MANOVA多响应变量方差分析
多元方差分析
从一元方差分析到多元方差分析
单因素方差分析、多因素方差分析、多元回归分析 的共同点是只涉及一个因变量（或反应变量），是 通过一个指标上的观测值来反映其所产生的差异和 变化的。 多元方差分析则已不能以多元回归的形式来完成了， 多元方差分析中的“元”指的是多个因变量。
它的一般模型如下：y1+y2+…+yi＝x1+x2+…+xk。其 中，自变量x的定义同方差分析模型一样也是分组变量， k为分组变量数；而因变量y有多个，且都是定距变量。 它检验的是多个反应变量在不同组是否存在显著差异。 它的虚无假设是：总体按照各因素进行分组后，各分组 子总体在每一项反映指标的均值都无差异。
STATA：单因方差分析
单因方差分析。命令：oneway 例如：
oneway y x； 只输出方差计算和检验结果； oneway y x, tab (输出变量的描述性统计量)； oneway y x, tab scheffe （还输出任意两组差异的显著性 检验结果，除了scheffe还有bonferroni、sidak）
serrbar ymean se xx scale(2)
另外，两组差异检验可采用ttest命令，如：
STATA：双与多因素方差分析
双因素与多因素方差分析。命令：anova
anova y x1 x2
双因素方差分析，只输出方差分析表，可增加tab选项； 有交互项的方差分析；anova y x1 x2 x3 x1*x3多因素 方差分析； 包括协方差的多因素方差分析；
SPSS中的选项
Homogeneity tests 方差齐次性检验
甘怡群《心理与行为科学统计》笔记和习题详解(多元方差分析(MANOVA))【圣才出品】
第20章多元方差分析（MANOVA）20.1 复习笔记一、多元方差分析简介（一）多元方差分析的概念多元方差分析是用于考查类目型变量在多个等距因变量上的主效应和交互作用的统计方法。
（二）MANOVA与ANOVA的比较1．相似之处（1）均可以有一个或几个类目型自变量作为预测源。
（2）计算性质和逻辑相同。
MANOVA可以看成是ANOVA在多个因变量情境下的延伸。
ANOVA是在一个因变量上进行检验，检测组间的差异是否是随机出现的；MANOVA 是在因变量的组合上进行检验，检测组间的差异是否是随机出现的。
2．不同之处MANOVA与ANOVA根本的不同在于因变量的个数。
MANOVA中因变量的个数多于一个，而ANOVA中只有一个因变量。
而且，MANOVA所测量的因变量彼此之间是有相关的。
（三）不能用多个ANOVA的分析来代替MANOVA的分析1．MANOVA的优点（1）首先，通过测量多个因变量而不是一个因变量，MANOVA减少了忽略某个会被自变量和自变量的交互作用影响的因变量的机率；（2）其次，对多个相关的因变量进行多个ANOVA检验，会造成I类错误的膨胀，使用MANOVA能够同时检验多个因变量，而又避免I类错误的膨胀；（3）第三，在特定的情况下，MANOVA能够检验出单独ANOVA分析无法检验出的差异。
2．MANOVA的局限（1）首先，在MANOVA中，有几个非常重要的前提假设需要考虑。
（2）其次，MANOVA在解释自变量对于某个因变量的效果时存在着一些模糊不清。
（3）MANOVA的统计效力高于ANOVA的情境并不是很多。
（四）多元协方差分析MANCOVA与MANOVA类似，因变量个数大于或者等于2，以等距自变量作为“协变量”。
多元协方差分析是协方差分析（ANCOVA）的扩展，应用多元协方差分析。
要回答的问题是：如果控制了一个或者多个协变量对新创建的因变量的影响之后，各组之间是否存在着统计上可靠的均值差异。
spss超详细操作两因素多元方差分析(two-way manova)
SPSS超详细操作：两因素多元方差分析(Two-way Manova)每种方差分析的应用场景，以及该如何进行SPSS操作和解读结果，各位伙伴请点击相应的文章链接查看~~今天，我们再来介绍一种统计方法：两因素多元方差分析(Two-way Manova)。
一、问题与数据某研究者想研究三种干预方式（regular—常规干预；rote—死记硬背式干预；reasoning—推理式干预）对学生学习成绩的影响。
研究者记录了学生两门考试的成绩：文科成绩（humanities_score）和理科成绩（science_score）。
另外，基于之前的知识，研究者假设干预方式对男女两种性别学生的效果可能不同。
换言之，研究者想知道不同干预方式对学习成绩的影响在男女学生中是否不同。
也就是说，干预方式和性别两个自变量之间是否存在交互作用（interaction effect）。
注：交互作用是指某一自变量对因变量的效应在另一个自变量的不同水平会不同。
在本例中，就是要比较①男性中干预方式对学习成绩的影响和②女性中干预方式对学习成绩的影响。
这两个效应就成为单独效应（simple main effects），也就是说，单独效应是指在一个自变量的某一水平，另一个自变量对因变量的影响。
因此，交互作用也可以看做是对单独效应间是否存在差异的检验。
在本研究中，共有三个效应：性别的主效应；干预方式的主效应；性别和干预方式的交互作用。
研究者选取30名男学生和30名女学生，并将其随机分配到三个干预组中，每个干预组中共有10名男学生和10名女学生。
部分数据如下：二、对问题的分析使用两因素多元方差分析法进行分析时，需要考虑10个假设。
对研究设计的假设：1. 因变量有2个或以上，为连续变量；2. 有两个自变量，为二分类或多分类变量；3. 各观察对象之间相互独立；对数据的假设：4. 自变量的各个组内，各因变量间存在线性关系；5. 自变量的各个组内，各因变量间没有多重共线性；6. ①没有单因素离群值（univariate outliers）与②多因素离群值（multivariate outliers）：单因素离群值是指自变量的各个组中因变量是否是离群值；多因素离群值是指每个研究对象（case）的各因变量组合是否是一个离群值；7. 各因变量服从多元正态分布；8. 样本量足够；9. 自变量的各组观察对象之间因变量的方差协方差矩阵相等；10. 每个因变量在自变量的各个组中方差相等。
permutation multivariate analysis of variance 解析说明
permutation multivariate analysis of variance 解析说明1. 引言1.1 概述在统计学领域，多元方差分析（Multivariate Analysis of Variance, MANOVA）是一种用于比较两个或多个组之间均值是否具有显著差异的统计方法。
传统的MANOVA假设数据满足正态性、方差齐性和协方差矩阵齐性等假设条件。
然而，当数据不满足这些假设时，传统的MANOVA会失效，因此需要使用其他替代方法。
本文将重点讨论一种替代方法——排列多元方差分析（Permutation Multivariate Analysis of Variance, PERMANOVA）。
PERMANOVA通过基于观察到的样本排列进行总体均值比较，并利用置换检验来评估组间差异是否显著。
相对于传统MANOVA，PERMANOVA在数据分析中更加灵活与适应性强。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述：- 第1部分为引言部分，对文章内容进行概述，并介绍排列多元方差分析的背景和意义。
- 第2部分为排列多元方差分析解析部分，主要涵盖其基本概念、方法和步骤以及数学原理的详细说明。
- 第3部分将探讨排列多元方差分析在不同领域中的应用，包括社会科学、医学研究和生态学研究等。
- 第4部分将对排列多元方差分析的优势与局限性进行深入分析，并探讨其结果解释的影响因素。
- 最后，第5部分总结全文，回顾研究内容，并展望排列多元方差分析在未来的发展趋势。
1.3 目的本文旨在全面解析排列多元方差分析（PERMANOVA），从介绍基本概念到详细说明方法与步骤，探讨其数学原理以及重要性。
同时，还将通过案例和实际应用领域来阐述PERMANOVA在社会科学、医学研究和生态学研究等领域中的具体应用。
此外，在总结优势与局限性时，将重点关注其解决传统MANOVA假设条件限制的优势，并分析结果解释受何种因素影响。
最后，展望未来针对PERMANOVA方法改进和发展的可能性。
《2024年使用SPSS软件进行多因素方差分析》范文
《使用SPSS软件进行多因素方差分析》篇一一、引言在社会科学和自然科学的研究中，多因素方差分析（Multivariate Analysis of Variance，MANOVA）是一种常用的统计方法。
它用于研究两个或多个变量之间的关系，同时控制其他可能影响结果的因素。
本文将介绍如何使用SPSS软件进行多因素方差分析，并通过一个具体的研究实例来展示其应用。
二、研究背景与目的本研究旨在探讨不同因素对某一结果变量的影响。
这些因素可能包括性别、年龄、教育程度等。
通过多因素方差分析，我们希望了解这些因素如何共同作用，对结果产生何种影响。
研究的目的在于为相关领域的理论研究和实践提供参考依据。
三、研究方法1. 数据收集：通过问卷调查、实验等方式收集数据。
2. 数据处理：使用SPSS软件进行数据清洗、整理和编码。
3. 统计分析：采用多因素方差分析方法，对数据进行统计分析。
四、数据预处理在SPSS中，首先需要导入数据。
数据应包含研究所需的变量，如性别、年龄、教育程度和结果变量等。
然后，进行数据清洗和整理，确保数据的准确性和完整性。
最后，对数据进行编码，以便进行后续的统计分析。
五、多因素方差分析1. 定义因变量和自变量：在SPSS中定义结果变量为因变量，其他影响因素为自变量。
2. 选择分析方法：选择多因素方差分析方法，并设置相关参数。
3. 运行分析：运行分析程序，等待结果输出。
4. 结果解读：解读输出结果，包括各因素的独立效应、交互效应以及显著性等。
六、结果与讨论1. 结果概述：根据SPSS输出结果，我们可以得到各因素的独立效应、交互效应以及显著性等信息。
这些信息有助于我们了解各因素对结果变量的影响程度和方式。
2. 结果分析：结合研究目的和实际情况，对结果进行深入分析。
例如，我们可以分析性别、年龄、教育程度等因素如何共同作用，对结果产生何种影响。
同时，我们还可以探讨各因素之间的交互作用，以及这种交互作用对结果的影响。
R语言实战（五）方差分析与功效分析
R语⾔实战（五）⽅差分析与功效分析本⽂对应《R语⾔实战》第9章：⽅差分析；第10章：功效分析====================================================================⽅差分析：回归分析是通过量化的预测变量来预测量化的响应变量，⽽解释变量⾥含有名义型或有序型因⼦变量时，我们关注的重点通常会从预测转向组别差异的分析，这种分析⽅法就是⽅差分析（ANOVA）。
因变量不只⼀个时，称为多元⽅差分析（MANOVA）。
有协变量时，称为协⽅差分析（ANCOVA）或多元协⽅差分析（MANCOVA）。
#基本格式aov(formula, data = dataframe)基本表达式符号参考回归中的表格研究设计的表达式下表中，⼩写字母表⽰定量变量，⼤写字母表⽰组别因⼦，Subject是对被试者独有的标识变量设计表达式单因素ANOVA y ~ A含单个协变量的单因素ANCOVA y ~ x + A双因素ANOVA y ~ A * B含两个协变量的ANCOVA y ~ x1 + x2 + A*B随机化区组y ~ B + A （B是区组因⼦）单因素组内ANOVA y ~ A + Error(Subject/A)含单个组内因⼦（W）和单个组间因⼦（B）的重复测量ANOVA y ~ B * W + Error(Subject/W)表达式中的各项顺序：有两种情况会造成影响：（1）因⼦不⽌⼀个，并且是⾮平衡设计；（2）存在协变量。
出现任意⼀种情况时，等式右边的变量都与其他每个变量相关，此时我们⽆法清晰地划分它们对因变量的影响。
例如，对于双因素⽅差分析，若不同处理⽅式中的观测数不同，那么模型y ~ A * B与模型y ~ B * A的结果不同R默认类型1（序贯型）⽅法计算ANOVA效应。
第⼀个模型可以这样写：y ~ A + B + A : BR中的ANOVA表的结果将评价：1. A对y的影响2. 控制A时，B对y的影响3. 控制A和B的主效应时，A与B的交互效应顺序很重要当⾃变量与其他⾃变量或者协变量相关时，没有明确的⽅法可以评价⾃变量对因变量的贡献。
MANOVA方差分析操作方法
-24.260 0
2.834181
.40 4554
-101.10 51
51.7851
3 教法三
32.1900
2.834181
.2 8148
-43.855 1
119.0351
4 教法四
-56.490 0*
2.834181
.0 6065
-13.3 51
2-.454591
2 教法二 1 教法一
24.2600
2.311 2.311
.0 05
.4 49
13.31521
.3 26
-4.15 1
8.751
3. MANOVA的分析步驟 (p.289)
事前比較
取向 理論取向
事後比較
資料取向
使用時機
無論整體考驗是否顯著都 應進行
整體考驗顯著後才進行
值
不因比較次數而膨脹，不 會因比較次數而膨脹，需
需校正
校正
（某兩組平均數差量） C0 （標準誤） C0 t a, (N-k)（C0為t分配之臨界值）。 如組數為3組，總人數為30人，則t .05 (30-3) 2.05183
來源
df
SSCP
組間
k1
H
組內
Nk
E
總和
N1 THE
6
3. MANOVA的分析步驟
多 變 量檢 定c
效應項 截距
g
Pillai's Trace Wilks' Lambda 變數選擇法 多變量顯著性檢定 Roy 的最大平方根 Pillai's Trace Wilks' Lambda 變數選擇法 多變量顯著性檢定 Roy 的最大平方根
多变量方差分析
④ Manova Test Criteria and Exact F Statistics for the Hypothesis of no Overall Drug B vs C Effect
Statistic
Wilks' Lambda Pillai's Trace Hotelling-Lawley Trace
【SAS输出的结果】 ① The MEANS Procedure Variable N Mean Std Dev Minimum Maximum
-----------------------------------------------------------------------y1 y2 y3 20 20 20 7.170000 2.525000 2.365000 4.7157519 3.1504845 3.8276659 -0.170000 -2.740000 -6.780000 19.63000 10.26000 7.82000
表4-7
乳腺癌患者化疗前后BUN和Gr检测数据
【SAS程序】 data eg4_2； input id x0 x1 y0 y1 @@ ；
d1=x1-x0； d2=y1-y0；
cards； 1 11.7 10.6 1.3 0.8 …… run； proc means ； var d1 d2；run； proc glm； model d1 d2= / ss3 nouni； manova h=intercept； 9 14.6 13.8 0.9 0.8
2）根据效应因子的随机性： 固定模型(fixed model)：效应因子是专门指定的。 随机模型(random model)：效应因子是从很多的因子 中随机抽取出来的。 混合模型(mixed model)：效应因子包含两种类型因子。
11个常见的多变量分析方法
11个常见的多变量分析方法在社会科学研究中，主要的多变量分析方法包括多变量方差分析（Multivariate analysis of variance，MANOVA）、主成分分析（Principal component analysis）、因子分析（Factor analysis）、典型相关（Canonical correlation analysis）、聚类分析（Cluster analysis）、判别分析（Discriminant analysis）、多维量表分析（Multidimensional scaling），以及近来颇受瞩目的验证性因子分析(Confirmatory factor analysis )或线性结构模型（LISREL）与逻辑斯蒂回归分析等，以下简单说明这些方法的观念和适用时机。
多变量方差分析MANOVA适用于同时探讨一个或多个自变量与两个以上因变量间因果关系的统计方法，依照研究者所操作自变量的个数，可以分为单因素（一个自变量）或多因素（两个以上自变量）MANOVA。
进行多变量方差分析时，自变量必须是离散的定类或定序变量，而因变量则必须是定距以上层次的变量。
主成分分析主成分分析的主要功能在分析多个变量间的相关，以建构变量间的总体性指标（overall indicators）。
当研究者测量一群彼此间具有高度相关的变量，则在进行显著性检验钱，为避免变量数过多，造成解释上的复杂与困扰，常会先进行主成分分析，在尽量不丧失原有信息的前提下，抽取少数几个主成分，作为代表原来变量的总体性指标，达到资料缩减（datareduction）的功能。
进行主成分分析时，并无自变量和因变量的区别，但是所有的变量都必须是定距以上层次变量。
因子分析因子分析与主成分分析常被研究者混用，因为二者的功能都是通过对变量间的相关分析，以达到简化数据功能。
但不同的是，主成分分析是在找出变量间最佳线性组合（linear combination）的主成分，以说明变量间最多的变异量；至于因子分析，则在于找出变量间共同的潜在结构（latent structure）或因子，以估计每一个变量在各因子上的负荷量（loading）。
MANOVA方差分析操作方法
MANOVA方差分析操作方法MANOVA（多元方差分析）是一种多变量的统计分析方法，用于比较两组或多组之间的差异。
它是一种扩展的方差分析方法，适用于多个因变量和一个或多个自变量的情况。
在MANOVA中，我们使用多元回归模型来分析多个因变量与自变量之间的关系。
1.确定研究设计：首先需要确定研究中的自变量和因变量，并确定实施MANOVA的样本数量和分组情况。
2.设定假设：明确研究中的零假设（即组间无差异）和备择假设（即组间存在差异）。
3.数据准备：收集和整理数据，并进行必要的数据清洗和转换。
4.运行MANOVA：根据研究设计和数据特点，选择适当的统计软件（如SPSS、R等），运行MANOVA分析。
5. 输出结果：分析软件将提供关于组间差异的统计指标和显著性水平。
关注Wilks' Lambda（维尔克斯λ）值、F值、p值等。
6.结果解读：根据输出结果，判断组间的差异是否显著。
如果p值小于显著性水平（通常为0.05），则可以拒绝零假设，说明组间存在显著差异。
7.后续分析：如果MANOVA结果显著，可以进行进一步的后续分析，以确定具体哪些因变量或自变量之间存在差异。
常用的后续分析方法包括协方差矩阵、判别分析、聚类分析等。
8.结果报告：将MANOVA的结果整理成报告，包括原始数据的描述统计指标、MANOVA结果的统计指标和解读、后续分析的结果等。
需要注意的是，MANOVA分析需要满足一些前提条件，包括数据的正态性、方差齐性和相关性。
如果数据不符合这些前提条件，可能需要进行数据转换或选择其他的统计方法。
在设计和分析MANOVA研究时，还需要注意控制潜在的混淆变量，并进行合理的样本量估计。
此外，MANOVA适用于有关联的多个因变量的情况，如果因变量之间没有相关性，可以使用多重方差分析（ANOVA）而不是MANOVA。
总之，MANOVA是一种强大的统计方法，可以用于比较多个变量之间的差异，有助于揭示多个因变量与自变量之间的关系。
matlab方差分析函数
The sky is always cloudy, it is foggy now, and nothing can be seen in the distance, as if it is my future.悉心整理祝您一臂之力（页眉可删）春节慰问信范文5篇春节慰问信篇1尊敬的客户朋友们：金鸡辞岁，玉犬闹春，新春的脚步悄然而至。
过去的一年，XXXX有限公司全体员工与客户朋友们一道精诚合作，努力拼搏，共同谱写了大地发展的新篇章！值此新春佳节来临之际，我谨代表XXXX有限公司全体员工，向您们致以最诚挚的问候：祝：您及您的家人新春快乐！身体健康！万事如意，贵公司生意兴隆，事业蒸蒸日上！！XXXX有限公司20xx年XX月XX日春节慰问信篇2全市石油公司员工：你们辛苦啦!九州同庆，万家欢歌。
硕果累累的20xx年即将远去，20xx 年在我们的期待中，带着希望，带着梦想，带着挑战缓缓走来......回首20xx年，我们石油公司菏泽市分公司在党委的正确领导下，继续坚持"高点定位、从严治行、真抓实干、创先争优"的治行思路，深入开展"一心服务客户、一身正气做人、一生和气生财"的"三个一"活动，转变作风，积极作为，各项工作成绩骄人，经营效益明显提升，内控制度得到完善，十项指标考核较往年有了较大改善：全年营销大客户108个，金额210万元，经营利润超计划，创利719万元，完成任务126%;"从严治理"出现新氛围，领导干部作风明显转变，凝聚力、向心力空前高涨，"学习、敬业、奉献、包容"之风蔚然兴起，领导干部素质、员工队伍素质都有了明显提高。
这些成绩的取得，是公司员工共同努力的结果，凝聚了员工的心血和智慧。
在此，市公司党委向全体干部职工致以亲切的慰问!向理解、支持我公司事业的职工家属致以真诚的祝福!20xx年注定是不平凡的一年，有压力，有挑战，更有难得的机遇和广阔的发展前景，我们以开展党的群众路线教育实践活动为契机，牢固树立全面发展理念，高举发展的大旗，吹响发展的号角，抢抓机遇，迎接挑战，坚定信心，振奋精神，攻坚克难，以时不我待的干劲、不甘人后的拼劲，科学谋划，干事创业!最后，祝愿大家在新的一年里工作顺利，身体健康，阖家幸福，万事如意!春节慰问信篇3亲爱的教职员工同志们：你们好！在鸡年春节到来之际，我谨代表学校给您拜年了！此时，我们的心中充满了丰收的快乐。
11个常见的多变量分析方法
11个常见的多变量分析方法在社会科学研究中，主要的多变量分析方法包括多变量方差分析（Multivariate analysis of variance，MANOVA）、主成分分析（Principal component analysis）、因子分析（Factor analysis）、典型相关（Canonical correlation analysis）、聚类分析（Cluster analysis）、判别分析（Discriminant analysis）、多维量表分析（Multidimensional scaling），以及近来颇受瞩目的验证性因子分析(Confirmatory factor analysis )或线性结构模型（LISREL）与逻辑斯蒂回归分析等，以下简单说明这些方法的观念和适用时机。
01、多变量方差分析MANOVA适用于同时探讨一个或多个自变量与两个以上因变量间因果关系的统计方法，依照研究者所操作自变量的个数，可以分为单因素（一个自变量）或多因素（两个以上自变量）MANOVA。
进行多变量方差分析时，自变量必须是离散的定类或定序变量，而因变量则必须是定距以上层次的变量。
02、主成分分析主成分分析的主要功能在分析多个变量间的相关，以建构变量间的总体性指标（overall indicators）。
当研究者测量一群彼此间具有高度相关的变量，则在进行显著性检验钱，为避免变量数过多，造成解释上的复杂与困扰，常会先进行主成分分析，在尽量不丧失原有信息的前提下，抽取少数几个主成分，作为代表原来变量的总体性指标，达到资料缩减（data reduction）的功能。
进行主成分分析时，并无自变量和因变量的区别，但是所有的变量都必须是定距以上层次变量。
03、因子分析因子分析与主成分分析常被研究者混用，因为二者的功能都是通过对变量间的相关分析，以达到简化数据功能。
但不同的是，主成分分析是在找出变量间最佳线性组合（linear combination）的主成分，以说明变量间最多的变异量；至于因子分析，则在于找出变量间共同的潜在结构（latent structure）或因子，以估计每一个变量在各因子上的负荷量（loading）。
MANOVA多响应变量方差分析
1. 相关统计方法 回顾
1.2.1 单因素方差分析(One-way ANOVA)
主要用于检验一个自变量、多个水平或多个处 理对所研究的一个响应变量的影响。
Eg：四组光照条件不同的样地中野生高山乌头的 生长速率有无差异？
1. 相关统计方法 回顾
1.2.2 多因素方差分析(Multi-factor ANOVA) 检验两个及以上自变量、多个水平或多个处
L
a22 L
LL
a1n
A11 A12 L A1n
a2n A21 A22 L A2n
L
L LLL
an1
an2 L ann An1 An2 L Ann
1 A A L A j1 j2L jn
1 j1 2 j2
njn
j1 j2L jn
(a11 )(a22 )L (ann ) L
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n
ann
a11
AE
a21
L
an1
a12 a22
L
an2
L L L L
a1n
a2n
L
ann
a11 a12 L
A E a21
3.1 行列式 二阶行列式的定义：
基本知识回顾
三阶行列式的定义：
3. 线性代数
3.2 向量
基本知识回顾
向量：由n个实数ai（i=1,2,…, n）组成的有序数组 （a1,a2,...,an），称为n维向量，其中ai 称为第i个分 量。 行向量，列向量。 向量相加：同维、同向的向量才能相加；对应分 量各自相加。
多元方差分析（MANOVA）：多元响应变量和多物种种相互作用
第6章多元方差分析（MANOV A）：多元响应变量和多物种种相互作用Samuel M. Schiner6.1 生态学问题多种成分对环境的某一变化是如何反应的，或者不同成分组之间有什么不同，这些是生态学中常问的一些问题。
生态学家最感兴趣的是各种成分间的相互作用以及这些相互作用如何随环境变化而变化。
种群生物学的研究通常要解决各种特征之间的制约或权衡的问题，如，种子的大小和种子的数量，奔跑的速度和持久性，发育速度和成熟时的大小。
群落生态学的研究通常要解决大量共存物种对关键捕食者去除后的响应，或者是对环境变化的响应。
用统计学的说法，这些多个成分研究就涉及到多元响应变量。
在本章中，我们表述自变量（实验操作），包括分类变量的情况，如，竞争者的出现和消失，或三个水平上的养分有效性。
当仅测量一个响应变量时，所测得的数据可以进行方差分析（ANOV A）（见第4章和第5章）。
当测量多于一个响应变量时，最适当的分析方法通常是多元方差分析（MANOV A），在这种方法中所有的因变量都包容在一个单独的分析中。
我很高兴的看到在最近几年中，生态学家越来越多的运用多元分析方法。
在本书第一版中，我对生态学杂志（Ecology）第72卷（1991）作了个快速调查，发现有62篇文章测量多于一个响应变量，因而应该使用多元检验，其中仅仅9篇使用了MANOV A。
与之不同的是，在第79卷（1998）的62篇文章中有40篇运用了多元方差分析、重复测量分析（见第8章），或其他多元统计方法。
其他研究则都运用了多重单元分析，分别对每个响应变量进行检验，尽管许多还明晰地处理了响应变量间的相互作用。
6.2统计问题多元分析比多重单元分析好有两个原因。
首先，生态学问题通常是多变量的，包括响应变量间的相互作用。
各组间存在的不同也许不是任何单独响应变量的特征，而是整个变量群的。
其次，进行多个单变量检验会夸大α值—Ⅰ类错误的概率—导致我们得出两组或处理间有一个或多个因变量不同的结论，即使这些不同仅仅是由偶然性造成的。
4_多变量方差分析
无交互效应 有交互效应
2）根据效应因子的随机性： 固定模型(fixed model)：效应因子是专门指定的。 随机模型(random model)：效应因子是从很多的因子
中随机抽取出来的。 混合模型(mixed model)：效应因子包含两种类型因子。
什么是多变量方差分析？ MANOVA
分析一个或多个效应因子是如何影响一组 反应变量的。
Wilks' Lambda
0.30389066 22.9066
2
20 0.0001
Pillai's Trace
0.69610934 22.9066
2
20 0.0001
Hotelling-Lawley Trace 2.29065729 22.9066
2
20 0.0001
Roy's Greatest Root
② The GLM Procedure Number of observations 20 Multivariate Analysis of Variance
MANOVA Test Criteria and Exact F Statistics for the Hypothesis of No Overall Intercept Effect
Wilks' Lambda
0.30799724 22.4678
2
20 0.0001
Pillai's Trace
0.69200276 22.4678
2
20 0.0001
Hotelling-Lawley Trace 2.24678238 22.4678
2
20 0.0001
Roy's Greatest Root
多元方差分析
2021/5/9
41
表3.1 身体指标化数据
2021/5/9
42
比较三个组(k=3)的4项指标(p=4)间是否有差异，就 是检验多样本均值向量是否相等。
2021/5/9
36
Wilk’s Lambda近似F值的计算
其中：
2021/5/9
37
ANOVA post hoc comparison
multiple comparison ： Fisher’s LSD Tukey’s W Student-Newman-Keuls Duncan’s Scheffé’s S …
2021/5/9
11
MANOVA原理讲解
检验统计量的计算
单因子多元方差分析：
SSCPT= SH+SE 来源
df
自由度
SSCP ……
组间
k 1
H
威尔克斯统 计量
组内
N k
E
2021/5/9
总和
N1 THE
14
MANOVA原理讲解
二因子多元方差分析(MANOVA table)：
SSCPT= SA+SB+SAB+SE
• Roy最大根统计量：为检验矩阵特征根中最大值，因此它总 是小于或等于Hotelling轨迹。
当模型建立的前提条件不满足时，Pillai’s迹最为稳 健。
2021/5/9
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小结
MANOVA原理讲解
应用多元分析五：复方差分析1
• 组间的协方差相等
– 如果是平衡设计，MANOVA对此假设具有 稳健性。 – 如果是非平衡设计，采用Box‘s M检验（ .001）。 – 如果组间协方差不等，那就要看数据：
• 因ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ单元内的被试数目足够多时，复方差分析基 本具有稳健性 • 如果被试数目非常有限，采用更为严格的标准（ 用Phillai’s criterion，而非Wilk’s criterion）。
• 多变量正态分布
– 假定在因子设计的每个单元中因变量的均值 服从正态分布。 – 当最小样本量的单元中的被试数目超过20（ 30？）时，即使不满足正态分布假设， MANOVA也是稳健的。 – 如果采用单元被试数非常小的非平衡设计， 就应引起注意。
• 没有极端值 • 因变量之间、协变量之间、因变量与协 变量之间存在线性关系
1
• 那个DV更重要？
– 如果存在显著的主效应和（或）交互作用， 那个因变量在相应自变量的各水平上的差异 最大。 – 在MANOVA之后，用ANOVA来确定哪个 DV在IV的各水平上的差异更大或更小。 – 另一种方法是采用Roy-Bargman step-down procedure（略）。
MANOVA的基本假设
• Wilk’s Lambda, Hotelling’s Trace and Pillai’s trace 都是采用综合的组间变异和 误差变异来生成检验的统计量的； • 各自的公式如下 (E 代表误差，H 代表假 设的效应):
– Wilk’s Lambda - |E|/ |H + E| - It’s the ratio of error to effect plus error. Analogous to 1 – R2.
three way anova的替代方法
three way anova的替代方法
在统计分析中，如果你想要替代三因素方差分析（Three-way ANOVA），你可以考虑以下一些方法：
多元方差分析（MANOVA）：
如果你有多个因变量，而不仅仅是一个，那么可以考虑使用多元方差分析（MANOVA）。
MANOVA 可以同时考虑多个因变量之间的差异，而不仅仅是一个。
MANOVA 可以扩展到包括多个因素的分析，并且可以检查因素之间的交互作用。
一元方差分析（ANOVA）：
如果你只有一个因素，或者只关注一个因素的影响，可以考虑使用一元方差分析（ANOVA）。
ANOVA 可以用于比较不同组之间的平均值是否存在显著差异。
你可以对每个因素进行单独的一元方差分析，以了解每个因素对因变量的影响。
线性回归分析：
如果你感兴趣的是因变量与一个或多个连续自变量之间的关系，你可以考虑使用线性回归分析。
线性回归分析可以帮助你理解自变量与因变量之间的线性关系，并可以探索预测因变量的变化与自变量之间的关系。
非参数检验：
如果你的数据不满足方差分析的假设，或者你的数据不符合正态分布假设，你可以考虑使用非参数统计方法进行分析，比如Mann-Whitney U 检验、Kruskal-Wallis 检验等。
贝叶斯分析：
贝叶斯统计方法提供了一种不同的分析方法，它使用概率模型来描述参数的不确定性，并能够直接估计感兴趣的参数的后验分布。
选择合适的替代方法取决于你的研究问题、数据类型、假设满足程度以及你感兴趣的研究问题。
因此，在选择替代方法之前，需要仔细考虑你的研究设计和数据特征。
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3. 线性代数 基本知识回顾
3.7 矩阵相除
一个矩阵的逆矩阵的求解方法是：先把一个单位矩阵 放在目的矩阵的右边，然后把左边的矩阵通过初等行变换 转换为单位矩阵，此时右边的矩阵就是我们要求的逆矩阵。
3. 线性代数
3.7 矩阵相除
基本知识回顾
3. 线性代数
3.7 矩阵相除
基本知识回顾
3. 线性代数 基本知识回顾
00
5xx115xx22
0 0
x1 x2 0 有非零解
3. 线性代数 基本知识回顾
所以，=4是矩阵A的一个特征值
对 x1 x2 0 ，取 x2 1 ，得一个基础解系 V 11 则方程(A-4E)X=O的全部解为：
cV cc c为任意常数 A的属于l=4 的特征向量：cV cc c≠0
2020/3/5
求n阶方阵A的特征值：
数l0是A的特征值
l0使方程AX= lX有非零解
0使方程A EX O有非零解
n元齐次方程组 A EX O有非零解 A E 0
理对所研究的一个响应变量的影响。
Eg：四组光照与水分均不相同的样地中野生高山乌 头的生长速率有无差异？
1. 相关统计方法 回顾
1.3 协方差分析(ANCOVA) 先用回归方法消除协变量对单一响应变量的影响
(协变量与响应变量之间存在线性关系)，再用方差分 析方法对自变量的影响作出统计推断。
Eg：考虑野生高山乌头的初始重量对其生长速度存 在影响，分析不同光照条件的样地中不同初始重量的 野生高山乌头生长速率有无差异？
因此 ：l0是A的特征值
求A的特征值步骤： (1) 计算n阶行列式
l0使 A E 0 成立 0是特征方程A E 0的根
A E
(2)令 A E 0 解得方程的根l1，l2，… ，ln，
2020/3/5 则l1， l2，… ，ln即是A的特征值
设
a11 a12
3.1 行列式 二阶行列式的定义：
基本知识回顾
三阶行列式的定义：
3. 线性代数
3.2 向量
基本知识回顾
向量：由n个实数ai（i=1,2,…, n）组成的有序数组 （a1,a2,...,an），称为n维向量，其中ai 称为第i个分 量。 行向量，列向量。 向量相加：同维、同向的向量才能相加；对应分 量各自相加。
(1)n n L
2020/3/5
fn
3. 线性代数 基本知识回顾
则方程 A E 0即 fn 0是的n次方程
在复数域上，方程 A E 0一定有 n个根。
L
a22 L
LL
a1n
A11 A12 L A1n
a2n A21 A22 L A2n
L
L LLL
an1
an2 L ann An1 An2 L Ann
1 A A L A j1 j2L jn
1 j1 2 j2
njn
j1 j2L jn
(a11 )(a22 )L (ann ) L
是一个数值。 根据由n2个数aij （i，j=1,2,…, n）排成的n行n列的数 表而确定的n阶行列式记作D，简记作det(aij)。
3. 线性代数 基本知识回顾
3.1 行列式 n阶行列式的定义： 由n2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列 的n个元素的乘积的代数和。
D=
3. 线性代数
0 0 n
3. 线性代数 基本知识回顾
3.3 矩阵
单位阵：主对角线上的所有元素全为1的对角阵，记做1
阵
1 0 L 0
0
1
L
0
M M O M
0
0
L
1
0 L 0
0
L
0
M M O M
0
0L
3. 线性代数 基本知识回顾
3.3 矩阵
矩阵：由m×n个数aij（i=1,2,…,m; j=1,2,…,n）排成的 m行n列的矩形数表，称为一个m×n矩阵。行与列相 等的矩阵称为方阵。
对角矩阵：主对角线以外的所有元素全为零的方阵（n
x n 阵）
1 0 0 0 2 0
l
a1k bk1
k1
l
a1kbkj
k 1
l
a1k bkn
k 1
l
a ik bk 1
l
aikbkj
l
a ik bkn
k1
k 1
k 1
l
l
l
amk bk1
amk bkj
A
a21 an1
a22 an2
a1n
a2n
ann
a11
AE
a21
L
an1
a12 a22
L
an2
L L L L
a1n
a2n
L
ann
a11 a12 L
A E a21
2.3 MANOVA数据要求
➢若响应变量间相关，相关关系应为线性；
➢若响应变量间不是线性相关，则应把非线性关系 线性化。
➢样本规模：
✓要求总样本量和各分组样本量都足够大
✓不能出现较多缺失量测值(若数据缺失较多，不宜 取得准确结果)
✓各组样本数最好不要差别太大。
3. 线性代数
3.1行列式
基本知识回顾
得 AX= 4X
(A-4E)X=O
A
4E
3 5
11
4 0
0 4
1 5
15
(A-4E)X= O
2020/3/5
1 5
15
x1 x2
0 0
x1 x2 5x1 5x2
k 1
称C为A 左乘 B，或 B 右乘 A
3. 线性代数 基本知识回顾
3.6 矩阵相乘
a11
ai
1
am1
a12
ai2
am2
a1l ail
aml
ml
b11 b21
bl 1
b1 j b2 j blj
2. MANOVA 基本介绍
2.2 适用情况比较
目的
样本个数 自变量
T-test
ANOVA
MAVOVA
检验两组均 值是否差异
检验k组(k>2)以上 均值是否有差异
检验k组间在两 个以上响应变 量间是否有差
异
k=2
k>2
k>2
一个
一个或多个
一个或多个
响应变量
一个
一个
多个
2. MANOVA 基本介绍
1. 相关统计方法 回顾
1.2.1 单因素方差分析(One-way ANOVA)
主要用于检验一个自变量、多个水平或多个处 理对所研究的一个响应变量的影响。
Eg：四组光照条件不同的样地中野生高山乌头的 生长速率有无差异？
1. 相关统计方法 回顾
1.2.2 多因素方差分析(Multi-factor ANOVA) 检验两个及以上自变量、多个水平或多个处
数量矩阵：主对角线上的所有元素全为的对角阵，记
做阵
3. 线性代数 基本知识回顾
3.3 矩阵
转置矩阵：把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩 阵称为A的转置矩阵，记作AT或A’。即A中的aij变为AT 中的aji。
对称矩阵：其转置等于自身的方阵叫做对称矩阵，就 是称A是对称矩阵，则有A=AT。对称矩阵aij= aji
3.8 特征根与特征向量
设A为n阶方阵，X是n维列向量，如果存在数,使
方程AX=X有非零解，则称为矩阵A的特征值，相应
的非零解称为A的属于的特征向量
方程AX=X
AX-X =O (A-E)X=O
即不论取何值，方程AX=X一定有解
例如：对 A 53 11，取 =4，代入方程AX= X
第三部分：MANOVA实际操作(SPSS) —— 李帅
第一部分：MANOVA相关基本知识
➢ 相关统计方法的回顾 ➢ MANOVA基本介绍 ➢ 线性代数基础知识回顾 ➢ MANOVA 基本统计量
—— 高晓霞
1. 相关统计方法 回顾
1.1 t-检验
一个自变量、一个响应变量，检验两个样本(k=2) 的平均值差异程度，适用于较小样本(样本量:<30)。
理论上可以对各个因变量单独进行方差分析，但这种处理存在 弊端： 犯第一类错误的概率增大，检验效率低； 一元分析结果不一致时，难以下结论； 忽略了响应变量间相关关系； 有时多个观察指标的联合分布存在差异，但单独对每个指标 进行统计学检验时却没有统计学意义；反之亦然。
类似ANOVA和多个单独t-检验间的关系
3.6 矩阵相乘
设 A (aik )ml , B (bkj )ln , 定义A,B之积
C A B (c ) mn
ml ln
ij mn
m行 l 列矩阵与 l 行n列矩阵的积为m行n列矩阵