线段、角的计算与证明
最新初三数学知识点全总结
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2019-2020学年七年级数学上册《线段、角的计算与证明》单元综合检测题(新版)新人教版
2019-2020学年七年级数学上册《线段、角的计算与证明》单元综合检
测题（新版）新人教版
一、线段
1、已知线段AB=8cm ，在直线AB 上画线BC ，使它等于3cm ，则线段AC= ( )
A 、11cm
B 、5cm
C 、11cm 或5cm
D 、8cm 或11cm
2、直线l 上有A 、B 、C 三点，且AB=8cm ，BC=5cm ，求线段AC 的长
3、点A 、B 、C 、 D 是直线上顺次四个点，且AB:BC:CD=2:3:4,如果AC=10cm,求BC 的长度.
4、如图，若C 为线段AB 的中点，D 在线段CB 上，6DA ，4DB ，求CD 的长.
5、已知线段AB ＝10cm ，直线AB 上有一点C ，且BC ＝4cm ，M 是线段AC 的中点，求AM 的长.
6、已知线段AB=12cm ，在线段AB 上有点C 、D ，已知BC=4
1AB ，AD=31
AB ，求CD 、BD 的长. 7、（1）如下图，已知点C 在线段AB 上，且AC=6cm ，BC=4cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求线段MN 的的长度．
（2）在（1）中，如果AC=acm ，cm BC
b ，其它条件不变，你能猜出MN 的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律．
（3）对于（1）题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC=6cm ，BC=4cm ，点C 在直线AB 上，点A B
C D B C D A。
八年级数学专题2_与全等三角形有关的线段和角的证明及计算 练习测试
必刷题专题2 与全等三角形有关的线段和角的证明及计算刷难关知识点一求角度和线段的长度1. [2019四川成都中考，中]如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为.2. [中]正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF 的度数.3. [2018江苏常州一模，较难]如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC.（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数.知识点二角度和线段之间关系的证明4. [2020辽宁鞍山立山区月考，中]如图，在△ABC中，P是∠BAC的平分线上一点，且AC>AB，则PB，PC，AB，AC之间有什么数量关系？5. [中]在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D.求证：∠2=∠1+∠C.6. [较难]如图（1），△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.（1）当△DEF旋转至如图（2）位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA的数量关系是（2）当△DEF继续旋转至如图（3）位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.知识点三线段位置关系7. [2020浙江湖州校级月考，中]如图，已知AB∥CD，OA=OD，AE=DF，请问EB 与CF有什么样的位置关系？8. [2020甘肃兰州月考，中]如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，求证：（1）BE= DC；（2）BE⊥DC9. [2020河南漯河校级月考，较难]如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，则AM与CD有什么样的位置关系？参考答案1. 答案：9解析：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C.在△BAD和△CAE中，BAD=CAE AB=ACB=C∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，，，∴△BAD≌△CAE（ASA），∴BD=CE=9.2.答案：【解】如图，延长EB到点G，使得BG=DF，连接AG.在正方形ABCD中，∠D=∠ABC=90°，AB=AD，∴∠ABG=∠ADF=90°.在△ABG和△ADF中，AB=ADABG=ADFBG=DF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG. 又∵EF=DF+BE=BG+BE=EG，∴在△AEG和△AEF中，AE=AEGE=FEAG=AF⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG =∠EAF.∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°，∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°.解析：3.答案：（1）【证明】∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，即∠BAE=∠CAD.在△ABE和△ACD中，∵AB=ACBAE=CADAE=AD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABE≌△ACD.∴∠ABD=∠ACD.（2）【解】∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC.∵∠ABD=∠ACD，∴∠BAC=∠BDC.∵∠ACB=65°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-65°=50°，∴∠BDC=∠BAC=50°.4. 答案：【解】如图，在AC 上取点G ，使AG=AB ，连接PG.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAP=∠GAP.在△ABP 和△AGP 中，AB=AG BAP=GAP AP=AP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABP ≌△AGP （SAS ），∴PB=PG.在△PGC 中，由三边关系定理得PC-PG<CG<PC+PG.∵CG=AC-AG=AC-AB ，∴PC-PB<AC-AB<PC+PB.5. 答案：【证明】如图，延长AD 交BC 于E.∵AD ⊥BD ，∴∠BDA=∠BDE=90°.∵∠ABD=∠EBD ，BD=BD ，∴△BDA ≌△BDE （ASA ），∴∠2=∠BEA.∵∠BEA=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.6. 答案：【解】（1）∵△ABC ≌△DEF ，∴∠A=∠D.又∵∠AOD=∠A+∠AFD ，∠AOD=∠D+∠DCA ，∴∠AFD=∠DCA.（2）（1）中的结论成立.理由如下：∵△ABC ≌△DEF ，∴AB=DE ，BC=EF ，∠ABC=∠DEF ，∠BAC=∠EDF ，∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC ，即∠ABF= ∠DEC .在△ABF 与△DEC 中，AB=DE ABF=DEC BF=EC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABF ≌△DEC （SAS ），∴∠BAF=∠EDC ，∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC ，即∠FAC=∠CDF. 又∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA ，∴∠AFD=∠DCA.7.答案：【解】如图.∵AB∥CD，∴∠3=∠4.在△ABO和△DCO中，2=1AO=DO4=3∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，，，∴△ABO≌△DCO（ASA），∴OB=OC. 又∵OA=OD，AE=DF，∴EO=FO.在△EBO和△FCO中，EO=FO2=1BO=CO⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△EBO≌△FCO（SAS），∴∠EBO=∠FCO，∴EB∥CF.8.答案：【证明】（1）∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠DAE=∠CAB=90°，∴∠DAC=∠BAE.在△DAC和△EAB中，AD=AEDAC=EABAC=AB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴BE=CD.（2）设AC与BE交于点M.∵△DAC≌△EAB，∴∠ACD=∠ABE.∵∠BAC=90°，∴∠ABM+∠AMB=90°.∵∠AMB=∠QMC，∴∠QMC+∠ACQ=90°，∴∠MQC=90°，即BE⊥DC.9.答案：【解】如图，延长AM到点F，使MF=AM，交CD于点N，连接BF，EF.在△ABM和△FEM中，AM=FMAMB=FMEBM=EM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABM≌△FEM（SAS）.∴AB=FE=AC，∠ABM=∠FEM，∠BAM=∠EFM，∴AB∥EF，∴∠AEF+∠BAE=180°.∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAD+∠BAE=180°，∴∠AEF=∠CAD，在△FEA和△CAD中，FE=CAAEF=DACAE=DA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△FEA≌△CAD（SAS），∴∠EFA=∠ACD=∠BAF.∵∠BAC=90°，∴∠BAF+∠CAF=90°，∴∠ACD+∠CAF=90°，即∠ANC=90°，∴AM⊥CD.。
线与角知识点
线与角知识点在我们的数学世界中，线与角是非常基础且重要的概念。
它们不仅存在于书本中的各种几何图形里，还在我们的日常生活中随处可见。
首先，咱们来聊聊线。
线可以分为直线、射线和线段。
直线，那可是没有端点的，可以向两端无限延伸。
想象一下，一条直直的路一直延伸到天边，没有尽头，这就是直线。
直线的特点就是没有长度限制，它是“无限长”的。
射线呢，有一个端点，可以向一端无限延伸。
比如说手电筒发出的光，我们就可以把它看成是一条射线，光源那一端就是端点，而光线则向着一个方向一直跑下去。
线段就不同啦，它有两个端点，长度是固定的。
像我们常见的尺子、铅笔，都可以看作是线段。
了解了线的分类，咱们再来说说线与线之间的关系。
线与线之间有平行和相交两种情况。
平行线，就是在同一平面内，永远不会相交的两条直线。
比如铁路的两条铁轨，它们始终保持着相同的距离，不会碰到一起。
相交的线呢，当两条直线相交，会形成角。
接下来，咱们重点讲讲角。
角是由从一点引出的两条射线所组成的图形。
这个点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。
角的大小与边的长短无关，而是与两条边张开的程度有关。
张开得越大，角就越大；张开得越小，角就越小。
角通常用度数来度量，我们把半圆平均分成 180 等份，每一份所对的角的大小就是 1 度。
角可以按照大小来分类。
小于 90 度的角是锐角，像小朋友们用的三角板上较小的那个角。
等于 90 度的角是直角，像书本的角通常就是直角。
大于 90 度而小于 180 度的角是钝角，比如折扇打开较大时形成的角。
等于 180 度的角是平角，想象一下一条直线中间有个点，把直线分成了两条射线，这就是平角。
而等于 360 度的角是周角，整整转一圈形成的角就是周角。
在生活中，角的应用也非常广泛。
比如，建筑工人在搭建房屋时，需要测量角度来确保房屋的结构稳定；钟表上的指针转动，形成不同的角度，帮助我们读取时间。
我们在学习线与角的知识时，要多观察、多思考，从生活中发现它们的存在，这样才能更好地理解和掌握这些知识。
利用三角形相关知识证明线段相等的常用方法
利用三角形相关知识证明线段相等的常用方法
证明线段相等在几何题目中经常出现。
其中，利用三角形相关知识（包括内角和定理、余弦定理、正弦定理等）证明线段相等是常用的证明方法。
下面将详细介绍这些方法。
一、内角和定理法：
内角和定理是指三角形中所有内角之和为180度。
这一定理可以用于证明线段相等。
例如，若要证明线段AB与CD相等，可以先作AB和CD的连线，构成三角形ABC和三
角形CBD。
通过内角和定理可以得出∠ACB和∠CDB的和为180度。
若又已知∠ABC和∠CBD 的和为180度，那么两个三角形中剩下的角必然相等。
因此可以得出线段AB与CD相等的
结论。
二、余弦定理法：
余弦定理是指在一个三角形中，若其中一边为c，而其余两边为a和b，那么三角形的任意一个角度所对应的角度的余弦值可以通过以下公式计算：
cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab
如果要证明线段AB与CD相等，可以根据余弦定理计算出三角形ABC和三角形DCB中
所对应的角的余弦值。
因为两个三角形中有一个角相等，所以它们所对应的角的余弦值也
相等。
这样可以得出三角形ABC中AB的长度与三角形DCB中DC的长度相等的结论。
sinC = c / (2R)
其中，R为三角形的外接圆半径。
以上就是利用三角形相关知识证明线段相等的常用方法。
不同的证明方法适用于不同
的情况，而且证明方法并不局限于以上三种方法。
所以在实际应用中，需要根据具体问题
来选择合适的证明方法。
线段、角的认识
线段、角的认识◆ 锐角：大于0°，小于90°的角 ◆ 直角：等于90°的角 ◆ 钝角：大于90°而小于180°的角 ◆ 平角：等于180°的角 ◆ 周角：等于360°的角 【与角相关的概念】◆ 角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
◆ 余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角. 同（等）角的余角相等。
◆ 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角。
同（等）角的补角相等。
【有关线段的计算】1. 延长线段AB 到C ，使AB BC 23=，反向延长线段AB 到D ，使BC DA 32=，若AB=10cm ，求CD 长。
2. 已知三条线段a 、b 、c 在同一条直线上，它们有共同的起点，线段a 的终点是线段b的中点，线段c 的中点是线段b 的终点，且cm c b a 7=++，求a 、b 、c 的长？3. 已知A 、B 、C 三点，在一条直线上，且线段AB 之长为16，当D 是BC 的中点时，线段AD 之长为12.5，试求BC 之长。
4. 已知：如图，AB=10cm ，C 为AB 上任一点，D 、E 分别为AC 、BC 中点，求DE 长。
5. 如图，线段AB 和CD 的公共部分CD AB BD 4131==，线段AB 、CD 中点分别为E 、F ，E 、F 两点间距离为20cm ，求AB 、CD 的长？【有关角度的计算】6. 如图：已知两直线AB 和CD 相交于O, OF 平分∠AOC, OE ⊥OF ，∠COE=20°，求∠AOD 的度数。
7. 如图，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOM 内部，OE 是∠BOC 的平分线，已知∠AOC=80°，求∠MOE 的度数。
七年级上册几何图形初步复习1
一.直线、射线、线段1、直线经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简述为：两点确定一条直线. 直线有两种表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母表示. 平面上一个点及一条直线的位置有什么关系？ ①点在直线上；②点在直线外. 一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点，一个点在直线外，也可以说这条直线不经过这个点.当两条直线有一个共公点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.2、射线和线段直尺给我们线段的形象，手电筒发出的光给我们射线的形象，射线和线段都是直线的一部分.图①中的线段记作线段AB 或线段a ；图②中的射线记作射线OA 或射线m.B A 直线AB· l直线点在直线· B · 点在直线A O b a· a · B A O A m · ②①注意：用两个大写字母表示射线时，表示端点的字母一定要写在前面.直线、射线和线段有什么联系和区别联系：线段、射线都是直线的一部分，将线段向一端延长得到射线，向两端延长得到直线，将射线向另一方向延长得到直线，它们都有“直”的特征，它们都可以用一个小写字母或两个大写字母来表示.区别：直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点；直线可以向两个方向延伸，射线可以向一个方向延伸，线段不能再延伸；表示直线和线段的两个大写字母可以交换位置，而表示射线的两个大写字母不能交换位置.3、比较两条线段的长短⑴.度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度从而进行比较.⑵.叠合法：把一条线段移到另一条线段上，使一端重合，从而进行比较.如：线段AB 及线段CD 比较，且A 及C 点重合，则有以下几种情况：①B 及D 重合，两条线段相等，记作：AB ＝CD ．②B 在线段CD 内部，则线段CD 大于线段AB ，记作：CD>AB ．③B 在线段CD 外部，则线段CD 小于线段AB ，记作：CD<AB ．4、线段的中点及等分点如图（1），点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 及BM ，点M 叫做线段AB 的中点．记作AM=MB=1/2AB如图（2），点M 、N 把线段AB 分成相等的三段AM 、MN 、NB ，点M 、N 叫做线段AB 的三等分点．类似地，还有四等分点，等等． 5、线段的性质 两点的所有连线中，线段最短。
角平分线分线段成比例定理证明
角平分线分线段成比例定理是初中数学中的一个重要定理，它是在平面几何中关于角平分线和分线段的一个重要性质。
下面我们将从基本概念出发，逐步推导证明这个定理，让大家对它有一个清晰的认识。
1. 角平分线的基本概念我们要了解什么是角平分线。
在平面几何中，如果一条直线将一个角分成两个相等的角，那么这条直线就被称为这个角的角平分线。
这是一个基本概念，也是理解角平分线分线段成比例定理的基础。
2. 角平分线分线段成比例定理的表述角平分线分线段成比例定理是指：在三角形中，如果一条角的平分线与对边相交，那么它把对边分成的两条线段的比等于另外两个边的比。
设在△ABC中，AD是角A的角平分线，D点在BC边上，那么有AB/AC=BD/DC。
3. 角平分线分线段成比例定理的证明接下来，我们来证明角平分线分线段成比例定理。
画出△ABC和角A的角平分线AD，再过点D作DE⊥AC，连接BE和CD。
4. 证明角AEB与角CED相似根据平行线性质，我们可以得出角AEB与角CED相似。
因为角AED为直角，所以三角形AED为直角三角形。
而根据直角三角形的性质，我们知道DE²=AD*DC。
5. 利用相似三角形的性质根据相似三角形的性质，我们可以得出AD/AB=CD/BC。
结合步骤4中的结论，我们可以得到AB/AC=BD/DC。
也就是说，我们证明了角平分线分线段成比例定理。
6. 定理应用举例在实际问题中，角平分线分线段成比例定理经常被用来解决各种与三角形相关的问题。
利用这个定理可以很容易地证明角平分线定理、外角平分线定理等相关定理，也可以用来计算各种角平分线上的长度比。
通过以上的证明过程，我们对角平分线分线段成比例定理有了一个清晰的认识。
这个定理在初中数学中占据着重要的位置，它不仅是理论学习的基础，也有着广泛的应用价值。
希望大家通过学习，能够深入理解这个定理，并灵活运用到实际问题中去。
7. 角平分线分线段成比例定理的重要性角平分线分线段成比例定理是三角形的基本性质之一，它在解决三角形相关问题中起着重要的作用。
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。
3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。
4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。
此时，添线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。
参考例4、例5、例6。
例1 AD是△ABC的中线，ABEF和ACGH是分别以AB和AC为边向形外作的正方形。
求证：FH=2AD证明：延长AD至N使AD=DN则ABNC是平行四边形∴CN=AB=FA AC=AH又∠FAH+∠BAC=180°∠BAC+∠ACN=180°∴△FAH≌△NCA ∴FH=AN ∴FH=2AD例2、△ABC中，∠B=2∠C，AD是高，M是BC边上的中点。
求证：DM=12 AB证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN 则 MN ∥AC ∠1=∠C ∠2=∠B ∴∠2=2∠1 ∴∠1=∠DNM ∴DM=DN又 AN=DN=ND ∴DM=12 AB例3 △ABC 中，AB=AC ，E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且DB=AC 。
求证：CD=2CE证明：过B 作CD 的中线BF则 BF ∥12 AC ∠A=∠DBF∵AB=AC ，E 是AB 的中点∴BF=AE又DB=AC ∴△AEC ≌△BFD ∴DF=CE ∴CD=2CE作业：1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，求证：AF=12 FC2、AB 和AC 分别切⊙O 于B 和C ，BD 是直径。
求证∠BAC=2∠CBD3、圆内接△ABC 的AB=AC ，过C 作切线交AB 的延长线于D ，DE 垂直于AC 的延长线于E 。
全等三角形的及其相应的线段、角相等的证明方法[技巧]
![全等三角形的及其相应的线段、角相等的证明方法[技巧]](https://img.taocdn.com/s3/m/e08cc75032687e21af45b307e87101f69e31fb8b.png)
全等三角形的及其相应的线段、角相等的证明方法知识点：全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形知识点：对应顶点，对应边，对应角要点诠释：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。
知识点：全等三角形的性质要点诠释：全等三角形对应边相等，对应角相等知识点：三角形全等的判定定理（一）要点诠释：三边对应相等的两个三角形全等。
简写成“边边边”或“SSS”知识点：三角形全等的判定定理（二）要点诠释：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
简写成“边角边”或“SAS”知识点：三角形全等的判定定理（三）要点诠释：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”知识点：三角形全等的判定定理（四）要点诠释：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
简写成“角角边”或“AAS”知识点：直角三角形全等的判定定理要点诠释：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简写成“斜边、直角边”或”三、规律方法指导1．探索三角形全等的条件：（1）一般三角形全等的判定方法有四种方法：①边角边（SAS）；②角边角(ASA);③角角边(AAS);④(SSS).（2）直角三角形的全等的条件:除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判定方法外，还有一种重要的判定方法，也就是斜边、直角边（HL）判定方法.2．经验与提示：⑴寻找全等三角形对应边、对应角的规律①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．③有公共边的，公共边一定是对应边．④有公共角的，公共角一定是对应角．⑤有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)⑵找全等三角形的方法①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；②可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
中考数学解答题之四边形的有关证明与计算
考点 4
平行四边形、特殊的平行四边形
【例 4】 （梅州）如图，在△ABC 中，点 P 是边 AC 上的一个动点，过点 P 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于 点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F． (1)求证：PE＝PF； (2)当点 P 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE 可能是菱形吗？说明理由； (3)若在 AC 边上存在点 P，使四边形 AECF 是正方形，且 AP 3 ＝ ．求此时∠A 的大小． BC 2 A E P F
重点、难点
2.线角的证明与计算. 难点：证明与计算的综合运用
考点及考试要求
会解决中考之第 20 或 21 题---有关于四边形的有关证明与计算（以及三角形）
教学内容
【考点链接】
一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
2024年人教版七年级上册数学期末复习专项突破10线段、角的计算的四种常见类型
所以 AE ＝ AB ＝1.5 x ， CF ＝ CD ＝2 x .
所以 EF ＝ AC － AE － CF ＝2.5 x .
因为 EF ＝20，所以2.5 x ＝20，解得 x ＝8.
所以 AB ＝24， CD ＝32.
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类型4角平分线在计算中的应用
DE 的长；
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解：(1)因为 AB ＝10 cm， AC ＝4 cm，
所以 BC ＝ AB － AC ＝6(cm).
因为点 D ， E 分别是线段 AC 和 BC 的中点，
所以 CE ＝ CB ＝3
cm， DC ＝ AC ＝2
所以 DE ＝ DC ＋ CE ＝2＋3＝5(cm).
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(1)如图①，当∠ COD 的边 OD 在∠ AOB 内部时，若
∠ COE ＝40°，求∠ BOD 的度数；
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解：(1)因为∠ COD ＝90°，∠ COE ＝40°，
所以∠ DOE ＝∠ COD －∠ COE ＝90°－40°＝50°.
因为 OE 平分∠ AOD ，
如图②，当点 P 在点 B 右侧时，
②
根据题意可得，2 t ＋2＝2(2 t －6)，解得 t ＝7.
综上， t 的值为 或7.
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线段与角的度量
线段与角的度量线段与角是几何学中的重要概念，它们的度量方法是我们学习几何的基础。
在本文中，我们将探讨线段的度量和角的度量，并介绍一些相关的概念和定理。
一、线段的度量在线段的度量中，我们常用长度来表示线段的大小。
长度是指从线段的一个端点到另一个端点的距离。
为了方便起见，我们通常使用单位长度来度量线段，如厘米、米等。
线段的度量有以下几个特点：1. 两个等长的线段具有相等的度量。
2. 线段度量的加法和减法满足数学中的加法和减法规则。
3. 线段度量可用于解决实际问题，比如计算周长、面积等。
二、角的度量角是由两条射线共享一个公共端点形成的图形，我们用它来描述物体之间的相对位置和方向。
角的度量通常用弧度或度数来表示。
1. 弧度制弧度制是一种角度度量方式，它以线段的弧长与半径的比值来表示角的大小。
其中，弧度是单位长度为半径的圆弧所对应的角度大小，符号常用rad表示。
一周的角度为360°，对应的弧度为2π rad。
2. 度数制度数制是我们常用的度量方式，它将一周的角度平均分为360等份，每份为1°。
我们可以使用直尺或量角器来度量角的大小。
三、相关定理和概念1. 同位角同位角是指两条平行线被一条截线所切割形成的对应角，它们的度数相等。
2. 全角全角是指平面内一条射线绕着一个固定端点旋转一周所成的角，它的度数为360°或2π rad。
3. 余角余角是指与给定角相加等于全角的角。
结语通过本文，我们了解了线段和角的度量方法，以及相关的定理和概念。
线段和角的度量在几何学中起着重要的作用，它们不仅可以用来描述实际问题，还可以应用于解决各种几何推理和证明问题。
因此，掌握线段和角的度量方法对于学习和应用几何知识具有重要意义。
《角的分类》线和角
计算面积和周长
在一些几何图形中，如多边形 ，可以通过测量各个内角和外 角的大小来计算其面积和周长
。
在日常生活中的应用
确定方向
在日常生活中，我们经常使用角来确定方向。例如，指 南针中的磁针指向地球的磁北极，形成一个90度的角 ，帮助我们确定方向。
建筑和设计
在建筑和设计中，角被用来确定形状和结构。例如，在 建筑学中，通过使用不同的角度和线条设计出各种风格 的建筑。
曲线的性质
曲线是有弯曲的，没有断点，不能向两个方向无限延伸。
线的分类
直线
一条直线的两端可以无限延伸，它没有弯曲的部分。
曲线
一条曲线的两端不能无限延伸，它有弯曲的部分。
02
什么是角
角的定义
角是由两条射线或线段公共端点为端点所组成的图形。
这两条射线或线段称为角的边，公共端点称为角的顶点。
角的表示方法
对角线是连接一个顶点和另一个不相邻顶点的线段，是图形的基本元素之一。在平行四边形、梯形等几何图形 中，对角线起到重要的作用。通过画对角线，我们可以将一个大的图形划分为两个小的三角形或四边形，从而 更容易地研究图形的性质和特点。
例子
在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD将平行四边形划分为两个三角形△ABC和△BCD。通过对角线的划分， 我们可以研究平行四边形的性质和特点，如平行四边形的对边相等、对角相等等。
详细描述
周角是等于360度的角。它是由一条射线绕其端点旋 转360度形成的。周角的补角是周角减掉360度，等于 0度。
04
角的应用
在几何学中的应用
确定形状和大小
在几何学中，角是确定形状和 大小的重要元素。例如，在三 角形中，通过测量三个内角的 大小，可以确定其形状和大小
几何题线段计算初一数学及答案
几何题线段计算初一数学及答案
1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。
常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；
（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。
说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。
我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。
证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。
（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。
（3）证明二直线的夹角等于90°。
2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。
“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。
怎样证明两线段相等与两角相等
⒍ 怎样证明两线段相等与两角相等【重点解读】证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型，主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力，其综合证明难度有所降低，但增加了探索的思维过程. 解决此类问题的关键是：正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定，正确添加辅助线，进行几何证明的叙述.⒈ 怎样证明两线段相等证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：⑴ 三角形①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；⑵ 证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；⑶ 圆①同圆或等圆的半径相等；②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；⑷ 等量代换：若a=b ，b=c ，则a=c ；等式性质：若a=b ，则a －c=b －c ；若cb c a ，则a=b. 此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比 例的性质等证明线段相等.⒉ 怎样证明两角相等证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：⑴ 同角（或等角）的余角、补角相等；⑵ 证明两直线平行，同位角、内错角相等；⑶ 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；⑷ 全等三角形、相似三角形的对应角相等；⑸ 同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；⑹ 平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等；⑺ 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等；⑻ 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；⑼ 从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；⑽ 圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角；⑾ 通过计算证明两角相等；⑿ 等量代换，等式性质.【典题精析】例1已知：如图，分别延长菱形ABCD 的边AB 、AD 到点E 、F ，使得BE ＝DF ，连结EC 、FC ．求证：EC ＝FC ．分析一要证明EC ＝FC ，可通过证明△BCE ≌△DCF ，条件为边角边 证明一 ∵菱形ABCD ，∴BC=DC ，∠ABC=∠ADC ∴∠CBE=∠CDF (等角的补角相等) 又∵BE ＝DF ， ∴△BCE ≌△DCF ， ∴EC ＝FC. 分析二 连结AC ，证明△ACE ≌△ACF ，条件也为边角边证明二 连结AC ，∵菱形ABCD ，∴AB=AD ，∠BAC=∠DAC ，（菱形的对角线平分一组对角）∵BE=DF ∴AE=AF （等式性质），又AC=AC∴△ACE ≌△ACF ，EC ＝FC.通过证三角形全等来证明两线段（或两角）相等是常用的方法，关键是根据已知条件及图形找到对应的三角形和满足全等的条件，图形有的翻折全等，有的旋转全等，有的平移全等，有的是三者的综合形式，该问题是翻折型全等.例2已知：AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC ，过点C 作直线CD ⊥AB于点D ，E 是AB 上一点，直线CE 与⊙O 交于点F ，连结AF ，与直线CD 交于点G .求证：⑴∠ACD=∠F ；⑵AC 2=AG ·AF.分析 要证明∠ACD=∠F ，可通过角之间的转化，已知中AB 是⊙O 的直径是关键的条件，连结BC ，得∠ACB=90°， ∠ACD=∠B （直角三角形母子三角形中的对应角相等）， ∠F=∠B ，（同弧所对的圆周角相等）. 证明：⑴连结BC ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），即∠ACD+∠DCB=90°∵CD ⊥AB ∴∠DCB+∠B=90°，∴∠ACD=∠B （同角的余角相等）∵∠F=∠B ，∴∠ACD=∠F （等量代换）.⑵略证明线段相等或角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与它们都相关或都有联系的线段或角作为桥梁，实现线段之间的转化或角之间的转化，从而证明它们的等量关系. 直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.例3已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A且∠ADE=∠BDC. ⑴求证：△ABC 为等腰三角形；⑵若AE=6，BC=12，CD=5，求AD 的长. 分析 条件∠ADE=∠BDC 的转化：∠ADE=∠ABC ，（圆的内接四边形的外角等于内对角）∠BDC =∠BAC （同弧所对的圆周角相等），可得∠ABC=∠BAC ，△ABC 为等腰三角形. 证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADE=∠ABC ，∵∠BDC =∠BAC ，又∵∠ADE=∠BDC∴∠ABC=∠BAC ∴CA=CB （等角对等边）即△ABC 为等腰三角形 .例4已知：如图，正△ABC 的边长为a, D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E使BE=CD ，连结DE ，交BC 于点P.⑴ 求证：DP=PE ；⑵ 若D 为AC 的中点，求BP 的长.（略）分析 要证明DP=PE ，DP 、PE 不在同一三角形中，考虑证三角形全等，但两线段居于的三角形不全等， 故考虑添加辅助线——平行线，构筑全等的三角形. ⑴ 证明：过点D 作DF ∥AB ，交BC 于F∵△ABC 为正三角形 ∴∠CDF=∠A=60∴△CDF 为正三角形，DF=CD 又BE=CD ，∴BE=DF 又DF ∥AB ，∴ ∠PEB=∠PDF在△DFP 和△EBP 中，有：∠PEB=∠PDF ，∠BPE=∠FPD ，BE=FD∴△DFP ≌△EBP ，∴DP=PE.添加辅助线是几何证明和计算中常用的方法，通常有作平行线、作垂线、连结两点、延长线段相交等，正确添加辅助线是解决问题的关键.该问题中添加平行线有多种方法，可以自所证线段的各分点处作平行线，如：过点D 作DF ∥BC ，过点E 作EF ∥AC 等.思考：若将条件正△ABC 改为等腰△ABC ，AB=AC ，结论DP=PE 是否仍成立？若将条件正△ABC 改为等腰△ABC ，CA=CB ，结论DP=PE 是否仍成立？例5已知：△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 是垂足，求证：⑴G 是CE 的中点；⑵∠B=2∠BCE.分析：⑴已知中多垂直和中线条件，可联想直角三角形斜边上的中线性质； 要证明G 是CE 的中点，结合已知条件DG ⊥CE ， 符合等腰三角形三线合一中的两个条件， 故连结DE ，证明△DCE 是等腰三角形，由DG ⊥CE 可得G 是CE 的中点.⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE ，∠B 转化为∠EDB.证明：⑴连结DE ，∵∠ADB=90°，E 是AB 的中点，∴DE=AE=BE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），又∵DC=BE ，∴DC=DE ，又∵DG ⊥CE ，∴G 是CE 中点（等腰三角形底边上的高平分底边）.⑵∵DE=DC ，∴∠DCE=∠DEC （等边对等角），∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE （三角形的外角等于两不相邻内角的和），又∵DE=BE ，∴∠B=∠EDB ，∴∠B=2∠BCE直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.例6如图，⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ，给出下列4个结论：①CE=CF ；②∠ACB=∠EDF ；③DE 是⊙O 的切线；④D A =D B ； 其中一定成立的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D . ①②④分析 ①可证得△CDF ≌△CDE ，得CE=CF 成立；②∠ACB 和∠EDF （无直接关系，找相关的角）：∠ACB 与∠ACE 邻角互补，∠EDF 也和∠ACE 互补(四边形的内角和360°)，同角的补角相等，即∠ACB=∠EDF ； ④D A 所对的圆周角为∠DCA ，D B 所对的圆周角为∠DAB ，∵∠DAB=∠DCE （四边形的外角等于不相邻的内角），又∠DCA=∠DCE ，∴∠DCA=∠DCE ，D A =D B ，故选D.一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题.【智能巧练】⒈ ⑴如图，△ABC 中，∠B 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点D ，则∠D 与∠A 的比是________AB C E D B CPP'A⑵如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ＇重合. 如果AP=3，那么PP ＇的长为_______.⒉ ⑴如图，∠B 、∠C 的平分线交于点P ，过点P 作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，则( )A. EF=EB+FCB. EF>EB+FCC. EF<EB+FCD. EF 与EB+FC 的大小不能确定⑵在Rt △ABC 中，AF 是斜边BC 上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC 的长为（ ） A. 3 B. 33 C .2 D.32 P F EC B A F DCB A⒉⑴ ⒉⑵⑶在△ABC 中，∠B=2∠C ，则（ ）A. 2AB=ACB. 2AB>ACC. 2AB<ACD. 不能确定⑷在⊙O 中，如果D C 2B A ，那么弦AB 与CD 的大小关系是( )A. AB=2CDB. AB>2CDC. AB<2CDD. 不能确定⒊ 如图，已知：平行四边形ABCD 中，E 是CA 延长线上的点，F 是AC 延长线上的点，且AE=CF求证：⑴∠E=∠F ；⑵BE=DF⒋ 如图，△ABC 中，高BD 、CE 交于点F ，且CG=AB ，BF=AC ，连接AF ，求证：AG ⊥AFF GEDB C A M D E FC B A第4题 第5题 第6题⒌ Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 上任意一点，DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，垂足分别为F 、E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并说明之.⒍ 如图，AB 是⊙O 的直径，DC 切⊙O 于C ，AD ⊥DC ，垂足为D ，CE ⊥AB ，垂足E 求证：CD=CE.⒎ 已知：如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D. 延长DA交△ABC 的外接圆于点F.⑴求证：FB=FC ；⑵若FA AD ==FB 的长.H N M C D B A第7题 第8题⒏ 梯形ABCD 中AB//CD ，对角线AC 、BD 垂直相交于H ，M 是AD 上的点，MH 所 在直线交BC 于N. 在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论 组成一个正确的命题，并证明这个命题. ①AD=BC ②MN ⊥BC ③AM=DM【探索创新】⒈ 探求：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和，并证明：距离之和是一个定值已知：如图，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，探求证明：PE ＋PF 为定值.分析 探索定值由P 在BC 上任意性知，当P 移动到顶点C 时，PE 即为C 到AB 的距离，PF 为0， 此时PE+PF 等于C 到AB 的距离.故作高CD ，猜想PE+PF 等于一腰上的高.证明定值截长或补短法 过点P 作PG ⊥CD 于G ，易证得矩形DEPG ，得PE=DG ；同时易证△CPG ≌△PCF ，得PF=CG ， ∴PE+PF=DG+CG=CD.面积法题中有多个与高有关垂直关系，又AB=AC ，联想面积法连结AP ，21S ΔABC =AB ·CD ，21S ΔABP =AB ·PE ，21S ΔAPC =AC ·PF ∵ΔABC S =ΔABP S +ΔAPC S ，即AB ·CD= AB ·PE+ AC ·PF又AB=AC∴PE ＋PF= CD.运用动点移动的方法构造特殊的图形位置，是探索定值问题常用的行之有效的方法⒉⑴求证：等腰三角形底边延长线上的任意一点到两腰的距离之差是定值⑵求证：等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值【答案点击】F3；⒉⑴A ⑵⑶B ⑷C；⒊证明△ABE≌△CDF，或连结⒈⑴1∶2 ⑵2ED、FB，证明平行四边形EBFD；⒋证明△CAG≌△BFA，∴∠G=∠BAF，∵∠G+∠GAE=90°，∴∠BAF+∠GAE=90°，∴AG⊥AF；⒌△MEF是等腰Rt△，连结AM，证△AME≌△BMF ⒍连结AC，由DC切⊙O于C，得OC⊥DC，∵AD⊥DC，∴AD//OC，可证得AC是∠DAB的角平分线，得CD=CE ⒎⑴∵∠DAC=∠FBC，∠EAD=∠FAB=∠FCB，∵∠DAC =∠EAD，∴∠FBC=∠FCB ⑵证明△FBA∽△FDB，得FB=6 ⒏题设①②结论③证明略⒎怎样证明关于线段的几何等式【重点解读】线段的几何等式，主要涉及线段的倍分关系式、和差关系式、比例式、等积式等.证明线段倍分关系的定理和方法有：三角形和梯形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、特殊四边形的性质等；探索、证明线段的倍分关系式，一般转化为证明线段的相等关系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法. 证明线段的和差关系式，一般思路将线段加长或截短，转化为证明线段相等，利用等量代换或等式性质.证明线段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四条线段放入两个三角形，如果这两个三角形相似，且所给线段是对应线段，则问题得证；如果找不到两个三角形，或者找到的三角形不相似，可考虑将四条线段中的某些线段进行等量代换，再按上述方法探求证明；如果明显没有等量线段可替换，可找中间比.证明线段等积式的一般思路：先看等积式是否满足有关定理（射影定理、圆幂定理），如果满足，则结论成立；如果不满足，可把等积式化成比例式、或替换部分后化成比例式，再按比例式的证明方法证明.证明过程中常用的定理和性质有：比例性质、相似三角形的判定和性质、射影定理、圆幂定理、平行线分线段成比例定理.【典题精析】例1已知：E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结Array AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连结OF，求证：AB=2OF.分析题中平行四边形条件可利用平行四边形的性质，且中点条件居多，可考虑用中位线证明：连结BE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AO=CO，∵CE=DC ∴AB∥＝CE，∴四边形ABEC为平行四边形，∴BF=FC，∴OF∥AB，∴AB=2OF线段之间的倍分关系式，常联想用中位线定理.例2已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：⑴若B 、C 两点分别在AE 的异侧，BD=DE+CE ；⑵若B 、C 两点分别在AE 的同侧，其余条件不变，则BD 与DE 、CE 的关系如何，证明你的猜想.DE BC AC B EA D分析 ⑴一条线段等于两线段之和，这里可找到与BD 相等的线段AE ，易证得△BAD ≌△ACE ，同时AD=CE ，故BD=AE=AD+DE= CE + DE （等量代换），问题得证.⑵同理，易证得△BAD ≌△ACE ，故BD+CE=AE+AD=DE.证明：略例3如图，△ABC 內接于圆，D 是弧BC求证：ACAD AE AB = 分析 要证明这四条线段成比例，可放入两三角形△ABD 、△AEC ，证三角形相似，条件有两个：∠D=∠C ，∠BAD=∠CAD 证明：∵D 是弧BC 的中点，∴∠BAD=∠CAD ∵∠D=∠C ，∴△ABD ∽△AEC ∴ACAD AE AB = 例4已知：如图，等腰△ABC 的顶角为锐角，以腰AB 为直径的圆交BC 于D ，交AC 于E ，DF ⊥AC ，垂足为F 求证：FA FE DF 2⋅= 分析一把线证两三角形相似 证明一 连接AD 、DE ， ∵AB 为直径， ∴∠ADC=∠ADB=90°，在△DEF 和△ADF 中，∠AFD=∠DFE=90°∠DEF=∠ABC=∠C ，∠ADF=90°－∠DAC=∠C ，∴∠DEF=∠ADF ，∴△DEF ∽△ADF ，∴FDEF FA DF =，即FA FE DF 2⋅=.分析二 由射影定理知FA CF DF 2⋅=，转化为证明EF=FC证明二 连结AD 、DE ，∠ADC=∠DFC=90°，∠C=∠C ，∴△ADC ∽△DFC ，CFDF DF AF =，即FA CF DF 2⋅=. 在△DEF 和△DCF 中，∠DFE=∠DFC=90°，∠DEF=∠ABC=∠DCF ，DF=DF ，∴△DEF ≌△DCF ，∴EF=FC ，∴FA FE DF 2⋅=分析三 证明DF 是切线，由切割线定理即得证明三 连结OD ，则OB=OD ，∴∠ODB=∠OBD=∠ACB ，∴OD ∥AC ，又DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线，∴FA FE DF 2⋅=解题时，要充分利用已知条件，已知条件中的特殊条件更要发掘其内涵，注意条件之间的内在联系的运用.例5已知：BC 为圆O 的直径，AD ⊥BC 垂足为D ，过点B 作弦BF 交AD 于点E交半圆O 于点F ，弦AC 与BF 交于点H ，且A 为弧BF 的中点.求证：⑴AE=BE⑵AH ·BC=2AB ·BE.分析⑴AE 、BE 在同一三角形中，易证等角对等边 ⑵等积式中的四条线段分散在很多三角形中， 可将它们相对集中在两三角形△AFH 、△BCH 中， AB 转化为AF （等弧对等弦）；系数2的思考：Rt △ABH 中， AE=BE ，反之易证BH=2BE证明：⑴略，⑵连结AF ，可证得△AFH ∽△BCH ，BHAH BC AF =， 又可证得AB=AF ，AE=EH=BE ，BH=2BE ， ∴2BE AH BC AB =，∴AH ·BC=2AB ·BE 例6如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是C A 上一点（点P 不与A 、C 两点重合），连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，下列四个结论： ⑴C A D A = ⑵∠EPC=∠APD ⑶DP DF AD 2⋅= ⑷BH AH CH 2⋅=正确的有_____.分析 ⑴直径AB 垂直于弦CD，由圆的轴对称性得C A D A =；⑵∠EPC 是圆的内接四边形的外角，∠EPC=∠ADC∠ADC=∠APD （等弧所对的圆周角相等），∴∠EPC=∠APD ⑶若DP DF AD 2⋅=成立，则△DAF ∽△DPA ， 但两三角形显然不相似（∠DAF ≠∠DPA ），故⑶不成立； ⑷由圆内成比例线段知，⑷显然成立； ∴正确的有⑴、⑵、⑷.【智能巧练】⒈ ⑴在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，F 是AC 上的一动点，则EF+BF 的最小值为_________.⑵已知：O 为△ABC 内的一点，过点O 作EF 、、CA ，交AB 、BC 、CA 于点P 、E 、H 、Q 、F 、G ，则=++AB PE CA FG BC HQ _______. ⒉ 选择： ⑴如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连接EF交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）A. AE ⊥AFB. EF ∶AF=2∶1C. FE FH AF 2⋅=D. FB ∶FC=HB ∶ECHA DEC B F AD第⑴题 第⑵题 第⑶题⑵如图，正△ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧BC 上任意一点，PA 与BC 交于E ，有如下结论:①PA=PB+PC ②PA ·PE=PB ·PC ③PC1PB 1PA 1+= 其中正确结论的个数有( )A.3个B.2个C.1个D.0个⑶如图，已知⊙1O 与⊙2O 外切于点C ，AB 是两圆的外公切线，切点为A 、B ，分别延长AC 、BC 交⊙2O 于点E ，交⊙1O 于点D ，下列结论，正确的有（ ）个①AD 为⊙1O 的直径 ②AD ∥BE ③AC ·BC=DC ·CE ④AC ·AE=BC ·BD A.1 B.2 C.3 D.4⒊ 已知：如图，设D 、E 分别是△ABC 外接圆的弧AB 、AC 的中点，弦DE 交AB 于点F ，交AC 于点G ,求证：AF ·AG=DF ·EG..GFDBC EABFA第3题 第4题⒋ ⊙O 的两条割线AB 、AC 分别交⊙O 于D 、B 、E 、C ，弦DF ∥AC 交BC 圆于G . 求证：⑴AC ·FG=BC ·CG;⑵若CF=AE ，求证：△ABC 是等腰三角形.⒌ ⑴如图，已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F （不与B 重合），直线l 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连结AC 、AD ． 求证：①∠BAD ＝∠CAG ；②AC ·AD ＝AE ·AF ．⑵在问题⑴中，直线l 向下平行移动，与⊙O 相切，其他条件不变． ①请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母；②问题⑴中的两个结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．【探索创新】已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于M ，点E 是B C A上一动点.⑴ 如图1，若DE 交AB 于N ，交AC 于F ，且DE=AC ，连结AD 、CE ，求证：①∠CED=∠ADE ②2DN =NF ·NE⑵ 如图2，若DE 与AC 的延长线交于F ，且DE=AC ，那么2DN =NF ·NE 的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由.BO A 图（2）· 图(1)BO A FD C GE l·EA图1 图2⑴证明：①∵DE=AC ，∴C A E D =，D C E A=∴∠CED=∠ADE ②连结CN∴CN=DN ， ∠NCF=∠ADE （圆的轴对称性质） ∵∠CED=∠ADE ，∠CNF=∠ENC ∴△NCE ∽△NFC ∴NCNE NF NC =，NF NE NC 2⋅= ∴2DN =NF ·NE【答案点击】⒈⑴连接DF ，由菱形的轴对称性知DF=BF ，要使EF+BF 最小，必两点之间线段最短，DE 长就是，DE=33 ⑵1 ⒉⑴ B ⑵ B ⑶ D ⒊连接AD 、AE ，证△ADF ∽△EAG ⒋连结CF ，证△ACB ∽△CGF ⒌⑴①略，②连结DF ，可证得△ACE ∽△AFD ，⑵结论仍成立.。
线段的长度与角度的度量
地理测绘
在地理测绘中，通过测量 地球表面的各种线段长度 ，可以绘制出准确的地图 和地理信息。
工业生产
在工业生产中，长度度量 被广泛应用于产品制造、 质量检测等环节，以确保 产品的精度和一致性。
03
角度的度量
角度度量的基本方法
量角器的使用
量角器是度量角度的基本工具，通过 将其上的刻度与待测角度对齐，可以 直接读取角度值。
掌握线段长度与角度的度量方法
通过学习和实践，掌握各种线段长度与角度的度量方法，提高几何问题的解决 能力。
线段与角度的基本概念
01
02
03
线段
两个端点之间的所有点的 集合，具有长度、方向和 位置等属性。
角度
两条射线或线段在一个平 面上相交形成的夹角，其 大小由夹角的度数或弧度 来衡量。
度量单位
线段的长度通常用长度单 位（如米、厘米等）来度 量；角度的大小通常用度 或弧度来度量。
06
总结与展望
本次研究的主要成果
1
提出了基于计算机视觉的线段长度和角度度量算 法，实现了自动化、高精度的测量。
2
通过实验验证了算法的准确性和可靠性，证明了 其在不同场景下的适用性。
3
探讨了线段长度和角度度量在实际应用中的意义 和价值，为相关领域的研究提供了新思路。
对未来研究的展望
深入研究计算机视觉技术在线段长度和角度度量中的应 用，提高算法的精度和效率。
在圆中，弧长与圆心角的大小成正比，弧长越长 ，所对应的圆心角越大。
在多边形中，边长和角度共同决定了多边形的形 状，线段长度的改变会导致角度的变化。
角度对线段长度的影响
01
在直角三角形中，一个锐角的大小决定了对应边的长度，角度 越大，对应边越长。
线角知识点总结
线角知识点总结在学习线角知识时，我们需要掌握一些基本概念和重要的定理。
本文将对线角知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、线角的定义和基本性质1. 线角的定义：线角是由两条线段所夹的空间部分，通常用字母表示，如∠ABC。
2. 线角的度量单位：通常以度（°）为单位来度量线角的大小。
一个圆周分为360度，一个直角为90度。
3. 对顶角：当两条线段的两个交点和这两个交点之间的一条线段形成一个四边形时，由两条相邻边所夹的角称为对顶角。
4. 互补角和补角：两个角的和为90度时，称为互补角；两个角的和为180度时，称为补角。
二、线角的分类1. 尖角和钝角：根据线角的大小，可以将其分为尖角和钝角。
尖角是指大于0度且小于90度的角，钝角是指大于90度且小于180度的角。
2. 直角：一个角的度数为90度时，称为直角。
3. 锐角：一个角的度数小于90度时，称为锐角。
4. 钝角：一个角的度数大于90度但小于180度时，称为钝角。
三、线角的重要定理和性质1. 同位角定理：当一条直线被两个平行线交叉时，同位角相等。
2. 垂直角定理：当一条直线被两条相交直线交叉时，形成的垂直角相等。
3. 余角定理：两个角的和为90度时，它们互为余角。
4. 互补角定理：两个角的和为180度时，它们互为补角。
5. 锐角三角函数：在锐角三角形中，正弦、余弦和正切是常用的三角函数，它们的定义和性质可以帮助我们计算和解决与线角相关的问题。
四、线角知识的应用1. 几何证明：线角知识在几何证明中经常被应用。
通过运用线角的性质和定理，可以帮助我们证明两个角相等、判断两条线是否平行等几何问题。
2. 三角函数的计算：线角知识是学习三角函数的基础。
通过熟练掌握线角的概念和三角函数的定义与性质，我们能够在解决三角函数计算问题时更加得心应手。
3. 实际问题的解答：线角知识在解决实际问题时也起着重要的作用。
例如，在计算地物的高度、测量角度、航空航天等领域，线角知识都是必不可少的。
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A
线段、角的计算与证明问题
1、如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求
AB 的长．
2、已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90DCB ∠=︒，AC BD ⊥于点O ，2,4DC BC ==，求AD 的长.
3、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠=︒，=25AD BC =，
，E 为DC 中点，4
tan 3
C =
．求AE 的长度
4、如图，在梯形CD AB 中，AB DC ∥，DB 平分ADC ∠，过点A 作AE BD ∥，交CD 的延长线于点E ，且2C E ∠=∠，30BDC ∠=︒，3AD =，求CD 的长．
A
B
D
E
5
、已知：PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长；
6、已知ABC ∆，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ． ⑴ 求
AE
AC
的值； ⑵ 若AB a =，FB EC =，求AC 的长．
7、如图3，△ABC 中，∠A=90°，D 为斜边BC 的中点，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE=3，CF=4，试求EF 的长．
A B
F E D
P Q N M
E
D C B
A
8、如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、
BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，
并证明你的结论．
9、已知：如图，BC 是⊙O 的弦，点A 在⊙O 上，AB = AC = 10，4sin 5
ABC ∠=
． 求：（1）弦BC 的长； （2）∠OBC 的正切的值．
10．如图，△ABC 中，AB=AC ，5
4
cos =∠ABC ，点D 在边BC 上，BD =6，CD=AB . (1) 求AB 的长； (2) 求ADC ∠的正切值.
（第9题图）
11．如图6，已知矩形ABCD中，BC=6，AB=8，延长AD到点E，使AE=15，连结BE交AC于点P．
(1)求AP的长；
(2)若以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断线段BE与⊙A的位置关系并说明理由；
(3)已知以点A为圆心，r1为半径的动⊙A，使点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部．
①求动⊙A的半径r1的取值范围；
的取值范围．
②若以点C为圆心，r2为半径的动⊙C与动⊙A相切，求r。