初中数学竞赛专题中位线

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九年级数学中位线知识点

九年级数学中位线知识点中位线是数学中一个重要的概念，它在统计学和几何学中都有广泛的应用。

本文将详细介绍九年级数学中位线的相关知识点，包括定义、性质和求解方法等方面。

一、定义中位线是指一条线段，它连接平面上一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。

具体来说，对于三角形ABC，若D是边AB的中点，则CD被称为三角形ABC的中位线。

二、性质1. 中位线的长度：中位线的长度等于对边的一半。

即，在三角形ABC中，若D为边AB的中点，则CD = 1/2 AB。

2. 中位线的位置：三角形ABC的三条中位线所交于一点，我们称之为重心（G）。

重心是三角形的一个重要特殊点，它将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。

3. 中位线的关系：在三角形中，任意两条中位线的交点都在第三条中位线上。

这个交点将每条中位线分成两个部分，其中一个部分是另一条中位线的2倍。

三、求解方法1. 已知三角形的顶点坐标：若已知三角形的顶点坐标A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3, y3），求中位线CD的方法如下：a) 计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）；b) 通过点D和顶点C的坐标，可以得到中位线CD的方程；c) 求解中位线CD的相关参数，如长度、斜率等。

2. 已知三角形的边长：若已知三角形的边长a、b、c，求中位线CD的方法如下：a) 根据已知边长，利用海伦公式计算三角形的面积S；b) 根据面积S和三角形的高公式，计算三角形的高h；c) 通过三角形高的性质，计算出中位线CD的长度。

四、例题解析为了更好地理解中位线的概念和求解方法，我们将通过例题来进行解析：例题1：已知三角形ABC的坐标为A（2, 4）、B（6, 8）、C （8, 2），求中位线CD的长度。

解析：首先计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(2+6)/2, (4+8)/2）= (4, 6)。

然后根据两点间的距离公式，计算出CD的长度：CD = √[(8-4)^2 + (2-6)^2] = √[(4^2) + (-4)^2] = √(16+16) = √32 = 4√2例题2：已知三角形的边长分别为a = 5 cm，b = 12 cm，c = 13 cm，求中位线CD的长度。

初三中位线的练习题

初三中位线的练习题练习题1：某班级共有40名学生参加英语考试，成绩如下（按照从小到大排列）：56, 58, 60, 62, 63, 65, 65, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 73, 75, 75, 76, 77, 77, 78, 78, 79, 80, 81, 82, 82, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 89, 90, 91, 95求该班级的中位线（中值）。

解答：首先，我们需要将成绩从小到大排列，得到数列：56, 58, 60, 62, 63, 65, 65, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 73, 75, 75, 76, 77, 77, 78, 78, 79, 80, 81, 82, 82, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 89, 90, 91, 95现在我们来计算中位线。

根据统计学的知识，中位数是将数据按照从小到大排列后的中间数值。

对于偶数个数据，中位数是中间两个数的平均值。

由于该班级有40名学生，是偶数个，因此中位数是中间两个数的平均值。

找到第20个数和第21个数：第20个数为76，第21个数为77。

计算平均值：(76 + 77) / 2 = 76.5所以，该班级的中位线（中值）为76.5。

练习题2：某班级共有35名学生参加数学考试，成绩如下（按照从小到大排列）：53, 55, 56, 58, 58, 60, 61, 62, 63, 65, 67, 69, 70, 72, 73, 73, 74, 75, 76, 78, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95求该班级的中位线（中值）。

解答：首先，我们需要将成绩从小到大排列，得到数列：53, 55, 56, 58, 58, 60, 61, 62, 63, 65, 67, 69, 70, 72, 73, 73, 74, 75, 76, 78, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95现在我们来计算中位线。

数学初中中位线题型

数学初中中位线题型中位线是指一个平面图形的任意两个顶点之间的中垂线的交点。

在初中数学中，中位线是一个重要的概念，也是一种常见的考试题型。

以下是一些常见的中位线题型：1. 求三角形中位线长度三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB中点，求中位线AD 的长度。

解法：连接AE，将三角形ABC分成两个三角形，分别为三角形ABE和三角形ACE。

根据中位线的性质可知，AD是三角形ABE的中位线，因此AD=BE/2。

同理，AD也是三角形ACE的中位线，因此AD=CE/2。

由此可得：AD=(BE+CE)/2=BC/2。

2. 求四边形中位线长度四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，求对角线AC的中位线EF的长度。

解法：连接EH、FG，可将四边形ABCD分成两个三角形AEH和CFG。

根据中位线的性质可知，EF是三角形AEH和CFG的中位线，因此EF=1/2(EH+FG)。

根据四边形中位线定理可知，EH=1/2(AC+BD)、FG=1/2(AC-BD)，代入公式可得：EF=1/2(AC+BD-AC+BD)=BD。

3. 求平行四边形中位线长度平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，求对角线AC的中位线EF的长度。

解法：由于平行四边形的对角线互相平分，因此AC的中位线EF也平分平行四边形的对角线BD，即EF=1/2BD。

4. 求梯形中位线长度梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD中点，求中位线EF的长度。

解法：连接AC，将梯形ABCD分成两个三角形ABC和ADC。

根据中位线的性质可知，EF是三角形ABC和ADC的中位线，因此EF=1/2(BD)，其中BD为梯形的上底和下底之差。

5. 求三角形中位线交点的坐标三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB中点，求中位线AD、BE、CF的交点的坐标。

解法：根据中位线的性质可知，三角形ABC的中位线AD、BE、CF交于一点G，且AG=2/3AF、BG=2/3BD、CG=2/3CE。

初中数学中位线的中考知识点整理

初中数学中位线的中考知识点整理
顾名思义。

中位线就是图形的中点的连线，包括三角形中位线和梯形中位线两种。

中位线
中位线概念
(1)三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。

三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。

(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。

(完整版)八年级奥数精讲与测试中位线及其应用(无答案)

例1．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，求证：DM=12 AB。

例2．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为E，DF⊥BC于F，MN是梯形中位线，求证：DF=MN。

例3．如图，四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD的中点，BA及EF的延长线交于M，CD及EF的延长线交于N，求证：∠AME=∠DNE。

例4．如图，分别以△ABC的AC、BC边为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为DE中点，求证：AM⊥BM。

例5．在等腰三角形ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF。

已知BC=2，求证：EF≥1。

A卷一、填空题01．如果等腰梯形底角是45°，高等于上底的2倍，那么梯形中位线与高之比为_________。

02．已知梯形两对角线中点连线长5cm，梯形下底长20cm，则上底长为_________。

03．如图128，E是AC的中点，D在边BC上，且CD=2BD，AD与BE 相交于F。

已知△BDF的面积是1，那么△ABC的面积是_________。

04．如图129，梯形ABCD的面积是12，则以梯形四边中点为顶点的四边形EFMN的面积是_________。

05．已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC把中位线EF(E在AB上)分成1 : 3两部分，则S ADFE:S BCFE=_________。

06．如图130，在梯形ABCD中，AB∥CD，EF是中位线，EF与AC相交于G，且EF=16cm，EG−GF=4cm，则AB的长是_________cm。

07．如图131，已知△ABC中，AB=AC，延长AB至D，使BD=AB，E 是AB的中点，CD=4，则CE=_________。

08．如图132，在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，且BE=CF，M、N分别为BF、CE的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于Q。

初中数学竞赛模型定理

初中数学竞赛模型定理包括但不限于以下几个：
1. 勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

即，如果a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边，那么a² + b² = c²。

2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

3. 圆的性质：在同一个圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。

4. 平行线的性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。

5. 垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

这些定理在初中数学竞赛中经常出现，掌握这些定理可以更好地理解和解决数学问题。

同时，还需要注意这些定理的使用条件和限制，避免在解题过程中出现错误。

中位线及其应用

中位线及其应用知识定位中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。

中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、三角形中位线定义（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。

（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。

几何语言描述：因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，所以DE//BC,且DE=12BC提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并不一定要把两个结论都写出来。

b ：一个三角形有三条中位线。

c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要的作辅助线的方法。

2、三角形中位线的性质（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰补充：有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

初中中位线知识点总结

初中中位线知识点总结一、中位线的概念及作用1. 中位线是一条线段，它将一个几何图形分成两个面积相等的部分。

2. 在三角形和四边形中，中位线与其它中线交点的位置可以用于解决一些几何问题。

3. 中位线可用于解决实际问题，如计算房屋地面面积、农田面积等。

二、三角形中的中位线1. 三角形中位线定义：通过三角形的一个顶点，作对边中点连线。

2. 中位线的性质：三角形中位线相等，即三角形中的三条中位线相等。

这是因为三角形的三边相等。

3. 中位线的作用：在三角形中，中位线可以用来证明三角形的面积、证明三角形的角平分线等。

三、四边形中的中位线1. 四边形中位线定义：四边形的对角线中点连线。

2. 中位线的性质：四边形中的中位线相等，即四边形的两对对角线中的中位线相等。

3. 中位线的作用：中位线可以用来证明四边形的面积、证明四边形的性质。

四、中位线的应用1. 实际问题：中位线可用于计算几何图形的面积，如计算房屋地面面积、农田面积等。

2. 定理证明：中位线可用于证明几何定理，如证明三角形的角平分线，证明四边形的面积等。

3. 建筑设计：在建筑设计中，中位线可用于布局、规划和设计。

五、中位线的计算1. 中位线长度的计算：中位线的长度等于对角线中点间的距离。

2. 中位线的数学公式：中位线的长度等于两个对角线中点的距离的一半。

3. 计算实例：根据给定的对角线长度，可以计算四边形中位线的长度。

六、中位线与中心线的区别1. 中位线是一条几何图形中的线段，它具有等长性质。

2. 中心线是几何图形的中心轴线，它与图形的对称轴或对称中心有关。

七、中位线与平行四边形1. 中位线是平行四边形的对角线的中点连线，它将平行四边形分成两个面积相等的部分。

2. 中位线的性质：平行四边形的两条对角线中的中位线相等，即平行四边形中的两条中位线相等。

八、中位线与菱形1. 中位线是菱形的对角线的中点连线，它将菱形分成两个面积相等的部分。

2. 中位线的性质：菱形的两条对角线中的中位线相等，即菱形中的两条中位线相等。

初中数学中位线有哪些全等性质

初中数学中位线有哪些全等性质中位线是指一个三角形内连接一个顶点与对边中点的线段。

在初中数学中，中位线具有许多有趣的全等性质。

下面是一些关于中位线的全等性质的详细介绍。

1. 三角形的中位线相交于一个点：对于任意一个三角形ABC，连接三角形的任意两个顶点与对边的中点，得到三条中位线AD, BE和CF。

这三条中位线都会相交于一个点，称为三角形的重心G。

这意味着三个中位线交于一个点，且这个点将三个中位线按照1:2的比例分割。

2. 重心将中位线分割成1:2的比例：在一个三角形ABC中，连接重心G和顶点A，得到AG。

连接对边BC的中点M和顶点A，得到AM。

则有AG:AM=2:1。

同样地，连接重心G和顶点B，得到BG，连接对边AC的中点N和顶点B，得到BN，也有BG:BN=2:1。

连接重心G和顶点C，得到CG，连接对边AB的中点P和顶点C，得到CP，同样有CG:CP=2:1。

这意味着重心将中位线分割成1:2的比例。

3. 三角形的中位线平行：在一个三角形ABC中，连接三角形的任意两个顶点与对边的中点，得到三条中位线AD, BE和CF。

这三条中位线是平行的。

4. 中位线长度相等：在一个三角形ABC中，连接三角形的任意两个顶点与对边的中点，得到三条中位线AD, BE和CF。

这三条中位线的长度相等。

5. 中位线的长度与对边的关系：在一个三角形ABC中，连接三角形的任意两个顶点与对边的中点，得到三条中位线AD, BE和CF。

这三条中位线的长度分别等于对边的一半。

即AD=1/2BC, BE=1/2AC, CF=1/2AB。

6. 中位线与边的关系：在一个三角形ABC中，连接三角形的任意两个顶点与对边的中点，得到三条中位线AD, BE和CF。

这三条中位线与对边的关系为：AD=1/2BM+1/2CN, BE=1/2AN+1/2CM, CF=1/2AP+1/2BN。

这些全等性质是关于中位线的一些重要定理和性质，可以帮助我们更好地理解中位线在三角形中的作用和性质。

初中数学竞赛中位线

1例1. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于F ，GE ⊥CE 交CB 的延长线于G 求证：FD ＝41CG例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。

求MN 的长。

例3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。

已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点求证：MN ∥AB ∥CD ，MN ＝21（AB －CD ）例4.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点求证：MN ∥ADBGDF二、练习1.已知：△ABC 中，AD 是高，AE 是中线，且AD ，AE 三等分∠BAC ，求证：△ABC 是Rt △。

2.已知：在锐角三角形ABC 中，高AD 和中线BE 相交于O ，∠BOD ＝60，求证AD ＝BE3.已知AD 是锐角三角形ABC 的高，E ，F ，G 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，证明顺次连结E ，F ，G ，H 所成的四边形是等腰梯形。

4. 已知：经过△ABC 顶点A 任作一直线a,过B ，CBB ，和CC ，，设M 是BC 的中点，求证：MB ，＝MC ，5.如图已知△ABC 中，AD ＝BE ，DM ∥EN ∥BC求证BC ＝DM ＋EN 6.如图已知：从平行四边形ABCD 的各顶点向形外任一直线a 作垂线段AE ，BF ，CG ，DH 。

求证AE ＋CG ＝BF ＋DH 7.如图已知D 是AB 的中点，F 是DE 的中点，求证BC ＝2CE8.平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC 、CD 的中点，求证AC 平分MN 9.已知△ABC 中，D 是边BC 上的任一点，M ，N ，P ，Q 分别是BC ，AD ，AC ，MN 的中点，求证直线PQ 平分BD 。

中考重点三角形的中位线定理

中考重点三角形的中位线定理三角形是几何学中一种基本的图形，其中位线定理作为三角形的重要定理在中考中往往会被重点考察。

本文将对中考重点三角形的中位线定理进行详细阐述，以帮助同学们更好地理解和掌握这一定理。

一、中位线的定义及性质在三角形ABC中，连接三角形的一个顶点到对边中点的线段称为该顶点的中位线。

设AD是BC的中线，可以得出以下几个性质：1. 中位线的三个交点连接起来一定是一个点，称为三角形的重心，用G表示。

重心是三角形内部离三边距离之和最小的点。

2. 重心将每条中位线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。

3. 重心到三角形三个顶点的距离满足OG = 2DG，其中O是坐标原点。

二、中位线定理的表述中位线定理是指：三角形的三条中位线交于一点，且这个交点与三个顶点之间的距离满足OG = 2DG。

即在三角形ABC中，连接三个顶点到对边中点的中位线交于一点G，且OG = 2DG。

三、中位线定理的证明为了证明中位线定理，我们可以利用向量的方法进行推导。

设向量OA = a，OB = b，OC = c，且D为BC的中点，则向量OD = (b + c) / 2。

根据中位线的定义，由向量的加法运算，我们可以得到：OG = OA + OB + OC = a + b + cDG = OD - OG/3 = (b + c)/2 - (a + b + c)/3 = (c - a) / 6由此可以得到OG = 2DG，证明了中位线定理的正确性。

四、中位线定理的应用中位线定理在解决三角形相关问题时有着广泛的应用，下面将介绍两个常见的问题：1. 求三角形三条中位线的交点坐标已知三角形的三个顶点坐标A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，可通过中位线的定义和公式求得交点坐标。

设中位线交点为G(x, y)，则有：x = (x1 + x2 + x3) / 3y = (y1 + y2 + y3) / 3通过计算可得到交点G的坐标。

专题44 特殊的四边形初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷

专题44特殊的四边形一、三角形的中位线【典例】如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？【解答】解：AP＝AQ．理由如下：如图，取BC的中点H，连接MH，NH．∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH=12EC．∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH=12BD．∵BD＝CE，∴MH＝NH．∴∠HMN＝∠HNM；∵MH∥EC，∴∠HMN＝∠PQA，同理∠HNM＝∠QPA．∴△APQ为等腰三角形，∴AP＝AQ．【巩固】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，求线段BC的长．二、矩形中的折叠【典例】如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点B 的对应点E 落在CD 边上，GH 为折痕，已知AB ＝6，BC ＝10．当折痕GH 最长时，线段BH 的长为．【解答】解：由题知，当E 点与D 点重合时GH 最长，设BH ＝x ，则CH ＝10﹣x ，HE ＝BH ＝x ，由勾股定理得，HC 2+CE 2＝HE 2，即（10﹣x ）2+62＝x 2，解得x ＝6.8，故答案为：6.8．【巩固】如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，（1）如图1，将△ADE 沿AE 翻折，使点D 的对应点M 恰好在BC 边的中点，求AD AB的值；（2）如图2，若点E 为CD 的中点，过点A 作AF ⊥BE 于F ，连接DF ，求证DF ＝BC ．三、直角三角形斜边上的中线【典例】如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（）A ．1B ．1.3C ．1.2D ．1.5【解答】解：∵AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5， ∴∠EAF ＝90°，∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ， ∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ，AP 互相平分．且EF ＝AP ， ∴EF ，AP 的交点就是M 点．∵当AP 的值最小时，AM 的值就最小，∴当AP ⊥BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小． ∵12AP •BC =12AB •AC ，∴AP •BC ＝AB •AC ． ∵AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5， ∴5AP ＝3×4， ∴AP ＝2.4， ∴AM ＝1.2；故选：C ．【巩固】如图，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，四边形ABDE 为平行四边形，若AD ＝6，BC ＝8，则CE 的长为．四、菱形中最值问题【典例】如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且S△PBC=1 4S菱形ABCD，则PB+PC的最小值为．【解答】解：过A作AE⊥BC于E，∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴AE=12AB＝2，∴S△PBC=14S菱形ABCD=14×4×2＝2，设点P到BC的距离为h，∴h＝1，即点P在平行于BC且到BC的距离为1的直线上，作点B关于直线l的对称点G，连接CG交直线l于点P，则此时，PB+PC的值最小，PB+PC的最小值＝CG，∵BG⊥l，∴BG⊥BC，∴∠CBG＝90°，BG＝2h＝2，∴CG=√22+42=2√5，【巩固】如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC+PB 2的值最小时，线段PD长是．巩固练习1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E 不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论．其中错误的是（）A．∠GEB与∠GFB一定互补B．点G到边AB，BC的距离一定相等C．点G到边AD，DC的距离可能相等D．点G到边AB的距离的最大值为2√22．如图，分别以R t△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当ACAB=时，四边形ADFE是平行四边形．3．如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为．4．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是．5．如图，在矩形ABCD中，AD=√3AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N 运动过程中，则以下结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；③S△AMN逐渐减小；④MN2＝BM2+DN2．6．如图，菱形ABCD，AB＝5，E在BC上，BE＝4，过点E作EG⊥AD于G，交BD于F，连接DE，若∠A＝4∠DEG，则EF的长为．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P 为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．（1）求证：四边形BDFG是菱形：（2）若∠BAC＝30°，BC＝2，求四边形BDFG的面积．9．已知四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AB、AD上的点，CE垂直平分BF，垂足为G，连接DG．①求证：DG＝CG；②若BC＝2AB，求∠DGC的大小；（2）如图2，AB＝BC＝6，M、N、P分别是AB、CD、AD上的点，MN垂直平分BP，点Q是CD的中点，连接MP，PQ，若PQ⊥MP，直接写出CN的长．10．已知：如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系x O y中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E．如果CE＝5，OC、OE的长是关于x的方程x2+（m﹣1）x+12＝0的两个根，并且OC＞OE．（1）求点D的坐标；（2）如果点F是AC的中点，判断点（8，﹣20）是否在过D、F两点的直线上，并说明现由．11．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）线段AO的长为；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AM=√33AC；（3）连接EM．若△AFM的周长为3√29，请直接写出△AEM的面积．12．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°．（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB＝4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AC=√3，请你直接写出DM+CN的最小值．专题44特殊的四边形一、三角形的中位线【典例】如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？【解答】解：AP＝AQ．理由如下：如图，取BC的中点H，连接MH，NH．∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH=12EC．∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH=12BD．∵BD＝CE，∴MH＝NH．∴∠HMN＝∠HNM；∵MH∥EC，∴∠HMN＝∠PQA，同理∠HNM＝∠QPA．∴△APQ为等腰三角形，∴AP＝AQ．【巩固】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，求线段BC的长．【解答】解：设EF＝x，∵点E、点F分别是OA、OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD ＝2x ，AD ∥EF ，∴∠CAD ＝∠CEF ＝45°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝2x ，∴∠ACB ＝∠CAD ＝45°，∵EM ⊥BC ，∴∠EMC ＝90°，∴△EMC 是等腰直角三角形，∴∠CEM ＝45°，连接BE ，∵AB ＝OB ，AE ＝OE∴BE ⊥AO∴∠BEM ＝45°，∴BM ＝EM ＝MC ＝x ，∴BM ＝FE ，易得△ENF ≌△MNB ，∴EN ＝MN =12x ，BN ＝FN ＝5，R t △BNM 中，由勾股定理得：BN 2＝BM 2+MN 2，即52＝x 2+（12x ）2，解得，x ＝2√5，∴BC ＝2x ＝4√5．答：线段BC 的长为4√5．二、矩形中的折叠【典例】如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点B 的对应点E 落在CD 边上，GH 为折痕，已知AB ＝6，BC ＝10．当折痕GH 最长时，线段BH 的长为．【解答】解：由题知，当E 点与D 点重合时GH 最长，设BH ＝x ，则CH ＝10﹣x ，HE ＝BH ＝x ，由勾股定理得，HC 2+CE 2＝HE 2，即（10﹣x ）2+62＝x 2，解得x ＝6.8，故答案为：6.8．【巩固】如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，（1）如图1，将△ADE 沿AE 翻折，使点D 的对应点M 恰好在BC 边的中点，求AD AB 的值；（2）如图2，若点E 为CD 的中点，过点A 作AF ⊥BE 于F ，连接DF ，求证DF ＝BC ．【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，由折叠可得AD ＝AM ，∴BC ＝AM ，又∵M 是BC 的中点，∴BM =12BC =12AM ，又∵∠B ＝90°，∴R t △ABM 中∠BAM ＝30°，∴BM =12AM ，AB =√3BM ，∴AM AB =√3BM =23√3，即AD AB =23√3；（2）证明：如图2所示，延长BE ，AD ，交于点G ，则∠BEC ＝∠GED ，∵AG ∥BC ，∴∠G ＝∠CBE ，∵E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△BCE 和△GDE 中，{∠BEC =∠GED ∠CBE =∠G CE =DE ，∴△BCE ≌△GDE （AAS ），∴DG ＝BC ＝AD ，即D 是AG 的中点，又∵AF ⊥BG ，∴R t △AFG 中，DF =12AG ＝AD ，又∵矩形ABCD 中，AD ＝BC ，∴DF ＝BC ．三、直角三角形斜边上的中线【典例】如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（）A ．1B ．1.3C ．1.2D ．1.5【解答】解：∵AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴∠EAF ＝90°，∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ，AP 互相平分．且EF ＝AP ，∴EF ，AP 的交点就是M 点．∵当AP 的值最小时，AM 的值就最小，∴当AP ⊥BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小．∵12AP •BC =12AB •AC ， ∴AP •BC ＝AB •AC ．∵AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴5AP ＝3×4，∴AP ＝2.4，∴AM ＝1.2；故选：C ．【巩固】如图，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，四边形ABDE 为平行四边形，若AD ＝6，BC ＝8，则CE 的长为．【解答】解：如图，过点B 作BF ∥CD ，且BF ＝CD ，连接DF ，CF ，AF ，∵BF ∥CD ，DC ＝BF ，∴四边形BDCF 是平行四边形，且∠BDC ＝90°，∴四边形BDCF 是矩形，∴BC＝DF＝8，CF∥BD，CF＝BD，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥AE，BD＝AE，∴AE∥CF，AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠CAD＝∠CBD，∵四边形BDCF是矩形，∴∠DBC＝∠DFC，∠FCD＝90°，∴∠DFC＝∠DAC，∴点A，点F，点C，点D四点共圆，∴∠FAD+∠FCD＝180°，∴∠FAD＝90°，∴AF=√DF2−AD2=√82−62=2√7，∴EC＝2√7，故答案为：2√7．四、菱形中最值问题【典例】如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且S△PBC=1 4S菱形ABCD，则PB+PC的最小值为．【解答】解：过A作AE⊥BC于E，∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴AE=12AB＝2，∴S△PBC=14S菱形ABCD=14×4×2＝2，设点P到BC的距离为h，∴h＝1，即点P在平行于BC且到BC的距离为1的直线上，作点B关于直线l的对称点G，连接CG交直线l于点P，则此时，PB +PC 的值最小，PB +PC 的最小值＝CG ，∵BG ⊥l ，∴BG ⊥BC ，∴∠CBG ＝90°，BG ＝2h ＝2，∴CG =√22+42=2√5，【巩固】如图，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，点P 是直线BD 上一动点，连接PC ，当PC +PB 2的值最小时，线段PD 长是．【解答】解：如图，过P 作PE ⊥BC 于E ，连接AP ，由菱形ABCD ，可得AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ＝∠ADP ＝30°，∴△ABP ≌△CBP ，BP ＝2PE ，∴AP ＝CP ，∴PC +PB 2=AP +PE ， ∵当点A ，P ，E 在同一直线上时，AP +PE 最短， ∴此时，PC +PB 2的值最小，AP ⊥AD ，∵R t △ABE 中，AB ＝2，∴BE ＝1，AE =√3，∴R t △BEP 中，PE =13√3， ∴AP =23√3， ∵∠ADP ＝30°，∴R t △ADP 中，PD ＝2AP =43√3，故答案为：43√3．巩固练习1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，点E ，F 分别是边AB ，BC 上的动点，点E 不与A ，B 重合，且EF ＝AB ，G 是五边形AEFCD 内满足GE ＝GF 且∠EGF ＝90°的点．现给出以下结论．其中错误的是（）A ．∠GEB 与∠GFB 一定互补B ．点G 到边AB ，BC 的距离一定相等C ．点G 到边AD ，DC 的距离可能相等D ．点G 到边AB 的距离的最大值为2√2【解答】解：A 、∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，又∵∠EGF ＝90°，四边形内角和是360°，∴∠GEB +∠GFB ＝180°，故A 正确；B 、过G 作GM ⊥AB ，GN ⊥BC ，分别交AB 于M ，交BC 于N ，∵GE ＝GF 且∠EGF ＝90°，∴∠GEF ＝∠GFE ＝45°，又∵∠B ＝90°，∴∠BEF +∠EFB ＝90°，即∠BEF ＝90°﹣∠EFB ，∵∠GEM ＝180°﹣∠BEF ﹣∠GEF ＝180°﹣45°﹣（90°﹣∠EFB ）＝45°+∠EFB ， ∠GFN ＝∠EFB +∠GFE ＝∠EFB +45°，∴∠GEM ＝∠GFN ，在△GEM 和△GFN 中，{∠GME =∠GNF∠GEM =∠GFN GE =GF ，∴△GEM≌△GFN（AAS），∴GM＝GN，故B正确；C、∵AB＝4，AD＝5，并由B知，点G到边AD，DC的距离不相等，故C错误：D、在直角三角形EMG中，MG≤EG，当点E、M重合时EG最大，∵EF＝AB＝4，∴GE＝EB＝BF＝FG＝4×√22=2√2，故D正确．故选：C．2．如图，分别以R t△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当ACAB=时，四边形ADFE是平行四边形．【解答】解：当ACAB =√32时，四边形ADFE是平行四边形．理由：∵ACAB =√32，∴∠CAB＝30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB＝60°，AE＝AB，∴∠FEA＝30°，又∠BAC＝30°，∴∠FEA＝∠BAC，在△ABC和△EAF中，{∠ACB =∠EFA∠BAC =∠AEF AB =AE，∴△ABC ≌△EAF （AAS ）；∵∠BAC ＝30°，∠DAC ＝60°，∴∠DAB ＝90°，即DA ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ，∵△ABC ≌△EAF ，∴EF ＝AC ＝AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．故答案为：√32．3．如图，矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，点A 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上．当点A 在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点C 到原点O 的最大距离为．【解答】解：如图，取AD 的中点H ，连接CH ，OH ，∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，∵点H是AD的中点，∴AH＝DH＝1，∴CH=√DH2+CD2=√1+1=√2，∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，∴OH=12AD＝1，在△OCH中，CO＜OH+CH，当点H在OC上时，CO＝OH+CH，∴CO的最大值为OH+CH=√2+1，故答案为：√2+1．4．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是．【解答】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DH⊥BA于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为D，∴FD＝FB，∴FE+FB＝FE+FD≥DE．只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝120°，∴∠HAD＝60°，∵DH⊥AB，∴AH=12AD，DH=√32AD，∵菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，∴AE＝2，AH＝2，∴EH＝4，DH＝2√3，在R t△EHD中，DE=√EH2+DH2=√42+(2√3)2=2√7，∴EF+BF的最小值为2√7．故答案为：2√7．5．如图，在矩形ABCD中，AD=√3AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N 运动过程中，则以下结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①点M、N的运动速度不相等；②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；③S△AMN逐渐减小；④MN2＝BM2+DN2．【解答】解：如图，当M与B点重合时，此时NO⊥BD，∵在矩形ABCD中，AD=√3AB，∴∠ADB＝∠DAC＝30°，∴∠AOD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠NAO＝∠AOD﹣∠NOD＝120°﹣90°＝30°，∴∠DAO＝∠NOA＝30°，∴AN＝ON＝DN•sin30°=12DN，∵AN+DN＝AD，∴AN=13AD，当M点运动到M'位置时，此时OM'⊥AB，N点运动到了N'，∵AC和BD是矩形ABCD的对角线，∴M点运动的距离是MM'=12AB，N点运动的距离是NN'=12AD−AN=12AD−13AD=16AD，又∵AD=√3AB，∴NN'=16×√3AB=√36AB=√33MM'，∴N 点的运动速度是M 点的√33，故①正确，当M 在M '位置时， ∵∠OM 'A ＝90°，∠N 'AB ＝90°，∠M 'ON '＝90°，∴四边形AM 'ON '是矩形，∴此时S △AMN ＝S △MON ，故②正确，令AB ＝1，则AD =√3，设BM ＝x ，则N 点运动的距离为√33x ， ∴AN =13AD +√33x =√33+√33x ，∴S △AMN =12AM •AN =12（AB ﹣BM ）•AN =12（1﹣x ）（√33+√33x ）=√36−√36x 2， ∵0≤x ≤1，在x 的取值范围内函数√36−√36x 2的图象随x 增加而减小， ∴S △AMN 逐渐减小，故③正确，∵MN 2＝（AB ﹣BM ）2+（AD ﹣DN ）2＝AB 2﹣2AB •BM +BM 2+AD 2﹣2AD •DN +DN 2＝（AB 2﹣2AB •BM +3AB 2﹣2√3AB •DN ）+BM 2+DN 2＝（4AB 2﹣2AB •BM ﹣2√3AB •DN ）+BM 2+DN 2， ∵AN =13AD +√33BM =√33AB +√33BM ，∴DN ＝AD ﹣AN =√3AB ﹣（√33AB +√33BM ）=2√33AB −√33BM ， ∵2√3AB •DN ＝2√3AB ×（2√33AB −√33BM ）＝4AB 2﹣2AB •BM ， ∴MN 2＝（4AB 2﹣2AB •BM ﹣2√3AB •DN ）+BM 2+DN 2＝BM 2+DN 2，故④正确，方法二判定④：如图2，延长MO 交CD 于M '，∵∠MOB ＝∠M 'OD ，OB ＝OD ，∠DBA ＝∠BDC ，∴△OMB ≌△OM 'D （ASA ），∴BM ＝DM '，OM ＝OM '，连接NM '，∵NO ⊥MM '，则MN ＝NM '，∵NM '2＝DN 2+DM '2，故④正确，故答案为：①②③④．6．如图，菱形ABCD，AB＝5，E在BC上，BE＝4，过点E作EG⊥AD于G，交BD于F，连接DE，若∠A＝4∠DEG，则EF的长为．【解答】解：如图，过点D作DM⊥BD，交BC的延长线于点M，设∠DEG＝α，则∠A＝4α，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣4α，∠ABD＝∠CBD＝∠BDC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BDC＝90°﹣2α，∴∠M＝90°﹣∠CBD＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，∠CDM＝90°﹣∠BDC＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，∴∠M＝∠CDM，∴CD＝CM＝5，∵EG⊥AD，∴∠BEG＝90°，∴∠DEM＝180°﹣∠BEG﹣∠DEG＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，∴∠EDM＝180°﹣∠DEM﹣∠M＝180°﹣（90°﹣α）﹣2α＝90°﹣α，∴DM＝EM＝EC+CM＝1+5＝6，∴BM＝BC+CM＝5+5＝10，∴BD=√BM2−DM2=√102−62=8，∵∠BEF＝∠BDM＝90°，∠FBE＝∠MBD，∴△FBE∽△MBD，∴EFDM =BEBD，即EF6=48，∴EF＝3．故答案为：3．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P 为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在点P1处，CP1＝BP1，当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2＝BP2，∴P1P2∥EC且P1P2=12CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP＝FP，由中位线定理可知：P1P∥CF且P1P=12CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，∴△ABE，△BEC、△DCP1为等腰直角三角形，∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°，∵P1P2∥EC，∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°，∴∠P2P1D＝90°，∴DP的长DP1最小，DP2最大，∵CD＝CP1＝DE＝2，∴DP1＝2√2，CE＝2√2，∴P1P2=√2，∴DP2=√(2√2)2+(√2)2=√10，故答案为：2√2≤PD≤√10．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．（1）求证：四边形BDFG是菱形：（2）若∠BAC＝30°，BC＝2，求四边形BDFG的面积．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，∴BD=12AC，∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BDFG是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=12AC，∴BD＝DF；∴平行四边形BDFG是菱形；（2）解：作DH⊥AG于H，如图所示：∵四边形BDFG是菱形，∴GF＝BD，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，∵点D是AC中点，∴GF＝BD=12AC＝AD＝2，∴∠DBA＝∠BAC＝30°，又∵AG∥BD，∴∠BAF＝∠DBA＝30°，∴∠DAF＝60°，∵DH⊥AG，∴∠ADH＝30°，∴AH=12AD＝1，DH=√3AH=√3，∴S菱形BDFG＝GF•DH＝2×√3=2√3．9．已知四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AB、AD上的点，CE垂直平分BF，垂足为G，连接DG．①求证：DG＝CG；②若BC＝2AB，求∠DGC的大小；（2）如图2，AB＝BC＝6，M、N、P分别是AB、CD、AD上的点，MN垂直平分BP，点Q是CD的中点，连接MP，PQ，若PQ⊥MP，直接写出CN的长．【解答】解：（1）①如图1，过G作MN⊥CD于N，与AB交于点M，则MN∥AD，∵CE垂直平分BF，∴GB＝GF，∴AM＝BM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADN＝∠MND＝90°，∴四边形ADNM是矩形，∴DN＝AM=12AB=12CD，∵MN垂直平分CD，∴DG＝CG；②连接CF，如图1，∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB．∴∠BCG＝∠FCG=12∠BCF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠CDF＝∠BCD＝90°，AD∥BC，∵BC＝2AB，∴CF＝2CG，延长CD至H，使得DH＝CD，连接FH，则CF＝CH，∴AD垂直平分CH，∴FH＝FC＝CH，∴∠FCD＝60°，∴∠BCF＝90°﹣∠FCD＝30°，∴∠BCG＝∠FCG＝15°，∴∠GDC＝∠GCD＝∠BCD﹣∠BCG＝75°，∴∠CGD＝180°﹣75°×2＝30°；（3）∵MN垂直平分BP，∴MB＝MP，∴∠MBP＝∠MPB，∵MP⊥PQ，∴∠MPQ＝∠A＝90°，∴∠ABP+∠APB＝∠BPM+∠BPQ＝90°，∴∠BPA＝∠BPQ，作BS⊥PQ于S，连接BQ，如图2，∴BA＝BS，∵BP＝BP，∴R t△PBA≌R t△PBS（HL），∴AP＝PS，∵AB＝BC，∴BS＝BC，∵BQ＝BQ，∴R t△QBS≌R t△QBC（HL），∴QS＝QC＝3，∴PQ＝AP+CQ，设AP＝x，PD＝6﹣x，PQ＝3+x，在R t△PQD中，DQ＝3，由勾股定理得，（3+x）2﹣（6﹣x）2＝32，解得，x＝2，∴AP＝2，设BM＝MP＝y，AM＝6﹣y，在R t△AMP中由勾股定理得，y2﹣（6﹣y）2＝22，解得，y=10 3，作NK ⊥AB 于K ，如图2，得四边形AKND 是矩形，∴AB ＝AD ＝KN ，∠A ＝∠MKN ＝90°，∵MN ⊥BP ，∴∠ABP +∠KMN ＝∠KMN +∠KNM ＝90°，∴∠ABP ＝∠KNM ，∴△ABP ≌△KNM （ASA ），∴AP ＝KM ＝2，∴CN ＝BK ＝BM ﹣MK =103−2=43；另一解法：过N 点作NK ⊥AB 于点K ，得四边形AKND 是矩形，∴AB ＝AD ＝MN ，∠A ＝∠MKN ＝90°，∵MN ⊥BP ，∴∠ABP +∠KMN ＝∠KMN +∠KNM ＝90°，∴∠ABP ＝∠KNM ，∴△ABP ≌△KNM （ASA ），∴AP ＝KM ，∵MN 垂直平分BP ，∴MB ＝MP ，不妨设BM ＝MP ＝x ，则AM ＝6﹣x ，∴AP =√x 2−(6−x)2=√12x −36，∴DP ＝6−√12x −36，∵Q 是CD 的中点，∴DQ ＝3，∵PQ ⊥MP ，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠APM +∠AMP ＝∠APM +∠DPQ ＝90°，∴∠AMP ＝∠DPQ ，∴△APM ∽△DQP ，∴AP DQ =AM DP ，即√12x−363=6−√12x−36，解得，x ＝6或103，∴CN ＝BK ＝AB ﹣AM ﹣MK ＝6﹣（6﹣x ）−√12x −36=x −√12x −36=0或43．舍去CN ＝0，10．已知：如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系x O y中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E．如果CE＝5，OC、OE的长是关于x的方程x2+（m﹣1）x+12＝0的两个根，并且OC＞OE．（1）求点D的坐标；（2）如果点F是AC的中点，判断点（8，﹣20）是否在过D、F两点的直线上，并说明现由．【解答】解：（1）∵OC、OE的长是关于x的方程x2+（m﹣1）x+12＝0的两个根，设OC＝x1，OE＝x2，x1＞x2．∴x1+x2＝﹣（m﹣1）．x1•x2＝12．在R t△COE中，∵OC2+OE2＝CE2，CE＝5．∴x12+x22＝52，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝25．∴[﹣（m﹣1）]2﹣2×12＝25，解这个方程，得m1＝﹣6，m2＝8．∵OC+OE＝x1+x2＝﹣（m﹣1）＞0，∴m＝8不符合题意，舍去．∴m＝﹣6．解方程x2﹣7x+12＝0，得x1＝4，x2＝3．∴OC＝4，OE＝3．△ABC沿AC翻折后，点B的落点为点D．过D点作DG⊥x轴于G．DH⊥y轴于H．∴∠BCA＝∠ACD．∵矩形OABC中，CB∥OA．∴∠BCA＝∠CAE．∴∠CAE＝∠ACD．∴EC＝EA．在R t△COE与R t△ADE中，∵{OC =AD EC =EA∴R t △COE ≌R t △ADE ．∴ED ＝3，AD ＝4，EA ＝5．在R t △ADE 中，DG •AE ＝ED •AD ，∴DG =ED⋅AD AE=125，在△CHD 中，OE ∥HD ， ∴CE CD =CE HD，55+3=3HD ， ∴HD =245，由已知条件可知D 是第四象限的点，∴点D 的坐标是（245，−125）；（2）∵F 是AC 的中点，∴点F 的坐标是（4，2），设过D 、F 两点的直线的解析式为y ＝kx +b ．∴{4k +b =2245k +b =−125，解得{k =−112b =24， ∴过点D 、F 两点的直线的解析式为y =−112x +24，∵x ＝8，y ＝﹣20满足上述解析式，∴点（8，﹣20）在过D 、F 两点的直线上．11．如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝13，BD ＝24，在菱形ABCD 的外部以AB 为边作等边三角形ABE ．点F 是对角线BD 上一动点（点F 不与点B 重合），将线段AF 绕点A 顺时针方向旋转60°得到线段AM ，连接FM ．（1）线段AO 的长为；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AM=√33AC；（3）连接EM．若△AFM的周长为3√29，请直接写出△AEM的面积．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=12BD＝12，在R t△AOB中，AB＝13，根据勾股定理得，AO=√AB2−OB2=√132−122=5，故答案为5；（2）由旋转知，AM＝AF，∠MAF＝60°，∴△AMF是等边三角形，∴∠AFM＝60°，∵点M，F，C三点在同一条直线上，∴∠AFC＝180°﹣∠AFM＝120°，∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∴OA＝OC=12AC，在△AOF和△COF中，{OA=OC∠AOF=∠COF=90°OF=OF，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠AFO=12∠AFC＝60°，在R t△AOF中，sin∠AFO=OA AF，AF=OAsin∠AFO=OAsin60°=2√33OA=√33AC，∴AM=√33AC；（3）①当点F在线段OB上时，如图，由（2）知，△AMF是等边三角形，∵△AFM的周长为3√29，∴AF=√29，在R t△AOF中，根据勾股定理得，OF=√AF2−AO2=2，∴BF＝OB﹣OF＝12﹣2＝10，连接EM ，∵△ABE 是等边三角形，∴AE ＝AB ＝13，∠BAE ＝60°，由（1）知，AM ＝AF ，∠FAM ＝60°，∴∠BAE ＝∠EAM ，∴∠EAM ＝∠BAF ，∴△AEM ≌△ABF （SAS ），∴EM ＝BF ＝10，∠AEM ＝∠ABF ，过点M 作MN ⊥AE 于N ，∴∠MNE ＝∠AOB ＝90°，∴△MNE ∽△AOB ，∴MN AO =EM AB ， ∴MN 5=1013，∴MN =5013，∴S △AEM =12AE •MN =12×13×5013=25， ②当点F 在OD 上时，同①的方法得，MN =7013， S △AEM =12AE •MN =12×13×7013=35，即：△AEM 的面积为25或35．12．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°．（1）如图1，点E 为线段AB 的中点，连接DE 、CE 、若AB ＝4，求线段EC 的长；（2）如图2，M 为线段AC 上一点（不与A 、C 重合），以AM 为边向上构造等边三角形AMN ，线段MN 与AD 交于点G ，连接NC 、DM ，Q 为线段NC 的中点，连接DQ 、MQ ，判断DM 与DQ 的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AC=√3，请你直接写出DM+CN的最小值．【解答】解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠ABD=12∠ABC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD＝4，∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，由勾股定理得：DE=√42−22=2√3，∵DC∥AB，∴∠EDC＝∠DEA＝90°，在R t△DEC中，DC＝4，EC=√DC2+DE2=√42+(2√3)2=2√7；（2）如图2，延长CD至H，使DH＝CD，连接NH、AH，∵AD ＝CD ，∴AD ＝DH ，∵CD ∥AB ，∴∠HDA ＝∠BAD ＝60°，∴△ADH 是等边三角形，∴AH ＝AD ，∠HAD ＝60°，∵△AMN 是等边三角形，∴AM ＝AN ，∠NAM ＝60°，∴∠HAN +∠NAG ＝∠NAG +∠DAM ，∴∠HAN ＝∠DAM ，在△ANH 和△AMD 中，∵{AH =AD∠HAN =∠DAM AN =AM，∴△ANH ≌△AMD （SAS ），∴HN ＝DM ，∵D 是CH 的中点，Q 是NC 的中点，∴DQ 是△CHN 的中位线，∴HN ＝2DQ ，∴DM ＝2DQ ．（3）如图2，由（2）知，HN ＝DM ，∴要CN +DM 最小，便是CN +HN 最小，即：点C ，H ，N 在同一条线上时，CN +DM 最小，此时，点D 和点Q 重合，即：CN +DM 的最小值为CH ，如图3，由（2）知，△ADH 是等边三角形，∴∠H＝60°．∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD=12∠BCD=12∠BAD＝30°，∴∠CAH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，在R t△ACH中，CH=ACcos30°=2，∴DM+CN的最小值为2．。