Matlab中Gauss全主元消元法求解线性方程组的程序

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matlab高斯-约旦消去法

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matlab高斯-约旦消去法
高斯-约旦消去法是一种线性代数中的消元法,常用于求解线性方程组。

该方法通过矩阵的初等变换将方程组转化为阶梯型矩阵,从而求解出未知数的值。

具体步骤如下:
设有n个未知数,m个方程,方程组的系数矩阵为A,右端常数为b。

1. 将系数矩阵A和右端常数b组合成增广矩阵Ab。

2. 从第一行开始,将该行的第一个非零元素(称为主元)作为消元元素,用该元素将下面所有行的对应列元素消为零。

3. 重复以上步骤,依次将每一行的主元素作为消元元素,直到将整个矩阵消成阶梯型矩阵。

4. 倒序回代,求出每个未知数的值。

以上就是高斯-约旦消去法的主要步骤。

在实际应用中,需要注意判断矩阵是否可逆,以及主元素是否为零等情况,以保证求解的正确性。

高斯列主元消元法解线性方程组

高斯列主元消元法解线性方程组

高斯列主元消元法解线性方程组一、题目:用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =,其中,A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068)二、原理及步骤分析设nn ij R a A ⨯∈=][)1(,nn Rb b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。

若约化主元素),,2,1(0)(n k a k kk =≠,则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。

如果在消元过程中发现某个约化主元0)(=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。

此外,即使所有约化主元全不为零,虽然可以完成方程组的求解,但也无法保证结果的可靠性,因为计算过程中存在舍入误差。

为减少计算过程中的舍入误差对解的影响,在每次消元前,应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元,如果在子块的第一列中选取主元,则相应方法称为列主元消元法。

相应过程为:(1)选主元:在子块的第一列中选择一个元)(k k i k a 使)(max k ik ni k kk i a a k ≤≤=并将第k 行元与第k i 行元互换。

Gauss消元法解解线性方程组

Gauss消元法解解线性方程组

Gauss消元法解解线性⽅程组摘要本⽂叙述了Gauss 顺序消元法解线性⽅程的算法思想以及其求解过程,同时简要叙述了Gauss 主元素消元法以及Gauss 全主元消元法。

紧接着给出了Gauss Seidel -迭代法的算法思想,本⽂给出了这三个消元⽅法以及⼀个迭代法的算法流程图,由于全主元消元法是前两个算法的基础上改进⽽来,故本⽂采⽤第三种⽅法进⾏编程计算,前两种⽅法不再重复编程,然后给出⼀个实例的计算结果,运⾏时间,在⽂章最后分析该实例的计算结果,针对同⼀实例,⼜采⽤Gauss Seidel -⽅法编程实现,然后对结果进⾏分析和对⽐。

最后给出了本⼈在编程时遇到的⼀些问题和解决办法。

关键词:Gauss 顺序消元法 Gauss 主元素消元法 Gauss 全主元消元法⼀、算法的简要描述1.1Gauss 顺序消元法Gauss 消元法在中学⾥已经学习过,其⽅法实质,就是运⽤初等变换,将线性⽅程组Ax b =转化为同解的上三⾓矩阵⽅程组1Ux L b -=(1.1.1)其中,U 为上三⾓矩阵,L 为下三⾓矩阵。

然后对式(1.1.1)进⾏回代求解,即得⽅程组的解。

⼿算的过程是⾮常清楚的,现在需回答的是计算机求解,如何实现上述计算过程。

设线性⽅程组为1111221331121122223322112233n n n n n n n nn n na x a x a x a xb a x a x a x a x b a x a x a x a x b ++++=??++++=??++++= 写成矩阵形式为1112111212222221222m m m n n a a a x b aa a xb a a a x b=???????(1.1.2)设线性⽅程组如上式所⽰,记(1)A A =,(1)b b =,与是增⼴矩阵具有形式(1)(1)[][]A b A b =,此时⽅程组为(1)(1)A x b =。

第⼀次消元。

gauss列主元素消去法matlab

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高斯列主元素消去法是一种解线性方程组的常用方法,特别在数值分析和线性代数中应用广泛。

在Matlab中,我们可以使用该方法来解决大规模的线性方程组,包括矩阵的求解和矩阵的反转。

一、高斯列主元素消去法的基本原理高斯列主元素消去法是一种基于矩阵消元的方法,它通过一系列的矩阵变换将原始的线性方程组转化为上三角形式,然后再进行回代求解。

这个方法的核心就是通过矩阵的变换来简化原始的线性方程组,使得求解过程更加简单高效。

在Matlab中,我们可以利用矩阵运算和函数来实现高斯列主元素消去法,如`lu`分解函数和`\"`运算符等。

通过这些工具,我们能够快速地求解各种规模的线性方程组并得到准确的结果。

二、高斯列主元素消去法在Matlab中的实现在Matlab中,我们可以通过调用`lu`函数来实现高斯列主元素消去法。

该函数返回一个上三角矩阵U和一个置换矩阵P,使得PA=LU。

通过对U进行回代求解,我们可以得到线性方程组的解。

除了`lu`函数之外,Matlab还提供了一些其他的函数和工具来帮助我们实现高斯列主元素消去法,比如`\"`运算符和`inv`函数等。

通过这些工具的组合使用,我们能够更加灵活地进行线性方程组的求解,并且可以方便地处理特殊情况和边界条件。

三、高斯列主元素消去法的应用与局限性高斯列主元素消去法在实际应用中具有广泛的适用性,特别是对于大规模的线性方程组或者稀疏矩阵的求解。

通过Matlab中的工具和函数,我们可以快速地求解各种规模的线性方程组,并得到高精度的数值解。

然而,高斯列主元素消去法也存在一些局限性,比如对于奇异矩阵或者接近奇异矩阵的情况时,该方法的求解精度可能会下降。

在实际应用中,我们需要结合具体的问题和矩阵特性来选择合适的求解方法,以确保得到准确的结果。

四、个人观点和总结作为一种经典的线性方程组求解方法,高斯列主元素消去法在Matlab 中具有较好的实现和应用效果。

通过对其原理和实现细节的深入理解,我们能够更加灵活地应用该方法,并且能够更好地理解其适用性和局限性。

gauss消去法matlab

gauss消去法matlab

gauss消去法matlabGauss消去法是一种常用的线性方程组求解方法,它可以通过消元和回代的方式,将一个复杂的线性方程组转化为一个简化的三角形方程组,从而得到方程组的解。

在MATLAB中,我们可以使用高斯消去法函数来求解线性方程组。

我们需要明确线性方程组的形式。

一个典型的线性方程组可以表示为:Ax = b其中,A是一个n×n的系数矩阵,x是一个n×1的未知向量,b是一个n×1的常数向量。

接下来,我们可以使用MATLAB中的高斯消去法函数来求解线性方程组。

在MATLAB中,我们可以使用“[L,U,P] = lu(A)”函数来进行高斯消去法的分解,其中L是单位下三角矩阵,U是上三角矩阵,P 是置换矩阵。

通过高斯消元法的分解,我们可以得到三角形方程组:L(Ux) = b然后,我们可以使用“y = L\b”函数来求解下三角方程Ly = b,再使用“x = U\y”函数来求解上三角方程Ux = y。

最终,我们可以得到线性方程组的解x。

除了使用MATLAB中的高斯消去法函数,我们还可以手动实现高斯消去法。

首先,我们可以通过消元操作将系数矩阵A转化为上三角矩阵U。

消元操作的基本步骤如下:1.选择主元:选择第一列中绝对值最大的元素作为主元,并将其所在的行交换到第一行。

2.消元操作:对于第一行以下的每一行,将其第一列元素消为0。

具体操作是,将第一行乘以一个适当的倍数,然后从当前行中减去第一行的倍数。

3.重复以上步骤,直到所有的主元都不为0或者所有的行都消元结束。

接下来,我们可以使用回代操作将上三角矩阵U转化为解向量x。

回代操作的基本步骤如下:1.确定最后一个未知量:将最后一行的最后一个元素设为1。

2.回代计算:从最后一行开始,依次计算每个未知量的值。

具体操作是,将当前行的右侧元素减去已知的未知量的倍数,然后除以当前行对角线上的系数。

通过手动实现高斯消去法,我们可以更好地理解高斯消去法的原理和过程。

高斯列主元消去法解线性方程组的实现

高斯列主元消去法解线性方程组的实现

高斯列主元消去法解线性方程组的实现班级学号姓名榴莲一、实验任务采用高斯列主元消去法求解线性方程组,以下消解方程为例。

1 2 1 x1 02 2 2 x2 = 3-1 -3 0 x3 2二、编程环境Windows7,Codeblock.三、算法步骤Gauss 消去法的基本思想是,通过将一个方程乘或除某个数以及两个方程相加减这两种运算手续,逐步减少方程组中变元的数目,最终使某个方程只含有一个变元,从而得出所求的解。

对于,G auss消去法的求解思路为:(1)若,先让第一个方程组保持不变,利用它消去其余方程组中的,使之变成一个关于变元的n-1阶方程组。

(2)按照(1)中的思路继续运算得到更为低阶的方程组。

(3)经过n-1步的消元后,得到一个三角方程。

(4)利用求解公式回代得到线性方程组的解。

四、程序流程图数据结构:i,j 变量double a[10][10] a 矩阵double b[10] b 矩阵double x[10] 求解的x矩阵n 矩阵的维度五、程序#include<stdio.h>#include<math.h>void guess(double a[][10],double b[],double x[],int n) { int k,i,j;for(k=0; k<n-1; k++){ double ma =a[k][k]; int tab = k;for(i=k+1; i<n; i++) {if(fabs(ma)<fabs(a[i][k])){ ma = a[i][k];tab = i;}}double mid; mid= b[k]; b[k] =b[tab]; b[tab] =mid; for(i=k; i<n;i++) {mid = a[k][i];a[k][i] = a[tab][i];a[tab][i] = mid;}for(i=k+1; i<n; i++) { b[i]=b[i]-a[i][k]/a[k][k]* b[k];for(j=k+1; j<n; j++) {a[i][j]=a[i][j]-a[i][k]/a[k][k]*a[k][j];}a[i][k]=0;}}for(k=n-1; k>=0; k--){ double s =0;for(j=k+1; j<n; j++) s += a[k][j]*x[j];x[k]=(b[k]-s)/a[k][k];}}int main(){ int i,j;double a[10][10] = {{1,2,1},{2,2,3},{-1,-3,0}};double b[10] = {0,3,2};double x[10];int k,n=3;guess(a,b,x,n);printf("三角化矩阵A:\n");for(i=0; i<n; i++) {for(j=0; j<n; j++){ printf("%7.2lf",a[i][j]);}printf("\n");}printf("\n 方程数值 b:\n");for(i=0; i<n; i++) printf("%7.2lf",b[i]);printf("\n");printf("\n 求得的函数值 x:\n");for(i=0; i<n; i++) printf("%7.2lf",x[i]);printf("\n");}六、实验结果及分析高斯消去法由消元和回代两个过程组成。

高斯消元法,列主元素消元法及LU分解法的matlab程序

高斯消元法,列主元素消元法及LU分解法的matlab程序

§2.2.1高斯消元法的MATLAB程序f unction [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意:因为RA~=RB,所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意:因为RA=RB<n,所以此方程组有无穷多解.') endend运行命令及结果a=[2.51 1.48 4.53;1.48 0.93 -1.30 ;2.68 3.04 -1.48];b=[0.05;1.03;-0.53];[RA,RB,n,X] =gaus (A,b)请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.RA =3RB =3n =3X =1.4531-1.5892-0.2749§2.2.2 列主元素消元法的MATLAB程序function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意:因为RA~=RB,所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:);B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意:因为RA=RB<n,所以此方程组有无穷多解.') endend运行命令及结果a=[2.51 1.48 4.53;1.48 0.93 -1.30 ;2.68 3.04 -1.48];b=[0.05;1.03;-0.53];[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.RA =3RB =3n =3X =1.4531-1.5892-0.2749§2.2.3 LU分解法的MATLAB程序function hl=zhjLU(A)[n n] =size(A); RA=rank(A);if RA~=ndisp('请注意:因为A的n阶行列式hl等于零,所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下:'), RA,hl=det(A);returnendif RA==nfor p=1:nh(p)=det(A(1:p, 1:p));endhl=h(1:n);for i=1:nif h(1,i)==0disp('请注意:因为A的r阶主子式等于零,所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下:'), hl;RAreturnendendif h(1,i)~=0disp('请注意:因为A的各阶主子式都不等于零,所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下:')for j=1:nU(1,j)=A(1,j);endfor k=2:nfor i=2:nfor j=2:nL(1,1)=1;L(i,i)=1;if i>jL(1,1)=1;L(2,1)=A(2,1)/U(1,1);L(i,1)=A(i,1)/U(1,1);L(i,k)=(A(i,k)- L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k);elseU(k,j)=A(k,j)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j);endendendendhl;RA,U,Lendend运行命令及结果a=[2.51 1.48 4.53;1.48 0.93 -1.30 ;2.68 3.04 -1.48];hl=zhjLU(A)请注意:因为A的各阶主子式都不等于零,所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下:RA =3U =2.5100 1.4800 4.53000 0.9300 -3.97110 0 -0.0837L =1.0000 0 00.5896 1.0000 01.0677 1.5696 1.0000hl =2.5100 0.1439 13.6410>> U=[2.5100 1.4800 4.53000 0.9300 -3.97110 0 -0.0837];>>L= [1.0000 0 00.5896 1.0000 01.0677 1.5696 1.0000];>> b=[0.05;1.03;-0.53];U1=inv(U); L1=inv(L); X=U1*L1*b,x=A\bX =-111.8440110.953125.7324x =1.4531-1.5892-0.2749例2.1: 用高斯消元法求解下面的非齐次线性方程组。

(完整)高斯消元法MATLAB实现(2)

(完整)高斯消元法MATLAB实现(2)

《数值分析》实验报告一、实验目的与要求1.掌握高斯消去法的基本思路和迭代步骤;2.培养编程与上机调试能力。

二、实验内容1.编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序,并求解下面的线性方程组,然后用逆矩阵解方程组的方法验证.(1)1231231230.101 2.304 3.555 1.1831.347 3.712 4.6232.1372.835 1.072 5.6433.035x x xx x xx x x++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩(2)12312312352828321361x x xx x xx x x++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩2.编写用列主元高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序,并求解下面的线性方程组,然后用逆矩阵解方程组的方法验证.(1)1231231230.101 2.304 3.555 1.1831.347 3.712 4.6232.1372.835 1.072 5.6433.035x x xx x xx x x++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩(2)12312312352828321361x x xx x xx x x++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩三.MATLAB计算源程序1. 用高斯消元法解线性方程组bAX=的MATLAB程序输入的量:系数矩阵A和常系数向量b;输出的量:系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA,RB, 方程组中未知量的个数n 和有关方程组解X及其解的信息.function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意:因为RA~=RB,所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意:因为RA=RB<n,所以此方程组有无穷多解.') EndEnd2.列主元消元法及其MATLAB程序AX 的MA TLAB程序用列主元消元法解线性方程组b输入的量:系数矩阵A和常系数向量b;输出的量:系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA,RB, 方程组中未知量的个数n和有关方程组解X及其解的信息.function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意:因为RA~=RB,所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:);B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意:因为RA=RB<n,所以此方程组有无穷多解.') endend三.实验过程:1(1)编写高斯消元法的MATLAB文件如下:clear;A=[0.101 2.304 3.555;-1.347 3.712 4.623;-2.835 1.072 5.643];b=[1.183;2.137;3.035];[RA,RB,n,X] =gaus (A,b)运行结果为:请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.RA =3RB =3n =3X =-0.39820.01380.3351(2)编写高斯消元法MATLAB文件如下:clear;A=[5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6];b=[8;21;1;];[RA,RB,n,X] =gaus (A,b)运行结果为:请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.RA =3RB =3n =3X =12-1在MATLAB中利用逆矩阵法检验结果:(1) 在command windows中直接运行命令:A=[0.101 2.304 3.555;-1.347 3.712 4.623;-2.835 1.072 5.643];b=[1.183;2.137;3.035];X=A\b运行结果为:X =-0.39820.01380.3351(2) 在command windows中直接运行命令:A=[5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6];b=[8;21;1;];X=A\b运行结果为:X =12-1两小题所得结果相同,检验通过2(1)编写列组高斯消元法MATLAB文件如下:clear;A=[0.101 2.304 3.555;-1.347 3.712 4.623;-2.835 1.072 5.643];b=[1.183;2.137;3.035];[RA,RB,n,X] =liezhu(A,b)运行结果:请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.RA =3RB =3n =3X =-0.39820.01380.3351(2)编写列组高斯消元法的MATLAB文件如下:clear;A=[5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6];b=[8;21;1;][RA,RB,n,X] =liezhu(A,b)运行结果为:请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.RA =3RB =3n =3X =12-1与题 1 中逆矩阵计算所得结果相同,检验通过四.实验体会:通过实验我掌握了消元法解方程的一些基本算法以及用matlab实现矩阵的几种基本计算。

高斯消元法,列主元素消元法及LU分解法的matlab程序

高斯消元法,列主元素消元法及LU分解法的matlab程序

§2.2.1高斯消元法的MATLAB程序f unction [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意:因为RA~=RB,所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意:因为RA=RB<n,所以此方程组有无穷多解.') endend运行命令及结果a=[2.51 1.48 4.53;1.48 0.93 -1.30 ;2.68 3.04 -1.48];b=[0.05;1.03;-0.53];[RA,RB,n,X] =gaus (A,b)请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.RA =3RB =3n =3X =1.4531-1.5892-0.2749§2.2.2 列主元素消元法的MATLAB程序function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意:因为RA~=RB,所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:);B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p);B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意:因为RA=RB<n,所以此方程组有无穷多解.') endend运行命令及结果a=[2.51 1.48 4.53;1.48 0.93 -1.30 ;2.68 3.04 -1.48];b=[0.05;1.03;-0.53];[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)请注意:因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.RA =3RB =3n =3X =1.4531-1.5892-0.2749§2.2.3 LU分解法的MATLAB程序function hl=zhjLU(A)[n n] =size(A); RA=rank(A);if RA~=ndisp('请注意:因为A的n阶行列式hl等于零,所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下:'), RA,hl=det(A);returnendif RA==nfor p=1:nh(p)=det(A(1:p, 1:p));endhl=h(1:n);for i=1:nif h(1,i)==0disp('请注意:因为A的r阶主子式等于零,所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下:'), hl;RAreturnendendif h(1,i)~=0disp('请注意:因为A的各阶主子式都不等于零,所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下:')for j=1:nU(1,j)=A(1,j);endfor k=2:nfor i=2:nfor j=2:nL(1,1)=1;L(i,i)=1;if i>jL(1,1)=1;L(2,1)=A(2,1)/U(1,1);L(i,1)=A(i,1)/U(1,1);L(i,k)=(A(i,k)- L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k);elseU(k,j)=A(k,j)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j);endendendendhl;RA,U,Lendend运行命令及结果a=[2.51 1.48 4.53;1.48 0.93 -1.30 ;2.68 3.04 -1.48];hl=zhjLU(A)请注意:因为A的各阶主子式都不等于零,所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下:RA =3U =2.5100 1.4800 4.53000 0.9300 -3.97110 0 -0.0837L =1.0000 0 00.5896 1.0000 01.0677 1.5696 1.0000hl =2.5100 0.1439 13.6410>> U=[2.5100 1.4800 4.53000 0.9300 -3.97110 0 -0.0837];>>L= [1.0000 0 00.5896 1.0000 01.0677 1.5696 1.0000];>> b=[0.05;1.03;-0.53];U1=inv(U); L1=inv(L); X=U1*L1*b,x=A\bX =-111.8440110.953125.7324x =1.4531-1.5892-0.2749例2.1: 用高斯消元法求解下面的非齐次线性方程组。

利用高斯列主元消去法求如下线性方程组的解

利用高斯列主元消去法求如下线性方程组的解

%利用高斯列主元消去法求如下线性方程组的解clear all;A=[3 -2 1 -1;4 0 -1 2;0 0 2 3;0 0 0 5]; b=[8;-3;11;15];function [X,XA] = UpGaussFun(A,b)%利用高斯列主元消去法求如下线性方程组的解%A为一个n阶上三角非奇异矩阵%b为线性方程组的阐述向量%X为线性方程组AX=b的解%XA为消元后的系数矩阵N=size(A);n=N(1);index=0;for i=1:(n-1)me=max(abs(A(1:n,i)));%选列主元for k=i:nif(abs(A(k,i))==me)index=k;break;end;end;end;temp=A(i,1:n);A(i,1:n)=A(index,1:n);A(index,1:n)=temp;bb=b(index);b(index)=b(i);b(i)=bb;%交换主行for j=(i+1):nif(a(i,i)==0)disp('¶Ô½ÇÔªËØΪ0£¡');return;end;l=A(j,i);m=A(i,i);A(j,1:n)=A(j,1:n)-l*A(i,1:n)/m;b(j)=b(j)-l*b(i)/m;end;X=UpTriangleFun(A,b);XA=A;-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------% 函数定义function [X,XA]= UpGaussFun(A,b)%利用高斯列主元消去法求如下线性方程组的解%A为一个n阶上三角非奇异矩阵%b为线性方程组的阐述向量%X为线性方程组AX=b的解%XA为消元后的系数矩阵[N,M]=size(A);%N=sizes(A);n=N;index=0;for i=1:(n-1)me=max(abs(A(1:n,i))); %选列主元for k=i:nif(abs(A(k,i))==me)index=k;break;end;end;temp=A(i,1:n);A(i,1:n)=A(index,1:n);A(index,1:n)=temp;bb=b(index);b(index)=b(i);b(i)=bb; %交换主行for j=(i+1):nif(A(i,i)==0)disp('¶Ô½ÇÔªËØΪ0£¡');return;end;l=A(j,i);m=A(i,i);A(j,1:n)=A(j,1:n)-l*A(i,1:n)/m;b(j)=b(j)-l*b(i)/m;end;end;XA=A;%数据测试>>clear all;A=[3 -2 1 -1;4 0 -1 2;0 0 2 3;0 0 0 5]; b=[8;-3;11;15];>> [X,XA]=UpGaussFun(A,b)X =-3.000010.250011.000015.0000XA =4.0000 0 -1.0000 2.00000 -2.0000 1.7500 -2.50000 0 2.0000 3.00000 0 0 5.0000。

高斯列主元消元法解方程组的步骤

高斯列主元消元法解方程组的步骤

高斯列主元消元法求解线性方程组AX=b 的简要步骤
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n nn n n n n b b b x x x a a a a a a a a a 21212122221
11211 方法说明(以4阶为例):
⏹ 第1步消元——在增广矩阵(A ,b )第一列中找到绝对值最大的元素,将其所在行与第一行交换,再对(A ,b )做初等行变换使原方程组转化为如下形式:
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡*******0***0***0****4321x x x x ⏹ 第2步消元——在增广矩阵(A ,b )中的第二列中(从第二行开始)找到绝对值最大的元素,将其所在行与第二行交换,再对(A ,b )做初等行变换使原方程组转化为:
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡******00**00***0****4321x x x x ⏹ 第3步消元——在增广矩阵(A ,b )中的第三列中(从第三行开始)找到绝对值最大的元素,将其所在行与第二行交换,再对(A ,b )做初等行变换使原方程组转化为:
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡*****000
**00***0****4321x x x x ⏹ 按x 4 → x 3→ x 2→ x 1 的顺序回代求解出方程组的解。

malab程序求解线性方程组

malab程序求解线性方程组

题目:编写程序,求解线性方程组基于MATLAB软件平台编写了利用高斯消元法解线性方程组的程序,过程如下:一、变量说明:解线性方程组Ax=b,其中:A-线性方程组系数矩阵;b-列向量n-系数矩阵行数;x-解向量i,j-分别控制系数矩阵的行和列;m-消元过程的乘数二、基于MATLAB软件平台编写程序,如下:function x=gauss(A,b) % 定义Gauss消元函数[n,m]=size(A); %获得系数矩阵A的行、列数nb=length(b); %获得矩阵b的长度det=1; %存储行列式值x=zeros(n,1); %预定义解向量x为n维1列的全0数组for k=1:n-1for i=k+1:nif A(k,k)==0returnend %以上判断系数矩阵A的主对角元素是否为0 m=A(i,k)/A(k,k); %定义消元过程乘数for j=k+1:n %以下为消元过程,将系数矩阵转化为上三角矩阵A(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j);endb(i)=b(i)-m*b(k);enddet=det*A(k,k);enddet=det*A(n,n);for k=n:-1:1 %以下为逐步回代求解解向量xfor j=k+1:nb(k)=b(k)-A(k,j)*x(j);endx(k)=b(k)/A(k,k);end三、程序应用例如:解线性方程组:520121094342233337284245253215432154215432543211⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====+-++++++++-++++++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x打开MATLAB 软件平台后,输入:>> A=[2,-1,5,1,1;4,2,4,8,-1;1,2,0,7,3;3,1,3,3,2;2,4,-3,0,4]; >> b=[9;10;12;20;5];>> x=gauss(A,b)输出结果为:x =19.8840-21.9279-12.04703.33864.2006。

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