材料力学习题解答5

1 2 qa 2 1 2 qa 2
qa2
FN
Fs
M
a
qa
2
ห้องสมุดไป่ตู้
RB
q
R Ax
a
RAy
1 RB a qa 2 qa 2 2 1 RB qa 2 3 RAx qa RAy 0 2
1 qa 2
1 qa 2
qa2
FN
3 qa 2
Fs
M
Rx
a
qa R y Rx
Ry
a
RB a
q
2a
R Ax
d FN q2 q1 dx d FS 0 dx
dM ( q q2 ) h Fs 1 dx 2
d FS 0 dx
FS C FS (0) 0 C 0
9．如图所示，半径为 R 的四分之一个圆的曲梁一端固 定，一端自由，曲梁受垂直于轴线平面的载荷作用。 试求曲梁的剪力、扭矩以及弯矩函数。 解：
RA 0
Fs
qa
M
2qa2
3 2 qa 2
1 2 qa 2
qa
qa 2
q
MB
a
Fs
a
a
RB
1 M B qa 2 3qa 2 q (2a ) 2 2
M B 4qa2
RB 3qa
qa
3qa
qa2
4qa2
M
qa
MA RA
qa 2
q
5 2 M A qa qa qa 2 5 M A qa 2 2 RA 2qa
2 2
a
qa
a
a
Fs 2qa
5 qa 2 2
1 qa 2 2
1 qa 2 2
M
1 2 qa 2
2qa2
q
MB
q
a
Fs
qa
a
RB
3 1 M B qa a 2qa 2 qa 2 2 2
M B qa2
RB 0
3 qa 2 2
qa2
M
1 2 qa 2
3．用连续曲线法作下列中间铰梁的剪力图和弯矩 图，并指明绝对值最大的剪力和弯矩。
M
qa2
q
qa
q
1 3 2aR A qa 2 qa 2 qa a 2 2
a
RA
a
RB
qa
a
RA qa
Fs qa
RB 2qa
qa
1 qa 2 2
M
1 2 qa 2
q
qa
2
qa
2aRB
a
RA
a
RB
a
1 2 qa qa 2 3qa 2 2
Fs
qa
9 qa 4 9 1 RA ( 2)qa qa 4 4 RB
M1
M2
L2
M1

M2
1 2
M max
F (2 L a) 8L
Fa L
2
L2

1 2
Fs1 RA 2 F (1 ) d Fs1 2 F 0 dx
Fs max R A 0
Fs 2 RB 2 F
Fs max 2 F (1
a ) 2L
M Fs d x q d x h M dM 2
d FS 0 dx
FS C FS (0) 0 C 0
d FN d x q Fs 0 d M qh 2 dx
8． 试建立如图所示梁的平衡微分方程。
q1 ( x)
h/2
h/2
x
q2 ( x ) q1
RA RB 2F
C
A
D
B
F F L
RA
RB
RB L Fx F ( x a)
x a x a x a RB F (2 ) RA 2 F F (2 ) 2 F (1 ) F L L L L L L x 1 (0 ) 令： L 2 Fa Fa RB 2 F RA 2 F (1 ) L L
MA
1 q (2a ) 2 RB 2qa 2 Ry 2qa Rx 2qa
M A 4qa2 qa a 5qa2
RAy
RB
RAx 2qa
qa2 qa2
RAy qa
2qa2
qa
2qa
2qa2
2qa
qa
2qa
2qa 2qa
5qa2
FN
Fs
M
qa2
Rx
R y Rx
a
Ry
a
2a
q
RB a
1 q (2a ) 2 RB 2qa 2 Ry 2qa Rx 2qa
R Ax
MA
M A 2qa2 qa2 qa2
RAy
RB
RAx 2qa
2qa2
RAy 2qa
2qa2
2qa
2qa 2qa 2qa 2qa 2qa
40 kN
M
x
㊀
40 kN m
1m 1m 1m
8． 试建立如图所示梁的平衡微分方程。
q
h/2
h/2
x
Fs FN
M
dx q
Fs d Fs
FN d FN
M dM
FN d FN FN q d x
d FN q dx d FS 0 dx
dM qh Fs dx 2
FS d FS FS
0


q
M
N FN FS
dX qR cos d dY qR sin d
X qR sin
Y qR1 cos

d
根据平衡可建立方程：

FN cos FS sin qR sin FN sin FS cos qR1 cos
M
4．用连续曲线法作下列外伸梁的剪力图和弯 矩图，并指明绝对值最大的剪力和弯矩。
qa2 / 2
q
qa
2aR A qa a
RA 0
a
RA
1 2 1 2 qa qa 2 2
a
RB
qa
a
RB 2qa
Fs
qa
qa2
1 qa 2 2
M
q
qa2
2a
RA RB
a
2aR A
0


q
M
FN FS
例 求如图曲梁的内力。
取如图的脱离体。

d
在脱离体上取微元。
微元上的分布力为

qR d
微元上的分布力在水平方向和竖直方向分量为
dX qR cos d
合力
dY qR sin d
X qR cos d qR sin
0


Y qR sin d qR1 cos
T R[1 cos( )]q d s R[1 cos( )]qR d
0 0
qR (
2

0
cost d t ) qR 2 [ sin( ) 0 ]

qR2 ( sin )
选作题 10． 如图所示吊车梁，吊车每个轮子对梁的压力均为F， （1）吊车在什么位置时，梁中的弯矩最大？其值是多少？ （2）吊车在什么位置时，梁的支反力最大？梁的最大支反 力和最大剪力各是多少？ x a 解： 由于对称性，只考虑小 车在左半梁的情况。 梁的最大弯矩只可能在 两个轮子处。
材料力学习题解答5
梁的内力
1．用连续曲线法作下列简支梁的剪力图和弯矩 图，并指明绝对值最大的剪力和弯矩。
q
qa2
q
2aR qa2 qa a
R
R
R0
a
Fs
a
qa
1 qa 2 2
M
1 2 qa 2
q
qa 2
a
RA
a
RB
Fs qa 4
a 4
1 2aR B qa 2 qa 2 2 3 RB qa 4 1 R A qa 4
M1
M2

M1 M2
1 2
1 a (1 ) 2 2L

1 2
1 a (1 ) 2 2L 1 a L 3a L L2 L a (1 ) L a 2 2L 2 4 2 M max M max1
M max 1 F (2 L a )( 2 L a) 8L Fa L
Fs FN
M
Fs d Fs
FN d FN
q2
M dM
d FN d x q2 q1 Fs 0 d M (q1 q2 )h 2 dx
FN d FN FN (q2 q1 ) d x
FS d FS FS
M Fs d x (q1 q2 ) d x h M dM 2
RA
1 q (2a ) 2 qa 2 2
Fs
3 qa 2
3 qa 2 1 RB qa 2
3 a 2
1 qa 2
M
9 2 qa 8
qa2
qa
2
q
qa
RA a qa 2 qa 2
a
RA
1 q ( 2a ) 2 2
a
RB
qa
a
RA 0
RB 3qa
Fs
2qa
qa2
选作题 10． 如图所示吊车梁，吊车每个轮子对梁的压力均为F， （1）吊车在什么位置时，梁中的弯矩最大？其值是多少？ （2）吊车在什么位置时，梁的支反力最大？梁的最大支反 力和最大剪力各是多少？ x a 解： 2 F (1 ) Fa R 2 F Fa RA B
L L
A
C
D
F
MA RA
R
Fa
RB a Fa
a
RB
RB F
RF
a
R
MA 0
RA 0
Fs
F
M
Fa
qR
qa2 / 2
MA RA
RB a
a
R
a
a
RB
1 2 1 2 qa qa 2 2 RB qa
1 qa 2 2
R0
MA
Fs
qa
RA qa
qa
1 qa 2 2
1 qa 2 2
a
RA
a
RB
Fs
3 qa 2
1 qa 2 1 qa 2
1 qa 2 3 R A qa 2 RB
M
qa2
1 2 qa 2
2．用连续曲线法作下列悬臂梁的剪力图和 弯矩图，并指明绝对值最大的剪力和弯矩。
q
MA RA
q
a a a
1 5 M A qa 2 qa a 2 2
M A 2qa2
2 kN
Fs
2 kN

㊀
2 kN
x
1m
1m
2m
2 kN
M
2 kNm
7． 设梁的弯矩图如图所示，试作梁的剪力图和载荷图。
20 kNm 10 kNm
10 kN
Fs
10 kN
10 kN
M
10 kN m

x
㊀ ㊀
10 kN m
1m 1m 1m
10 kN m
40 kNm
40 kN
40 kN
Fs
Fs F
M FR sin
F

T FR(1 cos )
R


F
R sin
R(1 cos )
9．如图所示，半径为 R 的四分之一个圆的曲梁一端固 定，一端自由，曲梁受垂直于轴线平面的载荷作用。 试求曲梁的剪力、扭矩以及弯矩函数。 解：


Fs q d s qR
0

M R sin( )q d s R sin( )qR d
0 0


qR2


R
qds
0
sin( ) d qR2[ cost ( )] 0

R sin( )
R[1 cos( )]
qR2 (1 cos )

3qa 4
1 qa 2 4
M
1 qa 2 32 3 2 qa 4
qa
qa 2
q
1 6aR A qa 2 5qa 2 q(4a) 2 2
RB
RA
a
Fs
2qa
a
qa
4a
RA 2qa
RB 3qa
a
3qa
3qa2
M
2qa2 4qa2
9 2 qa 2
q
qa
qa2 / 2
1 1 2aRB qa 2 qa 2 qa 2 2 2
B
F F L
左轮处弯矩：
RA
RB
x x 2FL(1 ) Fa M 1 RA x 2 FL (1 ) Fa L L
右轮处弯矩：
M 2 RA ( x a) Fa RA x ( F RA )a
d M1 2 FL(1 2 ) Fa 0 d
qa2
2qa2
2qa
qa2
FN
Fs
M
6． 设梁的剪力图如图所示，试作梁的弯矩图 和载荷图。已知梁上无集中力偶作用。
4 kN 0.75 kN/ m
3 kN
Fs
2 kN
3 kN

㊀
2 kN
1 kN

x
㊀
1 kN
2m 2m 4m
2 kN
M
4 kNm 5 kNm 6 kNm
2 kN
1 kN/ m
1 qa 4
5 qa 4
2qa2
qa2 qa2
?
M
5．作下列刚架的剪力图和弯矩图，并指明绝 对值最大的轴力、剪力和弯矩。
q
RB
q
a
qa2
RAy
R Ax
1 RB a qa 2 qa 2 2 1 RB qa 2 1 RAx qa RAy qa 2
1 qa 2
qa qa qa
q
M
FN
11 求如图曲梁的内力。 取如图的脱离体。

d
FS R
在脱离体上取微元。
微元上的分布力为

qR d
微元上的分布力在水平方向和竖直方向分量为
dX qR cos d
合力
dY qR sin d
X qR cos d qR sin
0


Y qR sin d qR1 cos