非齐次线性方程组

非齐次线性方程组Ax=b

一、基本理论

线性方程组Ax=b 有解条件: 系数矩阵A 的秩 = 增广矩阵(A,b )的秩.

非齐次线性方程组的解集结构：

若x 1是Ax=b 的一个特解, N (A )表示齐次线性方程组Ax=0的解空间, 则非齐次线性方程组Ax=b 的解集为x 1+N (A ).

解非齐次线性方程组的方法：

通过初等行变换将增广矩阵(A,b )化为最简行阶梯矩阵(A 1,b 1), 写出对应的方程组，根据方程组写出解.

二、Matlab 实现

调用rref(A )将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出解.

若方程组有解, 且rank(A )=n ，即A 列满秩时, 方程组有唯一解. 此时可直接用A 左除b 求得唯一解：x=A\b .

三、例子

例1. 求解线性方程组

123452451234512351

2

3

4

5

343226333

434222026231

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=⎧⎪---=-⎪⎪-++-=⎨⎪++-=⎪-+-++=

⎪⎩

A=[3 -4 3 2 -1; 0 -6 0 -3 -3; 4 -3 4 2 -2; 1 1 1 0 -1; -2 6 -2 1 3]; b=[2; -3; 2; 0; 1]; A1=[A b]

A1 =

3 -

4 3 2 -1 2 0 -6 0 -3 -3 -3 4 -3 4 2 -2 2 1 1 1 0 -1 0 -2 6 -2 1 3 1

rref(A1)

ans =

1 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

化为方程组

324

1551

0x x x x x x ++=-⎧⎪=⎨⎪=

-⎩

所以解为

15233354555311000001100011010x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

++

例2. 设函数2

y ax

bx c =++经过点(1,1), (2,2), (3,0), 求系数a , b , c .

解

1422930a b c a b c a b c ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩

输入系数矩阵A 和右端项b

A=sym([1 1 1; 4 2 1; 9 3 1]); b=sym([1; 2; 0]);

增广矩阵1A A1=[A b]

A1 =

[ 1, 1, 1, 1] [ 4, 2, 1, 2] [ 9, 3, 1, 0]

利用rref 求解 R=rref(A1)

R =

[ 1, 0, 0, -3/2] [ 0, 1, 0, 11/2] [ 0, 0, 1, -3]

即解为

311

,,322

a b c =-==-

解二

判断方程组是否有解, 即系数矩阵A 的秩是否等于增广矩阵1A 的秩. rank(A)==rank(A1)

ans = 1 有解.

判断方程组是否有唯一解, 即系数矩阵 A 是否等于A 的列数n .

[m,n]=size(A); rank(A)==n

ans = 1

A 的秩等于列数n , 有唯一解.

直接用A 左除 b 求解 x=A\b

x = -3/2 11/2 -3

例 3. 设三种食物中每100g 中的蛋白质、碳水化合物、脂肪的含量如下表.

三种食物用量各为多少才能保证所需营养？

解. 设脱脂牛奶用量为1x , 大豆面粉用量为2x , 乳清用量为3x .

1231231

2

3

36 51 133352 34 74450 7 1.13

x x x x x x x x x ++=++=++=⎧⎪⎨⎪⎩

A=[36 51 13 33; 52 34 74 45; 0 7 1.1 3]

A =

36.0000 51.0000 13.0000 33.0000 52.0000 34.0000 74.0000 45.0000 0 7.0000 1.1000 3.0000 R=rref(A)

R =

1.0000 0 0 0.2772 0 1.0000 0 0.3919 0 0 1.0000 0.2332

所以脱脂牛奶的用量为27.72g ，大豆面粉的用量为39.19g ，乳清的用量为23.32g 。