点集拓扑试卷一二

1．集合X 的一个拓扑不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑。（ ）

2．每一个度量空间都满足第一可数性公理。（ ）

3．拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。（ ）

4．从拓扑空间()1,X T 到()2,X T 的恒同映射必是连续映射。（ ）

5．设i T 是拓扑空间i X 的拓扑()1,2i =,则12⨯T T 是积空间12X X ⨯的拓扑。（ ）

二、填空题（30分）

1．设A 为是离散空间X 的子集，则A = 。

2．对于拓扑空间(),X T 一个子空间()1,Y T ，T 与1T 满足 。

3．设A 为是拓扑空间X 的子集，则()x d A ∈⇔ 。

4．任何一族连通空间的积空间是 空间。

5．称拓扑空间X 是可分空间，若 。

6．设12n X X X X =⨯⨯⨯是1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X 的积空间，T 是X 的积拓扑，i T 是空间i X 的拓扑()1,2,,n i =，

则积拓扑的一个子基=S 。 7．称拓扑空间X 是Lindel öff 空间，若 。

8．设R 是实数空间，Q 是有理数集，则()d =Q ,=Q 。

三、设集合X 有拓扑12,,,n T T T ，则

1n

i i =T 是X 的一个拓扑。

（10分） 四、设,X Y 为拓扑空间，映射:f X Y →在X 上连续的充要条件是Y 有一个基B 满足

()1,B f B -∀∈B 是X 中开集。

（10 分） 五、证明：离散度量空间的每个子集是开集。（10分）

六、证明：每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。（10分）

七、证明：若Y 是拓扑空间X 的连通子集，则Y 也是X 的连通子集。（10 分）

八、证明：满足第二可数公理的空间必定为可分空间。（10分）

1．离散度量空间的每个子集是开集.（ ）

2．正规空间是正则的，但正规空间可以不是0T 的.（ ）

3．第一可数性和第二可数性都是拓扑不变性.（ ）

4．从紧致空间到2T 空间的任何连续映射是同胚映射.（ ）

5．设i T 是拓扑空间i X 的拓扑()1,2i =,则12⨯T T 是积空间12X X ⨯的拓扑。（ ） 二填空（30分）

1．设A 为是拓扑空间X 的子集，则A 的闭包是包含A 的 闭集，A 的内部是包含于A 的 开集.

2．设Y 是拓扑空间X 一个子空间，F 是空间X 的闭集族，

则子空间Y 的闭集族= 。 3．设集合X 的子集族B 是X 的某一个拓扑的基，则B 必须满足条件：

（1） ，

（2） 。

4．请写出两种具有遗传性的分离性质: ; 。

5．任何一族连通空间的积空间是 空间.

6．设12n X X X X =⨯⨯⨯是1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X 的积空间，T 是X 的积拓扑，i T 是空间i X 的拓扑()1,2,,n i =，

则积拓扑的一个子基=S 。 7．请补充下面几种紧致性的关系：

+1T ⇒可数紧致； 可数紧致+1A ⇒ ；

可数紧致+ Lindel öff ⇒ 。

8．请写出紧致性等价提法中的基的提法：即 。

三、证明：（1）每一个度量空间都满足第一可数公理.

（2）包含着不可数多个点的可数补空间不满足第一可数公理.（10分）

四、证明：连续映射保持可分性.（10分）

五、设{}{}{}{}{},,,,,,,,,X a b c a b c a b c =∅T =.验证(),X T

是拓扑空间， 并且是正则、正规但非0T 的.（10分）

六、证明拓扑空间X 中任意个闭紧致子集之交，仍为紧致子集.（10分）

七、设拓扑空间X 是Hausdorff 空间，,A B 是X 中无交的紧致子集，则,A B 分别有开领域,U V ，使得U V =∅.（10分）

八、（1）请叙述Tietze 扩张定理的内容.（5分）

（2）证明完全正则空间是正则的.（10分）