线性方程组有解的判定条件

解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 B =3
−2 −1
3 5
−1 −3
1 2
r2 r3
− −
2r1r1
1 0
−2 5
3 −4
−1 0
1 − 1
2 1 2 − 2 3 r3 − r2 0 05 −04 0 12
显然，R( A) =Βιβλιοθήκη Baidu2, R(B) = 3, 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
一、线性方程组有解的判定条件
问题：如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B 的秩， 讨论线性方程组 Ax = b 的解．
定理1 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R(A) < n.
证 必要性. 设方程组 Ax = 0 有非零解，
设R(A) = n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而
x1 x2
− +
2 x3 2 x3
− +
5
3 4
3
x4 x4
= =
0, 0,
由此即得
x1 x2
=
2
x3
+
5 3
x4
,
=
−2
x3
−
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 = c1, x4 = c2，把它写成通常的参数 形式
x1
=
2c2
+
5 3 c2,
x2 x3
x1 + 3 x2 + 6 x3 + x4 = 3,
3 x1
−
x2
−
p x3
+
15 x4
=
3,
x1 − 5 x2 − 10 x3 + 12 x4 = t
当p, t取何值时,方程组无解 ?有唯一解?
有无穷多解 ?在方程组有无穷多解的 情
况下,求出一般解.
思考题解答
解
1 1 2 3 1
B
=
1 3
x2 x3
− −
x3 x4
= a2 = a3
由此得通解：
x4 − x5 = a4
x1 = a1 + a2 + a3 + a4 + x5
x2 = a2 + a3 + a4 + x5 x3 = a3 + a4 + x5
x4 = a4 + x5
(x5为任意实数 ).
例５ 设有线性方程组
定义：含有个参数的方 程组的任一解，称为线 性 方程组的通解．
二、线性方程组的解法
例1 求解齐次线性方程组
x1 + 2 x1
2 +
x2 + x2 −
x3 + 2 x3
x4 = 0 − 2x4 =
0
.
x1 − x2 − 4 x3 − 3 x4 = 0
解 对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 A = 2
三、小结
齐次线性方程组 Ax = 0
R(A) = n ⇔ Ax = 0只有零解; R(A) < n ⇔ Ax = 0有非零解.
非齐次线性方程组 Ax = b
R(A) = R(B) = n ⇔ Ax = b有唯一解; R(A) = R(B)< n ⇔ Ax = b有无穷多解.
思考题
讨论线性方程组
x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1,
Dn所对应的 n个方程只有零解 (根据克拉默定理 ),
这与原方程组有非零解相矛盾，
∴ R( A) = n 不能成立． 即 R(A)< n. 充分性. 设 R(A) = r < n,
则 A 的行阶梯形矩阵只含 r 个非零行， 从而知其有 n − r 个自由未知量 . 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解.
有解的充要条件
是a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换，
方程组的增广矩阵为
1 − 1 0 0 0 a1
0 1 − 1 0 0 a2
B= 0
0
1
−1
0
a3
0 0 0 1 − 1 a4
− 1 0 0 0 1 a5
(2)当p = 2时,有
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0 0
1 0 0
2 0 0
−1 2 3
t
1 4 +
5
~
0 0 0
1 0 0
2 0 0
−1 1 0
1
t
2 −
1
当t ≠ 1时, R( A) = 3 < R(B) = 4,方程组无解; 当t = 1时, R( A) = R(B) = 3,方程组有无穷多解 .
= =
−2c2 c1 ,
−
4 3
c2
,
x4 = c2,
∴
x1 x2 x3 x4
=
c1
2 −2 1 0
+
c2
5
3 −4
3 0
1
.
例２ 求解非齐次线性方程组
x1 − 3 x1
2 −
x2 x2
+ 3x3 + 5x3
− −
x4 = 3 x4
1, =
2,
2 x1 + x2 + 2 x3 − 2 x4 = 3.
0
0
2+λ
(1
+
λ
)2
这时又分两种情形：
1) λ ≠ −2时, R(A) = R(B) = 3,方程组有唯一解 :
x1
=
−
λ λ
+ +
1 2
,
x2
=
λ
1 +
, 2
x3
=
(λ + 1)2
λ+2
.
2) λ = −2时,
1 1 − 2 4 B ~ 0 − 3 3 − 6
0 0 0 3
R(A) ≠ R(B),故方程组无解.
1
2 1 −1
2 −2 −4
1 − 2 − 3
r2 r3
− −
2r1 r1
1 0 0
2 −3 −3
2 −6 −6
1 − 4 − 4
r3 − r2
1 0
2 1
2 2
1 4
1
r1
− 2r2
0
0 1
−2 2
−5 3 4
r2
÷
(−3)
0
0
0
3 0
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
λ
λ2
~ 0 λ − 1 1 − λ λ − λ2
0
1−λ
1 − λ2
1
−
λ2
1 1
λ
~ 0 λ −1 1−λ
λ2
λ − λ2
0
0
2 − λ − λ2
1
+
λ
−
λ2
−
λ3
1 1
λ
= 0 λ −1 1−λ
λ2
λ(1 − λ )
0
0
(1 − λ )(2 + λ )
(1
−
λ
)(1
+
λ
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ −
x4 = 0 3x4 = 1
.
x1 − x2 − 2 x3 + 3 x4 = −1 2
解 对增广矩阵B进行初等变换
1 − 1 − 1 1 0 1 − 1 − 1 1 0 B = 1 −1 1 − 3 1 ~ 0 0 2 − 4 1
1 − 1 − 2 3 − 1 2 0 0 − 1 2 − 1 2
=
k
−2 1 0
+
3 0 2
(k ∈ R).
3 −1
6 −p
1 15
3 3
1 − 5 − 10 12 t
1 1
2
3 1
~
0 0 0
2 −4 −6
4 − p−6
− 12
−2 6 9
2
t
0 −
1
1 1 2
3 1
~
0 0 0
1 0 0
2 − p+2
0
−1 2 3
1
t
4 +
5
(1)当p ≠ 2时, R( A) = R(B) = 4,方程组有唯一解;
λx1 + x2 x1 + λx2
+ +
x3 x3
= =
1
λ
x1 + x2 + λx3 = λ2
问λ取何值时,有解?有无穷多个解 ?
解 对增广矩阵 B = ( A,b) 作初等行变换，
λ 1 1 1 1 1 λ λ2
B=1 λ 1 λ ~1 λ 1 λ
1
1λ
λ2
λ
1
1
1
1 1
)2
(1) 当λ = 1时,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0
0 0 0 0
R(A) = R(B) < 3,方程组有无穷多解 .
其通解为
x1 x2
=1− = x2
x2
−
x3
x3 = x3
(x2 , x3为任意实数 ).
(2) 当λ ≠ 1时,
1 1 λ
λ2
B ~ 0 1 −1 −λ
定义：含有个参数的方 程组的任一解，称为线 性 方程组的通解．
齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解；
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
定理 3 n元线性方程组 Ax=b
(1) R(A) <=R(B) ⇔ Ax = b无解 (2) R(A) = R(B) = n ⇔ Ax = b有唯一解 (3) R(A) = R(B)< n ⇔ Ax = b有无穷多解.
定理2 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解 的充分必要条件是系数 矩阵 A 的秩等于增广矩
阵 B = (A,b)的秩.
证 必要性．设方程组 Ax = b 有解,
设R(A)< R(B),
则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾
方程０＝１，
这与方程组有解相矛盾. 因此 R(A) = R(B).
+1
2
x4 = 0 x2 + x4
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2
x2 x3 x4
=
x2
1 0
0
+
x4
0 2
1
+
0 12
.
0
其中x2 , x4任意.
x1 − x2 = a1
例４
证明方程组
x2 x3
− −
x3 x4
= =
a2 a3
x4
−
x5
=
a4
x5 − x1 = a5
1 − 1 0 0 0 0 1 −1 0 0
a1 a2
R(A) = R(B)
~
0
0
0 0
1 −1 0 0 1 −1
∑ a3
a4
5
⇔ ai = 0
i =1
5
0 0 0 0 0 ∑ ai
i=1
5
∴方程组有解的充要条件 是 ∑ ai = 0. i =1
x1 − x2 = a1
由于原方程组等价于方程组
1 − 1 0 − 1 1 2 ~ 0 0 1 − 2 1 2.
0 0 0 0 0
由于R(A) = R(B) = 2, 故方程组有解，且有
x1 = x2 + x4 + 1 2
x1 x3
= =
x2 + x4 + 1 2x4 + 1 2
2
⇔
x2 x3
= =
x2 + 0x4 0x2 + 2x4
充分性. 设 R(A) = R(B), 设 R(A) = R(B) = r(r ≤ n),
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行，
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,
其余n − r个作为自由未知量,
并令 n − r个自由未知量全取0，
即可得方程组的一个解．
证毕
小结 R(A) = R(B) = n ⇔ Ax = b有唯一解 R(A) = R(B)< n ⇔ Ax = b有无穷多解.
且
1 1 2 3 1 1 0 0 0 − 8
B
~
0 0
1 0
2 0
−1 1
1 2
~
0 0
1 0
2 0
0 1
3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
与原方程组同解的方程 组为
x2
x1 +
= −8, 2x3 =
3,
x4 = 2,
故原方程组的通解为
x1 0 − 8
x2 x3 x4