哈工大现代控制理论复习题

《现代控制理论》复习题1

一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号

里打√，反之打×。

（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

（ × ）2. 若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定

是能控的。

（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（ √ ）4. 对系统Ax x

=&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。

二、（15分）考虑由下式确定的系统： 2

33

)(2+++=

s s s s G 试求其状态空间实现的能

控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。 解： 能控标准形为 能观测标准形为 对角标准形为

三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统

求其状态转移矩阵。 解：解法1。

容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统的矩阵

A 可以对角化。矩阵A 对应于特征值2,121-=-=λλ的特征向量是

取变换矩阵 []⎥⎦⎤⎢

⎣⎡--==-1112121ννT ， 则 ⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡--=-21111

T 因此， ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--==-20011

TAT D

从而，

解法2。拉普拉斯方法 由于

故 ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+-+---=-==Φ----------t t t

t t t t

t At

e e e

e e e e e A sI L e

t 222211

2222])[()( 解法3。凯莱-哈密尔顿方法

将状态转移矩阵写成 A t a I t a e At )()(10+= 系统矩阵的特征值是-1和-2，故 )(2)()()(10210t a t a e t a t a e t t -=-=-- 解以上线性方程组，可得 t t t t e e t a e e t a 2120)(2)(-----=-=

因此， ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+-+---=+==Φ--------t t t

t t t t

t At

e e e e e e e e A t a I t a e

t 2222102222)()()( 四、（15分）已知对象的状态空间模型Cx y Bu Ax x

=+=,&,是完全能观的，请画出观测器

设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。 解 观测器设计的框图： 观测器方程：

其中：x ~是观测器的维状态，L 是一个n ×p 维的待定观测器增益矩阵。 观测器设计方法：

由于 )](det[])(det[)](det[T T T T L C A I LC A I LC A I --=--=--λλλ

因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L ，使得T T T L C A -具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法。

五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov 稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。

解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：

线性时不变系统Ax x

=&在平衡点0=e x 处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q ，李雅普诺夫矩阵方程Q PA P A T -=+有惟一的对称正定解P 。

在具体问题分析中，可以选取Q = I 。

考虑二阶线性时不变系统： ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211110x x x x && 原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程 I PA P A T -=+ 其中的未知对称矩阵 ⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡=2212

1211

p p p p P 将矩阵A 和P 的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得 进一步可得联立方程组

从上式解出11p 、12p 和22p ，从而可得矩阵 ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12/12/12/322121211p p p p P 根据塞尔维斯特方法，可得 04

5

det 02

3

21>=

=∆>=

∆P 故矩阵P 是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 六、（10分）已知被控系统的传递函数是

试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 ± j 。 解 系统的状态空间模型是

将控制器 []x k k u 10-= 代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程 该闭环系统的特征方程是 )2()3()det(012k k A I c ++++=-λλλ 期望的闭环特征方程是 22)1)(1(2++=++-+λλλλj j 通过 22)2()3(2012++=++++λλλλk k 可得 222301=+=+k k 从上式可解出 01

01+-=k k

因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是 []⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡=2110x x u 《现代控制理论》复习题2

一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。

（ × ）1. 对一个系统，只能选取一组状态变量；

（ √ ）2. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性； （ × ）3. 若传递函数B A sI C s G 1)()(--=存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的；

（ × ）4. 若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；

（ √ ）5. 状态反馈不改变系统的能控性。 二、（20分）已知系统的传递函数为

（1） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图； （2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。 答:（1）将G (s )写成以下形式： 这相当于两个环节

31+s 和5

5

2++s s 串连，它们的状态空间模型分别为： ⎩⎨

⎧=+-=11113x y u x x &和⎩⎨⎧+-=+-=1

21

2255u x y u x x &

由于11u y =，故可得给定传递函数的状态空间实现是： 将其写成矩阵向量的形式，可得： 对应的状态变量图为：

串连分解所得状态空间实现的状态变量图

（2）将G (s )写成以下形式： 它可以看成是两个环节35.0+-s 和5

5

.2+s 的并联，每一个环节的状态空间模型分别为： 和

由此可得原传递函数的状态空间实现： 进一步写成状态向量的形式，可得： 对应的状态变量图为：