第三节非齐次线性方程组非齐次线性方程组的概念

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第三节非齐次线性方程组

2
1
43 R(A)=R(B)=3 <5
4 3
方程组有
2
无穷多个解
x1
1 2Biblioteka x41 4x5
1 4
有
x2
3 2
x4
3 4
x5
3 4
x3
x4
1 2
x5
3 2
1
43
取x4=x5=0, 得方程组的一个特解:
*
4 3
对应齐次方程组
x1
1 2
x4
1 4
x5
的同解方程组为:
x2
3 2
x4
3 4
x5
3 x1
x2
p
x3
15 x4
3,
x1 5 x2 10 x3 12 x4 t
当p, t取何值时,方程组无解?有唯一解?
有无穷多解?在方程组有无穷多解的情
况下,求出一般解.
32
返回
解
1 1 2 3 1
B
1 3
3 1
6 p
1 3 15 3
1 5 10 12 t
1 1 0 2
2
3 1
(2). 当 1时,
1 1 1 1
B 0 0 0 0 . 0 0 0 0
R( A) R(B) 1.
因此方程组有无穷多个解.
(n r 3 1 2. 有两个任意常数).
26
返回
(3). 当 2 时,
1 1 2 4 B [ A,b] 0 3 3 6.
0 0 0 3
1、非齐次方程组的求解步骤
(1) 写出B，并将B化为行阶梯形；从而求出 R( A)与 R(B)以判断是否有解;

第4章第3节非齐次线性方程组

证明 A (ξ +η ) = Aξ + Aη = 0 + β = β 所以 x = ξ +η 是方程 A x = β 的解
非齐次线性方程组的通解
其中 kξ1+kξ + + kn−r ξ n − r 是对应的齐次方程组的通解, ... 是对应的齐次通解, 1 2 2 5 η * 是非齐线性方程组的任何一个特解. 线性方程组的任何一个特解特解.
1 1 0 0.5 1 0 0 −2 0
原方程组有无穷多个解，原方程组有无穷多个解，它同解于无穷多个解
x1+0.5x2−0.5x3 = 0.5 −0.5 0.5 x1 0.5 x4 = 0 x 1 0 通解为 2 = 0 + k1 + k2 x1 =0.5 −0.5x2+0.5x3 0 1 x3 0 x2 = x2 0 0 x4 0 x = x3 3 第2行减去第1行与第,3行之和与第3 其中 k1 k2 为任意实数 x4 = 0第3行减去第1行 7
次
x=k1 1+k2ξ 2 +... +kn−r ξ n− r +η* =ξ
x1 − x2 − x3 + x4 = 0 例1 求解方程组 x1 − x2 + x3 −3x4 = 2 x1 − x2 −3 x3+5x4 = −2 1 1 1 1 −1 −1 1 0 1 −1 −0 − 1 0 解对增广矩阵 A =1 −1 1 −3 2 ~ 0 0 1 −4 2 2 2 1 进行初等行变换 1 −1 −3 5 −2 0 0 −2 4 −0 0 0 2 R ( A ) = 2 = R( A ) < 4

4-3.非齐次线性方程组PPT

1 1 2 1 1 0 0 2 4 0 0 3 t 5 1 2 3
(k1 , k2 R)
练习 k为何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 1 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 0 x2 2 x3 2 x4 6 x5 k
有解，并在有解时求通解.
解
1 A 3 0 1 r2 3r1 0 0
唯一解 x1 d1 , x2 d 2 , xn d n
x1 c1r 1 xr 1 c1n xn d1 x c x c x d 2 2 r 1 r 1 2n n 2 xr crr 1 xr 1 crn xn d r 其中 xr 1 ,, xn 为自由变量，故方程组有依赖于
4-2=2个独立参量的无穷多解
1 1 0 1 1 2 0 0 1 2 1 2 . 0 0 0 0 0
所以方程组的通解为
同解方程组为 x1 x2 x4 1 2 x2 x2 2 x4 1 2 x3 x4 x4
思考题解答
解
2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B 3 1 p 15 3 1 5 10 12 t
2 3 1 1 1 4 2 2 0 2 ~ 0 4 p6 6 0 0 6 12 9 t 1
n-r 个独立参量的无穷多解.
例1 设有线性方程组

(1 ) x1 x2 x3 0, x1 (1 ) x2 x3 3, x x (1 ) x . 3 1 2
问取何值时，此方程组（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解.

4.2非齐次线性方程组

c1102c2102
1 0 0
,c1,c2
R
最新课件
19
附录
1.经济学投入产出分析应用 2.线性方程组迭代法（Jacobi法）
最新课件Biblioteka 201.投入产出分析的应用
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21
在一个国家或地区的经济系统中, 各部门(或各企业)既有消耗又有生产, 或者说既有“投入” 又有“产出”, 生产的产品供给各部门和系统外以满足需求, 同时也要消耗系统内各部门所提供的产品, 消耗的目的是为了生产, 生产的结果必然要创造新价值, 以支付工资和获取利润. 显然对每一部门, 物资消耗和新创造的价值等于它生产的总产值. 这就是“投入”和“产出”之间的平衡关系.
最新课件
22
实例一个城镇有三个主要生产企业: 煤矿、电厂和地方铁路作为它的经济系统. 已知生产价值一元的煤, 需消耗0.25元的电费和0.35元的运输费; 生产价值一元的电, 需消耗0.40元的煤费、0.05元的电费和 0.10元的运输费; 而提供价值一元的铁路运输服务, 则需消耗0.45元的煤费、0.10元的电费和0.10元的运输费.假设在某个星期内, 除了这三个企业间的彼此需求, 煤矿得到50000元的订单, 电厂得到25000元的电量供应要求, 而地方铁路得到价值30000元的运输需求, 试问:
8
例2
求解非齐次线性方程组
3xx11
x2 x2
3x3 3x3
x4 1, 4x4 4,
x1 5x2 9x3 8x4 0.
解
1
B3 1
1 1 5
3 3 9
1 4 8
1 4 0
1
r r23 3rr1100
1 4 4

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组Ax=b一、基本理论线性方程组Ax=b 有解条件: 系数矩阵A 的秩 = 增广矩阵(A,b )的秩.非齐次线性方程组的解集结构：若x 1是Ax=b 的一个特解, N (A )表示齐次线性方程组Ax=0的解空间, 则非齐次线性方程组Ax=b 的解集为x 1+N (A ).解非齐次线性方程组的方法：通过初等行变换将增广矩阵(A,b )化为最简行阶梯矩阵(A 1,b 1), 写出对应的方程组，根据方程组写出解.二、Matlab 实现调用rref(A )将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出解.若方程组有解, 且rank(A )=n ，即A 列满秩时, 方程组有唯一解. 此时可直接用A 左除b 求得唯一解：x=A\b .三、例子例1. 求解线性方程组1234524512345123512345343226333434222026231x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪---=-⎪⎪-++-=⎨⎪++-=⎪-+-++=⎪⎩A=[3 -4 3 2 -1; 0 -6 0 -3 -3; 4 -3 4 2 -2; 1 1 1 0 -1; -2 6 -2 1 3]; b=[2; -3; 2; 0; 1]; A1=[A b]A1 =3 -4 3 2 -1 2 0 -6 0 -3 -3 -3 4 -3 4 2 -2 2 1 1 1 0 -1 0 -2 6 -2 1 3 1rref(A1)ans =1 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0化为方程组32415510x x x x x x ++=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以解为15233354555311000001100011010x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++例2. 设函数2y axbx c =++经过点(1,1), (2,2), (3,0), 求系数a , b , c .解1422930a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩输入系数矩阵A 和右端项bA=sym([1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]); b=sym([1; 2; 0]);增广矩阵1A A1=[A b]A1 =[ 1, 1, 1, 1] [ 4, 2, 1, 2] [ 9, 3, 1, 0]利用rref 求解 R=rref(A1)R =[ 1, 0, 0, -3/2] [ 0, 1, 0, 11/2] [ 0, 0, 1, -3]即解为311,,322a b c =-==-解二判断方程组是否有解, 即系数矩阵A 的秩是否等于增广矩阵1A 的秩. rank(A)==rank(A1)ans = 1 有解.判断方程组是否有唯一解, 即系数矩阵 A 是否等于A 的列数n .[m,n]=size(A); rank(A)==nans = 1A 的秩等于列数n , 有唯一解.直接用A 左除 b 求解 x=A\bx = -3/2 11/2 -3例 3. 设三种食物中每100g 中的蛋白质、碳水化合物、脂肪的含量如下表.三种食物用量各为多少才能保证所需营养？解. 设脱脂牛奶用量为1x , 大豆面粉用量为2x , 乳清用量为3x .12312312336 51 133352 34 74450 7 1.13x x x x x x x x x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩A=[36 51 13 33; 52 34 74 45; 0 7 1.1 3]A =36.0000 51.0000 13.0000 33.0000 52.0000 34.0000 74.0000 45.0000 0 7.0000 1.1000 3.0000 R=rref(A)R =1.0000 0 0 0.2772 0 1.0000 0 0.3919 0 0 1.0000 0.2332所以脱脂牛奶的用量为27.72g ，大豆面粉的用量为39.19g ，乳清的用量为23.32g 。

第三节非齐次线性方程组

第三节非齐次线性方程组
称为非齐次方程组，其中 bi (i 1,2, , m) 不全为零. 若 x1 c1 , x2 c2 ,, xn cn 代入（1）时的等式成立，则称
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm ,
方程组（1）的增广矩阵(有时记为
A
).
非齐次方程组解的性质及其结构定理3.15 设X 1及X 2都是AX b 的解, 则X 1 2为对应的齐次方程AX 0的解.
证明
A1 2 A1 A2 b b 0.
x1 x3 2 0 x4 2 x5 9 2 x2 x 3 2 x4 3 x5 23 2 x 3 1 x 3 0 x4 0 x5 x4 0 x 3 1 x4 0 x5 x5 0 x 3 0 x4 1 x5
（2）利用初等变换
特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．
非齐次线性方程组 AX b 的解题步骤：
第一步：利用初等变换将增广矩阵 B ( Ab) 化成行阶梯最简形，写出同解方程组；
第二步：求出对应齐次方程组的基础解系
解
对增广矩阵B施行初等行变换:
1 B 1 1 1 ~ 0 0 1 1 0 1 1 3 1 1 2 3 1 2 1 0 1 1 2 0 1 2 1 2 , 0 0 0 0 1

非齐次线性方程组

x5为任意实数 .
返回
n元非齐次线性方程组Ax = b解的存在性
方程组无解 R( A) R( A, b) 方程组有解 R( A) R( A, b)
方程组有唯一解 R( A) R( A, b) n 方程组有无穷多组解 R( A) R( A, b) n
返回
二、非齐次线性方程组的通解结构
④有解, 叫相容.
④ 可写成:
AX = b
⑥
相应的齐次方程组: AX = 0
⑦
性质3. 若1,2是⑥的解,则1 2是⑦的解.
性质4. 若是⑥的解, 是⑦的解,
则是⑥的解.
定理:若是 ⑥的一个解, 则⑥的任一个解
返回
下面四种提法可互为充要条件:
(1). 方程组④有解.
(2). b 可由1, , n 线性表示.
(3). 向量组1, , n与向量组1, , n ,b等价.
(4). R(A) = R(B) .
显然
显然
证明: (1) (2) (3).
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
R(A)=R(B).
返回
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
设秩同为 r,
1, , r 是1, , n 的一个最大无关组. 1, , r ,b 线性相关, 否则与秩为 r 矛盾! 1, , r也是 1, , n,b的一个最大无关组.
1, ,n与1, ,n,b等价. 证毕.
定理二. (非齐次线性方程组④有解的判别定理)
(iii) 令这 n–r 个自由未知量分别为基本单位向量1,L ,nr ,
可得相应的 n–r 个基础解系 1 , ,nr ; (iv) 写出通解 k11 k22 L knr nr ,其中k1, k2,L , knr为任意实数

4.3非齐次线性方程组

(k1,k2∈R)
x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x4 = 1 例2 求解方程组 3 x1 − x 2 + 5 x 3 − 3 x4 = 2 2 x + x + 2 x − 2 x = 3 2 3 4 1
1 3 解: B = 2 1 − 2 ~ 0 5 − 0 0
方程组(1)的系数阵方程组的系数阵: 的系数阵
a11 ⋯ A= a m 1
a11 ⋯ B= a m 1
a12 ⋯ a1n ⋯ ⋯ ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ a m 2 ⋯ a mn
a12 ⋯ ⋯ a1n ⋯ ⋯ b1 ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ bn
方程组(1)的增广阵方程组的增广阵: 的增广阵
a m 2 ⋯ a mn
方程组(1)有解 ⋅⋅⋅,x 方程组有解x1,x2,⋅⋅⋅ n 有解 ⋅⋅⋅ 存在一组数x ⋅⋅⋅,x ⋅⋅⋅+x ⇔存在一组数 1,x2,⋅⋅⋅ n,使x1β1+⋅⋅⋅ nβn=b ⋅⋅⋅ 使 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅, ⇔b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示可由 ⋅⋅⋅ 下面四种提法可互为充要条件: 下面四种提法可互为充要条件 1° 方程组有解有解. ° 方程组(1)有解 2° b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示 ⋅⋅⋅, ° 可由 ⋅⋅⋅ 3° 向量组β1,⋅⋅⋅ βn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b等价 ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅, ° ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 等价 4° R(A)=R(B) ° 定理二非齐次线性方程组(1)有解有解⇔ 非齐次线性方程组有解⇔R(A)=R(B)
1 λ 1 ~ 0 λ − 1 1 − λ − 0 1 − λ 1 − λ2

《非齐次线性方程组》课件

《非齐次线性方程组》ppt课件
目录
CONTENTS
• 非齐次线性方程组的基本概念 • 非齐次线性方程组的解法 • 非齐次线性方程组的特解和通解 • 非齐次线性方程组的解的结构 • 非齐次线性方程组的应用
01 非齐次线性方程组的基本概念
非齐次线性方程组的定义
总结词
非齐次线性方程组是由至少一个常数项不为0的线性方程组成的方程组。
考虑方程组$begin{cases}x + y = 1 x - y = 3end{cases}$，解为$x = 2, y = -1$和$x = -1, y = 2$，线性组合如$0.5x_1 + 0.5x_2 = 0.5(2,-1) + 0.5(-1,2) = (0.5,0.5)$也是该方程组的解。
特解的求解方法
特解的求解方法通常包括代入法、消元法等。代入法是将方程组的某个方程代入其他方程，消元后得到一个或多个方程，再求解得到特解。消元法则是通过消元过程将原方程组化为一个等价的单一方程，再求解得到特解。
通解的概念和求解方法
通解的概念
通解是非齐次线性方程组中满足方程组的所有解的集合。它通常表示为某个常数向量的线性组合。
在研究热传导问题时，非齐次线性方程组可以用来描述温度随时间和空间的变化规律。
波动方程
在研究波动现象时，如声波、电磁波等，非齐次线性方程组可以用来描述波的传播和变化规律。
在经济问题中的应用
供需平衡
非齐次线性方程组可以用来描述市场经济中的供需关系，如商品
的价格和销售量之间的关系。
投资组合优化
02 非齐次线性方程组的解法
消元法
总结词
消元法的核心是通过消元过程将非齐次线性方程组转化为齐次线性方程组，从而求解。

非齐次线性方程组

2019年3月26日星期二
kn-r n-r 0
k n可取任意常数.
(Spring 16ppt) 7
例
x1 1 3 4 5 2 x2 2 1 1 1 x 1 3 1 2 3 3 4 x 4
2019年3月26日星期二 (Spring 16ppt) 8
练习
0 1 2 2 1 3 4 2 1. 设 A , 2 1 1 0
5 b 6 , 求 Ax b 的通解． 4
解
0 5 4 3 1 2 2 1 0 2 行 0 1 A b 1 3 4 2 6 2 2 1 2 4 0 0 0 1 1 0 0 0
以上说明了，原非齐次线性方程组（2.17）与向量方程（2.18）等价.
2019年3月26日星期二
(Spring 16ppt)
17
另一方面,若向量b能由向量组1 , 2 ,
, n线性表示, 那
么在增广矩阵B中,最后一列的向量组可以表示为系数矩阵A的列向量组的线性组合,所以,矩阵A与矩阵B的秩相等,即R(A)=R(B).
例
x1 2 x2 x3 x4 2 解方程组 2 x1 x2 x3 3x4 1 4 x 3x x x 3 2 3 4 1
2 1 2 1 1 2 r 2 r 1 2 1 1 r32 4 r11 B 2 1 1 3 1 0 5 3 5 5 4 3 1 1 3 0 5 3 5 5
反之, 若R( A) R( B) r 0, 那么,向量组1 , 2 , 与向量组1 , 2 , , n , b有相同的秩, 若1 , 2 ,

线性代数非齐次方程组

⎪⎩4x1 + 5x2 − 5x3 = −1
不再是含参数的方程组了。
a
=
−
4 5
时，方程组为⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧4−2xx1451+x−1545−x2xx−22
=
⎜ ⎜
a22
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ am2 ⎟⎟⎠
⎜⎛ a1n ⎟⎞
αn
=
⎜ a2n ⎜
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ amn ⎟⎟⎠
⎜⎛ b1 ⎟⎞
β
=
⎜ b2 ⎜
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ bm ⎟⎟⎠
x1α1 + x2α2 + + xnαn = β
方程组的向量方程
即 (α 1 ,α 2 ,
⎛ x1 ⎞
,α
n
)
⎜ ⎜ ⎜
x2
⎟ ⎟ ⎟
其中 η* 是n 元非齐次线性方程组（1）的一个特解，ξ1, ξ2 , , ξn−r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，k1,k2, ,kn−r为任意常数.
(3) 当 r(A) ≠ r(A) 时，方程组(1)无解.
例设A为m×n矩阵，AX＝0为AX＝b的导出组，则
1) 当 AX＝0 仅有零解时，AX＝b 有唯一解 2) 当 AX＝b 有唯一解时，AX＝0 仅有零解 3) 当 AX＝0 有非零解时，AX＝b 有无穷多解 4) 当 AX＝b 无解时，AX＝0 仅有零解
通解。
注意什么？
补充
含参数的方程组
在求解方程组之前，要先确定参数值。——这是准则。
而参数值的确定，要依据有解的条件即：r( A) = r( A)
一般而言，有两种方法确定参数值。一种是行列式法，另一种是
初等变换法。
例3 解

第三节非齐次线性方程组

( 2) 当a 3且a 2时，R( A) R( B) 3，方程组有唯一解； ( 3) 当a 2时， R( A) R( B) 2 3，方程组有无穷多解 .
例4. 设四元非线性方程组Ax b的系数矩阵的秩R( A) 3， 1， 2， 3为Ax b的三个解，且 1 2 3 1 2， 2 3 4， 3 4 5 求Ax b的通解. 解： 4 R( A) 1, Ax b的导出组Ax 0的基础解系含一个解向 . 量又由已知得1 2， 1 3为Ax 0的解，所以 (1 2 ) (1 2 ) 21 ( 2 3 )为Ax 0的解. 0 0 而21 ( 2 3 ) 1 0， 1为Ax 0的基础解系，故 2 2 3 3
6. 求通解的步骤 : (1)用初等行变换化B 为简化阶梯形矩阵；
( 2) 取自由未知量全为0，求出特解 * ; ( 3) 取自由未知量为基本单位向量组， Ax 0的基础解系；求出 (4) 写出通解 x * k11 k2 2 kn r n r . x1 x 2 x 3 x4 0, 例1. 求方程组 x1 x 2 x 3 3 x4 1, 的通解. x1 x 2 2 x 3 3 x4 1 2 . 解： 1 1 1 1 0 r2 r1 1 1 1 1 0 r31 1 r2 1 1 1 1 0 2 r3 r1 B 1 1 1 3 1 ～ 0 0 2 4 1 2 r2 0 0 1 2 1 2 1 1 1 1 2 3 2 0 0 1 2 2 ～ 0 0 0 0 0 1 r1 r2 1 1 0 1 2 x1 1 x2 x4 , 2 ～ 0 0 1 2 1 , 所以原方程组可化为： 2 x 3 1 2 x4 . 2 0 0 0 0 0 1 2 取x2 x4 0, 得方程组的特解： * 0 . 1 2 0

线性代数3-3

思考题1
能否利用“行列式”法求下列非齐次线性方程组的解情况
− 2 x1 + x2 + x3 = −2 x1 − 2 x2 + x3 = λ x + x − 2 x = λ2 1 2 3
思考题解答
不能！虽然是个方阵，不能！因为其系数矩阵 A虽然是个方阵，但
| A |= 0！无法展开讨论。所以，本题只能使用初等行变换法。
λ
1− λ (1 − λ )(2 + λ )
λ (1 − λ ) 2 (1 − λ )(1 + λ )
λ2
(1) 当λ = 1时,
1 1 1 1 A ~ 0 0 0 0 0 0 0 0
由 r ( A ) = r ( A ) = 1 < 3 , 知方程组有无穷多解 . x1 = 1 − x2 − x3 且其通解为 x 2 = x2 x = x 3 3 x1 − 1 − 1 1 即 x2 = c1 1 + c2 0 + 0 (c1 , c 2 ∈ R ) 0 1 0 x 3
− x2 − x4 = − x1 + 1 2 − 2 x4 = − x 3 + 1 2 x1 1 0 0 若令x1 = c1 , x3 = c2 , x2 1 c − 1 2 − 1 4 . x = c1 0 + 2 1 + 0 则得通解为 3 0 12 −4 x 4 (其中c1 , c2 ∈ R ) 方程组
(λ + 1)2 λ +1 1 x1 = − , x2 = , x3 = . λ+2 λ+2 λ+2

线性代数第三节(非齐次线性方程组)课讲PPT省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

例1
2x y 4
x
3y
5
旳导出方程组为：
2x y 0
ห้องสมุดไป่ตู้
x
3y
0
定理1 非齐次线性方程组Ax=b旳解与它导出方程组Ax=0 旳解之间有如下关系：
(1) 设 1 , 2 是Ax=b旳解, 则1 - 2 为对
齐次线性方程组Ax = 0 旳解。
(2) 是方程Ax=b旳解, 是Ax=0旳解,则 + 是方程 Ax=b 旳解.
其中 k1 , k2 是任意常数.
例 4 a，b为何值时，线性方程组
x1 ax2 x1 2ax2
x3
x3
3,
4,
x1 x2 bx3 4.
有唯一解，无解或无穷多解？在有无穷多解，
求其通解？
ξ1
1
,
ξ
2
0
,
ξ
3
0
,
0 1 0
0
0
1
（4）通解
于是, 原方程组旳通解为
x = c11 + c22 + c33 + *,
其中 c1 , c2 , c3 是任意常数.
例3 已知 1 , 2 , 3 是三元非齐次线性
方程组 Ax = b 旳解, R(A) = 1, 且
1
1
1
1 2 0 , 2 3 1 , 1 3 1 ,
0
0
1
求方程组旳通解.
解：由题设易得
1
1 2
2(1
2
3 )
(2
3 )
1 2
[(1
2 )
(2
3 )
(1
3 )]
(2

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1 1 2
A
3 a
1 b
4 c
r( A) 2,
1
1 d
二阶子式 1
1 4 0,
31
r( A) r( A) 2.
r( A) r( A) 2,
因此方程组 AX=b 的导出组 AX=0 的基础解系中应含有 3-2=1 个解向量.
1 2 (3, 1, 2)T 0 是 AX=0 的基础解系. 故原方程组的全部解为
1
0
1
2
0
0

3 4 5 6 3 12 0 0 0 1 2 1
1 1 1 3 1
4
x01
0 x2
0 x3
0 x4
0 x5
0
得原方程组的同解方程组：
x1
2 x3 5x5 x2 3 x3
特解＋通解令未知量 x3 x5 0,
x4 1 2 x5
得原方程组的一个特解：0 2 3 0 1 0T，
12
x1 x2 x3 3 x4 x5 4
的通解，并用其导出组的基础解系表示.
解: 对方程组的增广矩阵施以初等行变换，
化为行最简形矩阵： 1 2 3 1 3 5
A 2 1
0
2
6
1
3 4 5 6 3 12
1 1 1 3 1
4
1 2 3 1 3 5 1 0 1 0 5 2
A 2 1 0 2 6
向量组1,2, ,n 与向量组1,2, ,n,b等价.
r 1,2, ,n r 1,2, ,n,b.
二、应用举例
例１求解下列非齐次线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 1
2
x1
4 x2
8 x3

§2.4非齐次线性方程组

也线性相关。证明因为 β 1 , β 2 , 出，所以 r{ β 1 , β 2 , 已知 α 1 ,α 2 ,
, β n 可由 α1 , α 2 ,
, α n 线性表
, β n } ≤r { α1 ,α 2 ,
,α n }
,α n 线性相关，故有
r{ α 1 ,α 2 ,
,α n } < n
于是， r{ β 1 , β 2 , 由此可得 β 1 , β 2 ,
⇔
⎛ AT ⎞ ⎛O⎞ ⎟ X = ⎜ ⎟ 无解， ⎜ ⎜ bT ⎟ ⎝1⎠ ⎠ ⎝
证明（1）设 AY = b有解，则存在一个Y0 ，使
T AY0 = b 。于是，Y0 AT = bT。
任取 AT X = 0 的一个解 X 0 ，则 AT X 0 = 0 。因
b X0 =
T
T T (Y0 A ) X 0
⎛ AT ⎞ ⎛O⎞ 设 “⇐” 方程组 ⎜ T ⎟ X = ⎜ 1 ⎟ 无解，则 ⎜b ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
⎛ AT 秩⎜ T ⎜b ⎝
又
⎛ AT ⎞ ⎛ AT 0⎞ ⎟ ≠ 秩⎜ ⎟ 且秩⎜ ⎟ ⎜ bT ⎟ ⎜ bT 1⎠ ⎝ ⎝ ⎠
⎛ AT ⎞ 0⎞ ⎟ +1 ⎟ = 秩⎜ ⎟ ⎜ bT ⎟ 1⎠ ⎝ ⎠
(∗)
令
⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a21 ⎟, α = ⎜ a22 ⎟, α1 = ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ m1 ⎠ ⎝ m2 ⎠
⎛ a1n ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a2 n ⎟, β = ⎜ b2 ⎟ , αn = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎟ ⎝ mn ⎠ ⎝ m⎠

第三节 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组的概念

第三节 非齐次线性方程组

第4章第3节非齐次线性方程组

4-3.非齐次线性方程组PPT

4.2非齐次线性方程组

非齐次线性方程组

第三节非齐次线性方程组

非齐次线性方程组

4.3非齐次线性方程组

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非齐次线性方程组

线性代数 非齐次方程组

第三节 非齐次线性方程组

线性代数3-3

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§2.4非齐次线性方程组

第三节非齐次线性方程组非齐次线性方程组的概念

第三节非齐次线性方程组

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第三节非齐次线性方程组

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