非齐次线性方程组有解的条件
3.5 非齐次线性方程组
2.设1 (1,3,0,5)T , 2 (1,2,1,4)T , 3 (1,1,2,3)T ,
(1, a,3, b) .
T
（ ）a, b取何值时能用1，2，3线性表示？表示式为？ 1
（2）a, b取何值时不能用1，2，3线性表示？
设 x11 x22 x33 x1 (1 , 2 , 3 ) x2 AX x 3
3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构
复习
非齐次线性方程组Am×nX=b有解 增广矩阵(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵“无尾巴”
阶梯矩阵法
一、非齐次线性方程组有解的条件 定理 非齐次线t; 秩( A) 秩( A, 秩( A,b) b)=
A 1 b, A 2 b A(1 2 ) O
• 非齐次方程组AX=b的解与其导出组AX=0的解的和是非 齐次方程组AX=b的解。
A b, A O A( ) b
2. 非齐次线性方程组的结构式通解 定理 设A是一个 m n矩阵，b是一个m维列向量，
证明： Am×n X = b 有解
秩法
x 11 + x2 2+ … + xnn = b 有解
b可由1 ,2 ,,n线性表出 秩{1,2 ,,n，b} 秩{1, 2 ,, n}
秩( A, b)
另一思路： Am×n X = b 有解
秩( A)
(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵(C,d)“无尾巴”
不再是含 参数的方 程组了。
x1 x2 x3 x4 0 例2.为何值时，方程组 x1 x2 x3 3x4 1 有解？ x x 2 x 3x 2 3 4 1
齐次和非齐次线性方程组的解法
线性方程组的解法注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点;但是同学们学得时候要系统;要全面;要完整..下面是解线性方程组各种情况的标准格式;请同学们以此为准;进行练习..一、齐次线性方程组的解法定理齐次线性方程组一定有解：1 若齐次线性方程组()=;则只有零解；r A n2 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()<.注：当r A n=时;齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式m nA=.注：1、基础解系不唯一;但是它们所含解向量的个数相同;且基础解系所含解向量的个数等于()-.n r A2、非齐次线性方程组AX B=的同解方程组的导出方程组简称“导出组”为齐次线性方程组AX O=所对应的同解方程组..由上面的定理可知;若m是系数矩阵的行数也即方程的个数;n是未知量的个数;则有：1当m n<时;()≤<;此时齐次线性方程组一r A m n定有非零解;即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；2当m n=时;齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A=；3当m nA≠;故齐次线性=且()r A n=时;此时系数矩阵的行列式0方程组只有零解；4当m n >时;此时()r A n ≤;故存在齐次线性方程组的同解方程组;使“m n ≤”.例 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵显然有()4r A n ==;则方程组仅有零解;即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数即m n =注意：方程组的个数不等于未知量的个数即m n ≠;不可以用行列式的方法来判断;从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---;知方程组仅有零解;即12340x x x x ====.例 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵可得()2r A n =<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为 134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩其中3x ;4x ;5x 为自由未知量令31x =;40x =;50x =;得121,2x x ==-；令30x =;41x =;50x =;得121,2x x ==-；令30x =;40x =;51x =;得125,6x x ==-;于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以;原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++1k ;2k ;3k R ∈.例3 求齐次线性方程组12341234123420,20,250.x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=⎨⎪-++=⎩的一个基础解系;并以该基础解系表示方程组的全部解. 解：将系数矩阵A 化成简化阶梯形矩阵可得()2r A n =<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为12342,0,x x x x =-⎧⎨=⎩其中2x ;3x 为自由未知量令21x =;30x =;得142,0x x ==；令20x =;31x =;得141,0x x =-=;于是得到原方程组的一个基础解系为12100ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;21010ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以;原方程组的通解为1122X k k ξξ=+其中1k ;2k 为任意实数.二、非齐次线性方程组的解法⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解例 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦可见()()3r A r A ==;则方程组有唯一解;所以方程组的解为1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解或若阶梯形方程组出现100r d +=≠;则原方程组无解例 解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→ 121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦;可见()3()2r A r A =≠=;所以原方程组无解. ⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解例 解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦可见()()24r A r A ==<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ 其中3x ;4x 为自由未知量令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩其中3x ;4x 为自由未知量令31x =;40x =;得121,2x x =-=；令30x =;41x =;得125,7x x ==-;于是得到导出组的一个基础解系为11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦..所以;原方程组的通解为1122X k k ηξξ=++1k ;2k R ∈.例 求线性方程组 的全部解.解： 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121213(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 121120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可见()()34r A r A ==<;所以方程组有无穷多解;其同解方程组为14243431,23,211.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令40x =;可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令42x =-注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数;得;1233,3,1x x x ==-=;于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以;原方程组的通解为X k ηξ=+ k R ∈.。
第三节 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组的概念
11
22
nn
问题是：非齐次线性方程组何时是有解的？如果有
解时怎样求出其所有解？
根据齐次线性方程组的不同表示方法，以及矩阵 与其行向量组、列向量组的关系，不难得知如下 等价命题：
二、非齐次线性方程组有解的条件
非齐次线性方程组有解得等价条件
（1）线性方程组 AX b 有解
（2）向量b能由向量组1, 2 ,
例 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩
为3，已知 1 , 2 , 3 是它的三个解向量，且
2
1
1
3 4
,
2
3
2. 3
5
4
求该方程组的通解。
解: 设非齐次线性方程组 Ax b
对应的齐次线性方程组 Ax 0
已知 1,2 ,3 是Ax b的解，
故有 A1 b, A2 b, A3 b 令 21 (2 3 ), 则
解：设有方程 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4 0
a1
由题意应有：
0 3
1 2
2 1
3 0
a2 aa43
0 0
对系数矩阵施行初等行变换，有：
0 1 2 3 1 0 1 2
3 2 1 0 ~ 0 1 2
3
a1
1 0
0 1
1 2
2
3
a2 aa43
0 0
0 , 0 1
从而得到齐次线性方程组的一个基础解系
1 (2,1,1,0,0)T ,2 (2,1,0,1,0)T ,3 (6,5,0,0,1)T
齐次线性方程组通解为 c11 c22 c33 非齐次线性方程组的通解为 c11 c22 c33
其中 c1 , c2 , c3 为任意常数.
非齐次线性方程组
非齐次线性方程组Ax=b一、基本理论线性方程组Ax=b 有解条件: 系数矩阵A 的秩 = 增广矩阵(A,b )的秩.非齐次线性方程组的解集结构：若x 1是Ax=b 的一个特解, N (A )表示齐次线性方程组Ax=0的解空间, 则非齐次线性方程组Ax=b 的解集为x 1+N (A ).解非齐次线性方程组的方法：通过初等行变换将增广矩阵(A,b )化为最简行阶梯矩阵(A 1,b 1), 写出对应的方程组，根据方程组写出解.二、Matlab 实现调用rref(A )将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出解.若方程组有解, 且rank(A )=n ，即A 列满秩时, 方程组有唯一解. 此时可直接用A 左除b 求得唯一解：x=A\b .三、例子例1. 求解线性方程组1234524512345123512345343226333434222026231x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪---=-⎪⎪-++-=⎨⎪++-=⎪-+-++=⎪⎩A=[3 -4 3 2 -1; 0 -6 0 -3 -3; 4 -3 4 2 -2; 1 1 1 0 -1; -2 6 -2 1 3]; b=[2; -3; 2; 0; 1]; A1=[A b]A1 =3 -4 3 2 -1 2 0 -6 0 -3 -3 -3 4 -3 4 2 -2 2 1 1 1 0 -1 0 -2 6 -2 1 3 1rref(A1)ans =1 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0化为方程组32415510x x x x x x ++=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以解为15233354555311000001100011010x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++例2. 设函数2y axbx c =++经过点(1,1), (2,2), (3,0), 求系数a , b , c .解1422930a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩输入系数矩阵A 和右端项bA=sym([1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]); b=sym([1; 2; 0]);增广矩阵1A A1=[A b]A1 =[ 1, 1, 1, 1] [ 4, 2, 1, 2] [ 9, 3, 1, 0]利用rref 求解 R=rref(A1)R =[ 1, 0, 0, -3/2] [ 0, 1, 0, 11/2] [ 0, 0, 1, -3]即解为311,,322a b c =-==-解二判断方程组是否有解, 即系数矩阵A 的秩是否等于增广矩阵1A 的秩. rank(A)==rank(A1)ans = 1 有解.判断方程组是否有唯一解, 即系数矩阵 A 是否等于A 的列数n .[m,n]=size(A); rank(A)==nans = 1A 的秩等于列数n , 有唯一解.直接用A 左除 b 求解 x=A\bx = -3/2 11/2 -3例 3. 设三种食物中每100g 中的蛋白质、碳水化合物、脂肪的含量如下表.三种食物用量各为多少才能保证所需营养？解. 设脱脂牛奶用量为1x , 大豆面粉用量为2x , 乳清用量为3x .12312312336 51 133352 34 74450 7 1.13x x x x x x x x x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩A=[36 51 13 33; 52 34 74 45; 0 7 1.1 3]A =36.0000 51.0000 13.0000 33.0000 52.0000 34.0000 74.0000 45.0000 0 7.0000 1.1000 3.0000 R=rref(A)R =1.0000 0 0 0.2772 0 1.0000 0 0.3919 0 0 1.0000 0.2332所以脱脂牛奶的用量为27.72g ，大豆面粉的用量为39.19g ，乳清的用量为23.32g 。
非齐次线性方程组的解法
非齐次线性方程组的解法线性方程组是数学中的基本概念之一，它由若干个线性等式组成，每个线性等式都可以写成\[a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b\]其中$a_1, a_2, \cdots, a_n$为已知系数，$b$为已知常数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$为未知数。
如果一个方程组中的方程都是线性等式，并且未知数的个数与方程的个数相等，那么这个方程组就是一个齐次线性方程组。
否则，它就是一个非齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组，我们可以很容易地得出解的性质。
通过高斯消元法，我们可以将齐次线性方程组转化为一个上三角方程组。
由于方程组是齐次的，所以最后一个未知数可以任意取值。
然后，一次逆推，我们就可以得到整个方程组的解。
如果未知数的个数为$n$，那么齐次线性方程组的解将包含$n-1$个自由变量。
接下来我们来讨论非齐次线性方程组的解法。
与齐次线性方程组不同，非齐次线性方程组的解并不总是存在，而且如果存在，解也不一定唯一。
所以我们需要找到一种方法来判断非齐次线性方程组是否有解，并且找到它的一个特殊解。
非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的行秩等于增广矩阵的行秩。
如果这个条件满足，那么我们可以通过高斯消元法将方程组转化为一个上三角方程组。
当方程组用矩阵表示时，如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，那么方程组无解；如果两个秩相等，那么方程组有解。
我们可以对非齐次线性方程组做如下判断：1. 对方程组进行高斯消元操作，将其转化为上三角方程组。
2. 根据上三角方程组，判断方程组是否有解。
如果最后一行的最后一个非零元素对应的常数不为零，则方程组无解；否则，方程组有解。
3. 如果方程组有解，我们需要找到一个特殊解。
特殊解可以通过回代得到。
我们可以自由地选择最后一个未知数的值为任意常数，然后逐个回代即可求得特殊解。
4. 方程组的解是由特殊解和齐次方程组的解的线性组合得到的。
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r (A )=r <n ,若AX =0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ,且满足：(1),,,n r -12ξξξ线性无关;(2)AX =0的)任一解都可由这组解线性表示. 则称ξ称齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系(1)(2)（注：1于n -2程组 （1）（2（3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
1、求AX =0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3)写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…,k n-r 为任意常数.【例题1】解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵式：注：解：可得r 12x x =⎧⎨=⎩令3x 令3x 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）.二、非齐次线性方程组的解法 求AX =b 的解（,()m n r r ⨯=A A ）用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()0rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥A b 行其中0(1,2,,),ii c i r ≠=所以知(1)r d +(2)r d (3)r d +,,n r k -为任意常数。
线性代数-非齐次线性方程组
充分性:若r(A)=r(A|b) ，即d r+1 =0,则（*）有解。
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 其余n r个作为自由未知量,
即可得方程组的一个解． 并令 n r 个自由未知量任意取值，
定理1更常用的描述是：
此乃第三章的 精华所在
定理1’
对n 元非齐次线性方程组 Amn x b ，
Ch3 矩阵的秩与线性方程组
第 二节
(非)齐次线性方程组
一、线性方程组有解的 判定
二、线性方程组的解法
对于m个方程n个未知数的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 ........................................... a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
解 对增广矩阵 A 进行初等变换，
r12 ( 3) 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 r ( 2) A 3 1 5 3 2 13 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r23 ( 1) 0 5 4 0 1 0 0 2
2 当 1时,
1 1 2 A ~ 0 1 1 1 2 0 0 1 2 1 1 1 1 2 ~ 0 1 1 0 0 ( 2 ) 1 2
问取何值时, 有唯一解? 无解？有无穷多个解 ?
解一 对增广矩阵 A ( A, b) 作初等行变换，
A 1 1
1
非齐次线性方程组
x5为任意实数 .
返回
n元非齐次线性方程组Ax = b解的存在性
方程组无解 R( A) R( A, b) 方程组有解 R( A) R( A, b)
方程组有唯一解 R( A) R( A, b) n 方程组有无穷多组解 R( A) R( A, b) n
返回
二、非齐次线性方程组的通解结构
④有解, 叫相容.
④ 可写成:
AX = b
⑥
相应的齐次方程组: AX = 0
⑦
性质3. 若1,2是⑥的解,则1 2是⑦的解.
性质4. 若 是⑥的解, 是⑦的解,
则 是⑥的解.
定理:若 是 ⑥的一个解, 则⑥的任一个解
返回
下面四种提法可互为充要条件:
(1). 方程组④有解.
(2). b 可由1, , n 线性表示.
(3). 向量组1, , n与 向量组1, , n ,b等价.
(4). R(A) = R(B) .
显然
显然
证明: (1) (2) (3).
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
R(A)=R(B).
返回
(4) 1, , n的秩 1, , n ,b的秩.
设秩同为 r,
1, , r 是1, , n 的一个最大无关组. 1, , r ,b 线性相关, 否则与秩为 r 矛盾! 1, , r也是 1, , n,b的一个最大无关组.
1, ,n与1, ,n,b等价. 证毕.
定理二. (非齐次线性方程组④有解的判别定理)
(iii) 令这 n–r 个自由未知量分别为基本单位向量1,L ,nr ,
可得相应的 n–r 个基础解系 1 , ,nr ; (iv) 写出通解 k11 k22 L knr nr ,其中k1, k2,L , knr为任意实数
4.3非齐次线性方程组
(k1,k2∈R)
x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x4 = 1 例2 求解方程组 3 x1 − x 2 + 5 x 3 − 3 x4 = 2 2 x + x + 2 x − 2 x = 3 2 3 4 1
1 3 解: B = 2 1 − 2 ~ 0 5 − 0 0
方程组(1)的系数阵 方程组 的系数阵: 的系数阵
a11 ⋯ A= a m 1
a11 ⋯ B= a m 1
a12 ⋯ a1n ⋯ ⋯ ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ a m 2 ⋯ a mn
a12 ⋯ ⋯ a1n ⋯ ⋯ b1 ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ bn
方程组(1)的增广阵 方程组 的增广阵: 的增广阵
a m 2 ⋯ a mn
方程组(1)有解 ⋅⋅⋅,x 方程组 有解x1,x2,⋅⋅⋅ n 有解 ⋅⋅⋅ 存在一组数x ⋅⋅⋅,x ⋅⋅⋅+x ⇔存在一组数 1,x2,⋅⋅⋅ n,使x1β1+⋅⋅⋅ nβn=b ⋅⋅⋅ 使 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅, ⇔b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示 可由 ⋅⋅⋅ 下面四种提法可互为充要条件: 下面四种提法可互为充要条件 1° 方程组 有解 有解. ° 方程组(1)有解 2° b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示 ⋅⋅⋅, ° 可由 ⋅⋅⋅ 3° 向量组β1,⋅⋅⋅ βn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b等价 ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅, ° ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 等价 4° R(A)=R(B) ° 定理二 非齐次线性方程组(1)有解 有解⇔ 非齐次线性方程组 有解⇔R(A)=R(B)
1 λ 1 ~ 0 λ − 1 1 − λ − 0 1 − λ 1 − λ2
4-4非齐次线性方程组解
1 0 2 , 2 1
于是所求通解为
x1 1 1 1 2 x2 1 0 0 x 3 c1 0 c 2 2 1 2 , (c1 , c 2 R ). 0 1 0 x4
x1 x 2 x4 1 2 , x 3 2 x4 1 2 . 1 取 x 2 x4 0, 则 x1 x 3 , 即得方程组的一个特解 2 1 2 0 . 12 0 x1 x 2 x 4 , 在对应的齐次线性方程 组 中, 取 2 x4 x3
3 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 2 0 1 0 0 0 0 0 2
2 1 方程组*有无穷多解，通解为 X k 1 2 . 1 0 可由1 , 2 , 3表示为 2k 11 k 2 2 k 3 , k为任意实数.
法2：利用Cramer法则
k 1 1 2 D 3 2 k ( k 1)( k 3) 0 1
当 D 0 时，即 k 1 且 k 3 时，方程组有唯一解。 当k
1 1 1 5 1 0 1 3 ( A, b) 3 2 1 13 0 1 2 2 0 1 2 2 0 0 0 0
的秩相等.
四、思考与练习
思考题:
1 2 0 3 4 7 1 10 已知1 , 2 ,1 , , 0 1 1 b 2 3 a 4 问: （ 1 ）a , b取何值， 不能1 , 2 , 3由线性表示 （ 2 ）a , b取何值， 能由1 , 2 , 3唯一线性表示 ; （ 3 ）a , b取何值， 能由1 , 2 , 3线性表示但不唯一， 并写出表示式
非齐次线性方程组有非零解的条件及结构
解答 写出增广矩阵并对之作初等行变换化简，得
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显然可见 原方程组有解 所以，当
，所以
时，原方程组有解，此时通解为
其中，k 为任意常数.
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例 k为何值时，线性方程组
有唯
一解，无解，有无穷多组解？若有解时，求出其解. 解 设线性方程组的系数矩阵为 ，则
第四章 向量与线性方程组
§4.6
非齐次方程组有解 的条件及解的结构
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非齐次线性方程组与导出组 定义 与非齐次线性方程组 相同的齐次线性方程组 的系数矩阵相 称为
的导出组，或对应的齐次线性方程组. 非齐次线 性方程组
导出组
2
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非齐次线性方程组的解与其导出组解之间的关系 ① 若 则 ② 若 ③ 若 是 也是 是 是 的一个解, 是 的一个解,
当
时，即
时，线性方程组有唯一
解，由Cramer 法则求之得其解为
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当
时，线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为
阶梯型矩阵为
由于 当
所以方程组无解； 时，线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为
阶梯型矩阵为
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由于
所以方程组无穷解；
此时原方程组有同解方程组为
线性相关 （因 能由 能由 ② 当 则 是 线性表示 （因 线性表示 时，由 ① 知 仅有零解. 设 这表明方程组 ③ 设 为 是 的解，故 为
线性无关）
的极大无关组） 有解. 有解，且 的任意两解， 或者有 的解但唯一. 的任意
非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
§6 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构AX=0. 齐次线性方程组称为非齐次线性方程组AX=的导出组(或对应的齐次线定1性方程组）义下面讨论非齐次线性方程组与其导出组的解的关系.(1)如果u 1是Ax=b 的一个解,v 1是Ax=0的一个解,则u 1+v 1也是Ax=b 的解.证:∵Au 1=b, Av 1=0故A(u 1+v 1)=Au 1+Av 1=b+0=b(2)如果u 1,u 2是Ax=b 的两个解,则u 1-u 2是Ax=0的解.证:∵Au 1=b, Au 2=b故A(u 1-u 2)=Au 1-Au 2=b-b =0定理1若u1是非齐次线性方程组Ax=b 的一个解,v 是齐次线性方程组Ax=0的全部解,则u=u 1+v 是Ax=b 的全部解.证:由关系(1)知u 是Ax=b 的解.反之,对Ax=b 的任一解u 2,要证明u 2一定可以写成u 1与Ax=0的某个解之和.取v 1=u 2-u 1由关系(2)知v 1是Ax=0的解而u 2=u 1+v 1即Ax=b 的任一解是u 1与Ax=b 的某一个解之和.:s n n A X β⨯= 元非齐次线性方程组定理2();,)()1b A R A R <无解的充要条件();,)()2n b A R A R ==有唯一解的充要条件()3)(),R A R A b r n ==<有无穷多解的充要条件是，112212,,,,AX=0X AX=.n r n r n r c X c X c X X X X ββ---++++00AX=的通解为X 其中为导出组的一个基础解系，为的一个特解B,AX ββ=上述定理告诉我们判断非齐系线性方程组是否有解，以及当有无穷解时求解的方法：把增广矩阵A=(A,)初等行变换化为Jordan 阶梯形不妨设为d ⎫111,1212,21,110...0...0100........................0001...000000000000000 (0000)0000n r n r r r n r r r b b b b d b b d B d ---+⎛ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭1d 0()(),r R A R A r AX β+====由于初等变换不改变矩阵的秩，故当时有解；1d 0()(),r R A R A AX β+≠≠=当时无解；1d 0()(),r R A R A r n AX β+=====当时有唯一解；1d 0()(),r R A R A r n AX β+===<=当时有无求多解.123451234512345122322324335x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩解线性方程组例111212:()132123243135A A β-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪-⎝⎭解111212021311021311-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭111212021311000-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭3111222211121201000000-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭3171222231112222101000000-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭45()()2,,,R A R A x x ==3故有无穷多个解.x 为自由变量，分别代入值(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)解的导出组AX=0的一个基础解系171222311222123,,,,100010001X X X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭345AX=0,0,0x x x β===为求的一个特解，把代入方程组即可()3/21/2000,T=0X 3171222231112222123100001000010c c c β--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭AX=的通解3212123171131200002000020c c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭也可表示为例2设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ??,有无穷多个解有解取何值时问λ解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111111~2λλλλλ作初等行变换，对增广矩阵),(b A B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------2222111011011~λλλλλλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-----32222120011011~λλλλλλλλλλλ()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+----=22112100111011λλλλλλλλλλ(),11时当=λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000001111~B ()()23232233,.,,,1001110,(1,0,1).,.TTR A R B x x x x X x x β=<-=-1T0方程组有无穷多解自由未知量为让分别代入（，），（，）得到导出组的基础解系X =（，，）让自由为知量代入(0,0)得到AX=的一个特解X =（1，0，0）其通解为0112212,,X c X c X c c ++任意。
4.2-非齐次线性方程组
3x5 23,
2,
8 x1 3 x2 4 x3 3 x4 x5 12.
1 1 1 1 1 7
解
B
3 0
1 2
2 1
1 2
3 6
2 23
8 3 4 3 1 12
1 1 1 1 1 7
0
2
1
2
6
23
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
由 r A r B 知方程组有解. 又r A 2, n r 3,
2 x1 0 x1
3x2 3x3 x2 bx3 3
6x4 5 x4 3
x1 x2 0 x3 ax4 8
讨论a, b 取何值时,
方程组无解? 有唯一解?有无穷多解?
解 对增广矩阵进行初等变换
1 2 3 5 1
(
A,
)
2 0
3 1
3 b
6 3
5
3
1
1
0
a
8
1 2 3 5 1
所以 r(A) 2
方程组的通解为. x 1 k1(1 2 ) k2 (1 3)
小结
１．齐次线性方程组基础解系的求法
（1）对系数矩阵 A 进行初等变换，将其化为
最简形
1 0 b11 b1,nr
0 A~
1
br1
br
,nr
0 0
0 0
（2）得出 r A r，同时也可知方程组的一
a31 xx11
a2 b2
x2 x2
a3 x3 a4 x4 d1 2 x3 b4 x4 d2
9x1 4x2 x3 cx4 d3
求方程组的通解.
非齐次线性方程组的一般解
非齐次线性方程组的解的三种情况是只有零解，有非零解，有无穷多解。
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。
若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r，把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1，
C2……Cn-r，即可写出含n-r个参数的通解。
简介
对于m个方程、n个未知数的齐次线性方程组，系数矩阵记为A，其秩记为r(A)，齐次线性方程组总有零解，不存在无解的情况，且其有非零解的等价条件为，即系数矩阵中的列向量线性相关。
而且齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是该线性方程组的解。
基础解系是由个线性无关的解向量构成的，基础解系的解向量个数是确定的，但解向量是不确定的，只要两两之间线性无关即可，基础解系的任意线性组合构成了该齐次线性方程组的一般解，也称通解。
非齐次线性方程组无解的充要条件
非齐次线性方程组无解的充要条件非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(a)=rank(a， b)（否则为无解）。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(a)=n。
当系数矩阵a的秩等于增广矩阵b的秩时非齐次线性方程组有解。
（矩阵的秩就是指矩阵通过初等行变换和初等列变换得到的非零行或非零列的个数。
）当方程存有唯一解时，r(a)=r(b)=n；当方程组有无限多个解时,r(a)=r(b)=r\ucn；当方程组难解时，r（a）＜r（b）。
1、非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组比如：x+y+z=1;2x+y+3z=2;4x-y+3z=3;2、齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组例如：x+y+z=0;2x+y+3z=0;4x-y+3z=0;齐次线性方程组求解步骤：1、对系数矩阵a展开初等行转换，将其化成行阶梯形矩阵；2、若r(a)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(a)=r\ucn（未知量的个数），则原方程组存有非零求解，展开以下步骤：3、继续将系数矩阵a化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；4、挑选出最合适的民主自由未知量，并挑适当的基本向量组，代入同解方程组，获得原方程组的基础卢播，进而写下吉龙德。
（1）对增广矩阵b施行初等行变换化为行阶梯形。
若r(a)\ucr(b)，则方程组无解。
（2）若r(a)=r(b)，则进一步将b化成行及最简形。
（3）设r(a)=r(b)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数，即可写出含n-r个参数的通解。
两个非齐次方程组同解的充要条件
《两个非齐次方程组同解的充要条件》在代数学中，非齐次方程组是一个常见的问题，而同解则是指两个方程组具有相同的解集合。
那么，究竟什么是两个非齐次方程组同解的充要条件呢？让我们一起来深入探讨这个问题。
1. 了解非齐次方程组我们需要了解什么是非齐次方程组。
非齐次方程组是指含有常数项的一组线性方程，通常用矩阵或向量的形式表示。
对于一个n元线性方程组Ax=b，如果b≠0，则称为非齐次方程组。
2. 理解同解的概念在讨论两个非齐次方程组同解的充要条件之前，我们需要理解同解的概念。
同解指的是两个方程组的解集合完全相同，即它们有相同的解。
对于线性代数中的方程组而言，同解意味着它们具有相同的解空间。
3. 确定两个非齐次方程组同解的充要条件现在来看两个非齐次方程组A1x=b1和A2x=b2。
要确定它们同解的充要条件，我们可以通过以下步骤进行推导：- 我们需要确定它们是否具有相同的解空间。
这可以通过研究它们的系数矩阵和常数项来实现。
- 我们可以利用线性代数中的相关定理和性质来判断它们的同解性质。
两个线性方程组同解的充要条件是它们的系数矩阵和常数项的行列式都相等。
4. 个人观点和理解对于我个人来说，理解和掌握非齐次方程组同解的充要条件是非常重要的。
它不仅可以帮助我更好地理解线性代数中的相关概念，还可以为我解决实际问题时提供重要的数学工具和方法。
5. 总结与回顾通过本文的探讨，我们更深入地理解了两个非齐次方程组同解的充要条件。
我们首先了解了非齐次方程组和同解的基本概念，然后推导了确定两个非齐次方程组同解的充要条件。
我共享了个人对这一主题的观点和理解。
了解和掌握两个非齐次方程组同解的充要条件对于我们深入学习和应用线性代数是至关重要的。
希望本文的解析能够帮助大家更好地理解这一概念，为进一步学习和研究奠定坚实的基础。
在学习线性代数中，非齐次方程组同解的充要条件是一个重要的问题，在实际问题中也有很多应用。
我们可以通过实际案例来深入探讨这一主题，以加深对该问题的理解。
两个非齐次方程组同解的充要条件
两个非齐次方程组同解的充要条件【知识文章】两个非齐次方程组同解的充要条件1. 引言约束条件对于解析方程有着重要的作用。
在数学中，方程组是一种描述多个未知量之间关系的数学表达式组成的集合，而非齐次方程组则是指方程组中至少有一个等号不为零的方程。
本文旨在探讨两个非齐次方程组同解的充要条件，以帮助读者深入理解这一概念。
2. 背景知识在开始探讨充要条件之前，我们先来回顾一下与非齐次方程组相关的基础知识。
非齐次方程组可以表示为：AX = BA'X = B'其中A和A'是系数矩阵，X为未知向量，B和B'为常数向量。
我们将在接下来的内容中着重讨论两个非齐次方程组的同解条件。
3. 同解的定义我们来定义什么是两个非齐次方程组的“同解”。
当两个非齐次方程组的解集完全相我们认为它们是“同解”的。
即，如果对于方程组AX = B和A'X = B'，它们的解集分别为X0和X0'，那么我们称X0和X0'是这两个方程组的同解。
4. 充要条件的推导为了推导两个非齐次方程组同解的充要条件，我们需要证明以下结论：若方程组AX = B和A'X = B'有相同的解集，那么存在一个向量Y，使得A'Y = A，B' = BY，并且该向量Y是唯一的。
在详细推导之前，我们先来解释上述结论的意义。
如果确实存在这样一个向量Y，那么这意味着两个非齐次方程组的系数和常数向量之间存在一种关系。
也就是说，我们可以通过将方程组AX = B中的系数和常数向量分别乘以向量Y来得到与方程组A'X = B'相同的系数和常数向量。
现在，我们开始推导这一结论。
假设方程组AX = B和A'X = B'有相同的解集X0。
那么我们可以得到AX0 = B和A'X0 = B'。
接下来，我们定义一个向量Y = X0 - X0'，其中X0是方程组AX = B的一个解，而X0'是方程组A'X = B'的一个解。
非齐次的解加齐次的解等于非齐次的解
非齐解加非齐解等于什么
（一）非齐解加非齐解等于齐次线性。
非齐解加非齐解，有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。
（rank(A)表示A的秩）
（二）求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。
若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于Ax=b，即可写出含n-r个参数的通解。
（三）基本性质：
线性方程在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。
组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。
且方程中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是算数式而非方程式。
如果一个一次方程中只包含一个变量（x），那么该方程就是一元一次方程。
如果包含两个变量（x和y），那么就是一个二元一次方程，
以此类推。
因为线性的独特属性，在同类方程中对线性函数的解决有叠加作用。
这使得线性方程最容易解决和推演。
线性方程在应用数学中有重要规律。
使用它们建立模型很容易，而且在某些情况下可以假设变量的变动非常小，这样许多非线性方程就转化为线性方程。
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r1
M M
0
0
cii0 i 1 , r.
其相应的同解的阶梯形方程组为
c 1 x 1 1 c 1 x 2 2 c 1 r x r c 1 n x n d 1
c 2 x 2 2 a 2 r x r c 2 n x n d 2
c rx rr c rx n n d r （2）
二、非齐次线性方程组解的结构
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
a21x1
a22x2 L a2nxn LLLL
b2
(1)
am1x1 am2x2 L amnxn bm
矩阵形式
Axb
取b = 0，得到的齐次线性方程组
A x 0
(2 )
称为非齐次线性方程组Ax=b的导出组..
方程组（1）与其导出组（2）的解有下列关系：
这是因为 A ( x 1 x 2 ) A x 1 A x 2 b b 0 .
定理3.17 若 x1是Axb 的一个解, x 2 是Ax 0 的解.
则 x1 x2 是Ax b 的解.
. 这是因为 A ( x 1 x 2 ) A x 1 A x 2 b 0 b .
进一步地有: 定理3.17-2 若 Ax b 有解, 则其一般解为
2、写出与原方程组同解的非齐次方程组，用零代替
自由未知量，求出一个特解 x 0
3、写出与原方程组的导出组同解的方程组，求出一个
基础解系: x1,x2L ,xnr
4、得到非齐次线性方程组(1)的全部解（通解）为：
x0c1x1c2x2Lcnrxnr
其 中c1,c2,Lcnr任 意 常 数..
例1 设非齐次线性方程组 Ax b.的增广矩阵
1、r(当 A )r(A)时 ,方程 (3.1)无 组解 ( d； r1 0),
2、r当 (A)r(A)n时 ,方程 (3.1)组 有唯一 ( dr10,rn),
3、r当 (A )r(A)n时 ,方程 (3.1)有 组无穷 . 多
4 、方 (3)有 .程 1 解 (r 组 (A d ) r r 1( A )0 .,.rn),
1 1 1 0 0 0
(
A,
b)
1 2
1 2
1 0
1 1
2 2
1 1
5
5
3
4
8
4
试求 Ax b. 的一般解.
解
1
1
0
1 2
1
1
2
(A,b)初 uuu等 uuu行 uuu变uuu换uuuur0 0 1
1 2
0 0 0 0
1 12（U，d） .
0
0
0 0 0 0 0 0
取自由未知量 x2, x4, x5, 并取值 x2x4x50,
以下讨论 非齐次线性方程组(1)解的情况..
对增广矩阵 ( A , b ) 做初等行变换
最后得到如下阶梯形矩阵，不妨设
c11 c12 L
0
c22 L
M M
0
0L
0 0 L
M M
0 0 L
c1r L c2r L
M c rr L 0L M 0L
c1n
d1
c2n
d2
M M
c rn
dr
0
d
k3
1 0 1 0 1
.
k1, k2 , k3 为任意常数.
【例 】 a取什么值时，方程组
axx11
x2 x2
x3 x3
a 1
x1 x2 ax3 1
0 d r1
00
00
r —— 初等变换后阶梯形方程组的非0方程的个数..
讨论方程组（1）的解的情况：
1 、 如dr 果 10 , 则方程组（1）无解.
2 、 如 d r 1 果 0 ,r n ,则方程组（1）有唯一解. 3 、 如 d r 1 果 0 ,r n ,则方程组(1)有无穷多解. 推论
2
(1 2
,0,
1 2
,1, 0 )T
3 (1 , 0 , 1 , 0 , 1 )T ..
于是 Axb的一般解为
0 k 11 k 22 k 33
1 0
12 0 0
k1
1 1 0 0 0
k2
1 2 0
12 1 0
3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构
一. 非齐次线性方程组有解的条件
设有非齐次线性方程组 非齐次组的一般形式
若记
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
a21x1 a22x2 L LLLLLLL
a2nxn b2 LLLLL
（1）
am1x1 am2x2 L amnxn bm
(1)(2)(3)为非齐次组的三种表示形式 .
因此
b 非齐次线性方程组有解 可由1,2,L,n线性表示 秩 { 1 ， 2 ， L ， n , b } 秩 { 1 ,2 , L ,n } . r(A ,b)r(A ).
于是有下面的定理
定理3.15 非齐次线性方程组(2)有解 r(A ,b)r(A ).
代入 Ux d , 求得 Axb的一个特解.
0
(1,0,1,0,0)T. 22
取自由未知量 x2, x4, x5, 的3组值 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
代入 Ux 0, 求得 Ax 0 的基础解系.
(不要代入Ux d), 1 ( 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ) T .
注意 若 x1,x2是Axb的两个解,但 k1x1k2x2(k1,k2 F ) 一 般 不 是 Axb的解. 这是因为
A (k 1x 1k 2x 2)k 1A x 1k 2A x 2 k 1 bk 2b(k 1k 2)bb .
定理3.16 若 x1,x2是Axb 的两个解,则 x1 x2 是Ax 0 的解.
x x0 x,
x 其中 0 是Ax b 的一个特解(某一个解);而
xk1x1Lkpxp
是Ax 0 (也称 Ax b的导出组) 的一般解.
求解关键： 1、方程组（1）的一个特解；
2、导出组（2）的一个基础解系..
求非齐次线性方程组的步骤：
1、A 行 变 换
Ir 0
B 0
A ( A, b)
a11
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n
x 1
a2n
,
x
x2
amn
x n
b1
b
b2 M
b
m
非齐次组的矩阵形式
则上述方程组（1）可写成矩阵形式 Ax b. ( 2 )
若令 A 1, 2, L, n 则有
x 11 x 22 L x nn b(3) 非齐次组的向量形式