点集拓扑复习资料

《点集拓扑》复习题 一、概念叙述

1、拓扑空间

2、邻域、邻域系

3、集合A 的凝聚点

4、闭包

5、基 子基

6、子空间

7、（有限）积空间

8、隔离子集

9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题

1、有限集不可能有聚点 （ ）

2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （ ）

3、如果A B ⋂≠∅，则A B A B ⋂=⋂ （ ）

4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。 （ ） ５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ）

７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是2A 空间 （ ） ９、在l R 中，(],a b 是开集 （ ）

１０、映射:f X Y →是连续映射的⇔若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于

x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （ ）

１１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ⊂ （ ） １２、2A 空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为0T 空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ）

１５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ⊂，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点

⇔在{}A x -中有一个序列收敛于x （ ）

１６、度量空间也是拓扑空间 （ ）

１７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ）

１８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( )

19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。

20、设A 、B 是拓扑空间X 中的两个连通子集，则A B ⋃也是X 的一个连通子集 （ ）

21、如果A 、B 是拓扑空间X 中两个不交的开子集，则A 、B 必是X 中隔离子集 （ ）

22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性 （ ） 23、正规空间必是Hausdorff 空间 （ ）

24、在一个紧致的2T 空间中，一个集合是紧致子集⇔它是一个闭集

（ ）

25、紧空间必是Lindel ǒf 空间 （ ） 26、度量空间中紧致集必是有界闭集 （ ） 27、正则空间必是Hausdorff 空间 （ ）

28、设12X X X =⨯是空间1X 、2X 的积空间，A 1X ⊂,2B X ⊂分别是1X 、2X 中闭集 （ ）

29、设A 、B 是拓扑空间X 中两个子集，并且A B ⋂≠∅，则有

()()()d A B d A d B ⋂=⋂ （ ）

30、若拓扑空间X 是连通空间，则X 必是局部连通空间 （ ） 三、填空

1、设:f X Y →是同胚映射，则f 必是一一映射，并且 和 都是

连续的。

2、设Y 是拓扑空间(),X ℑ的子集，Y 的拓扑Y ℑ称为 ；拓扑空间(),Y Y ℑ称为(),X ℑ的 。

3、连通空间X 中既开又闭的子集只能是 和 。

4、设X 是拓扑空间，若X 的每一 覆盖都有一个 ， 则X 是Lindel ǒf 空间。

5、正规的 空间或紧致的 空间是4T 空间。

6、X 是拓扑空间。若X 的每一个 开覆盖都有 ，则X 是可数紧致空间。

7、如果A 是离散空间X 中一个非空连通子集，则A 必是 。 8、如果X 是一个可数集，则X 上的可数补拓扑空间必定是 。

9、设X 是离散度量空间，X 上度量为()1,,

,0,,x y x y x y ρ≠⎧=⎨=⎩

则X 中任一点

x 的球形邻域(),1B x =

。

10、在拓扑空间X 中，如果子集A 是开集，B 是闭集，则A B -是

B A -是 。

11、设(),X ℑ是实数集R 上的可数补空间，A 是X 中一个可数集，B 是

X 中一个不可数集，则()d A = ，()d B = 。

12、如果集合X 上的任一拓扑ℑ，拓扑空间(,)X ℑ都是紧致空间，则

X 必是 。 13、在平面空间2R 中，度量ρ定义为任意两点

()()()12121122,,,,,,a x x b y y a b x y x y ρ===-+-则以原点O 为中

心，0ε>为半径的球形邻域()0,B ε的图形是 。

14、积空间12X X X =⨯的子基元素的一般形式是 或 。 15、设[)[

)0,12,3Y =⋃是实数空间R 的一个子空间，

则Y 的子集[)0,1是Y 的 。

16、在实数空间R 中，取A 为整数集，B 为有理数集，则A = ， B = 。

17、设X ={},,a b c ，X 上拓扑{}{},,,X a b ℑ=∅，取子集{}A b =，则

()d A = 。

18、如果X 是平庸空间，则X 必为紧致空间，它的每一个开覆盖A ，必有有限子覆盖1A = 。 四、单选题

1、设X ={},,a b c ，它的一个拓扑是（ ）

()A {}{}{}{},,,,,,a a b a b c ∅ ()B {}{}{}{},,,,,b c a b c ∅ ()C {}{}{}{},,,,,,,a b a c a b c ∅ ()D {}{}{}{}{},,,,,a b c a b c ∅

2、设X 是拓扑空间，F 为所有闭集构成的族，则有（ ）．

()A 若i A ∈F ()1,2,i = 则有12n A A A ⋃⋃⋃⋃∈F ()B 若i A ∈F ()1,2,i = 则有12n A A A ⋂⋂

⋂⋂

∈F

()C ,X ∅∉F ()D 若A ∈F 则X A -∈F

3、设X 为拓扑空间，则对,A B X ∀⊂，必有（ ）． ()A X ∅= ()B A A ⊂ ()C A B A B ⋃=⋂ ()D A 是闭集

4、设X 为拓扑空间，x X ∈，则有 （ ）．

()A x 的任意邻域都是X 的开集 ()B x 的任意邻域都是X 的闭集

()C 包含x 的开集都是x 的邻域

()D 若12,U U 是x 的邻域，但12U U ⋂不是x 的邻域

5、已知()0,1是实数空间的一个开子空间，那么下列集合中是空间()0,1中的开集是 （ ）

． ()A [)0,b ()B (],a b ()C [],a b ()D

∅

其中(),0,1a b ∈．

6、设{},,X a b c =，ℑ是平庸拓扑，(),X ℑ中两子集是隔离的是（ ）．

()A {}a 与{}b ()B {},a b 与{},b c ()C {}a 与{},b c ()D

∅与{}a

7、下面命题中正确的是（ ）．

()A 平庸空间是0T 空间