独立重复试验与二项分布(一)

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（五） 梳理反思
应用二项分布解决实际问题的步骤：（1）判断问
题是否为独立重复试验；（ 2 ）在不同的实际问题中
找出概率模型
中的n、k、p；（3）运用公式求概率。
（六）、课后作业：课本第56页习题2-4A
组中1、3、4
五、教学反思：
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练习1：判断下列试验是不是独立重复试验，为什么？
A、依次投掷四枚质地不均匀的硬币
不是
B、某人射击，每次击中目标的概率是相同的，
他连续射击了十次。
C、袋中有5个白球、3个红球， 先后从中抽出5个球。 D、袋中有5个白球、3个红球， 有放回的依次从中抽出5个球。
是
不是 是
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（三）构建模型
某射击运动员进行了3次射击，假设每次射 击击中目标的概率为0.6，且各次击中目标与 否是相互独立的，用X表示这3次击中目标的 次数。
问题（3）：各次试验是否相互独立？
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（二） 形成概念
“独立重复试验”的概念 -----在同样条 件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。
特点： ⑴在同样条件下重复地进行的一种试验； ⑵各次试验之间相互独立，互相之间没有影响； ⑶每一次试验只有两种结果，即某事要么发生， 要么不发生，并且任意一次试验中发生的概率 都是一样的。
ξ 0
0 n 0 n 1 n
1
1 n 1
„
k
C pq
k n k n k
„
n
n n 0 Cn pq
p
C pq C pq
„
„
n k
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作 其中n，p为参数,并记 C
k n
x ~ B(n, p,)
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p (1 p)
k
B(k; n, p)
及时应用：
例1： 某射击运动员进行了3次射击，假 设每次射击击中目标的概率为0.6，且 各次击中目标与否是相互独立的，用X 表示这3次击中目标的次数，求X的分 布列。
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二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布x (1 p)
2．一个袋中放有 M 个红球，( N M )个白球，依次从袋中 取 n 个球，记下红球的个数 x .
M ⑴如果是有放回地取，则 x B( n, ) N ⑵如果是不放回地取 , 则 x 服从超几何分布.
1 0.43 0.936
因为 0.936 0.9，所以臭皮匠胜出的可能性较大
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（四） 实践应用
例2： （生日问题） 假定人在一年365天中的任一天出生的概率相同。
问题（1）：某班有50个同学，至少有两个同学今天过生日 的概率是多少？
略解：设50人中今天过生日的人数为 X ,则 P( X 2) 0.0085 问题（2）：某班有50个同学，至少有两个同学生日相同 的概率是多少？ 解：设A＝“50人中至少2人生日相同”， 则 A “50人生日全不相同”
3
4
5
60
6
7
问题：假如臭皮匠老三解出的把握也只有
60 % 60%，那么这三个臭皮匠中至少有一个能解 出的把握真能抵过诸葛亮吗？
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（二） 形成概念
某射击运动员进行了3次射击，假设每次射击击中 目标的概率为0.6，且各次击中目标与否是相互独立 的，用X表示这3次击中目标的次数。 如果将一次射击看成做了一次试验，思考如下问题： 问题（1）一共做了多少次试验？每次试验有几个可能 的结果？ 问题（2）：如果将每次试验的两个可能的结果分别 称为“成功”（击中目标）和“失败”（没有击中目 标）那么每次试验成功的概率是多少？它们相同吗？
k n k n k
（1）n,p,k分别表示什么意义？ （2）这个公式和前面学习的哪部分内容 有类似之处？
k n k k 恰为 [(1 P) P]n 展开式中的第 k 1 项 Tk 1 Cn (1 P) P
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基本概念
3、 二项分布
在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次 独立重复试验中这个事件恰发生x次,显然x是一个随机 变量 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
P C 0.6 (1 0.6)
k n k
n k
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（三）构建模型
在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率是
k k P( X k ) Cn P (1 P)nk
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学生讨论，分析公式的特点： 在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是
P( X k ) C P (1 P)
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练习 2 ：某射手射击一次命中目标的概率是 0.8，求这名射手在10次射击中 （1）恰有8次击中目标的概率； 解：设X为击中目标的次数，则 X B(10, 0.8)
8 P( X 8) C10 0.88 (1 0.8)108 0.30
（2）至少有8次击中目标的概率； 解： P( X 8) P( X 8) P( X 9) P( X 10) 0.68 （3）仅在第8次击中目标的概率。 解： P (1 0.8)7 0.8 (1 0.8)2 0.0000004
问题（4）连续射击3次，恰有1次击
中的概率是多少？
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分解问题（3）
问题a 3次中恰有1次击中目标，有几种情况？
共有3种情况:
A1 A2 A3 ，Biblioteka Baidu1 A2 A3
1 即 A A A C ，1 2 3 3
问题b 它们的概率分别是多少？
概率都是
0.61 (1 0.6)2
问题c 3次中恰有1次击中目标的概率是多少？
高中数学选修2-3第二章 《概率》
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一、教学目标：1、知识与技能：理解n次独立 重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单 的实际问题。 2、过程与方法：能进行一些与n次独立重复试 验的模型及二项分布有关的概率的计算。 3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学 与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价 值。 二、教学重点：理解n次独立重复试验的模型及 二项分布，并能解答一些简单的实际问题。 教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模 型及二项分布有关的概率的计算。 三、教学方法：讨论交流，探析归纳 四、教学过程 2
1 P C3 0.61 (1 0.6)2
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（三）构建模型
变式一：3次中恰有2次击中目标的概率是多少？
P C 0.6 (1 0.6)
2 3 2
32
变式二：5次中恰有3次击中目标的概率是多少？
P C53 0.63 (1 0.6)53
引申推广:
连续掷n次，恰有k次击中目标的概率是
解：设皮匠中解出题目的人数为X，则X的分布列：
解出的人数x 概率P 0
0 C3 0.60 0.43
1
2
3
3 C3 0.63 0.40
1 C3 0.61 0.42 C32 0.62 0.41
至少一人解出的概率为： 解1：（直接法） P( x 1) P( x 1) P( x 2) P( x 3) 0.936 解2：（间接法） P( x 1) 1 P( x 0)
50 C365 P( A) 1 P A 1 0.97 50 365

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例3（08，北京）甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目
1 2 标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ，求： 2 3
（1）甲恰好击中目标2次的概率；
（2）乙至少击中目标2次的概率；
（3）乙恰好比甲多击中目标2次的概率； （4）甲、乙两人共击中5次的概率。
k n k CM CN M P (x k ) (k 0,1, 2,, m) (其中 m min( M , n) n CN
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例2:设诸葛亮解出题目的概率是0.9，三个臭皮匠各自 独立解出的概率都是0.6，皮匠中至少一人解出题目即 胜出比赛，诸葛亮和臭皮匠团队哪个胜出的可能性大？