齐次和非齐次线性方程组的解法

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齐次和非齐次线性方程组解的关系

齐次和非齐次线性方程组解的关系

区别:齐次方程的解向量是n-r个线性无关的向量非齐次方程的解向量是n-r+1个线性无关的向量,由非齐次特解x0和齐次方程的基础解系构成。

联系:任意两个非齐次特解之差总是齐次方程的解区别以下举例说明:1、非齐次线性方程组,等号右边不全为零的线性方程组,如:x+y+z=12x+y+z=3x+2y+2z=42、齐次线性方程组,等号右边全为零的线性方程组,如:x+y+z=02x+y+z=0x+2y+2z=0一个多项式中各个单项式的次数都相同的式子,我们称之为齐次式。

正如上面例题中的,xyz的次数都是1,所以就是齐次式。

联系:方程解加上非齐次方程的一个特解就是对应非齐次方程的解。

扩展资料齐次线性方程组有无零解和非齐次线性方程组是否有解的判定。

对于齐次线性方程组,当方程组的方程个数和未知量的个数不等时,可以按照系数矩阵的秩和未知量个数的大小关系来判定;还可以利用系数矩阵的列向量组是否相关来判定;当方程组的方程个数和未知量个数相同时,可以利用系数行列式与零的大小关系来判定,还可以利用系数矩阵有无零特征值来判定;对于非齐次线性方程组,可以利用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩是否相等即有关矛盾方程来判定;还可以从一个向量可否由一向量组线性表出来判定;当方程个数和未知量个数相等时,可以利用系数行列式是否为零来判定非齐次线性方程组的唯一解情况;今年的考题就体现了这种思想。

2、齐次线性方程组的非零解的结构和非齐次线性方程组解的的无穷多解的结构问题。

如果齐次线性方程组有无穷多个非零解时,其通解是由其基础解系来表示的;如果非齐次线性方程组有无穷多解时,其通解是由对应的齐次线性方程组和通解加本身一个特解所构成。

齐次线性方程组与非齐次线性方程组

齐次线性方程组与非齐次线性方程组

齐次线性方程组与非齐次线性方程组线性方程组是数学中经常遇到的一类问题,其中,常常会涉及到齐次线性方程组和非齐次线性方程组。

本文将介绍齐次线性方程组和非齐次线性方程组的定义、特点以及解的求解方法。

一、齐次线性方程组(Homogeneous Linear Equations)齐次线性方程组是指系数矩阵中各行线性组合的和为零的线性方程组。

一般形式为:A_11x_1 + A_12x_2 + ... + A_1nx_n = 0A_21x_1 + A_22x_2 + ... + A_2nx_n = 0...A_m1x_1 + A_m2x_2 + ... + A_mnx_n = 0其中,A_ij为系数矩阵的元素,x_i为未知数。

齐次线性方程组的特点是零解的存在。

零解是指将所有未知数都取零时,方程组成立。

除了零解外,齐次线性方程组可能还存在非零解。

对于齐次线性方程组的求解可以采用矩阵的方法,即对系数矩阵进行行变换,将其化为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵,然后根据矩阵的特性来求解未知数。

具体的求解方法不再赘述。

二、非齐次线性方程组(Non-Homogeneous Linear Equations)非齐次线性方程组是指系数矩阵中各行线性组合的和不为零的线性方程组。

一般形式为:A_11x_1 + A_12x_2 + ... + A_1nx_n = b_1A_21x_1 + A_22x_2 + ... + A_2nx_n = b_2...A_m1x_1 + A_m2x_2 + ... + A_mnx_n = b_m其中,A_ij为系数矩阵的元素,x_i为未知数,b_i为常数向量。

非齐次线性方程组的特点是除了零解外,可能还存在其他解。

当方程组存在解时,称其为有解方程组。

对于非齐次线性方程组的求解,可以将其转化为齐次线性方程组的形式来求解。

具体方法是将方程组转化为增广矩阵,然后对增广矩阵进行行变换,化简为行阶梯型矩阵或行最简形矩阵。

齐次和非齐次线性方程组的解法整理

齐次和非齐次线性方程组的解法整理

线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)= r <n ,若小 0 (A为用"矩阵)的一组解为匚爲,…,爲一,且满足:(1)看岛宀雋円线性无关;⑵AX= 0的)任一解都可由这组解线性表示.则称刍易,…,蔦-为的二0的基础解系.称X =镯刍+ k為+…+为AX= 0的通解。

其中人,虬…,A-,为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解,而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组衣二0有解,则(1)若齐次线性方程组AT二0 (A为〃7"矩阵)满足r(A) = n ,则只有零解;⑵ 齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A) <n.(注:当山=/?时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式\A\=0.)注:1、基础解系不唯一,但是它们所含解向量的个数相同,且基础解系所含解向量的个数等于n-r(A).2、非齐次线性方程组AX=B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX=O所对应的同解方程组。

由上述定理可知,若加是系数矩阵的行数(也即方程的个数),"是未知量的个数,则有:(1)当加<"时,r(A)<m<n,此时齐次线性方程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解;(2)当/;/ = //时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式卜| = 0;(3)当m =八且HA)="时,若系数矩阵的行列式则齐次线性方程组只有零解;(4)当川>”时,若r(A) < n ,则存在齐次线性方程组的同解方程组;若r(A) > n ,则齐次线性方程组无解。

1、求AT= 0 (A为m x //矩阵)通解的三步骤(1)A^-^C (行最简形);写出同解方程组6T=0.(2)求出6T=0的基础解系⑶ 写出通解*=人刍+心金+•・・ + /-总t其中 7 也为任意常数.所以,原方程组的通解为X=k^+k2^2+k^ (人,町,2R).二、非齐次线性方程组的解法求AX- b的解(A mxn r(A) = r )用初等行变换求解,不妨设前r列线性无关(1) <+1工0时,原方程组无解.⑵= 0” = ”时,原方程组有唯一解.⑶〃冲=0” S时,原方程组有无穷多解.其通解为焉爲+••• + &・《“,也,…,咕为任意常数。

非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解(η=ζ+η*)。

非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组。

非齐次线性方程组解法非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤:(1)对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。


R(A)R(B),则方程组无解。

(2)若R(A)=R(B),则进一步将B化为行最简形。

(3)设R(A)=R(B)=r;把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示,并令自由未知数分别等于C1,C2……,Cn-r,即可写出含n-r个参数的通解。

非齐次线性方程组解的判别如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩,方程组无解;如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,方程组有解。

在有解的情况下,如果系数矩阵的秩等于未知数的个数,非齐次线性方程组有唯一解。

如果系数矩阵的秩小于未知数的个数,非齐次线性方程组有无穷多解,如果有无穷多解,先求所对应齐次线性方程组的基础解系,再求出非齐次线性方程组的一个特解。

由此可知:如果非齐次线性方程组有无穷多解,则其对应的齐次线性方程组一定有非零解,且非齐次线性方程组的全部解(通解)可表示为:对应齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的特解。

怎么解非齐次方程得出基础解系

怎么解非齐次方程得出基础解系

怎么解非齐次方程得出基础解系
非齐次线性方程组的解法和齐次线性方程组的解法不同,需要求
出特解和基础解系,基础解系也称为齐次线性方程组的解。

非齐次线性方程组解法步骤如下:
1. 求出对应的齐次线性方程组的基础解系。

首先,要求出对应的齐次线性方程组的基础解系是必须的。

因为
非齐次线性方程组的解等于其对应的齐次线性方程组的解加上特解,
特解会在后面进行求解。

设对应的齐次方程为:
Ax = 0
其中,A 表示系数矩阵,x 表示未知向量,0 表示零向量。

2. 求出非齐次线性方程组的一组特解。

将非齐次线性方程组表示为:
Ax = b
其中,b 表示非零右端向量,即非齐次线性方程组。

设 x0 为 Ax0 = b 的一组特解。

可以使用高斯消元法或矩阵求
逆法求解。

3. 求出非齐次线性方程组的通解。

使用齐次线性方程组的基础解系,以及特解来求出非齐次线性方
程组的通解,即形如:
x = x0 + c1x1 +c2 x2+...+cnxn
其中,cx 表示常数。

通过上述步骤,我们就能得到非齐次线性方程组的通解。

在确定
了特解之后,基础解系的选择可以使用高斯消元法或矩阵求逆法进行。

本文主要介绍了非齐次线性方程组的解法,包括求对应齐次方程
的基础解系和求出非齐次方程的特解,最终得到非齐次线性方程组的
通解。

掌握这些知识可以更好地解决非齐次线性方程组问题。

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
一、齐次线性方程组
1.定义:所有方程的常数项都为0的线性方程组称为齐次线性方程组。

2.求解方法:
(1)齐次线性方程组必有解x=0,称为零解。

(2)如果齐次线性方程组的系数行列式不为0,则方程组只有零解。

(3)如果齐次线性方程组的系数行列式等于0,则方程组有非零解。

(4)对于齐次线性方程组的非零解,若x1是其中一个解,则对于k≠0,kx1也是方程组的解。

例如,对于齐次线性方程组
a1x1+a2x2+...+anxn=0
b1x1+b2x2+...+bnxn=0
……
c1x1+c2x2+...+cnxn=0
如果a1a2...an≠0,则只有零解x1=0。

如果a1a2...an=0,且b1b2...bn≠0,则有非零解
x=(b1,b2,...,bn)T和x=k(b1,b2,...,bn)T。

3.推论:对于齐次线性方程组,n个未知量的向量{x1,x2,...,xn}张成的向量空间叫做齐次线性方程组的解空间,其维数等于n-r,其中r是系数矩阵的秩。

二、非齐次线性方程组
1.定义:所有方程的常数项不都为0的线性方程组称为非齐次线性方程组。

2.求解方法:
(1)若常数项b≠0,则非齐次线性方程组必定有解。

(2)设x1和x2为非齐次线性方程组的两个解,则x1-x2为其对应齐次线性方程组的解。

(3)设x0为非齐次线性方程组的一个解,则一般解为
x=x0+kx1,其中x1为对应齐次线性方程组的解,k为任意实数。

3.推论:非齐次线性方程组的解集为齐次线性方程组的解集加上非齐次线性方程组的特解。

非齐次线性方程组的解法

非齐次线性方程组的解法

非齐次线性方程组的解法线性方程组是数学中的基本概念之一,它由若干个线性等式组成,每个线性等式都可以写成\[a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b\]其中$a_1, a_2, \cdots, a_n$为已知系数,$b$为已知常数,$x_1, x_2, \cdots, x_n$为未知数。

如果一个方程组中的方程都是线性等式,并且未知数的个数与方程的个数相等,那么这个方程组就是一个齐次线性方程组。

否则,它就是一个非齐次线性方程组。

对于齐次线性方程组,我们可以很容易地得出解的性质。

通过高斯消元法,我们可以将齐次线性方程组转化为一个上三角方程组。

由于方程组是齐次的,所以最后一个未知数可以任意取值。

然后,一次逆推,我们就可以得到整个方程组的解。

如果未知数的个数为$n$,那么齐次线性方程组的解将包含$n-1$个自由变量。

接下来我们来讨论非齐次线性方程组的解法。

与齐次线性方程组不同,非齐次线性方程组的解并不总是存在,而且如果存在,解也不一定唯一。

所以我们需要找到一种方法来判断非齐次线性方程组是否有解,并且找到它的一个特殊解。

非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的行秩等于增广矩阵的行秩。

如果这个条件满足,那么我们可以通过高斯消元法将方程组转化为一个上三角方程组。

当方程组用矩阵表示时,如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩,那么方程组无解;如果两个秩相等,那么方程组有解。

我们可以对非齐次线性方程组做如下判断:1. 对方程组进行高斯消元操作,将其转化为上三角方程组。

2. 根据上三角方程组,判断方程组是否有解。

如果最后一行的最后一个非零元素对应的常数不为零,则方程组无解;否则,方程组有解。

3. 如果方程组有解,我们需要找到一个特殊解。

特殊解可以通过回代得到。

我们可以自由地选择最后一个未知数的值为任意常数,然后逐个回代即可求得特殊解。

4. 方程组的解是由特殊解和齐次方程组的解的线性组合得到的。

常微分方程的线性方程组解法

常微分方程的线性方程组解法

常微分方程的线性方程组解法常微分方程是数学中的一个重要分支,研究的是描述自然和社会现象的变化规律的方程。

线性方程组是常微分方程中的一类特殊情况,它具有重要的理论和实际应用价值。

本文将介绍常微分方程的线性方程组解法,并以具体的示例进行说明。

1. 线性方程组的定义与形式线性方程组由多个线性方程组成,其中每个线性方程都是未知函数及其导数的线性组合。

一般形式如下:y^(n) + a_(n-1)(x)y^(n-1) + … + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)其中,y^(n) 表示未知函数 y 的 n 阶导数,a_i(x)(i = 0, 1, …, n-1)是已知函数,f(x) 是已知函数。

2. 线性齐次方程组的解法线性齐次方程组是指 f(x) = 0 的线性方程组。

对于线性齐次常微分方程组,可以使用特征方程法来求解。

具体步骤如下:(1)设 y = e^(rx) 为方程的解,代入方程得到特征方程,如 y'' + ay' + by = 0,则特征方程为 r^2 + ar + b = 0。

(2)解特征方程得到 r1 和 r2,若r1 ≠ r2,则 y1 = e^(r1x) 和 y2 = e^(r2x) 是方程的两个线性无关解;若 r1 = r2 = r,则 y1 = e^(rx) 和 y2 = xe^(rx) 是方程的两个线性无关解。

(3)根据线性组合的原理,方程的通解为 y = C1y1 + C2y2(或 y = C1y1 + C2y2lnx),其中 C1 和 C2 为任意常数。

3. 非齐次线性方程组的解法非齐次线性方程组是指f(x) ≠ 0 的线性方程组。

求解非齐次线性方程组可以使用常数变易法。

具体步骤如下:(1)令 y = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) 为方程的解,其中 C1(x) 和C2(x) 为待定函数。

(2)代入原方程,得到待定函数的微分方程组。

线性方程组的解的判定

线性方程组的解的判定

1 2 0
5 7 0
2 5
,
0
得同解方程组:
x1
x2
x3 5x4 2, 2x3 7 x4 5,

:
x1 x2
2
x3 x3
5 7
x4 x4
2, 5,
令 x3=c1, x4=c2, 则方程组的通解为:
x1 c1 5c2 2,
x2 c1 7c2 5,
x3
c1 ,
x4 x4
,
令 x3=c1, x4=c2, 方程组的通解为:
x1
1 3
c1
7 3
c2
x2
5 3
c1
1 3
c2
,
(c1 , c2
R).
x3 c1
x4 c2
求解齐次线性方程组步骤:
将系数矩阵用初等行变换化成行最简形矩阵, 写 出同解方程组(用自由未知量表示) , 即可写出其通解.
对于齐次线性方程组 Amn x 0 有如下推论: 推论1 若 m<n , 方程组 Amn x 0必有非零解. 推论2 若 m=n , 方程组 Amn x 0有非零解的充要 条件是 | A | 0.
三、矩阵方程有解的判定
定理3.3 矩阵方程AX=B有解的充要条件 是 R(A)=R(A|B).
利用此定理可以证明如下的矩阵秩的不等式: 定理3.4 设 AB=C, 则 R(C) min{ R(A), R(B)}.
2个定理的证明均见课本Page90.
x1
b1
记: 系数矩阵为A=(aij),
x
x2
,
b
b2
,
则线性方程组可记为: Ax=b. xn
bm
问题:如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B=(A|b) 来 讨论线性方程组 Ax=b 的解?

齐次和非齐次线性方程组的解法整理

齐次和非齐次线性方程组的解法整理

践性方程组解的结构(解法)一、齐sail方程纽的解法【定义】r<n,若从=0 (A为加x川矩阵)的一组解为询,$,…,爲―,且満足:(1) …境"线性无关;(2) 如GO的)任一解部可由这组解找性表示.H称盒,益,…,仏t为从=0的基硏解系.祢X = +心疋2 +…+心心为从=0的逋解。

其中危危…,怎冷任«»»).齐®att方程组的关键冋题就是来通解,而求通解的关键阿题是求基•解系.【定理】若齐次线性方程组从=0有解,!!(1) 若齐次裁性方程组以=O(A为〃以〃拒阵)葫足HA) = ", K只有零解;(2) 齐次拔性方程组有非零解的充嬰条件是r(A)<n.(注:当〃匸”时,齐ftStt方程组有非零解的充要条件是它的系数行列3|A|=0.)注:1、基础解系不唯一,但是它0所含解向最的个数相同,且基碣解系所含解旬量曲个数等于n-r(A).2、非齐次线性方程组AX=B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐ftSft方程组AX=O^对应的同解方程组。

由上述定理可知,若加是系数矩阵的打数(也即方程的个效),”是未知量的个数,II有:(1) 当加<"时,r(A)<m<n t ft时齐次线性方程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数旅一定有非零解;(2) 当〃匸"时,齐次拔性方程组有非零解的充要条件是它的系数行则衣国=0;(3) 当m = n且r(A) = “时,若泵数拒阵的行列刻A|H O, H齐次线U方程组只有零解;(4) 当m > H时,若r(A)<//r IS存在齐次城性方程组的同解方程组;若心)>”,则齐次拔性方程组无解。

1、来从=O(A为〃7X"矩阵)通解的三步U(1) A^-^C (行最简形);写出同解方程组CX=Q.(2) 来岀的基硏解系询爲,•••,&・『;(3) 耳出i解X = + «$ +…+ Vr^-r其中东,忽・・・,紿为任显热有r (A ) = 4 = //,则方程组仅有零解.解法二:由于方程组的个数等于未知量的个数(即m “)(注ih 方程组的个数不等于未知量的个数(即m 知i ),不可以用行列衣的方法来判Bi h 从而可廿算系数矩l?A 的行列式:23-15:: :=327工0,知方程组仅有零解,即x 1=x 2=x 3=x 4=0.41—3 o1 -2 4 -7注:ft 法仅对n 较小时方便令 x 3 = 1 , x 4 = 0 , x 5=0 9 II x, =l,x 2 =-2; 令 x 3 = 0 , x 4= \ f x 5 = 0 F 得 X] = h 忑=一2 ; 令七=0 , 兀=0, X 5= \ 9 x } =5,X 2 =-6 , 于是得到原方程组的一个基碣解系为+3X 2 ~X 3 +5X 4 =0, +x 2 +2® ~X4=0, +x 2 _3兀 +6X 4 =0,—2X 2 +4X 3 一 7q =0.2xl 3x [«R1】解线性方程组「+Xy +£ +X5=0, 3x }+2x ? +九 +q—3*5 =0,X 2+2X 3 +2X 4 +6X 5 =0,5zV)+4x ) +3X 3 +3X 4 "X 5=0.[flH2]解找性方程组解法一: 将系数矩阵A 化为阶梯形矩薛2 3 4 13 11 -2-1 2 -3 45 -16 -7-274 -10 43 'T-7 14 16即 x\ =x 2=x 3=x 4=0.ri 1 1 1r"1 1 1 1■ 132 1 1 a 斤x(-5)+、 0 -1 -2 - 2 -6 1 1 一/|X (-3)+G0 1 2 2 61 2 2 6.5 4 3 3 一 L_0 _1 -2 -2 -610-1-1 0 12 2 0 0 0 0 00 0一5 6 0 0可得 r(A) = 2<n 9 解:将系数矩阵A 化为筒化阶U 站矩阵A = ;2^(-1)+?4舅方程组有无穷多解・其同解方程组为x } = x 3 +x 4 x 2 = -2X 3 -2X 4(其中X- x 4f x 5为自由未知量)所以,原方程组的通解为X=k^+k^2+k^ (k lt k2f k3eR).二、非齐次线性方程组的解狀AX=b { A mxn r(A) = r )用初等行变换*解,不ffiSSir列践性无关(1) 〃冲工0时,原方程组无解.(2) <+1=0,r = n时,泉方程纽有唯一解.(3) 為=O,r<HW,g方程组有无穷多解.其通解为X =班 +出f +••• + «—$_ , k、、%、•••,匕”为任其中:盲疋2,…疋…为从=力导出组AX=0的基碣解系,久为AX=b^特解,【定理1】如果〃是非齐次拔性方程组AX=b的解,◎是其导出组AX=0ffl-个解,»a +〃是非齐次缆性方程组AX=b的解。

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理)

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理)

线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0(A 为m n ⨯矩阵)的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足:(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 。

其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解, 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解,则(1) 若齐次线性方程组AX = 0(A 为m n ⨯矩阵)满足()r A n =,则只有零解; (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.(注:当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.)注:1、基础解系不唯一,但是它们所含解向量的个数相同,且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知,若m 是系数矩阵的行数(也即方程的个数),n 是未知量的个数,则有:(1) 当m n <时,()r A m n ≤<,此时齐次线性方程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解;(2)当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =; (3)当m n =且()r A n =时,若系数矩阵的行列式0A ≠,则齐次线性方程组只有零解; (4)当m n >时,若()r A n ≤,则存在齐次线性方程组的同解方程组;若()r A n >,则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0(A 为m n ⨯矩阵)通解的三步骤(1)−−→A C 行(行最简形); 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.【例题1】 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一:将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==,则方程组仅有零解,即12340x x x x ====.解法二:由于方程组的个数等于未知量的个数(即m n =)(注意:方程组的个数不等于未知量的个数(即m n ≠),不可以用行列式的方法来判断),从而可计算系数矩阵A 的行列式:23153121327041361247A --==≠---,知方程组仅有零解,即12340x x x x ====.注:此法仅对n 较小时方便【例题2】 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解:将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩(其中3x ,4x ,5x 为自由未知量)令31x =,40x =,50x =,得121,2x x ==-; 令30x =,41x =,50x =,得121,2x x ==-; 令30x =,40x =,51x =,得125,6x x ==-, 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以,原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++(1k ,2k ,3k R ∈). 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解(,()m n r r ⨯=A A ) 用初等行变换求解,不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη,12,,,n r k k k -为任意常数。

非齐次线性方程组的解

非齐次线性方程组的解

非齐次线性方程组的解线性方程组是数学中一个非常重要的概念,可以用来描述多个未知数之间的关系。

在实际问题中,我们经常会遇到非齐次线性方程组,即右端项不为0的线性方程组。

非齐次线性方程组的解是指使得方程组中所有方程都成立的未知数的取值。

在本文中,将详细讨论非齐次线性方程组的解及其求解方法。

首先,我们先回顾一下齐次线性方程组的解。

对于齐次线性方程组Ax=0,其中A为系数矩阵,x为未知数向量,0为零向量,如果存在一个非零向量x使得Ax=0,那么x就是齐次线性方程组的解。

齐次线性方程组总有非零解,因为零向量满足Ax=0。

但齐次线性方程组的解不唯一,它有无穷多个解。

可以通过求解方程组的增广矩阵,经过高斯消元法得到阶梯形矩阵,再得到最简形矩阵,从而得到基础解系。

然而,非齐次线性方程组Ax=b是指右端项不为0的线性方程组,我们需要找到一组解使得Ax=b成立。

如果存在一个向量x使得Ax=b,那么x就是非齐次线性方程组的解。

但是,非齐次线性方程组的解不再有无穷多个,而是只有一个特解x0加上齐次线性方程组的解。

也就是说,非齐次线性方程组的解是特解加上齐次线性方程组的解。

具体来说,对于非齐次线性方程组Ax=b,我们可以通过增广矩阵的高斯消元法来求解。

我们将增广矩阵进行行变换,使得增广矩阵的左半部分变为一个最简形矩阵,然后根据最简形矩阵的形式来确定特解。

最后,我们可以通过求解齐次线性方程组Ax=0来得到齐次线性方程组的解。

举个例子来说明非齐次线性方程组的解的求解过程:假设我们有一个非齐次线性方程组:2x+y+z=23x+2y+z=4首先,我们可以写出增广矩阵:[211,2][321,4]接下来,我们对增广矩阵进行高斯消元法。

通过行变换,将增广矩阵的左半部分变为最简形矩阵:[10-1,0][011,2]从最简形矩阵中可以看出,特解x0=0,y=2,z=-2、然后,我们需要求解齐次线性方程组Ax=0。

根据最简形矩阵的形式,我们可以得到齐次线性方程组的解:x=t,y=-t,z=t,其中t为任意实数。

齐次方程组和非齐次方程组的解

齐次方程组和非齐次方程组的解

齐次方程组和非齐次方程组的解齐次方程组和非齐次方程组是线性代数中的重要概念,它们在解决实际问题中起着重要作用。

本文将分别介绍齐次方程组和非齐次方程组的定义、特点以及求解方法。

一、齐次方程组的解齐次方程组是指方程组的右边等于零的线性方程组。

具体来说,对于一个n元线性方程组,可以表示为:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = 0其中a11, a12, ..., ann为常数,x1, x2, ..., xn为未知数。

齐次方程组的特点是它必定有解,因为至少有一个平凡解,即所有未知数取零的解。

除了平凡解外,齐次方程组还可能有非平凡解,即至少存在一组未知数不全为零的解。

求解齐次方程组的一种方法是利用矩阵的性质,将其转化为矩阵方程。

具体步骤是将系数矩阵A和未知数向量X写成矩阵的形式:AX = 0其中A是一个n×n的矩阵,X是一个n×1的列向量。

根据线性代数的知识可知,当且仅当矩阵A的行列式不为零时,方程组有唯一解即平凡解。

当矩阵A的行列式为零时,方程组有无穷多解即非平凡解。

这是因为非零行向量可以线性组合得到零向量,从而得到非平凡解。

另一种求解齐次方程组的方法是使用高斯消元法。

通过对系数矩阵进行行变换,将其化为行简化阶梯形矩阵,从而得到方程组的解。

二、非齐次方程组的解非齐次方程组是指方程组的右边不等于零的线性方程组。

具体来说,对于一个n元线性方程组,可以表示为:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中a11, a12, ..., ann为常数,b1, b2, ..., bn为已知常数,x1, x2, ..., xn为未知数。

齐次和非齐次线性方程组的解法整理定稿

齐次和非齐次线性方程组的解法整理定稿

线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】 r(A )= r <n ,若AX = 0(A为m n ⨯矩阵)的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足:(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) A X = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为A X = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为A X = 0的通解 。

其中k 1,k2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解, 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组A X = 0有解,则(1) 若齐次线性方程组AX = 0(A为m n ⨯矩阵)满足()r A n =,则只有零解; (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.(注:当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.)注:1、基础解系不唯一,但是它们所含解向量的个数相同,且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知,若m 是系数矩阵的行数(也即方程的个数),n 是未知量的个数,则有:(1) 当m n <时,()r A m n ≤<,此时齐次线性方程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解;(2)当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =; (3)当m n =且()r A n =时,若系数矩阵的行列式0A ≠,则齐次线性方程组只有零解; (4)当m n >时,若()r A n ≤,则存在齐次线性方程组的同解方程组;若()r A n >,则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0(A 为m n ⨯矩阵)通解的三步骤(1)−−→A C 行(行最简形); 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.【例题1】 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一:将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==,则方程组仅有零解,即12340x x x x ====.解法二:由于方程组的个数等于未知量的个数(即m n =)(注意:方程组的个数不等于未知量的个数(即m n ≠),不可以用行列式的方法来判断),从而可计算系数矩阵A 的行列式:23153121327041361247A --==≠---,知方程组仅有零解,即12340x x x x ====.注:此法仅对n 较小时方便【例题2】 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解:将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩(其中3x ,4x ,5x 为自由未知量)令31x =,40x =,50x =,得121,2x x ==-; 令30x =,41x =,50x =,得121,2x x ==-; 令30x =,40x =,51x =,得125,6x x ==-,于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以,原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++(1k ,2k ,3k R ∈). 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解(,()m n r r ⨯=A A ) 用初等行变换求解,不妨设前r列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη,12,,,n r k k k -为任意常数。

齐次和非齐次的区别非齐次线性方程组解如何判别

齐次和非齐次的区别非齐次线性方程组解如何判别

齐次和非齐次的区别非齐次线性方程组解如何判别
常数项不同:齐次线性方程组的常数项全部为零,非齐次方程组的常数项不全为零。

表达式不同:齐次线性方程组表达式:Ax=0;非齐次方程组程度常数项不全为零:Ax=b。

如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩,方程组无解;如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,方程组有解。

齐次和非齐次的区别
1、常数项不同:
齐次线性方程组的常数项全部为零,非齐次方程组的常数项不全为零。

2、表达式不同:
齐次线性方程组表达式:Ax=0;非齐次方程组程度常数项不全为零: Ax=b。

非齐次线性方程组解的判别
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩,方程组无解;如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,方程组有解。

在有解的情况下,如果系数矩阵的秩等于未知数的个数,非齐次线性方程组有唯一解。

如果系数矩阵的秩小于未知数的个数,非齐次线性方程组有无穷多解,如果有无穷多解,先求所对应齐次线性方程组的基础解系,再求出非齐次线性方程组的一个特解。

由此可知:如果非齐次线性方程组有无穷多解,则其对应的齐次线性方程组一定有非零解,且非齐次线性方程组的全部解(通解)可表示为:对应齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的特解。

齐次线性方程组求解步骤
(1)对系数矩阵A进行初等行变换,将其化为行阶梯形矩阵;
(2)若r(A)=r=n(未知量的个数),则原方程组仅有零解,即x=0,求解结束;若r(A)=r<n(未知量的个数),则原方程组有非零解,进行以下步骤:
(3)继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵,并写出同解方程组;
(4)选取合适的自由未知量,并取相应的基本向量组,代入同解方程组,得到原方程组的基础解系,进而写出通解。

齐次方程组的解与非齐次方程组的解的关系

齐次方程组的解与非齐次方程组的解的关系

齐次方程组的解与非齐次方程组的解的关系齐次方程组和非齐次方程组是线性代数中经常遇到的两类方程组。

它们之间存在着密切的关系。

本文将探讨齐次方程组的解与非齐次方程组的解之间的关系。

我们来回顾一下齐次方程组的定义。

一个齐次方程组是指方程组的常数项全为零的线性方程组。

例如,对于一个二元一次齐次方程组:\[\begin{cases}ax + by = 0 \\cx + dy = 0\end{cases}\]其中a、b、c、d为实数,这个方程组的常数项都是0,因此是一个齐次方程组。

对于一个齐次方程组,我们有以下结论:1. 齐次方程组总是有零解。

即使系数矩阵不是满秩的,也至少存在一组解全为0的解,称为零解。

2. 如果齐次方程组有非零解,那么它一定有无穷多个解。

这是因为如果有一个非零解,那么通过对这个非零解进行任意的线性组合,可以得到无穷多个解。

接下来,我们将探讨齐次方程组的解与非齐次方程组的解之间的关系。

考虑一个非齐次方程组:\[\begin{cases}ax + by = u \\cx + dy = v\end{cases}\]其中u、v为非零实数。

我们假设这个方程组有一个特解(x0, y0)。

那么我们可以将方程组改写为:\[\begin{cases}ax + by = 0 \\cx + dy = 0\end{cases}\]\[\begin{cases}ax + by = u \\cx + dy = v\end{cases}\]将这两个方程组相减,得到:\[\begin{cases}0x + 0y = u - 0 \\0x + 0y = v - 0\end{cases}\]也就是:\[\begin{cases}0 = u \\0 = v\end{cases}\]这显然是不成立的,因为u、v都是非零实数。

所以我们可以得出结论:非齐次方程组的解一定包括了齐次方程组的解之外的特解。

换句话说,非齐次方程组的解可以表示为齐次方程组的解加上一个特解。

齐次和非齐次线性方程组的解法定稿

齐次和非齐次线性方程组的解法定稿

齐次和非齐次线性方程组的解法定稿This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0(A 为m n ⨯矩阵)的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足:(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 。

其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解, 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解,则(1) 若齐次线性方程组AX = 0(A 为m n ⨯矩阵)满足()r A n =,则只有零解; (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.(注:当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.) 注:1、基础解系不唯一,但是它们所含解向量的个数相同,且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -.2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知,若m 是系数矩阵的行数(也即方程的个数),n 是未知量的个数,则有: (1) 当m n <时,()r A m n ≤<,此时齐次线性方程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解;(2)当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =; (3)当m n =且()r A n =时,若系数矩阵的行列式0A ≠,则齐次线性方程组只有零解; (4)当m n >时,若()r A n ≤,则存在齐次线性方程组的同解方程组;若()r A n >,则齐次线性方程组无解。

齐次非齐次线性方程组的基础解系和通解的区别,和各自是什么形式

齐次非齐次线性方程组的基础解系和通解的区别,和各自是什么形式

齐次非齐次线性方程组的基础解系和通解的区别,和
各自是什么形式.详细说明
1、表示不同:
通解:微分方程而言可以表示这一组中所有解的统一形式。

基础解系是线性无关的,简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解,是针对有无数多组解的方程而言的。

2、求解不同:
基础解系不是唯一的,因个人计算时对自由未知量的取法而异,但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。

对于非齐次方程而言,任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解,就可以得到非齐次方程的通解。

3、作用不同:
对于一个方程组,有无穷多组的解来说,如(1,2,3)符合方程的解,则系数K为1,2,3等,因此(1,2,3)就为方程组的基础解系。

对一个微分方程而言,它的解会包括一些常数,对于n阶微分方程,它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。

设其系数矩阵为A,未知项为X,则其矩阵形式为AX=0。

若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r,则它的方程组的解只有以下两种类型:
当r=n时,原方程组仅有零解。

当r<n时,有无穷多个解(从而有非零解)。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后,不全为零的行数r(即矩阵的秩)小于等于m(矩阵的行数),若m<n,则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元,这个n-r 个自由变元可取任意取值,从而原方程组有非零解(无穷多个解)。

第三章 线性方程组 第5节 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构

第三章 线性方程组 第5节 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
因为 r ( A) 2 4 , 所以齐次线性方程组有无穷多解。 取自由未知量为 x2 , x4 ,
x1 2 x 2 x3 x4 0 原方程组与方程组 同解 7 x3 5 x 4 0 x2 1 对自由未知量分别取 , x = 4 0
因为 r ( A) 2 4 ,所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为
2 x x2 x3 x4 0 同解 x2 , x3 ,原方程组与方程组 1 x4 0
1 0 对自由未知量为 x2 , x3 分别取 和 ,代入上式得到方程组的一个基础解系 0 1
即 1 2 是其导出组 AX=0 的解。 定理 2:如果 0 是非齐次线性方程组的一个特解, 是其导出组的全部解, 则 0 是非齐次线性方程组的全部解。 由此可知:如果非齐次线性方程组有无穷多解,则其导出组一定有非零解, 且非齐次线性方程组的全部解可表示为:
A(CX 0 ) C ( AX 0 ) C 0 0
即 C X 0 也是齐次线性方程组(1)的解。 由性质(1),(2)可得: (3) 如 果 X 1 , X 2 ,, X s 都 是 齐 次 线 性 方 程 组 (1) 的 解 , 则 其 线 性 组 合
C1 X 1 C2 X 2 Cs X s 也是它的解。其中 C1 , C2 ,, C s 都是任意常数。
因为 r ( A) 3 4 ,所以齐次线性方程组有无穷多解。取自由未知量为 x4 ,原
4
x1 x3 0 方程组与方程组 x 2 3 x3 x 4 0 同解 3 x3 x 4 0 4
取 自 由 未 知 量 x 4 =1 , 代 入 上 式 得 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系 为 :
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线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0(A 为m n ⨯矩阵)的一组解为,,,n r -12L ξξξ ,且满足: (1) ,,,n r -12L ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12L ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122L X ξξξ为AX = 0的通解 。

其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数). 齐次线性方程组的关键问题就是求通解, 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解,则(1) 若齐次线性方程组AX = 0(A 为m n ⨯矩阵)满足()r A n =,则只有零解; (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.(注:当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.)注:1、基础解系不唯一,但是它们所含解向量的个数相同,且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知,若m 是系数矩阵的行数(也即方程的个数),n 是未知量的个数,则有:(1) 当m n <时,()r A m n ≤<,此时齐次线性方程组一定有非零解,即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解;(2)当m n =时,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =; (3)当m n =且()r A n =时,若系数矩阵的行列式0A ≠,则齐次线性方程组只有零解; (4)当m n >时,若()r A n ≤,则存在齐次线性方程组的同解方程组;若()r A n >,则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0(A 为m n ⨯矩阵)通解的三步骤(1)−−→A C 行(行最简形); 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12L ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122L X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.【例题1】 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一:将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦L 显然有()4r A n ==,则方程组仅有零解,即12340x x x x ====.解法二:由于方程组的个数等于未知量的个数(即m n =)(注意:方程组的个数不等于未知量的个数(即m n ≠),不可以用行列式的方法来判断),从而可计算系数矩阵A 的行列式:23153121327041361247A --==≠---,知方程组仅有零解,即12340x x x x ====.注:此法仅对n 较小时方便【例题2】 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解:将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩(其中3x ,4x ,5x 为自由未知量)令31x =,40x =,50x =,得121,2x x ==-; 令30x =,41x =,50x =,得121,2x x ==-; 令30x =,40x =,51x =,得125,6x x ==-, 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以,原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++(1k ,2k ,3k R ∈). 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解(,()m n r r ⨯=A A ) 用初等行变换求解,不妨设前r 列线性无关1112111222221()00r nr n rr rn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L O M M M L M M A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠=L 所以知 1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++L X ξξξη,12,,,n r k k k -L 为任意常数。

其中:12,,,n r -L ξξξ为AX = b 导出组AX = 0的基础解系,0η为AX = b 的特解,【定理1】 如果η是非齐次线性方程组AX=b 的解,α是其导出组AX=0的一个解,则ηα+是非齐次线性方程组AX=b 的解。

【定理2】如果0η是非齐次线性方程组的一个特解,α是其导出组的全部解,则αη+0是非齐次线性方程组的全部解。

由此可知:如果非齐次线性方程组有无穷多解,则其导出组一定有非零解,且非齐次线性方程组的全部解可表示为: r n r n C C C --++++αααηΛ22110其中:0η是非齐次线性方程组的一个特解,r n -ααα,,,21Λ是导出组的一个基础解系。

【例题3】判断下列命题是否正确, A 为m n 矩阵.(1)若AX =0只有零解,则AX=b 有唯一解. 答:错, 因r (A )=n , r (A )= n = r (A |b ) (2)若AX =0有非零解,则AX=b 有无穷多解. 答:错, 因r (A )<n , r (A )= r (A |b ) (3)若AX=b 有唯一解,则AX =0只有零解. 答:对, r (A )= r (A |b ) =n.(4)若AX =0有非零解,则A TX=0也有非零解.答:错,A 为m n , r (A )=m <n , r (A T)=m , 这时A TX=0只有零解. 例如A 为34, R (A )=3 <4, r (A T)=3=m . (5)若r (A )=r =m ,则AX=b 必有解. 答:对,r (A )=r =m= r (A |b ) . (6)若r (A )=r =n , 则AX=b 必有唯一解. 答:错,A 为m n ,当m n 时, 可以r (A |b ) =n +1.⑴ 唯一解:()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解【例题4】 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩ 解:2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦ ))332311(224(3r r r r r ⨯-⨯+⨯-+−−−−−→21()3100110010306010200100010r ⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--−−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 可见()()3r A r A ==,则方程组有唯一解,所以方程组的解为1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩⑵ 无解:()()r A r A ≠⇔线性方程组无解(或若阶梯形方程组出现100r d +=≠,则原方程组无解)【例题5】解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解:1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦,可见()3()2r A r A =≠=,所以原方程组无解.⑶ 无穷多解:()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解【例题6】解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解:1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2321221(1)101520127500000r r r r r ⨯+⨯+⨯---⎡⎤⎢⎥−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()24r A r A ==<,则方程组有无穷多解,其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ (其中3x ,4x 为自由未知量)令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩(其中3x ,4x 为自由未知量)令31x =,40x =,得121,2x x =-=;令30x =,41x =,得125,7x x ==-,于是得到导出组的一个基础解系为 11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

所以,原方程组的通解为 1122X k k ηξξ=++(1k ,2k R ∈).【例题7】 求线性方程组:12341234123421,22,2 3.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩ 的全部解. 解: 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121213(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 121120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦23r r ↔−−−→ 121120112103333-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 23212(3)(2)(1)r r r r r ⨯-+⨯-+⨯-−−−−→ 103340112100636⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦33331()3123()212r r r r ⨯-⨯⨯-⨯−−−−→310012301002100112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可见()()34r A r A ==<,所以方程组有无穷多解,其同解方程组为14243431,23,211.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩(其中4x 为自由未知量) 令40x =,可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩(其中4x 为自由未知量)令42x =-(注:这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数),得1233,3,1x x x ==-=,于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以,原方程组的通解为 X k ηξ=+ (k R ∈).【例题8】求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++55493123236232335432154321432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解。

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