给定区间函数最值问题
(专题一)求函数最值问题常用的种方法
一、定义法
前提 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足
①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都 都有___________ f（ x ） ≥ M ； f（x）≤M ； 有____________ ②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得 _____________. f（x0）=M _______________. f（x ）=M
解析 ∵x2＋3x＋4>0 对一切 x∈R 均成立． ∴函数的定义域为 R. ∴函数表达式可化为(y－1)x2＋(3y＋3)x＋4y－4＝0. 当 y＝1 时，x＝0； 当 y≠1 时，由 x∈R，上面的一元二次方程必须有实根， ∴Δ ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0， 1 1 解得 ≤y≤7(y≠1)．综上得 ymax＝7，ymin＝ . 7 7
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
求二次函数在某一区间上的最值
求二次函数在某一区间上的最值求二次函数在某一区间上的最值问题，是函数中的一个重要问题。
下面我就分别按以下的三种类型来详细讨论这类问题。
类型一：定轴定区间问题例1、已知函数()22[1,)x x a f x x x++=∈+∞，若对于任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立， 求实数a 的取值范围。
略解：因为1x ≥时，()0f x >恒成立，所以220x x a ++>恒成立，即函数22y x x a =++ 在1x ≥时恒成立，又min 3y a =+，所以30a +>，即3a >-例2、若函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[]1,1-的最大值为14，求a 的值 解一：设x t a =，即0t > ,那么()()222112f t t t t =+-=+- 当1a >时，1a t a -≤≤，此时，()2max 1214y a =+-= 3a ∴=当01a <<时，1a t a -≤≤，此时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= ∴3a =或13a = 解二：函数()212x y a =+- (0,1)a a >≠在区间[]1,1-上y 随x a 的增大而增大，当1a >时，()max xa a =，故()2max 1214y a =+-= 3a ∴= 当01a <<时，()max 1xa a = ，故 2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= 综上3a =或13a = 类型二：动轴定区间问题例3、若函数23y x ax =++在区间[]1,1-的最小值为－3，求a 的值略解：原函数即为：22324a a y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ ① 若轴2a x =-在区间内，则11232a a f ⎧-≤-≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即 222334a a -≤≤⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ∴a ∈∅ ② 若轴2a x =-在区间右侧，则()1213a f ⎧->⎪⎨⎪=-⎩，即243a a <-⎧⎨+=-⎩ ∴7a =- ③ 若轴2a x =-在区间左侧，则()1213a f ⎧-<-⎪⎨⎪-=-⎩ ，即233a a >⎧⎨-=-⎩ ∴7a = 所以a 7=±类型三： 定轴动区间问题例4、若函数222y x x =-+在区间[],1m m +的最大值为5，求m 的值略解：原函数即为：()2()11f x x =-+① 若轴1x =在区间内左侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≤+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()15f m += 由上可解得：1122m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=±⎩，∴m ∈∅② 若轴1x =在区间内右侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≥+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()5f m = 由上可解得：10213m m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=-=⎩或，∴m ∈∅ ③ 若轴1x =在区间左侧，即1m >，这时()15f m +=，由上可解得2m = ④ 若轴1x =在区间右侧，即11m +<，这时()5f m =，由上可解得1m =- 综上可知：12m m =-=或练习：是否存在实数a ,使函数()22f x x ax a =-+的定义域为[]11,-，值域为[]22,-；若存在，求出实数a的值，若不存在，说明理由. 答案：1a。
有关函数最值问题的十二种解法
本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。
例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。
解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。
2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。
即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。
例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。
解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。
因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。
解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
求函数最值的10种方法
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学） 设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内 可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值 和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导 数法．
【例 6】 函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
【例 3】 设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值 是______． （以后学） 分析 由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法 求a＋b的最值． 解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz
三角函数求最值五种题型
三角函数求最值五种题型一、最值问题的一般解法：求解三角函数的最值问题可以分为以下五种题型：基本最大、基本最小、最大最小（上下界）、最大、最小。
1.基本最大：即求函数的最大值，通常通过对函数进行求导并令导数为零来求得。
这种情况下，需求导数在给定区间内的零点，并进行极值判断来确定最值。
2.基本最小：与基本最大相反，求函数的最小值，同样需要对函数进行求导并求导数为零，进行极值判断来确定最值。
3.最大最小（上下界）：在给定区间内求函数的最大最小值，需将区间的端点以及函数的驻点和不可导点的值进行比较，以确定最大最小值。
4.最大：在给定区间内寻找函数的最大值。
可以通过对函数进行求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最大值。
5.最小：在给定区间内寻找函数的最小值。
同样可以通过求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最小值。
二、详细解答五种题型：以下是对上述五种题型的详细解答：1.基本最大：Example 1: 求函数f(x) = sin(x)的最大值。
解：首先求得导数f'(x) = cos(x)，令cos(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。
然后对于x = π/2 + kπ，求得对应的函数值f(x) = sin(π/2 +kπ) = (-1)^k，即奇数项取最大值为1，偶数项取最小值为-1所以函数f(x) = sin(x)的最大值为12.基本最小：Example 2: 求函数f(x) = cos(x)的最小值。
解：同样求导得到f'(x) = -sin(x)，令-sin(x) = 0，解得x = kπ，其中k为整数。
然后对于x = kπ，求得对应的函数值f(x) = cos(kπ) = (-1)^k，即奇数项取最小值为-1，偶数项取最大值为1所以函数f(x) = cos(x)的最小值为-13.最大最小（上下界）：Example 3: 在区间[0, 2π]内，求函数f(x) = 2sin(x) + cos(x)的最大最小值。
高中数学最值问题
高中数学最值问题高中数学最值问题最值问题是高中数学中非常重要的一个知识点。
它涉及到了函数的最大值和最小值，以及在特定条件下取得最大值和最小值的方法。
在解决最值问题时，我们需要运用一些数学方法和技巧，同时也需要一些数学思维和逻辑推理的能力。
首先，我们来回顾一下函数的最值。
对于一个实数函数f(x)，我们称f(x)的最大值为f(x)的最大值，记作f(x)的最小值为f(x)的最小值，记作。
在数学中，我们通常将最值问题转化为求解函数的最值问题。
对于一个给定的函数f(x)，我们需要找到它的最大值或最小值所对应的自变量的取值。
解决最值问题的方法有很多种，下面我们将介绍几种常用的方法。
一、导数法导数法是解决最值问题的一种常用方法。
通过求解函数的导数，我们可以得到函数的极值点。
具体的步骤如下：1.求解函数的导数f'(x)。
2.求解导数f'(x)的零点，即求解方程f'(x)=0。
3.将解得的零点代入原函数f(x)，求解函数的值f(x)。
4.比较函数f(x)在零点和区间的端点处的值，找出最大值或最小值。
通过导数法，我们可以比较方便地求解函数的最值问题。
但是需要注意的是，导数法只能得到函数的极值点，而不能得到函数的最值。
有时候，函数的最值可能出现在极值点之外。
二、直接比较法直接比较法是一种简单直观的方法，适用于一些简单的最值问题。
具体的步骤如下：1.将函数的表达式进行变形，使得函数的取值范围更明确。
2.对于函数的自变量的取值范围，通过逐个比较函数的值，找出最大值或最小值。
直接比较法的优点是简单易懂，但是它只适用于一些简单的最值问题。
对于复杂的最值问题，我们需要运用其他的方法。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是解决约束条件下的最值问题的一种方法。
对于一个多元函数f(x1, x2, , xn)，我们假设函数存在一个约束条件g(x1, x2, , xn)=0。
我们需要求解函数f(x1, x2, , xn)在满足约束条件的情况下的最大值或最小值。
二次函数动轴定区间最值问题
二次函数动轴定区间最值问题对于二次函数动轴定区间最值问题，我们可以通过以下步骤解决：
1. 首先，要确定二次函数的开口方向。
如果二次函数的二次项系数大于零，则抛物线向上开口，最值为最小值；如果二次函数的二次项系数小于零，则抛物线向下开口，最值为最大值。
2. 接下来，找到二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标可以通过使用公式 h = -b / (2a) 来计算，其中 a 是二次项系数，b 是一次项系数。
3. 根据找到的顶点坐标，可以确定二次函数的动轴位置。
动轴是与抛物线对称的直线，通过顶点的中垂线。
4. 根据确定的动轴位置，可以划定出二次函数的区间。
5. 最后，根据开口方向和区间的限制条件，确定二次函数在该区间内的最值。
需要注意的是，如果给定的区间超出了二次函数的定义域，则该区间内没有最值。
通过以上步骤，可以解决二次函数动轴定区间最值问题，并找到相应的最值点。
(专题一)求函数最值问题常用的10种方法
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0，
1
1
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得 ymax＝7，ymin＝7.
第15页，共15页。
用配方法．
【例 5】已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，
a≠0)，求函数 y 的最小值．
配方法
解析 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.
令 t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.
∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2 的定
则f ( x)的 值 域 是( ) D
A.[ 9 ,0] (1, ) 4
B.[0, )
C.[ 9 , ) 4
D.[ 9 ,0] (2, ) 4
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八、线性规划法 【例 8】已知点 P(x，y)的坐标同时满足以下不等式： x＋y≤4，y≥x，x≥1，如果点 O 为坐标原点，那么
x2 y2 的最小值等于________，最大值等于________．
专题一 求函数最值问题常用的十种方法
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一、定义法
前提 条件 结论
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足
①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都
都有_f_（__x_）__≤_M___； 有_f（___x_）__≥_M____；
②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得
___f（___x_0）__=_M___.
的最小值为________．
xz
解析 y＝x＋23z，所以xyz2＝x2＋94zx2z＋6xz≥6xz4＋xz6xz＝3, 当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
微专题三角函数与解三角形中最值问题
【分析】 在对称轴处取得最值有 ，结合 ，可得 ，易得曲线 的解析式为 ，结合其对称中心为 可得 即可得到 的最小值.
【解析】∵直线 是曲线 的一条对称轴. ，又 . .∴平移后曲线 为 .曲线 的一个对称中心为 . .
，注意到 ，故 的最小值为 .故选：C.
例题9：某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
1．（2020·黑龙江高三）若函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像.则 在区间 上的最小值为（）
A． B． C． D．
【分析】注意平移是针对自变量x，所以 ，再利用整体换元法求值域（最值）即可.
【解析】由已知 ，
，又 ，故 ，
，所以 的最小值为 .
2．（2020·河北正定中学高三）已知函数 （ ）的部分图象如图所示，且 ，则 的最小值为（）
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(Ⅱ)将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图象．若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值．
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 .数据补全如下表：
0
0
5
0
0
且函数表达式为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得 ．
因为 的对称中心为 ， ．令 ，解得 ， ．
5．（2020北京高三）将函数 图像上的点 向左平移 ( )个单位长度得到点 ．若 位于函数 的图像上，则
A． ， 的最小值为 B． ， 的最小值为
C． ， 的最小值为 D． ， 的最小值为
【解析】因为点 在函数 的图象上，所以 ，
又 在函数 的图象上，所以 ，则 或 ， ，得 或 ， ．又 ，故 的最小值为 ，故选A．
二次函数特定区间的最值问题
二次函数在特定区间的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值． 在这个基础上还有当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．以及二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．一般范围类：分为正向型和逆向型两大类（一）、正向型是指已知二次函数和自变量的范围，求其最值。
对称轴与自变量的取值范围的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
初中阶段，我们一般情况下只研究前3类。
第4类，学有余力的同学不妨去探究。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1．当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．例2．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：例3．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．练习. 已知232x x ≤，求函数y=x 2+x+1的最值。
最值问题19种题型
最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。
在解决最值问题的过程中，我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算，以找到正确的答案。
下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。
1.一元一次函数最值问题：给定一个一元一次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
2.二次函数最值问题：给定一个二次函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
3.分段函数最值问题：给定一个分段函数，求其最大值或最小值。
解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值，并比较大小。
4.绝对值函数最值问题：给定一个含有绝对值的函数，求其最大值或最小值。
解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况，并比较大小。
5.指数函数最值问题：给定一个指数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
6.对数函数最值问题：给定一个对数函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
7.三角函数最值问题：给定一个三角函数，求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。
8.组合函数最值问题：给定一个由多个函数复合而成的函数，求其最大值或最小值。
解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导，并令导数为零求解。
9.线性规划最值问题：给定一组线性不等式和线性目标函数，求其满足约束条件的最大值或最小值。
解法一般是使用线性规划的方法进行求解。
10.几何图形最值问题：给定一个几何图形，求其最大面积、最小周长等最值问题。
解法一般是使用几何知识和公式进行计算。
11.统计问题最值问题：给定一组数据，求其中的最大值、最小值或其他统计量。
解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。
12.矩阵最值问题：给定一个矩阵，求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。
解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。
13.排列组合最值问题：给定一组元素，求其中的最大值、最小值或特殊组合。
极值与最值的求解方法
极值与最值的求解方法极值和最值是数学中一种重要的求解方法，用于寻找函数在特定区间上的最大值和最小值。
在实际问题中，我们常常需要找到某一函数的最优解，从而得到最优的方案或结果。
本文将介绍极值和最值的概念，以及常见的求解方法。
一、极值与最值的概念极值是指函数在某一点或某一区间内取得的最大值或最小值。
根据函数在极值点的导数性质，可以将极值分为两类：局部极值和全局极值。
1. 局部极值：局部极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
在数学上，局部极值点的判断依据是函数在该点的导数为零或不存在。
如果导数为零，该点可能是极大值点、极小值点或拐点。
如果导数不存在，该点可能是间断点。
2. 全局极值：全局极值是指函数在整个定义域内取得的最大值或最小值。
全局极值点的判断需要考虑函数在定义域端点处的取值情况，并比较区间内各个局部极值点的函数值。
二、求解极值与最值的方法在求解极值与最值的过程中，我们常用的方法有以下几种：极值定理法、导数法、区间划分法和图像法。
1. 极值定理法：极值定理是数学中的一个重要定理，用于判断函数的极值点。
根据这个定理，如果函数在某一区间上连续，并且在区间的内部有导数，则函数在该区间内必定存在极值点。
通过对函数进行区间划分并计算函数值，可以找到局部极大值点和极小值点。
2. 导数法：导数是函数在某一点的变化率，通过计算函数的导数可以判断函数在极值点的增减性。
当函数在某一点导数为零或导数存在突变时，该点有可能是局部极值点。
通过求解函数导数为零的方程，可以得到可能的极值点，进而通过对函数值的比较得出最终的极值。
3. 区间划分法：区间划分法适用于函数在闭区间上求解最大值和最小值的情况。
通过将区间分为若干个子区间，并计算函数在每个子区间的值，然后比较这些值，即可找到全局最值所对应的点。
4. 图像法：图像法是通过绘制函数的图像来观察函数在特定区间上的变化趋势，从而估计函数的极值位置。
通过观察函数图像的特点，可以找到局部极大值点和极小值点的位置。
(专题一)求函数最值问题常用的10种方法
【练习】(江苏)将边长为1m正三角形薄片，沿一 条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形
，记
s
（
梯梯形形周面长积）2 ,则S的最小值是____▲_
设剪成的小正三角形的边长为x
s(x)
(3 x)2
1 (x 1) 3 (1 x)
4 3
(3 1
x)2 x2
2
2
4 2(3x 1)( x 3)
【例aa2b6＋≤】ba＋2设2≥2bxa，2b≤(yaa，2，＋2bz b为为2(正实 a，实数b数)； 为，a实＋x2－数b≥2)y．＋ab3(za＝≥00，，b则≥0)y；2
的最小值为________．
xz
解析 y＝x＋23z，所以xyz2＝x2＋94zx2z＋6xz≥6xz4＋xz6xz＝3, 当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
【 练 习 】 求y x2 2x 3 ,( x 1)的 最 小值. 2
x1
注：分子转化为分母的形式
七、数形结合法
【例 7】对 a，b∈R，记 max|a，b|＝ab，，aa≥<bb，， 函数 f(x) ＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．
专题一 求函数最值问题常用的十种方法
一、定义法
前提 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数 M满足
①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都
都有_f_（__x_）___≤_M__； 有_f_（__x_）__≥__M___；
条件 ②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得
___f_（__x_0_）__=_M__. ___f_（__x_0_）__=__M___.
归纳初中数学所有的最值问题
归纳初中数学所有的最值问题初中数学中的最值问题是指在给定条件下确定一个函数的最大值或最小值的数学问题。
这类问题常出现在代数、几何和概率统计等各个领域中。
最值问题涉及的知识点包括函数的最值、二次函数、三角函数、不等式、平方根函数、图像和方程，是数学学习中的重要内容之一。
在初中数学中，最值问题通常涉及以下几个方面：1.函数的最值在求一个函数的最大值或最小值时，需要先求出函数的导数，然后将导数等于零解方程，再将解代入原函数，找出极值点，最后用极值点和边界点比较确定最值。
这是求一元函数最值的一般方法。
2.二次函数的最值对于二次函数，其最值很容易通过求顶点来确定。
若二次函数是抛物线开口朝上的，则顶点为最小值点；若二次函数是抛物线开口朝下的，则顶点为最大值点。
3.三角函数的最值常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在特定区间内有最大值和最小值。
通过观察周期性和对称性，结合函数图像，可以很容易确定三角函数的最值点。
4.不等式求最值在不等式中，也经常需要求出不等式的最大值或最小值。
这种情况下，可以通过化简不等式、取对数、使用平方差公式等方法来求解。
同时，在不等式的求解方法中，对绝对值不等式的处理也是不可或缺的内容。
5.平方根函数的最值平方根函数是一个中心在(0,0)的奇函数，其图像是以原点对称的。
通过观察平方根函数的图像和性质，可以确定其最值点。
6.图像和方程利用图像和方程求解最值问题，通常是在几何解题和函数求值中应用频繁的方法。
通过观察函数的图像和方程的关系，可以找出函数在给定区间内的最大值和最小值。
最值问题在初中数学中占有重要的地位。
它不仅涉及到数学知识的运用，还有助于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
而且最值问题也为中学数学学习打下了坚实的基础，为学生将来更深入的数学学习奠定了稳固的基础。
在教学中，师生可以通过具体的案例和实际生活中的问题来讲解最值问题，使学生能够更好地理解和掌握这一知识点。
函数的极值问题
函数的极值问题函数的极值问题在数学中是非常重要的概念之一。
在解决实际问题中，我们经常会遇到需要确定函数的最大值或最小值的情况，而这就是函数的极值问题。
一、函数极值的定义与性质函数的极值指的是函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
具体来说，如果在区间内存在某一点，使得该点的函数值比其他点的函数值都大（或都小），那么这个点就是函数的极大值点（或极小值点）。
如果极大值点和极小值点统称为极值点。
函数极值问题还有一些基本性质可以帮助我们解决这类问题：1. 函数的极值点只可能出现在函数的驻点（即导数为0或导数不存在的点）或者边界上；2. 极大值点和极小值点可能会出现在同一个点上，这时这个点被称为拐点；3. 函数在极值点处的导数为0或不存在，但反过来并不成立，即导数为0或不存在的点不一定是极值点。
二、求解函数极值的方法在解决函数的极值问题时，我们可以使用以下几种常见的方法：1. 导数法：这是最常见且最基本的方法。
首先我们需求出函数的导数，然后找出导数为0或不存在的点，即函数的驻点。
接着，我们通过求导数的符号变化来确定这些驻点是极大值点还是极小值点，同时还需要考虑区间的边界值。
2. 二阶导数法：如果一个函数在某点处的一阶导数为0或不存在，并且在该点的二阶导数大于0（或小于0），则该点为极小值点（或极大值点）。
3. 边界法：对于一个闭区间内的函数，如果在区间的边界上的函数值是最大值或最小值，那么这些边界点就是函数的极值点。
除了上述方法，在特殊情况下，我们还可以利用拉格朗日乘数法或者特殊的变换方法来求解函数的极值点。
三、实例分析为了更好地理解函数的极值问题，我们以一个具体的实例来进行分析：例题：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x的极值。
解析：首先，我们计算函数f(x)的导数，得到f'(x) = 3x^2 - 6x - 9。
接着，我们令导数f'(x)等于0，即3x^2 - 6x - 9 = 0，求解得到x = -1和x = 3。
什么是最大值和最小值定理
什么是最大值和最小值定理最大值和最小值定理是微积分中一个重要的定理，它在求解函数最大值和最小值的问题上起着关键作用。
在数学中，给定一个闭区间上的连续函数，最大值和最小值定理指出函数在该闭区间上必然存在最大值和最小值。
这个定理在分析函数的特性以及优化问题中具有广泛的应用。
定理描述最大值和最小值定理描述的是闭区间上连续函数的性质。
设函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上必然存在最大值和最小值。
具体来说，存在$c \\in [a, b]$，使得对于任意$x \\in [a, b]$，都有$f(c) \\geq f(x)$，同时存在$d \\in [a, b]$，使得对于任意$x \\in [a, b]$，都有$f(d) \\leq f(x)$。
定理证明最大值和最小值定理的证明可以通过极值存在定理得到。
这里简要介绍一下证明的思路。
首先，闭区间[a,b]是有界闭区间，因此函数f在该闭区间上必然有上确界和下确界。
接着，通过连续函数的性质以及确界的性质，可以得出上确界和下确界对应的点，即存在c和d满足定理描述的条件。
应用最大值和最小值定理在微积分的许多应用中起到至关重要的作用。
在优化问题中，通过寻找函数的最大值和最小值可以求解出最优解。
在实际问题中，通过将问题建模成函数，并利用最大值和最小值定理可以优化资源的分配，提高效率。
总结最大值和最小值定理是微积分中一个基础且重要的定理，它描述了连续函数在闭区间上的最大值和最小值的存在性。
这个定理为解决优化问题提供了数学工具，也在实际问题中有着广泛的应用。
对于学习微积分和解决实际问题都具有重要意义。
一元二次函数区间最值问题
一元二次函数区间最值问题1. 引言嘿，朋友们，今天我们来聊聊一个有趣又重要的话题，那就是一元二次函数的区间最值问题。
听起来是不是有点高深？别担心，咱们轻轻松松来。
你知道的，数学有时候就像一碗汤，热乎乎的，但要是太浓了，喝不下去，那就得调味一下。
我们一起来调调味，看看这个问题到底怎么回事。
1.1 一元二次函数是什么首先，一元二次函数，简单来说，就是形如 ( f(x) = ax^2 + bx + c ) 的函数，当然，( a ) 不能为零。
想象一下，这个函数就像是一条抛物线，有时候它是开口向上的，有时候是开口向下的。
比如说，咱们的生活就是这样的，有高兴，也有低谷，但总归是要找到最好的那一刻，对吧？这里的“最值”就是我们要追寻的目标。
1.2 为什么要找最值你问我，为什么要找最值呢？哦，这可重要了！在生活中，我们常常要做决策，比如说，在哪家餐厅吃饭，哪个地方旅行，甚至是在学习上怎么安排时间。
找到一个函数的最值，就像在寻找一个最好的选择，让我们把资源用得最合适，效果最好。
这就像是在玩游戏，谁不想拿到最高分呢？2. 区间最值的概念2.1 区间最值的定义好的，咱们再深入一点。
区间最值，就是在给定的区间里，找到函数的最大值和最小值。
就像是在赛场上，运动员们在规定的时间内比拼，谁能跑得最快，谁能跳得最高。
我们在一个闭区间 (a, b) 上，找到 ( f(x) ) 的最大和最小值，这就叫区间最值。
2.2 计算最值的方法那么，怎么计算这个最值呢？嘿，简单！我们首先得找出函数的导数，看看在哪些点上，函数可能有变化。
导数为零的点，通常是最值的候选者。
接着，我们还得检查区间的边界点，哦，别忘了，这可不能漏掉！最终，把所有候选者的值都算上，就能找到那个“终极冠军”了。
3. 例子分析3.1 实际例子让我们举个例子吧，假设我们有一个函数 ( f(x) = 2x^2 + 4x + 1 )，我们想在区间(0, 3) 上找最值。
先算导数 ( f'(x) = 4x + 4 )，然后让它等于零，得出 ( x = 1 )。