(教案)向量的数乘运算Word版含解析
(完整word版)2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教学设计)
SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修4第二章)•'•I 入（pa ）I=I （入 2）I1223向量数乘运算及其几何意义(教学设计)一、知识与能力：1理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。
2、 理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3、 通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能 力。
二、 过程与方法：1. 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2 •体会数形结合的数学思想方法 . 三、 情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题. 教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件. 教学难点：向量共线的充要条件. 一、复习回顾，新课导入探究：已知非零向量a ,作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a),并说明它类似数的乘法，把 a+a+a 记作3a ,显然3a 的方向与a 的方向 倍，即即 |3a|=3|a|.同样，(-a)+( -a)+( -a)=3( -a)，显然3(-a)的方向与a 的方向相反, 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。
、师生互动，新课讲解 1.定义：实数 与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作a ，它的长度与方向规定如下: (1) I a|=||| a| ;(2) 当>0时，a 的方向与向量a 的方向相同；当 <0时，a 的方向与a 的方向相反. 2. 特别地，当 =0或a=0时，a=0 ;当=-1时，(-1) a=-a ，就是a 的相反向量. 3.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么 (1)( a)=( ) a ;(结合律)(2) ( + )a= a+ a ;(第一分配律) (3)(a+b)= a+ b.(第二分配律)结合律证明：如果入=0,尸0, a =0至少有一个成立，则①式成立 们的几何意义•相同，3a 的长度是a 的33(-a)的长度是a 的3倍，这样3(-a)=-3a.如果入0，卩0, a 0有：|入(旧)1=1入II旧1=1入II川a I1(入2 a|=入训a I=I入II训a I解：(1)原式=(-3 4) a=-12a;2解：(1)原式=(-3 4) a=-12a;3如果入、卩同号，则①式两端向量的方向都与 a 同向； 如果入、卩异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。
(完整版)教案平面向量的数乘运算
【教学过程】 *揭示课题7.2.3 平面向量的数乘运算 *情境导入有一同学从O 点出发，向东行进，1秒后到达A 点，按照相同的走法，问3秒后人在哪里，用向量怎么表示？观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15*引入新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为（7．3）若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．当λ＝0时，λa = 0。
实数λ与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算。
由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有（7．4）容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则： ()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数a a aaOA BC的运算的意义是不同的． *例题讲解例1 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．例2 计算： （1）（-3）×4a（2）5（a +b ）-2（a -b ） （3）（a +4 b -3c ）-（2 a -3 b -5c ）*练习强化1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）． *揭示课题7.4.1 平面向量的内积 *情境导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j cos30sin 30=⋅+⋅F i F j ，Fs图7—21︒30O图7－16即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ） *引入新知力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA ＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b>．我们规定，0180θ≤≤两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即(7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s. 由内积的定义可知 a ·0＝0, 0·a ＝0． 由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝−|a ||b |. （2） cos<a ,b >＝||||⋅a ba b . （3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |.（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=因此对非零向量a ，b ，有a ·b ＝0⇔a ⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a ·b ＝b ·a ．（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． （3）(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a ·(b ·c )≠（a ·b ）·c .B*例题讲解60,求a·b．例1 已知|a|＝3,|b|＝2, <a,b>＝︒-,求<a,b>．例2 已知|a|＝|b|＝2,a·b＝2*练习强化60，求a·b．1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为︒2. 已知a·a＝9,求|a|．30，求(2a＋b)·b．3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝︒*归纳小结向量的数乘运算得到的是什么向量？向量的内积运算得到的是什么？。
向量数乘运算及其几何意义教案
向量数乘运算及其几何意义教案教学目标：1. 理解向量数乘的概念及其运算规则。
2. 掌握向量数乘的几何意义。
3. 能够运用向量数乘解决实际问题。
教学重点：1. 向量数乘的概念及其运算规则。
2. 向量数乘的几何意义。
教学难点：1. 向量数乘的运算规则。
2. 向量数乘的几何意义的理解。
教学准备：1. 向量知识的基础。
2. 数乘知识的基础。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入向量的概念，复习向量的基本运算。
2. 引入数乘的概念，复习数乘的基本运算。
二、向量数乘的概念及其运算规则（10分钟）1. 介绍向量数乘的概念：将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
2. 讲解向量数乘的运算规则：对于两个向量a和b，以及一个实数c，有ca = (ca1, ca2)，其中a1和a2分别是向量a的两个分量。
三、向量数乘的几何意义（10分钟）1. 介绍向量数乘的几何意义：将一个向量进行数乘，相当于将这个向量按比例放大或缩小。
2. 讲解向量数乘的几何意义：如果将一个向量进行正数数乘，这个向量的大小会放大，方向不变；如果将一个向量进行负数数乘，这个向量的大小会缩小，方向不变。
四、向量数乘的运算性质（10分钟）1. 介绍向量数乘的运算性质：向量数乘满足交换律、结合律和分配律。
2. 讲解向量数乘的运算性质：交换律：ca = ac；结合律：(ca)b = ca(b)；分配律：c(a + b) = ca + cb。
五、向量数乘的应用（10分钟）1. 介绍向量数乘在实际问题中的应用：如在物理学中，力的大小和方向可以通过向量数乘来表示；在工程学中，向量数乘可以用来计算物体的位移等。
2. 讲解向量数乘在实际问题中的应用：通过举例，说明如何运用向量数乘解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，使学生掌握了向量数乘的概念及其运算规则，理解了向量数乘的几何意义，并能运用向量数乘解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生主动参与，通过讲解和实际例子的结合，使学生更好地理解和掌握向量数乘的知识。
数学苏教版必修4教学设计：2.2.3向量的数乘 Word版含解析
教学设计2.2.3向量的数乘整体设计教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是所得向量与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．三维目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义．掌握实数与向量的积的运算律．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．重点难点教学重点：1.实数与向量积的意义．2．实数与向量积的运算律．3．两个向量共线的等价条件及其运用．教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接引入)前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算的基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算．思路2.(问题引入)一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课．推进新课新知探究实数与向量积的定义及运算律．活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a，λ－a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘(scalar multiplication of vectors)．事实上，通过作图1可发现，OC→＝OA→＋AB→＋BC→＝a＋a＋a.类似数的乘法，可把a＋a ＋a记作3a，即OC→＝3a.显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|＝3|a|.同样，由图可知，→＝PQ→＋QM→＋MN→＝(－a)＋(－a)＋(－a)，PN图1即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．显然3(－a)的方向与a的方向相反，3(－a)的长度是a 的长度的3倍，这样，3(－a)＝－3a.上述过程推广后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．由(1)可知，λ＝0时，λa＝0.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律．设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．教师与学生一起归纳总结：数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ||a|确定．它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小．向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．应用示例思路1例1课本本节例2.例2课本本节例1.变式训练如图2(1)，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？活动：本题给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A 、B 、C 三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只需引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a 、b 变化过程中，A 、B 、C 三点始终在同一条直线上的规律．(1) (2)图2解：如图2(2)分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC 〔如图2(2)〕．观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线．事实上，因为AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －(a ＋b )＝b ，而AC →＝OC →－OA →＝a ＋3b －(a ＋b )＝2b ，于是AC →＝2AB →.所以A 、B 、C 三点共线．点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．例3课本本节例3.变式训练如图3，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？图3活动：本题的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．解：在ABCD 中，∵AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b ，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，∴MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ， MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－MB →＝－12DB →＝－12a ＋12b . 点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键.思路2例1凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)． 活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF 作为三角形的中位线，借助于三角形中位线定理解决．或创造相同起点，以建立向量间的关系．鼓励学生多角度观察思考问题．图4证明：方法一：过点C 在平面内作CG →＝AB →，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 的中点(如图4)．∴EF 是△ADG 的中位线．∴EF 12DG ，∴EF →＝12DG →. 而DG →＝DC →＋CG →＝DC →＋AB →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)． 方法二：如图5，连EB 、EC ，则有EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →，图5又∵E 是AD 的中点，∴有EA →＋ED →＝0，即有EB →＋EC →＝AB →＋DC →.以EB →与EC →为邻边作EBGC ，则由F 是BC 的中点，可得F 也是EG 的中点．∴EF →＝12EG →＝12(EB →＋EC →)＝12(AB →＋DC →)． 点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习．做到准确熟练运用．例2课本本节例4. 变式训练1．若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则( )A ．|2a |>|2a ＋b |B ．|2a |<|2a ＋b |C ．|2b |>|a ＋2b |D ．|2b |<|a ＋2b |答案：C2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23答案：A知能训练课本本节练习．课堂小结1．让学生回顾本节学习的数学知识，向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件．体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，它是我们学习中伟大的引路人．作业课本习题2.2 8、9.设计感想1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a＝0)，它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线，然后对所探究的结果进行运用拓展．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有(1)λ(μa)＝(λμ)a；①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，则根据向量数乘的定义有：|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则②显然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向，即②式两边向量的方向相同．综上所述，②式成立．如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa 的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa 的方向相同．还可证|(λ＋μ)a |＝|λa ＋μa |.因此②式也成立．(3)当a ＝0，b ＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立．当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：当λ>0且λ≠1时，如图6，在平面内任取一点O 作OA →＝a ，AB →＝b ，OA 1→＝λa ，A 1B 1→＝λb ；则OB →＝a ＋b ，OB 1→＝λa ＋λb .图6由作法知AB →∥A 1B 1→，有∠OAB ＝∠OA 1B 1，|A 1B 1→|＝λ|AB →|，所以|OA 1→||OA →|＝|A 1B 1→||AB →|＝λ.所以△AOB ∽△A 1OB 1. 所以|OB 1→||OB →|＝λ，∠AOB ＝∠A 1OB 1. 因此O 、B 、B 1在同一条直线上，|OB 1→|＝|λOB →|，OB 1→与λOB →的方向也相同．所以λ(a ＋b )＝λa ＋λb .当λ<0时，由图7可类似证明λ(a ＋b )＝λa ＋λb .图7所以③式也成立．二、备用习题1.13[12(2a ＋8b )－(4a －2b )]等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b2．设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．03．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( )A.65a B ．－6a C ．6a D ．－65a 4．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →用a 、b 表示的形式是BF →＝________.5．在△ABC 中，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC 平面上的任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝13e 1－12e 2，则OM →＋ON →＋OP →＝________. 6．已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求证：OG →＝13(a ＋b ＋c )． 参考答案：1．B 2.C 3.C4．－a ＋15b 5.13e 1－12e 26．证明：连结AG 并延长，设AG 交BC 于M. ∵AB →＝b －a ，AC →＝c －a ，BC →＝c －b ， ∴AM →＝AB →＋12BC →＝(b －a )＋12(c －b )＝12(c ＋b －2a )．∴AG →＝23AM →＝13(c ＋b －2a )．∴OG →＝OA →＋AG →＝a ＋13(c ＋b －2a )＝13(a ＋b ＋c )．(设计者：翟昌丽)。
《向量的数乘运算》教学设计、导学案、同步练习
《6.2.3 向量的数乘运算》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第4课时，本节课主要学习平面向量的线性运算——数乘向量，共线向量定理。
实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。
实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。
向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。
特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。
【教学目标与核心素养】A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；B.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；C.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。
【教学重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；【教学难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
【教学过程】。
特点:首尾相接，连首尾。
2.向量的平行四边形法则特点:同一起点,对角线。
3.向量减法的三角形法则。
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。
二、探索新知探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向分别是怎样的？，记作。
即。
的方向与的方向相同，。
类似地，，其方向与的方向相反，。
AC BC AB =+OC OB OA =+BA OB OA b a =-=-a a a a ++)()(a a a -+-+-a a a BC AB OA OC ++=++=a 3a OC 3=a 3a ||3|3|a a =a PN 3-=a ||3|3-|a a =1.定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： （1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。
向量的数乘运算教案
向量的数乘运算教案概述：本教案旨在拓展学生对向量的数乘运算的理解。
数乘运算是向量的最基本运算之一，能够将向量拉伸或缩小。
同理，也可以将向量反向或者使其朝向反方向。
教学目标：- 让学生了解向量的数乘运算是什么，以及它对向量的影响。
- 通过实践演练，让学生掌握如何进行向量的数乘运算。
- 让学生懂得如何应用向量的数乘运算解决实际问题。
课程内容：1. 什么是向量的数乘运算向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量。
例如，将向量 a 与标量 k 相乘，可以得到一个新向量 b = ka ，该向量的大小是原向量大小的 k 倍，而且朝向与原来的向量一致（如果 k 不是负数的话）。
2. 向量的数乘运算的影响向量的数乘运算对向量的影响主要取决于乘数的正负。
- 如果乘数 k 为正数，那么新向量的大小会成为原向量大小的 k 倍，朝向保持不变。
- 如果乘数 k 为负数，那么新向量的大小会成为原向量大小的 k 倍，但方向会与原向量相反。
- 如果乘数 k 为零，得到的新向量大小为零向量，方向无意义。
3. 如何进行向量的数乘运算在计算时，只需要将向量中每个分量乘以标量即可。
例如，若将向量 a 与标量 k 相乘，得到的新向量分量分别为 kb1，kb2，kb3，其中b1、b2、b3 是原向量 a 的对应分量。
4. 实际应用向量的数乘运算在实际中有许多应用，例如：- 将向量的大小缩放，使其适应计算的要求。
- 控制物体的移动速度和旋转角度。
- 调节图像的亮度和对比度等。
5. 注意事项在进行向量的数乘运算时，需要注意以下几点：- 数乘运算只能用于向量之间，不能用于标量之间。
- 向量的朝向保持不变，乘数的正负影响朝向。
- 数乘运算的结果是一个向量，大小和方向都可能改变。
教学结论：通过本教案的学习，相信学生已经全面掌握了向量的数乘运算的原理和操作方法。
在实际应用中，希望学生能灵活运用向量的数乘运算解决问题，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
(完整版)教案平面向量的数乘运算
(完整版)教案平面向量的数乘运算一、引言平面向量是代数中一个重要的概念，而平面向量的数乘运算是对向量进行伸缩的操作，其在数学和物理中具有广泛的应用。
本教案将详细介绍平面向量的数乘运算及其性质。
二、定义1.1 平面向量平面向量是指具有大小和方向的量，在平面上由箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
常用大写字母表示平面向量，如向量A。
1.2 数乘运算数乘运算是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
若向量A与实数k进行数乘运算，记作kA，其中k为实数。
数乘运算可改变向量的大小和方向，具体规律将在后文中介绍。
三、性质与规律2.1 数乘运算的基本性质（1）零向量的数乘：0A = 0，其中0为零向量。
零向量的数乘结果仍为零向量。
（2）单位向量的数乘：1A = A，其中1为单位向量。
单位向量的数乘结果与原向量相等。
2.2 数乘运算的规律（1）交换律：kA = Ak，其中k为实数。
数乘运算满足交换律，即数与向量的顺序可以交换。
（2）结合律：(kl)A = k(lA)，其中k、l为实数。
数乘运算满足结合律，即数与向量的括号位置可以移动。
（3）分配律：(k + l)A = kA + lA，其中k、l为实数。
数乘运算满足分配律，即数与向量相加后再进行数乘，等价于先进行数乘再相加。
四、数乘运算的几何解释3.1 放缩效应数乘运算改变向量的大小，当k > 1时，数乘结果的向量放大；当0 < k < 1时，数乘结果的向量缩小；当k < 0时，数乘结果的向量方向发生反转。
3.2 平行效应数乘运算可以改变向量的方向，当k > 0时，数乘结果的向量与原向量方向相同；当k < 0时，数乘结果的向量与原向量方向相反；当k = 0时，数乘结果的向量为零向量。
五、数乘运算的应用4.1 向量的单位化将一个非零向量除以它的模长，得到的结果是一个方向与原向量相同的单位向量。
4.2 平面向量加法与数乘运算的关系在平面向量加法中，若向量A与向量B的和为向量C，即C = A + B，那么向量C也可以表示为C = kA + lB的形式，其中k、l为实数。
教案平面向量的数乘运算
平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。
2. 掌握平面向量的数乘运算规则。
3. 能够运用数乘运算解决实际问题。
教学内容：一、平面向量的数乘运算概念1. 引入实数与向量的乘积，即数乘运算。
2. 讲解数乘运算的定义及性质。
二、平面向量的数乘运算规则1. 讲解数乘运算的分配律。
2. 讲解数乘运算的结合律。
3. 讲解数乘运算的单位向量。
三、数乘运算在坐标系中的应用1. 讲解二维坐标系中向量的数乘运算。
2. 讲解三维坐标系中向量的数乘运算。
四、数乘运算与向量长度的关系1. 讲解数乘运算与向量长度的关系。
2. 讲解数乘运算在求向量长度中的应用。
五、数乘运算在向量运算中的应用1. 讲解数乘运算在向量加法中的应用。
2. 讲解数乘运算在向量减法中的应用。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解数乘运算的概念、规则及应用。
2. 利用多媒体演示，直观展示数乘运算在坐标系中的应用。
3. 引导学生通过练习，巩固数乘运算的知识。
教学评估：1. 课堂练习：布置有关数乘运算的题目，检查学生掌握情况。
2. 课后作业：布置有关数乘运算的综合题目，要求学生在规定时间内完成。
3. 单元测试：进行有关数乘运算的测试，了解学生对知识的掌握程度。
教学资源：1. 教学PPT：展示数乘运算的概念、规则及应用。
2. 练习题库：提供丰富的数乘运算题目，供学生练习。
3. 坐标系软件：辅助展示数乘运算在坐标系中的应用。
教学建议：1. 在讲解数乘运算概念时，注意与实数的乘法进行对比，帮助学生理解。
2. 在讲解数乘运算规则时，举例说明，让学生更好地掌握。
3. 在数乘运算的应用部分，注重引导学生思考，提高解决问题的能力。
4. 针对不同程度的学生，合理安排课堂练习和课后作业，提高教学效果。
5. 及时进行教学评估，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。
平面向量的数乘运算教学内容：六、数乘运算与向量坐标的关系2. 举例说明数乘运算在坐标系中的应用。
数乘向量教案
数乘向量教案数乘向量教案一、教学目标：1.了解数乘向量的概念和性质；2.能够进行数乘向量的计算；3.能够应用数乘向量解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学重点：1.理解数乘向量的含义；2.掌握数乘向量的运算规律。
三、教学难点：1.掌握数乘向量的运算性质；2.能够正确应用数乘向量解决问题。
四、教学准备：白板、黑板、投影仪、教学课件、习题手册、学生练习册。
五、教学过程：1.导入（5分钟）引导思考：你知道什么是向量吗？向量有哪些性质？向量能够进行哪些运算？激活前期知识，为本节课的学习做铺垫。
2.概念讲解（10分钟）向量的数乘：数乘向量，即将一个实数与一个向量相乘的运算。
具体表达式为：k·A，其中k为实数，A为向量。
数乘向量的含义：数乘向量就是将一个向量的大小进行伸缩或缩小。
性质：a) 零向量的数乘：0·A=0；b) 数与向量的乘法分配律：(k+m)·A=k·A+m·A；c) 数与向量的乘法结合律：k·(m·A)=(km)·A；d) 数的加法与向量的乘法交换律：k·(A+B)=k·A+k·B。
3.计算例题（15分钟）通过例题的演示，引导学生进行数乘向量的计算。
例题一：计算2·(3,4)。
解：2·(3,4)=(2·3,2·4)=(6,8)。
例题二：计算(-1)·(2,5)。
解：(-1)·(2,5)=(-1·2,-1·5)=(-2,-5)。
4.练习（10分钟）让学生进行练习，巩固数乘向量的计算。
练习一：计算3·(1,2,3)。
练习二：计算(-2)·(-1,3)。
5.实际应用（15分钟）通过实际问题进行应用，激发学生的思维和创新能力。
问题一：小明去市场买柠檬，他买了2斤柠檬，每斤价格为3元。
《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计(优质课比赛教案)
《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计一、教学分析向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.本节学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A和某个向量a 表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a 是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.二、教学目标1、知识与技能通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律.2、过程与方法通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.3、情感态度与价值观通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.四、教学重难点教学重点：1．实数与向量积的意义及其几何意义； 2．实数与向量积的运算律；3．两个向量共线的等价条件及其运算. 教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用. 五、教具选取三角板、投影仪、多媒体辅助教学. 六、教学过程 1、导入新课：一条细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁向东方向一秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是a 3吗？若蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是a3-吗?你能用图形表示吗？学生活动：独立思考.教师活动：提问、引导学生作答.设计意图：向量具有丰富的实际背景和几何背景，并且兼具“数”与“形”的特点，它在物理和几何中具有广泛的应用，故本节通过位移的实际背景引入新课. 2、推进新课：探究：已知非零向量a ，试作出a a a ++和)()()(a a a-+-+-，你能说明它的几何意义吗？学生活动：独立观察、思考、总结. 教师活动：提问、引导学生.设计意图：认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过学生自己作出向量a a a++和)()()(a a a-+-+-，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性aa a认识做好铺垫.问题1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？ 从而推广到一般的向量数乘的定义.我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作aλ，它的长度与方向规定如下：（1）a aλλ=；（2）当0>λ时，a λ的方向与a 一致；当0<λ时，a λ的方向与a的方向相反.由（1）可知当0=λ时，0=a λ.设计意图：通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法. 问题2：你能说明它的几何意义吗？ 学生活动：小组合作交流，学生单独作答.设计意图：从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律，在可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象.通过师生互动，得到向量数乘的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a的反方向放大λ倍或缩小λ倍.问题3：C 在线段AB 上，且25=CB AC ，则=AC AB ；=BC AB . 学生活动：独立思考并踊跃回答. 教师活动：评价.设计意图：通过简单口答题来巩固学生对向量数乘定义的理解及运用.通过活动过程的成功体验提高学生学习的积极性.问题4：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律，你能说出数乘向量的运算律吗？归纳总结： （1）a a)()(λμμλ=（2）a a aμλμλ+=+)(（3）b a b aλλλ+=+)(问题5：你能解释上述运算律的几何意义吗？归纳总结：)()(a a a-=-=-λλλ， b a b a λλλ-=-)(.问题6：你能从形式上描述向量数乘运算律与思考向量线性运算与以前学习过的哪些运算相类似？师生活动：通过类比得到向量数乘运算律；并且通过师生活动得到向量数乘运算、向量的加法、减法可以进行综合运算；实数运算中去括号、移项、提取公因式等可类比进行向量的线性运算.设计意图：数学中引进一个新的量，自然要看看它的运算及其运算律的问题.向量运算可以与学生熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发.而数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律.向量具有明显的几何背景，所以向量的运算及运算律也具有明显的几何意义，尤其是涉及到长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.这样了解向量数乘运算律的几何意义就有必要了. 3、例题讲解:例1．计算： 1.a 4)3(⨯-；2.)23()32(c b a c b a +---+. 变式练习：（1）计算：---+)(2)(3；（2）已知：0)(4)2(2)(3 =+---++b a x a x a x 求x.学生活动：独立完成，学生单独回答. 教师活动：提问、及时评价.设计意图：心理学认为：概念一旦形成，必须及时加以巩固，通过例1及巩固练习加深学生对数乘向量运算律的理解.解以向量作为未知数的方程可与求解实数方程类比.归纳总结：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意的向量b a ,，以及任意实数21,,μμλ，恒有b a b a2121)(λμλμμμλ±=±.设计意图：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.本节作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向量线性运算.问题7：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？ 师生活动：（分析总结）对于向量)0(≠a a 、b ，如果有一个实数λ，使a b λ=，那么由向量数乘的定义知a与b 共线，且向量b 是向量)0( ≠a a 模的λ倍，而λ的正负由向量)0( ≠a a 、b 的方向所决定.反过来，已知向量a 与b 共线，0 ≠a ，且向量b 的长度是向量a的长度的μ倍，即a b μ=，那么当a 与b 同方向时，有a b μ=；当a与b 反方向时，有a b μ-=.从上述两方面可知归纳总结：共线向量定理：向量)0(≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=.问题8:1) a为什么要是非零向量?2) b可以是零向量吗?3) 怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？ 学生活动：合作交流，独立作答. 教师活动：提问、引导、及时评价.设计意图：师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反，在向量)0( ≠a a 的前提下，向量)0(≠a a 、b 共线，当且仅当有一个实数λ，使得a b λ=；且实数λ的唯一性是由向量a和b 的模和方向同时决定.通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力. 例2.如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b a==,，你能用b a ,表示,,,吗？师生互动：利用向量共线的定理及平行四 边形的性质定理，即平行四边形的对角线互相平分.∵b a AC AB AC+=+=， .b a-=-=结合平行四边形的性质：b a b a AC MA2121)(2121--=+-=-=，,212121b a +==.212121b a+-=-=-=设计意图：综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算.尤其是应当注意到-=，-=从而可简化解题过程，并且在实际的解题中做到举一反三、融会贯通；通过例3的教学使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤. 4、课堂作业（1）.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若DB AD 2=，CB CA CD λ+=31，则λ的值为（ ）32.A31.B31.-C32.-D ,2121)(2121b a b a -=-==Aa（2.）计算：=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)24()82(2131b a b a.（3）.若向量方程0)2(32 =--a x x ，则向量=x.（4）.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.（1）=； （2）BC AD 31=； （3）==,5、课堂小结一、①aλ的定义及运算律；②向量共线定理)0( ≠a ，⇔=a b λ 向量a与b 共线.二、定理的应用：（1）证明向量共线；（2）证明三点共线：⇒=λA 、B 、C 三点共线； （3）证明两直线平行. 三、你体会到了那些数学思想.特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化等数学思想. 设计意图：1.知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.2.运用数学方法，创新素质的小结能让学生更系统，更深刻地理解数学理想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质.3.由学生口头表述，不仅可以提高学生的综合概括能力，还能提高学生的口头表达能力. 6、课后作业P92 A 组习题11、12题。
向量的数乘运算-1教案
教案2． 特例的点明(1) 当λ＝0时，|||0||0|||0||0a a a a λ====，所以，0a ＝0．这说明0与任意向量数乘运算的结果均为零向量．(2) 当a ＝0时，||||||||||00a λλλλ===⋅=00，所以，λ0＝0．这说明零向量与任意实数数乘运算的结果均为零向量．3． 小练习：已知向量a 如图所示，求作向量b ＝0.5a ，向量c ＝－2a ．关辨析以及定理的推倒过程都有着重要的作用．3． 这个练习一方面是对定义的直接应用．另一方面也为后面对几何意义进行理解所做的铺垫．环节2 加深向量数乘运算的几何意义的理解 1． 给定非零向量a ，并分别对λ＞1，λ＝1，λ∈(0,1)， λ＝0， λ∈(－1,0)， λ＝－1， λ＜－1几种情况下，λa 的长度与方向进行分析．2． 模拟λ连续变化时，数乘向量随λ变化而变化的情况，从几何直观上感受数乘运算的效果：非零向量的数乘运算，相当于对向量a ，延其所在直线方向的拉伸或压缩，其中，当 λ＜0时，可以看作是反向的伸缩． 本环节的意图是帮助学生从形上加深对向量数乘运算的理解．其中第2小部分如果用动画展示，更容易看出“伸缩”．环节3 猜想并验证向量数乘运算的运算律 1． 类比数量乘法的运算律，写出向量数乘运算可能满足的运算律．2． 通过几何作图的方式逐一验证上述运算律．3． 总结3条运算律并点明特例向量数乘运算律：(1) λ(μa )＝(λμ)a ＝(μλ)a ＝μ(λa )； (2) (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3) λ(a ＋b )＝λa ＋λb ． 特别的，λ(－a )＝(－λ)a ＝－(λa )；(λ－μ)a ＝λa ＋(－μ)a ＝λa －μa ； λ(a －b )＝λa ＋λ(－b )＝λa －λb ．定义了新的运算以后，考察它的运算律是一个自然的问题．希望学生经历并内化研究运算的一般过程． 1． 通过类比的方式猜想向量数乘的运算律，类比是发现和提出问题的重要方法．2． 运算律的证明难度较大，故本课只对运算律进行简单的作图验证．这也相当于运算律的几何意义． 作图验证的过程也是对向量数乘运算定义的再巩固．3．验证运算律之后，还需要对运算律进行再认识．“特别的”是从一般再到特殊的过程，特殊的结论也有特殊的价值．第一条结论使得我们对负号的处理更加灵活，最后两条说明向量数乘运算对于数量和向量的减法也都满足分配律．这些都与数量的乘法类似．环节4 定义向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍为向量．对于任意向量a与b，以及任意实数λ, μ1, μ2，λ(μ1a ±μ2b)＝λμ1a ±λμ2b .体会向量线性运算与数量运算之间的相似性．例题例1点C在线段AB 上，且52=ACBC，则_____=AC AB，_____=BC AB．分析：作出图形，依照向量数乘运算的定义，即可得到答案．第一个空应填57，第二个空应填27-．例1本题是对定义的逆向应用，通过两向量长度和方向的关系，找到二者的运算关系．例2判断下列结论的正误：①0a＝0；②若λa＝0，则λ＝0或a＝0；③若λa＝λb，则a＝b；④若λa＝μa，则λ＝μ．分析：①题目是数量0乘以向量a，属于数乘运算，结果应为向量，而等号右边却是数量0，因此是错误的．例2第1小题的设计意图是使学生明确两件事：一是向量数乘运算的结果是一个向量；二是数量0与向量0在表示上的区别．后三个小题，一方面加深对数乘运算的理解，另一方面可以与数量乘法运算的相关ABCD 的两条对角a =AB ，b =AD ，表示向量MA 和MB ．和点Q 分别在线段BD ＝6DP ，AQ ＝2QC ，用表示向量AP 和PQ ．在□ABCD 中，a =+=+AC AB AD a =-=-DB AB AD 121()21122a b a b =-=-+=--MA AC ，11(22a ==-MB DB (2) 在△ADP 中，161()61566b b a b a b =+=+=+-=+.AP AD DP DB在△APQ 中， 2321()(361126a b a a b =-=-=+-+=-.PQ AQ APAC AP 这节课，我们类比数量的乘法定义了向量14 AD AB ，DE 相交于点 E ，△ ABC 的中线N ．设AB ＝a ，AC ＝分别表示向量AE ，BC ，DE ，DB ，EC ，DN ，AN ．。
教案平面向量的数乘运算
教案：平面向量的数乘运算教学目标：1. 理解平面向量的数乘运算概念。
2. 掌握平面向量的数乘运算规则。
3. 能够运用数乘运算解决实际问题。
教学内容：一、平面向量的数乘运算概念1. 引入向量的概念，回顾向量的定义和表示方法。
2. 引入数乘运算的概念，解释数乘运算的含义。
二、平面向量的数乘运算规则1. 展示平面向量的数乘运算例子，引导学生总结数乘运算的规律。
2. 讲解平面向量的数乘运算规则，包括标量与向量的乘法以及向量的数乘。
三、数乘运算的性质1. 引导学生思考数乘运算的性质，如交换律、结合律等。
2. 讲解数乘运算的性质，并通过示例进行说明。
四、数乘运算在实际问题中的应用1. 给出实际问题，引导学生运用数乘运算进行解决。
2. 讲解数乘运算在实际问题中的应用方法，如速度和加速度的合成等。
五、巩固练习1. 提供练习题，让学生独立完成，巩固对数乘运算的理解和应用。
2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。
教学资源：1. 教学PPT或黑板，用于展示向量和数乘运算的示例和性质。
2. 练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生对数乘运算的理解程度和应用能力。
3. 学生练习题的完成情况。
教学时间安排：1. 第一节课：介绍平面向量的数乘运算概念。
2. 第二节课：讲解平面向量的数乘运算规则。
3. 第三节课：讲解数乘运算的性质。
4. 第四节课：讲解数乘运算在实际问题中的应用。
5. 第五节课：巩固练习和解答学生问题。
教案：平面向量的数乘运算（续）六、数乘运算与向量长度的关系1. 回顾向量长度的定义和计算方法。
2. 讲解数乘运算与向量长度的关系，引导学生理解数乘运算对向量长度的影响。
七、数乘运算与向量方向的关系1. 讲解数乘运算与向量方向的关系，包括数乘运算对向量方向的影响。
2. 引导学生通过示例理解数乘运算对向量方向的影响。
八、数乘运算的逆元素1. 引入逆元素的概念，解释数乘运算的逆元素。
《空间向量的数乘运算》教案
《空间向量的数乘运算》教案第一章：引言1.1 课程背景在高中数学中，向量是描述物理运动、几何图形等方面的重要工具。
数乘运算作为向量运算的基础，对于学生理解和掌握向量的性质和运算规律具有重要意义。
1.2 教学目标通过本章学习，使学生了解数乘运算的概念，掌握数乘运算的性质和运算规律，能够运用数乘运算解决实际问题。
第二章：数乘运算的定义及性质2.1 数乘运算的定义定义：对于向量a和实数λ，数乘运算定义为λa，记作λa。
2.2 数乘运算的性质性质1：交换律对于任意实数λ和μ，有λa = μa。
性质2：结合律对于任意实数λ、μ和向量a，有(λμ)a = λ(μa)。
性质3：分配律对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ+ μ)a = λa + μa，以及λ(a + b) = λa + λb。
第三章：数乘运算的运算规律3.1 数乘运算与向量长度的关系数乘运算不改变向量的长度，即|λa| = |a|。
数乘运算不改变向量的方向，即λa与a同向或反向。
第四章：数乘运算的应用4.1 数乘运算在几何中的应用数乘运算可以用来放大或缩小向量，例如，在几何作图中，可以通过数乘运算来构造特定长度的向量。
4.2 数乘运算在物理中的应用在物理学中，数乘运算可以用来表示向量的速度、加速度等物理量的倍数。
第五章：小结与练习5.1 数乘运算的概念和性质本章学习了数乘运算的定义及性质，包括交换律、结合律和分配律。
5.2 数乘运算的运算规律本章学习了数乘运算与向量长度和方向的关系。
5.3 数乘运算的应用本章学习了数乘运算在几何和物理中的应用。
1. 判断下列命题的正确性：(1) 对于任意向量a和实数λ，λa = μa。
(2) 对于任意实数λ、μ和向量a，有(λμ)a = λ(μa)。
(3) 对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ+ μ)a = λa + μa，以及λ(a + b) = λa + λb。
2. 判断下列命题的正确性：(1) 数乘运算会改变向量的长度。
向量的数乘运算教案
向量的数乘运算教案教案标题：向量的数乘运算教案教学目标：1. 理解向量的数乘运算的概念和性质；2. 掌握向量的数乘运算的计算方法；3. 能够应用向量的数乘运算解决实际问题。
教学重点：1. 向量的数乘运算的定义和性质；2. 向量的数乘运算的计算方法。
教学难点：1. 理解向量的数乘运算的几何意义；2. 运用向量的数乘运算解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算工具、教学PPT；2. 学生准备：课本、笔记本、计算工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师引入向量的数乘运算的概念，通过实际例子说明向量的数乘运算的意义和应用；2. 提问学生：你们对向量的数乘运算有什么了解？有什么应用场景？二、概念讲解（10分钟）1. 教师介绍向量的数乘运算的定义和性质，包括数乘的定义、数乘的性质（分配律、结合律等）；2. 教师通过几何图形解释向量的数乘运算的几何意义。
三、计算方法（15分钟）1. 教师详细讲解向量的数乘运算的计算方法，包括向量与实数的相乘、向量的分量与实数的乘积等；2. 教师通过示例演示向量的数乘运算的具体计算步骤。
四、练习与讨论（15分钟）1. 学生进行课堂练习，计算给定向量的数乘运算；2. 学生互相讨论解题方法和答案，并与教师进行交流。
五、拓展应用（10分钟）1. 教师引导学生思考向量的数乘运算在实际问题中的应用，如力的合成、速度的变化等；2. 学生尝试应用向量的数乘运算解决实际问题，并与教师分享解题思路和结果。
六、归纳总结（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结和归纳，强调向量的数乘运算的重要性和应用；2. 学生进行笔记整理，梳理向量的数乘运算的关键点和方法。
七、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关练习题作为课后作业，巩固向量的数乘运算的知识；2. 教师提醒学生预习下节课的内容，做好课前准备。
教学反思：本节课通过引入实际例子、概念讲解、计算方法、练习与讨论、拓展应用等环节，全面介绍了向量的数乘运算的概念、性质和计算方法，培养了学生的计算能力和应用能力。
向量的数乘教案
向量的数乘教案教案：向量的数乘教学目标：1. 了解向量的数乘的概念和性质。
2. 掌握向量的数乘的计算方法。
3. 能够应用向量的数乘解决简单的几何问题。
教学重点：1. 向量的数乘的概念和性质。
2. 向量的数乘的计算方法。
教学难点：1. 向量的数乘的性质的理解与运用。
2. 向量的数乘与几何问题的联系。
教学准备：白板、黑板笔、教学课件、练习题。
教学过程：Step 1：引入新知识（5分钟）1. 向学生展示一个重量物品的图像，并询问学生这个图像代表的是什么，并引导学生思考一个问题：如果这个重量物品增加2倍重量，该如何表示？2. 引导学生思考数乘概念，引出向量的数乘的概念。
Step 2：向量的数乘的概念与性质（10分钟）1. 讲解向量的数乘的概念：向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个实数。
2. 引导学生思考数乘的性质：数乘的结果仍然是一个向量，数乘后的向量与原向量的方向相同或相反，数乘后的向量的大小是原向量的大小的乘积。
Step 3：向量的数乘的计算方法（15分钟）1. 讲解向量的数乘的计算方法：将实数分别乘以向量的每个分量。
2. 在黑板上进行示范演示，引导学生逐步理解向量的数乘的计算方法。
Step 4：向量的数乘的应用（15分钟）1. 引导学生思考数乘在几何问题中的应用。
例如，一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，经过3小时，汽车行驶的距离如何表示？2. 让学生独立思考并解答应用题，加深对向量的数乘的应用理解。
Step 5：练习与巩固（10分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成，再进行学生讲解答案。
2. 在学生出现错误或不理解的地方进行解答和讲解。
Step 6：小结与反思（5分钟）1. 总结向量的数乘的概念、性质和计算方法。
2. 引导学生思考向量的数乘在几何问题中的应用。
教学延伸：1. 调查与讨论向量的数乘在实际生活中的应用，例如速度、力和功等。
2. 深入研究向量的数乘的性质和计算方法，并解决更复杂的几何问题。
《向量的数乘运算及其几何意义》教案(新人教A版必修4).doc
§2.2.3向量的数乘运算及其几何意义（新教改A版教材）教学目标：（1）掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义；（2）让学生能山实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；（3）初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。
教学重点、难点：重点：向量的数乘运算法则的理解及几何意义。
难点：正确运用法则解决几何问题。
教学过程:ctcici问定理形成运算率的形成及证明反叩可。
若原向量已有非零实系数，那么实系数相乘再作系数。
并且：特殊地，当实数o和一•个向量相乘时，得到的仍为一个向量，旦模为0, 即“零向量”。
（因为冬向量的方向不固定旦模为0,所以我们不能以一个固定方向的箭头或一个点来表示它，所以“零向代数形式为6。
）1.计算下列各式：应用举例（1）（—2） x —U ;（2）20+。
）一3（0-力）；（3）（人 +一万）一（人一"）0+万）.解：（1）（-2）2=（-2 X ^）a；=（-\）a = -a（2）2（0+力）一3（0一万）= 2a + 2b-3a + 3b• 9= （2«—M） + （2 方+ 3 方）= -a+5b例3作图是学生需要锻炼的能力之-，督促学生画好，其次是注意同顾和正确使用向景加法法则，亦可以使用相似先得到线段长度的关系，判断方向，从而得到结论对于数乘向量的计算法则，证明要求不是很高，学生们只需要理解、掌握、并旦能够灵活运用该法则解答、证明题就可以了通过分段设问，引导学生体会解题思路的形成过程，培养学生独立思考分析、解决问题的能力%1.教学资源建议：可以参阅之前.向量这一•部分的参考资料，结合新教材B版的自有的参考资料共同完成。
%1.教学方法与学习指导策略建议：本节内容介绍的是向量与实数相乘的相关内容,其中包括定义、性质以及运算法则，对于这一部分的内容我觉得关键是在于让学生能够从理解的角度认可并掌握实数与向量相乘的几何图形表示。
《向量的数乘运算》教案、导学案、课后作业
《6.2.3 向量的数乘运算》教案【教材分析】实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。
实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。
向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。
特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。
【教学目标与核心素养】 课程目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.数学学科素养1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【教学重点和难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【教学过程】 一、情景导入我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.aaa ()()()a a a二、预习课本，引入新课阅读课本13-16页，思考并完成以下问题1、向量数乘的定义及其几何意义是什么？2、向量数乘运算满足哪三条运算律？3、向量共线定理是怎样表述的？4、向量的线性运算是指的哪三种运算？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、定义实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：（1）.（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.2、实数与向量的积的运算律设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）；（2）；（3）.3、向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.四、典例分析、举一反三题型一向量的线性运算例1化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．λaλa||||||λaλaλλa a0λλa a 0λ0a0λaa bλμ()λμaλaμa()()λμaλμa()λa bλaλbb aλbλa【答案】(1) 14a －9b . (2)－2a ＋4b .【解析】(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b ) ＝－2a ＋4b .解题技巧（向量线性运算的方法）(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．跟踪训练一1、设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )． 2、已知a 与b ，且5x ＋2y ＝a,3x －y ＝b ，求x ，y .【答案】1、－53i －5j . 2、⎩⎪⎨⎪⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .．【解析】1、原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝－53i －5j .2、联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝a ，3x －y ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝111a ＋211b ，y ＝311a －511b .题型二 向量线性运算的应用例2 如图所示，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，DC ―→＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ―→，MN ―→.【答案】 BC ―→－a ＋b ＋c . MN ―→＝12a －b －12c .【解析】 BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝－a ＋b ＋c . ∵MN ―→＝MD ―→＋DA ―→＋AN ―→，又MD ―→＝－12DC ―→，DA ―→＝－AD ―→，AN ―→＝12AB ―→，∴MN ―→＝12a －b －12c .解题技巧： (用已知向量表示未知向量)用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．跟踪训练二1、如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ―→＝a ，BD ―→＝b ，试用a ，b 分别表示DE ―→，CE ―→，MN ―→.【答案】DE ―→＝12a . CE ―→＝－12a ＋b . MN ―→＝14a －b .【解析】由三角形中位线定理，知DE 平行且等于12BC ，故DE ―→＝12BC ―→，即DE ―→＝12a .CE ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DE ―→＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN ―→＝MD ―→＋DB ―→＋BN ―→＝12ED ―→＋DB ―→＋12BC ―→＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .题型三 共线定理的应用例3 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值． 【答案】（1）见解析，（2）k ＝±1.【解析】 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2， BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ． ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，解得k ＝±1.解题技巧（用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路）(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB ―→＝λAC ―→，则AB ―→，AC ―→共线，又AB ―→与AC ―→有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．跟踪训练三1、已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线；2、已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．【答案】1、见解析.2、x ＋y ＝1.【解析】1、证明：∵CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2， ∴BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2. 又AB →＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB →＝2BD →，∴AB →∥BD →. ∵AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．2、解 由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)， 所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本15、16页练习，22页习题6.2的8，9，12，13，14，15题. 【教学反思】向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线就可以用点A 和某个向量表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.《6.2.3 向量的数乘运算》导学案【学习目标】 知识目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.核心素养l aa1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【学习重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 【学习难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本13-16页，填写。
数乘向量教案
【教学目标】
1.知识目标：
(1)理解数乘向量的定义及其几何意义；
(2)掌握数乘向量的运算律；
(3)理解向量的线性运算的概念，并能够进行向量的线性运算；
(4)理解向量平行基本定理。
2.能力目标：
通过设置问题情景，培养学生的判断、归纳和推理能力
3.情感目标
（1）通过自主探究，激发学生学习数学的兴趣；
（2）通过对数学问题的讨论，培养学生严谨的科学态度；（3）通过本节课的学习，培养学生善于探索的思维品质。
【教学重点】
数乘向量运算及运算律，平行向量基本定理。
【教学难点】
平行向量基本定理的理解及应用。
【教学方法】
问题探究式；训练与实践式；基于信息技术的教学方法
【教学过程设计】
1.复习回顾：
（1）向量的加法的三角形法则
（2）向量的加法的平行四边形法则。
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6.2.3向量的数乘运算课标解读课标要求核心素养1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则.2.理解平面向量数乘运算的几何意义.(重点)3.理解两个平面向量共线的含义.(难点)1.运用向量数乘运算律进行向量运算,培养数学运算核心素养.2.通过对比实数的运算律理解向量数乘的运算律,培养类比推理的能力.3.通过共线定理的应用培养直观想象核心素养.一只兔子第1秒钟向东跑了2米,第2、3秒钟又向东各跑了2米.问题1:兔子3秒的位移一共是多少?答案设兔子第1秒的位移是向量a,则3秒的位移是向量3a.问题2:若兔子向西跑3秒,则向量是多少?答案-3a(用a表示向东跑1秒).1.向量的数乘定义实数λ与向量a的积是一个①向量记法λa长度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向②相同λ<0λa的方向与a的方向③相反几何意义λa中的实数λ是向量a的系数λ>0λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大④|λ|倍得到λ<0λa可以看作是把向量a沿着a的反方向缩小|λ|倍得到特别提醒当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0.思考1:实数与向量能否进行加减运算?提示不能.2.向量的数乘运算的运算律设λ,μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=⑤λa +μa; (3)λ(a+b )=λa +λb.思考2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系? 提示两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律. 3.向量的线性运算(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是⑥向量. (2)对于任意向量a,b 以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b. 思考3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系? 提示在形式上类似. 4.共线向量定理向量a(a ≠0)与b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦b =λa. 思考4:λ与向量a,b 的方向有什么关系?提示若λ>0,则a 与b 同向;若λ<0,则a 与b 反向.探究一向量的线性运算例1(1)化简下列各式:①3(6a+b)-9(a +13b);②12[3a +2b -(a +12b)]-2(12a +38b); ③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.(2)已知向量a,b,m,n 满足a=3m+2n,b=m-3n,试用向量a,b 表示向量m,n. 解析(1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a. ②原式=12(2a +32b)-a-34b=a+34b-a-34b=0. ③原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. (2)a=3m+2n ①,b=m-3n ②, 则①×3+②×2得3a+2b=11m, 即m=311a+211b. ①-②×3得a-3b=11n,即n=111a-311b. 思维突破向量的线性运算的技巧向量的线性运算类似于代数多项式的运算.(1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性运算中也可以使用.(2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 1-1化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); (2)16[2(2a+8b)-4(4a-2b)]; (3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).解析(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式=16×(4a+16b-16a+8b)=16×(-12a+24b)=-2a+4b. (3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b) =(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b =2na-2mb.探究二共线向量定理及其应用例2设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),求证:A 、B 、D 三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b 与a+kb 共线. 解析(1)证明:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b, CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, 又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B,∴A 、B 、D 三点共线. (2)∵ka+b 与a+kb 共线, ∴存在实数λ,使ka+b =λ(a+kb), 即ka+b =λa +λk b,∴(k-λ)a =(λk -1)b. ∵a 、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk -1=0,∴k 2-1=0,∴k=±1. 思维突破用向量法证明三点共线的关键与步骤(1)关键:能否找到一个实数λ,使得b =λa(a 、b 为这三点构成的任意两个向量). (2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线.2-1如图,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 的中点,点N 在线段BD 上,且有BN=13BD,求证:M,N,C 三点共线.证明设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a+13(b-a)=16a+13b,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+b=3×(16a +13b)=3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点M,∴M,N,C 三点共线.探究三向量线性运算的应用例3(易错题)已知点E,F 分别为四边形ABCD 的对角线AC,BD 的中点,设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示EF⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析如图所示,取AB 的中点P,连接EP,FP. 在△ABC 中,EP 是中位线, 所以PE⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a. 在△ABD 中,FP 是中位线,所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12b.在△EFP 中,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF⃗⃗⃗⃗⃗ =-12·a-12b =-12(a+b).易错点拨在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.3-1已知四边形ABCD 是一个梯形,AB ∥CD,且AB=2CD,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析解法一:如图,连接CN, 易知AN 与DC 垂直且相等, 所以四边形ANCD 是平行四边形. CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b,又因为CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+14a. 解法二:因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以a+BC⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)+(-b)=0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, 又因为在四边形ADMN 中有AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以b+14a+MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)=0, 所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a-b. 3-2设O 为△ABC 内任意一点,且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若D,E 分别是BC,CA 的中点. (1)求证:D,E,O 三点共线; (2)求S△ABC S △AOC的值.解析(1)证明:如图,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点O, ∴D,E,O 三点共线. (2)由(1)知2|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴S △AOC =2S △COE =2×23S △CDE =2×23×14×S △ABC =13S △ABC ,∴S△ABC S △AOC=3.1.已知非零向量a,b 满足a=4b,则() A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a,b 的方向相同 D.a,b 的方向相反答案C ∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|. ∵4b 与b 的方向相同, ∴a 与b 的方向相同.2.(多选题)下列向量中,a,b 一定共线的是() A.a=2e,b=-2e B.a=e 1-e 2,b=-2e 1+2e 2 C.a=4e 1-25e 2,b=e 1-110e 2 D.a=e 1+e 2,b=2e 1-2e 2答案ABCA 中,b=-a,则a,b 共线;B 中,b=-2a,则a,b 共线;C 中,a=4b,则a,b 共线;D 中,a,b 不共线.3.已知向量a=e 1+λe 2,b=2e 1,λ∈R,且λ≠0,若a ∥b,则() A.e 1=0B.e 2=0C.e 1∥e 2D.e 1∥e 2或e 1=0或e 2=0 答案D4.已知x,y 是实数,向量a,b 不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=,y=. 答案12;12解析由已知得{x +y -1=0,x -y =0,解得x=y=12.5.已知两个非零向量e 1、e 2不共线,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 1+23e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1-8e 2.求证:A 、B 、D 三点共线.证明∵AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2+6e 1+23e 2+4e 1-8e 2 =12e 1+18e 2=6(2e 1+3e 2)=6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.又∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A, ∴A 、B 、D 三点共线.数学运算——在几何图形中进行向量线性运算如图所示,已知▱ABCD 的边BC,CD 上的中点分别为K,L,且AK ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .审:几何图形中用已知向量表示待求向量,可考虑用三角形法则或共线定理. 联:结合图形特征,把待求向量放在三角形中,进行加减运算. 解:解法一:设BC⃗⃗⃗⃗⃗ =a,则BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =①, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ +KB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,DL⃗⃗⃗⃗⃗ =12e 1-14a. 又AD⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得a+12e 1-14a=e 2, 解得a=②.由CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =③.解法二:设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n,则BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12m,DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12n. 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ , 得④,得m=23(2e 2-e 1),n=⑤,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-43e 1+23e 2. 解法三:如图所示,BC 的延长线与AL 的延长线交于点E,则△DLA ≌△CLE.从而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 由KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得32BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 2-e 1, 即BC⃗⃗⃗⃗⃗ =⑥. 同理可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =⑦.思:解决此类问题的一般思路是将所表示向量置于某一个三角形内,用加减法进行运算,然后逐步用已知向量表示待求向量,过程中体现数学运算核心素养.答案①12a ②43e 2-23e 1,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1 ③-43e 1+23e 2④{-n +12m =e 1m -12n =e 2⑤23(-2e 1+e 2)⑥43e 2-23e 1⑦-43e 1+23e 2如图所示,四边形OADB 是以向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b 为邻边的平行四边形,又BM=13BC,CN=13CD,试用a,b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16(a-b)=16a-16b, ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+16a-16b=16a+56b. ∵CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ )=23a+23b, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a+23b-16a-56b=12a-16b.1.将112[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为() A.2a-bB.2b-a C.a-bD.b-a答案B2.在△ABC 中,如果AD,BE 分别为BC,AC 上的中线,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,那么BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.23a+43bB.23a-23b C.23a-43bD.-23a+43b 答案A3.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+4b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b-a,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(a+b),则() A.A 、B 、C 三点共线B.A 、B 、D 三点共线 C.A 、C 、D 三点共线D.B 、C 、D 三点共线 答案B4.在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ等于() A.23B.13C.-13D.-23答案A 解法一:由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 解法二:CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) B.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) C.λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ -BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) D.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) 答案A 因为P 是对角线AC 上的一点(不包括端点A 、C),所以存在λ∈(0,1),使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1). 6.已知向量a,b 不共线,实数x,y 满足向量等式5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x=,y=. 答案3;-4解析因为a 与b 不共线,所以{5x =3y +27,8-y =4x,解得{x =3,y =-4.7.若|a|=3,|b|=2,b 与a 反向,则a=b. 答案-32解析因为b 与a 反向,所以a =λb ,λ<0.又|a|=3,|b|=2,所以|a|∶|b |=|λ|, 所以λ=-32,所以a=-32b.8.如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别为BD,AB,AC,CD 的中点,求证:四边形EFGH 为平行四边形.证明∵F,G 分别是AB,AC 的中点, ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .同理,EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG=EH,FG ∥EH,∴四边形EFGH 为平行四边形.9.已知△ABC 和点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若存在实数m 使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,则m=() A.2B.3C.4D.5答案B 由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知,M 为△ABC 的重心,故AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即m=3.10.(多选题)在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 可以是() A.-13B.-14C.0D.-√26答案BD 当点O 与点C 重合时,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-0)·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时x=0;当点O 与点D 重合时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 此时x=-13.因为点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),所以-13<x<0.故x 可以是-14,-√26.故选BD. 11.若对于△ABC 内部的一点O,存在实数λ使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )成立,则△OBC 与△ABC 的面积比为. 答案1∶2解析如图所示,设D,E 分别是AB,AC 的中点,连接OA,OB,OC,以OA,OB 为邻边作平行四边形OAGB,以OA,OC 为邻边作平行四边形OAFC,连接OG,OF.则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以点O 在线段DE 上.又因为D,E 分别是AB,AC 的中点,所以△OBC 与△ABC 的面积比是1∶2.12.如图,四边形ABCD 是一个梯形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示下列向量:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =;MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =. 答案e 2+12e 1;14e 1-e 2解析因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2+12e 1.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-14e 1-e 2+12e 1=14e 1-e 2. 13.已知O,A,M,B 为平面上四点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ,λ≠1,λ≠0).(1)求证:A,B,M 三点共线;(2)若点B 在线段AM 上,求实数λ的取值范围.解析(1)证明:因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又λ∈R ,λ≠1,λ≠0,且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A,所以A,B,M 三点共线.(2)由(1)知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若点B 在线段AM 上,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向且|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |(如图所示),所以λ>1.14.平面内有一个△ABC 和一点O(如图),线段OA,OB,OC 的中点分别为E,F,G,线段BC,CA,AB 的中点分别为L,M,N,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c. (1)试用a,b,c 表示向量EL⃗⃗⃗⃗⃗ ,FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)证明:线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.解析(1)因为OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a,OL ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c),所以EL ⃗⃗⃗⃗⃗ =OL ⃗⃗⃗⃗⃗ -OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c-a). 同理可得FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+c-b), GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b-c). (2)证明:设线段EL 的中点为P 1,则OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OL ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14(a+b+c). 设FM,GN 的中点分别为P 2,P 3,同理可求得OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),所以OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.。