菱形讲义经典

第一章特殊的平行四边形一、菱形：【知识梳理】 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质：边的性质：对边平行且四边相等．①②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．【例题精讲】板块一、菱形的性质例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm．（1）求菱形ABCD的边长；（2）求菱形ABCD的高DM．例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．求证：（1）求∠BGD的度数。

（2）求证：DG+BG=CG.ABCD例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形(1)求证：四边形ABCD是菱形．的周长是否存在最大值或最小(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．，求的度数．上的点，若中，4.已知，菱形、分别是、例AB?AF?EFAE?FECBC?CDABCDABDFEC跟踪练习：) 的长为(BC,AE⊥垂足为E,则AE,AB=5,1.如图,在菱形ABCD中对角线AC=6.若过点A作D.5 C.4.8 A.4 B.2.4CD和BCE、分别是FAB=22.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，，）AEF、的中点，连接AE、EFAF，则△的周长为（342333D.3.C. B. A.剪口的菱形,,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°3.如图所示) 与第二次折痕所成角的度数应为(30° B.30°或45°A.15°或C.45°或60°D.30°或60°4．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1－1－38甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断()A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误5. (1) 如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面积是________,对角线BD的长是________.(2) 如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、 BC、CD、DA 为怎样的四边形，并证明你的结论．PQMN，试判断四边形N、M、Q、P的中点分别为7.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．DE=BE．求证：E．⊥AB，垂足为的中点，过，O为对角线BDO点作OE中，∠8.如图，在菱形ABCDA=60°，AB=4 的长．2）求线段BE （1）求∠ABD的度数；（F．⊥CD，垂足分别为E、、9.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥ADBF BE=BF；（1）求证：的长．，BD=6时，求BE（2）当菱形ABCD的对角线AC=8连EAC于、B重合），连接DP交对角线AP10.如图，在菱形ABCD中，是AB上的一个动点（不与 BE．接；APD=∠CBE）证明：∠（1为什么？，面积的ABCD的面积等于菱形ADP△点运动到什么位置时，P试问°，DAB=60若∠）2（．BQA运动，同时点从点11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P 从点D出发向点的速度都是1cm/s．出发向点C运动，点P、Q是AQCP（1）在运动过程中，四边形可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．【作业】一. 选择题：）中，1.在菱形ABCDAB=5cm，则此菱形的周长为（.A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm____ 的周长是BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD如图，在菱形2.ABCD中，∠）和已知菱形3.ABCD的对角线AC、BD的长度是68，则这个菱形的周长是（24A 、20 B、14 CD、、284.的长度为（BD ），∠如图，菱形ABCD的周长是16A=60°，则对角线4332． CA．2 B．D．45.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）33 D8、816 A 、16 B、C、6. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标）分别是（．8，4）B N（8，4）、M（4，0），N（），A 、M（5，0 ），4D ），C、M（5，0N （7，4）、M（4，0）， N（7二、填空题2丄是AB的中点，且DEAB，则菱形ABCD cm．的面积为2cm7. 如图，菱形ABCD的边长是，E9题第第8题题第7丄AB，垂足为作OHH，＝8，BD＝6，过点O如图，8.菱形ABCD的对角线AC、相交于点BDO，且AC则点O到边AB的距离9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠2． cm°，则四边形ABCD的面积等于ABC=60三、解答题12.如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。

求证：△ACE≌△ACF。

FA DAD EBCE BC 0）．，），（如图，四边形13.ABCD为菱形，已知A0，4B（﹣3 的坐标；（1）求点D （2的一次函数解析式．）求经过点AB1∥°，＝中，∠如图所示，在菱形14.ABCDABC 60DEAC＝DE．求证：的延长线于点BC交EBE．215.如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．（1）求AC的长．（2）求∠AOB的度数．（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．板块二、菱形的判定例1.已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.求证: □ABCD是菱形例2.已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.四边形ABCD:求证是菱形例3.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F.求证: 四边形AECF是菱形EADO BCF．课堂练习：AD成为一个菱形，需要添加一个条件，1.如图，如果要使平行四边形ABCD．那么你添加的条件是CB. 、已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于2.FEBCACABCDAD.求证：四边形是菱形AFCEEA DOB CF落在的直线折叠，使点，将纸片沿过点，3.如图，在梯形纸片中，CDBC?ADAD//DCABCDAD是菱形．.交于点，连结求证：四边形处，折痕上的点??CEECBCECDCDE DC'ACBE于，于，于，4.如图，在中，是的中点．分别作ACDFME?AC?AB?MDDEBCABC?MACAB?是菱形．相交于点．．求证：四边形，于ABEG?FGPEGDF、DMEP AGFPDECM B【作业】的四边形是菱形。

．有一组邻边相等的1 是菱形，对角线2，，则另一条对角线长为， cm边长为 cm6cm24cm2．菱形的面积为，一条对角线的长为。

高为 cm 1:2，相邻两角的比为．菱形周长为320 ，则菱形的两对角线的长为。

BD= 中，4．如图1所示，菱形ABCDAE⊥BC，BE=EC，AE=2，．如图2所示，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA5，∠C= 。

AADCBDBDF EFC EBAE C 1 图3图2图6．菱形对角线的平方和等于一边平方的（）A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍7．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．每条对角线平分一组对角8．如图3所示，菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，AE=EB，则∠EDF 等于（）A．75° B．60° C．50° D．45°9．下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（）A．已知菱形的两条对角线 B．已知菱形的一边和一个内角C．已知菱形的四条边 D．已知菱形的周长和面积10．下列命题正确的是（）A．有两组邻角相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形ahh，则另一对角线的长可示为：。

，高为，一条对角线长为 11．菱形的周长为12．如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE 交AD于F，连结BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。

13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B的平分线交高CD于E，交AC于F，FG ⊥AB，G为垂足，求证：四边形CEGF是菱形。

14.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）15.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；和AECFCD上滑动时，分别探讨四边形、F在BC、（2）当点E的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果CEF△变化，求出最大（或最小）值．AE+CF=2．AD，CD上的两个动点，且满足BD=2的边长为2，，E、F分别是边16.如图，菱形ABCD BCF；）求证：△BDE≌△（1 BEF的形状，并说明理由；2）判断△（的取值范围．S，求S△（3）设BEF的面积为BEAE、AC和BCAC=6，．△ECD是△ABC沿方向平移得到的，连接ABC．如图171，在△中，AB=BC=5 相交于点O．）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（1，BDQRAE连接PO并延长交线段于点Q，⊥，CB，2上一动点是线段，如图2（）2PBC（图）（不与点、重合）的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积是否随点P．四边形垂足为点R 的面积．PQED，BC与AB，AB与CE交于F，EDDCE=90°如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠，18. ．M，H分别交于；1）求证：CF=CH（是什么四边形？并证BCE=45°时，试判断四边形ACDM不动，将△EDC绕点C旋转到∠ABC（2）如图2，△明你的结论．在第一，DC，始终在x轴的正半轴上，BxOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A19.如图，在直角坐标系位置变化时，，当点B与OD相交于E，上方，OC=CD，OD=2M为OD的中点，AB象限内，点B在直线OD．Rt△OAB的面积恒为试解决下列问题：坐标为_________；（1）填空：点D（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；个单位长的速2CA方向以每秒．点D从点C出发沿中，∠20.如图，在Rt△ABCB=90°，BC=5，∠C=30°匀速运动，当其中一个点个单位长的速度向点B出发沿AB方向以每秒1A度向点匀速运动，同时点E从点AD作DF⊥BC0）．过点于点F，连＞运动的时间是到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、Et秒（t接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．21．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC 的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论．是等边三△ACE是BD延长线上的点，且AC，BD交于点O，E中，对角线21.如图1，已知平行四边形ABCD 角形．是菱形；1）求证：四边形ABCD（的长．AC=6．求DE，若∠AED=2∠EAD，）如图（22、BE延长线上一点，且CF=AE，连接上一点，ABC=60°，E是对角线ACF是线段BC在菱形22.ABCD中，∠EF．BE=EF（不需证明）；是线段EAC的中点，如图1，易证：（1）若有怎样的数量关、EF，线段延长线上的任意一点，其它条件不变，如图AC或AC2、图3BE是线段）若（2E 系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．23.如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．。