离散数学谓词逻辑

4. 转换前束合取范式 (1) 将谓词公式(x)[(y)P(x)(z)Q(z,y) (y)R(x,y)]化为 与之等价的前束合取范式 第一步，取消多余量词： (x)[P(x)(z)Q(z,y) (y)R(x,y)] 第二步，约束变量换名： (x)[P(x)(z)Q(z,y) (w)R(x,w)] 第三步，消去条件联结词： (x)[(P(x)(z)Q(z,y)) (w)R(x,w)] 第四步，将深入： (x)[(P(x) (z)Q(z,y))(w)R(x,w)] (x)[(P(x)(z)Q(z,y))(w)R(x,w)] 第五步，将量词提前： (x)(z)(w)[(P(x)Q(z,y)) R(x,w)] (x)(z)(w) [(P(x)R(x,w))(Q(z,y) R(x,w) ) ]
(6)有唯一的偶素数 设：Q(x):x是偶数,P(x):x是素数, E(x,y):x＝y 命题符号化为： (x)(Q(x)P(x)y(Q(y)P(y)E(x,y))) (7)对平面上任意两点，有且仅有一条直线通过这 两点 设 P(x):x是一个点, L(x):x是一条直线 R(x,y,z):z通过x,y, E(x,y):x等于y 命题符号化为 (x)y(P(x)∧P(y)∧﹁E(x,y)) →z(L(z)∧R(x,y,z)∧u((L(u)∧R(x,y,u))→E(u,z)))
（2）xy(P(x)∧Q(x,y)) D= {1,2}， P(1) P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2) F T T T F F
真值为F
3.判断下列公式是不是永真式，并加以说明 （1）(xP(x) →xQ(x)) ↔ x(P(x) →Q(x)) 解：不是永真式，取解释如下 D= {1,2} P(1) P(2) Q(1) Q(2) F T F T 在该解释下xP(x) 为T，xQ(x)为F，所以xP(x) →xQ(x)为F；而(P(1) →Q(1))为T， (P(2) →Q(2))为T， 所以x(P(x) →Q(x))为T；综上该公式不是永真式
(1) 没有不犯错误的人 ① 存在不犯错误的人是不可能的。 ② 只要是人，必然犯错误。 设 M(x): x是人，F(x):x犯错误 命题符号化为① ┐(x)(M(x)∧┐F(x)) ② (x)(M(x)→F(x)) (2) 发光的不都是金子 ① 不是发光的东西都是金子。 ② 存在着发光的东西不是金子。 设 L(x)：x是发光的东西，G(x)：x是金子。 命题符号化为 ① ┐(x)(L(x)→G(x)) ② (x)(L(x)∧﹁G(x))
(5)小杨、小刘和小林为高山俱乐部成员，该俱乐部的每个成员 是个滑雪者或登山者。没有一个登山者喜欢雨。而所有滑雪者 都喜欢雪。凡是小杨喜欢的，小刘就不喜欢。小杨喜欢雨和雪。 试证明该俱乐部是否有个 是登山者而不是滑雪者的成员。如果有，他是谁？ 设：M(x):x是高山俱乐部成员。H(x):x是滑雪者。 D(x):x是登山者。L(x,y):x喜欢y。 a:小杨；b:小刘；c:小林；d:雨；e:雪。
2.讨论在给定解释下谓词公式的真值 （1）x(P→Q(x))∨R(a) D={-2,3,6} , P:2>1,Q(x):x≤3, R(x):x>5,a:5 （2）xy(P(x)∧Q(x,y)) D= {1,2}， P(1) P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2) F T T T F F
(3) 一切人都不一样高 设 F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高， 命题符号化为 (x)(F(x)y(F(y)H(x,y)L(x,y))) 或 (x)y(F(x)F(y)H(x,y)L(x,y)) (4) 并不是所有的汽车都比火车快 设 F(x):x是汽车, G(y):y是火车, H(x,y):x比y快， 命题符号化为 (x)y(F(x)G(y)H(x,y)) 或 (x)y(F(x)G(y)H(x,y))
5.推理证明：
(1) (x)(P(x)∨Q(x) (x)P(x)∨(x) Q(x) 因为(x)P(x)∨(x) Q(x) (x)P(x)→(x) Q(x) ⑴ (x)P(x) P(附加前提) ⑵ (x) P(x) T⑴E ⑶ P(a) ES ⑵ ⑷ (x)(P(x)∨Q(x) P ⑸ P(a)∨Q(a) US ⑷ ⑹ Q(a) T ⑶⑸I ⑺ (x) Q(x) EG ⑹ ⑻ (x)P(x)→(x) Q(x) CP
பைடு நூலகம்
x(A(x)→(B(x)→C(x))),x(A(x)∧D(x)) C(a)∧D(a) A(a)→B(a) ⑴ A(a) P(附加前提) ⑵ x(A(x)→(B(x)→C(x))) P ⑶ A(a)→(B(a)→C(a)) US ⑵ ⑷ B(a)→C(a)) T ⑴⑶I ⑸ C(a)∧D(a) P ⑹ C(a) T ⑸I ⑺ B(a) T ⑷⑹ I ⑻ B(a) T ⑺ E ⑼ A(a)→B(a) CP
(2) xP(x)∨xQ(x) x (P(x)∨Q(x)) (1) x (P(x)∨Q(x)) P(假设) (2) x(P(x)∨Q(x)) T(1)E (3) (P(c)∨Q(c)) ES(2) (4) P(c)∧Q(c) T(3)E (5) P(c) T(4)I (6) xP(x) EG(5) (7) x P(x) T(6)E (8) xP(x)∨xQ(x) P (9) xQ(x) T(7)(8)I (10) Q(c) US(9) (11) Q(c) T(4)I (12) Q(c) ∧Q(c) T(10)(11)I
(4) 所有有理数是实数，某些有理数是整数，因此某些实数是整 数。 设Q(x):x是有理数 R(x):x是实数 I(x):x是整数 (x)(Q(x)→R(x)), (x)(Q(x)∧I(x)) (x)(R(x)∧I(x)) ⑴ (x)(Q(x)∧I(x)) P ⑵ Q(a)∧I(a) ES⑴ ⑶ Q(a) T⑵I ⑷ I(a) T⑵I ⑸ (x)(Q(x)→R(x)) P ⑹ Q(a)→R(a) US ⑸ ⑺ R(a) T ⑶⑹ I ⑻ R(a)∧I(a) T ⑷⑺ I ⑼ (x)(R(x)∧I(x)) EG⑻
谓词逻辑习题课
第九周 2014.11
I. 命题符号化 II.讨论在给定解释下谓词公式的真值
III.判断公式是不是永真式，并加以说明
IV.转换前束合取范式 V. 推理证明
1.将下列命题符号化 (1)没有不犯错误的人 (2) 发光的不都是金子 (3) 一切人都不一样高 (4) 并不是所有的汽车都比火车快 (5)不管黑猫白猫，抓住老鼠就是好猫 (6)有唯一的偶素数 (7)对平面上任意两点，有且仅有一条直线通过这 两点
M(x):x是高山俱乐部成员。H(x):x是滑雪者。 D(x):x是登山者。L(x,y):x喜欢y。a:小杨；b:小刘；c:小林；d:雨；e:雪。
命题符号化为： M(a), M(b), M(c), (x)(M(x)→( H(x)∨D(x))), (x)(D(x)∧L(x,d)), (x)(H(x)→L(x,e)) (x)(L(a,x)→L(b,x)), L(a,d)∧L(a,e) ⑴ L(a,d)∧L(a,e) P ⑵ L(a,e) T⑴ ⑶ (x)(L(a,x)→L(b,x)) P ⑷ L(a,e)→L(b,e)) US ⑶ ⑸ L(b,e)) T ⑵ ⑷ I11 ⑹(x)(H(x)→L(x,e)) P ⑺ H(b)→L(b,e)) US ⑹ ⑻ H(b) T ⑸ ⑺ I12 ⑼ (x)(M(x)→(H(x)∨D(x))) P ⑽ M(b)→(H(b)∨D(b)) US ⑼ ⑾ M(b) P ⑿ H(b)∨D(b) T ⑽ ⑾ I11 ⒀ D(b) T ⑻ ⑿ I10 ⒁ D(b)∧H(b) T⑻⒀
（5）不管黑猫白猫，抓住老鼠就是好猫
需要考虑问题：
①只是限制黑猫白猫，还是包含其它颜色的猫？ ②是指至少抓住一只就可以，还是抓住所有的？
设 C(x):x是猫,W(x):x是白的,B(x):x是黑的
G(x):x是好的,M(x):x是老鼠, K(x):x抓住y 命题符号化为 (x)y(C(x)∧M(y)∧(B(x)∨W(x))∧K(x,y))→G(x))
(3)每个大学生不是文科生就是理工科生，有的大学生是 优等生，小张不是理工科生，但他是优等生，因此如果小 张是大学生，他就是文科生。 设 A(x):x是大学生, B(x):x是文科生, C(x):x是理工科生，D(x):x是优等生, a:小张 x(A(x)→(B(x)→C(x))), x(A(x)∧D(x)) C(a)∧D(a) A(a)→B(a)
（1）x(P→Q(x))∨R(a) D={-2,3,6} , P:2>1,Q(x):x≤3, R(x):x>5,a:5 x(P→Q(x))∨R(a)(P→xQ(x))∨R(a) (P→(Q(-2)∧Q(3)∧Q(6)))∨R(5) (T→(T ∧T ∧F ))∨F(T→F)∨FF∨F F