菱形讲义经典

第一章特殊的平行四边形一、菱形：【知识梳理】 1．菱

形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质：边的性质：对边平行且四边相等．①

②角的性质：邻角互补，对角相等．

③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

【例题精讲】板块一、菱形的性质

例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，

BD=12cm．

（1）求菱形ABCD的边长；

（2）求菱形ABCD的高DM．

例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连

接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点

H．

求证：（1）求∠BGD的度数。（2）求证：DG+BG=CG

.

ABCD例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形(1)求证：四边形ABCD是菱形．的周长是否存在最大值或最小(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．

，求的度数．上的点，若中，4.已知，菱形、分别是、例

AB?AF?EFAE?FECBC?CDABCDABDFEC

跟踪练习：) 的长为(BC,AE⊥垂足为E,则AE,AB=5,1.如图,在菱形ABCD中对角线AC=6.若过点A作D.5 C.4.8 A.4 B.2.4

CD和BCE、分别是FAB=22.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，，）AEF、的中点，连接AE、EFAF，则△的周长为（342333D.3.

C. B. A.

剪口的菱形,,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°3.如图所示) 与第二次折痕所成角的度数应为

(

30° B.30°或45°A.15°或

C.45°或60°

D.30°或60°

4．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙

两人的作法如下：

图1－1－38

甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．

乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．

根据两人的作法可判断()

A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误

5. (1) 如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面积是________,对角线BD的长是________.

(2) 如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．

6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、 BC、CD、DA 为怎样的四边形，并证明你的结论．PQMN，试判断四边形N、M、Q、P的中点分别为

7.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点

E．

DE=BE．求证：

E．⊥AB，垂足为的中点，过，O为对角线BDO点作OE中，∠8.如图，在菱形ABCDA=60°，AB=4 的长．2）求线段BE （1）求∠ABD的度数；（

F．⊥CD，垂足分别为E、、9.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥ADBF BE=BF；（1）求证：的长．，BD=6时，求BE（2）当菱形ABCD的对角线AC=8

连EAC于、B重合），连接DP交对角线AP10.如图，在菱形ABCD中，是AB上的一个动点（不与 BE．接；APD=∠CBE）证明：∠（1

为什么？，面积的ABCD的面积等于菱形ADP△点运动到什么位置时，P试问°，DAB=60若∠）2

（．

BQA运动，同时点从点11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P 从点D出发向点的速度都是1cm/s．出发向点C运动，点P、Q

是AQCP（1）在运动过程中，四边形可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面

积．

【作业】一. 选择题：）中，1.在菱形ABCDAB=5cm，则此菱形的周长为（.A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm

____ 的周长是BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD如图，在菱形2.ABCD中，∠

）和已知菱形3.ABCD的对角线AC、BD的长度是68，则这个菱形的周长是

（

24

A 、20 B、14 CD、、28

4.的长度为（BD ），∠如图，菱形ABCD的周长是16A=60°，则对角线4332． CA．2 B．D．4

5.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）

33 D8、8

16 A 、16 B、C、6. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标）分别是

（．

8，4）B N（8，4）、M（4，0），N（），A 、M（5，0 ），4D ），C、M（5，0N （7，4）、M（4，0）， N（7

二、填空题2丄是AB的中点，且DEAB，则菱形ABCD cm．的面积为2cm7. 如图，菱形ABCD的边长是，E

9题第第8题题第7丄AB，垂足为作OHH，＝8，BD＝6，过点O如图，8.菱形ABCD的对角线AC、相交于点BDO，且AC则点O到边AB的距离

9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠2． cm°，则四边形ABCD的面积等于ABC=60三、解答题12.如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。求证：△ACE≌△ACF。 F

A D

AD E

B

C

E BC 0）．，），（如图，四边形13.ABCD为菱形，已知A0，4B（﹣3 的坐标；（1）求点D （2的一次函数解析式．）求经过点AB