非线性系统分析
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第8章 非线性系统分析
14
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
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第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
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第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
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一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
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一、非线性控制系统概述(4)
第8章非线性系统分析
t
稳定的。初始条件不同，系统的运动可能趋
于不同的平衡状态，运动的稳定性就不同。
所以说，非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与运 动的初始条件、输入信号有直接关系。
2：时间响应
y(t)
线性系统 非线性系统
R2
R1
0
t
3：自持振荡
4：对正弦信号的响应
Ac
线性系统当输入某一恒定幅值和不同
相轨迹AD段，可以用x轴上的P、Q、
x
R点为圆心，以|PA|、|QB|、|RC|
RQ P
为半径的小圆弧AB、BC、CD来近似。
0
经过每段小圆弧所需的时间，可以
B A
x
很方便地计算出来。 以tAB为例，在A点有：
DC
AB B MA
x PA sin A x PA cos A OP
解： x dx x 0
dx
令： dx
dx
x 1 x
上式即为等倾线方程。显然，等倾线为 通过相平面坐标原点的直线，其斜率为 -1/α，而α是相轨迹通过等倾线时切 线的斜率。
1.0 2.0
x 0.5 0 0.5
1.0 2.0
(x0 , 0)
y
x
K,
y
处于系统前向通路最前面的测量元件，其死区所造成的影响最大，而放 大元件和执行元件死区的不良影响可以通过提高该元件前级的传递系数 来减小。
2：饱和
•大 信 号 作 用 之 下 的 等 效 增 益 降 低 ， 使 系 统超调量下降，振荡性减弱，稳态误差增 大。
y
S K 0S x
•处于深度饱和的控制器对误差信号的变化失去反应，从而使系统丧失 闭环控制作用。
非线性系统分析方法
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
X 130 A 140
120 G(j)
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
第7章 非线性系统的分析
某一初始条件出发在相平面上按照式(7-13)或式(7-14)绘出的
曲线称为相平面轨迹,简称相轨迹。不同初始条件下构成的
相轨迹,称为相轨迹簇。由相轨迹簇构成的图称为相平面图。
利用相平面图分析系统性能的方法,称为相平面分析法。
图7-6为某个非线性系统的相平面图。图中,相轨迹上的
箭头表示相变量随着时间的增加沿相轨迹运动的方向。
第7章 非线性系统的分析 7.2 相平面分析法
7.2.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为
第7章 非线性系统的分析
第7章 非线性系统的分析
1.相平面和相轨迹
前面已经设定
我们称以x1(或x)为横坐
标、以x2(或 )为纵坐标构成的平面为相平面(注意,纵坐标x2
是横坐标x1的一阶导数),如图7-6所示。x1、x2为相变量。由
7.2.2 线性系统的相轨迹 在学习非线性系统的相平面分析法之前,我们先对非常
熟悉的线性系统做相平面分析。设二阶线性系统的微分方程 为
第7章 非线性系统的分析
也就是说,无论系统特征参数ωn和ξ是何值,系统的奇点是 不变的。此外,式(7-21)的特征方程为
系统的特征根为
对于不同的阻尼比ξ,二阶系统特征根的形式是不同的,而 线性系统的时域响应是由特征根决定的。下面介绍系统特征 根与系统的奇点(0,0)以及相轨迹的关系。
行线性化。我们只研究系统平衡点附近的特性时,就可以采 用平衡点附近的线性化方法,将非线性系统在平衡点附近小 范围线性化。当然,也可以将非线性系统分为几个区域,对每 个区域进行分段线性化。
第7章 非线性系统的分析
2.相平面分析法 相平面分析法简称相平面法,是非线性系统的图解分析 法。其基本思路是:建立一个相平面,在相平面上根据非线性 系统的结构和特性,绘制非线性系统的相轨迹。相轨迹就是 非线性系统中的变量在不同初始条件下的运动轨迹,根据相 轨迹就可以对非线性系统进行分析。该方法只适用于一阶和 二阶非线性微分方程。
非线性系统分析
3、频率特性发生畸变 在线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在幅值和相位上不同，因此可以用频率特性来分析线性系统。但是在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，使输出波形发生非线性畸变。
四、分析与设计方法 而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。 1、相平面法（二阶系统） 2、描述函数法（高阶系统）
8-2 常见非线性及其对系统运动的影响
一、死区特性 控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳态误差，而测量元件死区的影响尤为显著。
二、饱和特性 饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数减小，因而降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性做信号限幅。
三、间隙特性 间隙或回环特性对系统的影响比较复杂，一般说来，它会使系统稳差增大，相位滞后增大，从而使动态特性变坏。
例题：设含饱和非线性特性的非线性系统方框图如图所示，试绘制当输入信号为r(t)=1(t)时的相轨迹。
解：饱和特性的数学表达式为：
描述系统运动过程的微分方程为
由上列方程组写出以误差e为输出变量的系统运动方程为
(I)
若
则系统在I区工作于欠阻尼状态，这时的奇点(0，0)为稳定焦点;
3、相轨迹的绘制 （1）解析法 用求解微分方程的办法找出x和 的关系，从而可在相平面上绘制相轨迹。
（2）等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线。
二、线性系统的相轨迹
1、一阶系统的相轨迹
x
T<0
x
T>0
2、二阶系统的相轨迹
（1）奇点： 在相平面上，
，不确定的点称为奇点。
第8章 非线性系统分析
dx/dt x
不稳定节点
x 2 n x n x 0
2
1 0
相轨迹振荡远离原点，为不 稳定焦点。
dx/dt x
不稳定焦点
x 2 n x n x 0
2
0
相轨迹为同心圆，该奇点为中心 点。
dx/dt x
中心点
x 2 n x n x 0
R(s) 例8-7 继电控制系统， + 阶跃信号作用下，试用 相平面法分析系统运动。
e
+M -M
m
C(s) K s(Ts 1)
解 （1）作相平面图 线性部分 T c c Km 误差方程 e(t ) r (t ) c(t ) ———— 阶跃信号 r (t ) 1(t ), r (t ) 0, r(t ) 0 误差方程 T e e Km
x x sin x 0
奇点为
f ( x, x) x sin x 0
x0 无穷多个。 x k
4、奇点邻域的运动性质
由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。
dx 0 dx 0
相轨迹在奇点邻域的运动可以分为
1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
（4）滞环特性
滞环特性为正向行程与反向行程不重叠，输入输出曲 线出现闭合环路。又称换向不灵敏特性。通常是叠加 在其它传输关系上的附加特性。
f(e) k +M -e +e0 e -e0 0 +e -M f(e) +M -e 0 -M +e e 0 f(e) e
饱和滞环
继电滞环
不稳定节点
x 2 n x n x 0
2
1 0
相轨迹振荡远离原点，为不 稳定焦点。
dx/dt x
不稳定焦点
x 2 n x n x 0
2
0
相轨迹为同心圆，该奇点为中心 点。
dx/dt x
中心点
x 2 n x n x 0
R(s) 例8-7 继电控制系统， + 阶跃信号作用下，试用 相平面法分析系统运动。
e
+M -M
m
C(s) K s(Ts 1)
解 （1）作相平面图 线性部分 T c c Km 误差方程 e(t ) r (t ) c(t ) ———— 阶跃信号 r (t ) 1(t ), r (t ) 0, r(t ) 0 误差方程 T e e Km
x x sin x 0
奇点为
f ( x, x) x sin x 0
x0 无穷多个。 x k
4、奇点邻域的运动性质
由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。
dx 0 dx 0
相轨迹在奇点邻域的运动可以分为
1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
（4）滞环特性
滞环特性为正向行程与反向行程不重叠，输入输出曲 线出现闭合环路。又称换向不灵敏特性。通常是叠加 在其它传输关系上的附加特性。
f(e) k +M -e +e0 e -e0 0 +e -M f(e) +M -e 0 -M +e e 0 f(e) e
饱和滞环
继电滞环
自动控制原理课件：非线性系统的分析
( ) 90 arctan arctan
4
求与负实轴的交点
90 arctan arctan
4
180
5
arctan arctan arctan 4 2 90
4
1
4
2
4
1 2
G ( j )
1
10
称 , 为相变量，它们构成二维平面称为相平面
相变量在相平面上运动的轨迹称为相轨迹, 即在一定
初始条件下满足上述微分方程的解.
相平面模型即 非线性二阶系统的状态空间模型.
x(t )
d x(t ) / dt d x(t ) f ( x(t ), x(t ))
dx(t )
x(t ) dx(t ) / dt
作用的基波分量，近似为“线性系统”。
01
描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性化方法，忽略
非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表示其输出。
e(t ) X sin t
c1 (t )
N(X )
表示非线性环节的输出一次谐波分量对正弦输入信号的复数比。
N(X )
使用上常将描述函数表示为的函数.
的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且
与系统的初始状态有关。
2. 系统的自持振荡
线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。
非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生
自持振荡。
4
dx(t )
2
x
第九章 非线性系统的分析
9.1 控制系统的非线性特性
9.1.1 典型的非线性特性 （1）饱和特性
系统存在饱和特性的元件时， 系统存在饱和特性的元件时， 过渡过程时间的增加和稳态误 差的加大 但在某些自动控制系统中饱 和特性能够起到抑制系统振荡 的作用。 的作用。
kx ( x < a) y= b sgn x ( x > a)
（1）描述函数法 描述函数法
描述函数法又称为谐波线性化法， 描述函数法又称为谐波线性化法，它是一种基于频 率域工程近似方法。 率域工程近似方法。 这种方法用非线性元件输出的基波信号代替在正弦 作用下的非正弦输出，使非线性元件近似于一个线 作用下的非正弦输出， 性元件， 性元件，从而可以应用乃奎斯特稳定判据对系统的 稳定性进行判别。 稳定性进行判别。 应用描述函数法研究非线性控制系统的自持振荡时， 应用描述函数法研究非线性控制系统的自持振荡时， 能给出振荡过程的基本特性(如振幅、频率) 能给出振荡过程的基本特性(如振幅、频率)与系统 参数(如放大系数、时间常数等)的关系， 参数(如放大系数、时间常数等)的关系，给系统的 初步设计提供一个思考方向。 初步设计提供一个思考方向。 描述函数法是线性控制系统理论中的频率法在非线 性系统中的推广。 性系统中的推广。
第九章 非线性系统的分析
概述
（1）实际控制系统在某种程度上都具有非线 所谓线性系统是在实际系统中， 性，所谓线性系统是在实际系统中，忽略了非 线性因素后的理想模型。 线性因素后的理想模型。 若系统的非线性特性y （2）若系统的非线性特性y=f(x) 在工作点附 近能展开台劳级数，忽略变量增量的高次项， 近能展开台劳级数，忽略变量增量的高次项， 仅取变量增量的一次项， 仅取变量增量的一次项，则函数增量与变量增 量之间是线性关系。此时， 量之间是线性关系。此时，系统可近似成线性 系统。 系统。若y=f(x) 在工作点附近不能展开成台劳 级数， 为本质非线性， 级数，则称 y=f(x) 为本质非线性，这样的系统 只能按非线性系统理论来进行分析。 只能按非线性系统理论来进行分析。
非线性系统的分析与控制方法
非线性系统的分析与控制方法现今，非线性现象随处可见，涉及到的领域包括工程学、物理学、化学、生物学、经济学等。
与此同时，为了满足人类日益增长的需求，我们需要分析与控制这些非线性系统，使其达到我们所希望的状态。
本文将探讨分析与控制非线性系统的常见方法，涵盖了数学模型、稳定性分析、反馈控制等方面的内容。
1. 数学模型一个非线性系统通常可以利用微分方程表达。
微分方程可以是常微分方程或者偏微分方程，这取决于物理系统的特性。
使用数学模型可以对非线性系统进行分析与控制，比如进行数值计算，对系统进行仿真或者进行数值优化。
数学建模可以使用不同的方法，比如解析法、数值法和近似法等。
在实际应用中，通常使用形式化方法来描述系统的行为。
形式化方法涉及到一些形式的逻辑体系来描述现实问题。
它们通常适用于非线性系统的分析、验证和控制，其中一些常见的方法有：模型检验、定理证明和模型检查等。
2. 稳定性分析稳定性分析是对非线性系统的一个重要分析方法，它涉及到系统是否能够维持其稳定性。
稳定性分析包括局部稳定性分析和全局稳定性分析。
局部稳定性分析关注系统是否能够询问某种程度的扰动，而全局稳定性分析关注系统在无论多大的扰动下是否能保持稳定。
通常情况下，对于一个非线性系统，可以通过对其相应线性化系统的特征值进行分析来评估系统是否稳定。
如果相应线性化系统的特征值的实部都为负，则该非线性系统是局部稳定的。
如果相应线性化系统的特征值的实部都为负，并且没有虚部，则非线性系统是全局稳定的。
相反，如果相应线性化系统的特征值具有正实部，那么原始的非线性系统是不稳定的。
3. 反馈控制反馈控制是对非线性系统的适当信息反馈的一种方法，用于实现所需的稳态或动态目标。
在这种方法中，系统的输出信号与输入信号之间存在一定的误差。
通过将该误差反馈到控制器中，可以对系统进行优化，使其达到所需要的目标。
反馈控制方法最常见的类型是Proportional-Integral-Derivative （PID）控制器，它涉及到根据系统的误差信号进行比例反馈（P 项）、积分反馈（I项）和微分反馈（D项）。
第8章-非线性系统分析
假若平衡点在坐标原点时得：
令：
方程组可改写为
特征方程
线性化方程组
在一般情况下，线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是，若线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性，此时，平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。
(1) 无阻尼运动（=0） 此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为
对上式分离变量并积分，得
式中，A为由初始条件决定的积分常数。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
图8-1 无阻尼二阶线性系统的相轨迹
(2)欠阻尼运动（01） 系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为 式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所有非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性系统的分析提供了有效工具。
例1：确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。
解：令
求得奇点（0，0），（-2，0）。
即
由
（1）奇点（0，0） 线性化方程为
特征根
令：
方程组可改写为
特征方程
线性化方程组
在一般情况下，线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是，若线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性，此时，平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。
(1) 无阻尼运动（=0） 此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为
对上式分离变量并积分，得
式中，A为由初始条件决定的积分常数。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
图8-1 无阻尼二阶线性系统的相轨迹
(2)欠阻尼运动（01） 系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为 式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所有非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性系统的分析提供了有效工具。
例1：确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。
解：令
求得奇点（0，0），（-2，0）。
即
由
（1）奇点（0，0） 线性化方程为
特征根
第七章 非线性系统的分析
自激振荡或自振荡,如图所示。 自振荡是人们特别感兴趣的一个 问题,对它的研究有很大的实际意义。
Nanjing University of Technology
四、非线性系统的正弦输入响应 正弦信号作用下，线性系统的输出是与输入信 号同频率的正弦信号。 而非线性系统在正弦信号作用下的响应则很复 杂，一般不是正弦信号，但仍是周期信号；有 时输出信号频率为输入频率的倍频、分频等现 象。 非线性系统响应还有其他与线性系统不同的现 象,无法用线性系统的理论来解释。在一些情况 下,引入某些非线性环节,使系统获得比线性系 统更为优异的性能。实际上大多数智能控制都 属于非线性控制范畴。
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图7-6-3非线性控制系统的稳定性分析
二、自振荡分析
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• 若复平面中-1／N (X)曲线与G (j)曲线有交点,则该交 点对应着可能的等幅振荡,问题是这个等幅振荡能否稳 定地存在？也就是说,如果系统受到某个扰动使振荡的 振幅发生变化,系统是否具有恢复到扰动前的等幅振荡 状态的能力？如果系统具备这种能力,则该等幅振荡能 够稳定地存在,并能被观察到,称这个稳定的等幅振荡为 自持振荡。反之,振荡不能稳定地存在,必然转移到其它 运动状态(收敛到零或发散)。 • 以图7-6-3(c) 为例进行分析。图中-1／N (X)曲线与G (j)曲线有两个交点a和b, 对应于不同的振荡频率和振 幅。对a点,振幅及频率为Xa及 (j),若由于扰动使振 荡的振幅略有增大,这时工作点将沿-1／N (X)曲线由a 点移动到c点。由于c点不被G (j)所包围,故系统进入稳 定区,周期振荡的振幅要衰减,并逐步恢复到Xa,即自动返 回原状态；若由于扰动使振荡的振幅略有减小,这时工 作点将沿-1／N (X)曲线由a 点转移到d点，由
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四、非线性系统的正弦输入响应 正弦信号作用下，线性系统的输出是与输入信 号同频率的正弦信号。 而非线性系统在正弦信号作用下的响应则很复 杂，一般不是正弦信号，但仍是周期信号；有 时输出信号频率为输入频率的倍频、分频等现 象。 非线性系统响应还有其他与线性系统不同的现 象,无法用线性系统的理论来解释。在一些情况 下,引入某些非线性环节,使系统获得比线性系 统更为优异的性能。实际上大多数智能控制都 属于非线性控制范畴。
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图7-6-3非线性控制系统的稳定性分析
二、自振荡分析
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• 若复平面中-1／N (X)曲线与G (j)曲线有交点,则该交 点对应着可能的等幅振荡,问题是这个等幅振荡能否稳 定地存在？也就是说,如果系统受到某个扰动使振荡的 振幅发生变化,系统是否具有恢复到扰动前的等幅振荡 状态的能力？如果系统具备这种能力,则该等幅振荡能 够稳定地存在,并能被观察到,称这个稳定的等幅振荡为 自持振荡。反之,振荡不能稳定地存在,必然转移到其它 运动状态(收敛到零或发散)。 • 以图7-6-3(c) 为例进行分析。图中-1／N (X)曲线与G (j)曲线有两个交点a和b, 对应于不同的振荡频率和振 幅。对a点,振幅及频率为Xa及 (j),若由于扰动使振 荡的振幅略有增大,这时工作点将沿-1／N (X)曲线由a 点移动到c点。由于c点不被G (j)所包围,故系统进入稳 定区,周期振荡的振幅要衰减,并逐步恢复到Xa,即自动返 回原状态；若由于扰动使振荡的振幅略有减小,这时工 作点将沿-1／N (X)曲线由a 点转移到d点，由
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
非线性系统的分析
非线性系统理论1.1.非线性系统特点非线性系统与线性控制系统相比，具有一系列新的特点］，线性系统满足叠加原理，而非线性控制系统不满足叠加原理。
图8-1带滤波器的非线性系统2•非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数， 而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。
例：对于一由非线性微分方程 X=-x(1 ―) 描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x 1=0和x 2=1。
将上式改写为=—dt x(l - x)设20吋，系统的初态为咛积分上式可得dx3•非线性系统可能存在自激振荡现象 的情况： (1) 如图跳跃谐振和多值响应8 — 3 所砂)其输出存在极其复杂图8—3跳跃谐振与多值响应(2)分频振荡和倍频振荡非线性系统在正弦信号作用下， 其稳态分量除产生同频率振荡外,和分频振荡。
如图 8—4所示波形。
还可能产生倍频振荡4•非线性系统在正弦信号作用下, 的输入信号倍频信号分频信图8—4倍频撮荡与分频振荡8.1.2 研究非线性系统的意义与方法1•研究非线性系统的意义1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。
这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。
线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。
2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响。
2•研究非线性系统的方法1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。
通过绘制控制系统相轨迹,达到分析非线性系统特性的方法。
2）描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。
它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。
3）计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。
8.2典型非线性特性的数学描述及其对系统性能的影响8.2.1饱和特性在电子放大器中常见的一种非线性，如图8-5所示，饱和装置的输入特性的数学描述如下：［辰。
sig 滋(f)8.2.2死区特性死区特性也称为不灵敏区，如图8-6所示。
第7章 非线性系统分析
1 2
x ≥ a x < −a
2 2
x >
1 1
•
0
− a < x < a x > a x < −a
1
x <
2
•
0
4. 间隙特性
输入输出之间具 有多值关系
输出
齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙
输入
元件开始运动 输入信号< 无输出信号； 输入信号< a 时，无输出信号； 当输入信号> 以后，输出随输入线性变化。 当输入信号> a 以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2 输出随输入线性变化。 输入反向变化>2a ，输出随输入线性变化。
§7-2
常见非线性特性 常见非线性特性
一个单输入单输出静态非线性特性的数 学描述为： 学描述为：
y = f (x)
静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继 电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。 也是最简单 也是最简单
1. 死区特性
输出
（不灵敏区特性 不灵敏区特性） 不灵敏区特性
各类液压阀的正重叠量； 各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力；等等。 弹簧预紧力；等等。
如果系统线性部分gs具有良好的低通滤波特性则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计可以近似认为当输入为正弦信号xt时只有yt的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点其高次谐波分量可忽略不计即只考虑一次谐波sincos非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性环节的等效幅相特性
x ≥ a x < −a
2 2
x >
1 1
•
0
− a < x < a x > a x < −a
1
x <
2
•
0
4. 间隙特性
输入输出之间具 有多值关系
输出
齿轮传动中的齿隙 液压传动中的油隙
输入
元件开始运动 输入信号< 无输出信号； 输入信号< a 时，无输出信号； 当输入信号> 以后，输出随输入线性变化。 当输入信号> a 以后，输出随输入线性变化。 元件反向运动 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 保持在运动方向发生变化瞬间的输出值； 输入反向变化>2 输出随输入线性变化。 输入反向变化>2a ，输出随输入线性变化。
§7-2
常见非线性特性 常见非线性特性
一个单输入单输出静态非线性特性的数 学描述为： 学描述为：
y = f (x)
静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继 电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。 也是最简单 也是最简单
1. 死区特性
输出
（不灵敏区特性 不灵敏区特性） 不灵敏区特性
各类液压阀的正重叠量； 各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力；等等。 弹簧预紧力；等等。
如果系统线性部分gs具有良好的低通滤波特性则高次谐波分量通过线性部分后将被衰减到忽略不计可以近似认为当输入为正弦信号xt时只有yt的基波分量沿闭环反馈回路送至比较点其高次谐波分量可忽略不计即只考虑一次谐波sincos非线性环节相当于一个对正弦输入信号的幅值及相位进行变换的环节可以仿照线性系统频率特性的概念建立非线性环节的等效幅相特性
第七章(非线性系统分析)-1-12.16
10
④ 线性系统中，当输入量是正弦信号时，
输出稳态分量也是同频率的正弦函数，可 以引入频率特性的概念并用它来表示系统 固有的动态特性。
非线性系统在正弦作用下的输出比较
复杂。
11
三、非线性系统的分析方法
在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、脉
冲响应等模型。 在工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统，
n
=
arctan
An Bn
N
(
A)
=
Y1 A
1
=
A12 + B12 arctan A1
A
B1
= Y1 e j1 = B1 + j A1
A
AA
A1
=
1
2
y(t) cos td ( t)
0
B1
=
1
2
y(t) sin td ( t)
0
y(t)为非线性特性在输入信号
Asin t作用下的输出
36
例 非线性特性为
Y1 A
1
=
B1 A
( ) =
2K
sin −1
S A
+
S A
1−
S 2 A
(A S)
42
（2）不灵敏区特性的描述函数
输出 y (t)
y (t)
K
− 0
x (t)
0
t
输入
1 −1
K
0
1
−1
x (t)
x (t)= Asin(t)
2 t
A
43
0
y(t)= K(Asint − )
0
0 t 1 1 t − 1 − 1 t
④ 线性系统中，当输入量是正弦信号时，
输出稳态分量也是同频率的正弦函数，可 以引入频率特性的概念并用它来表示系统 固有的动态特性。
非线性系统在正弦作用下的输出比较
复杂。
11
三、非线性系统的分析方法
在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、脉
冲响应等模型。 在工程实际中对于存在线性工作区域的非线性系统，
n
=
arctan
An Bn
N
(
A)
=
Y1 A
1
=
A12 + B12 arctan A1
A
B1
= Y1 e j1 = B1 + j A1
A
AA
A1
=
1
2
y(t) cos td ( t)
0
B1
=
1
2
y(t) sin td ( t)
0
y(t)为非线性特性在输入信号
Asin t作用下的输出
36
例 非线性特性为
Y1 A
1
=
B1 A
( ) =
2K
sin −1
S A
+
S A
1−
S 2 A
(A S)
42
（2）不灵敏区特性的描述函数
输出 y (t)
y (t)
K
− 0
x (t)
0
t
输入
1 −1
K
0
1
−1
x (t)
x (t)= Asin(t)
2 t
A
43
0
y(t)= K(Asint − )
0
0 t 1 1 t − 1 − 1 t
第七章__非线性系统分析
输出
铁磁部件的元件
输入
电液伺服阀中的力矩马达
输出
非单值非线性
输入
7、静摩擦与动摩擦
静摩擦 M1
M2
Mf
动摩擦
0
x
直流电动机的方框图
摩擦力矩示意图
摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个很 重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看，相当于 在执行机构中引入了死区，从而造成了系统的静差，这 一点和死区的影响相类似。
第七章 非线性系统分析
☆非线性数学模型的线性化 ☆典型非线性特性 ☆描述函数与典型环节描述函数 ☆用描述函数分析非线性系统 ☆改进非线性系统性能的方法
第一节 非线性数学模型的线性化
绝大多数物理系统在参数某些范围 内呈现出线性特性。当参数范围不加限 制时，所有的物理系统都是非线性的。
对每个系统都应研究其线性特性和相 应的线性工作范围。
D(s) 1 N( A)G(s) 0
N ( A) 1
G(s) 1 N ( A)
负倒描述函数（描述函数负倒特性)
1
?
N ( A)
线性系统
1 G(s) 0
G(s) 1
(乃奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环 稳定的充要条件是 G(j) 轨迹不包围G平 面的(-1,j0)。
第三节 描述函数与典型环节描述函数
一、描述函数
X sint
系统或元件
y(t )
将 y(t) 表示为富氏级数形式
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 Yn sin(nt n ) n1
式中：
An
1
2
第七章非线性系统的分析
2、死区非线性
x1 ≤ ∆ 0, x2 = k ( x1 − ∆signx1 ), x1 > ∆
1 signx1 = −1
x1 > 0 x1 < 0
在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同的 影响：一方面它使系统不稳定或者产生自振荡；另一方面有时 人们又人为的引入死区特性，使系统具有抗干扰能力。
第七章 非线性控制系统
7-2
1、饱和非线性
kx1 = x2 = ka x2 m −ka = − x 2m
典型非线性环节
x1 < a x1 ≥ a x1 ≤ −a
x2m
x2
−a
0
k
a
x1
此处：输入 x1 − − − − x2 − − − −输出 k − − − −比例系数
− x2m
第七章 非线性控制系统
第七章 非线性控制系统
4）混沌(Chaos)
蝴蝶效应（ The Butterfly Effect） 是指在一个动力系统中，初始条 件下微小的变化能带动整个系统 的长期的巨大的连锁反应。这是 一种混沌现象。 核心理念：看似微不足道的细小 变化，却能以某种方式对社会产 生微妙的影响，甚至影响整个社 会系统的正常运行。
第七章 非线性控制系统
r(t)
e(t)
N(A,ω) NLS
x(t)
G(s)
c(t)
非线性系统的闭环“传递函数”：
G ( jω ) N ( A, ω ) Φ ( jω ) = 1 + G ( jω ) N ( A, ω )
0 闭环“特征方程”： 1 + G ( jω ) N ( A, ω ) =
即
1 G ( jω ) = − N ( A, ω )
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对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其中不可能产生 稳定的自持振荡。
（4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数，输 入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特 性。而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。
二、控制系统中的典型非线性特性
下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所固有的，如饱和特性， 死区特性和滞环特性等，这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的；另一些 特性则是为了改善系统的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控 制系统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性。
1、饱和特性
kx y C
x a x a
式中k－线性区特性的斜率
– 饱和非线性的影响 • 使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。 • 使系统的快速性和稳态跟踪精度下降
2、死区(不灵敏区)非线性
0
y(t
)
k
x(t) a x(t) a
死区（不灵敏区）特性的影响 ❖增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。 ❖减小了系统的开环增益，提高了系统的
非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两个一 阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变量 构成的相平面中的轨线，并由此对系统的时间响应进行判别。 所得结果比较精确和全面。但是对于高于二阶的系统，需要讨 论变量空间中的曲面结构，从而大大增加了工程使用的困难。
目前，还没有像求解线性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对 非线性系统，一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在系 统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算机自持振荡的振幅和频率，消除自持振 荡等有关稳定性的分析上。
（2）在线性系统中，系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与初始条件无关。对 于线性定常系统，稳定性仅取决于特征根在s平面的分布。但非线性系统的稳定性除 和系统的结构形式及参数有关外，还和初始条件有关。在不同的初始条件下，运动 的最终状态可能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的，而当初 始值处于较大区域内时则变为不稳定。
y(t) k1
k2
x(t)
式中 k1, k 2 -变增益特性斜率
a -切换点
—变增益特性的影响 使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅速； 在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。 抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
三、非线性控制系统的特性
（1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型量线性微分方程，它的根本标志就 在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型为非线性微分方程，不能使用叠 加原理。由于两种系统特性上的这种差别，所以它的运动规律是很不相同的。
4、继电器特性
继电器特性的影响
❖理想继电控制系统最终多半处于自振工作状态。
❖可利用继电控制实现快速跟踪。
❖带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他 动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合 效果。
5、变增益特性
y (t )
k1
x(t
)
k2 x(t)
x(t) a x(t) a
二、教学目的及要法分析非线性系统的理论
基础与应用。 要求作到：重点内容牢固掌握与应用，难点内容认真理解与理会，自学内
容掌握理想及使用方法，自学应与重点内容同样要求。
三、学习方法 鉴于非线性系统分析的近似性，因此在掌握这部分内容时，应作到理论与实践
结合，理论为实践服务。着重使用方法的学习，以例题为主，作业内容补充，巩固 补充，巩固基本使用方法。
平稳性，减弱动态响应的振荡倾向。
斜坡输入时系统的输出量
3、回环非线性
kx(t) y(t) kx(t)
bsignx(t)
x(t) 0 x(t) 0 x(t) 0
式中 2 间隙宽度 k 间隙特性斜率
signx(t)
1 1
x(t) 0 x(t) 0
– 回环（间隙）特性的影响 • 降低了定位精度，增大了系统的静差。 • 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
四、非线性系统的研究方法
现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。 常用的分析非线性系统的方法有两种： 1、描述函数法（谐波平衡法）
是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。方法不受阶次的限制，且 所得结果也比较符合实际，故得到了广泛应用。
2、相平面法 适用于一、二阶非线性系统的分析，方法的重点是将二阶
（3）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，往 往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡。
自持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振 荡称为自持振荡，简称自振荡。
改变非系统的结构和参数，可以改变自持振荡的振幅和频率，或消除自持振 荡。
§7-1 非线性系统分析
一、非线性的基本概念
非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。
非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或 环节，则称这类系统为非线性系统，其特性不能用线性微分方程来描述。
非本质非线性：能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非 线性。
本质非线性：用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
（4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数，输 入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特 性。而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。
二、控制系统中的典型非线性特性
下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所固有的，如饱和特性， 死区特性和滞环特性等，这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的；另一些 特性则是为了改善系统的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控 制系统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性。
1、饱和特性
kx y C
x a x a
式中k－线性区特性的斜率
– 饱和非线性的影响 • 使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。 • 使系统的快速性和稳态跟踪精度下降
2、死区(不灵敏区)非线性
0
y(t
)
k
x(t) a x(t) a
死区（不灵敏区）特性的影响 ❖增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。 ❖减小了系统的开环增益，提高了系统的
非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两个一 阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变量 构成的相平面中的轨线，并由此对系统的时间响应进行判别。 所得结果比较精确和全面。但是对于高于二阶的系统，需要讨 论变量空间中的曲面结构，从而大大增加了工程使用的困难。
目前，还没有像求解线性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对 非线性系统，一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在系 统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算机自持振荡的振幅和频率，消除自持振 荡等有关稳定性的分析上。
（2）在线性系统中，系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与初始条件无关。对 于线性定常系统，稳定性仅取决于特征根在s平面的分布。但非线性系统的稳定性除 和系统的结构形式及参数有关外，还和初始条件有关。在不同的初始条件下，运动 的最终状态可能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的，而当初 始值处于较大区域内时则变为不稳定。
y(t) k1
k2
x(t)
式中 k1, k 2 -变增益特性斜率
a -切换点
—变增益特性的影响 使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅速； 在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。 抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
三、非线性控制系统的特性
（1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型量线性微分方程，它的根本标志就 在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型为非线性微分方程，不能使用叠 加原理。由于两种系统特性上的这种差别，所以它的运动规律是很不相同的。
4、继电器特性
继电器特性的影响
❖理想继电控制系统最终多半处于自振工作状态。
❖可利用继电控制实现快速跟踪。
❖带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他 动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合 效果。
5、变增益特性
y (t )
k1
x(t
)
k2 x(t)
x(t) a x(t) a
二、教学目的及要法分析非线性系统的理论
基础与应用。 要求作到：重点内容牢固掌握与应用，难点内容认真理解与理会，自学内
容掌握理想及使用方法，自学应与重点内容同样要求。
三、学习方法 鉴于非线性系统分析的近似性，因此在掌握这部分内容时，应作到理论与实践
结合，理论为实践服务。着重使用方法的学习，以例题为主，作业内容补充，巩固 补充，巩固基本使用方法。
平稳性，减弱动态响应的振荡倾向。
斜坡输入时系统的输出量
3、回环非线性
kx(t) y(t) kx(t)
bsignx(t)
x(t) 0 x(t) 0 x(t) 0
式中 2 间隙宽度 k 间隙特性斜率
signx(t)
1 1
x(t) 0 x(t) 0
– 回环（间隙）特性的影响 • 降低了定位精度，增大了系统的静差。 • 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
四、非线性系统的研究方法
现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。 常用的分析非线性系统的方法有两种： 1、描述函数法（谐波平衡法）
是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。方法不受阶次的限制，且 所得结果也比较符合实际，故得到了广泛应用。
2、相平面法 适用于一、二阶非线性系统的分析，方法的重点是将二阶
（3）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，往 往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡。
自持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振 荡称为自持振荡，简称自振荡。
改变非系统的结构和参数，可以改变自持振荡的振幅和频率，或消除自持振 荡。
§7-1 非线性系统分析
一、非线性的基本概念
非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。
非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或 环节，则称这类系统为非线性系统，其特性不能用线性微分方程来描述。
非本质非线性：能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非 线性。
本质非线性：用小偏差线性化方法不能解决的非线性。