初中数学竞赛专题：方程组

初中数学竞赛专题:方程组 §4．1方程组的解法

4．1．1★已知关x 、y 的方程组

()21,221 3.ax y a x a y +=+⎧⎪⎨

+-=⎪⎩

①

② 分别求出当a 为何值时,方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解,

解析与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结

为一元一次方程ax b =的形式进行讨论,但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零． 由①式得

()21y a ax =+-,③

将③代入②得

()()()()122a a x a a -2+=-+．④

当()210a a -+≠（）,即2a ≠且1a ≠-时,

方程④有唯一解2

1

a x a +=

+,将此x 值代入③有 ()

1

21y a =

+, 因而原方程组有唯一一组解．

当()()210a a -+=,且()()220a a -+≠时,即1a =-时,方程④无解,因此原方程组无解． 当()()210a a -+=且()()210a a -+=时,即2a =时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有 无穷多组解．

评注对于二元一次方程组111

222

a x

b y

c a x b y c +=⎧⎨+=⎩,（1a 、2a 、1b 、2b 为已知数,且1a 与1b ,2a 与2b 中都至少

有一个不为零）． （1）当

11

22

a b a b ≠时,方程组有唯一的解 2112122112

211221b c b c x a b a b a c a c y a b a b -⎧

=⎪-⎪

⎨

-⎪=⎪-⎩

（2）当111

222

a b c a b c ==时,原方程组有无穷多组解． （3）当

111

222

a b c a b c =≠时,原方程组无解． 4．1．2★对k 、m 的哪些值,方程组()214y kx m

y k x =+⎧⎪⎨

=-+⎪⎩

至少有一组解？

解析由原方程可得()214kx m k x +=-+．即

()14k x m -=-．

（1）当1≠k 时,方程有唯一解4

1

m x k -=

-,从而原方程组有唯一解． （2）当1k -,4m =时,方程有无穷多个解,从而原方程组也有无穷多组解． 综上所述,当1k ≠且m 为任意数,或1k =且4m =时,方程组至少有一组解． 4．1．3★已知关于x 、y 的二元一次方程

()()12520a x a y a -+++-=．

当a 每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解． 解析1根据题意,可分别令1a =,2a =-代入原方程得到一个方程组:

330,

390.y x +=⎧⎨

-+=⎩

解之得

3,

1.x y =⎧⎨=-⎩

将3x =,1y =-代入原方程得

()()()1321520a a a -⋅++⋅-+-=．

所以对任何a 值

3,

1x y =⎧⎨=-⎩

都是原方程的解．

评注取1a =为的是使方程中()10a x -=,方程无x 项,可直接求出y 值；取2a =-的道理类似． 解析2可将原方程变形为

()(2)250a x y x y +----=．

由于公共解与a 无关,故有

20,

250.x y x y +-=⎧⎨

--=⎩

解之得公共解为3,

1.

x y =⎧⎨

=-⎩

4．1．4★★已知0xyz ≠,且20x y z ++=,5440x y z +-=,求222

22

610345x y z x yz z

+--+的值． 解析已知代数式中含有x 、y 、z 三个字母,而等式只有2个,在一般情况下是不可能求出x 、y 、

z 的具体值来的．因此,可以把已知条件中的z 视为常数,得到关于x 、y 的方程组,从而找出x 、y

与z 的关系,由此可求出其值．

把已知等式视作关于x 、y 的方程,z 视作常数,得关于x 、y 的方程组

20,

5440.x y z x y z ++=⎧⎨

+-=⎩

解得2,3.2

x z y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩

因为0xyz ≠,所以0z ≠,于是

()()3

2

2222

22

222

326106102334532452z z z x y z x yz z z z z

⎛⎫

+-- ⎪+-⎝⎭=-+⎛⎫⋅--+ ⎪⎝⎭

22

2

222

27410152126546z z z z z z +

-==++． 4．1．5★若x 、y 的值满足方程组

3234571103,177543897,x y x y +=⎧⎨

+=⎩

①

② 求422445x x y y ++的值．

解析由①+②得50010002000x y +=,即

24x y +=．③

由③得:42x y =-．④ 把④代入①得:

()323424571103y y -+=．

解得1y =,把1y =代人④得:2x =,所以方程组解为