人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念习题(最新整理)
新人教版高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课后习题新人教A版必修4
2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.如图所示,A,B,C是☉O上的点,则向量是()A.有相同起点的向量B.方向相同的向量C.模相等的向量D.相等的向量解析:因为这三个向量的起点不同,方向也不同,但长度都等于圆的半径.所以A,B,D不正确,C正确.答案:C2.如图,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O,则图中与相等的向量是()A.B.C.D.解析:由相等向量的定义知,,故选D.答案:D3.命题“若a∥b,b∥c,则a∥c”()A.恒成立B.当a≠0时成立C.当b≠0时成立D.当c≠0时成立解析:当b=0时,a,c为任意向量都满足a∥b,b∥c,故a与c不一定平行.答案:C4.如图所示,点O是正六边形ABCDEF的中心,与向量平行且模相等的向量有()A.B.C.D.解析:与平行包含两个方面:方向相同或相反,故选D.答案:D5.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=.解析:由已知不共线,所以当m∥,m∥时,m=0.答案:06.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0,其中能使a∥b成立的条件是.(填序号)解析:②中,由|a|=|b|不能确定a与b的方向,所以不能使a∥b.答案:①③④7.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AD与BC的中点,则在以A,B,C,D四点中的任意两点为起点和终点的所有向量中,与向量方向相反的向量为.解析:由已知得AB∥EF∥CD,所以与向量方向相反的向量有.答案:8.设数轴上有四个点A,B,C,D,其中A,C对应的实数分别是1和-3,且为单位向量,则点B对应的实数为;点D对应的实数为;||=.解析:由相等向量的定义知,点B对应的实数为-7;又||=1,所以点D对应的实数为-4或-2;||=||=4.答案:-7-4或-249.如图,某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈,他可按图中提供的向量行走,则将这些向量按顺序排列为.解析:注意到从A点出发,这些向量的顺序是a,e,d,c,b.答案:a,e,d,c,b10.如图所示是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与相等的向量共有几个?(2)与方向相同且模为3的向量共有几个?解:(1)与相等的向量共有5个(不包括本身),如图.(2)与方向相同且模为3的向量共有2个,如图.11.如图所示,在△ABC中,三边长均不相等,E,F,D分别是边AC,AB和BC的中点.(1)写出与共线的向量;(2)写出与模相等的向量;(3)写出与相等的向量.解:(1)∵E,F分别是边AC,AB的中点,∴EF∥BC,从而与共线的向量有:.(2)∵E,F,D分别是边AC,AB和BC的中点,∴EF=BC,BD=DC=BC.又AB,BC,AC均不相等,∴与的模相等的向量有:.(3)与相等的向量有两个,它们是.。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念习题(3)
2.1平面向量的实际背景及基本概念考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难向量的有关概念16、8向量的表示方法10相等向量或共线向量2、3、49向量的应用57、11121．下列说法中正确的个数是( )①身高是一个向量．②∠AOB的两条边都是向量．③温度含零上和零下温度，所以温度是向量．④物理学中的加速度是向量．A．0 B．1C．2 D．3解析：身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对②，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量，故选B.答案：B2．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”()A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立解析：对于此命题，只有当b≠0时，才有a∥b，b∥c⇒a∥c，故选C.答案：C3．以下说法错误的是( )A．零向量与任一非零向量平行B．零向量与单位向量的模不相等C．平行向量方向相同D．平行向量一定是共线向量解析：平行向量方向相同或相反．答案：C4．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是______．(填序号) 解析：对①，a＝b⇒a∥b；对②，|a|＝|b|，不一定有两向量共线；对③，若a与b 方向相反，则有a∥b；对④，若|a|＝0或|b|＝0，则有a∥b；对⑤，两单位向量不一定共线．综上可知①③④正确．答案：①③④5．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为______．解析：∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC .∴四边形ABCD 是平行四边形．又|AB →|＝|AD →|，即AB ＝AD ，∴该四边形是菱形．答案：菱形6．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________． (2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________． 解析：结合图形可知： (1)|CH →|＝|AE →|＝10.(2)DG →与HF →共线，|DG →|＝22，|HF →|＝32，故|DG →|＋|HF →|＝5 2. 答案：(1)CH →，AE →10 (2)DG →，HF →5 27.如图所示，在梯形ABCD 中，若E 、F 分别为腰AB 、DC 的三等分点，且|AD →|＝2，|BC →|＝5，求|EF →|.解：如图，过D 作DH ∥AB ，分别交EF 、BC 于点G 、H ， ∵|AD →|＝2，∴|EG →|＝|BH →|＝2. 又|BC →|＝5，∴|HC →|＝3.又E 、F 分别为腰AB 、DC 的三等分点， ∴G 为DH 的三等分点． ∴GF →∥HC →且|GF →|＝13|HC →|.∴|GF →|＝1.∴|EF →|＝|EG →|＋|GF →|＝2＋1＝3.8．在平面内已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆D ．不能确定解析：由于|OA →|＝2，所以A 点构成一个以O 为圆心，半径为2的圆． 答案：C9．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线， ∴AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， ∴m ＝0. 答案：010．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O ，并求终点的坐标． (1)|a |＝2，a 的方向与x 轴正方向的夹角为60°，与y 轴正方向的夹角为30°； (2)|a |＝4，a 的方向与x 轴正方向的夹角为30°，与y 轴正方向的夹角为120°； (3)|a |＝42，a 的方向与x 轴、y 轴正方向的夹角都是135°. 解：如图所示：11.已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，H 、G 分别是AD 、DC 的中点．求证：EF →＝HG →.证明：在△ABC 中，由三角形中位线定理知，EF ∥AC ，EF ＝12AC ；同理，HG ∥AC ，HG ＝12AC .所以|EF →|＝|HG →|且EF →和HG →同向，故EF →＝HG →.12.如图所示，平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}．试求集合T 中元素的个数．解：由题可知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →，BA →，BC →，BD →，BO →，CA →，CB →，CD →，CO →，DA →，DB →，DC →，DO →，OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.又集合元素具有互异性，故集合T 中的元素共有12个．平面向量是既有大小又有方向的一种量，因此，在学习时要注意思维方式的改变，既要考虑数量的大小，又要考虑方向的影响．1．本节内容涉及的概念较多，必须认真辨析易混淆的概念，如向量与数量、向量与矢量、向量与有向线段、平行向量与共线向量和相等向量等．这些内容是平面向量的起始内容，是构建向量理论体系的基础，要注意认真体会概念的内涵．2．关注几个特殊向量(1)零向量：模为零的向量称为零向量，规定零向量与任一向量平行． (2)单位向量：模为1的向量，两个单位向量不一定相等． (3)相等向量：模相等，方向相同的向量．(4)共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课时训练(含解析)新人教A版必修4(
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§2.1平面向量的实际背景及基本概念课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究,了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示。
2。
掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量:既有________，又有________的量叫向量．2．向量的几何表示:以A为起点,B为终点的向量记作________．3．向量的有关概念：（1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．（2)单位向量:长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4）平行向量（共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作________．②规定：零向量与__________平行．一、选择题1．下列物理量:①质量；②速度；③位移;④力;⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（)A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件中能得到a＝b的是（)A．|a|＝|b｜B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝03．下列说法正确的有（）①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．命题“若a∥b,b∥c，则a∥c"( ）A．总成立 B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立5．下列各命题中，正确的命题为（）A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一向量平行C．向量就是有向线段D．|a|＝|b|⇒a＝b6．下列说法正确的是（）A．向量错误!∥错误!就是错误!所在的直线平行于错误!所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．零向量长度等于0D．共线向量是在一条直线上的向量题号123456答案二、填空题7．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝｜b｜；③a与b的方向相反;④｜a｜＝0或｜b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．（填序号）8．在四边形ABCD中,错误!＝错误!且|错误!|＝｜错误!|，则四边形的形状为________．9．下列各种情况中,向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点;②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点,则与向量错误!共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来）．三、解答题11。
高中数学人教A版必修4讲义：第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念含答案
平面向量的实际背景及基本概念预习课本P74～76，思考并完成以下问题(1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？(2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？(3)两个向量(向量的模)能否比较大小？(4)如何判断相等向量或共线向量？向量AB与向量BA是相等向量吗？(5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？[新知初探]1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，…字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.(3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．[点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量能比较大小．()(2)向量的模是一个正实数．()(3)单位向量的模都相等．()(4)向量AB与向量BA是相等向量．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的个数()A．1B．2C．3D．4答案：B3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是()A．也可以用MN表示B．方向是由M指向NC．始点是M D．终点是M答案：D4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED相等的向量有______．答案：AB，DC向量的有关概念[典例]有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．[解析]对于①，|AB|＝|BA|＝AB，故①正确；对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误；对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误．[答案]①(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手①是否有大小；②是否有方向．(2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．[活学活用]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．向量的表示[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.解：如图所示．共线向量或相等向量[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.(2)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.(3)与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c相等的向量有FO，ED，AB.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．解：与向量BC相等的向量有OD，AO，FE.2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C由图可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为()A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确解析：选B根据共线向量定义，可知AB，BC，AC这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C根据向量的基本概念可知与AE平行的向量有BE，FD，FC，共3个．5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()A．AO＝BO B．AO＝BO或AO＝－BOC．AO＝1 D．|AO|＝|BO|解析：选D由于a与b的方向不知，故AO与BO无法判断是否相等，故A、B选项均错．又AO与BO均为单位向量．∴|AO|＝|BO|，故C错D对．6．已知|AB|＝1，|AC|＝2，若∠ABC＝90°，则|BC|＝________.解析：由勾股定理可知，BC＝AC2－AB2＝3，所以|BC|＝ 3.答案：37．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.答案：①③④9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．解：(1)与向量AB相等的向量是DC.(2)与OA的模相等的向量有：OB，OC，OD，BO，CO，DO，AO.10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．解：(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．(2)由题意知AD＝BC.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．所以AB＝DC，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是() A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PF解析：选D根据相等向量的定义，分析可得：A中，AD与BC方向不同，故AD＝BC错误；B中，AC与BD方向不同，故AC＝BD错误；C中，PE与PF方向相反，故PE＝PF错误；D中，EP与PF方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故EP＝PF正确．2．下列说法正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．终点相同的两个向量不共线C．若a≠b，则a一定不与b共线D．单位向量的长度为1解析：选D A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b可能共线．3．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是()A．①④B．③C．③④D．②③解析：选B a为任一非零向量，所以|a|＞0，故③正确；由向量、单位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误．故选B.4．在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有()A．一组B．二组C．三组D．四组解析：选A由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE＝EA.5．四边形ABCD满足AD＝BC，且|AC|＝|BD|，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．解析：∵AD＝BC，∴AD∥BC且|AD|＝|BC|，∴四边形ABCD是平行四边形．又|AC|＝|BD|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．答案：矩形6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)解析：∵O 是正三角形ABC 的中心，∴OA ＝OB ＝OC ，易知四边形AOCD 和四边形AOBE 均为菱形，∴与AD 相等的向量为OC ；与OA 共线的向量为DC ，EB ；与OA 的模相等的向量为OB ，OC ，DC ，EB ，AD . 答案：OC DC ，EB OB ，OC ，DC ，EB ，AD7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．(1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量．(2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD 共线的向量．解：(1)与DE 长度相等的向量是EF ，FD ，AF ，FC ，BD ，DA ，CE ，EB .(2)与FD 相等的向量是CE ，EB .(3)与DE 共线的向量是AC ，AF ，FC ； 与FD 共线的向量是CE ，EB ，CB .8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0；(2)x ，y 为何值时，AB 为单位向量．解：(1)要使AB ＝0，当且仅当点A 与点B 重合，于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－22. (2)如图，要使得AB 是单位向量，必须且只需|AB |＝1.由已知，l ∥m 且点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，－22， 所以B 1点的坐标是⎝⎛⎭⎫22，0.在Rt △AOB 1中，有 |1AB |2＝|OA |2＋|1OB |2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1， 即|1AB |＝1.上式表示，向量1AB 是单位向量．同理可得，当B 2的坐标是⎝⎛⎭⎫－22，－2时，向量AB 2―→也是单位向量． 综上有，当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－2时，向量AB 是单位向量．。
高中数学人教A版必修4第二章平面向量2.1.1向量的物理背景与概念 答案和解析
高中数学人教A 版必修4第二章平面向量2.1.1向量的物理背景与概念学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．正n 边形有n 条边,它们对应的向量依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ,则这n 个向量( ) A ．都相等 B ．都共线 C ．都不共线 D ．模都相等2．已知圆心为O 的⊙O 上三点A 、B 、C ，则向量BO⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A ．有相同起点的相等向量B ．长度为1的向量C ．模相等的向量D ．相等的向量3．下列说法中错误的是 ( )A ．有向线段可以表示向量但不是向量,且向量也不是有向线段B ．共线的向量,起点不同,终点可以相同C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等二、填空题4．与非零向量a 平行的单位向量有________个．5．设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K,L,M,N 分别是AB,BC,CD,DA 的中点,在以已知各点为起点和终点的向量中,与向量KL 相等的向量是____.参考答案1．D【解析】正n 边形n 条边相等,故这n 个向量的模相等.故选：D.2．C【解析】圆的半径r ＝|BO⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |不一定为1，故选C. 3．C【解析】对于A ，向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示向量，有向线段不是向量，向量也不是有向线段，∴A 正确；对于B ，共线的向量,起点不同,终点可以相同，B 正确；对于C ，长度相等但方向相反的两个向量是共线向量，∴C 错误；对于D ，相等向量的大小相等，方向相同的两个向量，∴方向相反的两个非零向量必不相等，D 正确．故选C ．点睛：本题考查了平面向量的基本概念，注意我们研究的向量根据需要是可以平移的，在平移过程中，仍然是相等向量.4．2【详解】与非零向量a 平行的单位向量即模为1,方向与向量a 相同或相反的向量有两个.故答案为25．NM【解析】因为点K,L 分别是AB,BC 的中点,所以KL∥AC,KL=12 AC,因为点M,N分别是CD,DA的中点,所以MN∥AC,MN=12 AC,所以KL∥MN,KL=MN,所以KL NM.故答案为NM点睛：本题考查了对相等向量的理解，充分利用中位线定理转化线段间的关系.。
人教A版必修四高一数学必修4同步练习——2.1平面向量的实际背景及基本概念(含解析).docx
高一数学同步练习——2.1平面向量的实际背景及基本概念（含解析）一、选择题：共12题 每题5分 共60分1．如图所示,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式成立的是( )A.=B.=C.=D.=2．已知O 点固定,且||=2,则符合题意的A 点构成的图形是A.一个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量是A.相等的向量B.平行的向量C.有相同起点的向量D.模相等的向量4．给出下列命题： ①向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量； ③若, ,则；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若,则. ⑥若与共线, 与共线,则与共线其中正确命题的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个 5．给出下列命题:①和的模相等;②方向不同的两个向量一定不平行;③向量就是有向线段;④0=0;⑤>.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 6．下列说法正确的是（ ）.A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量是C.长度相等的向量叫做相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量7．下列说法正确的是 A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C.向量的大小与方向有关.D.向量的模可以比较大小.8．若a 为任一非零向量,b 的模为1,下列各式:①|a|>|b|;②a ∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是( )A.①④B.③C.①②③D.②③9．已知圆心为O 的上有三点A 、B 、C ，则向量、、是b c =v v a c =v v a b =v v O eA.有相同起点的相等向量B.长度为1的向量C.模相等的向量D.相等的向量10．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则；③若，则四边形ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有；⑤若，，则；⑥，，则其中不正确的命题的个数为A.2个B.3个C.4个D.5个11．在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则A.与共线B.与共线C.与相等D.与相等12．若向量a与b不相等,则a与b一定A.有不相等的模B.不共线C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量二、填空题：共4题每题4分共16分13．如图所示,O是正三角形ABC的中心;四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量相等的向量有;与向量共线的向量有;与向量的模相等的向量有.(填图中所画出的向量)14．(2012·江苏省扬子中学课堂训练)已知四边形ABCD是等腰梯形,AB∥DC,下列各式:①=;②=;③||=||;④||≠||;⑤∥.其中所有正确的式子的序号是.15．如果对于任意的向量a,均有a∥b ,则b为.16．如图，圆O的半径为2，l圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|O A|=3，P0为圆周上一点，且，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动.①1秒钟后，点P的横坐标为________.②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为________.三、解答题：共6题共74分17．(本题12分)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量.18．(本题12分)如图所示是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与相等的向量共有几个？(2)与平行且模为的向量共有几个？(3)与方向相同且模为的向量共有几个？19．(本题12分)如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与相等的向量共有几个?(2)与方向相同且模为的向量共有几个?20．(本题12分)用向量表示小船的下列位移(用1∶500 000的比例尺):(1)由A地向东北方向航行15 km到达B地;(2)由A地向西偏北60°方向航行20 km到达C地,再由C地向正南方向航行25 km到达D地.21．(本题13分)某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点(1)作出向量、、(1cm表示200m)(2)求的模.22．(本题13分)已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000到达丙地，再从丙地按西南方向飞行到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？参考答案1.D【解析】根据相等向量的定义,分析可得:A 中,与的方向不同,故=错误;B 中,与的方向不同,故=错误;C 中,与的方向相反,故=错误;D 中,与的方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故=正确.【备注】无2.C【解析】∵||=2,∴终点A 到起点O 的距离为2,又O 点固定,∴A 点的轨迹是以O 为圆心,2为半径的圆,故选C .【备注】无3.D【解析】根据正方形的性质四个向量模相等方向不同.故选D.【备注】无4.B【解析】本题主要考查向量的概念，因为①量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上，错误；②个单位向量是相等向量，不一定成立，错误；③, ,则，成立；④一个向量的模为0，则该向量的方向不确定，成立； ⑤,则，还要方向相同才行，错误；⑥与共线,与共线,则与共线，当为零向量时不成立，错误.【备注】无5.B【解析】本题主要考查向量的有关概念. ①正确,与是方向相反、模相等的两个向量;②错误,方向不同包括共线反向的特例;③错误,向量用有向线段表示,但二者并不等同;④错误,0是一个向量,而0为一数量,应|0|=0;⑤错误,向量不能比较大小.只有①正确,故选B.【备注】无6.B【解析】本题主要考查平面向量的有关概念.选项A:方向相同或相反的非零向量是平行向量；选项C ：方向相同且长度相等的向量叫相等向量；选项D ：共线向量所在直线可能重合，也可能平行；故选B.b c =v v a c =v v a b =v v【备注】无7.D【解析】根据向量的定义，显然D 正确.【备注】无8.B【解析】①中,|a|的大小不能确定,故①错误;②中,两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向,故②错误;④中,向量的模是一个非负实数,故④错误;③正确.选B.【备注】无9.C【解析】圆的半径，不一定有r ＝1，故选C.【备注】无10.C【解析】方向相同大小相等的向量叫相等向量，所以②错；当A 、B 、C 、D 四点共线时③错.故选C.【备注】无11.B【解析】DE 为中位线.故选B.【备注】无12.C【解析】本题主要考查平面向量的基本概念.因为所有的零向量都是相等的向量,故只有C 正确.故选C.【备注】无13. , ,,,,【解析】∵O 是正三角形ABC 的中心,∴OA=OB=OC,∴结合相等向量及共线向量定义可知:与相等的向量有;与共线的向量有,;与的模相等的向量有,,,,.【备注】无14.③④⑤【解析】本题主要考查向量的基本概念.解题时必须正确区分“向量相等”与“向量的模相等”这两个概念,注意向量是否平行与向量的模无关.在等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC,但AB ≠DC,∴≠;AD=BC,但AD 与BC 不平行,∴≠;此外③④⑤都正确.【备注】无||||||BO OC OA r ===u u u r u u u r u u u r15.零向量【解析】无【备注】无16.①② 【解析】无【备注】无17.画出所有的向量，如图所示.【解析】无【备注】无18.解：(1)与向量相等的向量共有5个.(2)与向量的向量有23个.(3)与向量方向相同且模为的向量共有2个.【解析】无【备注】无19.（1）与向量相等的向量共有5个（不包括本身）.如图.（2）与向量方向相同且模为的向量共有2个，如图.32cos (0)6t t ππ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭AB u u u r AB u u u r AB u u u r AB u u u r AB u u u r AB u u u r【解析】无【备注】无20.(1)B地在A地的东北方向,即 B地在A地北偏东45°方向,线段AB的长度画为3 cm即可.如图所示.(2)由于C地在A地的西偏北60°方向,则线段AC与表示正北方向的线的夹角为30°,且线段AC的长度画为4 cm;D地在C地的正南方向,则画竖直向下的线段,长度为5 cm即可,连接AD,即为所求位移.如图所示.【解析】无【备注】无21.(1)如图所示：(2)由已知得四边形ABCD为平行四边形，所以==450m.【解析】本题主要考查向量的基本概念.【备注】无22.解：如图所示，、、、分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形为正三角形，∴．又∵，，∴为直角三角形，即，．答：丁地在甲地的东南方向，距甲地．【解析】本题主要考查平面向量的实际背景及基本概念。
高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做 ，长度为 的向量叫做零向量(zero vector)，记做 ．零向量的方向不确定．长度等于 个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 （parallel vectors），向量 、 平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量 与 相等，记做 ．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若 ， 是单位向量，则 ；⑥ 若非零向量 与 是共线向量，则四点 共线．其中真命题的个数为（ ）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（ ）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为 ，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示， 是正六边形 的中心．（1）与 的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与 长度相等、方向相反的向量？（3）与 共线的向量有哪些？解：（1）因为 的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有 个，所以共有 个与 的模相等的向量．（2）存在，是 ．（3）有 、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念练习新人教A版必修4(2021年整理)
2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念练习新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念练习新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．1。
1 向量的物理背景与概念2．1.2 向量的几何表示2．1。
3 相等向量与共线向量题号1234567891011得分答案一、选择题（本大题共7小题,每小题5分，共35分)1．下列说法正确的是（)A．若|a｜>｜b|,则a〉bB．若｜a|＝|b｜，则a＝bC．若a＝b，则a∥bD．若a≠b，则a与b不是共线向量2．已知A,B,C是⊙O上三点,则向量错误!，错误!，错误!是( ) A．共线向量 B．单位向量C．模相等的向量 D．相等向量3．下列说法中，不正确的是（）A．向量错误!的长度与向量错误!的长度相等B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等但方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同4．如图L2.1。
1所示，△ABC的三边边长均不相等,E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，则与向量错误!的模相等的向量共有（）图L21。
1A．6个 B．5个C．4个 D．3个5．如图L21。
2所示，四边形ABCD，CEFG，DCGH都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系中不一定成立的是( ）图L212A．|错误!|＝｜错误!| B。
人教A版数学必修四2.1 平面向量的实际背景及基本概念同步检测
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.1 平面向量的实际背景及基本概念同步检测一、选择题1. 下列说法中错误的是( )A. 零向量是没有方向的B. 零向量的长度为0C. 零向量与任一向量平D. 零向量的方向是任意的答案：A解析：解答：本题主要考查零向量的概念，对于选项A,零向量的方向是任意的，故错误；零向量的方向是任意的；零向量与任一向量平行；故A是错误的.分析：由题根据零向量的概念进行分析即可.2. 下列各量中不是向量的是( )A.浮力B.风速C.位移D.密度答案：D解析：解答：密度只有大小没有方向.分析：由题根据所给物理量结合向量的定义进行分析即可.3. 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有( )A.6B.7C.8D.9解析：解答：本题主要考查向量的表示 与向量OA 共线的向量有,,,,,,,,AO OD DO AD DA EF FE BC CB 共9个，故选D.分析：由题结合所给图形，根据共线向量的定义进行观察即可.4. 设12,e e 是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )A. 12e e =B.12e e ＞C.12e e =-D.12e e ＝答案：D解析：解答：由题根据单位向量长度为1，方向不定，不难得到所有单位向量的模相等，故选D.分析：本题主要考查了单位向量的定义，根据定义集合选项不难解决问题.5. 下列命题正确的是( )A.a 与b,b 与ｃ共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行答案：C解析：解答：题主要考查向量的概念，由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与ｂ不都是非零向量，即a 与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与ｂ共线，不符合已知条件，所以有a 与ｂ都是非零向量，所以应选C.分析：有关平行向量与共线向量、相等向量与相反向量的定义属于平时练习和考试的常考知识点，一定要认真理解，准确运用，难度不大.6. 某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转90°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为33km ，那么x 的值为( ) A.3 B.32 C.3 D.23或3解析：解答：本题主要考查向量的概念，依题意，由勾股定理可得()222333,32x x+=∴=，故选B.分析：本题主要考查了向量的基本概念的物理背景，难度不大，主要是根据所学余弦定理计算路程，然后得到位移即可.7. 下列命题中正确的是( )A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.B.模相等的两个平行向量是相等向量.C.若a和b都是单位向量,则a b=.D.两个相等向量的模相等.答案：D解析：解答：本题主要考查向量的概念，根据向量相等的定义易知两个相等向量的模相等，故选D；对于选项A，若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定相等的；选项B：模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方向相反的向量；C. 若a⃗和b⃗⃗都是单位向量,则模是相等的，但是两个向量不一定相等；D. 两个相等向量的模相等是正确的.分析：本题主要考查了相等向量，解决问题的根据是根据相等向量的定义就发现解决即可.8. 与AB反向的单位向量是( )A ABABB. ABC.ABAB- D.BA答案：C解析：解答：本题主要考查单位向量的概念，与AB反向的单位向量AB AB -.分析：本题主要考查了单位向量与相反向量，解决问题的关键是首先计算出所求向量的单位向量，然后根据方向相反得到结果.9. 如图，D、E、F分别是△ABC边AB，BC，CA上的中点，有下列4个结论：①,DA FE AF DE == ；②||DF CB ；③CF DE =；④FD BE =.其中正确的为( ) A. ①②④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④答案：B解析：解答：由题根据所给图形满足条件结合对应向量的关系不难得到,DA FE AF DE == ，||DF CB ，CF DE = ， -FD BE = ，所以①②③正确，故选B. 分析：本题主要考查了向量的模、相等向量、平行向量，解决问题的根据是结合所给图形对应的向量满足的几何关系结合向量的有关对应进行分析解决.10. 如图所示,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式成立的是( )A.AD BC =B.AC BD =C.PE PF =D.EP PF =答案：D解析：解答：根据相等向量的定义,分析可得:A 中,AD 与BC 的方向不同,故AD BC =错误;B 中,AC 与BD 的方向不同,故AC BD =错误;C 中,PE 与PF 的方向相反,故PE PF = 错误;D 中, EP 与PF 的方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故EP PF = 正确分析：本题主要考查了相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给图形对应向量满足的条件结合相等向量与相反向量的定义进行发现解决即可.11. 下列命题中正确的个数是( )①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；②向量a 与向量b 平行，则,a b 方向相同或相反；③若下列向量AB 、CD 满足AB CD > ，且AB 与CD 同向，则AB CD > ； ④若a b = ，则,a b 的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故不能与任何向量平行.A.0B.1C.2D.3答案：A解析：解答：本题主要考查向量的概念①错误，把共线向量与平面几何中的共线“混淆”； ②错误，忽视了如果其中有一个是零向量，则其方向不确定； ③错误，把向量与实数混为一谈，事实上向量不能比较大小； ④错误，由a b =，只能说明,a b 的长度相等，确定不了方向；⑤错误，不清楚零向量的概念.规定零向量与任一向量平行.故选A.分析：本题主要考查了零向量、单位向量、平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合定义进行分析解决.12. 下列说法正确的个数是( )①若向量a,b 共线,向量b,c 共线,则a 与c 也共线;②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点;③向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量;④若a=b,b=c,则a=c.A.1B.2C.3D.4答案：B解析：解答：由于零向量与任意向量都共线,故当b 为零向量时,a,c 不一定共线,所以①不正确;两个相等的非零向量可以在同一直线上,故②不正确;向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量,否则不妨设a 为零向量,则a 与b 共线,与a 与b 不共线矛盾,故③正确;a=b,则a,b 的长度相等且方向相同;b=c,则b,c 的长度相等且方向相同,所以a,c 的长度相等且方向相同,故a=c,④正确.分析：本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量有关的定义进行发现解决即可.13. 已知O点固定,且OA=2,则符合题意的A点构成的图形是( )A.一个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定答案：C解析：解答：∵OA= 2,∴终点A到起点O的距离为2,又O点固定,∴A点的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆,故选C.分析：本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据向量的模结合向量的模的几何意义进行分析即可.14. 若a为任一非零向量,b的模为1,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是( )A.①④B.③C.①②③D.②③答案：B解析：解答：①中,|a|的大小不能确定,故①错误;②中,两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向,故②错误;④中,向量的模是一个非负实数,故④错误;③正确.选B分析：本题主要考查了向量的模，解决问题的关键是根据向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，向量是有方向和长度的量.15. 有下列四个命题：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有单位圆上以圆心为起点以终点为在圆上向量都相等；④共线向量一定在同一直线上，其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：A解析：解答：本题主要考查向量的概念，时间不是向量；向量的模是非实数；单位向量的模相等但方向不一定相同；共线向量可以在一条直线上，也可用分别在互相平行的直线上.故选A.分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念、向量的模、向量的几何表示、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据向量的有关定义进行分析即可.二、填空题16. 有下面命题;①平行向量的方向一定相同；②共线向量一定是相等向量；③相等向量一定是共线向量，不相等向量一定不共线；④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑤相等向量、若起点不同，则终点一定不同；⑥不相等的向量一定不平行；_____.其中正确命题的序号是答案：⑤④解析：解答：主要考查向量的概念①错，两向量方向相同或相反都是共线向量；②③⑥均错，共线向量也叫平行向量，对向量的长度没有要求，共线向量不一定是相等，相等向量一定共线，不相等向量可以是共线向量，如两个向量的共线，但是可以不相等的向量.分析：本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据定义进行分析即可.17. 某A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B 地的位移是________.答案：西北方向52km解析：解答：由题根据A,B,C三地的位置关系结合勾股定理不难得到52BC=,结合方位角不难得到C地相对于B地的位移是西北方向52km.分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据实际情况进行计算，然后写出对应位移即可.18. 把平面上所有单位向量都移动到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是.答案：以单位长度为半径的圆解析：解答：由题根据所给问题所有向量组成了以单位长度为半径的圆.分析：本题主要考查了单位向量、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量的几何意义进行分析即可.19. 在四边形ABCD中, DC AB=,则这个四边形的形状是.答案：平行四边形解析：解答：由DC AB=,可得DC与AB平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形分析：本题主要考查了相等向量，解决问题的关键是根据相等向量定义结合向量的几何意义进行分析即可.20. 如图所示,O 是正三角形ABC 的中心;四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形,则与向量AD 相等的向量有 ;与向量OA 共线的向量有 ;与向量OA 的模相等的向量有 .(填图中所画出的向量)答案：OC |,DC EB |,,,,OB OC DC EB AD解析：解答：∵O 是正三角形ABC 的中心,∴OA=OB=OC,∴结合相等向量及共线向量定义可知:与AD 相等的向量有OC ;与OA 共线的向量有,DC EB ；与OA 的模相等的向量有,,,,OB OC DC EB AD .分析：本题主要考查了向量的模、相等向量与相反向量、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系结合图形及向量的有关定义进行发现解决即可.三、解答题 21. 用向量表示小船的下列位移(用1∶500 000的比例尺)(1)由A 地向东北方向航行15 km 到达B 地;答案：解：B 地在A 地的东北方向,即 B 地在A 地北偏东45°方向,线段AB 的长度画为3 cm 即可.如图所示.(2)由A 地向西偏北60°方向航行20 km 到达C 地,再由C 地向正南方向航行25 km 到达D 地.答案：解：由于C 地在A 地的西偏北60°方向,则线段AC 与表示正北方向的线的夹角为30°,且线段AC 的长度画为4 cm;D 地在C 地的正南方向,则画竖直向下的线段,长度为5 cm 即可,连接AD,即为所求位移.如图所示.解析：分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据有关方位角的知识进行发现计算即可.22. 如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,AC点C为小正方形的顶点,且5(1)画出所有的向量AC;答案：解：画出所有的向量AC如图所示.(2)求| BC |的最大值与最小值.答案：解：由(1)所画的图知,①当点C 位于点C 1或C 2时,|BC |取得最小值22125+= ；②当点C 位于点C 5和C 6时,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|取得最大值224541+= . ∴|BC |的最大值为41,最小值为5 .解析：分析：本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系进行作图计算即可. 23. 已知O 是正方形ABCD 对角线的交点,在以O,A,B,C,D 这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:(1)与BC 相等的向量;答案：解：画出图形,如图所示.易知BC ∥AD,BC=AD,所以与BC 相等的向量为AD(2)与OB 长度相等的向量;答案：解：由（1）图像得：O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB=OD=OA=OC,所以与OB 长度相等的向量为,,,,,,BO OC CO OA AO OD DO .(3)与DA 共线的向量.答案：解：由（1）图像得：与DA 共线的向量为,,AD BC CB .解析：分析：本题主要考查了平共线向量、相等向量的有关概念，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件进行正确作图，然后观察所求向量即可.24. 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且,,OA OB OC ===a b c .O F ED C BA(1)与a 的模相等的向量有多少？答案：解：与a 的模相等的向量有23个 (2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？答案：解：与a 的长度相等，方向相反的向量有,,,OD BC AO FE(3)与a 共线的向量有哪些？答案：解：与a 共线的向量有,,,,,,,,EF BC OD FE CB DO AO DA AD(4)请一一列出与,,a b c 相等的向量.答案：解：与a 相等的向量有：,,EF DO CB ；与a 相等的向量有：,,DO EO FA ；与c 向量相等的向量有：,,FO ED AB .解析：分析：本题主要考查了共线向量、相等向量，解决问题的关键是根据所给图形，结合有关向量的定义进行观察分析即可. 25. 在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是AD ，BC 的中点，如图所示 EFD CBA(1)写出与向量FC 共线的向量； 答案：解：共线向量满足的条件与向量FC 共线的向量有：,,.CF AE EA(2)求证：BE FD .答案：证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC，又分别是AD，BC的中点，所以ED∥BF且ED=BF，所以四边形BFDE是平行四边形，故BE FD解析：分析：本题主要考查了共线向量、相等向量，解决问题的关键是根据所给几何图形满足的条件结合有关向量的知识进行观察，计算，证明即可.。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念习题(4)
2.1平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1.【题文】下列各量中不是向量的是（ ） A ．浮力 B ．风速 C ．位移D ．密度2．【题文】在下列判断中，正确的是( )①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤ D ．①③⑤3．【题文】若AB AD =且BA CD =，则四边形ABCD 的形状为（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形4．【题文】已知：如图，D ，E ，F 依次是等边三角形ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量AD 共线的向量有（）A ．个B ．个C ．个D ．个5．【题文】下列说法正确的有( )①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． A ．个 B ．个 C ．个 D ．个6．【题文】给出下列说法：①AB 和BA 的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④0=0；⑤AB CD >，其中正确说法的个数是( )A. B. C. D.7．【题文】若四边形ABCD 是矩形，则下列说法中不正确的是 （ ） A ．AB 与CD 共线B ．AC 与BD 共线C ．AD 与CB 是相反向量 D ．AB 与CD 的模相等8.【题文】下列说法正确的是( )A ．有向线段AB 与BA 表示同一向量 B ．两个有公共终点的向量是平行向量C ．零向量与单位向量是平行向量D ．对任一向量，aa是一个单位向量 二、填空题9．【题文】如图，正六边形ABCDEF 中，点O 为中心，以,,,,,,A B C D E F O 为起点与终点的向量中，与向量AB 平行的向量有个（含AB ）．10.【题文】给出下列四个条件：①=a b ；②=a b ；③与的方向相反；④0=a 或0=b ，其中能使a b 成立的条件有________．11．【题文】下列说法中，正确的是 ． ①向量AB 的长度与BA 的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB与向量CD是相等向量，则A、B、C、D能构成平行四边形．三、解答题12．【题文】如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中：（1）找出与向量EF相等的向量；（2）找出与向量DF相等的向量．13．【题文】如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F，G分别是DB，EC 的中点，求证：向量DE与FG共线．14．【题文】如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A，B，C，D，E，F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：（1）与向量CD共线的向量；（2）与向量DF的模相等的向量；（3）与向量DE相等的向量.2.1平面向量的实际背景及基本概念参考答案与解析一、选择题1.【答案】D【解析】根据向量的定义，从大小和方向两个方面考虑，可知密度不是向量．考点：平面向量的概念.【题型】选择题【难度】较易2．【答案】D【解析】由零向量与单位向量的概念知①③⑤正确．考点：零向量与单位向量.【题型】选择题【难度】较易3．【答案】C【解析】四边形ABCD中，∵BA CD=，∴BA CD，且BA CD=，∴四边形ABCD是平行四边形.又AB AD=，∴平行四边形ABCD是菱形.考点：相等向量.【题型】选择题【难度】较易4．【答案】C【解析】∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，∴AD∥EF ，∴与向量AD共线的向量有AB，FE，EF，DA，BA，BD，DB，共7个．考点：共线向量.【题型】选择题【难度】较易5．【答案】A【解析】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故①错误；长度为的向量叫零向量，故②正确；通过平移能够移到同一条直线上的向量叫共线向量，故③错误；零向量的方向是任意的，故④错误；共线向量方向相同或相反，⑤正确；平行向量方向相同或相反，故⑥错误，因此②与⑤正确，其余都是错误的，故选C.考点：相等向量，共线向量.【题型】选择题【难度】一般6．【答案】B【解析】①正确，AB与BA是方向相反、模相等的两个向量；②错误，方向不同包括共线反向的向量；③错误，向量用有向线段表示，但二者并不等同；④错误，是一个向量，而为一数量，应为0=0；⑤错误，向量不能比较大小.只有①正确，故选B.考点：向量的有关概念.【题型】选择题【难度】一般7．【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB CD且AB CD=，AD CB，∴AB 与CD共线，且模相等，AD与CB是相反向量，∵AC与BD相交，∴AC与BD不共线，故B错误.考点：共线向量，相等向量.【题型】选择题【难度】一般 8. 【答案】C【解析】向量AB 与BA 方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当=0a 时，aa无意义，故A 、B 、D 错误．零向量与任何向量都是平行向量，C 正确．考点：平行向量;单位向量. 【题型】选择题 【难度】较难二、填空题 9． 【答案】10【解析】正六边形ABCDEF 中，点O 为中心，以,,,,,,A B C D E F O 为起点与终点的向量中，与向量AB 平行的向量有,,,,,,,,,AB BA OC CO OF FO CF FC DE ED ，共10个． 考点：平行向量. 【题型】填空题 【难度】较易 10.【答案】①③④【解析】因为与为相等向量，所以a b ，即①能够使a b 成立；=a b 并没有确定与的方向，即②不能够使ab 成立；与方向相反时，a b ，即③能够使a b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以0=a 或0=b 时，a b 能够成立．故使a b 成立的条件是①③④.考点：平行向量. 【题型】填空题 【难度】一般11． 【答案】①【解析】对于①，向量AB 与BA 互为相反向量，长度相等，正确；对于②，因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，所以②错误；对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，因为方向不一定相同，所以③错误； 对于④，向量AB 与向量CD 是相等向量，则A 、B 、C 、D 可能在同一直线上，则A 、B 、C 、D 四点不一定能构成平行四边形，所以④错误．综上，正确的是①． 考点：平面向量的概念. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12．【答案】（1）,BD DA （2）,BE EC【解析】（1）∵E ，F 分别为BC ，AC 的中点， ∴EFBA ，且12EF BA =，又D 是BA 的中点， ∴EF BD DA ==，∴与向量EF 相等的向量是,BD DA .（2）∵D ，F 分别为BA ，AC 的中点， ∴DFBC ，且12DF BC =， 又E 是BC 的中点，∴DF BE EC ==， ∴与向量DF 相等的向量是,BE EC ． 考点：共线向量.【题型】解答题【难度】较易13．【答案】详见解析【解析】证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE BC，∴四边形DBCE是梯形．又∵F，G分别是DB，EC的中点，∴FG是梯形DBCE的中位线，∴FG DE.∴向量DE与FG共线．考点：向量共线.【题型】解答题【难度】一般14．【答案】（1）,,,,,,BD BC EF DB CB FE DC（2）,,,,FD AE EA EB BE（3）,CF FA【解析】根据三角形中位线的性质及共线向量及相等向量的概念即可得到：（1）与向量CD共线的向量为,,,,,,BD BC EF DB CB FE DC．（2）与向量DF的模相等的向量为,,,,FD AE EA EB BE．（3）与向量DE相等的向量为,CF FA．考点：相等向量，平行向量. 【题型】解答题【难度】一般。
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课后习题新人教A版必修4(2021年整理)
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念课后篇巩固探究1.有下列物理量：①质量;②速度;③力；④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是（)A.1B.2C.3 D。
4解析因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小，没有方向,所以它们不是向量，故不是向量的个数是3。
答案C2。
正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1,a2，a3，…,a n，则这n个向量（)A。
都相等 B.都共线C。
都不共线D。
模都相等解析因为是正n边形，所以n条边的边长都相等,即这n个向量的模都相等。
答案D3。
如图所示,在正三角形ABC中，P,Q,R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是（)A.B。
C.D。
解析向量相等要求模相等,方向相同，因此都是和相等的向量。
答案B4.若||=||且,则四边形ABCD的形状为（)A.平行四边形B.矩形C.菱形D。
等腰梯形解析由知AB=CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形.又因为|｜=｜|，所以四边形ABCD为菱形.答案C5.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P,且EF∥AB，则下列等式成立的是(）A.B.C.D.解析根据相等向量的定义,A中，的方向不同,故A错误;B中,的方向不同，故B错误；C中,的方向相反，故C错误;D中,的方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半,故D正确。
人教版数学高一-人教A版必修4练习 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念1．通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立学生学习向量的认知基础．2．理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、单位向量、相等向量、共线向量．基础梳理一、向量的概念1．向量的实际背景．有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量．路程、速率、质量、密度都是只有大小的量．2．平面向量是既有大小又有方向的量，向量不能比较大小．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小．练习：时间、温度、位移、质量、体积、力，哪些是向量？答案：位移、力思考应用1．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量吗？数学中的向量与物理中的力有区别吗？解析：x 轴，y 轴只有方向，没有大小，因而不是向量．数学中的向量是自由向量与起点无关，只要大小相等，方向相同，两个向量就是相等向量，而物理上的力是非自由向量，因为力这个向量还和作用点(即起点)有关．二、向量的几何表示1．有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB →．起点要写在终点的前面．有向线段包含三个要素起点、方向、长度．2．向量的有向线段表示方法．向量常用带箭头的线段表示 ，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．3．向量也可以用黑体的字母表示，如a ，b ，c .强调：箭头不能不写，否则表示数量．4．向量的模．|AB→|(或|a |)表示向量AB →(或a )的大小，即长度(也称模)，长度为零的向量称为零向量，记作0，长度等于1个单位的向量称为单位向量．思考应用2．(1)单位向量是否唯一？有多少个单位向量？(2)若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是________．解析：(1)单位向量不唯一，因为方向可以不同．有无数个单位向量．(2)圆三、共线向量与相等向量1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，通常记作a∥b．我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a．2．相等向量是长度相等且方向相同的向量，a与b相等，记作a ＝b．任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．3．共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相同或相反．若a与b共线，即a与b平行，记作a∥b.思考应用3．共线向量有几种情况？方向为西南方向的向量与东北方向的向量是共线向量吗？解析：共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．方向为西南方向的向量与东北方向的向量方向相反，它们是共线向量．自测自评1．下列各物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的个数是(D)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：②③④⑤是向量，故选D.2．向量a与任一向量b平行，则a一定是0．解析：零向量与任一向量平行，∴a一定是0.→、OB→、OC→是(C)3．如图，在圆O中，向量AOA．有相同的起点B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量→＝DC→，则相等的向量是(D) 4．如图，在四边形ABCD中，AB→与CB→B.OB→与OD→A.AD→与BD→D.AO→与OC→C.AC基础提升1．下列关于向量的说法中正确的是 (C )A ．长度相等的两向量必相等B ．两向量相等，其长度不一定相等C ．向量的大小与有向线段起点无关D ．两个向量相等，则它们的起点和终点都相同2．下列条件中能得到a ＝b 的是(D )A ．|a |＝|b |B ．a 与b 的方向相同C ．a ＝0，b 为任意向量D ．a ＝0且b ＝0解析：由相等向量的定义知，D 正确．故选D .3．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是(D )A ．与AB→相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB→的模相等的向量有9个(不含AB →) C .BD→的模恰为DA →模的3倍D .CB→与DA →不共线 4．若|AB|→＝|AD|→且（BA →＝CD ）→，则四边形ABCD 的形状为(B )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．等腰梯形解析：由BA→＝CD →知，AB 綊CD ，又AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．故选B .5．若|a |＝2，b ＝a ，则|b |＝______，b 的方向与a ______．若b ＝－a ，则|b |＝______，b 的方向与a ______．答案：2 相同 2 相反 巩固提高6．给出以下4个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________．答案：①③④7．如下图，设ABCD 是菱形，可以用同一条有向线段表示的两个向量是________．解析：∵相等向量可以平行移动，∴相等向量可用同一条有向线段表示．图中AD→和BC →是相等向量． 答案：AD→和BC →8．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中：(1)与向量FE →共线的有________________________________________________________________________．(2)与向量DF →的模相等的有________________________________________________________________________．(3)与向量ED →相等的有________________________________________________________________________．答案：(1)EF→、BC →、CB →、BD →、DB →、CD →、DC → (2)FD →、AE →、EA →、EC→、CE → (3)AF →、FB → 9．已知四边形ABCD ，AB →＝12DC →，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是__________．解析：∵AB →＝12DC →，∴AB ∥DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．∵|AD→|＝|BC →|，∴四边形ABCD 为等腰梯形．答案：等腰梯形10．在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3 cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3 cm”处，画出点P和点Q相对于点O的位置向量(即知起点O，方向和长度，确定点P、Q)．解析：所求图如下：1．非零向量相等，必有大小相等且方向相同，反之也成立．2．两个非零向量方向相同或相反，则它们共线，但要注意零向量与任一向量共线，零向量的方向是任意的．3．与向量a同方向，且长度等于1个单位的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a|a|，这实质上告诉了求任意非零向量的单位向量的方法．。
人教A版数学必修四习题：第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念分层训练进阶冲关含答案
分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时 20 分钟)1. 以下说法中正确的个数是( B )(1)身高是一个向量 .(2)∠AOB的两条边都是向量 .(3)物理学中的加快度是向量 .A.0B.1C.2D.32. 若| a|=| b|, 那么要使 a=b, 两向量还需要具备( B )A. 方向相反B. 方向同样C.共线D.方向随意3. 如下图 ,A,B,C 是☉ O上的点 , 则向量,,是( C )A. 有同样起点的向量B. 方向同样的向量C.模相等的向量D.相等的向量4. 以下命题中正确的个数为( B )①两个有共同起点且相等的向量, 其终点可能不一样 ;②若非零向量 a 与 b 共线 , 则 a=b;③四边形 ABCD是平行四边形 , 则必有 ||=||;④a∥b, 则 a, b 方向同样或相反 .A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个5. 若||=|| 且= , 则四边形 ABCD的形状为 ( C )A. 平行四边形B. 矩形C.菱形D.等腰梯形6.如下图 , 点 C,D 是线段 AB的三平分点 , 分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量有 ( B )A.3 个B.6 个C.8 个D.12 个7. 如下图 , 已知正方形 ABCD边长为 2,O 为此中心 , 则||=.8.已知 A={与 a 共线的向量 },B={ 与 a 长度相等的向量 },C={ 与 a 长度相等, 方向相反的向量 }, 此中 a 为非零向量 , 则命题 : ①C? A; ②A∩B={a};③C? B 中错误的选项是②.9. 已知 A,B,C 是不共线的三点 , 向量 m与向量是平行向量,与是共线向量 , 则 m= 0 .10.如图 , 四边形 ABCD为等腰梯形 , 有以下结论 : ①与是共线向量;②= ;③> .此中正确的结论有0个.11.如下图 , 已知四边形 ABCD和四边形 ABDE都是平行四边形 .(1) 与相等的向量有哪些 ?(2) 与共线的向量有哪些 ?(3) 若||=1.5, 求|| 的大小 .【分析】 (1) 与相等的向量即与同向且等长的向量 ,有, . (2)与共线的向量即与方向同样或相反的向量 ,有, ,, ,,, .(3)若||=1.5,则||=||=||+||=2||=3.12. 如图 , 正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 1, 求向量的模、的模以及的模 .【分析】由于正方体 ABCD-A ′B′C′D ′的棱长为1,因此 ||=1,||==,||===.B组提高练(建议用时 20 分钟)13.以下说法正确的选项是 ( C )A. 若| a|=| b|, 则 a, b 的长度相等且方向同样或相反B.若向量,知足||>||, 且与同向,则>C.若 a≠b, 则 a 与 b 可能是共线向量D.若= ,则 A与 C重合,B 与 D重合.14.如图 , 在菱形 ABCD中, ∠DAB=120°, 则以下说法错误的选项是( D )A. 与相等的向量只有一个(不含)B. 与的模相等的向量有9 个( 不含)C.的模恰为的模的倍D.与不共线15.给出以下五个条件 : ①a=b; ②|a|=| b|; ③a 与 b 的方向相反; ④|a|=0 或| b|=0; ⑤a 与 b 都是单位向量 . 此中能使 a∥b 成立的是①③④ .16. 如下图 , 四边形 ABCD是平行四边形 , 四边形 ABDE是矩形 , 则图中与向量相等的向量是和.17.已知飞机从 A 地按北偏东 30°方向飞翔 2 000 km 抵达 B 地, 再从 B 地按南偏东 30°方向飞翔 2 000 km 抵达 C地, 再从 C地按西南方向飞行 1 000km 抵达 D地. 绘图表示向量, ,, 并指出向量的模和方向 .【分析】以 A 为原点 ,正东方向为 x 轴正方向 ,正北方向为 y 轴正方向成立直角坐标系 .据题设 ,B 点在第一象限 ,C 点在 x 轴正半轴上 ,D 点在第四象限 ,向量, ,如下图,由已知可得 ,△ABC 为正三角形 ,因此 AC=2 000 km.又∠ACD=45°,CD=1 000km,因此△ADC 为等腰直角三角形 ,因此 AD=1 000km, ∠CAD=45 °.故向量的模为 1 000km, 方向为东南方向 .18.如图,已知==.求证 :(1) △ABC≌△ A′B′C′.(2)=,=.【证明】 (1) 由于=,因此 ||=||, 且∥ .又由于 A 不在上,因此 AA ′∥BB′.因此四边形 AA ′B′B 是平行四边形 .因此 ||=||.同理 ||=||,||=||.因此△ABC ≌△A′B′C′.(2)由于四边形 AA ′B′B 是平行四边形 ,因此∥,且| |=||.因此=.同理可证, =.C组培优练 ( 建议用时 15 分钟)19. 已知向量 a, b 是两个非零向量 ,,分别是与a, b同方向的单位向量 , 则以下各式正确的选项是( D )A.=B.=或=C. =D.与的长度相等20. 如下图 , 已知四边形 ABCD中,M,N 分别是 BC,AD的中点 , 又=且= ,求证:=.【证明】由于=,因此 ||=|| 且 AB ∥DC,因此四边形 ABCD 是平行四边形 ,因此 ||=||且 DA ∥CB.又由于与的方向同样 ,因此=.同理可证 ,四边形 CNAM是平行四边形 ,因此 =.因为| |=||,||=||,因此 ||=||. 又与的方向同样 ,因此= .封闭 Word 文档返回原板块。
高中数学人教A版必修4第二章2.1平面向量的实际背景与基本概念题型专题练(含解析)
《平面向量的实际背景与基本概念》题型专题练题型一：向量的有关概念1．下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．下列关于向量的命题正确的是（ ）A ．若||||a b =，则a b =B ．若||||a b =，则//a bC ．若a b =，b c =，则a c =D ．若//a b ，//b c ，则//a c 3．下列结论中正确的是（ ）①若//a b 且||||a b =，则a b =；②若a b =，则//a b 且||||a b =；③若a 与b 方向相同且||||a b =，则a b =；④若a b ≠，则a 与b 方向相反且||||a b ≠.A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④4．下列四个命题正确的是（ ）A ．两个单位向量一定相等B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 5．有下列命题：①若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =；③若m n =，n k =，则m k =；④零向量都相等.其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．下列说法中正确的是（ ）．A ．零向量没有方向B ．平行向量不一定是共线向量C ．若向量a 与b 同向且a b =，则a b =D ．若向量a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >7．以下说法正确的是（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．零向量没有方向C．共线向量又叫平行向量D．若a和b都是单位向量，则a b题型二：向量的表示1．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点（1）作出向量AB，BC，CD(1cm表示200m)；（2）求DA的模.2．如图所示，为了调运物资，一艘船从江的南岸A点出发，以/h的速度向垂km h．直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5/(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行速度的大小与方向（用与江水的速度方向的夹角表示）．3．一个人从点A出发沿东北方向走了100m到达点B，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m到达点C．AB BC CA；（2）求CA.（1）画出,,题型三：共线向量（平行向量）1．（多选题）如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A ．AB DC = B ．AB DC = C ．AB DC >D ．BC AD ∥ 2．在如图所示的向量,,,,a b c d e 中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：（1）是共线向量的有 ；（2）方向相反的向量有 ；（3）模相等的向量有 .3．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c .（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ （2）与a 共线的向量有哪些？ （3）请一一列出与a ，b ，c .相等的向量．4．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC相等的向量；（2）与OB长度相等的向量；（3）与DA共线的向量.5．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与FE共线及相等的向量.《平面向量的基本概念》解析题型一：向量的有关概念1．下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【解析】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;②向量不能比较大小,故②错误;③由零向量方向的任意性知③错误;④向量相等是向量模相等,且方向相同,故④错误.故选：A.2．下列关于向量的命题正确的是（ ）A ．若||||a b =，则a b =B ．若||||a b =，则//a bC ．若a b =，b c =，则a c =D ．若//a b ，//b c ，则//a c【解析】A. 若||||a b =，则,a b 不一定相等，因为向量是既有大小，又有方向的，||||a b =只能说明向量的大小相等，不能说明方向相同，所以该选项错误；B. 若||||a b =，则,a b 不一定平行，所以该选项错误；C. 若a b =，b c =，则a c =，所以该选项是正确的；D. 若//a b ，//b c ，则//a c 错误，如：=0b ，,a c 都是非零向量，显然满足已知，但是不一定满足//a c ，所以该选项错误.故选：C3．下列结论中正确的是（ ）①若//a b 且||||a b =，则a b =；②若a b =，则//a b 且||||a b =；③若a 与b 方向相同且||||a b =，则a b =；④若a b ≠，则a 与b 方向相反且||||a b ≠.A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④【解析】由题意，对于①中，由//a b ，||||a b =，则向量a 与b 同向或反向，当向量a 与b 同向时，可得a b =，当向量a 与b 反向时，则a b ≠，所以不正确的； 对于②中，若a b =，根据相等向量的概念，可得//a b 且||||a b =，所以是正确的； 对于③中，若a 与b 方向相同且||||a b =，根据相等向量的概念，可得a b =，所以是正确的；对于④中，若a b ≠，根据向量的概念，则a 与b 方向不一定相反且不一定||||a b ≠，所以不正确.故选：B .4．下列四个命题正确的是（ ）A ．两个单位向量一定相等B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线； 共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选：B ． 5．有下列命题：①若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =；③若m n =，n k =，则m k =；④零向量都相等.其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题；对于②，在平行四边形ABCD 中，,C AB D 是大小相等，方向相反的向量，即AB CD =-，故②是假命题；对于③，显然若m n =，n k =，则m k =，故③是真命题；对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题.故选：C.6．下列说法中正确的是（ ）．A ．零向量没有方向B ．平行向量不一定是共线向量C ．若向量a 与b 同向且a b =，则a b =D ．若向量a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >【解析】对于A ，零向量的方向是任意的，故A 错误；对于B ，平行向量就是共线向量，故B 错误；对于C ，由相等向量的定义：两向量的方向相同，大小相等可知，C 正确； 对于D ，两个向量不能比较大小，故D 错误．故选：C ．7．以下说法正确的是（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．零向量没有方向C ．共线向量又叫平行向量D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A 错误，零向量是没有方向的向量，B 错误；共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C 正确；若a ，b 都是单位向量，两向量的方向不定，D 错误；故选：C.题型二：向量的表示1．某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向向东走了200m 到达D 点（1）作出向量AB ，BC ，CD (1cm 表示200m )；（2）求DA 的模.【解析】（1）根据题意，如图所示.（2）由题意及（1）可得，四边形ABCD 为平行四边形,所以||||450DA BC m ==.2．如图所示，为了调运物资，一艘船从江的南岸A 点出发，以/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5/km h ．(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行速度的大小与方向（用与江水的速度方向的夹角表示）．【解析】 (1)如图所示，AD 表示船速，AB 表示江水的速度．易知AD AB ⊥，以AD ，AB 为邻边作矩形ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度．(2)在Rt ABC 中，||5,||||53AB BC AD ===22||||||510AC AB BC =+===，因为||tan 3||BC CAB AB ∠==60CAB ︒∠=，因此，船实际航行的速度的大小为10/km h ，方向与江水的速度方向的夹角为60︒.3．一个人从点A 出发沿东北方向走了100m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m 到达点C ．（1）画出,,AB BC CA ；（2）求CA .【解析】（1）如图所示.（2）因为||100,||100AB BC ==，451560ABC ︒︒︒∠=+=，所以ABC 为正三角形，故||100CA =. 题型三：共线向量（平行向量） 1．（多选题）如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A ．AB DC = B ．AB DC = C ．AB DC >D ．BC AD ∥ 【解析】AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以//BC AD，故D正确；故选：BD. 2．在如图所示的向量,,,,a b c d e中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：（1）是共线向量的有；（2）方向相反的向量有；（3）模相等的向量有.【解析】（1）a d∥，e b∥，故a和d，e和b是共线向量.（2）a和d，b和e是方向相反的向量.（3）由勾股定理可得，模相等的向量有,,a c d.3．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与a共线的向量有哪些？（3）请一一列出与a，b，c.相等的向量．【解析】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD，BC，AO，FE .（2）由共线向量定理得：EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与a共线.（3）由相等向量的定义得：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c相等的向量有FO，ED，AB.4．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC相等的向量；（2）与OB长度相等的向量；（3）与DA共线的向量.【解析】画出图形，如图所示．（1）易知BC//AD，BC＝AD，所以与BC相等的向量为AD.（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，所以与OB长度相等的向量为BO，OC，CO，OA，AO，OD，DO.（3）与DA共线的向量为AD，BC，CB.5．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与FE共线及相等的向量.【解析】（1）与FE共线的向量：EF，FG，GF，EG，GE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.（2）与FE相等的向量：EG，BD，DC.。
人教a版必修4学案：2.1平面向量的实际背景及基本概念(含答案)
回顾归纳 对于命题判断正误题， 应熟记有关概念， 看清、 理解各命题， 逐一进行判断， 有时对错误命题的判断只需举一反例即可． 变式训练 1 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； (4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．
第二章 § 2.1
平面向量
平面向量的实际背景及基本概念
自主学习
知识梳理 1．向量的概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等． 注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 2．向量的几何表示 (1)有向线段：带有________的线段叫做有向线段，其方向是由________指向________， → 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB. 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它 的终点就唯一确定． → → → (2)向量的有关概念：向量AB的________，也就是向量AB的长度(或称模)，记作|AB|.长 度为______的向量叫做零向量，记作 0.长度等于______个单位的向量，叫做单位向量． (3)向量的表示法： ①几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向； ②字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的 ________ 和 ______的字母表示． (4)平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量 a 与 b 平行， 通常记为 a∥b.规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量 a，都有 0∥a. 3．相等向量与共线向量 (1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量 a 与 b 相等，通常 记为 a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起 点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量． (2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫 共线向量． 自主探究 谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识．
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平面向量的实际背景及基本概念课时练
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有( )
A．1 个B．2 个
C．3 个D．4 个
解析：由物理知识知，质量、路程、密度、功是标量，而速度、位移、力、加速度是向量．
答案：D
2．在下列命题中，正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a 与b 共线
D．若a≠b，则a 一定不与b 共线
解析：分析四个选项知，C 正
确．答案：C
3.设a，b 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )
A.a＝b
B.若a∥b，则a＝b
C.a＝b 或a＝－b
D.若a＝c，b＝c，则a＝b
答案：D
→→→
4.设M 是等边△ABC 的中心，则AM、MB、MC是( )
A.有相同起点的向量
B．相等的向量
C．模相等的向量
D．平行向量
解析：由正三角形的性质知，|MA|＝|MB|＝|MC|.
→→→
∴|MA|＝|MB|＝|MC|.故选C.
答案：C
→→
5.如右图，在四边形ABCD 中，其中AB＝DC，则相等的向量是( )
→→→→
A.AD与CB
B.OA与OC
→→→→
C.AC与DB
D.DO与OB
→→→→解析：由AB＝DC知，四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形的性质知，|DO|＝|OB|，故选D.
答案：D
6.如下图，ABCD 为边长为3 的正方形，把各边三等分后，共有16 个交点，从中选取
→
两个交点作为向量，则与AC平行且长度为2 2的向量个数是．
→ → → → →→→→
解析：如图所示，满足条件的向量有EF、FE、HG、GH、AQ、QA、PC、CP共8 个．
答案：8 个
7.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是
．
解析：这些向量在同一直线，其终点构成一条直
线．答案：一条直线
8．给出以下5 个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a 与b 方向相反；④|a|＝0 或|b|＝0；⑤a 与b 都是单位向量，
其中能使a∥b 成立的是．
答案：①③④
9.如下图，E、F、G、H 分别是四边形ABCD 的各边中点，分别指出图中：
→
(1)与向量HG相等的向量；
→
(2)与向量HG平行的向量；
→
(3)与向量HG模相等的向量；
→
(4)与向量HG模相等、方向相反的向量．
→→
解：(1)与向量HG相等的向量有EF.
→→ →→→→
(2)与向量HG平行的向量有EF、FE、AC、CA、GH.
→→ →→
(3)与向量HG模相等的向量有GH、EF、FE.
→→→
(4)与向量HG模相等、方向相反的向量有GH、FE.
10.一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北45°
走了200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点．
→ → →
(1)作出向量AB，BC，CD；
→
(2)求|AD|.
解：(1)如下图所示．
→→→→
(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD平行．
→→
又|AB|＝|CD|＝100 km，
∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD.
∴四边形ABCD 为平行四边形．
→→
∴|AD|＝|BC|＝200 km.
备课资源
1.下列给出的命题正确的是( )
A．两个相等的向量，起点、方向、长度必须相同
B．两个共线的向量，其方向一定相同
C．若两个向量不共线，则这两个向量都是非零向量
D．两个有共同起点的共线向量，其终边一定相同
答案：C
2.下列结论中正确的是( )
A.若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反
→→→→→→→→
B.若向量AB与CD满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，则AB>CD
C.若a＝b，则a∥b
D．由于零向量方向不定，故零向量不能与任一向量平行
解析：由相等的向量是平行向量知，C 正确．
答案：C
3.若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式：
a
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤＝b
|a|
其中正确的是．
答案：③
→→
4.△ABC 是等腰三角形，则两腰上的向量AB与AC的关系是．
→→
答案：|AB|＝|AC|
5.如图所示，△ABC 的三边均不相等，E、F、D 分别是AC、AB、BC 的中点．
→
(1)写出与EF相等的向量；
→
(2)写出与EF模相等的向量．
1
BC.
解析：(1)点∵E、F 分别是AC、AB 的中点，∴EF 綊
2
又点D 为BC 的中点，
→→→
∴与EF相等的向量有DB，CD.
→→ →→→→
(2)与EF模相等的向量有FE，BD，DB，DC，CD.
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At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。