抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
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抽象函数经典综合题33例（含详细解答）
抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）
1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；
（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；
（4）若f(x)·f(2x-x 2
)>1，求x 的取值范围。
解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2
∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)
(1
)(x f x f =
- 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)
(1
)(>-=
x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0
(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴
1)()()()
()
(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数
（4）f(x)·f(2x-x 2
)=f[x+(2x-x 2
)]=f(-x 2
+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增
∴由f(3x-x 2
)>f(0)得：3x-x 2
>0 ∴ 0 ()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有 ()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠ （1）求证：()f x 为奇函数 （2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值 解（1）对x R ∈，令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x) （2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0 ∴g(-1)+g(1)=1 3.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0， .2)1(.0)(-= (1)判断)(x f 的奇偶性； (2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f 解（1）取,0==y x 则0)0() 0(2)00(=∴=+f f f 取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则 )()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x 0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f ),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f 而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6 （3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2 -+<-+f ax f x f ax f 进一步可得)2()2(2 -<-ax f x ax f 而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222 ->-∴ax x ax .0)1)(2(>--∴x ax ∴当0=a 时，)1,(-∞∈x 当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且