第一章空间几何体复习课
2020新课标高考艺术生数学复习：空间几何体的结构特征、直观图含解析
已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，
由正弦定理得 ＝ ，
所以OC′＝ a＝ a，
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：C[当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．]
3．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台B．②是圆台
C．③是棱锥D．④不是棱柱
解析：C[图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选C.]
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．
(1)球的任何截面都是圆．( )
A. a2B. a2C. a2D. a2
[解析]D[如图所示为原图形和其直观图．
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝ OC＝ a，
在图中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝ O′C′
＝ a.∴S△A′B′C′＝ A′B′·C′D′＝ ×a× a＝ a2.故选D.]
[互动探究]
空间几何体的体积和表面积复习课(定)
问题（3）： 若在奖杯中间部分堆塑一条龙，缠绕奖杯一圈，且使 龙的首与尾在一条竖直线上。两种设计方案中如何堆 塑使得龙的身长最短？
图（1）
图（2）
小结：
1、几何体的体积
2、几何体的表面积
3、用分割与组合方法求几何体的体积
4、 空间图形问题
平面图形问题
想一想：
一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为 （A）48+12 2 （B）48+24 2 （C）36+12 2 （D）36+24 2
S (r r r l rl )
'2 2 '
2r `
O`
2r
O
1、多面体的表面积 2、旋转体的表面积
各面面积之和
S球 4 r
空间图形问题 平面图形问题
2
O O'
E
O O'
H F
S总 S球 S棱柱侧 S棱台全 1 4 4 8 4 20 14 20 （14 4 20 4） 5 2 64 1576 1777
8
8 20
4
14 20
图（1） 图（2）
圆柱的展开图是一个矩形：
如果圆柱的底面半径为 r ，母线为 l ，那么圆柱 2 r 的底面积为 ，侧面积为 2rl 。因此圆柱的 表面积为
S 2r 2rl 2r (r l )
2
O`
O
圆台的展开图是一个扇环，它的表面积等于上、 下两个底面和加上侧面的面积，即
锥体的体积
1 V Sh 3
4 3 V r 3
S/=0
球的体积：
用分割与组合方法求几何体的体积。
必修2第一章空间几何体单元复习课件人教新课标
4. 画空间几何体的三视图时注意 长对正,高平齐,宽相等.
5. 画空间几何体的直观图时注意 x,y轴相交成45°，平行x轴的线段的长 度保持不变.平行y轴的线段的长度变为 本来的一半.
要点总结
1.1空间几何体的结构
1、画轴 2、画底面
3、画侧棱 4、成图
确定平行线段 确定线段长度
1.3空间几何体的表面积与体积
1.3.1柱体、椎体、台体、球体的 表面积与体积
r O
r ' O
l r’＝r
l r’＝0
l
O
r 上底扩大
O
r 上底缩小
O
S柱 2r(r l) S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r(r l)
侧棱 D' A'
D
A
C' 上底面
B' 侧面 C
下底面
B
棱锥特点： 1.可看作用一个平行于棱锥 底面的平面去截棱锥.
O'
轴
母线
侧面
O
底面
母线 S 轴
侧面
底面
O
圆柱特点： 1.以矩形的一边所在直线为 旋转轴，其余三边旋转形成 的面所围成的旋转体.
圆锥特点： 1.以直角三角形的一条直角 边所在直线为旋转轴，其余 两边旋转形成的面所围成的 旋转体.
轴
母线 O'
侧面
O
底面
圆台特点： 1.用平行于圆锥底面的平面 去截圆锥，底面与截面之间 的部分.
球体特点：
半径 1.以半圆的直径所在直线为
O
球心 旋转轴，半圆面旋转一周形
《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。
棱柱1。
1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。
2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。
4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。
1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。
第1章-基本的几何图形(分章备课)
四、能力拓展
1.说出下列几何体的名称并将它们分类，且说明理由。
2.下列图形中属于棱柱的有（）
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
3.下列图形属于柱体的是（）
（1）（2）（3）（4）（5）
4.下列图形中是圆柱的是（）
A B C D
5.如图,请仔细观察下列图案,并按规律在横线上画出合适的图形.
8、本章教学内容，适宜分组活动，但可能时间上不够用，特别是像让学生展开操作活动，活动材料（包括课件的制作）的准备需要花费很多的时间，因此教师要把握好课堂教学与活动时间，尤其要花一定的时间让学生去操作，不要纸上谈兵，课前准备充分一点，课上才能灵活顺利一点，建议花在写教案上的时间少一点，而花在动手画图案，制作图案的时间上多一点。
6.你熟悉图中各种立体图形吗？用线把图形和它们相应的名称连接起来。
7.观察下图,思考下列问题:
(1)上面这些物体的形状分别类似于下图中哪一种几何体?
(2)在上面的事物图片中,哪些物体的形状类似但大小不一样?
(3)在图片中玩具模型的形状,可以看做由哪些几何体组成?
(4)你还能ห้องสมุดไป่ตู้出一些类似于上图中几何体的实物吗?
（2）反思过去的结果，初中不学立体几何，到了高中学生没有经历对空间图形的操作过程，直接进入抽象分析，难以建立起较好的空间观念，应注意的是，本章内容不是高中立体几何的下放，本章侧重于以空间位置的感知，即对空间的认识仅仅要求停留在感觉、知觉的层面。
（3）激发学生学习数学的兴趣，学习内容贴近学生的生活实际和认知实际，动手实践和合作交流又必将大大激发学生的学习兴趣。在探索图形的性质，图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中建立起初步的空间观念，发展形象思维。
2015届(理科数学)二轮复习课件_专题六_立体几何_第1讲_空间几何体
1 1 3 故体积等于 × ×3×1×2=1(cm ). 3 2
cm3.
答案:1
感悟备考
从近几年的考情分析来看:
三视图是每年的必考内容,一般以选择题的形式出现,一
是考查相关的识图,由三视图想象直观图,二是以三视图 为载体,考查体积的计算等,均属低中档题. 预计2015年仍以选择题形式考查三视图的识图问题以及 简单几何体体积的计算,另外,由直观图判断三视图以及
坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),
(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为 投影面,则得到的正视图可以为( )
解析:(1)由于俯视图是两个圆.所以排除选项A、B、C, 故选D. (2)在空间直角坐标系中,设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为 1,A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),O(D)(0,0,0),若以zOx 平面为投影面,即从右向左看的正视图为正方形ADD1A1,其 中A1D、BC1分别为虚线、实线.
值为() 2
(C)1
解析:(1)由几何体的三视图得直观图如图,
1 2 1 则体积为[1×2+ ]×2=7(cm ).
3
2
故选 D.
(2)该几何体为四棱锥,高为 x,
1 3 底面面积为 ×(1+2)×1= , 2 2 x 3 1 于是 · = ,x=1. 3 2 2
故选A.
热点二 由三视图求空间几何体的体积及表面积 【例2】 (1)(2014温州一模)已知某几何体的三视图(单
位:cm)如图所示,则此几何体的体积是(
)
高考复习 第8篇 第1讲 空间几何体及其表面积与体积知识点+例题+练习 含答案
第1讲空间几何体及其表面积与体积知识梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．2．旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球．3．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝Ch V＝Sh正棱锥S侧＝12Ch′V＝13Sh续表4.(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．辨析感悟1．柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(×)2．柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为43π，则它的表面积为12π.(√)(4)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(×)3．柱体、锥体、台体的展开与折叠(5)将圆心角为2π3，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(√)(6)(2014·青州模拟改编)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为312a3.(×)[感悟·提升]两点注意一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．考点一空间几何体的结构特征【例1】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为________．解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确．答案①②③规律方法解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【训练1】设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的． 答案 ①④考点二 几何体的表面积与体积【例2】 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°， △ADP ∽△BAD . (1)求线段PD 的长；(2)若PC ＝11R ，求三棱锥P －ABC 的体积． 解 (1)∵BD 是圆的直径，∴∠BAD ＝90°， 又∵△ADP ∽△BAD ，∴AD BA ＝DP AD ， ∠PDA ＝∠BAD ＝90°， DP ＝AD 2BA ＝(BD sin 60°)2BD sin 30°＝4R 2×342R ×12＝3R . ∴DP 的长为3R .(2)在Rt △BCD 中，BC ＝CD ＝BD cos 45°＝2R ， ∵PD 2＋CD 2＝9R 2＋2R 2＝11R 2＝PC 2，∴PD ⊥CD ， 又∠PDA ＝90°，AD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥底面ABCD ， 则S △ABC ＝12AB ·BC sin(60°＋45°) ＝12R ·2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋12×22＝3＋14R 2.所以三棱锥P －ABC 的体积为V P －ABC ＝13·S △ABC ·PD ＝13·3＋14R 2·3R ＝3＋14R 3.规律方法 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视．【训练2】 (2014·苏州模拟)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积． 解(1)设O 1、O 分别为正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O 1O ＝32，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高；过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E ＝O 1O ＝32， 因O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝3，则DE ＝OD －O 1D 1＝3－32＝32.在Rt △D 1DE 中， D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3(cm)． (2)设c 、c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高， S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732(cm 2)，S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm 2)．故三棱台斜高为 3 cm ，侧面积为2732 cm 2，表面积为9934 cm 2.考点三 球与空间几何体的接、切问题【例3】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．(2)(2013·辽宁卷改编)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．审题路线 (1)根据正四棱锥的体积求高⇒求底面正方形的对角线长⇒由勾股定理求OA ⇒由球的表面积公式求解．(2)BC 为过底面ABC 的截面圆的直径⇒取BC 中点D ，则球心在BC 的垂直平分线上，再由对称性求解． 解析 (1)设正四棱锥的高为h ， 则13×(3)2×h ＝322，解得h ＝322. 又底面正方形的对角线长为2×3＝ 6. 所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝ 6. 故球的表面积为S 球＝4π×(6)2＝24π.(2)因为在直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球的直径，所以2r ＝122＋52＝13，即r ＝132.答案 (1)24π (2)132规律方法 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【训练3】(2012·辽宁卷)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若P A＝26，则△OAB的面积为________．解析根据球的内接四棱锥的性质求解．如图所示，线段PC就是球的直径，设球的半径为R，因为AB＝BC＝23，所以AC＝2 6.又P A＝26，所以PC2＝P A2＋AC2＝24＋24＝48，所以PC＝43，所以OA＝OB＝23，所以△AOB是正三角形，所以S＝12×23×23×32＝3 3.答案3 3考点四几何体的展开与折叠问题【例4】(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．(2)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一动点，沿棱柱表面使CP＋P A1最小，则最小值为________．解析 (1)折叠后的四面体如图所示．OA ，OC ，OD 两两相互垂直，且OA ＝OC ＝OD ＝22，体积V ＝13 S △OCD ·OA ＝13×12×(22)3＝823.(2)由题意知，A 1P 在几何体内部，把面BB 1C 1C 沿BB 1展开与面AA 1B 1B 在一个平面上，如图所示，连接A 1C 即可． 则A 1、P 、C 三点共线时，CP ＋P A 1最小， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝C 1C ＝3，∴A 1B 1＝AB ＝42＋32＝5，∴A 1C 1＝5＋3＝8，∴A 1C ＝82＋32＝73.故CP ＋P A 1的最小值为73.答案 (1)823 (2)73规律方法 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【训练4】如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．解析由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P－ABCD(如图所示)，其中PD⊥平面ABCD，因此该四棱锥的体积V＝13×6×6×6＝72，而棱长为6＝3个这样的几何体，才能拼成的正方体的体积V＝6×6×6＝216，故需要21672一个棱长为6的正方体．答案 31．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．2．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．3．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．方法优化5——特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】 (2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．[一般解法] 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VF －DD 1E ＝13×12×1＝16. [优美解法] E 点移到A 点，F 点移到C 点，则VD 1－EDF ＝VD 1－ADC ＝13×12×1×1×1＝16. [答案] 16[反思感悟] (1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥D 1－EDF 的体积转化为三棱锥F －DD 1E 的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求．(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法． 【自主体验】 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABC－A1B1C1的体积为________．解析补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示．记A1到平面BCC1B1的距离为d，则d＝2.则V三棱柱＝12V四棱柱＝12S四边形BCC1B1·d＝12×4×2＝4.答案 4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数是________．解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．答案①③④⑤3．在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．解析设侧棱长为a，则2a＝2，a＝2，侧面积为3×12×a2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3.答案3＋ 34．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ πrl ＝2π，πr 2＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝33π. 答案 33π5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________． 解析如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.答案 43π 6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案 267．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析 设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝9π2，∴R 3＝278，而R ＝32.由于3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，∴a ＝ 3.答案 38.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23. 答案 23 二、解答题 9.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .(1)求证：PC ⊥AB ；(2)求点C 到平面APB 的距离． (1)证明 取AB 中点D ，连接PD ，CD .因为AP ＝BP ，所以PD ⊥AB ， 因为AC ＝BC ，所以CD ⊥AB .因为PD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AB . (2)解 设C 到平面APB 的距离为h ，则由题意，得AP ＝PB ＝AB ＝AC 2＋BC 2＝22， 所以PC ＝AP 2－AC 2＝2.因为CD ＝12AB ＝2，PD ＝32PB ＝6， 所以PC 2＋CD 2＝PD 2，所以PC ⊥CD .由(1)得AB ⊥平面PCD ，于是由V C －APB ＝V A －PDC ＋V B －PDC ， 得13·h ·S △APB ＝13AB ·S △PDC ，所以h ＝AB ·S △PDCS △APB＝22×12×2×234×(22)2＝233.故点C 到平面APB 的距离为233.10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r ，水面半径BC 的长为3r ，则容器内水的体积为 V ＝V 圆锥－V 球＝13π(3r )2·3r － 43πr 3＝53πr 3，将球取出后，设容器中水的深度为h ， 则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积为 V ′＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫33h 2h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为________．解析 由题意知，如图所示，在棱锥S －ABC 中，△SAC ，△SBC 都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB ＝3，SC ＝4，所以SA ＝SB ＝23，AC ＝BC ＝2，作BD ⊥SC 于D 点，连接AD ，易证SC ⊥平面ABD ，因此V S －ABC ＝13×34×(3)2×4＝ 3. 答案 32.(2014·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．解析 如图，当AM ＋MC 1最小时，BM ＝1，所以AM 2＝2，C 1M 2＝8，AC 21＝14，于是由余弦定理，得cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC 1＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32，S △AMC 1＝12×2×22×32＝ 3. 答案 33.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm 、高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 cm.答案 13 二、解答题4．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.。
空间几何体复习课
前黑板
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主视图
左视图
D
俯视图
C.
1 3
D.
1 6
32 2．已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱 3
长等于 A． 2
2
（
D
）
3 3
B． 2
C． 4
2 3
D． 4
3 3
3．判断下列命题是否正确 （1）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 （ ）
（2） 有两个面平行， 其余各面均为平行四边形的几何体是棱柱 （ （3）棱柱被平行于侧棱的平面所截，截面是平行四边形 （ （4）长方体是直棱柱，直棱柱也是长方体 （ ） ）
3+
3
正视图 侧视图 俯视图
如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角 所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面 画出（单位：cm）。（1）在正视图下面，按照画三 视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的 尺寸，求该多面体的体积；
人教版高中数学必修立体几何复习课件(共102张PPT)
1 1
1
11.已知某个几何体的三视图如图2，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是_____8_0__0.0 cm 3
3
2 0 20
主视图
10
10
2 俯0视图
2 侧0视图
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
• 四个公理
直线与直线位置关系 • 三类关系 直线与平面位置关系
平面与平面位置关系
（3）
a a
// b
b
（较常用）；
（4）
a
//
a
；
（5）
a a
b
a
（面面垂直 线面垂直）
a b
4.面面垂直
向的侧视图（或称左视图）为（
A
A
H
G
Q
B
C
侧视 B
）A
C
I
P
E
图1
F
B
D
E
D
图2
F
B
B
B
E A．
E B．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E C．
E D．
练习10：(1)如图是一个空间几何体的三
视图，如果直角三角形的直角边长均为
正视图 侧视图
1，那么几何体的体积为( ) C
A．1 B．1 C． 1 D．1
俯视图
2
3
6
V1 3S底 h1 31111 3
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于 另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述： a,b , a b O, a //,b // //
//
③面面平行的性质定理：
a
a
//
空间几何体一轮复习知识点课件
棱柱的展开与折叠是空间几何体复习的重要知识点之一，需要掌握不同类型棱柱的展开方法和折叠技 巧。
详细描述
棱柱是由两个平行的多边形底面和若干个矩形侧面组成的几何体。在展开棱柱时，需要沿着棱柱的高 将侧面剪开并展开成平面图形。常见的棱柱有长方体、正方体、三棱柱、四棱柱等。在折叠棱柱时， 需要将平面图形按照折痕折叠成棱柱的形状，并确保各边和面都正确拼接。
能够反映物体的长度和高度。
俯视图
从物体的上方观察，将物体的顶 面形状投影到投影面上。俯视图
能够反映物体的长度和宽度。
根据三视图判断空间几何体的形状
通过正视图、侧视图和俯视图，可以确定空间几何体的形状、 大小和位置关系。通过对比三个视图，可以判断出物体的基 本形状，如长方体、圆柱体、圆锥体等。
在判断过程中，需要注意视图的对应关系，例如正视图的长 度与侧视图的宽度相等，正视图的宽度与俯视图的长度相等。 同时，还需要考虑物体的方位和投影面的角度，以准确判断 物体的形状。
利用展开图解决实际问题
总结词
通过展开图解决实际问题
VS
详细描述
理解展开图的概念，掌握常见几何体的展 开方式，能够根据实际问题选择合适的展 开方式进行计算，如计算铁皮烟囱的用料、 制作纸盒等。
圆锥
当圆锥被垂直于其轴的平 面切割时，截面为圆；当 切割面倾斜时，截面为椭 圆或抛物线。
长方体
当长方体被垂直于其平面 的平面切割时，截面为矩 形；当切割面倾斜时，截 面为梯形或平行四边形。
截面在解题中的应用
求几何体的表面积和体积
理解空间几何体的性质
通过截面可以更直观地理解几何体的 形状和尺寸，从而方便计算其表面积 和体积。
棱柱的体积公式
$V = wh$。
高中数学必修2第一章第三节《空间几何体的表面积与体积》全套教案
空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
【教学重点难点】【教学重点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】：台体体积公式的推导【学前准备】：多媒体，预习例题（3）初中时，我们已经学习了计算特殊的柱体——正方体、长方体以及圆柱的体积公式：如图，把正方体截去四个角，得到一个体比2a和积此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥底面半径，且圆柱的全面积：圆锥的底面积3:2=．）求圆锥母线与底面多成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积参考答案：1. B 2. C 3. 1 , 3 4. A 5. B 6. B 7. 1:3 3a π或32aπ9．已知圆锥有一个内接圆柱此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱. 三棱锥的外接球问题【教学目标】⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【学前准备】：多媒体，预习例题4：如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为.类型四：一条测棱垂直底面，底面为非直角三角形的四面体的外接球问题5已知点A,B,C,D,四点在同一个球面上，DA⊥平面ABC,DA=AB=AC=3,∠ABC=60，则球半径是类型五：正三棱锥的外接球问题6：已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，求外接球半径。
空间几何体的结构及其三视图和直观图复习课课件
变式训练 2 将正三棱柱截去三个 角(如图 1 所示 A，B，C 分别是 △GHI 三边的中点)得到几何体如 图 2，则该几何体按图 2 所示方向 的侧视图为选项图中的 ( A )
解析
解题时在图 2 的右边放扇墙 ( 心中有
墙)，可得答案 A.
题型三
几何体的直观图
例 3 已知△ABC 的直观图 A′B′C′是边长为 a 的正三角形，求原△ABC 的面积. 思维启迪：按照直观图的画法，建立适当的坐
答案
①④
探究提高 解决该类题目需准确理解几何体的 定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学 会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命 题是错误的，设法举出一个反例即可.
变式训练 1 以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得 的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的 旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆 台. 其中正确命题的个数为( A.0 B.1 ) C.2 D.3
标系将三角形 A′ B′ C′ 还原， 并利用平面几 何的知识求出相应的线段、角，求解时要注意 线段和角的变化规律.
解 建立如图所示的坐标系 xOy′，△A′B′C′的顶点 C′在 y′ 轴上，A′B′边在 x 轴上，
把 y′轴绕原点逆时针旋转 45° 得 y 轴，在 y 轴上取点 C 使 OC＝2OC′，A、B 点即为 A′、 B′点，长度不变. 已知 A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中， OC′ A′C′ 由正弦定理得 ＝ ， sin 45° sin∠OA′C′ sin 120° 6 所以 OC′＝ a＝ a， sin 45° 2 所以原三角形 ABC 的高 OC＝ 6a， 1 6 2 所以 S△ABC＝ × a× 6a＝ a . 2 2
第一章空间几何体优秀复习课件高一数学
俯视图:光线从几何体的上面向下面正
投影得到的投影图.
画几何体的三视图
位置： 正视图 侧视图 俯视图
时,能看见的轮廓线 和棱用实线表示,不
能看见的轮廓线和 大小：长对正,高平齐,宽相等. 棱用虚线表示.
正方体的三视图
俯 左
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长方体的三视图
俯
左
长方体
圆柱的三视图
俯
左
点此播放讲课视频圆柱Fra bibliotek视图相同的是（ D ）
A．①②
B．2, ①③
4 , 6
C．①④
D．②④
• 3．有一棱长为a的正方体框架，其内放置 一气球，使其充气且尽可能地膨胀（仍保 持为球的形状），则气球表面积的最大值 为 (B )
C
• 5. 如图，一个空间几何体 • 的主视图、左视图、俯视图 • 均为全等的等腰直角三角形， • 如果直角边长为1，那么 • 这个几何体的体积为（D）. • A. 1 B. 1/2 C.1/3 D.1/6
圆锥的三视图
俯
左 圆锥
球的三视图
俯
左
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球体
棱台的三视图
俯
左
正四棱台
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圆台的三视图
俯
左
圆台
圆台的三视图
俯
左
圆台
棱锥的三视图
俯
左
正三棱锥
棱锥的三视图
俯
左
正四棱锥
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斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点.画 直观图时，把它画成对应的x’轴、y’轴，两轴交于O’，使 x 'O y'4 5(或 1 3 5 ，)它们确定的平面表示水平平面．
复习课(一) 空间几何体及点、线、面的位置关系
(3)该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底 面半径为 1，高为 1 的四分之一圆柱体构成，
∴V＝2×1×1＋2×41×π×12×1＝2＋π2. [答案] (1)A (2)① (3)2＋π2
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结束
[类题通法] (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征， 依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线 面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基 本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求 和或作差求得几何体的表面积．
(3)侧、俯视图都反映了物体的宽度——“宽相等”．
2．表面积
(1)多面体的表面积：多面体的各个面都是平面，表面积是各
面面积之和．
(2)旋转体的表面积：
①S圆柱＝2πrl＋2πr2；
②S圆锥＝πrl＋πr2；
③S圆台＝π(R＋r)l＋πr2＋πR2.
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结束
3．体积
(1)柱体：V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．
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[类题通法] 1．平行、垂直关系的相互转化
结束
2．证明空间线面平行或垂直需注意三点 (1)由已知想性质，由求证想判定． (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一． (3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．
3 2 π.
(2)由正视图知，三棱柱的底面边长为2，高为1，外接球的球心
在上下两个三角形中心连线的中点上，连接球心和任意一个顶点的
线段长为球的半径，则R2＝12
高中数学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.1.2圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征学案新人教A版必修2
§1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征学习目标1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知；2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；3. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征；4. 能描述一些简单组合体的结构.学习过程一、课前准备（预习教材P5~ P7，找出疑惑之处）复习：①______________________________叫多面体,______________________________________叫旋转体.②棱柱的几何性质：_______是对应边平行的全等多边形，侧面都是________，侧棱____且____，平行于底面的截面是与_____全等的多边形；棱锥的几何性质：侧面都是______，平行于底面的截面与底面_____，其相似比等于____________.引入：上节我们讨论了多面体的结构特征，今天我们来探究旋转体的结构特征.二、新课导学※探索新知探究1：圆柱的结构特征问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？新知1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱（circular cylinder），旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线，如图所示：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为.圆柱和棱柱统称为柱体.探究2：圆锥的结构特征问题：下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义，你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗？试在旁边的图中标出来.新知2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.探究3：圆台的结构特征问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台. 圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们，并把圆台用字母表示出来. 棱台。
空间几何体的表面积与体积的复习课课件
2. 所 有 棱 长 为 1 的 正 三 棱 锥 的 全 面 积 3 为 . 解析 3 2 S＝4× × ＝ 3. 1 4
3. 如 图 所 示 ， 在 棱 长 为 4 的 正 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中，P 是 A1B1 1 上一点，且 PB1＝ A1B1，则多 4 面 体 为
解析
16 3
a，则长方体的体对角线长为 (2a)2＋a2＋a2＝ 6a.又长方体外接球的直径 2R 等于长方体的 体对角线，∴2R＝ 6a.∴S 球＝4πR2＝6πa2.
题型剖析
题型一 几何体的展开与折叠 例 1 有一根长为 3π cm， 底面半径为 1 cm 的圆 柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈， 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线 的两端，求铁丝的最短长度为多少？ 思维启迪： 把圆柱沿这条母线展开，将问题转
P—BCC1B1 的 体 积 .
∵四棱锥 P—BB1C1C 的底面积为 16，
高 PB1＝1， 1 16 ∴VP—BB1C1C＝ × 1＝ . 16× 3 3
4. 若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个 面的中心为顶点的凸多面体的体积为( B ) 2 2 3 2 A. B. C. D. 6 3 3 3
化为平面上两点间的最短距离.
解
把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平
面上得到矩形 ABCD(如图所示)， 由题意知 BC ＝3π cm，AB＝4π cm， A 点 与点 C 分别是铁丝的起、 止 位置，故线段 AC 的长度即 为铁丝的最短长度. AC＝ AB2＋BC2＝5π cm， 故铁丝的最短长度为 5π cm.
1 V＝ (S 上＋S 下 3 圆台 ＋ S上S下)h＝ π(r1＋r2)l S 侧＝________ 1 π(r2＋r2＋ 3 1 2 r1r2)h 直棱 柱 正棱 锥
2022复习立体几何----空间几何体及其表面积与体积(学
空间几何体的表面积和体积知识梳理1.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.3.正四面体的外接球的半径R＝64a，内切球的半径r＝612a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝32a.()2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.32cm3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.4.(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.24πC.36πD.144π5.(2020·全国Ⅲ卷)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.6＋42B.4＋42C.6＋23D.4＋236.(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__________.考点一空间几何体的表面积与侧面积1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.122πB.12πC.82πD.10π2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6＋ 3B.6＋23C.12＋ 3D.12＋233.(2021·成都诊断)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是()A.23π B.324πC.223π D.22π考点二空间几何体的体积角度1简单几何体的体积【例1】(1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A.158B.162C.182D.324(2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.【训练1】(1)(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________.(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.角度2不规则几何体的体积【例2】如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.【训练2】(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.73 B.143C.3D.6考点三多面体与球的切、接问题【例3】(经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.【迁移】本例中若将“直三棱柱”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？【训练3】(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.(2)(2021·济南质检)已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，P A＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝22，点D是PB的中点，且CD＝7，则球O的表面积为()A.28π3 B.14π3C.2821π27 D.16π3空间几何体的实际应用“强调应用”也是高考卷命题的指导思想，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念，既有利于培养考生的探究意识和创新精神，又能够很好地提升考生的数学综合素养，因而成为高考试卷中的一道亮丽的风景线.如全国Ⅲ卷第16题是以学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型为背景创设的与空间几何体的体积有关的问题.考查运用空间几何求解实际问题的能力.【典例】(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.【训练】(2021·潍坊联考)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()A.32π3，4 B.9π2，3C.6π，4D.32π3，3A级基础巩固一、选择题1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.32 3πC.8πD.4π2.(2021·郑州调研)现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为()A.3πB.3π2C.5π2 D.5π3.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为()A.3B.3 2C.1D.3 24.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B.210C.132D.3105.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4 C.π2 D.π46.(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( ) A. 3 B.32 C.1 D.327.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积为98π，则它的表面积是( )A.92πB.9πC.454πD.544π8.(2021·安庆调研)已知在四面体P ABC 中，P A ＝4，BC ＝26，PB ＝PC ＝23，P A ⊥平面PBC ，则四面体P ABC 的外接球的表面积是( ) A.160π B.128π C.40π D.32π二、填空题9.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________.10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.11.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为________.12.(2021·太原质检)已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足△SAB为等边三角形，且面积为43，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为________.B级能力提升13.(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32π14.已知四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5，AC＝8，则四面体ABCD的体积为________.15.(2021·贵阳调研)如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB＝3，∠ACB＝60°，∠BCD＝90°，AB⊥CD，CD＝22，则该球的体积为________.16.(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为______.。
第一章复习课教案案
第一章《基本的几何图形》复习课学习目标：1、能够识别各种几何体和实物所类似的几何体，并能进行分类。
2、掌握正方体的各种平面展开图的形状，并能通过空间想象和逆向思维辨别出那种平面展开图能折叠成正方体。
3、理解线段、射线、直线的概念，并掌握它们的区别和联系。
4、掌握线段的度量和比较的方法。
一、自主梳理：（先由学生复习课本，然后针对学案中的复习指导进一步回顾课本，并独立完成教案中所涉及的基础知识）1.什么是多面体？你能举多少多面体的例子？2.数学上所说的平面有大小，有边界，有厚薄吗？3.如何区分棱柱、棱锥、圆柱和圆锥吗？4.指出以下实物所类似的几何体：足球__________ 水桶__________ 砖块__________ 魔方__________漏斗__________ 金字塔__________ 带棱的铅笔__________5.几何图形的组成元素是_____________ ，_____________ 是组成几何图形的基本元素。
在立体图形中，面与面相接处是_____________，棱与棱相接处是_____________。
6.圆珠笔尖在纸上划动时，给我们以_____________的形象；汽车上的雨刷左右摆动时，给我们以____________的形象；直角三角形沿任意一条边为轴旋转时，给我们以____________的形象。
8.经过一点可以作__________条直线，经过两点__________画一条直线。
9.如果两条直线经过同一个点，就称这两条直线__________。
10.列表比较直线、射线、和线段的区别和联系：11.如下图线段、直线和射线，用你所学过的所有表示方法表示该线段、直线和射线。
线段______________________________直线______________________________射线______________________________12.如何比较两条线段的长短？（办法越多越好）二、合作交流完成学案中的复习题，然后小组内进行讨论，将较难的，易错的知识点题目，让同学们进行展示，小组间互相点评，补充三、精讲点拨：由老师进行补充，对各小组的表现，进行点评四、有效训练：1.以下哪个平面展开图不是立方体包装盒的平面展开图形：（A）(B) (C) （D）2.用刻度尺量得线段AB长度为8cm，线段AM为3cm，则线段BM=__________。
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2r
三、空间几何体的表面积与体积2r 2rl
2
2.圆锥的表面积公式
S圆锥表 S 底 S 侧 r rl
2
3.圆台的表面积公式
'2 2
S圆台表 S 上 S 下 S 侧
'
r r ( r r ) l
正方体的三视图
俯
左
长方体的三视图
俯
左
长方体
圆柱的三视图
俯
左
圆柱
圆锥的三视图
俯
左
圆锥
球的三视图
俯
左
球体
棱台的三视图
俯
左
正四棱台
圆台的三视图
俯
左
圆台
圆台的三视图
俯
左
圆台
棱锥的三视图
俯
左
正三棱锥
棱锥的三视图
俯
左
正四棱锥
斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点.画 直观图时，把它画成对应的x’轴、y ’轴，两轴交于O’，使 x'Oy' 45 (或135，它们确定的平面表示水平平面． ) (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画 成平行于x’轴或y’轴的线段．
棱柱，棱锥，棱台都是多面体
4.圆柱的定义： 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋 转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。 5.圆锥的定义： 以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余 两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 6.圆台的定义： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面 与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台。 7.球的定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转 一周形成的几何体叫做球体，简称球。 圆柱,圆锥,圆台及球体都是旋转体
A.6 3 C.24 2 3
B.24 3 D.32
8.右图是一个几何体的三视图，根据图 中数据，可得该几何体的表面积是( D ) (A)9π(B)10π (C)11π(D)12π
9、一个正方体的顶点都在球面上， 此球的表面积与正方体的表面积之 比是（C ）
10、如右图为一个几何体的三视图，其中 俯视图为正三角形，A1B1=2，AA1=4，则 该几何体的表面积为( C)
6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下 （单位cm），则该几何体的表面积及体 积为( A) A.24πcm2，12πcm3 B.15πcm2，12πcm3 C.24πcm2，36πcm3 D.以上都不正确
7．已知某个几何体的三视图如下，根 据图中标出的尺寸（单位：cm），可 得这个几何体的体积是（B ）
4.球的表面积公式
S 球面 4R
2
空间几何体的表面积和体积 S 圆柱的侧面积： 2 rl S 圆锥的侧面积： rl 面积 S 圆台的侧面积： (r r )l 球的表面积： S 4 R 2 柱体的体积： Sh V 1 V 锥体的体积： 3 Sh 体积 1 台体的体积： 3 ( S S S S )h V
2 , 4 , 6
3．有一棱长为a的正方体框架，其内放 置一气球，使其充气且尽可能地膨胀 （仍保持为球的形状），则气球表面 积的最大值为 ( B )
C
5. 如图，一个空间几何体 的主视图、左视图、俯视图 均为全等的等腰直角三角形， 如果直角边长为1，那么 这个几何体的体积为（D）. A. 1 B. 1/2 C.1/3 D.1/6
二、空间几何体的三视图与直观图
1.几何体的三视图 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影 得到的投影图. 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投 影得到的投影图.
俯视图:光线从几何体的上面向下面正 投影得到的投影图. 画几何体的三视图 时,能看见的轮廓线 位置： 正视图 侧视图 和棱用实线表示,不 俯视图 能看见的轮廓线和 大小： 长相等,高相等,宽相等. 棱用虚线表示.
复习课
一、空间几何体的结构 1.棱柱的定义： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。 2.棱锥的定义: 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点 的三角形， 由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 3.棱台的定义： 用一个平行于棱锥底面的平面 去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
圆柱,圆锥及圆台的表面展开图
O r
2r
1.圆柱的表面展开图: 两圆加一个矩形
l
l
2.圆锥的侧面展开图: 一圆加一个扇形
l
2r
l
r
O
3.圆台的侧面展开图:
l
O’ r’
两圆加一个扇环
2r
'
l
r o
4 球的体积：V R 3 3
练一练
1.如图，一个空间几何体的主视图和左视 图都是边长为1的正三角形，俯视图是一 个圆，那么这个几何体的侧面积为（ D ）
A.
4
B. 2
4
2 , 4 , 6
2 C. 2
D.
1 2
2.下列几何体各自的三视图中，有且仅有 两个视图相同的是（ D ） A．①②B．①③ C．①④ D．②④