非线性地震波形反演研究

非线性地震波形反演研究

邢文军，王永刚，谢万学，吕铁良

（中国石油大学地球资源与信息学院地球物理系，山东东营 257061）

摘要地震波形反演由于其反演依据充分、可以有效的排除偶然因素的影响，受到了广大地球物理工作者的关注。此外，由于非线性地震波形反演可以恢复速度场的所有波长分量，所以该方法得到了长足的发展。本文先讲述了经典的非线性地震波形反演，介绍了几种常见的非线性地震波形反演方法，为了说明问题，最后对一维地震波形反演进行了模型测试，反演结果初步显示出波形反演的有效性、可靠性、稳定性。

关键词：波形反演、多尺度反演、波动方程

Research of Nonlinear Seismic Waveform Inversion

Xing Wenjun, Wang Yonggang, Xie Wanxue, Lv Tieliang (Geo-Resources and Information Institute in the University of Petroleum, China, Dongying 257061)

Abstract Seismic waveform inversion which can eliminate effect of factors by accident is favourited by many geophysicist, as seismic data have enough information for seismic waveform inversion. Furthermore, nonlinear seismic waveform inversion can recover all wavelength components of the velocity model, so waveform inversion has been developed very fast. In this paper we show the classic gradient calculation for discrete formulations of generalized waveform inversion, introduce several common methods for nonlinear seismic waveform inversion, and test model to 1D seismic waveform inversion for illuminating issue. Inversion results demonstrate that this method is more sufficient dependable and stable.

Key words:waveform inversion、multiscale inversion、Acoustic wave equation

1、引言

地震波形反演的目的是获取一个预测地震记录与实测地震记录拟合最佳的地质模型。与其他反演方法相比，其优点是反演依据充分（计算值与实测值的对比参照是波形整体），可以有效的排除偶然因素的影响，从而提高了计算的可靠性和稳定性。

地震波形反演分为线性和非线性两大类。在线性地震波形反演中，观测地震数据和速度的关系被近似线性化，而只有当初始速度在目标函数的全局极小点的邻域内时，近似线性化的关系才能成立。所以，只有当研究区域的几何结构不很复杂或者对背景速度场有很

好的先验知识时，这样做才是合理的。而且，在线性地震波形反演中，速度场的长波长分量是不能恢复出来的[1]。Mora [2]证明，在正常的地震勘探条件下，采用完全非线性地震波形反演方法，地震速度波场的所有波长分量都是可观测的。

完全非线性地震波形反演[3]将反演问题转化为一个非线性优化问题。这种方法先给出一个初速度、计算误差、迭代修正速度值，直到收敛到使优化目标函数达到极小时的速度值。但是，由于目标函数中存在大量局部极小点，在处理合成数据和实际数据时，该方法效果很差。这些局部极小点的产生主要有两个原因。一是如果初速度使得模型数据和观测数据的差距很大，将会引起运动误差；二是子波的高频分量引起多峰的相关函数。解决局部极小点问题的途径有两个：（1）将几何相关的约束条件引入目标函数。这种方法到现在为止，还没有比较成功的结果。（2）尺度分解的方法。原来的反演问题可以分解为不同尺度上的反演问题，在大的尺度上，局部极小点的数目将会大大减少。因此，可以先在大的尺度上迭代反演，得到一个比较好的速度估计，将这个速度估计作为新的初速度，再在小的尺度上迭代反演。这样可以递推反演出原问题的最优解。

对于1维介质情形，Kolb [4]等的工作做出了比较好的结果。他们的作法是：先在小的时窗内迭代反演，反演出比较好的速度值后，延长时窗，在较大的时窗内迭代反演。最后，在整个时窗内迭代反演，求得原问题的最优解。由此看来，他们的作法不是完全的尺度分解方法。另外只有通过大量的实际运算，才能知道怎样选取一个好的时窗段。Bunks [5]等人和孟鸿鹰[6]等人的工作是真正的尺度分解方法，他们分别采用多重网格法和小波变换法将地震数据分解在不同的尺度上，按尺度分解的思想进行迭代反演，得到了很好的效果。董良国[7]在其博士论文中，详细阐述了多尺度叠前地震波形反演分步反演思路，并作了实验研究。

2、经典的地震波形反演

地震波传播遵循常密度声波波动方程

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛+∂∂+∂∂=∂∂s z p x p t p v 22222221 (1) 式中，p(x,z,t)为波场函数，s(x,z,t)为震源函数，而速度v(x,z)仅为x 和z 的函数，是反演目标。波场的初始条件是：

⎪⎩⎪⎨⎧==0)0,,(0)0,,(z x p dt

d z x p (2)

其离散形式为

l m n l m n l m n l m n l m n l m n l m n l m n l m n l m n m n s z p p p x p p p t p p p v ,21,,1,2,1,,121,,1,2,2221+⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡∆+−+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆+−=∆+−−+−+−+ (3) 相应的初始条件为

⎩⎨⎧==−000,1,m

n m n p p (4) 在界面z ＝0处，采用自由边界条件。为了保证上面的数值计算框架的数值稳定性

和数值频散，抽样步长01,=−l n p ∆x,z, t 的选择要求满足下面的约束条件：

∆∆min(x, z)>∆∆2 t max(v), (5)

∆max(x, z)<∆∆max

10)

min(f v ， (6)

其中max(v)为速度模型的最大值，f max 为震源的最高频率，min(v)为速度模型的最小值。

离散的目标函数为

∑∑=∈⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡−=L l l m n l m n H m n p p v J 12

,~,),(21

)( (7)

其中p 为模型数据，是观测数据。

~p 转化为无约束的优化问题为

⎢⎢⎣⎡⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡∆+−+

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆+−+=−+−+===∑∑∑21,,1,2,1,,10,0022z p p p x p p p J S l m n l m n l m n l m n l m n l m n M m l m n N n L l λ

⎥⎥⎦

⎤

∆+−−+−+21

,,1,

2,,21t p p p v s l m n l m n l m n m n l m n

(8)

其中Lagrange 算子，满足的共轭方程为 l

m n ,λ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡∆+−∆+−=−++−2,1,,122,1

,,1,22x t v l m n l m n l m n m n l m n l m n l m n λλλλλλ

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝⎛

−+

⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆+−∆+−+l

m n l m n l

m n l

m n l

m n m n p p z t v ,~,21,,1,22

,2λλλ (9) 终值条件为

⎪⎩⎪⎨⎧−==−L m

n L m n L m n L

m n p p ,~,1,,0λλ

(10)

通过计算m

n v S ,∂∂得到离散梯度