全等三角形辅助线经典做法习题

全等三角形证明方法中辅助线做法

一、截长补短

通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件

1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．

分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．

证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．

∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°

∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．

显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°

在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC

∴△DOC≌△FOC，CF=CD

∴AC=AF+CF=AE+CD．

2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系,并说明理由.

3.如图,在△ABC 中,∠A=60°,BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,BD ，CE 交于点O,试判断BE,CD,BC 的数量关系,并加以证明.

4.如图,AD ∥BC,DC ⊥AD,AE 平分∠BAD,E 是DC 的中点.问：AD,BC,AB 之间有何关系？并说明理由.

5.(德州中考)问题背景：

如图1：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系.

(1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG=BE.连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是；

(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF=2

1

∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由.

E

D

F

C

B

A

二、倍长中线（线段）造全等

利用三角形的中位线，在很多题目中我们很能直接找出全等三角形，所以要通过画中位线可以很清楚的构造出来。

2：如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.

解：延长FD 于K,使得DK=DF ∵DE ⊥DF ∴∠EDK=∠EDF=90º 又∵DK=DF ED 为公共边 ∴⊿EDK ≌⊿EFD ∴EK=EF

已知,△ABC 中,AB=4 cm,BC=6 cm,BD 是AC 边上的中线,求BD 的取值范围.

已知：如图,AD,AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线,且BA=BD.求证：AE=2

1AC.

如图，AB=AE,AB ⊥AE ，AD=AC ，AD ⊥AC,点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM.

三、作平行线

在遇到角平分线的时，可按照以下两种方式构造平行线，（1）过三角形的一个顶点作角平分线的平行线与另一边的延长线相交，（2）过三角形的一个顶点作一边的平行线的角的平行线。

3．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．

证明：作DH∥AE交BC于H．

∴∠DHB=∠ACB，

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB

∴∠DHB=∠B，DH=BD

∵CE=BD ∴DH= CE

又DH∥AE，∠HDF=∠E

∠DFH=∠EFC（对顶角）

∴△ DFH≌△EFC（AAS）∴DF=EF

四、补全图形

4．如图4，在△ABC 中，AC=BC ，∠B=90°，BD 为∠ABC 的平分线．若A 点到直线BD 的距离AD 为a ，求BE 的长．

证明：延长AD 、BC 相交于F ．

由BD 为∠ABC 的平分线，BD ⊥AF ．

易证△ADB ≌△FDB ∴FD= AD=a AF=2a ∠F=∠BAD 又∠BAD+∠ABD=90°，∠F+∠FAC=90° ∴∠ABD=∠FAC

∵BD 为∠ABC 的平分线 ∴∠ABD=∠CBE ∴∠FAC=∠CBE ，而∠ECB=∠ACF=90°，AC=BC ∴△ACF ≌△BCE （ASA ） ∴BE=AF=2a

已知：如图，在△ABC 中，∠BCA=90°，AC=BC ，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE ，求证：BE=2

1AD.

五、利用角的平分线对称构造全等

5．如图5，在四边形ABCD 中，已知BD 平分∠ABC ，∠A+∠C=180°．证明：AD=CD ．

证明：在BC 上截取BE=BA ，连接DE ． 由BD 平分∠ABC ，易证△ABD ≌△EBD ∴AD=DE ∠A=∠BED

又∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180° ∴∠DEC=∠C ，∴DE=CD ∴AD=CD