第二章 2.2.3平面向量乘法

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题型探究
类型一
例1 解
重点难点 个个击破
向量数乘的基本运算
1 1 2 (1)化简34a－3b＋3b－46a－7b；
1 3 7 2 原式＝34a－3b＋3b－2a＋4b
3 1 7 2 ＝34－2a＋－3＋3＋4b
3×(3a＋2b)－2y＝a，
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
计算：
(1)(a＋b)－3(a－b)－8a； 解 (a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.
解析答案
(2)若
1 1 2y－3a－3(c＋b－3y)＋b＝0，其中
→ A，B，D CD＝7e1－2e2，则共线的三个点是______________. 解析 → ＝2AB. → → ∴AB，BD共线，且有公共点 B，∴A，B，D 三点共线. → → → → ∵AB＝e1＋2e2，BD＝BC＋CD＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)
解析答案
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→ → → (2)已知 A，B，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP＝xOA＋yOB，则
(1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
答案
知识点三 思考
向量共线定理
若b＝2a，b与a共线吗？
答
根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线.
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b 与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
1 x＋y＝________.
解 → → 由于 A，B，P 三点共线，则AB，AP在同一直线上，
→ → → → → → 由共线向量定理可知， 必存在实数 λ 使得AP＝λAB即OP－OA＝λ(OB－OA)，
→ → → ∴OP＝(1－λ)OA＋λOB.
∴x＝1－λ，y＝λ，则x＋y＝1.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3
→ → (1)设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝
→ e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若 A，B，D 三点共线，求 k 的值.
解 → → → BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
第二章
§ 2.2 平面向量的线性运算
2.2.3 向量数乘运算及其
几何意义
问题导学
知识点一
思考1
新知探究 点点落实
向量数乘的定义
向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？
答
3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同.
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反.
答案
思考2
一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向
量的数乘.记作λa，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向 相同 ； 当 λ ＜ 0 时 ， λa 的 方 向 与 a 的 方 向
例2 (1)如图，在△ABC 中，D，E 为边 AB 的两个三
→ → → → 等分点，CA＝3a，CB＝2b，求CD，CE.
解
→ → → → → ∵CA＝3a，CB＝2b， ∴AB＝CB－CA＝2b－3a， → 1→ 2 所以AD＝3AB＝3b－a，
又D，E为边AB的两个三等分点，
2 2 2→ → → → → → → 所以CD＝CA＋AD＝3a＋3b－a＝2a＋3b， CE＝CA＋AE＝3a＋ AB 3 2 4 ＝3a＋3(2b－3a)＝a＋3b.
① ②
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2
如图，在△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AC＝BA，在 OB 上取
1 → → 点 D，使 DB＝3OB，DC 与 OA 交点为 E，设OA＝a，OB＝b，用 a，b 表 → → 示向量OC，DC.
解析答案
类型三 共线问题
例3 → → (1)已知非零向量 e1，e2 不共线，如果AB＝e1＋2e2，BC＝－5e1＋6e2，
a，b，c 为已知向量，则未知向
2 2 1 a－9b＋9c 9 量 y＝____________________. 解析
1 1 2y－3a－3(c＋b－3y)＋b＝0，
2 2 1 2 2 1 3y－3a＋3b－3c＝0，所以 y＝9a－9b＋9c.
解析答案
类型二 向量的表示
11 2 5 11 5 ＝32a－12b＝3a－18b.
解析答案
(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－ 2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.
解
3x－2y＝a ①， 由 ①×3 ＋ ②×2 得， x ＝ 3a ＋ 2b ，代入 ① 得 －4x＋3y＝b ②，
解析答案
→ (2)在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别是 DC，BC 的中点，已知AM＝c， → → → AN＝d，试用 c，d 表示AB和AD.
→ → 解 如图，设AB＝a，AD＝b.
→ 1 → 1 ∵M，N分别是DC，BC的中点， ∴BN＝ b，DM＝ a. 2 2 b＋1a＝c， → → → AD＋DM＝AM， 2 ∵在△ADM 和△ABN 中， 即 1 → → → AB ＋ BN ＝ AN ， a＋2b＝d. 2 2 ①×2－②，得 b＝3(2c－d). ②×2－①，得 a＝3(2d－c). 2 → 4 → 4 2 ∴AB＝3d－3c，AD＝3c－3d.
相反
；当a＝0时，λa＝0；
当λ＝0时，λa＝0. (3)λa几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当|λ|＞1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的 | λ| 倍 .
答案
知识点二 思考 答
向量数乘的运算律
类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？ 结合律，分配律.