第三节 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组的概念

0 , 0 1
从而得到齐次线性方程组的一个基础解系
1 (2,1,1,0,0)T ,2 (2,1,0,1,0)T ,3 (6,5,0,0,1)T
齐次线性方程组通解为 c11 c22 c33 非齐次线性方程组的通解为 c11 c22 c33
其中 c1 , c2 , c3 为任意常数.
例 问方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3
x1
x2
x3
2
当 为何值时方程组有唯一解；无解；无穷多解？
解：
A
1
1
1 1
1
1 r1 r3 1
1
1
2
1 1 2
1
1
1
r2 r1
1
r3 r1 0
0
1
1 1
1 1 2
2 2
1
3
1 r3r1 0
解：设有方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0
a1
由题意应有：
0 3
1 2
2 1
3 0
a2 aa43
0 0
对系数矩阵施行初等行变换，有：
0 1 2 3 1 0 1 2
3 2 1 0 ~ 0 1 2
3
a1
1 0
0 1wk.baidu.com
1 2
2
3
a2 aa43
0 0
A A[21 (2 3 )] 2b (b b) 0
即是Ax 0的解，
3
21
(2
3
)
4 5
0
6
AX 0 基础解系中应含n-r=4-3=1个向量
非齐次线性方程组的通解为
3 2
x
k
1
k 4 5
3 4
6 5
例 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为：
1 0, 1, 2 , 3T , 2 3 , 2 , 1, 0T
0
1
1
0
1 2 2
2
2
1
3
2
1 1
2
0 1
1
(1 )
所以
0
0
(1 )( 2)
(1
)2
(1
)
当R( A) 3,即 1, 2时,方程组有唯一解.
当R( A) R( A) 3,即 1时, 方程组有无穷多解
当R( A) R( A),即 2时, 方程组无解。
即
aa12
a3 2a4 0 2a3 3a4 0
即
aa12
a3 2a4 2a3 3a4
所以
a1 1 2
a2 aa43
c1
2
1
0
c2
3
0
1
即所求方程组为：
2xx1123xx22xx34
0 0
小结
R( A) r n时， 有唯一零解
线性方程组 解的存在性
齐次线性方
从而 X=
定理
对非齐次线性方程组 AX b
若 r（A）=r (A) r 且已知1 ,2 , nr
是 AX 0 的基础解系， 0 是 AX b
是的某个已知解，则 AX b 的通解为
X 0 c11 c22 cnr nr
其中 c1 ,c2 , cnr 是任意实数。
x1 x2 x3 x4 x5 2
第三节 非齐次线性方程组
非齐次线性方程组的概念 非齐次线性方程组有解的条件 非齐次线性方程组解的结构
一、非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
形如
a21 x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
称为非齐次线性方程组
则 1 2 是对应的齐次线性方程组 AX 0的解
证明 A A(1 2 ) A1 A2 b b 0
性质2 设是AX 0的通解， 是AX b的一个解 则 AX b 的任一解为 X
证明 设X是AX b的任一解,则X-ξ *总是
AX 0 的解,用 表示之，有X -
6x5 5x5
令 x3 x4 x5 0 解得 x1 6 , x2 4
从而得到非齐次线性方程组的一个解 (6,4,0,0,0)T
对应齐次线性方程组的同解方程组为
x1 x2
2x3 2x4 x3 x4
6x5 5 x5
令
x3
x4 分别取
x5
1 0 0
0 , 1 0
例
求
方程组
x1 2 x2
4x5 2
x1 2 x3 2 x4 6 x5 6
4 x1 5 x2 3 x3 3 x4 x5 4
的通解
解 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 2
1
2
0
0
4
2
r2 r1
r3 r1 0 r4 4r1
1
1 1 5 4
程组 AX 0
非齐次线性方
程组 AX b
R( A) r n时， 有无穷多解
R( A) R( A)时，无解
R( A) R( A) n时， 有唯一解
R( A) R( A) n时， 有无穷多解
解的任意非零线性 组合仍为其解
线性方程组 解的结构
齐次线性方
程组 AX 0
非齐次线性方
程组 AX b
1 0 2 2 6 6
0 1 1 1 5 4
4 5 3 3 1
4
0 1 1 1 5 4
1 0 2 2 6 6
r3 r2 r4 r2
r1 r2
0
1
1
1
5
4
0 0 0 0 0 0
0 0 0
0
0
0
得到非齐次线性方程组的同解方程组为
x1 x2
6 4
2x3 2x4 x3 x4
例 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩
为3，已知 1 , 2 , 3 是它的三个解向量，且
2
1
1
3 4
,
2
3
2. 3
5
4
求该方程组的通解。
解: 设非齐次线性方程组 Ax b
对应的齐次线性方程组 Ax 0
已知 1,2 ,3 是Ax b的解，
故有 A1 b, A2 b, A3 b 令 21 (2 3 ), 则
基础解系的线性组合
k11 k22 knr nr
为其通解
任一解可表示为一特解与 导出组的解之和
其 一 特 解 与 导 出 组 通 解之 和
k11 k22 knr nr
为其通解
(1) 的方程组
一方面它可写作矩阵形式： AX b (2)
其中 A (aij )mn 是系数矩阵
X (x1, x2 , xn )T
b (b1, b2 , bm )T
对方程组的系数矩阵A按列分块，记作A= (a1,a 2 , a n )
另一方面它也可写成向量方程
x a + x a + x a b (3)
,
线性表示
n
（3）向量组1,2, ,n与向量组1,2 , ,n , b等价
（4）系数矩阵A (1,2, ,n )与其增广矩阵 A (1,2, ,n , b)的秩相等. 即 R( A) R(A)
通常用 (4) 来判断 (1)
三、非齐次线性方程组解的结构
非齐次线性方程组解的性质：
性质1 设1 , 2 是 AX b 的任意两个解，
11
22
nn
问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有
解时怎样求出其所有解？
根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：
二、非齐次线性方程组有解的条件
非齐次线性方程组有解得等价条件
（1）线性方程组 AX b 有解
（2）向量b能由向量组1, 2 ,