…….5分