非齐次线性方程组有解的条件
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这是因为 A ( x 1 x 2 ) A x 1 A x 2 b b 0 .
定理3.17 若 x1是Axb 的一个解, x 2 是Ax 0 的解.
则 x1 x2 是Ax b 的解.
. 这是因为 A ( x 1 x 2 ) A x 1 A x 2 b 0 b .
进一步地有: 定理3.17-2 若 Ax b 有解, 则其一般解为
a11
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n
x 1
a2n
,
x
x2
amn
x n
b1
b
b2 M
b
m
非齐次组的矩阵形式
则上述方程组（1）可写成矩阵形式 Ax b. ( 2 )
若令 A 1, 2, L, n 则有
x 11 x 22 L x nn b(3) 非齐次组的向量形式
1、r(当 A )r(A)时 ,方程 (3.1)无 组解 ( d； r1 0),
2、r当 (A)r(A)n时 ,方程 (3.1)组 有唯一 ( dr10,rn),
3、r当 (A )r(A)n时 ,方程 (3.1)有 组无穷 . 多
4 、方 (3)有 .程 1 解 (r 组 (A d ) r r 1( A )0 .,.rn),
1 1 1 0 0 0
(
A,
b)
1 2
1 2
1 0
1 1
2 2
1 1
5
5
3
4
8
4
试求 Ax b. 的一般解.
解
1
1
0
1 2
1
1
2
(A,b)初 uuu等 uuu行 uuu变uuu换uuuur0 0 1
1 2
0 0 0 0
1 12（U，d） .
0
0
0 0 0 0 0 0
取自由未知量 x2, x4, x5, 并取值 x2x4x50,
注意 若 x1,x2是Axb的两个解,但 k1x1k2x2(k1,k2 F ) 一 般 不 是 Axb的解. 这是因为
A (k 1x 1k 2x 2)k 1A x 1k 2A x 2 k 1 bk 2b(k 1k 2)bb .
定理3.16 若 x1,x2是Axb 的两个解,则 x1 x2 是Ax 0 的解.
以下讨论 非齐次线性方程组(1)解的情况..
对增广矩阵 ( A , b ) 做初等行变换
最后得到如下阶梯形矩阵，不妨设
c11 c12 L
0
c22 L
M M
0
0L
0 0 L
M M
0 0 L
c1r L c2r L
M c rr L 0L M 0L
c1n
d1
c2n
d2
M M
c rn
dr
0
d
k3
1 0 1 0 1
.
k1, k2 , k3 为任意常数.
【例 】 a取什么值时，方程组
axx11
x2 x2
x3 x3
a 1
x1 x2 ax3 1
0 d r1
00
00
r —— 初等变换后阶梯形方程组的非0方程的个数..
讨论方程组（1）的解的情况：
1 、 如dr 果 10 , 则方程组（1）无解.
2 、 如 d r 1 果 0 ,r n ,则方程组（1）有唯一解. 3 、 如 d r 1 果 0 ,r n ,则方程组(1)有无穷多解. 推论
2、写出与原方程组同解的非齐次方程组，用零代替
自由未知量，求出一个特解 x 0
3、写出与原方程组的导出组同解的方程组，求出一个
基础解系: x1,x2L ,xnr
4、得到非齐次线性方程组(1)的全部解（通解）为：
x0c1x1c2x2Lcnrxnr
其 中c1,c2,Lcnr任 意 常 数..
例1 设非齐次线性方程组 Ax b.的增广矩阵
二、非齐次线性方程组解的结构
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
a21x1
a22x2 L a2nxn LLLL
b2
(1)
am1x1 am2x2 L amnxn bm
矩阵形式
Axb
取b = 0，得到的齐次线性方程组
A x 0
(2 )
称为非齐次线性方程组Ax=b的导出组..
方程组（1）与其导出组（2）的解有下列关系：
代入 Ux d , 求得 Axb的一个特解.
0
(1,0,1,0,0)T. 22
取自由未知量 x2, x4, x5, 的3组值 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
代入 Ux 0, 求得 Ax 0 的基础解系.
(不要代入Ux d), 1 ( 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ) T .
2
(1 2
,0,
1 2
,1, 0 )T
3 (1 , 0 , 1 , 0 , 1 )T ..
于是 Axb的一般解为
0 k 11 k 22 k 33
1 2 0
12 0 0
k1
1 1 0 0 0
ห้องสมุดไป่ตู้
k2
1 2 0
12 1 0
r1
M M
0
0
cii0 i 1 , r.
其相应的同解的阶梯形方程组为
c 1 x 1 1 c 1 x 2 2 c 1 r x r c 1 n x n d 1
c 2 x 2 2 a 2 r x r c 2 n x n d 2
c rx rr c rx n n d r （2）
x x0 x,
x 其中 0 是Ax b 的一个特解(某一个解);而
xk1x1Lkpxp
是Ax 0 (也称 Ax b的导出组) 的一般解.
求解关键： 1、方程组（1）的一个特解；
2、导出组（2）的一个基础解系..
求非齐次线性方程组的步骤：
1、A 行 变 换
Ir 0
B 0
A ( A, b)
(1)(2)(3)为非齐次组的三种表示形式 .
因此
b 非齐次线性方程组有解 可由1,2,L,n线性表示 秩 { 1 ， 2 ， L ， n , b } 秩 { 1 ,2 , L ,n } . r(A ,b)r(A ).
于是有下面的定理
定理3.15 非齐次线性方程组(2)有解 r(A ,b)r(A ).
3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构
一. 非齐次线性方程组有解的条件
设有非齐次线性方程组 非齐次组的一般形式
若记
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
a21x1 a22x2 L LLLLLLL
a2nxn b2 LLLLL
（1）
am1x1 am2x2 L amnxn bm
定理3.17 若 x1是Axb 的一个解, x 2 是Ax 0 的解.
则 x1 x2 是Ax b 的解.
. 这是因为 A ( x 1 x 2 ) A x 1 A x 2 b 0 b .
进一步地有: 定理3.17-2 若 Ax b 有解, 则其一般解为
a11
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n
x 1
a2n
,
x
x2
amn
x n
b1
b
b2 M
b
m
非齐次组的矩阵形式
则上述方程组（1）可写成矩阵形式 Ax b. ( 2 )
若令 A 1, 2, L, n 则有
x 11 x 22 L x nn b(3) 非齐次组的向量形式
1、r(当 A )r(A)时 ,方程 (3.1)无 组解 ( d； r1 0),
2、r当 (A)r(A)n时 ,方程 (3.1)组 有唯一 ( dr10,rn),
3、r当 (A )r(A)n时 ,方程 (3.1)有 组无穷 . 多
4 、方 (3)有 .程 1 解 (r 组 (A d ) r r 1( A )0 .,.rn),
1 1 1 0 0 0
(
A,
b)
1 2
1 2
1 0
1 1
2 2
1 1
5
5
3
4
8
4
试求 Ax b. 的一般解.
解
1
1
0
1 2
1
1
2
(A,b)初 uuu等 uuu行 uuu变uuu换uuuur0 0 1
1 2
0 0 0 0
1 12（U，d） .
0
0
0 0 0 0 0 0
取自由未知量 x2, x4, x5, 并取值 x2x4x50,
注意 若 x1,x2是Axb的两个解,但 k1x1k2x2(k1,k2 F ) 一 般 不 是 Axb的解. 这是因为
A (k 1x 1k 2x 2)k 1A x 1k 2A x 2 k 1 bk 2b(k 1k 2)bb .
定理3.16 若 x1,x2是Axb 的两个解,则 x1 x2 是Ax 0 的解.
以下讨论 非齐次线性方程组(1)解的情况..
对增广矩阵 ( A , b ) 做初等行变换
最后得到如下阶梯形矩阵，不妨设
c11 c12 L
0
c22 L
M M
0
0L
0 0 L
M M
0 0 L
c1r L c2r L
M c rr L 0L M 0L
c1n
d1
c2n
d2
M M
c rn
dr
0
d
k3
1 0 1 0 1
.
k1, k2 , k3 为任意常数.
【例 】 a取什么值时，方程组
axx11
x2 x2
x3 x3
a 1
x1 x2 ax3 1
0 d r1
00
00
r —— 初等变换后阶梯形方程组的非0方程的个数..
讨论方程组（1）的解的情况：
1 、 如dr 果 10 , 则方程组（1）无解.
2 、 如 d r 1 果 0 ,r n ,则方程组（1）有唯一解. 3 、 如 d r 1 果 0 ,r n ,则方程组(1)有无穷多解. 推论
2、写出与原方程组同解的非齐次方程组，用零代替
自由未知量，求出一个特解 x 0
3、写出与原方程组的导出组同解的方程组，求出一个
基础解系: x1,x2L ,xnr
4、得到非齐次线性方程组(1)的全部解（通解）为：
x0c1x1c2x2Lcnrxnr
其 中c1,c2,Lcnr任 意 常 数..
例1 设非齐次线性方程组 Ax b.的增广矩阵
二、非齐次线性方程组解的结构
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
a21x1
a22x2 L a2nxn LLLL
b2
(1)
am1x1 am2x2 L amnxn bm
矩阵形式
Axb
取b = 0，得到的齐次线性方程组
A x 0
(2 )
称为非齐次线性方程组Ax=b的导出组..
方程组（1）与其导出组（2）的解有下列关系：
代入 Ux d , 求得 Axb的一个特解.
0
(1,0,1,0,0)T. 22
取自由未知量 x2, x4, x5, 的3组值 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
代入 Ux 0, 求得 Ax 0 的基础解系.
(不要代入Ux d), 1 ( 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ) T .
2
(1 2
,0,
1 2
,1, 0 )T
3 (1 , 0 , 1 , 0 , 1 )T ..
于是 Axb的一般解为
0 k 11 k 22 k 33
1 2 0
12 0 0
k1
1 1 0 0 0
ห้องสมุดไป่ตู้
k2
1 2 0
12 1 0
r1
M M
0
0
cii0 i 1 , r.
其相应的同解的阶梯形方程组为
c 1 x 1 1 c 1 x 2 2 c 1 r x r c 1 n x n d 1
c 2 x 2 2 a 2 r x r c 2 n x n d 2
c rx rr c rx n n d r （2）
x x0 x,
x 其中 0 是Ax b 的一个特解(某一个解);而
xk1x1Lkpxp
是Ax 0 (也称 Ax b的导出组) 的一般解.
求解关键： 1、方程组（1）的一个特解；
2、导出组（2）的一个基础解系..
求非齐次线性方程组的步骤：
1、A 行 变 换
Ir 0
B 0
A ( A, b)
(1)(2)(3)为非齐次组的三种表示形式 .
因此
b 非齐次线性方程组有解 可由1,2,L,n线性表示 秩 { 1 ， 2 ， L ， n , b } 秩 { 1 ,2 , L ,n } . r(A ,b)r(A ).
于是有下面的定理
定理3.15 非齐次线性方程组(2)有解 r(A ,b)r(A ).
3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构
一. 非齐次线性方程组有解的条件
设有非齐次线性方程组 非齐次组的一般形式
若记
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
a21x1 a22x2 L LLLLLLL
a2nxn b2 LLLLL
（1）
am1x1 am2x2 L amnxn bm