哈尔滨工业大学现代控制理论复习题
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《现代控制理论》复习题1
一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号
里打√，反之打×。
（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。
（ × ）2. 若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定
是能控的。
（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。
（ √ ）4. 对系统Ax x
=&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。
二、（15分）考虑由下式确定的系统： 233)(2+++=s s s s G 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。 解： 能控标准形为
[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212113103210x x y u x x x x && 能观测标准形为
[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212110133120x x y u x x x x && 对角标准形为
[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212112112001x x y u x x x x &&
三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统
x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=3210& 求其状态转移矩阵。
解：解法1。
容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统的
矩阵A 可以对角化。矩阵A 对应于特征值2,121-=-=λλ的特征向量是
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=21,1121νν 取变换矩阵 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-1112121ννT ， 则 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-21111T 因此， ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--==-20011TAT D 从而，
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-------------t t t t t t t t t t t t At e e e e e e e e e e T e e T e 2222221
2222111200211100
解法2。拉普拉斯方法
由于
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-++-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-+++++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+++=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---2211221221112112)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(32132)3(1)(adj )det(1321)(11s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI A sI s s A sI 故 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+---=-==Φ----------t t t t t t t
t At e e e e e e e e A sI L e t 2222112222])[()( 解法3。凯莱-哈密尔顿方法
将状态转移矩阵写成 A t a I t a e At )()(10+=
系统矩阵的特征值是-1和-2，故 )(2)()
()(10210t a t a e t a t a e t t -=-=-- 解以上线性方程组，可得 t t t t e e t a e e t a 2120)(2)(-----=-=
因此， ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+-+---=+==Φ--------t t t t t t t
t At e e e e e e e e A t a I t a e t 2222102222)()()( 四、（15分）已知对象的状态空间模型Cx y Bu Ax x =+=,&,是完全能观的，请画出观
测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。
解 观测器设计的框图：
观测器方程：
Ly
Bu x LC A Cx y L Bu x A x ++-=-++=~)()(~~& 其中：x ~是观测器的维状态，L 是一个n ×p 维的待定观测器增益矩阵。
观测器设计方法：
由于 )](det[])(det[)](det[T
T T T L C A I LC A I LC A I --=--=--λλλ 因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L ，使得T
T T L C A -具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法。
五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov 稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。
解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理： 线性时不变系统Ax x
=&在平衡点0=e x 处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q ，李雅普诺夫矩阵方程Q PA P A T
-=+有惟一的对称正定解P 。 在具体问题分析中，可以选取Q = I 。
考虑二阶线性时不变系统： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211110x x x x && 原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程 I PA P A T
-=+ 其中的未知对称矩阵 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=22121211
p p p p P 将矩阵A 和P 的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001111011102212
12112212
1211p p p p p p p p 进一步可得联立方程组