高中数学教学案例分析(独立性检验)

高中数学人教A版选修2-3第三章3.2独立性检验的基本思想及其初步应用教学设计一、教材分析本节课是人教A版（选修)2—3第三章第二单元第二节第一课时的内容.在本课之前，学生已经学习过事件的相互独立性、正态分布及回归分析的基本思想及初步应用。

本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节，也是高考的重要考点。

在本节课的教学中，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤。

在独立性检验中，通过典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。

独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设论不成立，反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的。

因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据。

学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”。

在大数据时代，我们每天都会接触到影响生活的统计方面的信息，因此具备一些统计知识已经成为现代人已具备的一种数学素养。

二、学情分析授课对象：高二理科15班（重二班）。

知识上：学生已经学习过统计、变量回归分析等知识，这为本节课的学习提供了知识基础。

但本节课的内容独立性检验对学生来说是新的内容,为什么有这么一个方法?为什么要学习这个方法?通过课前的新闻引入可以让学生体会到本节课知识的应用性。

独立性检验相当于建立一个判别“两个分类变量之间有关系”这一结论是否成立的规则,并且给出该规则把“两个分类变量之间没有有关系”错判成“两个分类变量之间有关系”的概率。

所以首先要教会学生的是了解并初步理解这个规则,而后才是会用这个规则解决问题。

能力方面：学生具备了一定的认知、分析、归纳能力；能够进行小组活动。

但学生缺少深入探究问题的方法；运算能力和语言表达能力有待提高。

针对这个问题，课堂上我通过适时引导学生探究，鼓励学生积极展示来解决。

三、教学目标【知识与技能】通过典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想，会对两个分类变量进行独立性检验，明确独立性检验的基本步骤，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题.【过程与方法】运用数形结合的方法,借助对典型案例的探究,了解独立性检验的基本思想,总结独立性检验的基本步骤。

【情感、态度与价值观】1、本节课的学习,让学生感受数学与现实生活的联系,体会独立性检验的基本思想在解决日常生活问题中的作用;2、培养学生运用所学知识,依据独立性检验的思想作出合理推断，并给出数据证明的实事求是的好习惯。

四、教学重难点教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤。

教学难点：独立性检验的基本思想和随机变量K2的含义。

五、教学策略教学方法：诱思探究教学法。

以“问题串”的形式，层层设疑，诱思探究.用“讲授法”，循序渐进，引导学生，步步为营，螺蜁上升探究本节课的知识内容.学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

教学手段：多媒体辅助教学。

六、教学过程设计1【导入】Ⅰ、创设情境，导入新课(PPT展示)有关医学研究表明,许多疾病,例如:心脏病、肺癌、脑血管病等都与吸烟有关,吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。

设问1:这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢?我们再看下面一个问题:(案例分析) 某肿瘤研究所为了研究吸烟是否对患肺癌有影响,进行了一次随机抽样调查,共调查了9965个成年人,其中吸烟者2148人,不吸烟者7817人。

调查结果如下表所示:不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775 42 7817吸烟2099 49 2148总计9874 91 9965设问2:那么吸烟是否对患肺癌有影响呢?请给出具体的数据加以说明？师生互动：教师在组织引导学生探究解决“吸烟与患肺癌”之间的关系问题时，先复习前节所学的回归分析所能解决什么样的问题。

现在解决“吸烟与患肺癌”之间的关系问题时为什么不能应用回归分析？从而引出变量有定量变量、分类变量，定量变量—回归分析;分类变量—独立性检验，引出课题.学生通过上表的数据，独立思考，认真观察，适当交流，寻找解决问题的方法。

设计意图：好的课堂情景引入，能激发学生求知欲，是新问题能够顺利解决的前提条件之一。

从实际问题出发引入概念，提出问题有利于学生明白我们要学习这节课的必要性。

下面先来学习两个新的概念。

活动2【讲授】Ⅱ、两个新的概念问题1：我们在研究“吸烟与患肺癌的关系”时，需要关注哪一些量呢？变量有定量变量、分类变量，定量变量—回归分析;分类变量—独立性检验，引出课题.（授课PPT展示）1、分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量。

分类变量也称为属性变量或定性变量，它们的不同取值仅表示个体所属的类别，它们的取值一定是离散的，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等，有时也可以把分类变量的不同取值用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义，例如用0表示“男”，1表示“女”，性别变量就变成取值于0和1的随机变量，但是此时这些数字没有意义，比较性别变量的两个不同值之间的大小没有意义，性别变量的均值和方差也没有意义.定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义.例如身高、体重、考试成绩等，张明的身高是180 cm ，李立的身高是175 cm ，说明张明比李立高180-175=5（cm)，定量变量的数字特征，如均值和方差有实际意义.师生互动： 教师通过举例，引入分类变量这个新概念，引出课题。

设计意图：学生对分类变量与定量变量的概念不清晰，教师通过均值与方差的举例帮助学生理解两个变量。

2、列联表:像案例中这样列出的两个分类变量的频数表,称为列联表(2×2型列联表)。

一般地,对于两个研究对象X 和Y,X 有两类取值,即{X 1,X 2}(如吸烟与不吸烟),Y 有两类取值,即{Y 1,Y 2}(如患肺癌与不患肺癌),这样得到的表格称为2×2列联表:表3-8 吸烟与肺癌列联表问题2：由以上列联表，我们估计吸烟是否对患肺癌有影响？①在不吸烟者中患肺癌的比例为________；②在吸烟者中患肺癌的比例为________.问题3：我们还能够从图形中得到吸烟与患肺癌之间的关系吗？师生互动： 组织学生填空讨论问题，初步得到问题的结论.教师引导学生观察等高条形图，寻找解决问题的思路.设计意图：通过层层设疑，把学生推向问题的中心，让学生不仅仅能够直观感受，更能培养学生具有科学严谨的思维能力。

为独立性检验推导做铺垫。

活动3【活动】Ⅲ、独立性检验推导把案例中的数字用字母代替,得到如下图表示的列联表: 表3-8 吸烟与肺癌列联表不患肺癌 患肺癌 总计不吸烟 a b a+b 吸烟 c d c+d 总计a+cb+da+b+c+d问题4：我们能够从多大程度上认为吸烟与患肺癌之间有关系呢? 为了解决上述问题，我们先假设 0H ：吸烟与患肺癌没有关系. （授课PPT 展示）假设 :吸烟与患肺癌无关系,则吸烟者和不吸烟者中患癌的比例应该相等。

若等式成立 ，则假设成立，可认为吸烟与患肺癌无关系;若等式不成立 ，则假设不成立，可认为吸烟与患肺癌有关系。

问题①；||ad bc 的大小说明什么问题？师生互动：引导学生依托假设，利用若吸烟与患肺癌无关系,则吸烟者和不吸烟者中患癌的比例应该差不多相等。

从列联表中，推导出判断吸烟与患肺癌关系强弱的表达式.通过师生共同探讨与交流问题①。

设计意图：引例铺垫理解原理，突破难点。

由于要对吸烟与患肺癌之间有关系进行量化，而从正面处理此问题，困难很大，故可类比反证法来解决。

提出假设，然后再利用烟者和不吸烟者中患癌的比例关系，我们对吸烟与患肺癌之间关系强弱做出初步判断。

符合学生的认知规律,提高了他们的思维能力,体现了特殊到一般的思维方法。

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量.问题②：若0H ：吸烟与患肺癌没有关系成立，则2K 应该很小.由公式计算得到2K 的观测值为29965(777549422099)56.63278172148987491k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 这个值到底能告诉我们什么呢？ 解读临界值表表3一10师生互动：让学生知道有统一评判标准的必要性。

问题②说明观测值k 的意义。

设计意图：解读临界值表，为独立性检验规则的建立做好铺垫，突破难点。

统计学家经过研究发现，在0H 成立的情况下，2( 6.635)0.010.P K ≥≈即在0H 成立的情况下，2K 的观测值大于6.635的概率非常小，近似于0.010，是一个小概率事件，假设下小概率事件不该发生.若发生了，就有理由判断0H 不成立.实际上借助于随机变量2K 的观测值k ，建立了一个判断0H 是否成立的 规则：如果 6.635k ≥，就判断0H 不成立，即吸烟与患肺癌有关系；否则就判断0H 成立，即吸烟与患肺癌没有关系.在该规则下，把结论“0H 成立”错判成“0H 不成立”的概率不会超过2( 6.635)0.010.P K ≥≈，即有99%的把握认为0H 不成立.独立性检验定义：这种利用随机变量2K 来判断“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验.师生互动：教师通过指导学生自主阅读教材，让学生知道判断 是否成立的规则，以及独立性检验的定义。

设计意图：数学来源于生活，又服务于生活.站在前人的经验积累的大山上我们会看得更远。

4【活动】Ⅳ、独立性检验的步骤请同学们根据上例“吸烟与患肺癌的案例探究”总结“独立性检验”的具体做法步骤 第一步：根据实际问题需要列出分类变量X 和Y 的列联表(2×2); 第二步：利用公式计算随机变量K 2的观测值k; 第三步：查对临界值表得出结论.师生互动：学生在教师的引导下,进行小结。

设计意图：这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。

( 越小,原假设“ :两个分类变量没有关系”成立的可能性越大; 越大,原假设“ :两个分类变量没有关系”成立的可能性越小。

若 ,此时小概率事件发生,我们认为在一次试验中,小概率事件是不可能发生,所以假设 出错,从而接受 ;若 时,我们没有充分理由拒绝 。

) 5【活动】Ⅴ、独立性检验的基本思想练习：请思考独立性检验基本思想的形成过程，以小组交流讨论方式，完成如下表.师生互动：教师引导学生比较反证法与独立性检验基本思想的共同点与差异。