物理光学第一章
物理光学第一章答案
第一章 波动光学通论 作业1、已知波函数为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯=-t x t x E 157105.11022cos 10),(π，试确定其速率、波长和频率。
2、有一张0=t 时波的照片，表示其波形的数学表达式为⎪⎭⎫⎝⎛=25sin 5)0,(x x E π。
如果这列波沿负x 方向以2m/s 速率运动，试写出s t 4=时的扰动的表达式。
3、一列正弦波当0=t 时在0=x 处具有最大值，问其初位相为多少？4、确定平面波：⎪⎭⎫⎝⎛-++=t z ky k x kA t z y x E ω14314214sin ),,,(的传播方向。
5、在空间的任一给定点，正弦波的相位随时间的变化率为s rad /101214⨯π，而在任一给定时刻，相位随距离x 的变化是m rad /1046⨯π。
若初位相是3π，振幅是10且波沿正x 方向前进，写出波函数的表达式。
它的速率是多少？6、两个振动面相同且沿正x 方向传播的单色波可表示为：)](sin[1x x k t a E ∆+-=ω，]sin[2kx t a E -=ω，试证明合成波的表达式可写为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=2sin 2cos 2x x k t x k a E ω。
7、已知光驻波的电场为t kzcoa a t z E x ωsin 2),(=，试导出磁场),(t z B 的表达式，并汇出该驻波的示意图。
8、有一束沿z 方向传播的椭圆偏振光可以表示为)4cos()cos(),(00πωω--+-=kz t A y kz t A x t z E试求出偏椭圆的取向和它的长半轴与短半轴的大小。
9、一束自然光在30o 角下入射到空气—玻璃界面，玻璃的折射率n=，试求出反射光的偏振度。
10、过一理想偏振片观察部分偏振光，当偏振片从最大光强方位转过300时，光强变为原来的5／8，求 (1)此部分偏振光中线偏振光与自然光强度之比； (2)入射光的偏振度；(3)旋转偏振片时最小透射光强与最大透射光强之比； (4)当偏振片从最大光强方位转过300时的透射光强与最大光强之比．11、一个线偏振光束其E 场的垂直于入射面，此光束在空气中以45o 照射到空气玻璃分界面上。
物理光学第一章_1
§3 平面电磁波 本节根据波动的两个偏微分方程，结合边界条件、初始条件， 得出其中的平面波解－平面波的波函数。 一 沿某一坐标轴方向传播的平面波 所谓平面波，是指电场和磁场在垂直于传播方向的平面内各点 具有相同值的波。 设平面波沿三维坐标系的Z轴正向传播，如图1－2所示。产生平 面波的电磁场波动方程简化为
（2）E和H互相垂直
证明： 由微分形式的麦克斯韦 方程组3式知： B E t
上式左侧代入 的复数表达式进行运算 E ，得到 E ik E
B 而 i B t 则3式演变为 1 B k E
3 介质的绝对折射率 电磁波在真空中的速度与在介质中的速度是不等的。为了描述 不同介质中电磁波传播特性的差异，定义了介质的绝对折射率：
n c v
代入c、v各自的表达式，有
c n v
r r 0 0
r 为相对介电常数， r 为相对磁导率。
对除磁性物质以外的大 多数物质而言， r 1, 故 n r 这个表达式称麦克斯韦 关系。
2 E 1 E 2 0 2 2 z v t 2 2 B 1 B 2 0 2 2 z v t
2
1 2
z vt z vt
引入中间变量对方程化简，令
对（1）式代换变量，得
2 2 2 E E E E 2 2 z 2 2 2 2 2 2 E E E 2 E v 2 2 2 2 t
由于 E 0，所以
由此可得：
2 E E 2 E 2 E 2 0 t
由相似的数学运算可得到关于B的方程 2 B 2 B 2 0 t
物理光学复习第一章知识总结
红色部分为老师提到的考点。
第一章 光波的基本性质1.1光的电磁理论1.1.1 麦克斯韦方程组和物质方程 1． 积分形式的麦克斯韦方程组光的电磁理论可归纳为一组与E B D H 四个矢量有关的方程组，即麦克斯韦方程组ds t Bdl E c A ⋅∂∂-=⋅⎰⎰⎰法拉第电磁感应定律的积分公式。
意义：变化的磁场可产生电场。
⎰⎰⎰⎰⎰=⋅vAdv ds D ρ电场高斯定律的常用形式。
意义：自体积V 内部通过闭合曲面向外流出的电通量等于A 包围的空间中的自由电荷的总数。
0=⋅⎰⎰Ads B磁场的高斯定律。
意义：通过闭合曲面A 流出和流入的磁通量相等磁场没有起止点。
ds t DJ dl H A C ⋅∂∂+=⋅⎰⎰⎰)(麦克斯韦——安培定律。
意义：描述了电荷流动会在周围产生环形磁场的事实。
其中 E ：电场强度 B ：磁感应强度 D ：电位移 H ：磁场强度 J ：电流密度tD∂∂：位移电流密度2.微分形式的麦克斯韦方程组tD J H B D t BE ∂∂+=⨯∇=•∇=•∇∂∂-=⨯∇ρ3.物质方程为了描述电磁场的普遍规律，除了利用上述涉及E D B H J 各矢量关系的麦克斯韦方程组的四个等式外，还要结合一组与电磁场所在空间媒资有关的方程，即物质方程。
EJ B H E D σμε===14.电磁波的产生及传播当波源处存在着振荡偶极子或其他变速的带电粒子时，由于偶极子内正负电荷的振动，造成了随时间不断变化的电场，按照麦克斯韦电磁理论，它会在周围空间产生随时间变化的磁场，后者又会在周围产生变化的电场。
变化的电场和磁场互相依存、交替产生，循环往复，便形成了以一定速度由近及远传播的电磁波。
1.1.2电磁波的波动微分方程讨论电磁波在无限扩展的均匀、各向同性、透明、无源媒质中传播的波形。
“均匀”“各向同性”意味着εμσ,,等物质常数均是与位置无关的标量；“透明”意味着0=σ，J=0，否则电磁场在媒质中的交变就会引起电流，消耗电磁波的能量；“无源”意味这0=ρ。
物理光学答案~梁铨廷
第一章光的电磁理论1.1在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez=，（各量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。
解：由Ex=0，Ey=0，Ez=，则频率υ===0.5×1014Hz，周期T=1/υ=2×10-14s，初相位φ0=+π/2（z=0，t=0），振幅A=100V/m，波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m。
1.2.一个平面电磁波可以表示为Ex=0，Ey=，Ez=0，求：（1）该电磁波的振幅，频率，波长和原点的初相位是多少？（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？（3）与电场相联系的磁场B的表达式如何写？=，原点的初相解：（1）振幅A=2V/m，频率υ=Hz，波长λ=υ位φ0=+π/2；（2）传播沿z轴，振动方向沿y轴；（3）由B=，可得By=Bz=0，Bx=1.3.一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为Ey=0，Ez=0，Ex=，试求：（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。
解：（1）υ===5×1014Hz；（2）λ=；（3）相速度v=0.65c，所以折射率n=1.4写出：（1）在yoz平面内沿与y轴成θ角的方向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。
解：（1）由，可得；（2）同理：发散球面波，，汇聚球面波，。
1.5一平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播。
其频率为Hz，电场振幅为14.14V/m，如果该电磁波的振动面与xy平面呈45º，试写出E，B表达式。
解：，其中=υ=υ=，同理：。
，其中=。
1.6一个沿k方向传播的平面波表示为E=，试求k方向的单位矢。
解：，又，∴=。
1.9证明当入射角=45º时，光波在任何两种介质分界面上的反射都有。
证明：ºººº====ºººº1.10证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，下表面的入射角也是布儒斯特角。
物理光学第1章习题解答
因此，反射光电矢量的振动方向与入射面所成的角度为：
tg 1
0.421 84 18 0.042
14.一个光学系统由两片分离透镜组成，两透镜的折射率分别为1.5和1.7，求此系统的 反射光能损失。如透镜表面镀上增透膜，使表面反射比降为0.01，问此系统的光能损 失又为多少？设光束以接近正入射通过各反射面。 【解】(1)系统包括4个反射面，假设光束是接近正入射情形下通过各反射面，因而各面的反射
(2) 当
n1 1.62, n2 1.52时 sin u 1.62 2 1.52 2 =0.56 u 34
所以最大孔径角为 2u =68
24.利用波的复数表达式求两个波
的合成波。 【解】
E1 =a cos(kx t ) 和 E2 a cos(kx t )
E1和E2的相应的复数表达式为
n1 sin 1 1 sin 50 sin 1.5 n2 sin 1 0.511 30 42
因此 rs rp sin(1 2 ) sin19 18 0.335 sin(1 2 ) sin 80 42
因此， t s t s
2 sin 2 cos 1 2 sin 1 cos 2 sin(1 2 ) sin(1 2 ) sin 1 cos 2 4 sin 2 2 cos 2 1 sin 2 cos 1 sin 2 (1 2 ) s
2 2 2 2
n 1 1.7 1 0.7 R3 3 0.067 n 1 1.7 1 2.7 3 1 1 1 1.7 2 n4 1 1.7 R4 1 0.067 n 1 1 1.7 4 1 1.7
物理光学：第一章
由波函数可看出：球面波的振幅与离开波源的距离成反比。 实际中，当考察的空间离球面波的波源很远时，对一个较小范 围内的球面波波面，可近似作平面处理，即认为是平面波。 二 柱面波 柱面波是一个无限长的线光源发出的光波，它的波面具有柱面 的形状，用同样的方法可以证明，柱面波的振幅与 r 成反比， 因此，柱面波的波函数为
上式还可进一步简化。 设沿Z轴正向传播的平面波 0，沿Z轴负向传播的平面波 0， v v 则可将f1、f 2 两函数合二为一。 故电波的波函数最终为 E f z vt
对方程2进行类似求解，得磁波 的波函数为 B f z vt
取周期为2的余弦函数作为波动方 程的特解： 2 3 E A cos z vt 2 4 B A cos z vt
最简单的情况是：振荡电偶极子是电矩随时间作余弦（或正弦） 变化 p p0 cos t p0是电偶极子电矩的振幅 是角频率。 ， 原子作为一个振荡电偶极子，必定在周围空间内产生交变的电 磁场，图1-13是电偶极子附近电场中电力线的分布图示。 在前期的《电磁场理论》中，已应用麦克斯韦方程组对振荡电 偶极子辐射的电磁场进行了计算，结果如下： 1 作简谐振荡的电偶极子在距离很远的P点辐射的电磁场的数 值为（参见图1-14）
* i k r t i kr t A E E Ae Ae
2
也可将复数波函数中的空间位相因子和时间位相因子分开写为 ik r i t E Ae e 将其中的振幅和空间位 相因子 ~ ikr E Ae 叫做复振幅。在许多情 况下，如果不需考虑光 波随时间的变化，可以
球面波的振幅Ar是随距离r变化的。设距O点为单位距离的O1点 和距O点为r的P点的光强分别为I1和Ir，则
《物理光学》第一章第一节麦克斯韦方程组
第二节
电磁场的波动性
利用公式（363页附录） 2 ( E ) ( E ) E 并由1式得到关于E的方程： 2 E 2 E 2 t 模仿上述过程：可得到关于B的方程： 2 B 2 B 2 t 2 2 2 上式中的符号 2 称为拉普拉斯算符 2 2 2 2 x y z
x y z
第一节 麦克斯韦方程组
旋度 E：
是“矢量积” 一个矢量场在某点的旋度描述了场在该点周围的 旋转情况。 旋度的计算： i j k Ez E y Ex Ez E y Ex E i k j x y z y z z x x y Ex E y Ez
第一节 麦克斯韦方程组
位移电流强度：为电通量的变化率。
表达式：
d D I D D d d dt t
jD D t
位移电流密度定义：
位移电流强度与位移电流密度联系 交变场情况：磁场包括由传导电流和位移电
I D
由此可见，电场和磁场互相激 发形成统一的场----电磁场。变化的 电磁场 可以以一定的速度向周围传 播出去。这种交变电磁场在空间以 一定的速度由近及远的传播即形成 电磁波。
第一章 光的电磁理论
第二节 电磁场的波动性
第二节
电磁场的波动性
一、 电磁场波动方程： 从麦克斯韦方程出发，可以证明电磁场的传播具有波
第一节 麦克斯韦方程组
法拉第电磁感应定律： d d B B d d dt dt t 感应电动势的定义：单位正电荷沿闭合回路移动一
华中科技大学-物理光学-第一章
他的灿烂一生属于爱丁堡，属于剑桥大学，更属于全世界”。
2021/7/11
1-2 平面电磁波
波动方程
2E
1 v2
2E t 2
0..........(1 8)
2B
1 v2
2B t 2
0..........(1 9)
1-2
• 平面波方向余弦为cosα，cosβ的情况
在z＝z0平面的复振幅：
E~( x )
A ex p (i
2
z0 cos )
exp[i 2 (x cos y cos )] y
x
y
kz x
x cos y cos const
x
dx y dy
dx / cos,dy / cos
u 1 cos ,v 1 cos
Ex
Acos
z c
t , Ey
0, Ez
0
试写出相联系的磁场表达式。
2021/7/11
1-5 光波的辐射
➢光源：热光源、气体放电光源、激光器
➢原子发光—电中心振荡 电偶极子辐射模型
+q Bk
p ql p0 exp(it)
l
距离谐振偶极子很远的地方考察
E
辐射球面波，幅度随角变化 -q
E在p和r的平面内，E、B和k
式中： A、 A'— —电场、磁场的振幅，
— —简谐波的波长， [2 (z vt)] — —波的相位.
[ 2 (z vt)] const — —等相面或波面，
其中最前面的波面称为波前.
2021/7/11
1－2
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2.
反射系数和透射系数
假设介质中的电场矢量为
E l E0 l e
i (ω t k l r )
l i, r, t
1-127 1-128
s分量和p分量：
Elm E0 lme
i (ω t k l r )
m s, p
定义s分量和p分量的反射系数、透射系数分别为
E 0 rm rm E 0 im
Ts
n2 cos 2 2 sin 21 sin 2 2 ts n1 cos1 sin 2 (1 2 )
n2 cos 2 2 sin 21 sin 2 2 Tp tp n1 cos1 sin 2 (1 2 ) cos2 (1 2 )
由上述关系，有
1-119
1-120 1-121 1-122
根据电磁场的边界条件 将(119)式代入电磁场的边界条件，
n ( E1 E 2 ) 0 n ( B1 B2 ) 0
得
E1t E 2t (界面上电场的切向分量连续) B1n B2n (界面上磁场的法向分量连续)
i r t
1.2 光波在各向同性介质界面上的反射和折射
1．2．1 反射定律和折射定律
假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界面为无穷大 的平面，入射、反射和折射光均为平面光波，其电场表示式为
El E0l e i (ω t k l r )
在图所示的坐标情况下，有
l i, r, t
r xi yj
1．2．2费涅耳公式
描述光在界面上传播方向入射光、反射光和折射 光之间的振幅、相位关系。 Fresnel公式就是确定（电矢量可在垂直传播方向 的平面内任意方向上振动，而它总可以分解成垂直于 入射面振动的分量和平行于入射面振动的分量）两个 振动分量反射、折射特性的定量关系式。
s（垂直）分量 或水 平极化波：电场矢量 垂直于入射面振动的 分量 p（平行）分量 或垂 直极化波：电场矢量 平行于入射面振动的 分量
1-171
在n一定情况下，入射角1变化，△改变，可改变反射光偏振状态。 例如，费涅耳菱体
54.37° 54.37°
2. 衰逝波 设介质介面为xoy平面，入射面为xoz平面，在全反射时，透 射光场 i ( t kt r ) i ( t kt x sin 2 kt z cos 2 )
m s, p
1-128
Ers sin( 2 1 ) Eis sin( 2 1 )
将(1-128)式代入上式，利用(1-121)式关系，并根据反射系数 定义
sin(1 2 ) rs sin(1 2 )
1-134
再由(1-131)式和(1-133)式消消去Er s，经运算整理得
Rs Rp,
Ts Tp,
反射光、折射光为部分偏振光
(c)
自然光正入射时:
n2 n1 Rn n n 2 1
2
(d)
斜入射时：
1 sin 2 (1 2 ) tg 2 (1 2 ) Rn 2 2 2 sin (1 2 ) tg (1 2 )
rp
tp
E 0 tp E 0 ip
2 cos 1 sin 2 2n1 cos 1 sin( 1 2 ) cos( 1 2 ) n2 cos 1 n1 cos 2
已知n1、n2和，由费涅耳公式可求反射、透射系数。
1．2．3 反射率和透射率
它们是描述反射光、透射光和折射光能量关系的系数。
和
Wt n2 cos 2 2 T t Wi n1 cos1
将费涅耳公式代入，得s分量和p分量的反 射率和透射率分别为
2 sin ( 1 2 ) Rs rs2 sin 2 ( 1 2 )
2 tan ( 1 2 ) 2 R p rp tan 2 ( 1 2 )
Et E0t e E0t e
E0t e e
kt z sin 2 1 n 2 / n i ( t kt x sin 1 / n )
每秒入射到界面上单位面积上的能量为
W i I i cos 1
或
1 1 2 Wi E 0 i cos 1 2 0
反射光和折射光的能量是
1 1 2 Wr E 0 r cos 1 2 0
1 2 2 Wt E 0 t cos 2 2 0
反射率和透射率分别为
Wr R r2 Wi
由费涅耳公式
cos(1 2 ) tg i tg r cos(1 2 ) tg cos( )tg t 1 2 i
1．2．6 全反射 (a) 全反射条件 n2 sin c n1 1-165
当1>c 时（n1>n2）发生全反
射， 情况，利用
自然光的反射率:
1 ( Rs RP ) 2
反射光的偏振度 :
Pr
I rp I rs I rp I rs
R p Rs R p Rs
折射光的偏振度 :
Pt
I tp I ts I tp I ts
T p Ts T p Ts
讨论：
(a) 自然光正入射（1=0），掠入射界面（1=90） Rs = Rp, (b) 自然光斜入射 Ts = Tp, Pr = Pt =0 反射、折射光仍为自然光。
n2 sin c n1
，为了使费涅耳公式应用于全反射
n1 sin 2 sin 1 n2
2 2
n1 sin 1 和 cos 2 1 sin 2 i n 1 2
1-166
代入费涅耳公式，得 2 2 cos i sin n 1 1 ~ rs ~ rs e i cos 1 i sin 2 1 n 2
n2 tan B n1
布儒斯特角
b) 反射率R随入射角1变化的趋势是：1＜B时，R 数值小， 1>B时，R随着1的增大急剧上升，到达Rs＝RP＝1。 当n1＞n2时，存在一个临界角 c，当1> c时，光波发
生全反射。由折射定律，有
n2 sin C n1
全反射临界角
其中n=n2/n1。rs、ps为全反射时，反射光中s分量、p分量光场 ~ r 、 r 相对入射光的相位变化。 ~ 为反射光与入射光的s 分
s p
量 、p分量光场振幅大小之比。
由上式可见，发生全反射时，反射光强等于入射光强，反射光的相 位变化见表。 而
cos1 sin 2 1 n 2 rs rp 2arctg sin 2 1
2n1 cos1 ts n1 cos1 n2 cos 2
1-135
(1—134)式和(1—135)式就是s分量的反射系数和透射 系数表示式。利用类似方法，可以推出p分量的反射系
数和透射系数表示
E 0 rp E 0 ip tan(1 2 ) n2 cos1 n1 cos 2 sin 21 sin 2 2 tan(1 2 ) n2 cos1 n1 cos 2 sin 21 sin 2 2
相位完全无关。
(2) 相等。 (部分偏振光=自然光+完全偏振光) 部分偏振光： 各振动方向上的振动强度不
任意光矢量可视为两个正交分量的组合。
则：
自然光:
W=Ws+Wp
Ws=Wp
部分偏振光:
完全偏振光:
WsWp
Ws=0或Wp=0
(3)偏振度的定义：
在部分偏振光的总强度中，完全偏振光所占的比例。
IL P I总
1< 45, Rn基本不变
1 > 45, 随1增大，Rn增大较快
1=B
Rp=0, Pr=1 反射光为完全偏振光。（n1<n2）
1=c 发生全反射。（n1<n2）
布儒斯特角的应用：
2)
线偏振光反射的振动面旋转
例：入射线偏振光振动方位角i =45, 则 E ( i ) E ( i ) os op 1= 40入射。 反射光各分量：
(r ) (i ) (i ) Eos rs Eos 0.2845Eos (r ) (i ) (i ) Eop rp Eop 0.1245Eop
反射光的振动方位角
(r ) Eos i arctg ( r ) 66 24' Eop
反射光、折射光振动方位角：
(r ) Eos r arctg ( r ) Eop (t ) E arctg os (t ) t Eop
n1<n2 (b) n1>n2 备注 0
(1-29) 相对规定正方向 0 (1-30)
(a)
0
0
(d) 相对入射光
2. 薄膜上下表面的反射
图 1-32
薄膜上下表面的反射
1. 2. 5
反射和折射的偏振特性
1. 偏振度
(1)
完全非偏振光（自然光）： 在各个振动
方向上振动的偏振在观察时间内的平均值相等，初
1-153
或
P
IM Im IM Im
1-154
I M 和I m
分别为两个正交方向上所对应的最大和最小光强。
例：自然光 完全偏振光
P=0 P=1
2.反射和折射的偏振特性
(1)
自然光的反射、折射特性：
Wr Wrs Wrp Rn Win Win Wrp Wrs 2Wis 2Wip
R s Ts 1
R p Tp 1
小结论 光在界面上的反射、透射特性由三个因素决定 入射光的偏振态， 入射角， 两界面介质的折射率