独立重复试验(1)

P(A1 A 2 A3 A 4 )
2 3 2 2 ( ) (1 ) 81 6 6
因为 4种情况彼此互斥，故4次中3次掷到1或6点， 1次掷到1或6以外点的概率为
2 8 4 81 81
2 3 2 4 3 C ( ) (1 ) 6 6
3 4
1、独立重复试验定义
答: 5次天气预报中至少有 4次准确的概率约为 0.７4.
例3、某人参加一次考试，若五道题中解对四题 3 则为及格，已知他的解题正确率为 5 ，试求 他能及格的概率.(结果保留四个有效数字)
解：“解对五题”与“解对四题”两者是互斥事件．设 及格的概率为P，则 3 4 3 5 3 5 P＝P5(5)＋P5(4)＝ C 5 ) ＋ C 5( )4(1－ )≈0.3370 ( 5 5 5 答：他能及格的概率是0.3370．
n k
2、独立重复试验的概率公式
由引例变式5可知若棋子共走了n格其中向右走了
k格到达某点O’,的概率为
C k p k (1 p) n k n
如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率：
Pn k C P 1 P
1 3 1 P( A) C ( ) 2 8
3 3
②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立试验， 且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负
2 ∴甲打完4局才能取胜的概率为 P( B) C3 ( ) 2
1 2
1 1 3 2 2 16
③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立试验， 且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负 ∴甲打完5局才能取胜的概率为
C p (1 p) C p (1 p)
1
4 2
变式3：求棋子到达Q点的概率
4 1
变式4：求棋子到达U点的概率
0 C4 p 0 (1 p) 40
二项式[(1-p)+p]4展开式的各项
变式5：若棋子共走了n格其中向右走了k格 到达某点O’,求到O’的概率?
C p (1 p)
k n k
P P5 (4) P5 (5) 5 C54 P 4 (1 P)54 C5 P 5 (1 P)55
C54 0.84 (1 0.8)54 C55 0.85 (1 0.8)55
5 0.8 0.2 0.8
4
5
0.410 0.328 0.74
若设一次试验中掷到1或6的概率为p
U P K F A
V Q L G B
W R M H C
X
Y T O J E
变式1：求棋子到达E点的概率
4 C4 p 4 (1 p) 44
由上可知棋子到达I点的概率为
S N I D
C p (1 p)
3 4 3 2 4 1 4 2
4 3
变式2：求棋子到达M点的概率
Pn 1 (k 1) Pn (k ) P Pn (k 1)(1 p)
若设一次试验中掷到1或6的概率为p 思考2：如果棋子由A 它的概率是多少？ I Y
U P K F
V Q L G
W R M H C
X
Y T O J E
S N I D
是P8 (4) 吗？
实际上A I I，是独立重复试验 Y 也是独立重复试验
三、例题讲解
例1:某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.9，他射 击 4 次恰好击中 3 次的概率是多少？
解：某射手射击 1 次，击中目标为事件A,则射击4次
相当于作4 次独立重复试验.
P4 (3) C P (1 P)
3 4 3
4 3
C3 0.93 (1 0.9) 43 4
例4、有10门炮同时向目标各发射一发炮弹，如果 每门炮的命中率都是0.1，求目标被击中的 概率.(结果保留两个有效数字)
解：由于10门炮中任何一门炮击中目标与否不影响其他9 门炮的命中率，所以这是一个10次独立重复试验．事件 A“目标被击中”的对立事件A 是 “目标未被击中”，因 此目标被击中的概率
共C 4种情况
3 4
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) 2 2 2 2 2 (1 ) 81 6 6 6 6
同理: P( A A A3 A ) P( A A2 A A ) 1 3 4 1 2 4
W R M H C
X
Baidu Nhomakorabea
Y T O J E
A
A
B
F
G G
H
H
I
I
S N I D
总之必须要向右走3格；向上走1格，即掷 F 到1或6点的3次；掷到1或6以外点的1次 （6）棋子要从A点到达I点的概率是多少？ A
解：设第1，2，3，4次掷出1或6点分别为事件A1,A2,A3,A4 则1，2，3，4次掷出1或6以外点分别为事件 A1 , A 2 , A 3 , A 4 则掷4次掷到1或6点的3次；掷到1或6以外点的1次的情况为： A1 A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4 , A A2 A3 A4 1
W R M H C
X
Y T O J E
P5 (4) C p (1 p)
4 5 4
5 4
S N I D
问题1：如果棋子由A E J是 K 独立重复试验吗？它的概率是多少？
P4 (4)(1 p) C p (1 p)
4 4 4
44
(1 p) F
问题2：如果棋子由A I J是 A 独立重复试验吗？它的概率是多少？
A 4 3 B A I的概率为： P4 (3) C3 p 3 (1 p) ; 4
I Y的概率为： P4 (1) C1 p1 (1 p) 41 4
那么棋子由A I Y 的概率为
P4 (3) P4 (1) C3 p3 (1 p) C1 p1 (1 p) 41 4 4
1 3 1 6 4 1 4 1 5 5 1 5 1 4 9 1 9 P C ( ) ( ) C9 ( ) ( ) C9 ( ) ( ) C9 ( ) 2 2 2 2 2 2 2
3 9
1 9 1 0 1 29 (C9 C9 C92 ) ( )9 (C C C C )( ) 2 2
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
二、新课讲解
引例：有一棋子，如图中点A出发，按下列规定每次移动 一格（a）骰子掷出1或6点时，向右移动1格 （b）骰子掷出1或6以外点时，向上移动1格 X V W U
P K F A Q L G B R M H C S N I D Y T O J E
P4 (3) p C p (1 p)
3 4 3
4 3
p
问题3：上面三个概率有和关 系?为什么会有这样的关系？
P5 (4) P4 (3)p P4 (4)(1 p)
推广
C C C
4 5 4 4
3 4
4 3 即： C54 p 4 (1 p)54 C4 p 4 (1 p) 44 (1 p) C4 p 3 (1 p) 43 p
在同样条件下重复地、各次之间相互独立地
进行的一种试验。
基本特征：（1）每次试验在同一条件下进行。
（2）各次试验中的事件是相互独立的。
（3）每一次试验都只有两种结果，
即某事件要么发生要么不发生。 练习.判断下列试验是不是独立重复试验，为什么？
（1）依次投掷四枚质地相同的硬币. （2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次 （3）口袋内有5个白球、3个黑球、2个红球，依次从中抽取5个球.
k 9
例6．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定
5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． （1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． （2）按比赛规则甲获胜的概率．
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为0.5， 乙获胜的概率为0.5． 记事件A=“甲打完3局才能取胜”， 记事件B=“甲打完4局才能取胜”， 记事件C=“甲打完5局才能取胜”． ①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验, 且每局比赛甲均取胜 ∴甲打完3局取胜的概率为
4 0.9 0.1 0.29
3
某射手射击 4 次恰好击中 3 次的概率约是0.29
例2. 某气象站天气预报的准确率为 80%，计算 （结果保留两个有效数字）： （1）5 次天气预报中恰有 4 次准确的概率； （2）5 次天气预报中至少有 4 次准确的概率。 解：（１）记 “预报 1 次，结果准确” 为事件 A. 则预报 5 次相当于作 5 次独立重复试验.
P5 (4) C P (1 P)
4 5 4 4 5 4
5 4 5 4
C 0.8 (1 0.8) 4 5 0.8 0.2 0.41
答: 5次天气预报中恰有 4 次准确的概率约为 0.41.
(2), 5 次预报中至少有 4 次准确的概率，就是 5 次预报中恰有 4 次准确的概率 与 5 次预报都准确 的概率的和.
答：按比赛规则甲获胜的概率为 0.5.
四、课堂小结
1、独立重复试验定义
在同样条件下重复地、各次之间相互独立地进行 （1）每次试验在同一条件下进行。 的一种试验。 （2）各次试验中的事件是相互独立的。 （3）每一次试验都只有两种结果， 即某事件要么发生要么不发生。
2、独立重复试验的概率公式
如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率：
3 9 4 9 5 9 9 9
1 1 k 1 C9 ( ) k ( )9k C9k ( )9 设从低层到顶层停次，则其概率为 2 2 2
1 9 233 (2 46)( ) 2 256
9
k 9
1 9 当k 4或k 5时， C 最大，即 C（ ）最大。 2 233 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为 停4次或5次概率最 256
(1) 从A到I 要掷几次骰子
(2)若事件A为一次掷出1或6点；
事件B为一次掷出1或6以外点,则它 们的概率分别是多少?A、B对立吗？
(3) 各次试验之间相互独立吗?
(4) 各次试验之间重复吗?
（5）棋子要从A点到达I点，该如何走，路径如何？
A A B B C C D H I I
U P K
V Q L G B
P(A)=1-P( A )=1-P10(0) 0 ＝1－ C10 (1－0.1)10≈0.65．
答：目标被击中的概率为0.65．
例5．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的
概率是多少？停几次概率最大？
解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次， 停5次，„„，直到停9次 ∴从低层到顶层停不少于3次的概率
1 2 1 2 1 3 P(C ) C ( ) ( ) 2 2 2 16
2 4
(2)事件＝“按比赛规则甲获胜”， 则 又因为事件A、B、C彼此互斥，
D A B C
1 3 3 1 P( D) P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) 8 16 16 2
k n k
n
n k
是 1 P） P 展开式的第 k 1项 （
故Pn (0) Pn (1) Pn (n 1) Pn (n)
1
若设一次试验中掷到1或6的概率为p 思考1：求棋子由A到达J是独立 重复试验吗？它的概率是多少？
U P
V Q L G B
一、复习回顾
1．什么是相互独立事件？
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率
没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件
若A与B是相互独立的事件，则 A与B, A与B, A与B也是相互独立的
2．相互独立事件同时发生的概率 ？
P( A B) P( A) P( B)
一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生 的概率，等于每个事件发生的概率的积，
Pn k C P 1 P
k n k