独立重复试验与二项分布
独立重复试验与二项分布
独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。
二项分布前提：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X。
符号含义：p：每次试验中事件A发生的概率。
k：在n次独立重复试验中事件A发生的次数。
公式：$C_k^n p^k(1-p)^{n-k}$结论：随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率。
明确该公式中各量表示的意义：n为重复试验的次数；p 为在一次试验中某事件A发生的概率；k是在n次独立重复试验中事件A发生的次数。
判断正误1) n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种。
×2) n次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同。
×3) 二项分布与超几何分布是同一种分布。
×4) 两点分布是二项分布的特殊情形。
√已知随机变量X服从二项分布，X～B(6，3)，则P(X＝2)等于$\frac{15}{64}$。
任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为$\frac{3}{8}$。
设随机变量X～B(2，p)，若P(X≥1)＝$\frac{3}{4}$，则$p=\frac{1}{3}$。
探究点1：独立重复试验的概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。
1) 求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率。
记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故$P(A_1)=1-P(A_0)=1-(\frac{2}{3})^3=\frac{19}{27}$。
2) 求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率。
记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A。
“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B，则$P(A_2)=C_2^2(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^0=\frac{4}{9}$，$P(B_1)=C_2^1(\frac{3}{4})^1(\frac{1}{4})^1=\frac{3}{8}$。
独立重复实验与二项分布
• 1、相互独立事件 事件A是否发生对事件B是否发生的概率没 有影响 • 2、两个独立事件同时发生的概率 P（AB）= P（A）P（B） • 3、互斥事件 事件A与事件B在任何一次试验中不会同时 发生 • 4、两个互斥事件的和事件的概率 P(A + B）= P(A) + P(B）
在必修 3 中我们学习了古典概型、几何概型两 种概率模型，在求概率时，符合模型用公式去求概 率比较简便，今天我们将学习一个新的概率模型 — 二项分布
PB0
PB1
P A1 A2 A3
q3
C pq
0 3
0 30
2 3 q p PA1 A2 A3 PA1 A2 A3 PA1 A2 A3
C pq
1 3
1 31
PB2 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3 3qp2
得n 2.83
练习题：设一射手平均每射击10次中靶4次，求在五次 射击中①击中一次，②第二次击中，③击中两次，④第 二、三两次击中． 表示击中的次数， ① n＝5，k＝1，应用公式得
1 5
由题设，此射手射击1次，中靶的概率为0.4． X 解：
P( X 1) C p(1 p) 0.2592.
P( A) 0.84 (1 0.8)6
(2)设B表示，恰有4次击中目标，且第2次击中目标。
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB)=
0.8 C 0.8 (1 0.8)
3 9 3
n n
6
(3)（击中目标的含义是至少有一次射击中目标），设C表示击 中目标，n表示至少射击次数,X表示击中目标的次数。
P(C)=1-P(X=0)= 1 (1 0.8) 1 0.2 0.99
(完整)2.2.3 独立重复试验与二项分布
C32
3 5
(1
3
5 )2
5
54 125
5
5
125
（4）刚好在第二、第三两次击中目标。
(1 3) 3 3 18 5 5 5 125
11 [普通高中课程数学选修课2-3堂] 练2.2习二项分布及其应用
1、每次试验的成功率为P（0＜P＜1）,重复进行10次 试验，其中前七次未成功后三次成功的概率（ C ）
C
n n
pn
注: P( X k ) cnk pkqnk是( p q)n展开式中的第 k 1 项.
8 [普通高中课程数学选修2-3] 2.2 二项分布及其应用
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？ 1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 .
P(B0) P(A1 A2 A3) q3, P(B1) P(A1 A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1 A2 A3) 3q2 p, P(B2) P(A1A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1 A2 A3) 3qp2,
P(B3 ) P( A1A2 A3 ) p3.
所以，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是 3q2 p.
6 [普通高中课程数学选修2-3] 2.2 二项分布及其应用
思考？
上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p，求 出了连续掷3次图钉，仅出现次1针尖向上的概率。类
似地，连续掷3次图钉，出现 k(0 k 3) 次针尖向
上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？
（2）在10次射击中，至少8次击中目标的概率为：
n次独立重复试验及二项分布
n 次独立重复试验及二项分布一 基础知识1.条件概率及其性质(1)条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )(P (A )＞0). (2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P (B |A )≤1；②可加性：如果B 和C 是两个互斥事件， 则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ). 2.相互独立事件(1)对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A ，B 是相互独立事件.(2)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立.(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. (4)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B ).(5)一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n (n ＞2，n ∈N *)相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)·…·P (A n ).互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点(1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系；(2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P (AB )＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.(2)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,(1)是否为n次独立重复试验；,(2)随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数.考点一条件概率[典例精析](1)(优质试题·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝__________，P(B|A)＝________.(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.[解析](1)P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C13×5×4＝60种情况，所以P(A|B)＝6091.P(B|A)的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120种情况，所以P(B|A)＝1 2.(2)P(A)＝C23＋C22C25＝410＝25，P(AB)＝C22C25＝110，由条件概率公式，得P(B|A)＝P (AB )P (A )＝11025＝14. [答案] (1)6091 12 (2)14[题组训练]1.(优质试题·石家庄摸底)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为________.解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝25. 答案：252.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为________.解析：法一：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝3×2A 2535＝12.法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为12.答案：12考点二 相互独立事件的概率[典例精析](1)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为________.(2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.[解析](1)设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率P1＝P(A BCD ＋A B CD＋AB C D＋ABC D)＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率P2＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P＝0.25＋0.06＝0.31.(2)依题意，该选手第2个问题回答错误，第3,4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝1×0.2×0.82＝0.128.[答案](1)0.31(2)0.128[变式发散]1.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.解析：依题意，该选手第3个问题的回答是错误的，第4,5个问题均回答正确，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23×0.82＋2×0.2×0.8×0.2×0.82＝0.005 12＋0.040 96＝0.046 08.答案：0.046 082.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________.解析：依题意，设答对的事件为A，可分第3个回答正确与错误两类，若第3个回答正确，则有A A A A 或A A A A 两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.若该选手第3个问题的回答是错误的，第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P ＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以所求概率为0.032＋0.072＝0.104.答案：0.104[题组训练]1.在高三的某次模拟考试中，对于数学选修4系列的考查中，甲同学选做《不等式选讲》的概率为13，乙同学选做《不等式选讲》的概率为14，假定二人的选择相互之间没有影响，那么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1人选做《不等式选讲》的概率为________.解析：记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做《不等式选讲》”为事件A ，“乙同学不选做《不等式选讲》”为事件B ，且A ，B 相互独立.依题意，P (A )＝1－13＝23，P (B )＝1－14＝34， 所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×34＝12.又因为甲、乙二人至少有一人选做《不等式选讲》的对立事件为甲、乙二人都不选做《不等式选讲》，所以所求概率为1－P (AB )＝1－12＝12.答案：122.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3， 则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124. 所以随机变量X 的分布列为(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14 ＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 考点三 独立重复试验与二项分布[典例精析]九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：(1)若购进这批九节虾35 000 g ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ，求X 的分布列.[解] (1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)，所以这批九节虾的数量约为1 186只.(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p ＝4＋1240＝25，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P (X ＝1)＝C 14×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625，P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625， P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625，P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254＝16625.所以X 的分布列为[题组训练]1.甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为( )A.0.32B.0.18C.0.50D.0.057 6解析：选D 甲命中一次的概率为C 12×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为C 12×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P ＝0.32×0.18＝0.057 6.2.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？ 解：(1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝－200)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18.所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为511512.[课时跟踪检测]A 级1.如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( )A.23 B.12 C.34D.14解析：选B 设女孩个数为X ，女孩多于男孩的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＋C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝3×18＋18＝12. 2.(优质试题·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：2个元件的使用寿命在30天以上的概率为( )A.1316 B.2764 C.2532D.2732解析：选D 由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为150200＝34，则所求概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2732.3.(优质试题·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝()A.29 B.13C.49 D.59解析：选A小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n(B)＝108,4个人去的景点不同的情况有A44＝4×3×2×1＝24种，即n(AB)＝24，∴P(A|B)＝n(AB)n(B)＝24108＝29.4.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分).甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(AB)，P(A|B)的值分别是()A.14，59 B.14，49C.15，59 D.15，49解析：选A由题意知，P(AB)＝1020×510＝14，根据条件概率的计算公式得P(A|B)＝P(AB)P(B)＝14920＝59.5.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为()A.14 B.89C.116 D.532解析：选D两次数字乘积为偶数，可先考虑其反面——只需两次均出现1。
独立重复试验与二项分布 课件
1．n 次独立重复试验：一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
2．在 n 次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他试验的 影响 ，即 P(A1A2…An)＝
P(A1)P(A2)…P(An)．其中 Ai(i＝1,2，…，n)是第 i 次试验的结 果．
则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验， 至少有一件一等品的概率为 P1＝1－P(－A )P(－B )P(－C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任 意地抽取一件检验，它是一等品的概率为 P2＝2×0.7＋40.6＋0.8＝0.7.
4 243
1 729
[点评] 解此类题首先判断随机变量 X 服从二项分布，即 X～B(n，p)，然后求出 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)， 最后列出二项分布列．
二项分布的应用
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零 件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别 为 0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床 加工的零件数是乙机床加工的零件数的 2 倍．
4．Cknpk(1－p)n－k 是[p＋(1－p)]n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
独立重复试验概率的求法
某人射击 5 次，每次中靶的概率均为 0.9，求他至 少有 2 次中靶的概率．
[分析] 至少有 2 次中靶包括恰好有 2 次中靶，恰好有 3 次 中靶，恰好有 4 次中靶和恰好有 5 次中靶四种情况，这些事件 是彼此互斥的，而每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间 没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而射击 5 次是 进行 5 次独立重复试验．
独立重复试验与二项分布
2.2.3独立重复试验与二项分布学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型(重点).2.理解二项分布(重、难点). 3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题(难点).知识点1独立重复试验1.独立重复实验的定义一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复实验.2.独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 【预习评价】(1)有放回地抽样试验是独立重复试验吗？(2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？提示(1)是.有放回地抽样试验是相同条件下重复做的n次试验，是独立重复试验.(2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i次试验的结果不受前i－1次结果的影响(其中i＝1，2，…，n).知识点2二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.【预习评价】(1)你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗？提示两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式.(2)若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P (X ＝2)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233B.⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133C.C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133D.C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233题型一独立重复试验的判断【例1】判断下列试验是不是独立重复试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球.规律方法独立重复试验的判断依据(1)要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行.(2)每次试验相互独立，互不影响.【训练1】下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标.其中是独立重复试验的是()A.①B.②C.③D.④题型二独立重复试验的概率【例2】某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5(相互独立).(1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3.规律方法解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点：(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验；(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并.(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算.【训练2】甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为2 3，没有平局.(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？【例3】某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率：(1)3台都未报警；(2)恰有1台报警；(3)恰有2台报警.【迁移1】(变换所求)例3条件不变，求3台都报警的概率.【迁移2】(变换所求)例3条件不变，求至少有2台报警的概率.【迁移3】 (变换所求)例3条件不变，求至少有1台报警的概率.规律方法 利用二项分布来解决实际问题的关键(1)在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n 次独立重复试验. (2)随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.【训练3】 100件产品中有3件不合格品，每次取一件，有放回地抽取3次，求取得不合格品的件数X 的分布列.课堂达标1.若X ～B (5，0.1)，则P (X ≤2)等于( ) A.0.665 B.0.008 56 C.0.918 54D.0.991 442.一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( ) A.0.93B.1－(1－0.9)3C.C 35×0.93×0.12D.C 35×0.13×0.923.在4次独立重复试验中，事件出现的概率相同，若事件A 至少出现一次的概率为6581，则事件A 在一次试验中出现的概率为________.4.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________.5.在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4.现从数列{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取三次，假定每次取数互不影响，求在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率.课堂小结1.独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验中的事件是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.2.如果一次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k .此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n 展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式.基础过关1.已知随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (ξ＝2)等于( ) A.316 B.4243 C.13243 D.802432.3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是13，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学能通过测试的概率为( ) A.827B.49C.23D.19273.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才算通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3124.某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14.其中正确结论的序号为________.5.某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为________.6.一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，求n 的最小值.7.在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23. (1)求油罐被引爆的概率；(2)若引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率.能力提升8.箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取出1个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为( ) A.35×14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 C.C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 D.C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫493×59 9.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( ) A.C 57×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫235B.C 27×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫135C.C 57×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫135D.C 27×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫23210.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P移动五次后位于点(2，3)的概率是________(用数字作答).11.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p，q，他们各投两次，若p＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q的值为________.12.一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 3.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.13.(选做题)实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛).(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；(2)求按比赛规则甲获胜的概率.。
高二数学独立重复实验与二项式分布
）
3
C. 1 ( )
3 5
D. C3 ( ) ( ) C3 ( ) ( )
2 2 1 1
3 5
2 5
3 5
2 5
2
2、某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为
1 ，求在第 3
n 次才击中目标的概率.
1 3、某车间的 5 台机床在 1 小时内需要工人照管的概率都是 ，求 1 小时内 5 台机床中至 4 少 2 2 台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字） 4、某人对一目标进行射击，每次命中率都是 0.25 ，若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75 ，至少应射击几次？ 5、十层电梯从低层到顶层停不少于 3 次的概率是多少？停几次概率最大？ 6、一批玉米种子，其发芽率是 0.8 .（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一 粒发芽的概率大于 98% ？ （2） 若每穴种 3 粒， 求恰好两粒发芽的概率． （ lg 2 0.3010 ）
问题二、某同学玩射击气球游戏,若每次射击击破气球 的概率为 0.7 ， 每次射击结果互不影响， 现有气球 3 个, 恰好击破 2 个的概率是多少？设击破气球的个数为
X ， X 的分布列怎样?
问题二、 某同学玩射击气球游戏,若每次射击击破气球的概率为 0.7 ， 每次 射击结果互不影响，现有气球 3 个, 恰好击破 2 个的概率是多少？设击破 气球的个数为 X ， X 的分布列怎样?
四、运用规律，解决问题： 例一、某射手每次射击击中目标的概率是 0.8 ，求这名射手在 10 次射击中， ①恰好 8 次击中的概率；②至少 8 次击中的概率（结果保留两个有效数字） ； ③第 8 次击中的概率；④前 8 次击中的概率.
高二数学 第二章2.2.3独立重复试验与二项分布
目 开
解 题中的 4 个问题都是在同一条件下事件发生的情况，所以
关 均属独立重复试验．
(1)命中一次的概率为 P＝C41·351－353＝152·1825＝69265；
研一研·问题探究、课堂更高效
(2)恰在第三次命中目标的概率为
P＝35·1－353＝35·1825＝62245；
本 局中胜一局，第三局胜．
课 时
故 P(甲获胜)＝0.62＋C12×0.6×0.4×0.6＝0.648.
栏 五局三胜制中，甲获胜分三种情形：甲连胜三局；甲前三局中
目
开 胜两局，第四局胜；甲前四局中胜两局，第五局胜．
关
故 P(甲获胜)＝0.63＋C23×0.62×0.4×0.6＋
C24×0.62×0.42×0.6≈0.683.
本
课 (3)每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发
时
栏 生)，并且在任何一次试验中事件发生的概率均相等．
目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
例 1 某射手每次射击击中目标的概率是 0.8，求这名射手在
10 次射击中，
(1)恰有 8 次击中目标的概率；
(2)至少有 8 次击中目标的概率．(结果保留两个有效数字)
开
关
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.3
4．将一枚均匀的硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出 11
现的次数多的概率为____3_2___．
本 课
解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出
时 栏 目
现 4 次，5 次或 6 次，所求概率 P＝C64126＋C65126＋C66126＝3112.
问题 二项分布和两点分布有何联系？
独立重复试验与二项分布
解析
(1)设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件
是一等品分别为事件 A，B，C， 则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验，至 少有一件一等品的概率为 P1＝1－P( A )P( B )P( C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任意 地抽取一件检验，它是一等品的概率为 2×0.7＋0.6＋0.8 P2＝ ＝0.7. 4
1.独立重复试验的判断 (1)每次试验是在相同的条件下进行的； (2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验 是相互独立的； (3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变； (4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生． 2.二项分布的判断 (1)在一次试验中，事件A发生与不发生二者必居其一． (2)事件A在每次试验中，发生的概率相同． (3)试验重复地进行了n次(n≥2)，且每次试验结果互不 影响．
3.二项分布问题 (1)随机变量 X 服从二项分布，则 X 的分布列为： X P 0
0 n C0 np q
1
1 n －1 C1 p n q
„ „
k
k n－k Ck p n q
„ „
n
0
n
n 0 Cn np q
(2)由于 Cnp q
k k n－k
k k n－k
恰好是二项展开式(p＋q) ＝Cnp q ＋Cnp q ＋„
由于 A1 与 A3 互斥，A0 与 A4 互斥，故 8 P(ξ＝0)＝P(A2)＝ ， 27 40 P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝81， 17 P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝ .
题型一
独立重复实验与二项分布
2．2．3独立重复实验与二项分布一、复习引入：1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n=8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++13．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立14．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅二、讲解新课：1 独立重复试验的定义：2．独立重复试验的概率公式：k n k kn n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k n k knq p C -恰好是二项展开式11100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k kn q p C -＝b (k ；n ，p )．三、讲解范例：例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中， (1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)例2．（全国高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．例3．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=）四、课堂练习： 1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯ ()C 310 ()D 21733103A A A ⋅3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）()A 33351A A - ()B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）6．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ． 7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为 ． 8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求： ⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率； ⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率10．（1）设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为8081，试求在一次试验中事件A 发生的概率（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为1，求在第n五、小结 ：1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的2．如果1次试验中某事件发生的概率是P，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为kn k kn n P P C k P --=)1()(对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A 要么发生，要么不发生，所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n k -次中A 没有发生，即A 发生，由()P A P =，()1P A P=-所以上面的公式恰为n P P ])1[(+-展开式中的第1k +项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系2．3离散型随机变量的均值与方差 2．3．1离散型随机变量的均值一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k knq p C -＝b (k ；n ，p )．8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(kA )=q(q=1-p)，那么p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从几何记作g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2， (10)，我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …)＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)(5.若ξB （n,p ），则E ξ=np证明如下： ∵ k n k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ，∴=ξE 0×n nq p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×k n k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ． 又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n knnC k n k n n k n k n k kC ，∴=ξE (np 001n n C p q --＋2111--n n qp C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q pC ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(． 故 若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望。
考点52 独立重复试验与二项分布、正态分布
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附： 若随机变量 Z 服从正态分布 N(μ， σ2)， 则 P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ) ＝0.997 4，0.997 416≈0.959 2， 0.008≈0.09.
【解析】
(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的
概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率 为0.002 6，故X～B(16，0.002 6)． 因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.
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21 24 1 P(X＝ 2)＝ C3 ＝
12 ， 125 5 5 1 31 34 0 P(X＝ 3)＝ C3 ＝ . 125 5 5 故 X 的分布列为
X
0
64 P 125
1 48 125
3 1 12 125 125
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利用正态曲线的对称性求概率的方法 (1)解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随 机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要
时，可借助图形判断．
(2)对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知 ①对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；
②P(X<x0)＝1－P(X≥x0)；
解：(1)A，B，C 三种药剂中恰有一种能控制 H 指标的概率为 P＝P(AB C)＋P(A
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BC)＋P(A BC)
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＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－ 0.5)×(1－0.6)×0.75 ＝0.275.
7 第7讲 n次独立重复试验与二项分布
第7讲 n 次独立重复试验与二项分布1．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )．②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立． 2．独立重复试验与二项分布独立重复试验 二项分布定 义在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率 计 算 公 式用A i (i ＝1，2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n ) ＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0，1，2，…，n )[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件．( )(2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( )(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( )答案：(1)× (2)× (3)× [教材衍化]1．(选修2-3P55练习T3改编)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．解析：设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为AB ＋AB ，所以P (AB ＋AB )＝P (AB )＋P (AB ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38. 答案：0.382．(教材习题改编)国庆期间，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P (A － B －)＝1－12＝12.答案：12[易错纠偏](1)相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误； (2)独立重复试验公式应用错误．1．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为45，23，在操作考试中“合格”的概率依次为12，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为________．解析：甲获得“合格证书”的概率为45×12＝25，乙获得“合格证书”的概率是23×56＝59，两人中恰有一个人获得“合格证书”的概率是25×⎝⎛⎭⎫1－59＋⎝⎛⎭⎫1－25×59＝2345. 答案：23452．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝________． 解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，所以P (X ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－123＝516.答案：516相互独立事件的概率(2020·丽水模拟)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．【解】 (1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B . 由题意得：P (B －)P (B －)＝116，于是P (B －)＝14或P (B －)＝－14(舍去)．故p ＝1－P (B －)＝34.(2)法一：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P (A －·A －)＝34.法二：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为C 12P (A )P (A －)＋P (A )P (A )＝34.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 P14112414124(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.独立重复试验与二项分布(1)(2020·浙江省名校协作体高三联考)箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________．(2)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．①设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列． ②玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【解】 (1)由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C 26＝15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有(1，4)，(3，4)，(2，4)，(2，6)，(4，5)，(4，6)，所以摸一次中奖的概率是615＝25，4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一次获奖的概率是25，所以有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是C 34×⎝⎛⎭⎫253×35＝96625.故填96625.(2)①X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为 X 10 20 100 －200 P38381818i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(1)独立重复试验满足的条件独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．1．设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )A.56 B.45 C.3132D.12解析：选C.因为函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点，所以Δ＝16－4X ≥0，所以X ≤4.因为X 服从X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，所以P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132. 2．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲每次投进的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，X ～B (6，23)，P (X ＝k )＝C k 6·(23)k ·(13)6－k(k ＝0，1，2，3，4，5，6)． 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P1729424320243160729802436424364729(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则P (A )＝C 24·(13)2·(23)4＋C 14·13·(23)5＋(23)6＝3281，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.[基础题组练]1．(2020·东北四市高考模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P ⎝⎛⎭⎫P ≥1516，则n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A.由题意得P ＝1－⎝⎛⎭⎫12n≥1516，则⎝⎛⎭⎫12n≤116，所以n ≥4，故n 的最小值为4. 2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )A.512 B.12 C.712D.34解析：选C.依题意，得P (A )＝12，P (B )＝16，且事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率为1－P (A －·B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－12×56＝712，故选C.3．(2020·绍兴调研)设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681解析：选B.因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，又P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，则P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1127. 4．(2020·杭州七校联考)如果X ～B ⎝⎛⎭⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．3或4解析：选D.观察选项，采用特殊值法． 因为P (X ＝3)＝C 315⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫3412，P (X ＝4)＝C 415⎝⎛⎭⎫144⎝⎛⎭⎫3411，P (X ＝5)＝C 515⎝⎛⎭⎫145⎝⎛⎭⎫3410， 经比较，P (X ＝3)＝P (X ＝4)＞P (X ＝5)， 故使P (X ＝k )取最大值时k ＝3或4.5．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且每棵大树是否成活互不影响，则移栽的4棵大树中至少有1棵成活的概率是( )A.13B.23C.887900D.899900解析：选D.设A k 表示第k 棵甲种大树成活，k ＝1，2；B l 表示第l 棵乙种大树成活，l ＝1，2，则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立，且P (A 1)＝P (A 2)＝56，P (B 1)＝P (B 2)＝45，则至少有1棵大树成活的概率为1－P (A 1·A 2·B 1·B 2)＝1－P (A 1)·P (A 2)·P (B 1)·P (B 2)＝1－⎝⎛⎭⎫162×⎝⎛⎭⎫152＝899900.6.如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开和关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________． 解析：设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则甲灯亮应为事件AC B －，且A ，B －，C 之间彼此独立，P (A )＝P (B －)＝P (C )＝12.所以P (A B －C )＝P (A )P (B －)P (C )＝18.答案：187．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时 间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60 个数1040805020在30天以上的概率为____________．解析：由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为150200＝34，则所求概率为C 23⎝⎛⎭⎫342×14＋⎝⎛⎭⎫343＝2732.答案：27328．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为13，用X 表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________．解析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，即有P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k×⎝⎛⎭⎫235－k，k ＝0，1，2，3，4，5.故P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫231＝10243. 答案：102439．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列．解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ， 则P (A )＝C 12×13×23＝49. (2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫233＝827， P (X ＝5)＝C 12×13×⎝⎛⎭⎫232＝827， P (X ＝10)＝⎝⎛⎭⎫132×23＋⎝⎛⎭⎫232×13＝627，P (X ＝15)＝C 12×⎝⎛⎭⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝⎛⎭⎫133＝127. X 的分布列为10.已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A 症状的概率为13.某小组为了研究连续服用该药物后出现A 症状的情况，进行了药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A 症状与上次用药无关．(1)若出现A 症状，则立即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；(2)若在一个用药周期内出现3次或4次A 症状，则在这个用药周期结束后终止试验．若试验至多持续两个周期，设药物试验持续的用药周期为η，求η的分布列．解：(1)法一：记试验持续i 天为事件A i ，i ＝1，2，3，4，试验至多持续一个周期为事件B ，易知P (A 1)＝13，P (A 2)＝23×13，P (A 3)＝⎝⎛⎭⎫232×13，P (A 4)＝⎝⎛⎭⎫233×13，则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝6581.法二：记试验至多持续一个周期为事件B ，则B －为试验持续超过一个周期，易知P (B －)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681，所以P (B )＝1－⎝⎛⎭⎫234＝6581.(2)随机变量η的所有可能取值为1，2， P (η＝1)＝C 34⎝⎛⎭⎫133·23＋⎝⎛⎭⎫134＝19，P (η＝2)＝1－19＝89，所以η的分布列为1．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的分布列为生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的．(1)求恰有2人选修物理的概率； (2)求学生选修科目个数ξ的分布列．解：(1)这是等可能性事件的概率计算问题． 法一：所有可能的选修方式有34种，恰有2人选修物理的方式C 24·22种， 从而恰有2人选修物理的概率为C 24·2234＝827.法二：设每位学生选修为一次试验，这是4次独立重复试验． 记“选修物理”为事件A ，则P (A )＝13，从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人选修物理的概率为P ＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)ξ的所有可能值为1，2，3，P (ξ＝1)＝334＝127；P (ξ＝2)＝C 23（C 12C 34＋C 24C 22）34＝1427；P (ξ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49； 综上知，ξ的分布列为趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为13，去参加乙项目联欢的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲项目联欢”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ·⎝⎛⎭⎫234－i. (1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0，2，4.P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列为中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M 处的命中率q 1＝0.25，在N 处的命中率为q 2.该选手选择先在M 处发射一镖，以后都在N 处发射，用X 表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．解：(1)设该选手在M 处射中为事件A ，在N 处射中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )＝0.25，P (A －)＝0.75，P (B )＝q 2，P (B －)＝1－q 2.根据分布列知：当X ＝0时，P (A － B － B －)＝P (A －)P (B －)P (B －)＝0.75(1－q 2)2＝0.03， 所以1－q 2＝0.2，q 2＝0.8.当X ＝2时，P 1＝P (A － B B －＋A － B － B )＝P (A －)P (B )P (B －)＋P (A －)P (B －)P (B )＝0.75q 2(1－q 2)×2＝0.24，当X ＝3时，P 2＝P (A B －B －)＝P (A )P (B －)P (B －)＝0.25(1－q 2)2＝0.01，当X ＝4时， P 3＝P (A －BB )＝P (A －)P (B )P (B )＝0.75q 22＝0.48， 当X ＝5时，P 4＝P (A B －B ＋AB )＝P (A B －B )＋P (AB ) ＝P (A )P (B －)P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.25q 2(1－q 2)＋0.25q 2＝0.24. 所以随机变量X 的分布列为(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72. 该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率为 P (B －BB ＋B B －B ＋BB )＝P (B －BB )＋P (B B －B )＋P (BB )＝2(1－q 2)q 22＋q 22＝0.896. 所以该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率大．。
独立重复试验与二项分布
C180 0.88 1 0.8 108 C190 0.89 1 0.8 109
C10 10
0.810
1 0.8
1010
0.68
(3) 设至少投篮n次保证命中的概率大于0.99
P命 中 1 P X 0 1 (1 0.8)n 1 0.2n 0.99
n 2.86 故至 少 投篮 3次.
【思维总结】 解答此类题目，首先分析随机变 量是否满足独立重复试验概型的条件，再利用 P(X=k)＝Cknpk·(1－p)n－k 计算即可．
判断一个随机变量是否服从二项分布的关键 (1)对立性,即一次试验中,事件发生与否二者必居其一. (2)重复性,即试验独立重复地进行了n次. (3)随机变量是事件发生的次数.
P(X
k
)
C
k n
p
k
(1
p)nk ,k
0,1, 2, ..., n.
展开式中的第 k 1 项.
此时称随机变量X服从参数为n,p二项分布，记作X~B(n,p)
∴甲打完 5 局才能取胜
的概率
1 )2 2
1 2
3 16
.
(2) 记事件 A “甲打完 3 局才能取胜”， 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”， 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”．
事件 D ＝“按比赛规则甲获胜”，则 D A B C ，
又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥， 故 P(D) P( A B C) P( A) P(B) P(C)
P(B) P( X 1) P( X 2) P( X 3) 1 P(X 0) P( X 4) P( X 5)
＝0.2592＋0.3456＋0.2304＋0.0768＋0.01024
＝0.92224．
2.2.3独立重复试验与二项分布(二)
1 3
练习： 练习：P40例3 变式训练 例
例3 某人抛掷一枚硬币，出现正面和反面的概率都是 ，构 某人抛掷一枚硬币，出现正面和反面的概率都是0.5，
造数列
{an } ，使 an =
{
1，当第n次出现正面 ，当第 次出现正面 -1，当第n次出现反面 ，当第 次出现反面
记
S n = a1 + a2 + ... + an (n ∈ N * )
2、二项分布： 、二项分布：
一般地， 次独立重复试验中， 一般地，在n次独立重复试验中，设事件 发生的 次独立重复试验中 设事件A发生的 次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为 发生的概率为p， 次数为 ，在每次试验中事件 发生的概率为 ，那么 次独立重复试验中， 恰好发生k次的概率为 在n次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率为 次独立重复试验中 事件A恰好发生
北京卷理） 例2.（2009北京卷理） （ 北京卷理 某学生在上学路上要经过4个路口 个路口， 某学生在上学路上要经过 个路口，假设在各路口是 否遇到红灯是相互独立的， 否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ， 遇到红灯时停留的时间都是2min. 遇到红灯时停留的时间都是 （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红 灯的概率； 灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的 分布列. 分布列
在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次 在一次试验中某事件发生的概率是 ，那么在 次 独立重复试验中这个事件恰发生 恰发生ξ 显然 显然ξ 独立重复试验中这个事件恰发生ξ次,显然ξ是一个随机 变量. 于是得到随机变量ξ的概率分布如下 变量. 于是得到随机变量 的概率分布如下： 的概率分布如下： ξ p
独立重复试验与二项分布
2.2.3独立重复试验 与二项分布
创设情景 1、投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上 的概率为0.5。 2、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球 的概率为0.7，现有气球10个，射击10次。 3、口袋内装有5个白球、3个黑球，放回地抽 取5个球，抽出黑球的个数。 问题 上面这些试验有什么共同的特点？ ①包含了n个相同的试验: 5次、10次、5次 ②每次试验相互独立； ③每次试验只有两种可能的结果：“成功”或“失 败”； ④每次出现“成功”的概率相同为p ，“失败“的 概率也相同，为1-p；
例1.某射手每次射击击中目标的概率为0.8, 求这名射手在10次射击中, (1)恰有8次击中目标的概率. (2)至少有8次击中目标的概率. (结果保留两个有效数字) 变式：要保证击中目标的概率大于0.99, 至少应射击多少次？
高考题再现
某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%， 现从一批产品中任意的连续取出2件，求取出 的次品数ξ的概率分布列。
思考
类似地，连续掷3次图钉，设出现针尖 向上的次数为X，求X的分布列.
一般地，在n次独立重复试验中,设事件 A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生 的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事 件A恰好发生k次的概率是
P( X k ) C p (1 p)
k n k
nk
) (其中k＝0,1,2,…，n， 此时称随机变量X服从二项分布 记：X～B (n ,p) 并称p为成功概率 于是得到随机变量X的概率分布如下：
情境创设:
“三个臭皮匠能顶一个诸葛亮”吗? 刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团共有3名谋 士(不包括诸葛亮),假定对某事进行决策时,每 名谋士贡献正确意见的概率为0.7,诸葛亮贡献 正确意见的概率为0.9.现为此事可行与否而分 别征求智囊团每名谋士的意见,并按智囊团中过 半数人的意见作出决策,这样作出正确决策的概 率与诸葛亮作出正确决策的概率谁大？
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独立重复试验与二项分布1．n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 2．二项分布前提 在n 次独立重复试验中字母的含义X 事件A 发生的次数 p每次试验中事件A 发生的概率分布列 P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n 结论 随机变量X 服从二项分布 记法记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率明确该公式中各量表示的意义：n 为重复试验的次数；p 为在一次试验中某事件A 发生的概率；k 是在n 次独立重复试验中事件A 发生的次数．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n 次独立重复试验的每次试验结果可以有多种．( ) (2)n 次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同．( ) (3)二项分布与超几何分布是同一种分布．( ) (4)两点分布是二项分布的特殊情形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√已知随机变量X 服从二项分布，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ＝2)等于( )A.316B.4243C.13243D.80243答案：D任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( ) A.34 B.38 C.13 D.14答案：B设随机变量X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________．答案：13探究点1 独立重复试验的概率甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答) (1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．【解】 (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－(23)3＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×(23)2＝49，P (B 2)＝C 12×(34)1×(1－34)＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝16.1．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率？解：记“甲击中目标1次”为事件A 3，“乙击中目标1次”为事件B 3，则P (A 3)＝C 12×23×13＝49，P (B 3)＝38， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为P (A 3B 3)＝49×38＝16.2．[变问法]在本例(2)的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率？解：记“甲未击中目标”为事件A 4，“乙击中2次”为事件B 4，则P (A 4)＝C 02(1－23)2＝19，P (B 4)＝C 22(34)2＝916，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P (A 4B 4)＝19×916＝116.独立重复试验概率求法的三个步骤1.某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中A －发生k 次的概率为( ) A ．C k n p k(1－p )n －kB ．(1－p )k pn －kC ．(1－p )kD ．C kn (1－p )k pn －k解析：选D.由于P (A )＝p ，P (A )＝1－p ，所以在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率为C kn (1－p )k pn －k.故选D.2．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位) (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率． 解：(1)记“预报一次准确”为事件A ， 则P (A )＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验． “恰有2次准确”的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×0.25＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72.所以所求概率为1－P ＝1－0.006 72≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. 探究点2 二项分布抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P 的横坐标，另一枚的点数为点P 的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P 在圆x 2＋y 2＝16内的次数X 的分布列．【解】 由题意可知，点P 的坐标共有6×6＝36(种)情况，其中在圆x 2＋y 2＝16内的有点(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共8种，则点P 在圆x 2＋y 2＝16内的概率为836＝29.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，29， 所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫290×⎝ ⎛⎭⎪⎫793＝343729，P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫291×⎝ ⎛⎭⎪⎫792＝98243，P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫292×⎝ ⎛⎭⎪⎫791＝28243，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫293×⎝ ⎛⎭⎪⎫790＝8729.故X 的分布列为X 0 1 2 3 P34372998243282438729解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．1.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.事件A ＝“正面向上”，发生的次数ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，由题设得C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C k ＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫125，所以k ＋k ＋1＝5，所以k ＝2.2．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125解析：选 B.质点P 由原点移动到(2，3)需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率即为质点P 的5次移动中恰有2次向右移动的概率，而每一次向右移动的概率都是12，所以向右移动的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，所以所求的概率为P (X ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125.究点3 二项分布的综合应用袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X 的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列．【解】 (1)有放回抽样时，取到的黑球的次数X 可能的取值为0，1，2，3.由于每次取到黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15，则 P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫150×⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫151×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125，P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫153×⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P6412548125121251125(2)则P (Y ＝0)＝C 02C 38C 310＝715，P (Y ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (Y ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.所以Y 的分布列为Y 0 1 2 P715715115二项分布实际应用问题的解题策略(1)根据题意设出随机变量． (2)分析出随机变量服从二项分布．(3)找到参数n (试验的次数)和p (事件发生的概率)．(4)写出二项分布的分布列．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12.(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X ，求X 的分布列．解：(1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ∪A B ”，且事件A ，B 相互独立． 所以P (AB ∪A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×12＋(1－12)×(1－12)＝12.(2)随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4. 且X ～B (4，12)．所以P (X ＝k )＝C k 4(12)k (1－12)4－k ＝C k 4(12)4(k ＝0，1，2，3，4)．所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1161438141161．某人投篮一次投进的概率为23，现在他连续投篮6次，且每次投篮相互之间没有影响，那么他投进的次数ξ服从参数为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23的二项分布，记为ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，计算P (ξ＝2)＝( ) A.20243 B.8243 C.4729D.427解析：选A.根据二项分布概率的计算公式可得，P (ξ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－234＝20243，故选A.2．一名射手对同一目标独立地射击四次，已知他至少命中一次的概率为8081，则此射手一次射击命中的概率为( )A.13B.23C.14D.25解析：选B.设此射手射击四次命中次数为ξ，一次射击命中的概率为p ，所以ξ～B (4，p )． 依题意可知，P (ξ≥1)＝8081，所以1－P (ξ＝0)＝1－C 04(1－p )4＝8081， 所以(1－p )4＝181，所以p ＝23.3．某市公租房的房源位于甲、乙、丙三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．则该市的4位申请人中恰有2人申请甲片区房源的概率为________．解析：每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请甲片区房源记为A ，则P (A )＝13，恰有2人申请甲片区的概率为P ＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.答案：8274．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．解：设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A ，“乙击中目标2次且甲击中目标0次”为事件B 1，“乙击中目标3次且甲击中目标1次”为事件B 2，则A ＝B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件， 则P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 23×(23)2×13×C 03×(12)3＋C 33×(23)3×C 13×(12)3＝16，所以乙恰好比甲多击中目标2次的概率为16.知识结构深化拓展1.独立重复试验的基本特征 (1)每次试验都在同样条件下进行．(2)每次试验都只有两种结果：发生与不发生．(3)各次试验之间相互独立．(4)每次试验，某事件发生的概率都是一样的． 2．n 次独立重复试验的概率公式中各字母的含义[A 基础达标]1．某学生通过英语听力测试的概率为13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( ) A.49 B.29 C.427D.227解析：选A.记“恰有1次获得通过”为事件A ， 则P (A )＝C 13(13)·(1－13)2＝49.故选A.2．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B (6，12)，则P (ξ≤3)等于( )A.1132B.732C.2132D.764 解析：选C.P (ξ≤3)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝C 06×(12)6＋C 16·(12)6＋C 26·(12)6＋C 36·(12)6＝2132.故选C.3．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.89解析：选A.当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P ＝C 23(23)2(1－23)×23＝3×49×13×23＝827，故选A. 4．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：选C.由1－C 0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n>0.9，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<0.1，所以n ≥4. 5． 袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57×(13)2×(23)5B ．C 27×(23)2×(13)5C ．C 57×(13)2×(13)5D ．C 27×(13)2×(23)2解析：选B.由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×(23)2×(13)5，故选 B.6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M <N )；④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数．解析：对于①，设事件A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P (A )＝13.而在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生了k 次(k ＝0，1，2，…，n )的概率P (ξ＝k )＝C k n×⎝ ⎛⎭⎪⎫13k×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －k，符合二项分布的定义，即有ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13；对于②，ξ的取值是1，2，3，…，n ，P (ξ＝k )＝0.9×0.1k －1(k ＝1，2，3，…，n )，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布；③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“不放回”抽取，显然④中n 次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫n ，M N . 答案：①③7．一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X ，则P (X ＝5)＝________．解析：X ＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球． 则P (X ＝5)＝C 24(13)2×(23)2×13＝881.答案：8818．张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________．解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－(1－13)4＝6581.答案：65819．下列随机变量X 服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数各是什么？ (1)掷5枚相同的正方体骰子，X 为出现“1点”的骰子数． (2)1 000个新生婴儿，X 为男婴的个数．(3)某产品的次品率为p ，X 为n 个产品中的次品数．(4)女性患色盲的概率为0.25%，X 为任取10个女人中患色盲的人数． 解：(1)X 服从参数为5，16的二项分布，简记为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，16. (2)X 服从参数为1 000，12的二项分布，简记为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000，12.(3)X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～B (n ，p )．(4)X 服从参数为10，0.25%的二项分布，简记为X ～B (10，0.25%)．10．甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错或不答者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且每人答对与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)设C 表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P (C )． 解：(1)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝127，P (ξ＝1)＝C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝29，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，所以ξ的分布列为(2)甲队得2由上表可知，甲队得2分，其概率为P (ξ＝2)＝49，乙队得1分，其概率为P ＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518.根据独立事件概率公式得P (C )＝49×518＝1081.[B 能力提升]11．近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为低碳族，否则称为非低碳族．数据如下表(计算过程把频率当成概率)：(1)如果甲、乙来自A 2人是低碳族的概率； (2)A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A 小区中任选25个人，记X 表示25个人中低碳族人数，试写出X 满足的分布． 解：(1)设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”，P (C )＝C 22·0.52·C 22·0.22＋C 12·0.5×0.5×C 12·0.2×0.8＋C 22·0.52·C 22·0.82＝0.01＋0.16＋0.16＝0.33. 即甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33.(2)设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率P 1＝a ×0.5×（1－20%）2a＝0.32.故低碳族的概率P 2＝1－0.32＝0.68.随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即X ～B (25，0.68)． 12．为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有来自沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设． (1)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；(2)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ，求X 的分布列．解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1，2，3.由题意知A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3，C 1，C 2，C 3均相互独立． 则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13， P (C i )＝1060＝16(i ＝1，2，3)．(1)3人选择的项目所属类别互异的概率：P ＝A 33P (A 1B 2C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：P ＝30＋1060＝23.由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233－k(k ＝0，1，2，3)． 所以X 的分布列为13.(选做题)如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有1个障碍物，第二行有2个障碍物，……，依此类推，一个半径适当的光滑均匀小球从入口A 投入滑道，小球将自由下落，已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是12.记小球遇到第n 行第m 个障碍物(从左至右)上顶点的概率为P (n ，m )．(1)求P (4，1)，P (4，2)的值，并猜想P (n ，m )的表达式(不必证明)；(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，1≤x ≤3，x －3，3<x ≤6，设小球遇到第6行第m 个障碍物(从左至右)上顶点时，得到的分数为ξ＝f (m )，试求ξ的分布列．解：(1)P (4，1)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (4，2)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38. 猜想P (n ，m )＝C m －1n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)ξ＝3，2，1，P (ξ＝3)＝P (6，1)＋P (6，6)＝116， P (ξ＝2)＝P (6，2)＋P (6，5)＝516， P (ξ＝1)＝P (6，3)＋P (6，4)＝58.故ξ的分布列为ξ 3 2 1 P11651658离散型随机变量及其分布列、 二项分布及其应用(强化练)一、选择题1．下列随机变量X 不服从二项分布的是( )A ．投掷一枚均匀的骰子5次，X 表示点数6出现的次数B ．某射手射中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C ．实力相等的甲、乙两位选手进行了5局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数D ．某星期内，每次下载某网站的数据被病毒感染的概率为0.3，X 表示下载n 次数据电脑被病毒感染的次数解析：选B.选项A ，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数6在每一次试验中概率都为16，每一次试验都是相互独立的，故随机变量X 服从二项分布．选项B ，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X 不服从二项分布．选项C ，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X 服从二项分布．选项D ，由二项分布的定义，知被感染次数X ～B (n ，0.3)．2．设随机变量X 的分布列如下，则下列各项中正确的是( )A.P (X ＝1.5)＝0 1 C ．P (X <3)＝0.5D ．P (X <0)＝0解析：选A.由分布列知X ＝1.5不能取到，故P (X ＝1.5)＝0，正确；而P (X >－1)＝0.9，P (X <3)＝0.6，P (X <0)＝0.1.故A 正确．3．设随机变量X 的概率分布列如表所示，则P (|X －2|＝1)等于( )A.712B.2C.512D.16解析：选C.由分布列的性质知16＋14＋13＋m ＝1，故m ＝14.又由|X －2|＝1，知X ＝3或X ＝1.所以P (|X －2|＝1)＝P (X ＝3)＋P (X ＝1)＝14＋16＝512.选C.4．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16解析：选B.设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品， 事件B ：乙实习生加工的零件为一等品， 则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×(1－34)＋(1－23)×34＝512. 5．盒中有10只螺丝钉，其中3只是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两只，那么在第一只抽取为好的条件下，第二只是坏的概率为( ) A.112 B.13 C.8384 D.184解析：选B.设事件A 为“第一只抽取为好的”，事件B 为“第二只是坏的”，则P (A )＝C 17C 19A 210，P (AB )＝C 17C 13A 210，所以P (B |A )＝13，选 B.6．从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为( ) A.119 B.1718 C.419D.217解析：选D.设事件A 表示“抽到的两张都是假钞”，事件B 表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即P (A |B )．P (AB )＝P (A )＝C 25C 220，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220，由公式P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝C 25C 25＋C 15C 115＝1010＋75＝217.故选D.7．某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为23，徒弟加工一个零件是精品的概率为12，师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为( ) A.89 B.23 C.13D.19解析：选A.因为师傅加工一个零件是精品的概率为23，徒弟加工一个零件是精品的概率为12，师徒二人各加工2个零件不全是精品的对立事件是师徒二人各加工2个零件全是精品，所以师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为P ＝1－C 22(23)2C 22(12)2＝89.故选A.8.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( ) A.13 B.29 C.49D.827解析：选A.由已知得逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13，则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13. 9．如果X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫20，13，Y ～B ⎝⎛⎭⎪⎫20，23，那么当X ，Y 变化时，使P (X ＝x k )＝P (Y ＝y k )成立的(x k ，y k )的个数为( )A ．10B ．20C ．21D ．0解析：选C.根据二项分布的特点，知(x k ，y k )分别为(0，20)，(1，19)，(2，18)，…，(20，0)，共21个，故选C.10．已知随机变量X ～B (20，13)，若使P (X ＝k )的值最大，则k 等于( )A ．5或6B ．6或7C ．7D ．7或8解析：选B.令P （X ＝k ＋1）P （X ＝k ）＝C k ＋120pk ＋1q 20－k －1C k 20p k q 20－k＝20－k 2k ＋2>1， 得k <6，即当k <6时，P (X ＝k ＋1)>P (X ＝k )； 当k ＝6时，P (X ＝7)＝P (X ＝6)； 当k >6时，P (X ＝k ＋1)<P (X ＝k )． 所以P (X ＝6)和P (X ＝7)的值最大，故选B. 二、填空题11．现有10张奖券，其中8张2元的，2张5元的，从中同时取3张，记所得金额为ξ元，则P (ξ＝6)＝________，P (ξ＝9)＝________． 解析：ξ＝6代表事件为取出的三张都是2元的， 所以P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715，ξ＝9代表事件为取出的三张有两张2元的，一张5元的，所以P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.答案：715 71512．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为________．解析：因为随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，又P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则P (η≥2)＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134－C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133×13＝1127.答案：112713．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮四级以上的风，那么P (B |A )＝________．解析：由题意知P (A )＝415，P (B )＝215，P (AB )＝110，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝38.答案：3814．一批玉米种子的发芽率是0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种________粒，才能保证每穴不需补种的概率大于98%.(lg 2＝0.301 0) 解析：记事件A 为“种一粒种子，发芽”，则P (A )＝0.8，P (A )＝1－0.8＝0.2.因为每穴种n 粒相当于做了n 次独立重复试验，记事件B 为“每穴至少有一粒种子发芽”，则P (B )＝C 0n 0.80(1－0.8)n ＝0.2n， 所以P (B )＝1－P (B )＝1－0.2n. 根据题意，得P (B )>98%，即0.2n <0.02. 两边同时取以10为底的对数，得n lg 0.2<lg 0.02，即n (lg 2－1)<lg 2－2，所以n >lg 2－2lg 2－1＝1.699 00.699 0≈2.43.因为n ∈N *，所以n 的最小正整数值为3. 答案：3 三、解答题15．已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为23和34，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．(1)若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；(2)若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．解：(1)若甲、乙两人各射击1次，由题意可得他们都没有命中目标的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝112，故至少有一人命中目标的概率为1－112＝1112. (2)若甲、乙两人各射击4次，则甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率为C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232·C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫343·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝18.16．为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：(1)从这18(2)中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解：(1)“从这18名队员中选出两名，两人来自同一队”记作事件A ，则P (A )＝C 24＋C 26＋C 23＋C 25C 218＝29. (2)ξ的所有可能取值为0，1，2.因为P (ξ＝0)＝C 214C 218＝91153，P (ξ＝1)＝C 14C 114C 218＝56153，P (ξ＝2)＝C 24C 218＝6153，所以ξ的分布列如下：17.甲、5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列．解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”．则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3) ＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4) ＝(23)2＋13×(23)2＋23×13×(23)2＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59.P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29.P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081. P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为18.一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23.设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分． (1)求随机变量ξ的分布列；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． 解：(1)由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P (ξ＝0)＝(1－34)(1－23)(1－12)＝124，P (ξ＝1)＝34(1－23)(1－12)＋(1－34)×23×(1－12)＋(1－34)(1－23)×12＝14， P (ξ＝2)＝34×23×(1－12)＋34×(1－23)×12＋(1－34)×23×12＝1124， P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，所以随机变量ξ的分布列为(2)B ， 则P (A )＝14×C 33×(23)3＋1124×C 23×(23)2×(1－23)＋14×C 13×23×(1－23)2＝13.P (AB )＝14×C 13×23×(1－23)2＝118，21P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.。